Embed Size (px)
Citation preview
De les matemàtiques dels jocs
al joc de les matemàtiques
Jordi Deulofeu
Departament de Didàctica de la Matemàtica
i de les Ciències Experimentals
Universitat Autònoma de Barcelona
Barcelona, febrer de 2014
¿Dónde acaba el juego y
dónde empieza la
matemática seria? (…)
Para muchos, la matemática,
mortalmente aburrida, no
tiene nada que ver con el
juego.
En cambio, para la mayoría
de los matemáticos, nunca
deja de ser un juego,
aunque, además, pueda ser
muchas otras cosas.
M. de Guzmán (1988)
Un llibre sobre
la relació entre
jocs i
matemàtiques
Matemàtica seriosa o divertida?
Matemàtica pura o aplicada?
Dicotomies presents:
A) La diversió és
subjectiva. Lúdic no significa poc rellevant.
B) Les matemàtiques rellevants serveixen per resoldre problemes; aquest fet implica sempre un tipus d’aplicació
El cor de les Matemàtiques El 1980, Paul Halmos va publicar un article:
“The Heart of Mathematics”, American Mathematical Monthly, 87(7), en què destaca el paper dels problemes en el desenvolupament de les Matemàtiques.
A l’inici de l’article diu:
“En què consisteix realment la matemàtica? En axiomes (com el postulat de les paral·leles)? En teoremes (com el teorema fonamental de l’àlgebra?) En conceptes? En definicions? En teories? En fórmules? En mètodes?
La matemàtica segurament no existiria sense tots aquests ingredients, tots són essencials. Però cap d’ells és el cor de la disciplina ja que la principal raó d’existir d’un matemàtic és resoldre problemes i per tant, en el que realment consisteix la matemàtica és en [plantejar] problemes i [trobar les seves] solucions” (p. 519).
Plantejar i resoldre problemes: una de les competències matemàtiques
- Entendre l’enunciat, generar preguntes relacionades amb una situació – problema.
- Plantejar i resoldre problemes anàlegs.
- Planificar i desenvolupar estratègies de resolució, i verificar la validesa de les solucions.
- Cercar altres resolucions, i canviar les condicions del problema.
- Sintetitzar els resultats i mètodes emprats.
- Estendre el problema, recollint els resultats que poden ser útils en situacions posteriors.
La relació jocs i matemàtiques
• Jocs d’estratègia (informació completa):
determinar una manera de jugar que permeti
guanyar sempre (estratègia guanyadora).
• Jocs d’atzar: determinar les millors jugades
d’acord amb la probabilitat de guanyar.
• Teoria de jocs: les matemàtiques dels jocs
aplicades a l’economia, la política i, en general,
a les ciències socials.
Una breu història dels jocs
Els jocs són tan antics
com la humanitat i ja
els trobem tant a
Egipte com a
Babilònia.
Fresc egipci, de la
tomba de Ramses II,
on apareix la seva
esposa Nefertari
jugant al Senet.
El tauler del Senet i els “palets” que fan de daus.
En el Llibre dels Morts es suggereix que la
vida en el més enllà depèn del resultat de la partida que
el difunt juga amb el destí, en presència del deu Osiris.
El reial joc d’Ur
Babilònia (ciutat sumèria d’Ur), fa més de 4000 anys
.
Àmfora decorada, amb Aquiles i Ajax jugant al
“marro”.
Terracota del s.VI a.C. Museu Vaticà. Roma.
El libro de los juegos. Alfonso X el Sabio (1283)
Un text de 98 pàgines i 150 il·lustracions a color que s’ocupa
dels principals jocs de taula coneguts a l’època medieval, com
els escacs, els alquercs (dames), els jocs de daus i altres jocs
d’atzar
L’únic original conservat
es troba a la biblioteca
del Monestir de l’Escorial
El valor d’aquest llibre, el
més antic que es coneix
sobre jocs de taula, és
molt gran, tant pel seu
contingut, com per les
boniques il·lustracions
Leonardo de Pisa (Fibonacci)
Fibonacci (1175-1250), al Liber Abaci, introdueix a Occident el sistema de numeració posicional decimal (1202).
En aquest text hi trobem el problema dels conills, que genera la successió 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … coneguda com la successió de Fibonacci.
Al llibre dels quadrats, esmenta el torneig matemàtic amb Joan de Palerm celebrat a la cort de Frederic II de Sicília. Un dels problemes és:
Troba un nombre tal que tant si sumes com si restes 5 al seu quadrat, obtens nombres quadrats.
Niccolo Fontana (Tartaglia) Tartaglia (1499-1557), a
Quesiti et inventioni diversi (1546) proposa:
Un home té 17 cavalls i els deixa als seus tres fills en les proporcions 1/2, 1/3 i 1/9. Com es repartiran els cavalls?
Un home té tres faisans i els vol donar a dos pares i dos fills de manera que cadascun en tingui un.
Com ho farà?
Cardano (1501-1576),
matemàtic, metge i
científic, persontatge
polifacètic.
Autor d’un llibre sobre jocs,
Liber de ludo aleae,
considerat com l’inici de l’estudi
de l’atzar i on trobem les
primeres idees sobre la
probabilitat.
