De conus met konstante wanddikte volgens Fluegge als ana-elementCitation for published version (APA):Menken, C. M. (1972). De conus met konstante wanddikte volgens Fluegge als ana-element: theoretischeachtergronden, stijfheidsmatrix, kinematisch konsistente knooppuntskrachten en spanningsrelaties. (DCTrapporten; Vol. 1972.001). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1972

Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:openaccess@tue.nlproviding details and we will investigate your claim.

Download date: 01. Jun. 2021

https://research.tue.nl/nl/publications/de-conus-met-konstante-wanddikte-volgens-fluegge-als-anaelement(f1ff18bb-d93f-487b-bef2-106e4993ea30).html

i. De buigoplossing voor de axiaal niet belaste conus.

1 . 1 . Theorie

1 . 2 . Opzet van de 4x4 stijfheidsmatrix.

2. De membraamoplossing. 2 . 1 . Theorie 2 . 2 . De stijfheidsmatrix

2 . 3 , De invloedsgetallen.

3 . De opzet van de 6x6 stijÍheidSmatrix vaii de cûiìii8.

3.1 e Definities 3 e 2 Relaties

3 . 3 . Opzet 6x6 stijfheidsmatrix.

4 , Het in rekening brengen van de inwendige druk.

5. Spanningsberekening. 5.1. Verband tussen integratieconstanten en randverplaatsingen,

5 . 2 . Verband tussen spanningen en integratieconstantena.

6. Literatuur.

Appendix ------- A: Werkwijze voor het inverteren van matrix C. -

In1 e id Bng

Bij het oplossen van lineaire elasticiteitsproblemen met de elementenmethode kan het sams nüttig eiSn gebr.uik ee naken vau reeds bekende analytische oplns- singen van grotere konstruktiedelen. Enerzijds is het bij een bekende analytische oplossing niet nodig benademingen

met de elementenmethode te zoeken. Anderzijds kan het aantal vrijheidsgraden

beperkt worden, wat eventueel tot kortere rekentijden kan leiden.

Binnen de associatie Progel is het de taak van de werkgroep Ana-elementen VODP

een aantal veel gebruikte konstruktiedelen de reeds bekende analytische oplos- singen te herformuleren op een wijze die aansluit bij de elementenmethode.

E& groep van zulke konstruktiedelen wordt gevormd door de dunwandige omwen-

telingsschalen onder rotatorisch symmetrische belasting. Een benaderingsoglos- sing voor de algemene onrwentelingsschaal I s gegeven door oiter [I]. Deze benadering zal echter 'bij stompe conussen onnauwkeurige resultaten geven. Daarom

is het nuttig ter vergelijking of vervanging te beschikken over de stijfheias-

matrix volgens de theorie van Flfigge [219 die ook bij stompe tophoeken goed vo Idoe t .

De in de literatuur voorkomende analytische oplossingen beperken zich veelal tot de homogene oplossing van het probleem, welke hoort bij de axiaal onbelaste

schaal. Bij aanwezigheid van inwendige druk en axiale belasting wordt veelal niet de partikuliere oplossing toegevoegd,doch de membraamoplossing als een goede

benadering voor deze gesuperponeerd. Ook deze membsaamoplossingen zijn in de

literatuur te vinden. Een algemeen belastingsgeval wordt daarom als volgt opge-

splitst in een deel zonder axiale belasting en inwendige. druk (geval I) en een membraambelasting (geval 11):

r

~ -~

- 2 -

Dit rapport presenteert de werkwijze om gebruik makend van de bij beide belas- tingsgevallen horende analytische oplossingen de stijfheidsmatrix op te zetten voor het algemene geval. Daartoe wordt de betreffende theorie kort herhaald.

De inwendige druk wordt in de elementenmethodegerepresenteer& door zogenamde

kinematisch

voor het geval van lineair verlopende inwendige druk, in dit rapport gegeven, samen met de uitdrukkingen voor de spanningsberekening in een willekeurig punt

van de conus.

konsistente knooppuntskrachten. Deze knsoppuntskrachten worden,

i . Symbolen die een vecto'r aanduiden onderscheiden zich niet door over- of onderstreping van andere symbolen.

2. Indien een vector zonder meer met een symbool wordt aangegeven wordt

een kolomvector bedoeld. De getransponeerde van zo'n vector of van d T een matrix wordt aangegeven met een accent boven het symbool: a P a

3 . Vectoren die van een sterretje zi j ia voorzien bevatten elementen die combinaties zijn van de cartesische componenten van krachten of ver-

plaat singen.

-€-

- 4 -

De re la t i es tussen naohenten en krommingen:

met:

en :

dX x = (- d s 'S) 51a. wordt ì4 S

5 1 b . wordt fl = K (- x +V-) dX e s d s

E t 3 K =

12( 1 4 ) dw x = =

D e re la t ies tussen normaalkrachten en rekken:

dV

S d s u ) S

9a.(i la) wordt N = D (- +v- scos o

OV U

9b.( l l lb) wordt N, = D(- + u

E t 1 -v m e t : D = 7

d v

s d s S & = -

U E = - e s C O S ~

(1 .1 .4 )

(lal.5)

(1.1.6)

( l a l * 7 )

( i . 1.8)

(1.1.9)

(1.1.10)

( 1 . 1 . 1 2 )

( I . I . 13)

E r wordt een s imul taan s t e l s e l i n sQ en x opgezet . Plet ( 1 - 1 . 4 ) en (1 .1-5) kunnen d e momenten i n (1 .1-3) worden weggewerkt.

