De Paulis-Manfredi Costruzione di Macchine

SOLUZIONE ESERCIZI CAPITOLO 5

Esercizi

1. Una boccola di un supporto sostiene tramite un perno un componente cari-cato, che oscilla compiendo una rotazione di 30◦ ogni secondo. De�nire unaprocedura per veri�care che il prodotto pcv non superi un valore ammissibileper la durata speci�cata della boccola.

Esercizio 5.1

Questo componente durante l'esercizio oscilla rispetto ad una posizione di ri-poso, così che la super�cie della boccola striscia su quella del perno, montatocon leggero forzamento sulle piastre poste alle due estremità. Il leggero gioconecessario per consentire il movimento relativo si ottiene, come è noto, asse-gnando le tolleranze sui diametri della boccola e del perno; ad esempio nelsistema �foro base� vi è l'accoppiamento a gioco stretto H7-g6. Si usa porreL = 0, 5÷ 1, 2 d a seconda dei casi, con lo scopo di limitare l'in�essione delperno ed ottenere una distribuzione delle pressioni reali quanto più possibileprossima a quella nominale (vedi Capitolo 9).L'angolo di rotazione varia con legge armonica, ad esempio:

θ = θ0 cos(ω t)

dove ω = 2 π f è la pulsazione e la frequenza speci�cata è f = 1 s−1.L'ampiezza dell'oscillazione è θ0 = π 15/180.

2

La velocità di strisciamento varia a sua volta in modo armonico:

|v| =∣∣∣θ̇∣∣∣ d/2 = ω θ0 sen(ω t) d/2

dove d è il diametro nominale del perno e della sua boccola.Quando non vi è lubri�cazione o vi è una semplice lubri�cazione untuosa (ve-di Cap. 9), ad ogni ciclo di questa oscillazione una certa quantità di materialeviene asportato dalle super�ci per e�etto dell'usura sia adesiva che abrasiva.Il perno sarà relativamente duro e l'usura si manifesterà soprattutto sullaboccola. Infatti, conviene che il deterioramento super�ciale si localizzi suquei componenti che costano meno e che si sostituiscono più facilmente.Questa coppia rotoidale di strisciamento perno/boccola mantiene la sua fun-zionalità �no a che lo spessore di materiale asportato dopo N oscillazioni nonsupera un certo valore δamm da de�nire caso per caso.La legge di Archard :

dδ

dt=

cuHpc v

permette di risolvere questo problema. Nell'ipotesi che sul perno agisca unaforza radiale F costante, la pressione convenzionale è costante:

pc =F

d L,

dove L è la lunghezza della super�cie cilindrica di contatto nominale il cuidiametro nominale è d.Per prevedere l'usura della boccola durante il periodo T di un'oscillazione,tenendo conto del fatto che la velocità di strisciamento cambia continuamentedi intensità ed anche di verso, si può scrivere:

δ =

∫ T

0

cuHpc |v| dt ≤

δammN

.

Assumendo che cu, H siano a loro volta costanti (ciò è più giusti�cabile perla durezza H) si trova:

∆ =cuHpcd θ0 ω

2

(2

ω

∫ π

0sen(ω t) d(ω t)

)=

2 cu pc d θ0H

.

Nella tecnica si usa introdurre, in questi casi, una velocità di rotazione mediaequivalente ve. Osservando che nel periodo T = 1/f dell'oscillazione sipercorre per quattro volte un angolo di valore assoluto pari a θ0, si poneve = θ̇e d/2 = (4 θ0/T ) d/2. Perciò deve essere:

δ =cuHpc ve T =

cuHpc

4 θ0T

d

2T =

2 cu pc d θ0H

≤ δammN

.

I due risultati coincidono, ovvero nel metodo pratico si presuppone che l'an-damento dell'oscillazione sia armonico.

3

Per quanto riguarda i dati, in linea di principio non sarebbe corretto utiliz-zare valori della costante d'usura cu determinati tramite prove standard aregime costante. Nel caso di un'oscillazione la velocità è variabile e cambiacontinuamente di verso, dando origine ad una situazione tribologica piutto-sto di�erente. Non sempre, tuttavia, si dispone di informazioni sperimentaliottenuti in condizioni simili all'applicazione considerata.Qui si assumono i seguenti dati: d = 30 mm; L = 0, 9 d; F = 500 N;cu = 1 · 10−9 (materiali della boccola e del perno poco compatibili tra lo-ro, come nel caso di perno in acciaio con boccola in bronzo, lubri�cazioneuntuosa, super�ci liscie ed assenza di contaminazione). Per quanto riguardala durezza H occorre esprimerla con la stessa unità di misura usata per lapressione pc. La durezza Brinell di una boccola di bronzo potrebbe essereHB = 80 [kg/mm2] e perciò H ≈ 8 MPa. Il tema dell'esercizio impone diporre θ0 = π 15/180. Si assume in�ne δamm = 0, 1 mm. (In certe boccoledescritte nel Capitolo 9 lo strato di materiale pregiato antiusura può avereuno spessore più piccolo di questo valore.)Ipotizzando un numero di cicli in esercizio N = 3, 5 ·107 (cinque anni di eser-cizio lavorativo normale) si calcola lo spessore di materiale complessivamenteasportato dalla super�cie della boccola durante l'esercizio:

δtot =2 cu pc d θ0 N

H≈ 0, 06 mm .

Per questa durata la boccola sarebbe veri�cata con un coe�ciente di sicu-rezza pari a 1,6, che non è da considerare elevato, date le numerose fonti diincertezza.Si noti che questo risultato è reso possibile dal basso valore della pressione dicontatto: pc = 1, 5 MPa, oltre che dal basso valore della frequenza.

�gura 5.1.1

4

Si calcola, per �nire, la sollecitazione del perno. Le estremità del perno sonomontate, come detto prima, con forzamento sulle piastre. Si può trascurareil corrispondente momento d'incastro, perché questo momento sarà piccolo acausa della cedevolezza �essionale delle stesse piastre.Si può perciò schematizzare il perno (�gura 5.1.1) come una trave tozza ap-poggiata a due estremità distanti tra loro L0 = L + s, dove s è lo spessoredelle piastre laterali che vincolano il perno.Quanto al carico applicato si possono fare varie ipotesi. Una di queste consistenel caricare la trave con due forze radiali pari a F/2 disposte simmetricamen-te ad una distanza L/2. Infatti, l'in�essione del perno accentua le pressionidi contatto verso le estremità.In queste ipotesi nella zona centrale del perno il momento �ettente è:

Mf =F

2

(s

2+

L

4

).