També és autor de Artis Magna
(1545), un tractat d'àlgebra, on
resol l’equació cúbica i la de
quart grau
El primer llibre de recreacions matemàtiques
El llibre de Bachet de Meziriac, Problemes plaisants qui se font par les nombres, publicat el 1612, és el primer d’una llarga llista de llibres dedicats a les matemàtiques lúdiques que arriba fins avui.
Aquest autor és especialment conegut per la seva versió de l’Aritmètica de Diofant, en un dels exemplars del qual Fermat va anotar al marge l’enunciat d’un dels més famosos teoremes de les matemàtiques, recentment demostrat .
L’obra de Bachet de Meziriac
El llibre Problemes plaisants qui se font par les nombres és un compendi de les principals recreacions conegudes al seu temps.
En ell hi trobem problemes sobre:
• Quadrats màgics
• El llop, la cabra i la col
• Sobre nombres enters en general
• Problemes de pesades.
Exemple: Trobar el mínim número de peses (i el seus pesos respectius), per poder pesar qualsevol quantitat entera entre 1 i 40, en una balança de dos plats.
Altres autors dels segles XVII i XVIII
• Van Etten (1624)
• Ozanam (1694)
• Jean E. Montucla (1725)
• Wan Hooper: Rational recreations (1774)
• Molts grans matemàtics dels segles XVII i XVIII, com Isaac Newton, Nicolàs Bernoulli o Leonard Euler, van plantejar alguns problemes que es convertirien en clàssics del gènere.
W. Hooper: Rational recreations (1774)
Creador del puzle que “demostra” que 64 és igual a 65,
passant d’un quadrat de costat 8, dividit en dos triangles
rectangles de catets 8 i 3, i dos trapezis rectangles de
bases 3 i 5, a un rectangle de costats 13 i 5 unitats
On és l’error del raonament?
Amb quins nombres s’ha construït el puzle?
2, 3, 5, 8, 13, …
Amb quins nombres seria cert?
Segle XIX (I)
Eduard Lucas (1842-1891):
És autor del compendi Récréations mathématiques, en quatre volums, en el qual apareix, entre altres problemes originals, el problema de les torres de Hanoi, plantejat per Mr. Claus de l’escola Li-Sou-Stain (anagrama de Lucas)
Un exemple d’anàlisi de jocs és el del jeux militaire (o el gegant i els nans), un interessant i subtil joc de cercar.
Segle XIX (II): Lewis Carrol (1832-1898)
Conegut pels contes d'Alícia, les recreacions lògiques, i
també les recreacions físiques i els jocs lingüístics.
- Tinc dos rellotges, un parat i l’altre que es retarda un minut al dia. Quin és millor?
- Els mutilats de Chelsea. El 70% dels mutilats han perdut un ull, el 75% una orella, el 80% un braç i el 85% una cama.
Quin percentatge, com a mínim, ha perdut les quatre coses?
- Quina és la probabilitat que tres punts d’un pla, triats a l’atzar, formin un triangle obtusangle.
Del segle XIX al segle XX
Sam Loyd (1841-1911) i Henry Dudeney (1857-1930)
Sam Loyd junior The Canterbury puzzles(1907)
Sam Loyd's Cyclopedia of 5000 Puzzles, Amusements in mathematics (1917)
Tricks, and Conundrums Modern puzzles (1926)
Henry Dudeney, alguns exemples
SEND + MORE = MONEY
• Sis monedes posades en 2 files i tocant-se; amb 3 moviments hem de posar-les formant un hexàgon (sempre que es posa una moneda ha d’estar en contacte amb dues).
• Invertir un triangle format per 10 monedes, movent només tres monedes
• Situar els nombres de l’1 al 8 o de l’1 al 9 en una estructura, verificant condicions: Triangle, cub, …
• Unir 9 punts (3 x 3) amb quatre segments. Fer el mateix amb 16 punts (4 x 4) i sis segments.
.
Els grans jocs del segle XX
Hex
Piet Hein
(1942)
John Nash
(1947)
Noves idees, nous jocs (de 1945 fins avui)
ELEUSIS: Un gran joc modern
Si un joc es defineix per un objectiu i unes regles, l’Eleusis no s’assembla a cap.
El seu objectiu és endevinar la regla proposada per cadascun dels jugadors.
Poden jugar de 4 a 8 jugadors i n’hi ha prou amb tres baralles de cartes i unes poques fitxes.
Jocs i recreacions matemàtiques
Cal distingir entre jocs i recreacions:
– Recreació: similar a un problema. L’objectiu
és resoldre’l (individualment o col·lectiva)
– Joc: Participació de dues o més persones.
L’objectiu és guanyar una partida i, en un
segon nivell, determinar una estratègia
guanyadora.
Sobre els jocs d’estratègia
Tipologia dels jocs de taula:
Pel que fa al sentit, la finalitat i les regles del joc:
- Jocs abstractes i jocs de simulació.
Pel que fa a la informació en la realització del joc:
- Jocs d’estratègia, d’atzar, mixtes.