S

Q d2X I dX 52a. wordt dan: + - - - x - ds s d s 7 - z - (1 .1.14)

D e d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g n a a s t ( I . 1 14) moet nog b e v a t t e n ( 1 . 1 e 11, (1.1e2), ( 1 . 1 . 8 ) en ( 1 . 1 . 9 ) .

I n v e r s i e van d e re la t ies tussen normaalkrachten en rekken g e e f t :

(Ns - v N ~ ) dvs - 1 - - - d s E t (1 . 1.15)

( 1 . 1 16)

- 5 -

d v

S ds geë l imineerd door ee rs t de S U i t deze re l a t i es worden v en -

la a t s t e r e l a t i e t e d i f f er en t i&- en :

d v

d s E l i m i n a t i e van -2 g e e f t dan:

dNe dNS S (F - u-) + (I+U) (Ne-uNs) cota x =-Et as

( 1 . 1 . I S )

( i e li. 18)

Vervolgens worden d e e v e n w i c h t s r e l a t i e s g e b r u i k t om N

u i t t e drukken.

E l i m i n a t i e v a n M u i t ( 1 . 1 . 1 ) en ( 1 . 1 - 2 ) g e e f t :

en N e S i n Qs

e

d isTU' j& + d d s S d s s

L l ,C"32a - ( S Q )Us = 2nprcns2adc h s i n a c o s a - ( 1 e 1.19)

en d i t i s h e t axia le evenwicht van h e t r i n g e t j e ds.

I n t e g r a t i e g e e f t :

2~rs inacosa (sN ) -+ 2ncos2a ( s o ) = 2 7 ~ c o s ~ a is s"pds* + C S S

s ( I . I .20) 1 C i s h i e r i n een i n t e g r a t i e k o n s t a n t e d i e d e bekende of onbekende

ax ia le b t i l a s t i n g aan d e rand s van de conus v o o r s t e l t (of d e punt-

k r a c h t op d e t o p b i j een g e s l o t e n conus).

Beperken w i j ons nu t o t d e buigoploss ing b i j a fwezigheid var, inwendige

druk en axiale r a n d b e l a s t i n g dan g e e f t d i t voor N :

1

S

Ns = - Qs c o t a

Met ( I . 1 .2 ) kan ook Ne worden u i t g e d r u k t i n Q : S

d d s

Ne = - cots - ( s Q S )

D e twee laatste re la t ies gebruikend k r i j g e n we v o o r X :

( I . 1 .21)

( 1 . 1 . 2 2 )

( 1 . I e 23)

Het s imul tane s t e l s e l wordt hiermee:

-D( 1 - v q x cota

W e d e f i n i ë r e n nu d e vo lgende l i n e a i r e o p e r a t o r :

H e t s imultane s t e l se l ; . iet er dan a.v. u i t :

D e o p e r a t o r L n o p a a i s op ( í . i s 2 8 ) zoepassen g e e f t :

L (XI -D( i-V') c o t a LL(sQ ) = S

Door d e eerste relat ie te gebruiken kan X worden weggewerkt:

fi.1.24)

(i . 1 . 2 7 )

(1 .n .29)

reëel en U > O.

(iai.25)

( a . 1.30)

(i . 1.31)

Omdat L een l i n e a i r e o p e r a t o r i s , k a n deze re lat ie op twee manieren

worden geschreven:

L(L(sQ~)+ iFi2(sQs)) - iu2(L(sÇ )+ip2(sQ ) ) = O ( 1 I . 3 3 ) S S

D e f i n i e e r R := L(sQs) + i u 2 ( s Q ). Daarmee wordt het s t e l sc l :

S

L ( R ) - iU2n = O

~(5) + i p 2 5 = O

( i . 1 . 3 4 )

( I . I . 3 5 )

( 1 . I . 36)

( 1 . 1 . 3 7 )

- 7 -

Er zijn dan twee oplossingen te zien; de nuloplossingen:

( i . I . 38) 12 = o - R = O ( I . 1.39)

Deze zijn onafhankelijk omdat ~r p O . Ket oplossen van de 4-de orde vergelijking (lela32) is hiermee terug-

gebracht tot het oplossen van twee tweede-orde vergeiijkingen.

