Upload
others
View
27
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Cuprins:
• Drumuri laticeale “clasice” si aplicatiile lor
• Drumuri de tip “brick wall”
• Siruri remarcabile obtinute prin numararea drumurilor de tip “brick wall”
• Aplicatii la fiabilitatea retelelor de tip “brick wall”
• Probleme deschise - Proprietati ale polinoamelor de fiabilitate
• Referinte bibliografice
Drumuri laticeale “clasice” si aplicatiile lor
• In ℤ2 un drum laticeal (de lungime k) cu pasi in S este o secventa de puncte
𝑣0, 𝑣1, … , 𝑣𝑘 ∈ ℤ2 astfel incat fiecare diferenta consecutiva 𝑣𝑖+1 − 𝑣𝑖 ∈ 𝑆.
Drum laticeal de lungime 5 cu pasi in 𝑆 = 1,1 , 2,0 , 0, −1
• Drum laticeal Nord-Est (NE) este un drum laticeal cu pasi in 𝑆 = 1,0 , 0,1
• Daca 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, numarul drumurilor laticeale NE ce unesc 𝑂(0,0) si 𝐵(𝑚, 𝑛) este 𝐶𝑚+𝑛
𝑚 .
• Ecuatia
𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛 = 𝑚
are exact 𝐶𝑚+𝑛𝑚 solutii natural.
N
E
ENENNEENENEE
• Drumuri laticeale Dyck sunt drumuri cu pasi in 𝑆 = 1,0 , 0,1 , ce unesc
𝑂(0,0) si 𝑃(𝑛, 𝑛) si care nu trec sub dreapta 𝑂𝑃.
• Numarul drumurilor laticeale Dyck ce unesc 𝑂(0,0) si 𝑃(𝑛, 𝑛) este1
𝑛+1𝐶2𝑛𝑛 = 𝐶𝑛 - numarul lui Catalan
1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862
Eugène Charles Catalan(1814 – 1894)
• Numarul drumurilor laticeale Dyck (numarul lui Catalan 𝐶𝑛) apare ca
solutie a unor probleme diverse de numarare:
1. Numarul de moduri diferite in care un poligon convex cu 𝑛 + 2
laturi se descompune in triunghiuri folosind diagonale care nu se
intersecteaza
𝑛 = 4
2. Numarul sirurilor
1 ≤ 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑛
de 𝑛 numere intregi cu 𝑎𝑖 ≤ 𝑖.
3. Numarul arborilor binari totali avand 𝑛 varfuri cu descendenti
4. Numarul de moduri in care se poate scrie asociativiatea unei
operatii binare aplicata de 𝑛 ori
((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))
Drumuri de tip “brick wall”
O
9
12
• Drum laticeal brick wall este un drum laticeal cu pasi in 𝑆 = 1,0 , 0,1 𝑖 , 0, −1 𝑝
sau in 𝑆 = 1,0 , 0,1 𝑝, 0, −1 𝑖
• Caz I: 𝑤 numar par
• trecerea de la o coloana impara la o coloana para se face cu
transformarea liniara
𝑇𝐿: ℝ𝑤+1 → ℝ𝑤+1, 𝑇𝐿 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑤,𝑥𝑤+1 =
(𝑥1, 𝑥2 + 𝑥3, 𝑥2 + 𝑥3, … , 𝑥𝑤 + 𝑥𝑤+1, 𝑥𝑤 + 𝑥𝑤+1)
𝑀𝐿𝐶2𝑘−1 = 𝐶2𝑘
• trecerea de la o coloana para la o coloana impara se face cu
transformarea liniara
𝑇𝑈: ℝ𝑤+1 → ℝ𝑤+1, 𝑇𝑈 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑤,𝑥𝑤+1 =
(𝑥1 + 𝑥2, 𝑥1 + 𝑥2, … , 𝑥𝑤−1 + 𝑥𝑤 , 𝑥𝑤−1 + 𝑥𝑤 , 𝑥𝑤+1)
𝑀𝑈𝐶2𝑘 = 𝐶2𝑘+1
• Teorema: Componentele coloanei 𝐶𝑙+1 sunt date de
𝐶𝑙+1 = 𝑀𝑈𝑀𝐿
𝜆𝐶1, daca 𝑙 impar
𝑀𝐿 𝑀𝑈𝑀𝐿𝜆𝐶1, daca 𝑙 impar
unde 𝜆 =𝑙−1
2.
Siruri remarcabile obtinute prin numararea drumurilorde tip “brick wall”
2
8
O
3
3
3
5
5
8
5
8
13
13
3 5 8 13 21 34
21
13
21 21
34
34
55 89
W=2: Sirul lui Fibonacci
• Matricele 𝑀𝐿 si 𝑀𝑈 devin:
𝑀𝐿 =1 0 00 1 10 1 1
, 𝑀𝑈 =1 1 01 1 00 0 1
⇒ 𝑀𝑈𝑀𝐿 =1 1 01 1 11 1 1
=𝐹1 𝐹1 𝐹0𝐹2 𝐹2 𝐹1𝐹2 𝐹2 𝐹1
Daca notam 𝐹 =𝐹1 𝐹1 𝐹0𝐹2 𝐹2 𝐹1𝐹2 𝐹2 𝐹1
, atunci 𝐹𝑛 =
𝐹2𝑛−1 𝐹2𝑛−1 𝐹2𝑛−2𝐹2𝑛 𝐹2𝑛 𝐹2𝑛−1𝐹2𝑛 𝐹2𝑛 𝐹2𝑛−1
Observatie: In 1955 Brenner a introdus o matrice legata de sirul lui
Fibonacci: 𝑄 =𝐹2 𝐹1𝐹1 𝐹0
Matricea 𝐹 =𝐹1 𝐹1 𝐹0𝐹2 𝐹2 𝐹1𝐹2 𝐹2 𝐹1
utilizata anterior are valorile proprii 0, 𝜑2 si
𝜑−2.