Els grans jocs d’estratègia
Els petits jocs d’estratègia i les seves característiques
Sobre els jocs d’estratègia i la seva anàlisi
Podem distingir entre els grans jocs d’estratègia (encara que sabem que existeix no és possible trobar la manera de guanyar sempre) i els petits jocs, aquells on es més factible determinar l’estratègia guanyadora.
Teorema fonamental: Per a tot joc finit de dos jugadors, d’informació completa, simultani i simètric, existeix una estratègia guanyadora (per a un dels jugadors)
Els grans jocs d’estratègia: si al món
només hi hagués tres jocs
Els escacs (occident)
El Go (orient)
Els mancala (països africans)
L’aualé, un dels jocs de mancala
Els petits jocs d’estratègia
• Retirar fitxes d’una o vàries piles o d’un tauler, sense
variables de posició (també dits jocs tipus NIM)
• Retirar fitxes d’una o vàries piles o d’un tauler, amb
variables de posició (també dits jocs tipus NIMBUS)
• Jocs d'alineacions (tres en ratlla, marro,…)
• Jocs de cercar (jeux militaire, la guineu i les oques,
l’assalt, …)
• Jocs de connectar (SIM, els ponts, …)
• Jocs moderns amb taulers diversos, idees noves i/o
combinació d’antigues (Hex, Reversi, Abalone, Babilon)
Jocs d’alineacions: el Marro de 9
Una activitat amb jocs tipus NIM
CAS SENZILL: una sola pila de fitxes
A) El 14 guanya. Joc per a dos jugadors. Col·loquem 14 fitxes sobre la taula. Cada jugador, al seu torn, retira una o dues fitxes (les que vulgui). El jugador que aconsegueix retirar l’última fitxa de la taula és el guanyador de la partida.
Com s’ha de jugar per guanyar? Quin dels dos jugadors, el primer o el segon, té avantatge? Què passa si variem el nombre de fitxes inicial, i es juga amb 16 o amb 18 fitxes?
El NIM: cas general
Tenim varies piles de fitxes: per exemple, 1, 3, 5 i 7 fitxes. A cada jugada es pot treure qualsevol nombre de fitxes d’una sola pila (mínim 1).
• Es pot complicar tant com es vulgui el joc variant el nombre de piles i el de fitxes de cada pila.
• Tenim cinc piles amb 1, 2, 3, 4 i 5 fitxes respectivament A cada jugada un jugador pot agafar totes les fitxes que vulgui d’una mateixa pila. El que agafa la darrera guanya
• Qui guanyarà en aquest cas?
Com s’ha de fer per aconseguir-ho?
Hi ha una estratègia general que sigui vàlida per a tots els casos?
Alain Resnais
En aquesta pel·lícula (1961)
dos jugadors practiquen
repetidament el joc del NIM
amb 1,3,5 i 7 fitxes (versió
qui agafa la darrera fitxa
perd). Per això el joc també
és coneix com Marienbad.
L’estratègia per guanyar al NIM
Hi ha una estratègia per guanyar:
1 1
2 10 2 10 2 10 2 10
3 11 3 11 3 11 3 11
4 100 4 100 3 11 3 11
5 101 5 101 5 101 2 10
En aquest cas guanya el primer si agafa la fitxa
de la primera pila. A cada jugada ha de procurar
que després de jugar, els nombres expressats
en base 2 siguin tals que al sumar per columnes
sempre quedi un nombre parell.
Jocs d’estratègia i ordinadors
NIMROD:
Nom d’un ordinador del 1950 dissenyat per enginyers de l’empresa anglesa Ferranti per jugar al joc del NIM.
Es considera un dels primers jocs electrònics i fou el primer ordinador creat exclusivament per jugar.
La Teoria (Matemàtica) de Jocs
No hi ha cap branca de les
matemàtiques, per abstracta que
sigui, que no es pugui aplicar algun
dia a l’estudi dels fenòmens del món
real.
Lobachevsky
La Teoria (matemàtica) de jocs
La teoria de jocs és una branca de les matemàtiques que s'ocupa principalment de la presa de decisions. Gràcies a les seves característiques, s'aplica a tot tipus de situacions en què es planteja un conflicte, en el qual els contendents han de prendre les decisions més favorables als seus interessos, sense conèixer les que prendran els seus adversaris.
La formulació de la teoria es basa en jocs abstractes, d'aquí el seu nom, però l’interès de la mateixa no són realment els jocs, sinó les seves aplicacions a totes aquelles situacions en que les seves característiques fan que l’anàlisi i proposta de solució es pot realitzar a través de la modelització de la situació com un joc abstracte.
Què té de “joc” la teoria de jocs?
- La idea de joc com a confrontació (també col·laboració)
entre dos (o més) jugadors on tothom vol guanyar (o no
perdre)
- L’ús de jocs “especials”: jugades simultànies, poc
interessants com a jocs
- Els jocs com a simuladors de situacions reals (economia,
política, “marketing”,…)
- La idea d’estratègia (conjunt de jugades) i d’estratègia
guanyadora.
Un primer exemple
Dues persones A i B escriuen simultàniament un nombre (1 o 2). El jugador B ha de pagar a A la quantitat en euros corresponent a la suma dels dos nombres escrits per tots dos. No és un joc equitatiu (A guanya sempre), però podem preguntar-nos com haurà de jugar cada jugador d'acord amb els seus interessos.