L(sQs) -"- iFi2(SQS) = 0 (1.1.40)

In Flugge, pag. 372 worden deze vergelijkingen omgewerkt tot toegevoegd komplexe Besselfunkties met komplexe argumenten. Deze kunnen worden ge- schreven als Thomson funkties. De oplossing voor 1 . 1 . 3 2 wordt:

1 O '5 = - " L I A: 1 (bery-2y-lbei'y) + A7(beiy - + 2y-lber'y)

+ Bl(kery - 2~-~kei"y) + B (keiy + 2y-'ker'y) 1 ( 1 . 1 . 4 1 ) 2 met:

y: = 2P ( I e I . 4 2 )

Hiermede i s de homogene vergelijking bij afwezigheid van axiale belas- ting opgelost, waarna in principe alle andere onbekenden bepaald kunnen

worden. Een aantal relaties staat in FlÜgge, pag. 3 7 3 , waarvan de volgende gebruikt worden:

+ A2(ybei'y - 2beiy - 4y-'bervy)

+ B 1 (yker'y - 2kery + 4y-lkei'y)

I + B2(ykeiqy - 2keiy - 4 y - I ker'y)

( 1 . 1 . 4 3 )

( 1 . 1 . 4 4 )

- 8 -

-2 - 1 M s = 2y ybei'y - 2(1-v)(beiy + 2y ber'y)

- A2( yber'y - Z(l-v)(bery - 2y-lbei'y)

i- Bi[ykei'y - 2( I-v)(keiy + 2y ker'y)

yker'y - 2(1-u)(kery - 2y-lkei'y)

- 1

- Me = 2y-2 bl{uybeily + 2(1-v)(beiy + 2y 'berry)

- A2{vyber'y + 2(l-v)(bery - 2y bei'y)

Vykei'y + 2(1-v)(keiy i- 2y 'ker'y)

vyker'y i- Z(l-v)(kery - 2y kei'y)

- 1

-

- 1

2 m c o t a -. 9 [*,(beiy + Zy-lber'y)

- A2(bery - Zy-lbei'y)

+ B (keiy + îgr-lker'y)

- B2(kery - 2y-lkei'y)

L ' L E L u =

1 1

( i . 1.45)

( I . 1.46)

( 1 . I . 47 )

be las t ingen

fig. 1.2.1 Belastinggeval

verplaatsingen

I

- 9 -

Voor geval 1 kaii nu een stijfheidsmatrix worden opgezet die de relatie aangeeft tussen randkrachten en randverplaatsingen. Om de conus op de juiste wijze te kunnen koppelen aan andere elementen wordt afgesproken dat het in-

wendig produkt van belasting- en verplaatsingsvektor gelijk moet zijn aan de verrichte elastische arbeid. In dat geval wordt de stijfheidsmatrix symme- trisch. Kiezen we als belastingvektor:

dan moeten we voor de verplaatsingsvektor nemen:

(1.2.1)

(1.2.2)

$ *

I 1 De elastische arbeid is dan: 4 . 2 ~ ~ f

Om niet steeds 2r te hoeven schrijven, beperken we ons verder tot de elastische

arbeid per radiaal: 4 u f * Voor het opzetten van de 4x4 stljfheidsmatrix worden de relaties (i.i.43) t/m (la1*47) samen met ( 1 . 1 . 1 6 ) gebruikt. We definiëren een matrix B die het ver- band geeft tussen de randbelastingen volgens Flcgge en de integratiekonctanten.

I I ’

= Bb ( 1 . 2 . 3 ) ‘F ïiigge

met: 1

b

Het verband tussen onze belastingsvektor f * en f luidt: I FlUgge f; = T f ~ iiigge

met:

\

R 1 - s ina

O

O

- 1

, ’R2 - -

s incl

Uit (1.2.3) en (1.2.6) volgt:

f3= TBb I

(1.2.4)

(1.2.5)

(1.2.6)

1

(1.2.7)

- 10 -

met : - 1 (beryl - 2yl bei'yl) - - R 1 t b l l s sina

tbi2 s,sina 1

1

-1 R (beiy + 2yl ber'yl) 1 - -

- 1 R (keryl - 2yl kei'y 1 I

tb = 13 s sina

I

( i .2.8)

- -2 tb2] = - 2yl

-2

{y 1 bei'y 1 - 2(î-v)(beiyl + 2yl 'ber'yl)l

- 1 tb22 = 2yl {ylber'yl - 2(1-v)(beryl - 2yl beiqyl)l

{y - 1 kei'y, - 2(1-v)(keiy, + 2yl *ker'y,)}

{y 1 keir'y 1 - 2(1-v)(keryl - 2yl 'kei'yi)}

- -2 tb-- 2 3 =-2y i

- tb24 = 2Yl

-2

tb31 t/m tb34 worden verkregen door In tb 1 1 t/m tbI4 de y1 te ver-

vangen door y 2 en RI/sI door -R2/s2. t/m tb 44 worden verkregen door in tb 21 t/m tbZ4 de y ] te

vervangen door y 2 en het geheel te vermenigvuldigen met - H .

