De órbitas de Bohr a orbitales de Schrödinger De órbitas a ...depa.fquim.unam.mx/amyd/archivero/01_TABLA_PERIODICA_04_5857.pdf · •Una consecuencia muy importante de la naturaleza

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1/10/08 LA TABLA PERIÓDICA 120

• Una consecuencia muy importante de lanaturaleza dual de la materia es un hechoestudiado por Heisenberg, enunciado en 1927.

• Este fenómeno muestra que es imposibleespecificar, simultáneamente y con exactitud, laposición y el momento lineal de una partícula.

• Según esto, no es posible atribuir al electrónórbitas precisas alrededor del núcleo, porque elloimplicaría el conocer exactamente la posición y lavelocidad del electrón en cada instante.

• Este atributo no es evidente para objetosmacroscópicos pero domina la naturaleza departículas subatómicas como el electrón.

De órbitas de Bohr a orbitales de Schrödinger


• A este fenómeno, se le conoce como principio deincertidumbre de Heisenberg.

• Esto puede ilustrarse como sigue:– Para definir la posición de un electrón, es

necesario ver donde está.– Para poder ver un objeto, es necesario que la luz

que lo ilumine tenga una longitud de ondamenor que el tamaño del objeto.

– Como los átomos son mucho menores que lalongitud de onda de la luz visible, será necesarioemplear radiación con longitud de onda deltamaño de un átomo

De órbitas a orbitales


– Estas longitudes de onda están asociadas aradiación electromagnética de gran energía.

– Como la radiación electromagnética de esaslongitudes de onda tiene también asociado unmomento efectivo, al chocar con los electrones,les transferirán parte de ese momento.

– De manera que el momento original delelectrón cambia.

– Así, aunque hemos visto al electrón, al mismotiempo le hemos cambiado su momento.

– Es decir, nuestra observación hace que laspropiedades del objeto cambien.



• Un análisis riguroso de este fenómeno y otrosrelacionados, muestra que:– Al conocer con mayor precisión la posición de

un electrón, se conocerá con menor precisión sumomento y viceversa.

– Aun más, hay definido un límite con el cual sepueden conocer a un tiempo la posición y elmomento de un objeto cualquiera.

– Y se puede expresar con la siguiente ecuación:

– Donde:


hx p! "! #

$4

x incertidumbre en la posición! =p incertidumbre en elmomento! =

2


• Este hecho que pudiera parecer desastroso aprimera vista, no lo es.

• Pero nos obliga a emplear un tratamientodiferente para analizar las propiedades delelectrón.

• Así, en vez de hablar de la posición o de lavelocidad de un electrón, hablaremos de laprobabilidad de que se encuentre en un lugar enun tiempo determinado.

• Aunque la posición de un electrón no puededefinirse exactamente, la probabilidad deencontrarlo si puede calcularse.



• Además, si la probabilidad de encontrar al electrónen un sitio es grande, la densidad electrónica deese sitio será grande.

• De tal manera, que podemos decir que laprobabilidad de encontrar al electrón en un sitioparticular es lo mismo que hablar de la densidadelectrónica de ese punto.

• Entonces, la densidad electrónica o densidad deprobabilidad son formas de representar a loselectrones en los átomos

• Y describen a los electrones localizados en unaregión específica del espacio con una densidadparticular en cada punto del espacio.



• Tomando en cuenta que estamos interesadosprincipalmente en la probabilidad de encontraral electrón en diversos puntos del espacio.

• O aun mejor, la densidad electrónica en unlugar; lo que en realidad nos interesa no es lafunción de onda sino el cuadrado de la funciónde onda.

• Al graficar el cuadrado de las funciones quedescribimos antes respecto a la distancia alnúcleo, obtendremos el comportamiento de ladensidad electrónica respecto al radio delátomo.



• Para que el modelo de Bohr funcione, es necesariopostular la cuantización de la energía de maneraaparentemente arbitraria para que el modelo seajuste a las observaciones.

• Es decir, este modelo no explica por que hayniveles energéticos cuantizados.

