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DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL A
LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS
1. Introducción. Ecuaciones de Maxwell.
2. Corrección de Maxwell. Corrientes de desplazamiento.
3. Ondas electromagnéticas.
4. El espectro electromagnético. Ondas wifi.
En 1865, las leyes del Electromagnetismo se podían resumir en las 4 ecuaciones de
Maxwell (originalmente eran alrededor de 20):
0
i
SurfaceClosed
QSdE
ε∑
∫ =⋅rr
0SdBSurfaceClosed
=⋅∫rr
∑∫ =⋅ i0 IldB µrr
� Ley de Faraday � Ley de Gauss
� Ley de Ampere � Inexistencia de monopolos magnéticos
Pero había ciertas situaciones que estas leyes eran incapaces de explicar
Introducción
dt
dSdB
dt
dldE m
SurfaceClosed
φ−=⋅−=⋅ ∫∫
rrrr
¿Porqué fallan las ecuaciones de Maxwell? Ejemplo
Supongamos un condensador que se está cargando (proceso transitorio). Durante
este período de tiempo, la carga en las placas, el campo eléctrico entre ellas y la
intensidad en ese circuito están relacionadas:
El flujo de E que atraviesa una S del condensador es:
Y su variación en el tiempo:
dt
dqi =
00 S
qE
εε
σ==
00
e
qS
S
qES
εεφ ===
00
e i
dt
dq1
dt
d
εε
φ==
¿Porqué fallan las ecuaciones de Maxwell? Ejemplo
Tomemos una línea cerrada (curva C) que
envuelve al hilo que carga al condensador, y
apliquemos la ley de Ampère a dos distintas
superficies limitadas por la curva C:
• Superficie S1
• Superficie S2
IIldB 0
S
i0
C 1
µµ ==⋅ ∑∫rr
0IldB
2S
i0
C
==⋅ ∑∫ µrr
??? Diferentes resultados
¡¡ Ley de Ampère falla ¡¡
Para explicar esta situación, J.C. Maxwell propuso, en 1865, una modificación de la
ley de Ampère, que en adelante se conocería como ley de Ampère-Maxwell
Ley de Ampère-Maxwell
Maxwell, de forma totalmente imaginativa, añadió un nuevo término a la ecuación
de Ampère, que incluía la variación en el tiempo del flujo del campo eléctrico a
través de la superficie S limitada por la línea C:
• Ley de Ampère:
• Ley de Ampère-Maxwell:
El término añadido se puede escribir como
Y se comprueba que tiene dimensiones de una intensidad. Por ello, Maxwell llamó
a este término “Corrientes de desplazamiento” Id frente a las corrientes de
conducción Ic
∑∫ =⋅S
i0
C
IldB µrr
∫∑∫ ⋅+=⋅S
00i0
C
SdEdt
dIldB
rvrrεµµ
dt
dSdE
dt
d e0
S
0
φεε =⋅∫
rv
Ley de Ampère-Maxwell
Con este nuevo término, la ley de Ampère queda como la ley de Ampère-Maxwell:
Si ahora retomamos el caso anterior donde la ley de Ampère fallaba, vemos que la
ley de Ampère-Maxwell conduce a resultados idénticos:
Superficie S1
Superficie S2
∑∑∫ +=+=⋅ )II(dt
dIldB dc0
e00c0
C
µφ
εµµrr
I)II(ldB 0
S
dc0
C 1
µµ =+=⋅ ∑∫rr
II
dt
d)II(ldB 0
0
00e
00
S
dc0
C 2
µε
εµφ
εµµ ===+=⋅ ∑∫rr
0
i
SurfaceClosed
QSdE
ε∑
∫ =⋅rr
0SdBSurfaceClosed
=⋅∫rr
� Ley de Faraday � Ley de Gauss
� Ley de Ampere-Maxwell� Inexistencia de monopolos magnéticos
Ecuaciones de Maxwell para campos no estacionarios
dt
dSdB
dt
dldE m
SurfaceClosed
φ−=⋅−=⋅ ∫∫
rrrr
dt
dildB e
00c0
φεµµ +=⋅ ∑∫
rr
La nueva ley de Ampère-Maxwell, junto con la ley de Faraday, sugieren una relación entre
los campos magnético y eléctrico, debiendo existir alguna relación entre ambos.