We definiëren een matrix C die het verband geeft tussen de rand- verplrqtsingen en de integratiekonstanten:

tb4 li

(1 .2 .9)

- 1 - cosacota { - 1 ylbei'y + (l+v)beiy 1 + 2 ( l + v ) y I ber'yIl

cosacota { - 4 ylker'y + (l+v)kery I - 2(I+v)yI lkeilyl} c =

Et 1 c - 12

- Et 1 13

- co sac0 ta { - i ylkei9y f (l+v)keiy + 2(l+v)yl Iker'y1} Et 1 1 c = 14

(ZI 'Z'i>

- KI -

- 12 -

2 , De membraamoplossing

2.1 Theorie ------- In deel 1 . 1 werden de algemene relaties volgens Flugge gegeven. De bij de membraamoplossing horende relaties worden hieruit verkregen onder verwaarlozing van momenten en dwarskrachten:

- evenwicht in s-richting:

d -(NsS> - N e = O as

- evenwicht loodrecht op de s-richting:

Ne = pscota

- verband tussen rekken, snedekrachten en verplaatsi

(2.1 e i >

( 2 . 1 . 2 )

( 2 . 1 . 3 )

(2.4. . 4 )

W i j beperken ons tot lineair verlopende inwendige drukken:

p = à + b s

Membraamoplossingen zijn statisch bepaald, dus de snedekrachten z i j n uit de evenwichtsrelataes te bepalen. De algemene oplossing van het stelsel (2.101) en ( 2 . 1 . 2 ) luidt:

1 1 S 1 3 PJ s = c + (r as2 + - hs3)cota

Kiezen we N als randvoorwaarde, dan geeft dit: Sl

1 1 C 1 = M s - (7 asI2 + - bs 3)c0ta s l 1 3 1

(2.1.5)

(2.1.6)

( 2 . I . 7 )

(01 I ‘z)

- EI -

- 14 -

2.2. De Stijfheidsmatrix.

Ook voor de membraamoplossing wordt de stijfheidsmatrix opgezet. De

mogelijkheid van starre beweging in axiale richting wordt voorlopig nog buiten beschouwing gelaten doch eerst meegenomen bij het opzet-

ten van de totale stijfheidsmatrix.

Hier zal daarom eerst een stijfheidsmatrix worden opgezet betrokken

op vervormingen. Voorgaande theorie geeft relaties betrokken op de s-richting. Gewenst zijn relaties betrokken op de axiale richting en loodrecht daarop. Van nu af aan zullen bij de membraamoplossing

horende verplaatsingen overstreept worden. De transformatieformules zijn (fig.2.2.1.):

V2 = -N sin a s2

- - - - vel = (ul cos a - v sin a) en v,.> = ( u3 cos a - v2sina) t - 0 1

(2.2.1)

a

belast ingen verplaatsingen

Fig.2.2.1 Belastinggeval 11.

Weer wordt afgesproken dat de belastingvector en de vervormingsvector

zo gekozen worden dat hun inwendig product elastische arbeid is.

Voor de formulering van deze vectoren is de inwendige druk niet nodig.

Deze kan daarom even buiten beschouwing gelaten worden. De elastische arbeid van de randkrachten is:

- 15 -

Bij afwezigheid van inwendige druk wordt het vertikale evenwicht:

R V + R2V2 = o. (2 .2 .2 ) 1 1

Hiermee kan A worden uitgedrukt in één kracht en eec vervorming: I1

n met g I1 = RIVI

v -v - (U -u )cot a en w it I1 = ( - 1 2 - 1 2

(2 .2 .3)

(2 .2 .4)

De gezochte stijfheidsmatrix geeft het verband tussen de zo gefor-

muleerde grootheden. Met de in 2 . 1 gegeven relaties kan dit verband

worden afgeleid. In het navolgende zullen de druktermen weer worden

meegenomen.

Op grond van de transformatieformules (2 .2 .1) geldt:

' = RIVI = RINsl sin 01 g11 v 'V - - s2 sl se - -

= v -v - (u1-u2> cot a = I1 1 2 sin a W

Uit (2.1.7) volgt dan:

1 1 3 3 1 .I- - bs cot a* ic = s i n 01 cos u I c1 4- ( $ , s s * %I \ Uit (2 a i e I 1 ) volgt :

+ (3 - v)?; 1 b ( s z 3 - s ' ) ) cot 0 1 1 1

Eliminatie van C 1 uit beide relaties geeft het gezochte verband:

2 2 1 1 2 - -3- ( ( f - v ) i a ( s - s ) +(-.- ")Y (s23-s '3 cos ' 2 1 3 1 2 S In (-1

" I

(2 .2.5)

E 'I) SO3 ( 'Sq - + 'se!) - Z € IZ

- 91 -

- 17 -

2.3. D e i nv loedsge ta l l en .

Naast s t i j f h e i d s r e l a t i e (2.2.6) kunnen nog re la t ies worden opgezet

d i e aangeven hoe g II en de inwendige druk m e t u I ( 1 . 2 . 2 ) overeen-

komende verp laa ts ingen u I1 veroorzaken:

x

m e t :

u = c x + U I1 ug %I I I p

Hier in bevat C de inv loedsge ta l len t e r w i j l u de b i jd rage van

de inwendige druk i s . ug I IP

- - De r e r p l a i t c i n g e n u. 1 en u, L volgen u i t (2.1.7) (2 . í . 10 ) en (2.2.1):

- - v 1 u 1 E t s inu 1 1 E t R V + - (as12 + bs13) coca co ta - -

V 1 3 R V + Et + - bS1 ) coca cota - v -

3 - -

E t s i n a i I

+’[ ( I - ;)as22 + ( i - T)bS2 V E t

- - - u = w s i n a + v C O S ~

S

g e l d t voor i: -

co t u U - w = - - v

s i n a S

en

Gebruik makend van (2.1.10) en (2.1.11) g e e f t d i t :