La forza di taglio è pari a V = F/2.Assumendo s = L/3 e per gli altri dati i valori indicati in precedenza, lamassima tensione normale nominale nella zona centrale del perno vale:

σ =Mf d/2

I=

32Mf

π d3≈

Mf

0, 1 d3= 2, 4 MPa .

La tensione tangenziale dovuta alla forza di taglio V vale:

τ =4 V

3A=

16 V

3 π d2≈ 1, 7

V

d2= 1, 1 MPa .

Con le proporzioni indicate in �gura il perno risulta sollecitato da tensionipoco diverse dalla pressione pc. Un perno d'acciaio pieno sarebbe in grado disopportare con sicurezza sollecitazioni �essionali e di taglio assai maggiori.Questo esempio mostra che le esigenze di durabilità ad usura possono richiede-re dimensioni maggiori di quelle �ssate in base a considerazioni di resistenza.In questo caso si potrebbe costruire un perno cavo internamente ma ciò in-trodurrebbe un nuovo problema di durabilità, posto dalla corrosione dellesuper�ci interne del perno.

2. Noti i valori σmax e σmin dell'andamento di ampiezza costante della tensione,scrivere le relazioni che forniscono σa, σm, R.

Può essere opportuno indicare con σsup e σinf i valori massimi e minimi diuna tensione variabile nel tempo, per evitare di fare confusione con la ten-sione massima o minima che dipendono dalla sua distribuzione nello spazio,ovvero che si manifestano in date zone di un componente o di una struttura.Seguendo questo criterio, si può scrivere

R =σinfσsup

5

σa =σsup − σinf

2=

σsup(1 − R)

2

σm =σsup + σinf

2=

σsup(1 + R)

2.

Si ricordi che solo in campo elastico vi è proporzionalità tra tensioni e carichi.Perciò solo in questi casi si può adottare per il rapporto di asimmetria R lostesso valore che caratterizza l'andamento temporale del carico.

3. Calcolare il campo di variazione ∆σn della tensione nominale da applicare adun provino con intaglio, in modo da ottenere, nel 50 percento dei casi, unadurata illimitata. Il provino è del tipo in �gura ed è costruito in acciaio C45boni�cato con elevata durezza.Il carico a�aticante applicato al provino ha un andamento sinoidale pulsantequasi dallo zero. Sono noti la resistenza statica del materiale, il fattore diforma, ottenuto con metodo FEM, e la rugosità super�ciale del foro.

Esercizio 5.3

La zona critica per la resistenza a fatica del provino rappresentato in �gura sitrova nell'intorno del punto A, al fondo dell'intaglio di cui è noto il raggio diraccordo (si notino le somiglianze e le di�erenze rispetto ai provini CT usatinelle prove di Meccanica della frattura). Il fattore di forma dell'intaglio:

kt =σmaxσn

è noto, in questo caso, dalla letteratura tecnica1, dove si trova kt = 2, 09. Inalternativa il fattore di forma può essere determinato tramite il metodo degliElementi Finiti.

1W.K. Wilson, Elastic-plastic analysis of blunt notched specimens and applications, Jou.

Pressure Vessel Technology, Trans. ASME, 96-111, 1974, pagg.293-298.

6

La corrispondente tensione nominale σn nel punto A è data dalle formuledella Scienza delle costruzioni:

σn =Mf H/2

I+

P

A,

dove P è il carico di trazione applicato ai punti di attacco del provino,Mf = P b è il momento �ettente calcolato rispetto al baricentro della sezio-ne resistente del provino, di larghezza B e profondità H, la cui super�cie èA = B H ed il cui momento d'inerzia è I = B H3/12.I provini sono sottoposti a carichi P di trazione variabili ciclicamente tra undato valore massimo ed un valore di poco superiore allo zero. La presenza diun carico sempre positivo è necessaria per evitare l'e�etto dei giochi tra i foridei provini ed i perni di attacco.Corrispondentemente la tensione varia nel tempo tra due limiti, che qui si in-dicano con σsup e σinf , per evitare confusioni con la tensione massima σmax,che come si è già detto si manifesta nel punto A del provino. In campo elasticotra questi valori limite esiste il rapporto:

R =σinfσsup

,

che sarà di poco superiore allo zero. Per valutare la resistenza a fatica delprovino sottoposto a questo andamento della tensione occorre per prima cosaconoscere o stimare il limite di fatica del materiale S′n, quale si potrebbeosservare su piccoli provini lisci soggetti a sollecitazione puramente alternata(R = −1).In mancanza di dati sperimentali si può porre:

S′n = C0 Su ,

dove C0 è compreso tra 0,3 e 0,5 nel caso di acciai. Quando la resistenzastatica Su e la durezza sono elevate il coe�ciente C0 è relativamente basso.Per tenere conto della �nitura super�ciale della zona di fondo intaglio, ci sipuò riferire alla �gura 5.6, che fornisce il valore di CS per vari tipi di lavora-zioni meccaniche in funzione della resistenza statica del materiale. Quandola resistenza statica è elevata anche il coe�ciente CS è relativamente basso.Un altro fattore da considerare è l'e�etto delle dimensioni della sezione criticadi questi provini, che sono maggiori di quelle dei provini lisci standard. Inquesto caso si può assumere CG = 0,9.In�ne, poichè si intende valutare la resistenza a fatica media dei provini, sipone CR = 1. Poichè le prove si e�ettuano a temperatura ordinaria in am-biente da laboratorio, non si introducono ulteriori fattori correttivi.Quindi, il limite di fatica da considerare nel caso di sollecitazione alternatasarà:

Sn = S′n CS CG · 1 .

7

L'e�etto di intaglio a fatica si può stimare ponendo:

kf = 1 + q (kt − 1) ,

dove il fattore di sensibilità all'intaglio secondo Peterson vale:

q =1

1 + aP /r.

Ponendo aP = 0,06 mm, in quanto si suppone che l'acciaio sia duro e resi-stente, e r = 5 mm come raggio di fondo intaglio, si trova q = 0,988. Perciòkf ≈ kt.Come in molti casi simili, le scelte fatte circa C0, CS e CG avranno un'im-portanza maggiore delle di�erenze tra kt e kf .Per tenere conto dell'e�etto della tensione media si può considerare per primoil criterio di Goodman:

σaSn

+σmSu

= 1 .

L'ampiezza della variazione della tensione e la tensione media sono, come siè visto nell'esercizio precedente:

σa =∆σ

2=

σsup − σinf2

=σsup(1 − R)

2

σm =σsup + σinf

2=

σsup(1 + R)

2.

Si può scrivere quindi:

σm = σa1 + R

1 − R= C σa .