(1) (2)
(3) (4)
Ondas electromagnéticas
Para verificar la relación entre ambos campos, supongamos un
campo eléctrico en el vacío con una única componente (EY) en
el sistema de referencia de la figura. Tomamos un rectángulo
de lados ∆x y ∆y y calculamos la circulación de E a lo largo de
este rectángulo ADCB:
Según la ley de Faraday:dt
dSdB
dt
dldE m
SurfaceClosed
φ−=⋅−=⋅ ∫∫
rrrr
por lo que debe existir un campo magnético con una componente en la dirección Z tal que:
Y:
yxt
B
dt
dyxB zm
zm ∆∆∂
∂=⇒∆∆=
φφ
t
B
x
Eyx
t
Byx
x
Ezyzy
∂
∂−=
∂
∂⇒∆∆
∂
∂−=∆∆
∂
∂(5)
yxx
Eyx
x
Ey))x(E)x(E(y)x(Ey)x(EldE
yy
1y2y1y2yADCB
∆∆∂
∂=∆∆
∆
∆=∆−=∆−∆=⋅∫
rr
Ondas electromagnéticas
Pero también podíamos haber supuesto la existencia de un
campo magnético en el vacío en la dirección Z, y calcular su
circulación a lo largo de un rectángulo de lados ∆x y ∆z:
Según la ley de Ampère-Maxwell:
por lo que debe existir un campo eléctrico con una componente en la dirección Y tal que:
Es decir:
zxx
Bzx
x
Bz))x(B)x(B(zBzBldB zz
2z1z2z1zABCD
∆∆∂
∂−=∆∆
∆
∆−=∆−=∆−∆=⋅∫
rr
dt
dildB e
00c0
φεµµ +=⋅ ∑∫
rr
zxt
E
dt
dzxE
yeye ∆∆
∂
∂=⇒∆∆=
φφ
t
E
x
Bzx
t
Ezx
x
B y
00zy
00z
∂
∂−=
∂
∂⇒∆∆
∂
∂=∆∆
∂
∂− εµεµ (6)
Ondas electromagnéticas
Derivando las ecuaciones (5) y (6) respecto de x nos queda:
Y sustituyendo en ambas ecuaciones los valores dados por (5) y (6):
x
B
tx
E
t
B
xx
E
x
z
2
y
2
zy
∂
∂
∂
∂−=
∂
∂⇒
∂
∂
∂
∂−=
∂
∂
∂
∂
x
E
tx
B
t
E
xx
B
x
y
002
z
2y
00z
∂
∂
∂
∂−=
∂
∂⇒
∂
∂
∂
∂−=
∂
∂
∂
∂εµεµ
2
y
2
00
y
002
y
2
t
E)
t
E(
tx
E
∂
∂=
∂
∂−
∂
∂−=
∂
∂εµεµ
2
z
2
00z
002
z
2
t
B)
t
B(
tx
B
∂
∂=
∂
∂−
∂
∂−=
∂
∂εµεµ(7) (8)
Estas dos ecuaciones (7) y (8) nos dicen que variaciones de campos eléctricos y magnéticos
en el espacio están relacionadas con variaciones en el tiempo. Ecuaciones para Ey y Bz que
verifican estas relaciones son de la forma (ecuación de onda):
con 0z000z EB εµ=
)t1
x(cosEE00
000yyεµ
εµω −= )t1
x(cosBB00
000zzεµ
εµω −=
)vtx(kcosEE 0 −=
Ondas electromagnéticas
Ambas ondas son perpendiculares entre sí y de la misma frecuencia, estando en fase:
Onda electromagnética. La velocidad de propagación es:
Cuyo cálculo a partir de los valores de ε0 y µ0 es:
00
1v
εµ=
s/m1031085,8104
11v
8
12700
⋅=⋅⋅⋅
==−−πεµ
¡ La velocidad de la luz !
Luego: La luz es una onda electromagnética
Ondas electromagnéticas
El parámetro fundamental para comprender el comportamiento de las ondas
electromagnéticas es la frecuencia. Ondas de frecuencia baja (gran longitud de onda)
interaccionan poco con la materia, por lo que se atenúan poco al atravesar los
objetos convencionales, particularmente en el aire. Las emisoras de radio de onda
larga alcanzan a prácticamente cualquier lugar.
Algo que ni el mismo Maxwell pudo adelantar, pero que sí hizo Heinrich Hertz unos años
más tarde, es que dichas ondas podían viajar en el espacio, ya que la variación de una de
ellas induce la otra, de manera que se retroalimentan. Y al constar de campos eléctricos y
magnéticos variables, pueden inducir corrientes en otros conductores (antenas).
Espectro electromagnético
Ondas wifi y Bluetooth (banda de 2,4 GHz);
interfieren entre sí. Wifi 5 (5 GHz).
Tienen alcance pero son absorbidas por los
obstáculos (paredes, …….).
En campo abierto pueden alcanzar ≈ 50 Km
Routers Wifi admiten 14 canales, desde 2412 MHz (canal 1) aumentando 5 MHz por canal, por lo que
pueden configurarse para evitar interferencias con redes próximas.
Radiaciones ionizantes; pueden ionizar la
materia, con los riesgos que ello supone.
Interaccionan fuertemente con la materia,
por lo que nos podemos “proteger” de
ellas.