2 a

1 -R - R x = i i E t s s inya 1

(2.3.11

(2.3.2)

(2.3.3)

(2.3.4)

(2.3.5)

(2.3.6)

(2.3.7)

1 2 3 8 2 - -R2 R I V I + E;[% (basl + -bs 3 1 3 ) ~ o t a + (y as2 + - 3 bs2 ) c o t R2 1 R2X2 E t s 2 s i n u

(2.3.8)

- 18 -

M e t de resultaten (2.3.3.), (2.3.7),(2.3.4) en (2.3.8) is (2.3.i):

I I P x + u

= %I

te schrijven a l s :

-V E t sina

-cota E t sina

- v E t sin a

- co ta E t sina

is : I I P

met u

1 - (asI2 -I- bsI3) COS^ COW = I IP E t U

R 1 2 2 - (2asl E t + 3bsl )cot a

V 1 3 E t 3 1 - ( f asI2 + -bs )coca c o t a + - Et

V

1 3 2 3 8 2 + -bs )cot a + (Tas2 + +s2 )cot a

3 1

(2.3.10)

- 19 -

3. Opzet 6 x 6 stijfheidsmatrix voor de conus.

Voor het opzetten van de stijfheidsmatrix zijn de druktermen niet nodig.

De belasting is gesplitst in (fig.3.1.)

- een membraambelasting door aan de vertikale belastingen een ge- schikte horizontale component toe te voegen (geval 11)

- een buigbelasting (geval I) die samen met de membraambelasting de oorspronkelijke belasting geeft.

I

fig. 3.1

3.1 . Definities.

We gebruiken de volgende belastinge- en verplaatsingsvectoren: t : = @,Hl >Ml ,R2H2,M2) 3.1.1.

: = (RV R V ) 3.1.2. fI ?

g I1 1 1 ’ 2 2

(zie (i .2.2))

( z i e (2.3.2.))

3.1.3.

3.1.4.

3.1.5.

3.1.6.

3 . 1 . 7 .

3. I . 8 .

- 20 -

De b i j geval I horende belastingen worden samengevat v X + R v cota,M1 R ~ H ~ + R ~ V ~ cota, M ~ ) (zie (

De bij geval IT horende randbelasting verricht een elastische

fI = 1 1

die als volgt. te schrijven i s : t

AII = 1 gIIwII' met:

11' - - - ; - = (GI - u 1 cota, v2 - u2 cota)

.= (Vi -u 1 cota, v2 - u2 cota)

Daarom definiëren we ook de bij geval I horende vector: 7

w I

in :

.2.2.))

arbeid

3.1.9

3.1.10

3.1.12 I1 w : = w + w

aen geschikte werkwijze voor het cpzetten van een stijfheidsmatrix

t I

.. .-3 .Ie l, n n y c f = G I v c do starre beweging uit te sluiten. Daarom worden de volgende

VI .= (Vi - v2)

vervormingsgrootheden gedefinieerd:

3.1.13 n.

- - VIP:= (Vi - v2) 3.1.14

3.1.15 X I1 v x - = . VIX -i- v t

- (ul-u2)cota 6J x:= v1 - v 2 I

(zie (2.2.4)

3.1.16

3 . 1 . 1 1 7

3 . 1 . 1 8 X x X

w := w I 4- WII t

X X B i j de vervorming w hoort de belastingvector g = (RIVi) (zie(2.2.3)3.1.19 I1 I1

3 . 2 . Relaties:

We beschikken over de volgende relaties: f I X = SIUI (zie(i.Z.IiI)en 1 .2 .12 ) )

(zie(2 e 2 e 6 ) 1 (zie(2.3.1) en (2.3.9))

(zie(2.2.2))

X gIIx= s I1 w I1 X

u = IT %I

RIVI + R2V2 = O

3.2.1.

3.2.2.

3.2.3.

3.2.4.

- 21 -

B i j g e v a l I zou nog d e volgende re la t ie op t e z e t t e n z i j n :

X = c f X I wf I W

E r z a l bewezen worden d a t h e t b i j b e k e n d e c ug

n i e t nodig i s Cwf t e bepalen:

B e t t i t oepassen op b e i d e g e v a l l e n leer t : v x 1

€1 uII = %IWI

Hiermee is ( 3 . 2 . 3 . ) dus ook t e s c h r i j v e n als:

Door nu relaties ( 2 . 3 . 1 ) en ( 3 . 2 - 2 ) x

singen u

t e gebruiken kunnen d e v e r p l a a t - en vervormingen w I worden u i t g e d r u k t i n krachten: I1

X ' x

H i e r u i t v o l g t :

r r 1

Tussen d e b e l a s t i n g s v e c t o r e n b e s t a a t een r e l a t i e , t e s c h r i j v e n a ls :

Deze re la t ie d e f i n i e e r t T f .

Voor de v e r p l a a t s i n g s v e c t o r e n g e l d t :

W I'1 t = TU

3 . 2 . 5

3 . 2 . 6

3 . 2 . 7

3 . 2 . 8

3 . 2 . 1 0

Hiermee wordt T U v a s t g e l e g d .