• Erwin Schrödinger en 1925,propone que la manera másdirecta de explicar esto eraenfatizar la naturaleza ondulatoriadel electrón por medio deecuaciones que describieranlas propiedades ondulatoriasde los electrones en los átomos.

La ecuación de Schrödinger

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• El concepto fundamental en el que se basa lamecánica cuántica es que la materia tienepropiedades ondulatorias.

• Este atributo no es evidente para objetosmacroscópicos pero domina la naturaleza departículas subatómicas como el electrón

• En esta aproximación, el comportamiento de unapartícula microscópica puede explicarse entérminos de una función de onda, Ψ, que dependede las coordenadas espaciales (x, y, z).

• Esta función describirá el comportamiento delelectrón en un átomo después de resolver laecuación de Schrödinger.



• Con esto en mente, y mucha intuición, sugiere queun sistema atómico puede tratarse con unaecuación como la siguiente:

• Es decir, usó un método llamado mecánicaondulatoria para describir las propiedades de loselectrones y sus niveles energéticos (orbitales)empleando ecuaciones de onda

• Además de los sistemas atómicos, hay muchosotros sistemas mucho más familiares que sedescriben satisfactoriamente con las ecuaciones deonda.


( )em

E Vh

!" # + $ # =

2

2

2

80


• Entre estos fenómenos se encuentra el de unacuerda de guitarra que al fijarse en dos extremos,produce únicamente notas de cierta frecuencia (lafundamental y sus harmónicos).

• Es decir, las vibraciones de una cuerda fija en susdos extremos, están cuantizadas.

• Esto, es una consecuencia perfectamente natural,del hecho de ambos extremos de la cuerda esténfijos.

• Por cierto el fijar los extremos de la cuerdaconstituye lo que llamamos condición a la fronterade la ecuación de onda que describe las notas.



• La ecuación de onda empleada para describir elcomportamiento de los electrones en un átomo,requiere de manera similar, la imposición deciertas condiciones a la frontera perfectamentenaturales.

• Esta ecuación de onda que ha causado problemas amuchas generaciones de estudiantes, yseguramente continuará haciéndolo, pero ennuestro curso no las vamos a resolver lasmatemáticas asociadas a esta ecuación.

• Sin embargo, los resultados obtenidos es decir, lassoluciones de esta ecuación de onda, si losexaminaremos ahora.


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• En muchos casos, no es posible resolver laecuación de Schrödinger analíticamente de maneraexacta.

• Sin embargo si puede resolverse así para el casodel átomo de hidrógeno.

• Esta ecuación diferencial tiene esta forma:

• Y tiene más de una solución, de hecho tienemuchas soluciones, y estas son las que introducenla cuantización.

• Esto es debido a las condiciones a la fronteraimpuestas.


( )em

E Vh

!" # + $ # =

2

2

2

80


• En esta ecuación, el primer término puedeexpresarse explícitamente así:

• Y corresponde a la energía cinética del electrón.• En tanto que V se refiere a la energía potencial del

sistema.• Y se expresa en términos del número de electrones

del sistema.• La solución de esta ecuación diferencial, genera

valores de energía que estaban de acuerdo a losexperimentales.


x y z

! " ! " ! "# " = + +

! ! !

2 2 2

2

2 2 2


• La ecuación de Schrödinger puede escribirsetambién así:

• O de manera abreviada:

• Donde H es el operador Hamiltoniano (quedefine las operaciones que deben aplicarse a ψ.

• Y describe el comportamiento de las energíascinética y potencial del electrón.


e

hV E

m

! "# $ + % = %& '

() *

2

2

28

H ! = E!


• Así pues, cuando se aplica el Hamiltoniano a unafunción de onda, se obtiene la misma función deonda multiplicada por un valor E, que correspondea la energía de la partícula definida mediante elHamiltoniano .

• Es muy importante destacar la ausencia designificado físico de la función de onda Ψ.

• Sin embargo, el cuadrado de esta misma función sitiene significado físico.