Observem la matriu del joc, anomenada matriu de pagaments o de guanys, amb els possibles resultats:
B escriu 1 B escriu 2
A escriu 1 2 3
A escriu 2 3 4
Els nombres de la matriu indiquen la quantitat en euros que B ha de pagar a A, segons l'estratègia triada per cada jugador (dues possibilitats per jugador donen els quatre resultats de la matriu). Donada la simplicitat del joc, resulta evident que si cada jugador juga d'acord amb els seus interessos, A escriurà un 2, mentre que B escriurà un 1, amb la qual cosa el guany de A serà de 3 €, i per això diem que el joc està decidit.
Anàlisi del joc i dels resultats
Com que A no coneix el joc de B, ha de suposar que B jugarà per minimitzar els seus pagaments, de manera que si A escriu un 1, guanyarà com a mínim 2 €, i si escriu un 2 guanyarà com a mínim 3 €. Es diu que 3 és el maximin (el màxim dels mínims).
De manera semblant, B suposa que A juga per obtenir els majors beneficis, per la qual cosa si B escriu un 1, perdrà com a màxim 3 € i si escriu un 2 perdrà com màxim 4 €. Es diu que 3 és el minimax (el mínim dels màxims).
Quan en un joc el maximin i el minimax coincideixen en una mateixa casella, com en aquest cas, es diu que la partida està estrictament determinada i que el joc té un punt de cadira (si s'imagina una cadira de muntar, poden visualitzar-se dues línies corbes perpendiculars, una amb un mínim i una altra amb un màxim i un punt on coincideixen el mínim d'una i el màxim de l'altra).
Un cas diferent Suposem un altre joc, com l'anterior, però amb una matriu de pagaments diferent,
donada per les regles de la paritat: si ambdós jugadors coincideixen en el nombre escrit, A guanya 1 €, mentre que si són diferents és B qui guanya 1 €.
B escriu 1 B escriu 2
A escriu 1 1 -1
A escriu 2 -1 1
Ara el maximin de A és -1 (ambdós mínims són -1), mentre que el minimax de B és 1 (tots dos màxims són 1); aquesta diferència fa que el joc no tingui un punt de cadira i, per tant, no existeix una estratègia de joc absoluta.
Si A adopta una estratègia (per exemple escriure sempre un 1) que és identificada per B, aquest escriurà sistemàticament un 2 i guanyarà sempre 1 €. Donada la simplicitat del joc i la simetria del mateix, l'estratègia òptima ha de ser la que contingui una proporció igual d'uns i dosos i tal que el jugador contrari no pugui identificar un patró. Per això l'estratègia òptima consisteix a jugar a l'atzar, per exemple llançant una moneda a l'aire i associant la cara a escriure un 1 i la creu a escriure un 2.
Semblances i diferències dels jocs anteriors
• Els dos exemples corresponen a dos casos senzills que podriem anomenar extrems: en el primer, el joc queda determinat mitjançant l'elecció d'una estratègia pura, ja que la millor estratègia per a cada jugador porta a un resultat coincident que s'anomena valor del joc.
• En el segon, en canvi, qualsevol forma de jugar predeterminada no porta necessàriament a obtenir els millors resultats, de manera que l'única manera de jugar que pot garantir-los, és l'ús d'una estratègia aleatòria, que en teoria de jocs s'anomena estratègia mixta.
John von Neumann (1903-1957)
És un dels més il·lustres matemàtics del segle XX. Va començar els seus treballs a la seva ciutat natal, Budapest, on va estudiar matemàtiques, i d'allí va passar a Berlín per estudiar física i també a Zuric, on va estudiar enginyeria química.
A partir de 1930 es va establir als Estats Units. A Gotinga i sota la tutela de Hilbert, va treballar en qüestions teòriques de matemàtica pura i també va col·laborar amb Heisenberg en les primeres formulacions de la teoria quàntica.
Va realitzar contribucions substancials en camps diversos, entre altres, la teoria de conjunts, l'anàlisi funcional, la lògica, la probabilitat, la matemàtica aplicada a l'economia, la física quàntica o la meteorologia.
Neumann - Morgenstern Els interessos de Von Neumann,
passaren de la matemàtica pura a l'aplicada en camps com la física atòmica, el disseny de computadores, la psicologia cognitiva o l'economia.
Una de les seves contribucions fonamentals es va donar l'àmbit de la matemàtica aplicada a l'economia, amb l'establiment de la teoria de jocs amb l'obra Theory of Games and Economic Behaviour, realitzada al costat de Oskar Morgenstern i publicada a Princeton el 1944.
Aquesta obra està considerada com la més important contribució a aquesta branca de les matemàtiques i la que marca la consolidació d'aquesta teoria, que en pocs anys, a partir de la dècada de 1950, s'aplicaria a un gran nombre de situacions per a l'anàlisi de la realitat.
RAND (Research and Development) La corporació RAND és un think tank («reserva d'experts») dels Estats Units
sorgida al final de la Segona Guerra Mundial i creada, inicialment, per realitzar investigacions de tipus estratègic per a les forces aèries nord-americanes.