- 22 -

Ook tussen T U en T f b e s t a a t een verband:

D e door d e t o t a l e randbe las t ing v e r r i c h t e a r b e i d kan i n krach ten geschreven worden als

x doch u i t g e d r u k t i n f I

Door (3 .2 .6) en ( 3 . 2 . 7 ) t e gebruiken i s d i t t e s c h r i j v e n a ls

D i t moet g e l i j k z i j n aan ( 3 . 2 * 8 ) w a a r u i t v o l g t : 1

TUTf = I

Daar Tf r e g u l i e r i s g e l d t dan: TcL----7

(3 .2.1 i >

3.3. Opzet v a n d e 6 x 6 s t i j f h e i d s m a t r i x .

Uitgangspunt vormen de s t i j f h e i d s r e l a t i e s (3.2.1) en (3.2.2):

(3.3.1)

W i j zoeken e c h t e r he t verband t u s s e n t o t a l e k rach ten en t o t a l e v e r p l a a t -

s ingen. I n h e t l i n k e r l i d s t a a n r e e d s (combinaties van) t o t a l e k rach ten .

H e t r e c h t e r l i d wordt met ( 3 . 1 . 7 ) en (3.1.8) omgevormd:

- 23 -

X Hierin zijn u

weer uit te drukken i n krachtsgrootheden U l e ûûk i n h e t linkerlid en w I middels de invloedsgetallen ( 3 . 2 . 3 ) en ( 3 . 2 . 5 )

I1

voorkomen: IFw;: o sII De krachten worden naar het linkerlid gebracht: r. +

i We definiëren:

/

( 3 . 3 . 2 . )

I (Voor C

Dan geeft dit,mits Q

zie (2.3.9) terwijl volgens ( 3 . 2 . 8 ) geldt Cwf = C ) ug ug

-1 bestaat, de volgende relatie:

Hiermee is een 5 x 5 stijfheidsmatrix verkregen, betrokken op de ver- vormingen (o.a. w t ). Dit komt doordat bij de membraamoplo.ssing de starre beweging in axiale richting buiten beschouwing werd gelaten

door het axiale evenwicht te gebruiken.

Daardoor werd één randkracht (R 2 2 V ) geëlimineerd, terwijl van ver- plaatsingen (w t ) werd overgegaan op vervormingen (w t x).

X

De mogelijkheid van starre beweging wordt nu weex geïntroduceerd door:

- de geëlimineerde randkracht (R 2 2 V ) weer in te voeren - van vervormingen weer over te gaan op verplaatsingen.

X Dit betekent dat we nu het verband zoeken tussen (fI y gII) en (ut,wt). Daar geldt:

( 3 . 3 . 3 . )

w t = (19-9)Wt

- 24 -

en op grond van R V = -R V 2 2 1 1'

h 4 gelden de volgende relaties:

( 3 3 . 4 )

( 3 . 3 . 5 )

Uit ( 3 . 3 . 3 . 1 , ( 3 . 3 . 4 ) en ( 3 . 3 . 5 ) volgt:

x In fI zitten nu nog combinaties van krachten en in wt combinaties van verplaatsingen.

Relaties ( 3 . 2 . 9 ) en (3.2.10) geven nu de overgangen naar gewenste

kracht- en gewenste verplaatsingsvectoren:

(L'E E)

(9.E - €1

[A- o O0 O0

O0 L

UBA puoi% do

- sz -

- 26 -

4 . Het in rekening brengen van de inwendige druk.

Wij beperken ons tot lineair verlopende inwendige drukken:

en

p = a + b s met

PlS2 - p 2 9 s2 - s a =

1

B i j aanwezigheid van inwendige druk zijn de benodigde relaties:

X fI = SIUI

X

IIP u = c g + u I1 ug I1

I

Cwf = c ug

(zíe(i -2. i i ) en (i .2.12)

(zi42.2.6))

(zie (2.3.1))

(zie(3.2.5))

Voor d e ten opzichte van het voorgaande extra druktemen X en u geldt (zie(2.2.7) en (2.3.10)): %Ip I IP

( 4 . 1 )

(4.2)

( 4 . 3 )

(4 * O )

(4.7)

- 1 (asI2 i- bsl3)cosa c o t a Et

2 2 - (2acl + 3bs 1 )cot a Et

b- 1-

h

dIIg x

S dIIn I

- LZ -

(9 1 '9)

c bcr I- I

5 I-

- 1'1 py3

s = ;i>

- 8' -

- 29 -

i- 1 g11p I, . (4.17) waarin f kI en gkII de zogenaamde kinematisch. consistente knooppunts- krachten bevatten die aan f I en gII als uitwendige belasting moeten worden toegevoegd om de inwendige druk in rekening te brengen. De voor het berekenen van deze nodigde relaties z i j n :

: zie ( 3 . 3 . 7 ) DTU

O

O 0 1 0 u O U U i û

O 0 0 0 1

O 0 0 0 O

Q : zie ( 3 . 3 . 2 )

S I : zie ( 1 . 2 . 1 2 )

u ': zie ( 4 . io) IIP

: zie ( 4 . 9 ) x g11p

knooppuntskrachten middels (4.15) be-

\

O O -Cot@

o O

1 ,

: zie ( 4 . 1 3 ) %Ip

- 30 -

5 . De spanningsberekening:

Nadat bij een gegeven probleem de randverplaatsingen zijn opgelost kan het gewenst zijn de spanningen in bepaalde punten van de conus

te weten. Daartoe worden eerst d e integratieconstanten van h e t probleem uitgedrukt in de bekende randverplaatsingen, waarna - . . de

verplaatsingen, en dus ook de spanningen, als functie van de

plaats in de conus bekend zijn.