• Y es proporcional a la probabilidad de encontrar lapartícula en un volumen infinitesimal del espacio.

• Esto se conoce como la interpretación de Born


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• La función ψ(x,y,z) se llama orbital atómico.• Y es una función que representa la amplitud de

la onda asociada al electrón.• Entonces, el cuadrado de la función de onda

puede igualarse a la densidad electrónica o a laprobabilidad de que el electrón se encuentre enun elemento de volumen dado.

• De manera que el significado físico de la funciónψ2(x,y,z), mide la probabilidad de que unelectrón se encuentre en el elemento devolumen dv.


dx dy dz dv! " " " # !2 2


• La ecuación de Schrödinger nos da un conjuntode funciones (eigenfunciones) que definen losestados de un electrón en un átomo ydependen de tres números cuánticos:

• Estos tres números cuánticos son un conjuntode enteros que especifican cada situaciónparticular.

• Cada solución corresponde a un nivelenergético y cada uno de los nivelesenergéticos del hidrógeno se puede predecircorrectamente por las soluciones de laecuación.



• Las soluciones, son una familia de funciones quepara especificarse requieren de los tres númeroscuánticos.


Número cuántico magnético:orientación del orbital. Para cada valorde l, ml puede valer desde –l a +l

ml

Número cuántico azimutal: forma delorbital. Para cada valor de n, l puedevaler desde 0 a n-1

l

Número cuántico principal: tamaño delorbital. Puede tomar cualquier enteropositivo de 1 a ∞

n

DescripciónEtiqueta


• La aplicación de estas reglas nos permiteconstruir una tabla de niveles energéticos.

• Así, solamente hay un orbital para n=1, cuatropara n=2 y nueve para n=3.

• Cada conjunto de orbitales con la misma n se lellama capa.

• A cada conjunto de orbitales de la misma capacon la misma l se llama subcapa.

• De manera que hay un solo orbital en cadasubcapa con l=0, tres en la subcapa con l=1 ycinco en la subcapa con l=2.


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• Una gráfica de:

• Describe el comportamiento de la densidadelectrónica en un átomo.

• Para poder graficar la función de ondacompleta necesitaríamos cuatro dimensiones.

• Y para resolver esta dificultad, es necesarioque separemos la función de onda en trespartes.


n l mlx y z, , ( , , )!2


• El átomo de Hidrógeno• El hidrógeno es el elemento más simple

que existe, pues consta de únicamente deun protón en el núcleo y un electrónalrededor en algún lado.


r

m, -e

M, +e

M>>>m


• La ecuación de Schrödinger que representa aeste sistema es la siguiente:

• Pues la energía potencial entre el núcleo y elelectrón es:

• Al ser este un sistema con simetría esférica, esmejor utilizar coordenadas polares.


!2!!x 2

+ !2!!y 2

+ !2!!z 2

"

#$$$$

%

&''''

+ 8!2m

h2

"

#$$$$

%

&''''

E +e(2

r

"

#$$$$

%

&''''!

V =!

e!2

r


• Pero para hacerlo es necesario hacer lossiguientes cambios de variables:

• Y de esta forma se pasa de una función de ondadel tipo Ψ(x,y,z) a una del tipo Ψ(r,θ,φ).

• Al hacer esto, obtenemos la función de onda encoordenadas r, θ y φ, las cuales podemosseparar así:

• Donde R(r) representa la dependencia de Ψrespecto a la distancia al núcleo, en tanto que

• Θ(θ) y Φ(φ) la dependencia angular de Ψ


x = r sen ! cos" y = r sen ! sen"

z = r cos!

! r,!,"( ) = R r( ) !" !( ) !# "( )

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• Transformación de coordenadas cartesianasa polares:


YY

XX

ZZ x, x, yy , , zz rr, , θθ, , φφ

θθ

φφ

rr


• La resolución de la ecuación de Schrödingerdescrita anteriormente conduce a la obtención detres números cuánticos etiquetados como n, l y ml.