Se la sollecitazione nella zona di fondo intaglio non supera il limite del com-portamento elastico, vi è ovunque proporzionalità tra carico e tensioni. Inquesti casi il rapporto R tra le tensioni coincide con quello assegnato al cari-co.Conviene riformulare la relazione di Goodman come segue:

Sn =σa

1 − C σaSu

.

Ponendo:

σa = kf∆σn

2

si trova:

∆σn =2 Sn

kf

(1 + C

SnSu

)

8

che è il risultato desiderato.Se invece la sollecitazione dovesse superare il limite del comportamento ela-stico ma non quello di adattamento, viene meno la proporzionalità tra caricoe tensione di fondo intaglio. Si dovrebbe allora porre: σa = kf ∆σn/2 edinvece σm = Sy − σa . Essendo R non particolarmente alto ciò non dovrebbeavvenire in questo caso (si osservi la �gura 5.10 nel testo), come si può veri-�care facilmente.Adottando invece il criterio di Walker, con le stesse ipotesi viste prima, sipuò porre:

Sn = kf σsup,n

(1 − R

2

)γ,

con γ, da de�nire possibilmente tramite risultati sperimentali, non troppodi�erente da 0,5. Poichè σinf,n = R σsup,n sarà:

∆σn =Sn (1 − R)

kf

(1 − R

2

)γ .Per completare questo esercizio, si confrontano i risultati di questi procedi-menti con alcuni dati sperimentali. Si utilizzano a questo scopo i risultatiriportati in (2), che contiene numerosi dati ottenuti su provini del tipo in�gura. Tramite il metodo degli Elementi Finiti, suddividendo il provino innumerosi elementi soprattutto in prossimità del vertice dell'intaglio, per que-sti provini gli autori dell'articolo citato hanno trovato un fattore di formakt = 2, 06 di poco di�erente dal valore indicato prima.I provini erano costruiti con due acciai a medio tenore di carbonio basso-legati, resi molto duri e resistenti con il trattamento termico di boni�ca(Su = 1450÷ 1820 MPa).Questi acciai, che erano destinati alla costruzione di ingranaggi, rappresen-tano bene gli acciai di cui si fa largo uso nella costruzione di macchine. Sonoindicati nel seguito come materiale A (simile all'acciaio C45) e materiale B(simile all'acciaio 42CrMo4). Il trattamento di boni�ca consisteva nella tem-pra in olio e nel rinvenimento a temperatura piuttosto bassa (150÷ 200 C◦).Le durezze Rockwell erano perciò elevate: HRC = 45÷60.In questo articolo non si citano risultati di prove di fatica su provini lisci.Occorre perciò stimare il limite di fatica S′n in base alla resistenza statica Su.Sembra ragionevole porre, data l'elevata resistenza e durezza: C0 = 0, 35 perentrambi i materiali.Il foro al vertice dell'intaglio era stato e�ettuato con il trapano ma per unametà di ciascun lotto di provini il foro era sottoposto a retti�ca dopo il trat-tamento termico di boni�ca, ottenendo una �nitura molto migliore. L'altezzamassima delle creste di rugosità degli intagli retti�cati era di 2 µm, contro i

2K. Fukunaga, Resistenza a fatica a �essione di acciai per ingranaggi, Organi di trasmissione,

febbraio 1992, pp.70-77.

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14 µm dei fori trapanati.Per i corrispondenti valori del fattore di �nitura super�ciale si può ragione-volmente assumere CS = 0,8 per gli intagli ottenuti con il trapano e CS =0,9 per quelli retti�cati (si veda però in seguito).Come detto sopra si assume CG = 0, 9 per il fattore relativo alle dimensionied inoltre si pone CR = 1.Il carico P variava tra due limiti inferiore e superiore, mantenendo tra questiil rapporto R = 0, 1. Le prove sono state prolungate �no a 107 cicli, quandoi campioni non si rompevano prima.I valori medi del limite di fatica dei provini in �gura, espresso tramite ilcampo di variazione della tensione nominale ∆σn,lim, sono riportati nellaquarta colonna della seguente tabella, a �anco delle previsioni fornite dalcriterio di Goodman e da quello di Walker. In quest'ultimo caso, si è usatoil primo dei risultati per determinare l'esponente γ = 0,42, che si è man-tenuto invariato nel seguito; tra parentesi sono indicati i risultati ponendoγ = 0, 5. Nel calcolo secondo Goodman, scrivendo σm = C σa si è postoC = (1 + R)/(1 − R) = 1, 22.

Materiali Su media Finitura Sperimentali Goodman Walker

MPa MPa MPa MPa

A 1575 trapanato 255 309 256 (274)

A 1575 retti�cato 245 337 291 (313)

B 1710 trapanato 280 335 278 (298)

B 1710 retti�cato 300 366 312 (335)

Tabella 1: Limiti di fatica sperimentali e previsti ∆σn,lim

Si osserva che la resistenza a fatica sperimentale dei provini con il fondo del-l'intaglio retti�cato non è molto migliore od è per�no peggiore di quella deglialtri provini dello stesso materiale, contrariamente a quanto ci si poteva at-tendere.Ciò presumibilmemte dipende da coazioni sfavorevoli (di trazione) create dalprocesso �nale di retti�ca. Un'altra causa potrebbe essere l'insu�ciente pro-fondità della passata di retti�ca. Se i solchi più profondi creati dalla puntada trapano sono ancora presenti, restano infatti e�etti di microintaglio.Le previsioni del criterio di Walker sono migliori di quelle fornite dal criteriodi Goodman anche qualora si ponga γ = 0, 5.Né con l'uno né con l'altro criterio veniva modellata, in base ai dati disponibi-li, la particolare situazione sperimentale che si è manifestata in queste prove.Data la di�coltà di tenere conto delle presunte coazioni residue, le previsioniavrebbero potuto essere rese più aderenti al dato sperimentale assumendoarti�cialmente un valore più basso per il fattore CS dei provini retti�cati.Tutto ciò conferma la necessità di una particolare cautela nel formulare odutilizzare le previsioni della resistenza a fatica di componenti di macchina

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reali.

4. Migliorare il disegno del dettaglio di un albero di trasmissione mostrato in�gura, in modo da aumentarne la resistenza a fatica.