5.1. Het verband tussen de integratieconstanten en de randverplaatsingen: Dit verband zal worden afgeleid op een wijze die volkomen analoog

is aan de opzet van de 6x6 stijfheidsmatrix en de kinematisch sistente knooppuntskrachten:

con-

We beschikken over de volgende relaties:

b = C uI (zie(i -2.9)) -1

(zie (2 e 2 6)) X = s w" - %I IT I1 %Ip

f XI

X

= TBb (zie(i.2.7))

c ug

I1 u = u + u t I

W X " W X + W x t I I1

(zie(2.3.9))

(zie (3.2.5) 1

(zie(3.2.8))

(zie(3.1.7))

(zie(3.1.18))

(5.1.1)

(5.1.2)

(5.1.3)

(5.1.4)

(5.1.5)

(5.1.6)

(5.1.7)

(5.1.8)

Vector b (1.2.5) bevat de integratieconstanten van de (homogene)

buigoplossing. Wij beschouwen g,, X als integratieconstante van de

X L I

particuliere membraamoplossing daar bij bekende g I1 de snedekrachten be-

kend zijn op grond van het statisch bepaald zijn.

De uitdrukkinge tot (zie(5.1.1)

; I sII voorde "integrat ieconstanten" zijn samen te vatten en (5.1 *2.)]:

(8' I 'SI

.

:1; o3 [IS

I-

-

- I- 3 01 IIS

+I

r 30 *IS o

o3 - I-.

I-

i-

r

(OI e I '5) x- I-

(6' 1-51

n ;La

O

- ZE -

- 33 -

5.2. Het verband tussen de spanningen en de integratieconstanten.

Voor het buigprobleem (geval I) zijn de integratieconstanten bekend e

De buigspanningen in s-richting (o. .. j en omtrekrieiiting z x j n : sb

(5.2.1)

Waarbij (zie fig.l.l.2) het 7 teken V Q O ~ de binnenwand geldt en

het - teken voor de buitenwand. De relaties tussen de buigende momenten en integratieconstanten zijndoor(l.l.45)en (imIe46) ge- geven. W;j kunnen schr ij ven :

met: -2

s 1 1 = 2y

s 12 = -2y

s = 2y

' 1 4 = - 2 ~ - ~ (y ker'y - ~ ( I - v ) (ker y - 2y-I kei' y))

s2 1 = 2y-2 (vy bei'y + 2( i-v) (bei y + 2y ber'y))

'22 = -2y-* (vy ber'y + 2(1-u)(ber y - 2y-I bei'y))

'23 = 2y-2 (vy kei'y + ~ ( I - v ) (kei y + 2y-' ker'y))

s 24 = - 2 ~ - ~ (vy ker'y f 2 (I-v) (ker y - 2y-I kei' y))

(y bei'y - 2(1-v)(bei y i. 2y-I ber'y))

(y ber'y - 2(l-v)(ber y - Zy-'bei'y))

y kei'y - 2( i -v j (kei y + 2y-I ker'y)

-2

1 13 -2 ( - 1

(5.2.2. )

(5.2.3)

Bij geval I horen bovendien nog normaalkrachten N S en N e (zie (1.1.43) en (1.1.44). De daarbij horende spanningen zijn:

L

b (5.2.4. )

met :

fl, = ber y -2y - 1 bei'y -1

fI2 = bei y +2y ber'y

- 1 = fy ber'y - ber y +2y bei'y f21

f22 = iy bei'y - bei y -2y-l ber'y

- 1 f24 = ;y kei'y - kei y - 2y ker'y.

"DIJ de meiiìbraa~cplocsing (geva l 11) horen uitsluitend spanningen die constant zijn over de wanddikte.

Desnedekracht N S volgt nu uit (2. i .6) :

1 1 1 3 = -C -k ;(f as2 + - 3 bs )cota Ns s 1

De constante C1 is door (2.1.7) gegeven:

1 3 e = Nsl s - ($asI2 + - bsl >cotol

Bedenken we dat Nsl = - - n

1 1 3 V 1 - %I sina R sina 1

dan volgt voor N S :

1 1 1 S x

- - %I Ns R1sina - S + - S (Ja(s2 - s I 2, + 3b(s3 - s 1 ')) cots

Voor Ne geldt (2. I . 5) 2 Ne = (as + bs )cota

De bijbehorende spanningen zijn:

[:i::]- 't [N,] De totale spanningen die constant zijn over de wanddikte worden

gegeven door:

(5.2.5.)

(5 .2.6. )

(5.2.7)

(5.2.8)

(5.2.9)

(5.2. 10)

(5.2.1 I )

(5.2.12)

(5.2.13)

- 35 -

6 .

1'

2.

Literatuur.