Malgrat el secretisme sobre els seus projectes i de la discutible finalitat de molts d'ells, el cert és que en ell hi van treballar alguns dels millors científics dedicats a la teoria de jocs. Gràcies a aquesta empresa (cap a 1948 va adquirir l'estatus d'empresa privada treballant en exclusiva per les forces aèries, l'organisme que les sufragava) es va poder desenvolupar la recerca bàsica fonamental per al desenvolupament d'aquesta teoria.
La seva organització interna era més semblant a la d'un institut de recerca de caràcter universitari que a una estructura militar. En els anys 50 i 60 del segle passat i al costat de investigacions aplicades, algunes relacionades amb l'armament nuclear i amb l'inici de la guerra freda, es van realitzar investigacions bàsiques per part dels més insignes matemàtics i economistes dedicats a la teoria de jocs, entre ells el mateix Von Neumann, John Nash, Merril Flood, Kenneth Arrow i molts altres que van coincidir gairebé tots en la mateixa època, un curt període de temps que va coincidir amb el gran desenvolupament de la teoria de jocs.
El teorema del minimax (o maximin)
Per a tots els jocs finits bipersonals i de suma zero hi ha un valor V que representa la quantitat mitjana que espera guanyar el jugador A del jugador B, si tots dos actuen de manera raonable, és a dir, jugant a optimitzar els seus guanys.
Von Neumann, va conjecturar i demostrar aquest teorema, considerat el més rellevant de la teoria de jocs va intuir que aquest resultat era plausible per tres motius fonamentals:
1. L'existència d'una estratègia per al primer jugador, que és la millor per als seus interessos, que li permetrà obtenir uns guanys determinats (el valor mitjà del joc) i contra la qual res pot fer el segon jugador.
2. L'existència d'una estratègia per al segon jugador que és la millor per als seus interessos, és a dir, que li garanteix que no perdrà com a mitjana més d'un valor determinat (el valor mitjà del joc) i contra la qual no pot fer el primer jugador.
3. El fet que el joc és de suma zero, és a dir, el que guanyi el primer jugador ho ha de perdre el segon, el que implica que si hi ha un valor mitjà del joc, tant el primer jugador com el segon accepten aquest guany o pèrdua respectivament, ja que qualsevol altra estratègia els allunya d'aquest valor en detriment dels seus interessos.
LA VIDA ÉS JOC: APLICACIONS
DE LA TEORIA AL MÓN REAL
La competència es la mare
de la ciència… i de la vida.
(…)
Competència i cooperació
ens fan ser com som.
Erwin Neher (1944), premi
Nobel de Medicina (1991)
La teoria de jocs als anys 50
Després del treball de Von Neumann i Morgenstern de
1944, autèntic punt de partida de la teoria de jocs, els
estudis d'aquesta teoria es van centrar en jocs de tipus
cooperatiu, amb l'anàlisi d'estratègies òptimes en situacions
en les quals els participants poden establir acords sobre les
estratègies més adequades.
Els anys 50 es va produir un notable desenvolupament de la
teoria de jocs. Van aparèixer les primeres aportacions sobre
el dilema del presoner i, John Nash va establir el concepte
d'estratègia òptima per a jocs amb múltiples jugadors,
quan l'òptim no es pot establir prèviament, el que és
conegut com equilibri de Nash.
John Forbes Nash (1928)
Una idea raonable:
L’equilibri de Nash
“Una ment meravellosa”
Ron Howard (2001)
John Forbes Nash (1928)
Va iniciar estudis d'enginyeria química,
però es va decantar per les
matemàtiques. El 1948 va rebre una
beca de la Universitat de Princeton, on
treballaven Einstein i Von Neumann,
per a realitzar el doctorat en teoria de
jocs sota la direcció d'Albert W Tucker.
El 1950 va presentar la seva tesi
doctoral, un treball breu i molt original
sobre jocs no cooperatius, que aviat va
tenir un gran reconeixement per part
dels experts en teoria de jocs.
Sobre l’equilibri de Nash
John Nash va estendre la teoria de jocs per a jocs amb n
persones sense cooperació ocupant-se especialment de
jocs competitius de suma no zero i arribant a establir la idea
d'equilibri, que es coneix com a equilibri de Nash.
El mètode de Nash és aparentment simple. Suposem que
diversos jugadors acaben de realitzar un joc i cada un d'ells
ha seleccionat una estratègia determinada. Un cop conegut
el resultat del joc, es pregunta a cada jugador si considera
que la seva manera de jugar ha estat prou satisfactòria, o dit
d'una altra manera, si hagués preferit actuar de manera
diferent. Si la resposta és positiva, és a dir, si tots els
participants consideren que han triat una bona estratègia, el
resultat del joc és un punt d'equilibri, en el sentit de Nash.
LA VIDA ÉS JOC: APLICACIONS DE LA
TEORIA AL MÓN REAL
A partir d’ara considerarem situacions en les que, encara que l'objectiu dels jugadors segueixi essent guanyar i hi hagi una situació de conflicte, aquest ja no és total.