Esercizio 5.4

�gura 5.4.1

Come si può notare dai gra�ci che riportano l'andamento del fattore di for-ma di un intaglio (si veda ad esempio la �gura 4.7 del testo) per attenuaregli e�etti di concentrazione di tensione è particolarmente e�cace aumentareil raggio di raccordo dell'intaglio. Il fattore di concentrazione dipende peròanche dal rapporto tra la dimensione maggiore e quella minore delle sezioniresistenti prossime all'intaglio. Per meglio dire, dipende dalla variazione lo-cale di rigidezza.Nel disegno migliorato in �gura 5.4.1 è stata resa graduale la variazione disezione ed è stato aumentato il corrispondente raggio di raccordo.La sede della linguetta crea un e�etto di intaglio che si sovrappone a quellodovuto allo spallamento previsto per il mozzo. Si è quindi spostata quanto

11

più possibile la sede della linguetta, allontanandola dallo spallamento.Tramite il processo tecnologico si potrebbe aumentare la resistenza a faticamigliorando la �nitura (si veda però il caso discusso nell'esercizio 3). La sededi linguetta praticata con fresa �a candela� è notoriamente critica da que-sto punto di vista: una vibrazione della sottile fresa montata a sbalzo puòpeggiorare fortemente la �nitura del piccolo raggio di raccordo al fondo dellasede. E' per questo motivo che si preferisce realizzare, ove sia possibile, sedidi linguetta fresate con fresa a disco.Si potrebbero inoltre creare coazioni di compressione tramite la pallinatu-ra delle zone di raccordo. Ciò si può ottenere meccanicamente, tramite laviolenta proiezione di sferette dure, ma anche con riscaldamenti localizzatitramite luce laser.

5. In una zona di concentrazione di tensione, dovuta alla variazione di diametrodi un albero cavo, è praticato un foro per motivi di lubri�cazione. Dai gra�ciriportati su un manuale si conoscono i fattori di forma kt per i due casi: a)variazione di sezione, b) foro passante in un albero a sezione costante. Fornireuna stima del fattore di forma per il caso considerato.

Esercizio 5.5

In questo caso l'e�etto di concentrazione da attribuire al foro si combinasfavorevolmente con quello dovuto al raccordo tra le zone di diverso diametro.In questi casi è cautelativo assumere:

kt = kt1 kt2 .

dove kt1, kt2 sono i fattori di forma degli intagli considerati separatamente eforniti dai gra�ci.In pratica si dispone dei gra�ci riportati nelle due �gure 5.5.1 e 5.5.2. Si noti

12

�gura 5.5.1

�gura 5.5.2

che nel gra�co per il caso dello spallamento la tensione nominale si calcolaassumendo una sezione circolare piena. Invece, nel caso del foro passante latensione nominale si calcola assumendo una sezione circolare depurata di unasuper�cie di forma rettangolare corrispondente alla sezione del foro. In altreparole, nel primo caso, con una sollecitazione di momento �ettente, il fattoredi forma kt1 = σmax/σn si riferisce ad una tensione nominale calcolata nellasezione di minore diametro della �gura 5.5 tramite la relazione:

σn =32Mf

π d3.

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Invece nel caso dell'albero a sezione costante forato diametralmente, il fattoredi forma kt2 mostrato in �gura 5.5.2 si riferisce ad una tensione nominalecalcolata con la relazione:

σ′n =Mf

(π d3/32) − (df d2/6).

Volendo un fattore di forma complessivo che si riferisca alla tensione σn, nellarelazione kt = kt1 kt2 dovrà porsi, invece del valore di kt2 dato dal gra�coun valore del fattore di forma modi�cato k∗t2, trovato come segue. Poiché:

σmax = kt2 σ′n = k∗t2 σn .

deve essere:

k∗t2 = kt2σ′nσn

.

Si assumano le seguenti dimensioni: D = 70 mm; d = 50 mm; r = 5 mm;df = 4 mm, e = 7 mm.Dai gra�ci in �gura 5.5.1 e 5.5.2 si ottengono allora, per il caso di �essione:

kt1 = 1, 57 kt2 = 2, 324 k∗t2 = 2, 689 .

Allo scopo di riferirsi al valore di σn calcolato nella sezione circolare si useràil fattore di forma:

kt = kt1 k∗t2 = 4, 222 .

Si noti che quando l'asse del foro giace nel piano neutro della sollecitazione�essionale, si dovrebbe porre kt2 ≈ 1.Quando il momento �ettente è pari a Mf = 500 Nm ed il foro giace nelpiano di �essione, tenendo conto della foratura coassiale di diametro di = 10mm mostrata in �gura, che tuttavia è abbastanza piccola da non in�uenzare,verosimilmente, il valore del fattore di forma sulla super�cie del pezzo, sitrovano:

σn =32Mf d

π (d4 − d4i )= 40, 8 MPa,

σmax,e = kt σn = 172 MPa .

Per confronto, si riportano nelle �gure 5.5.3-5.5.6 l'impostazione dell'analisied il risultato del calcolo eseguito tramite l'elaboratore con il metodo degliElementi Finiti (analisi lineare elastica), quando l'asse del foro giace nel pianodi �essione. Sono mostrati il modello CAD 3D, l'utilizzo dei criteri di sim-metria e di antisimmetria, la schematizzazione in EF adottata. Il risultatodell'analisi è visualizzato tramite la distribuzione della tensione normale σzdiretta secondo l'asse dell'albero.Tramite il rapporto tra la massima tensione nella zona prossima al bordo del

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foro e la tensione agente sulla super�cie della parte cilindrica di minore diame-tro, che trattandosi di pura �essione coincide e�ettivamente con la tensionenominale prima calcolata, si ottiene il corrispondente fattore di forma:

kt,EF =σz,maxσz

.

�gura 5.5.3Disegno CAD 3D di una parte dell'albero forato.

�gura 5.5.4Riduzione del modello sfruttanto le simmetrie.

In questo calcolo agli EF, dopo avere veri�cato la convergenza del procedi-mento di calcolo, si osserva che il massimo valore della tensione diretta secon-do l'asse dell'albero si manifesta sul bordo del foro, dove σz,max = 127MPa.Trattandosi di un caso di pura �essione, la tensione nominale coincide conquella calcolata dal metodo FEM sulla super�cie della parte cilindrica lonta-na dagli intagli; nella zona di diametro minore risulta pari a σz = 40, 62 MPa,di poco di�erente dal valore di σn calcolato in precedenza con la formula diNavier.

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�gura 5.5.5Suddivisione in Elementi Finiti (meshatura di �nezza media).

�gura 5.5.6Andamento della tensione normale diretta secondo l'asse.

Di conseguenza:kt,EF = 3, 12 .