Voorlopig rapport: "A general accurate solution of axially symmetric loaded shells of revolution". by W.T. Koiter and

G.D.C. Kuiken.

T.H. Delft, Afdeling der Werktuigbouwkunde, groep Technische

Mechanica.

W. FlÜgge, "Stresses in Shells", Springer - Verlag, Berlin /GÖttingen/Heidelberg 1960.

- 3 6 -

Appendix A: werkwijze voor h e t i n v e r t e r e n van matrix C.

Zowel voor h e t opzet ten van de 4 x 4 s t i j f h e i d s m a t r i x ( 1 . 2 - 1 5 ) a l s d e 6 x 6 s t i j f h e i d s m a t r i x i s d e ge ïnve r t ee rde matrix C nodig,

Imersie va2 de zo gefomuleerde matrix kan t o t numerieke moei l i jk-

heden l e i d e n :

Voor hoge waarden van h e t argument mogen de Thomson-functies worden

benaderd door de eerste term van d e asymptotische reeks-ontwikkeling

zien:

t e nemen, z o a l s aangegeven door Flugge op p.291.

Door d e ma t r ix C i n deze termen t e s c h r i j v e n i s t e z i e n waarom h e t

i n v e r t e r e n m i s kan gaan. D e r e l a t i e g a a t er namelijk a l s vo lg t u i t - . *

Als d e k r u i s j e s allemaal termen van deze l fde orde v o o r s t e l l e n

i s voor g r o t e y

de l aa t s t e 2 kolommen verdwijnen nagenoeg, zodat er vier verge-

l i j k i n g e n i n t w e e onbekenden ove rb l i j ven !

De r e l a t i e gaa t er veel b e t e r u i t z i e n door d e volgende t r a n s f o r -

en g r o t e y 1 2 d i t s te l se l s l e c h t gecondi t ioneerd;

- 3 7 -

Het blijkt dat de zo verkregen matrix in een nog iets fraaiere

vorm gebracht kan worden.

Uitschrijven van de matrix l a a t zien:

-I gemeenschappelijk in eerste r i j : By1; yI ' en cos N,

I 2- -1

9 Y, ' en R tweede rij: t -1

derde rij : ;y2; y2 en cos a

v 7 -1 9 Y2 ' en R2 2 3(1 Y t vierde rij:

De betreffende rijen, en dus ook de verplaatsingsvector, worden door deze factoren gedeeld,

gemeenschappelijk in derde en vierde kolom : (;)'

cot a gemeenschappelijk in alle kolommen - Et

Door deze factoren OP te nemen in de vector met integratiecon- stanten, en niet in de matrix zelf, wordt de grof benaderde

matrix C een stuk eenvoudiger: zie pag, 39.

Ook bij handhaving van de Thomconfuncties is voor grote y1 en y2, d.w.z. als vervanging van deze functies door de eerste term van

de asymptotische reeksontwikkeling is toegestaan, te verwachten

dat bovenstaande bewerkingen een beter te inverteren matrix zul- len opleveren:

De elementen van de nieuwe matrix C x gaan er dan a.v. uitzien: - -1 c = exp(- + 2(l+v)yI. ber y1 - 4(l+v)yI 'bei'y] 1 1

- I -2 c = exp( -1 (7) ' -' Y1 (-kerryl + 2(l+v)yl ker yI-4(1+v)yI kei'y 5 13

-

- 8E -

. I

.. .

c

I ,--. F hl v

-au 1 - e N v

I 2i-TP

I

a X

W

N m e +

C .d ?

m O

.*..

. 'I

- 40 -

A2

B 1

B2 -a

x H e t verband tussen b en b l u i d t :

Et cota

--

O

0

O

-

O

1 y2 ( 2 T ) S $xp(- -1 6

Kortweg: b = AbA

H e t verband tussen u x en u l u i d t :

û

1 t I O Y1

'1-1

O O

L

n U

O

O

o

- I 2

2y2 - c o s a

o

O

X Kortweg: u = D u

O O L

R2

1 I

2 y2

u - u. 1 iû

20 u2 - u

Op deze w i j z e wordt d e g e b r e r t e e r d e van C

C-' = A(CX)-ID

-1 H e t o p z e t t e n van C op deze w i j z e z a l voor g r o t e y 1 en y2 waarden een v e r b e t e r i n g betekenen. Omdat d e t r a n s f o r m a t i e van d e t e inver-

t e r e n matrix C gebaseerd i s op benaderingen d i e s l e c h t s b i j g r o t e

waarden t o e l a a t b a a r z i j n , is n i e t bekend o f d i t b i j lagere waarden

een v e r b e t e r i n g z a l betekenen, en ind ien neen, boven w e l k e y1 en y2-

waarden i s h e t dan een v e r b e t e r i n g ? Voor lop ig zou v o l s t a a n kunnen x

worden m e t h e t o p z e t t e n v a n zowel de oude matrix C a l s d e nieuwe C , en v o o r b e i d e b i j v o o r b e e l d h e t c o n d i t i e g e t a l t e bepalen. D e matrix

met d e b e s t e c o n d i t i e wordt daarna gebru ik t om OP d e d a a r b i j passende

w i j z e d e s t i j f h e i d s m a t r i x op t e bouwen.