D'una banda, els guanys d'un ja no han de correspondre a les pèrdues de l'altre, i fins i tot un jugador pot guanyar però l'altre també. D’altra banda, hi ha situacions en les quals la cooperació pot aportar beneficis a totes les parts.
Això implica necessàriament la introducció d'elements relacionats amb la comunicació i la confiança mútua, però també l'amenaça, per fer complir el que s'ha acordat. En aquests casos es parla de situacions de conflicte parcial i es distingeix entre estratègies cooperatives i no cooperatives.
Sovint es farà servir el terme desertar per referir-se a una estratègia contrària a la cooperació.
Competir o col·laborar?
Recordem que la teoria de jocs es centra en la presa de decisions; ara aquest aspecte és més important que mai, perquè en moltes de les situacions que exposarem, es presenta una tensió entre competir i col·laborar.
Quines poden ser, en aquestes circumstàncies, les decisions de cada jugador?
Aquest fet planteja el que anomenem un dilema, ja que ambdós jugadors poden col·laborar o competir i no està clar quina decisió aportarà més beneficis, ja que tot depèn de la decisió del contrari.
Per què hi ha dilemes?
En general, la cooperació d'ambdós jugadors aportarà beneficis als dos, i és el millor resultat per al conjunt, mentre que la confrontació mútua porta al desastre.
Si només hi hagués aquestes dues possibilitats no existiria dilema, però, si la situació porta al fet que quan un dels jugadors tracta de cooperar i l’altre opta per la confrontació, els beneficis són per a aquest últim, i són més grans que els obtinguts per la cooperació, llavors el dilema és evident.
Els dilemes de la Teoria de jocs
- Dilema del presoner
- Dilema del gallina
- Falcons i coloms
Competir o cooperar?
La Complexitat del tipus de jocs que acabem d'apuntar, fan que calgui barrejar aspectes Matemàtics amb altres de caràcter psicològic i fins i tot moral, en definitiva relacionats amb el comportament humà.
Les solucions moltes vegades no seran tals, en el sentit matemàtic que es dóna a resoldre un problema, i es presentaran només com a possibilitats que dependran de les decisions dels contrincants.
No obstant això, l’interès d’aquests jocs és major que el dels jocs de conflicte, ja que es presenten amb molta més freqüència a la realitat del nostre món, on habitualment les situacions conflictives tenen una mescla de confrontació i cooperació.
El dilema del presoner El joc “el dilema del presoner”, terme assignat a un tipus de jocs de suma no zero
per Albert W. Tucker el 1950, és un dels més famosos problemes de la teoria de jocs.
És un exemple del que succeeix en situacions en què es produeix una confrontació entre dues forces, que poden optar per enfrontar-se o per cooperar, com són les guerres de preus, les campanyes de publicitat o les curses d’armaments.
Encara que el nom del dilema fa referència a un presoner (es formula com un joc entre dos delinqüents que dubten entre declarar-se innocents o acceptar la seva culpa i inculpar el seu adversari), anem a exposar-lo en una de les seves més interessants aplicacions: un enfrontament militar.
La seva formulació és la següent: Dues potències P1 i P2, que estan enfrontades, han de decidir la seva política armamentista. Cadascuna pot optar per dues estratègies de manera independent:
A: negar-se a cooperar, és a dir, armar-se com a preparació per a una guerra.
B: cooperar, és a dir, desarmar-se, o si més no, posar-se d'acord en la prohibició de determinades armes.
.
Suposem que la matriu del joc és la següent:
Potència P2
OPCIÓ A OPCIÓ B
Potència P1
OPCIÓ A (2 , 2) (5 , 0)
OPCIÓ B (0 , 5) (4 , 4)
També en el món dels negocis és possible trobar diverses situacions en les que es presenten dilemes semblants al del presoner. En una indústria competitiva sovint passa que els participants renuncien a pràctiques per superar els altres amb el convenciment que, amb el temps, això redundarà en favor de tots i en particular d'un mateix.
Així, per exemple, els acords dels llibreters per no fer descomptes més enllà d'una certa quantitat (suposem el 10%), o la decisió d'un gremi de tancar les botigues a una hora determinada (suposem a les 8 de la tarda), són renúncies deliberades a mesures per millorar les vendes, perquè tothom sap que quan un d'ells no l'apliqui, els altres tampoc ho faran, amb la qual cosa no s'obtindria un benefici nou i sí, en canvi, un augment dels costos.
Robert Axelrod (1943)
Professor de política pública a la
Universitat de Michigan, matemàtic i
doctor en ciència política, és un
expert en problemes de cooperació
i especialista en jocs com el dilema
del presoner.
Entre les seves obres destaca The
Evolution of Cooperation, un estudi
evolutiu sobre la cooperació. La tesi
principal és que les estratègies que
utilitzen les persones tendeixen a
evolucionar cap a altres cada
vegada més efectives, en les que la
cooperació és necessària.
The Evolution of Cooperation
A propòsit del dilema del presoner, Axelrod comenta que
la realització del joc una sola vegada no permet conèixer
el comportament de l'altre, recompensar la seva
cooperació o castigar la seva deserció, i per això cal
pensar en objectius a curt termini.