• Cada número cuántico caracteriza a una propiedadque cuantizada en el electrón, es decir, que sólopueden presentarse con determinados valores:

• n define la energía,• l el momento angular orbital y• ml la orientación del momento angular.• Las energías permitidas para el electrón del átomo

de hidrógeno dependen exclusivamente de n y estádada por:


E

n=!

me!4

8!0

2n

2h

2


• O lo que es lo mismo en eV:

• Esta dependencia de la energía con 1/n2 originaque una convergencia muy rápida de los niveles deenergía para valores de n grandes.

• A pesar de ello, el nivel de energía igual a cero sepresenta para cuando n es igual a infinito.

• Esta situación corresponde cuando el núcleo haperdido el electrón es decir el átomo se ha ionizado.

• Después de este nivel (ante la ausencia deinteracción con el núcleo) el electrón podrá vagarlibremente


E =!13.6

n2


• Cada combinación de los números cuánticos n, l yml describe una solución de la ecuación de onda.

• La solución más simple es aquella en la que n = 1, l= 0 y ml = 0, Ψ(1,0,0), y describe al electrón en elátomo en su estado basal (de menor energía).

• Cada una de estas funciones de onda para el átomode hidrógeno corresponde a un orbital atómico.

• En un átomo de hidrógeno todos los orbitales quetienen el mismo valor del número cuánticoprincipal n tienen asociado el mismo valor de laenergía y se dice que son orbitales degenerados.


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• El número cuántico principal entonces definirá unaserie de capas del átomo, cada capa constituida porun conjunto de orbitales con el mismo valor de n ypor tanto de la misma energía.

• Los orbitales de cada capa se clasifican a su vez ensubcapas las cuales se distinguen por el valor desunúmero cuántico l.

• Así, la capa n = 1 sólo tiene una subcapa con l = 0;la capa n = 2, posee dos subcapas, una con l = 0 yotra con l = 1; la capa n = 3 posee tres subcapas (l= 0, l = 1 y l = 2) y así sucesivamente.



• Los nombres de los orbitales proceden de lasetiquetas que tenían las líneas del espectro delhidrógeno.

• Pero se nombran empleando los números cuánticos.• La primera parte es el número cuántico principal, y

la segunda está definida por el número cuánticoazimutal.

• Así los orbitales con l=0 se les llama s (sharp)• Los orbitales con l=1 se les llama p (principal)• Los orbitales con l=2 se les llama d (diffuse)• Los orbitales con l=3 se les llama f (fundamental)



• Como se ha mencionado anteriormente, elpotencial del núcleo del átomo de hidrógeno(y por cierto el de todos los demás átomos)tiene simetría esférica y la resolución de laecuación de onda puede llevarse a cabomediante el empleo de coordenadas polares.

• De esta forma se obtienen funciones de ondapara cada triada de valores de n, l y ml.

• Estas funciones de onda están compuestaspor varios términos que pueden agruparse dela siguiente forma:


!

n,l ,ml

= Rn,l

r( ) !"l ,m

l

!( ) !#l"( )


• La función R(r) se denomina función de ondaradial mientras que el producto Θ(θ) Φ(φ) es lafunción de onda angular.

• Entonces, la representación de cualquier funciónde onda requerirá de un espacio de cuatrodimensiones (4D), lo que las hace imposiblevisualizarla. Pues dicho espacio es inaccesible en latierra que es 3D.

• Es por ello que que es necesario separar las dosfunciones mencionadas más arriba para estudiarlaspor separado.

• Una vez que hemos separado la función radial dela función angular, podremos estudiarlas yvisualizarlas.


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• De forma general, la función de onda radial deorbitales hidrogenoides es una expresión deltipo siguiente:

• donde a0 es el radio de Bohr (0.529Å),r = 2Zr/na0 y n = número cuántico principal.

• Así, la principal diferencia entre distintosorbitales se encuentra en f(r).

• La siguiente tabla muestra los valores de estafunción para varias funciones de onda uorbitales.


R

n,lr( ) = f r( ) Z

a0

!

