•De la Hoz Hernández, Wendy•González Mendoza, Juan•Madiedo Villamil, Melissa•Movilla Barreneche, Alanis•Muñoz Quintero, Diana

Discontinuidades

Una función es discontinua, cuando no se verifica alguna de las condiciones descritas para ser continua. De acuerdo con la condición que no se verifica, se presentan varios tipos de discontinuidades.

Funciones discontinuas

( ) existaf a ( ) existax aLim f x

( ) ( )x aLim f x f a

Discontinuidades

Evitables

Esenciales

1ª Especie

Salto finito

Salto infinito

Asintótica2ª Especie

Tipos de discontinuidades

Discontinuidades Evitables

𝑓(𝑎)𝑛𝑜𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑦lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

𝑓(𝑎)𝑦lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛,𝑝𝑒𝑟𝑜𝑛𝑜𝑠𝑜𝑛𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠Una función f presenta

discontinuidad evitable en x=a si ocurre alguna de las siguientes condiciones:

Evitar la discontinuidadEn una función que presenta discontinuidad evitable es posible redefinir la función con el objetivo de eliminar la discontinuidad. De tal manera que

Ejemplo: Determinar si la discontinuidad de las siguientes funciones es evitable. En caso afirmativo, redefinir la función para que sea continua.

a.

La función es discontinua en x=3 porque no está definida para este valor. Ahora,

Redefiniendo la función.

b.

G(x)=

𝑥2−253𝑥−15

, si x ≠o

3, si x=-1La función es discontinua en x= -1, pues existe G(1) = 3 y además,

; y

lim𝑥→−1+¿𝑔 (𝑥 )= lim

𝑥→ 1+¿ 𝑥 2− 1𝑥+1

= lim𝑥 →1+ ¿𝑥− 1=− 2¿

¿

¿ ¿¿¿

Redefiniendo la función

G(x)

si x

-2 si x=-1

Una función f es discontinua no evitable o esencial si no existe. Se presenta cuando:Existen los límites laterales pero no coinciden.Alguno de los límites laterales o ambos son

infinitos. No existe alguno de los límites laterales o ambos.

Discontinuidad esencial

Esenciales

1ª Especie

2ª Especie

Existen tres casos en la primera especie:1. Que existan los límites laterales pero que no

sean iguales. Se le llama Salto finito.2. Que existan los límites laterales, uno finito y

otro infinito. También llamada Salto infinito.

3. Que existan los límites laterales y ambos sean infinitos. Es una discontinuidad Asintótica.

Esenciales de 1ª Especie

Salto finito Salto infinito

Asintótica

¿En qué se diferencian?

Esenciales de 2ª Especie

Se produce cuando no existe uno de los límites laterales o ambos.

El límite cuando tiende a cero por la izquierda no existe.

Ejemplos:1. Traza la gráfica de la función,

−𝑥+1𝑠𝑖 𝑥<−1

√𝑥+1 𝑠𝑖𝑥 ≥−1

Para mostrar que f(X) posee una discontinuidad no evitable

lim𝑥→−1−

𝑓 (𝑥 )= lim𝑥→− 1+¿ (−𝑥+1)=2

¿ ¿

lim𝑥→ 1+¿ 𝑓 (𝑥 )= lim

𝑥→ 1+¿√𝑥+1=0¿¿ ¿

¿

Los límites laterales existen, pero no coinciden. Así la función f posee una discontinuidad esencial

2. utilizar la gráfica de la función g(x) para determinar el valor de x donde dicha función es discontinua. Indica si la función g(x) posee discontinuidad esencial.

La gráfica de la función g(x) muestra claramente que los límites laterales no existen, pues

Mientras que

Luego, la función f(x) es discontinua en x=0 y posee una discontinuidad esencial

Dada una función, es posible hallar los intervalos de continuidad, determinando el valor o los valores de x donde dicha función es discontinua.

a. b.

Solución:a. Al factorizar el denominador de

la función Se observa que f(x) no está definida en los valores de x donde dicho denominador es cero. Es decir

Luego, la función es continua en

La función no está definicda para valores de x menores que -3. es decir, la función es continua en

2. Determina los intervalos de continuidad de cada función.

Solución:a. Los intervalos de continuidad sonb. Los intervalos de continuidad son

GRACIAS POR LA ATENCIÓN PRESTADA