En canvi, quan el joc es repeteix diverses vegades ja és
possible basar les estratègies en les anteriors
interaccions, fonamentant - se en la reciprocitat: si el
contrari ha cooperat sovint, el millor és també cooperar
amb assiduïtat, però si aquell no ho fa, no val la pena
intentar-ho.
Axelrod i el dilema del presoner
Atès que ningú semblava conèixer l'estratègia òptima que
permetés resoldre el dilema, Axelrod va organitzar un
torneig en el qual van participar diversos experts en teoria
de jocs, per tal d’observar la seva forma de jugar i intentar
trobar estratègies efectives. Al final del joc va resultar que,
de totes les estratègies provades, la millor va ser la més
senzilla, l’anomenada «ull per ull», és a dir, es comença
cooperant (mai cal ser el primer a desertar) i després cal
fer allò que ha fet el contrari a la jugada anterior: si aquest
ha cooperat val la pena continuar la cooperació, però si
no ho ha fet cal mostrar el desacord ràpidament.
El dilema del “gallina”
Formulació del dilema: Dos conductors condueixen un cap a l'altre, de front, a gran velocitat. Cadascú ha de decidir en l'últim moment si gira a la seva dreta per evitar el xoc o no ho fa. Poden donar-se les següents casos:
- Cap dels dos jugadors gira i es produeix la col·lisió. Aquest és el pitjor resultat i s'assigna el valor 0 a dos jugadors.
- Els dos jugadors giren en l'últim moment evitant la col·lisió. És un bon resultat, igual per a tots dos, encara que tots dos perden «prestigi» i cap es pot considerar guanyador del joc. S'assigna un valor de 3 a cada jugador.
- Un dels dos jugadors gira i l'altre no. El primer perd «prestigi» i se li assigna un valor d'1, mentre l'altre és considerat el guanyador del joc, de manera que se li assigna un valor de 5.
La matriu del dilema del gallina
CONDUCTOR 2
GIRA NO GIRA
CONDUCTOR 1
GIRA (3 , 3) (1 , 5)
NO GIRA (5 , 1) (0 , 0)
.
L’anàlisi de la situació mostra que si tots dos contendents intenten aconseguir el màxim benefici, no girar per intentar obtenir el valor 5, el resultat serà que els dos obtindran el pitjor resultat.
Sembla millor resultat girar i si ho fan tots dos obtindran els dos un bon resultat, però cap dels dos vol girar abans que l'altre, ja que de fer-ho obtindria un guany de 1 enfront dels 5 del rival.
El joc pot analitzar des de la cooperació, on girar s'entén com cooperar i no fer-ho com desertar, de manera que si tots dos cooperen s'obté en conjunt un bon resultat.
Però l'element més significatiu és que el joc representa una forma de negociació en la qual cada un dels participants tracta de retardar la necessària concessió per evitar el desastre fins a l'últim moment, com a mitjà per forçar l'altre a jugar «raonablement» (en aquest cas, girar) i que sigui ell qui eviti la col·lisió.
Sobre el joc del gallina
Encara que una situació tan extrema com la plantejada per aquest joc és poc freqüent en la vida real, hi ha conflictes en els quals els dos jugadors volen convertir-se en dominadors de una situació (relacions laborals, conflictes entre potències), en què s'arriba a situacions límit com la plantejada per aquest joc.
Més freqüent és la seva presència en la ficció, com per exemple en la pel·lícula de Nicholas Ray, Rebel sense causa (1955), en què dos jugadors condueixen els seus cotxes cap a un precipici i el primer a saltar és el perdedor del joc (el «gallina»).
Relació entre els dos dilemes
Tant el dilema del presoner com el joc del gallina són dos jocs de conflicte parcial que mostren que, de vegades, seguir els interessos immediats de cada jugador porta a resultats catastròfics per al conjunt, i en aquest sentit són similars.
No obstant això, hi ha alguna cosa que els diferencia, ja que mentre en el dilema del presoner la coincidència de les estratègies dóna els millors resultats, en el joc del gallina succeeix a l'inrevés: fer el contrari que l'adversari sempre dóna millor resultat que seguir la mateixa estratègia.
Cooperar o morir: El cas dels falcons i
els coloms
En general, creiem que la presa de decisions és exclusiva dels éssers racionals i, per tant, pensem que la teoria de jocs només és aplicable al comportament humà.
John Maynard Smith, el 1978, va mostrar que també era aplicable al comportament de certes espècies, que trien estratègies col·lectives per preservar el seu desenvolupament.
No són comportaments individuals, sinó col·lectius, que poden afectar a tota una espècie. La lluita per la supervivència d'una espècie es pot entendre com un procés de competència en el que determinats comportaments d'uns fins i tot poden comportar la desaparició d'altres.
De manera paral·lela, el comportament «altruista» de certs individus pot ser beneficiós per a la col·lectivitat però fatal per a aquests individus.
Quan dos animals competeixen per una presa l'habitual és que tots dos tinguin actituds agressives i intentin per la força derrotar l'adversari. Quan la confrontació és a punt de convertir-se en lluita hi ha dues possibilitats:
- abandonar i fugir (coloms), perdent la presa però conservant la vida,
- combatre (falcons), amb un resultat imprevisible que pot causar la mort.