"####

$

%&&&&

3

2

e'r

2


• La función de onda radial, tabla de valoresde f(r)


3d

3p

3s

2p

2s

1snombre

23

13

03

12

02

01f(r)ln 2

1

2 2

2! !( )

1

2 6

!( )

1

9 3

6!6!+ !2( )

1

9 6

4! !( )!

1

9 30

!2( )


• Todas las funciones radiales, para cualquier valorde n, presentan una característica común y es quedecaen exponencialmente con la distancia hastael núcleo.

• Este decaimiento es tanto más pronunciadocuanto menor sea el valor del número cuántico n.

• Otra característica es la posibilidad de que enalgún punto la función de onda sea cero.

• Ello no sucede para un orbital 1s, pero sí para losorbitales 2s y 3s.

• Estos valores para los que la función de ondaradial se hace cero se denominan nodos radiales.



• En un nodo, la probabilidad de encontrar alelectrón es cero.

• Un orbital presentará n-l-1 nodos radiales,independientemente del valor de ml.

• Así el orbital 2s (n = 2, l = 0 y ml = 0) poseeun nodo radial.

• En tanto que el orbital 3s (n = 3, l = 2, ml = 0)tiene 2 nodos radiales.

• De la expresión de la función radial es posibleobtener el valor o valores de r donde la funciónvale cero.

• Así, por ejemplo, el nodo del orbital 2s apareceen un valor de r= 0.529 Å.


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• La parte radial de la función de onda:• n=1, l=0, ml=0:

• n=2, l=0, ml=0:

• n=2, l=1, ml=0:


R

0,0,0r( ) = 2

Z

a0

!

"####

$

%&&&&

3

2

e'Z (r

a0

!"###

$%&&&

R

2,0,0r( ) = 1

2 2

!

"####

$

%&&&&

Z

a0

!

"####

$

%&&&&

3

2

2' Z (ra

0

!

"####

$

%&&&&e'Z (r

2a0

!"###

$%&&&

R

2,1,0r( ) = 1

2 6

!

"####

$

%&&&&

Z

a0

!

"####

$

%&&&&

3

2

Z 'ra

0

!

"####

$

%&&&&e(Z 'r

2a0

!"###

$%&&&


• Las funciones anteriores representan elcomportamiento de los orbitales 1s, 2s y 2prespecto al radio atómico.

• Z es la carga nuclear y a0 es el radio de Bohr o elradio más probable (52.9pm).

• Y se determina con la masa (me) y la carga delelectrón (e-) así:

• La más importante característica de estasfunciones, es que todas presentan un decaimientoexponencial.

• Y además el radio másprobable siempredepende de n y de l,y se calcula con esta ecuación:


a

0=

h2

4!2m

ee"2

r = a0

n2

Z

3

2!

l l +1( )2n

2

"#$$$

%$$$

&'$$$

($$$


• Considerando lo anterior, vemos que los tresnúmeros cuánticos n, l y ml determinan losposibles estados energéticos y su densidadelectrónica correspondiente.

• En particular la energía y el número deorbitales están definidos por n, así:

• Donde K vale 1312.1 kJ/mol, Z la carga


16+3,+2,+1, 0,-1,-2,-30(4s),1(4p),2(4d),3(4f)-82.04

9+2,+1,0,-1,-20(3s),1(3p),2(3d)-145.834+1,0,-10(2s),1(2p)-328.02

100(1s)-1312.11

n2mlEn

E

n= !K " Z

2

n2


• La información de la tabla anterior se puederepresentar gráficamente por medio de undiagrama de energías.

• Donde cada casillarepresenta un orbitalque puede ser ocupadopor un electrón.

• Así, para el átomo dehidrógeno presentamosla energía para cada unode los estados (funcionesde onda) del sistema.

• Esto lo presentamos aquí:


983.

2 kJ

/mol

1166

.5 k

J/m

ol

182.4 kJ/mol

070.7

145.6

328.0

1313.1

l = 0 1 3 4

Ener

gía

(n = 1)

(n = 2)

(n = 3)(n = 4)

1313.1 kJ/mol

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