Si constata che la presenza del foro non crea una concentrazione di tensionecosì elevata come si potrebbe ritenere assumendo il valore kt = kt1 k

∗t2 . Spo-

stando l'asse del foro verso il raccordo questa di�erenza si riduce, restandocomunque signi�cativa.Una sfavorevole interazione tra i due intagli è infatti presente ma si osserva,tramite l'analisi FEM, che la presenza del foro attenua localmente la concen-trazione di tensione dovuta al raggio di raccordo, creando, in un certo qualmodo, un �e�etto d'ombra� (vedi Capitolo 4, �gura 4.9). Ciò giusti�ca lasensibile di�erenza tra il risultato del calcolo FEM rispetto a quello tradizio-

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nale, che qui si rivela molto cautelativo.Lo stato di tensione nell'intorno di un intaglio è sempre pluriassiale. Se ci siriferisce al massimo valore della tensione ideale di von Mises calcolata trami-te FEM, invece che alla tensione σz, si ottiene un valore leggermente minoredel fattore di forma.Ai �ni della veri�ca a fatica dell'elemento la relativa �nitura del bordo delforo e l'eventuale presenza di coazioni avrebbero presumibilmente più impor-tanza di queste di�erenze circa il valore del fattore di forma.A questo proposito si ricorda che, per migliorare la resistenza a fatica, si puòforzare temporaneamente nel foro una spina od una sferetta di diametro mag-giorato, per creare favorevoli coazioni di compressione attorno al suo bordo,coerentemente con il modello illustrato nel Capitolo 2, paragrafo 2.3.3.

6. Si vuole veri�care a fatica un componente d'acciaio considerando solo la ten-sione massima σmax del ciclo di carico. Calcolare il relativo coe�ciente kmssapendo che σa = 1, 5 σm.

Si pone anche qui σsup in luogo di σmax, trattandosi del valore massimoraggiunto nel tempo. Dall'esercizio 2:

R =σinfσsup

σa =σsup − σinf

2=

σsup(1 − R)

2

σm =σsup + σinf

2=

σsup(1 + R)

2.

Sostituendo nella relazione di Goodman, valida nel caso di tensione media ditrazione, e supponendo di possedere i dati di resistenza a fatica illimitata dipiccoli provini lisci:

σaS′n

+σmSu

=σsup (1 − R)

2 S′n+

σsup (1 + R)

2 Su= 1 ,

si ottiene il seguente valore limite della tensione massima di trazione duranteil ciclo:

σsup =2 S′n Su

(1 − R) Su + (1 + R) S′n= kms S

′n ,

con:

kms =2

(1 − R) +S′nSu

(1 + R)

.

Si noti che il valore del rapporto tra tensione limite di fatica e tensione dirottura statica può variare a seconda dei materiali.Ponendo ad esempio S′n = 0, 5Su e facendo il caso di tensione ripetuta dallozero in trazione, poiché R = 0 si ottiene kms = 4/3 ≈ 1, 4.

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Nella pratica questo valore approssimato di kms è comunemente adottato neicalcoli di resistenza a fatica di componenti e strutture sollecitati in modoripetuto dallo zero (denti di ingranaggi, organi destinati al sollevamento dipesi, ecc.).Posto in modo più generale σa = C σm, con σm positiva, sarà:

σsup1 − R

2= C σsup

1 + R

2,

e perciò:

R =1 − C

1 + C,

che sostituita nella relazione precedente fornisce kms.In questo caso C = 1, 5 e perciò, assumendo come prima S′n = 0, 5 Su, siottiene:

R =1 − 1, 5

1 + 1, 5= −0, 2; kms =

2

(1 + 0, 2) + (1 − 0, 2)S′nSu

= 1, 25.

Adottando invece il criterio di Walker, si ottiene più semplicemente:

kms,W =1(

1 − R

2

)γ .Ponendo γ = 0, 5 nel caso di sollecitazione ripetuta (R = 0) si ottienekms,W = 1, 41 e nel caso, di cui sopra, σa = 1, 5 σm (R = −0, 2), si ottienekms,W = 1, 29.Il criterio di Walker può essere facilmente tarato sulla base di dati sperimen-tali di fatica, modi�cando l'esponente γ. Ponendo ad esempio γ = 0, 42,come nell'esercizio 3, la di�erenza tra i valori di kms stabiliti tramite i duecriteri è minima (si trovano kms,W = 1,34 e 1,24 rispettivamente).

7. Un componente meccanico è dapprima sollecitato ciclicamente con tensionenominale di andamento alternato σa,n1 per la durata di n1 cicli, determi-nando la plasticizzazione con adattamento del materiale nella zona di fondointaglio. Successivamente la sollecitazione alternata assume un valore minoreσa,n2. Determinare qualitativamente i cicli di tensione e deformazione in unazona di intaglio speci�cata e discutere il modo più adatto per prevedere ladurata del componente.

Si assume che le tensioni nominali non superino il limite del campo elastico.Perciò sono proporzionali alle forze applicate e variano nel modo indicato in�gura (a). Il materiale si comporta in modo elastico-perfettamente plastico,senza incrudimento nè addolcimento ciclico.A�nchè la sollecitazione nella zona di fondo intaglio resti in campo elastico

18

Esercizio 5.7

occorre che negli n1 cicli in cui i carichi sono più intensi il campo di variazionedella deformazione locale, nella zona di fondo intaglio, non superi il limite diadattamento del materiale. In altre parole deve essere:

∆ε ≤ 2 SyE

.

In questo caso particolare, essendo la sollecitazione alternata, questa condi-zione equivale a porre:

kt σa,n1 ≤ Sy .

Se questa condizione è sempre rispettata, la procedura si può basare unica-mente sul calcolo delle tensioni, tenendo conto della concentrazione di tensio-ne tramite il fattore di forma kt ed il coe�ciente di e�etto d'intaglio a faticakf = q (kt − 1), dove q è il fattore di sensibilità dell'intaglio considerato.L'andamento della tensione e della deformazione nella zona di fondo intagliosono qualitativamente gli stessi delle tensioni nominali in �gura (a).Poichè si tratta di un caso di sollecitazione di ampiezza variabile occorreadottare un modello di accumulo del danneggiamento per fatica. E' usualeadottare a questo scopo il criterio di Palmgren-Miner :

DF =∑ ni

NRi.

La nucleazione di una fessura di fatica signi�cativa si fa corrispondere ad unvalore critico del danno: DF,c ≤ 1.Per determinare i numeri di cicli a rottura NRi si può adottare la legge diBasquin. Si ignorerà la presenza dell'eventuale limite di fatica del materialequalora la sollecitazione di ampiezza variabile superi il limite di fatica, siapure saltuariamente (criterio di Corten-Dolan).Il tema dell'esercizio presuppone che l'ampiezza della tensione nominale ini-ziale σa,n1 sia tale da provocare una plasticizzazione nel primo ciclo. Il relativo

19

valore di ε si può calcolare tramite il criterio di Neuber, che nelle ipotesi fattein precedenza si può scrivere:

σ ε =k2t σ

2n

E, σ = Sy ,

perciò:

ε =k2t σ

2n

Sy E.