Teorema: Numarul drumurilor laticeale brick wall ce unesc 𝑂(0,0) si 𝐴(𝑙, 2)este 𝐹
2𝑙
2+3
.
• 𝑙 length of a network 𝑁, i.e., the length of a minimal path between 𝑆and 𝑇;
• 𝑤 width of a network 𝑁, i.e., the size of a minimal cut disconnecting 𝑆and 𝑇;
• 𝑝 probability that the device (e.g., relay, switch, transistor, etc.) is closed;
• 𝑞 probability that the device (e.g., relay, switch, transistor, etc.) is open, 𝑞 = 1 − 𝑝;
• ℎ(𝑝) reliability polynomial as a function of 𝑝, i.e., the probability that a network 𝑁 is closed;
𝑆 𝑇
In [3] Maxwell mentions several forms for ℎ 𝑝 , the two most commonones being
ℎ 𝑝 = 𝑘=0𝑛 𝐴𝑘𝑝
𝑘 (2)
ℎ 𝑝 = 𝑓 𝑝, 𝑞 = 𝑘=𝑙𝑤𝑙 𝐵𝑘𝑝
𝑘𝑞𝑤𝑙−𝑘 (3)
where, as we recall, 𝑞 = 1 − 𝑝.
𝐵𝑘 is the number of ways one can select a subset of 𝑘 contacts in thenetwork 𝑁 such that if these 𝑘 contacts are closed and the remaining 𝑛 − 𝑘contacts are open, then the network 𝑁 will be closed.
• Conjectura 1: Daca 𝑙 = 𝑤 = 2𝑘, atunci exista doua retele de tip “brick wall” de dimensiune (2𝑘, 2𝑘), iar polinoamele lor de fiabilitate satisfac relatia
𝐻2𝑘,2𝑘 1 − 𝑝 = 1 − 𝐻2𝑘,2𝑘+ (𝑝),
pentru orice 𝑝 ∈ [0,1].
𝐻2,2 𝑝 = 1 − 1 − 𝑝 2 2
= 𝑝4 − 4𝑝3+4𝑝2
Probleme deschise - Proprietati ale polinoamelor de fiabilitate
• Corolar: Graficele polinoamelor de fiabilitate𝐻2𝑘,2𝑘 si 𝐻2𝑘,2𝑘+ sunt
simetrice unul fata de celalalt in raport cu punctul1
2,1
2
(sau, echivalent, graficul lui 𝐻2𝑘,2𝑘+ se poate obtine din graficul lui 𝐻2𝑘,2𝑘
printr-o rotatie de unghi 𝜋 in jurul punctului1
2,1
2).
• Conjectura 2: Daca 𝑙 = 𝑤 = 2𝑘 + 1 , atunci graficul polinomului de
fiabilitate 𝐻2𝑘+1,2𝑘+1 𝑝 este simetric fata de punctul1
2,1
2.
• Corolar: Pentru orice 𝑘 ∈ Ν, unicul punct fix din intervalul 0,1 al
polinomului de fiabilitate 𝐻2𝑘+1,2𝑘+1 𝑝 este 𝑝 =1
2.
𝐻2,3 𝑝 = 1 − 1 − 𝑝2 2 1 − 1 − 𝑝 2 𝐻3,2 𝑝 =1 − 1 − 1 − 1 − 𝑝2 2 1 − 𝑝2
• Conjectura 3: Daca 𝑙 ≠ 𝑤, atunci intre polinomul de fiabilitate 𝐻𝑙,𝑤 al
retelei (𝑙, 𝑤) si polinomul de fiabilitate 𝐻𝑙,𝑤 al retelei (𝑤, 𝑙) exista relatia
𝐻𝑙,𝑤 1 − 𝑝 = 1 − 𝐻𝑤,𝑙(𝑝),
pentru orice 𝑝 ∈ [0,1].
• Corolar: Pentru orice 𝑙 ≠ 𝑤, graficul polinoamelor 𝐻𝑙,𝑤 si 𝐻𝑤,𝑙 sunt
simetrice unul fata de celalalt in raport cu punctul1
2,1
2
(sau, echivalent, graficul lui𝐻𝑙,𝑤 se poate obtine din graficul lui𝐻𝑤,𝑙 printr-o
rotatie de unghi 𝜋 in jurul punctului1
2,1
2).
References
[1] E. F. Moore, and C. E. Shannon, “Reliable circuits using less reliable relays – Part I,” J. Frankl. Inst., vol. 262, no. 3, pp. 191–208, Sept. 1956. http://dx.doi.org/10.1016/0016-0032(56)90559-2
[2] L. M. Maxwell, “Synthesis of contact networks from prescribed reliability functions,” J. Franklin Inst., vol. 281, no. 3, pp. 214–234, Mar. 1966. http://dx.doi.org/10.1016/0016-0032(66)90019-6
[3] S. R. Cowell, V. Beiu, L. Dăuş, and P. Poulin, “On the Exact Reliability Enhancements of Small Hammock Networks”, submitted to IEEE Trans. on Reliability
[4] L. Dăuş, V. Beiu, S. R. Cowell, and P. Poulin, “Brick wall lattice paths”, in progress
[5] K. Humphreys, “A history and a survey of lattice path enumeration”, Journal of Statistical Planning and Inference 140 (2010), 2237-2254
[6] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences: https://oeis.org/