Suposem que en una comunitat de coloms sorgeix un petit grup de falcons. Inicialment aquests augmentaran perquè la seva estratègia és beneficiosa (cada vegada que s'enfronten a un colom guanyen), de manera que amb el temps la quantitat de falcons augmentarà: això farà que els enfrontaments entre falcons proliferin i les baixes de falcons augmentin cada vegada més.
Aquesta situació portaria amb el temps a un equilibri entre coloms i falcons, cosa que, segons sembla, és el que succeeix en la realitat.
A partir d'aquest joc John Maynard Smith introdueix la idea d'estratègia evolutivament estable, aquella que roman quan apareix una mutació que intenta eliminar-la.
Amb ella, J. M. Smith va mostrar que, tant una població només de falcons com una formada només per coloms, no són evolutivament estables, i ha apuntat que, d’acord amb els pagaments assignats, una estratègia mixta amb 8 / 13 de falcons i 5 / 13 de coloms era una comunitat evolutivament estable, és a dir, protegida davant de l'increment tant de falcons com de coloms.
Es pot comprovar que efectivament ho és, encara que és difícil explicar com un determinat grup pot posar-la en pràctica. Es pot pensar en l'existència d'un gen «falcó» en 8 / 13 de la població i un altre en la resta que porti els seus individus a actuar com a coloms, o bé un mateix gen que porta a un comportament o un altre en les mateixes proporcions.
John Maynard Smith (1920-2004) Biòleg evolucionista i genetista anglès que va utilitzar
la teoria de jocs per als seus estudis sobre l'evolució. Va estudiar enginyeria al Trinity College de Cambridge. Va canviar la seva orientació científica per estudiar genètica a Londres. Va ser professor de zoologia i el 1958 va publicar, The Theory of Evolution, que va aconseguir gran popularitat.
Des de 1962 va treballar a la Universitat de Sussex, i el 1973 va formalitzar la seva principal contribució a la teoria de jocs, l'anomenada estratègia estable evolutiva.
Els seus estudis sobre aquesta teoria van culminar amb la publicació del llibre Evolution and Theory of Games, el 1982, en el qual va exposar el joc conegut com “falcons i coloms”.
El 1977 va ser elegit membre de la Royal Society i el 1986 va rebre la medalla Darwin, entre molts altres reconeixements.
En el seu honor, la Societat Europea per a la Biologia de l'Evolució ha instituït un premi que porta el seu nom, per a joves investigadors en aquesta disciplina.
Algunes cites sobre matemàtiques i joc
La vida mereix ser viscuda per jugar als jocs més bonics, …. i per guanyar jugant a ells.
Plató (s. IV a.C.)
Les nou desenes parts de les matemàtiques consisteixen en endevinalles, … la resta tenen el seu origen en les necessitats d’ordre pràctic.
J.Dieudonné (1906-1992)
La matemàtica és, en gran part, un joc i el joc pot, en moltes ocasions, analitzar - se per mitjà d’instruments matemàtics.
M. de Guzmán (1936-2004)
Una cita final
Un professor de matemàtiques té una gran oportunitat. Si dedica el temps a exercitar els alumnes amb operacions rutinàries, matarà en ells l’interès, impedirà el seu desenvolupament intel·lectual i acabarà desaprofitant la seva oportunitat. Però, si posa a prova la curiositat dels seus alumnes plantejant-los problemes adequats i els ajuda a resoldre’ls amb preguntes estimulants, podrà despertar-los el gust pel pensament independent i proporcionar-los certs recursos.
George Pólya, 1945
Referències sobre jocs i matemàtiques (I)
Bell,R., Cornelius, M. (1990) Juegos con tablero y fichas. Barcelona: Labor.
Berloquin, P. (1976) 100 Jeux de table. Paris: Flammarion.
Comas, O. (2005) El món en jocs. Barcelona: RBA-La Magrana.
Corbalán, F. (1994) Juegos matemáticos para secundaria y bachillerato. Madrid: Síntesis.
Corbalán, F. (1996) Números, cultura y juegos. Madrid: Videocinco.
Deulofeu, J. (1999) Recreaciones, juegos y actividades matemáticas, UNO, 20, 89-101.
Deulofeu, J. (2001) Una recreación matemática: historias, juegos y problemas. Barcelona: Planeta.
Deulofeu, J. (2003) 131 juegos matemáticos. Barcelona: Martínez Roca
Referències (II)
Deulofeu, J. (2010) Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes. Barcelona: RBA.
Fomín, et al. (1998) Mathematical Circles. USA: American Mathematical Soc.
Gardner, M. (1981) Inspiración !Ajá! Barcelona: Labor
Gardner et al. (1990) La mathematique des jeux. Paris: Pour la Science.
Grunfeld (1978) Juegos de todo el mundo. Madrid: UNICEF-Edilan
Guzman, M. (2003) Cuentos con cuentas. Madrid: Nívola
Wells, D. (1992) The penguin book of curious and interesting puzzles. Londres: Penguin Books