Con un'analoga relazione si possono calcolare i campi di variazione delladeformazione locale ∆ε in campo elasto-plastico.Può avvenire che durante la variazione del carico tra zero ed il suo valoremassimo la deformazione locale non superi il limite di adattamento, che inveceè superato durante la variazione tra il valore massimo ed il suo opposto valore,come è indicato nella �gura (b).Si consideri il seguente caso. I dati del materiale siano: modulo di Young E =207000 MPa, tensione di rottura Su = 500 MPa, tensione di snervamentociclica Sy = 400 MPa, limite di fatica della zona di fondo intaglio Sn = 200MPa.Poichè nella prima fase si tratta di fatica in campo plastico, occorre conoscerei parametri della legge di Manson-Co�n:

∆εp2

= ε′f N−cR

che qui si assumono: ε′f = 0, 20 , c = 0, 6. Per la fatica in campo elastico,che caratterizza la seconda fase, vale la legge di Basquin:

σa = σ′f N−bR

dove analogamente si assumono: σ′f = 1000 MPa, b = 0,1.Il fattore di forma dell'intaglio da considerare è kt = 3 ed il fattore disensibilità relativo è q = 0, 9.Qui si assume che carico variabile in modo alternato determini una tensionenominale di ampiezza: σa,n1 = 180 MPa durante tutti i primi n1 = 1000cicli.Successivamente, dopo avere azzerato il carico, si applica un ciclo di caricoalternato con tensione nominale di ampiezza σa,n2 = 80 MPa.I due andamenti del carico sono già stati illustrati qualitativamente nella�gura (a).Si vuole determinare il numero di cicli n2 necessari a provocare un danno difatica tale che

DF,c + DF,c = DF,c = 0, 6 .

Questo valore è qui considerato critico per la resistenza a fatica del compo-nente.Applicando il primo livello di carico in trazione si supera localmente il limite

20

elastico. Infatti kt σa,n1 = 540MPa > Sy .Con il criterio di Neuber si trova la corrispondente deformazione:

σsup,1 = Sy = 400MPa , ∆σ1 = 2 Sy = 800MPa ,

εsup,1 =k2t σ

2a,n1

E Sy= 3, 52 · 10−3 (3520µstrain) .

si noti che questa deformazione è ancora nei limiti dell'adattamento

εad =2 SyE

= 3, 86 · 10−3 .

In altre parole si potrebbe azzerare questa deformazione rimanendo in campoelastico (si veda nel testo la �gura 5.12). Quando il carico ha raggiuntol'estremo opposto del ciclo, il campo di variazione della deformazione sarà:

∆ε1 =k2t∆σ

2n1

2 E Sy= 7, 43 · 10−3 ,

che invece è superiore al limite di adattamento. Di conseguenza si manife-stano deformazioni plastiche di entrambi i versi. La deformazione al terminedel primo ciclo si trova ponendo:

σinf,1 = −Sy = −400MPa ,

εinf,1 = εsup,1 − ∆ε1 = −3, 52 · 10−3 .

L'andamento della sollecitazione nel piano σ = f(ε) ha l'andamento indicatoin �gura (c). Il ciclo di isteresi è simmetrico, con componente plastica:

∆ε1,p = ∆ε1 − εad = 3, 18 · 10−3 .

Dalla legge di Manson-Co�n il numero di cicli a rottura o, meglio, quelnumero di cicli che provoca la nucleazione di una fessura di fatica signi�cativasarà:

NR,1 =

(2ε′f∆ε1

) 1c

= 3160 cicli .

Il corrispondente danno di fatica DF,1 secondo Palmgren-Miner è: DF,1 =n1/NR,1 = 1000/3160 = 0, 316 .Se si assume che l'ultimo carico applicato durante la prima condizione dicarico, prima che questo venga azzerato, sia un carico di compressione, comein �gura, resterà nella zona di fondo intaglio una coazione (tensione residua)di trazione:

σr,1 = −Sy + kt σan,1 = 140MPa

21

quando il carico esterno è nullo.L'applicazione della seconda condizione di carico, con tensioni nominali diampiezza σa,n2, non determinerà ulteriori plasticizzazioni, perché

σsup2 = σr,1 + kt σan,2 = 380MPa .

Non ha quindi importanza l'ordine in cui iniziano i cicli di carico di trazionee compressione. La sollecitazione locale sarà però caratterizzata, durante glin2 cicli della seconda condizione di carico, da una tensione media di trazione:

σm,2 = σr,1 = 140MPa

e da un'ampiezza e�ettiva della tensione:

σa,2 = kfσa,n2 = 224MPa .

dato che kf = q (kt − 1) = 2, 8.Secondo il criterio di Goodman questo andamento della sollecitazione equivalead una sollecitazione puramente alternata di ampiezza:

σa eq,2 =σa,2

1 − σm,2Su

= 311MPa .

Dalla legge di Basquin si può prevedere come segue il numero di cicli a rotturacorrispondente:

NR,2 =

(σ′f

σa eq,2

) 1b

= 1, 177 · 105 cicli .

In�ne, assumendo come danno critico DF,c = 0, 6 si trova il valore del dannoper la seconda condizione di carico, accumulabile �no a rottura:

DF,2 =n2,critNR,2

= DF,c − DF,1.

Di conseguenza il numero di cicli critico n2,crit per la seconda condizione dicarico sarà:

n2,crit = NR,2 DF,2 = 3, 338 · 104 cicli .

ntot = n1 + n2,crit = 3, 438 · 104 cicli .

Se questa sollecitazione avesse sempre la stessa frequenza, la maggior partedel tempo trascorrerebbe nella seconda condizione di carico. Però ognuno deiprimi n1 cicli di carico introduce un danno che è circa quaranta volte maggioredel danno introdotto da ciascuno dei successivi n2 cicli. Ciò conferma lapericolosità della fatica in campo plastico (Low Cycle Fatigue LCF).Se non si tenesse conto della coazione residua di trazione dovuta all'e�etto

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dell'ultima applicazione in compressione del primo tipo di carico, il numerodi cicli a rottura stimato sarebbe stato

N ′R,2 =

(σ′fσa,2

) 1b

= 3, 144 · 106 cicli .

che è superiore di oltre un ordine di grandezza (circa 26 volte) alla previsionee�ettuata considerando σm,2 = σr,1.Se l'ultimo carico della prima fase fosse di trazione la coazione risultante sa-rebbe di compressione e di uguale valore assoluto. Nell'applicare il criteriodi Goodman si dovrebbe perciò porre: σm eq,2 = 0.Questi e�etti dovuti a parziali e limitate plasticizzazioni potrebbero esserefacilmente trascurati in una veri�ca basata unicamente sulle tensioni nomi-nali. Ciò conferma la superiorità del cosiddetto local strain approach, cheoggi è reso meno macchinoso dai progressi dell'analisi strutturale in camponon lineare assistita dall'elaboratore.Si noti che l'area dell'ampio ciclo di isteresi elasto-plastico nella prima con-dizione di carico è proporzionale all'energia unitaria dissipata ad ogni ciclo.Tale apporto di calore può comportare un riscaldamento del materiale, se lafrequenza è elevata, riducendo ulteriormente il numero di cicli a rottura NR,1.

8. Il cilindro idraulico mostrato nell'esercizio 4.2 è utilizzato frequentemente siain trazione che in compressione con lo stesso valore della pressione di alimen-tazione. De�nire qualitativamente il collettivo delle tensioni attribuibili alcarico di servizio sia per le sezioni resistenti più sollecitate del terminale chetrasmette il carico allo stelo del cilindro, sia dello stelo stesso.

Esercizio 5.8

Trascurando eventuali forze parassite, fuori asse, che provocherebbero solleci-tazioni �essionali, lo stelo ed il terminale d'attacco sono sollecitati nel mododescritto nella soluzione dell'esercizio 4.2.Si noti che la forza che l'attuatore scambia con l'organo comandato ha va-lore di�erente in spinta ed in richiamo. Durante la spinta la risultante dellapressione è pari a Fs = p As dove p è la pressione di alimentazione e As è lasuper�cie attiva del cilindro As = π D2/4, pari alla super�cie della sezione

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del cilindro di diametro D. Durante il richiamo dello stelo la forza è minore,perchè la super�cie attiva del cilindro è: Ar = π (D2 − d2)/4 dove d è ildiametro dello stelo.La sezione più sollecitata del terminale d'attacco durante il richiamo è quellaindicata con A-A nella �gura, dove il fattore di forma è relativamente elevato,poichè il carico è applicato in vicinanza di una zona di intaglio.Da un gra�co riportato nel Capitolo 4, �gura 4.7 (caso B), basato sull'ipotesiche il carico sia concentrato in una zona ristretta, come può avvenire con unmontaggio con ampio gioco tra perno e sede, si trova con le proporzioni della�gura, kt = 2, 55.Un'altra sezione particolarmente critica per la resistenza a fatica del compo-nente è quella �lettata dello stelo, in particolare dove si trova il primo �lettoin presa (vedi Capitolo 7). Anche la zona di raccordo tra parte cilindrica e�lettatura determina una concentrazione della tensione.Considerando separatamente i collettivi della sollecitazione delle due sezionidi cui sopra si ha un quadro molto semplice. In altre parole non occorrericondurre un andamento di ampiezza variabile del carico o della tensione adun insieme di cicli di sollecitazione di varia durata e di ampiezza costante,come si deve fare - nel caso di andamenti complessi tramite l'applicazionedi un metodo di conteggio. Nel libro è descritto il metodo di conteggio �delserbatoio�, illustrato nel testo con la �gura 5.17, che conduce a risultati deltutto analoghi all'altrettanto noto metodo rain�ow.La sollecitazione nella sezione A-A ha infatti il carattere di tensione ripetu-ta dallo zero �no ad un dato valore, corrispondente alla forza di richiamoFr = pAr, che per ipotesi non varia da un ciclo all'altro. Quando il carico siinverte e lo stelo lavora in compressione la forza di spinta, che è più elevata:Fs = pAs, è trasmessa dal perno dal lato diametralmente opposto alla prece-dente zona di contatto, così che in queste fasi la sezione A-A risulta scarica.La sollecitazione nella sezione �lettata e, con maggiore chiarezza, nella zona diraccordo tra parte cilindrica e parte �lettata (sezione B-B) ha un andamentocaratterizzato da una data ampiezza e da un dato valore medio, corrispon-denti al seguente andamento della forza:

Fa =Fr − (−Fs)

2

Fm =Fr + (−Fs)

2.

Di ogni collettivo di carico si può dare una sintetica rappresentazione gra�catramite la cosiddetta matrice di conteggio (rain�ow matrix), illustrata nellaparte inferiore della �gura 5.8.1, che viene costruita nel seguente modo. Ogniciclo i-esimo del collettivo è posizionato in una delle celle (bin = cestelli)della matrice, la cui posizione è de�nita dai livelli di tensione corrispondentiai punti estremi del ciclo (valori della tensione inferiore e superione di ogniciclo) oppure riportando lungo le colonne i valori delle ampiezze e lungo le

24

�gura 5.8.1

righe i valori medi. L'aspetto della matrice sarà di�erente nei due casi.Ogni cella è inoltre contrassegnata, secondo una certa convenzione, in mododa indicare il numero di ripetizioni di quel ciclo di sollecitazione nel periododi tempo considerato.In alternativa, si riporta tale informazione sotto forma di istogramma tridi-mensionale, dove si sono utilizzati il valore dell'ampiezza della tensione ed ilvalore medio. Si nota che l'ampiezza di un dato ciclo è misurata dalla distan-za minima tra la cella cui appartiene e la diagonale principale della matrice.Si nota inoltre che ogni cella che si trovi su linee parallele alla diagonale ècontraddistinta da di�erenti valori medi, a parità di ampiezza.

9. Si supponga di sapere calcolare con buona approssimazione la legge di avan-zamento di una fessura in un componente soggetto a fatica e di conoscerne,inoltre, la dimensione critica acrit per cui il componente si potrebbe rompere,quando il carico raggiunge il suo massimo. De�nire i criteri per eseguire siste-maticamente le ispezioni necessarie a garantire la sicurezza del componente,nell'ipotesi che vi siano fessure invisibili di dimensioni iniziali a0 ≤ a∗.

Si fa l'ipotesi che una struttura tesa sia sottoposta ad una tensione nominaledi trazione ripetuta continuamente tra zero ed un certo valore σn con fre-quenza di f = 10 cicli ogni ora di funzionamento.In casi simili spesso si impone che, nonostante la presenza e la crescita di unao più fessure, il coe�ciente di sicurezza non si riduca mai al di sotto di uncerto valore. Sia questo valore CS′ = 2.Data una certa tecnica di ispezione, è possibile individuare, con elevata pro-

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babilità di successo, fessure di dimensioni non inferiori ad un certo valore aD.Sia a∗ = aD = 5 mm.Si assumono inoltre i seguenti dati.Tensione superiore in ogni ciclo: σn = 150 MPa.Ambiente non corrosivo e temperatura ordinaria.Tenacità a frattura del materiale: KIC = 200 MPa(m)0,5.Costanti della legge di Paris: m = 3; C = 2 · 10−11 (m/ciclo) /(MPa m0,5).Con il coe�ciente di sicurezza assegnato la tensione limite da considerare ai�ni della veri�ca a frattura, sarà: σlim = CS

′σn = 300 MPa.

Imponendo:KIC = β σlim

√π acrit

ed assumendo cautelativamente che sia β ≈ 1, 5 = costante, si trova lacorrispondente dimensione critica della fessura: acrit ≈ 63 mm.Se la fessura iniziale avesse dimensioni a0 = aD potrebbe sfuggire ai controlli.Perciò è cautelativo assumere questo valore nel calcolo che segue.La legge di avanzamento si ottiene integrando la relazione di Paris

d a

d N= C ∆Km con ∆K = β∆σ

√π a

dove si pone ∆σ = σn = 150 MPa e si tiene presente che le dimensionidella fessura devono essere espresse in metri. L'integrazione si può eseguire,in questo caso, in forma chiusa e fornisce il numero di cicli di avanzamentonecessari per fare crescere una fessura dalla dimensione iniziale a0 = aD aquella che sarebbe critica con un sovraccarico pari a CS

′σn:

Na =a1−m/2crit − a

1−m/2D

C (β ∆σ√π)m

(1 − m/2)≈ 16000 cicli .

Supponendo che vi siano 8 ore di funzionamento al giorno, questo numero dicicli si raggiunge in circa 200 giorni di funzionamento, pari a circa 10 mesi.Perciò e�ettuando una ispezione ogni tre mesi se ne e�ettuerebbero due otre entro i limiti di tempo (o meglio di cicli) durante i quali una fessura cosìpiccola da non potere essere individuata con facilità raggiungerebbe la di-mensione critica con il carico limite. Se la prima ispezione fallisse, durante laseconda ispezione una fessura sfuggita al primo controllo potrebbe aver rag-giuto una dimensione maggiore, ma non tale da renderla pericolosa. Questafessura sarebbe ora più facilmente individuabile.Il calcolo di cui sopra potrebbe essere a�nato considerando β(a) per le variepossibili posizioni e forme della fessura iniziale. Inoltre, occorrerebbe tenereconto di eventuali cause di variazione della velocità di avanzamento, alle qualisi è accennato nel libro.

10. Data la curva di Wöhler a temperatura ambiente del materiale, di cui sononoti i valori medi S′n, NL, K tracciare una curva di tentativo per il caso di

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temperatura molto elevata, facendo in modo che la resistenza a caldo non su-peri un decimo di quella a temperatura ambiente e che la durata non superiun centesimo di quella a temperatura ambiente, adottando il criterio che fraquesti due è il più cautelativo.

Esercizio 5.10

�gura 5.10.1Curva sperimentale in coordinate semilogaritmiche.

Il tratto decrescente della curva di Wöhler si può rappresentare con l'espres-sione:

NR = NL

(S′nσa

)K(è una delle possibili formulazione dell legge di Basquin) dove NL è il numerodi cicli cui corrisponde la tensione S′n ed una brusca variazione della pendenzadella curva, quale si presenta per i materiali e le situazioni in cui si può de�nire

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S′n come limite di fatica del materiale. In altre parole, la curva passa per unpunto dove presenta un �gomito� di coordinate (NL, S

′n), dove NL = 106÷107

nella maggior parte dei casi.L'esponente K di regola è determinato sperimentalmente e vale 10 ÷ 12 nelcaso di provini senza intaglio con ottima �nitura sottoposti a temperaturaambiente ad una sollecitazione alternata.In mancanza di dati sperimentali l'esponenteK si può ricavare nell'ipotesi chela curva passi per un secondo punto di coordinate (N0, Sy), dove N0 ≈ 103.Facendo in questo modo:

K =log N0 − log NL

log S′n − log Sy.

Ponendo S′n = 250 MPa, Sy = 450 MPa, N0 = 103, NL = 2 · 106 si trovaK = 12, 9. In altre parole la curva è molto piatta. Per costruire le curvedi resistenza a fatica a temperatura elevata nelle ipotesi indicate dal testo, sipuò modi�care la relazione di Basquin lasciando inalterato K e ponendo inun caso S′n/10 invece di S′n e nell'altro caso ponendo NL/100 invece di NL.Inoltre, poichè ad elevata temperatura non si osserva un limite di fatica, co-me invece può aversi a temperatura ambiente, le curve sono continuamentedecrescenti.Nel gra�co in coordinate bilogaritmiche in �gura la curva costruita nell'ipotesiche la resistenza a fatica a caldo sia pari ad un decimo di quella a temperaturaambiente è di gran lunga la più cautelativa. Quella corrispondente all'ipotesiche le durate siano pari ad un centesimo di quelle a temperatura ambiente èindicata con linea tratteggiata.Per confronto si riportano nella �gura 5.10.1 le curve di Wöhler ottenutesperimentalmente su provini di una lega leggera di alluminio, per la quale latemperatura è da considerare elevata rispetto a quella di fusione. Nel gra�-co si usa la scala naturale per i valori della tensione in ordinata, che non siriportano per motivi di copyright. Per una data sollecitazione la durata siriduce, in questo caso, ad un valore compreso tra un decimo ed un centesimodi quella a temperatura ambiente. Sembrerebbe che l'ipotesi basata su unariduzione della durata di cento volte sia più giusti�cata di quella assunta neltesto dell'esercizio. Con frequenze del ciclo di carico più basse la riduzionedella resistenza a fatica risulterebbe tuttavia più forte 3.Si tenga presente che nel caso di provini con intaglio o di pezzi di macchina,se si volesse costruire un gra�co dove in ordinate si riporta l'ampiezza dellatensione nominale, la pendenza sarebbe più accentuata. Si potrebbe stimarel'esponente K di questa nuova curva ponendo Sn/kf invece di S′n nell'espres-sione riportata in precedenza. Con Sn = 0, 7 S′n (media �nitura, mediedimensioni) e kf = 2 (intaglio abbastanza pronunciato) si ottiene K = 4, 7.

3da X. Zhu et al., E�ect of Frequency, Environment, and Temperature on Fatigue Behavior of

E319 Cast Aluminum Alloy, Metall. & Materials Trans. A, Vol. 39, N. 11

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In questo caso la curva diWöhler passerebbe sempre per il punto di coordina-te (N0, Sy). Ciò può non essere cautelativo, se non è confermato da risultatisperimentali. Vari Autori suggeriscono infatti di fare passare la curva per unpunto di coordinate (1, σ′f ) dove σ′f ≥ SU si ricava per estrapolazione dallacurva di Wöhler sperimentale ottenuta con provini privi di intaglio.