ETNOMATEMATICAS El Laboratorio Kwibi Urraga de la Universidad de la Guajira

André CAUTY

Universidad de BURDEOS 1 CELIA, CNRS París

(Traducción: Julio Escamilla Universidad del Atlántico)

Agradezco al Instituto Colombiano de Antropología por haberme invitado a participar

en el simposio sobre Etnoeducación. Aprendizaje: lectura y matemáticas*, realizado en Santafé de Bogotá, en el marco del VIIIo Congreso colombiano de Antropología. Se me planteó una cuestión cuyo aspecto central puede ser formulado de la siguiente manera: ¿Hace falta formar en Colombia -y si las respuestas son afirmativas, cómo- amerindios capaces de:

1) utilizar algo de matemáticas en su vida cotidiana y para sus necesidades privadas; 2) utilizar un poco más aún las matemáticas en su vida de ciudadano enterado de lo

que sucede en su vida profesional de maestro de escuela, de campesino, de artesano, de técnico, de ingeniero…;

3) comprender suficientemente las matemáticas "universales", para encontrarles aplicaciones específicamente útiles a los pueblos amerindios?

Esto respetando una fuerte limitante ética, la de no provocar una deculturación -importante o rápida-, incontrolable, sobre todo para los amerindios.

1. Etnoeducación

El prefijo etno- Una recurrente discusión opone a los antropólogos y matemáticos cuando intentan calificar las prácticas cotidianas tanto del hombre de la calle como del indio de las selvas, confrontados a mil y un problemas de la vida diaria. Las soluciones observadas prueban invariablemente que el pensamiento "primitivo" no tiene nada que envidiarle al del "civilizado": las soluciones son inteligentes, refinadas, astutas, complejas, eficaces, aplicables a otros campos… No obstante, cuando los antropólogos afirman que tales prácticas prueban que uno puede producir matemáticas sin haber sido escolarizado, los matemáticos replican que no se trata de verdaderas matemáticas; a menudo, la discusión se detiene incluso antes de haber comenzado y todos parecen ponerse de acuerdo (?) en admitir que se trata de etnomatemáticas. Claro está que el prefijo etno sigue siendo peyorativo para el matemático, y positivo para el antropólogo. Algunos amerindios rechazan igualmente los términos que contienen dicho prefijo, argumentando que connotan una visión de su realidad demasiado deformada por el punto de vista, ya que se trata de una visión occidental, de una visión desde fuera.

• El presente texto retoma una gran parte de "Matemáticas y lenguajes. ¿Cómo seguir siendo amerindio y

aprender las matemáticas que necesita/necesitará?", ponencia presentada en el 3er Seminario internacional sobre etnoeducación: "El aprendizaje de la matemática en pueblos indígenas de América latina", realizado bajo los auspicios de la DSE, PROEIB Andes, UNESCO y UNICEF, en Cuzco (Perú), del 22 al 26 de septiembre de 1977.

• Nota del traductor: El traductor agradece la colaboración brindada por sus colegas Efraín Morales y Carlos Panza, quienes tuvieron la paciencia y el entusiasmo para leer la traducción de este apasionante texto y sugerir algunos cambios tendientes a la mejor comprensión del mismo.

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Los lingüistas de la Universidad de la Guajira han propuesto destinar el uso del prefijo etno sólo a las creaciones (artes, lenguas, culturas, técnicas, conocimientos, valores…) surgidas exactamente en, y por, la interacción de dos culturas extrañas entre sí y que se aprecian mutuamente. Se trata, pues, de distinguir las producciones mestizas, producidas en situación de complementariedad tolerante, en situación de bilingüismo, por ejemplo, y no en situación de competición o de desigualdad, en situación de diglosia, por ejemplo. Con este valor específico, los mismos lingüistas proponen utilizar la expresión Kwibi Urraga como sinónimo del prefijo etno. Aplicado a la educación, por ejemplo, el prefijo etno, y su sinónimo Kwibi Urraga, permiten distinguir cuatro tipos principales de modelos educativos, fácilmente divisibles en sub-tipos. Estos cuatro tipos -EPS, ECM, EBI, EKU- aparecen aquí presentados por orden de frecuencia. Por lo demás, este orden parece corresponder al orden de aparición histórica: 1.- EPS Cuando los adultos de una cultura A enseñan sus propios conocimientos, saberes y valores a sus niños de cultura A, se trata de Educación, de la Educación (propia) de A; esto es, desde luego, igual para la educación propia de todas las culturas B. Este tipo puede ser denominado EPS, Educación de pueblos soberanos. El tipo EPS es testimoniado en todos los países soberanos, lingüística y culturalmente unificados, pero también todos los pueblos autóctonos vivos, bastante alejados de las influencias del mundo "moderno" en territorios-refugios. Es el caso de los viejos países europeos o de la China, y de naciones más jóvenes como los Estados Unidos, Canadá, Israel, Australia…

Este tipo, dividido en numerosos sub-tipos, ha conocido importantes variaciones históricas. Entre ellas se pueden distinguir, por ejemplo, los modelos liberales y socialistas, capitalistas y comunistas, y aun la escuela de la edad media, del renacimiento, del siglo de las luces, el colegio de los jesuitas de la época de Descartes… Los modelos pueden distinguirse también de acuerdo con los postulados y las ideologías pedagógicas que los sostienen: la escuela Montessori, la escuela Freinet, el modelo piagetiano, etc., sin olvidar que todos los pueblos amerindios han desarrollado, en todas las épocas, sus propias instituciones educativas tradicionales. 2.- ECM Cuando los conocimientos (saberes, valores…) de una cultura B son enseñados a niños de cultura A sin que los adultos de A puedan efectivamente controlar el proceso, se trata de Educación colonial (o misionera, o formal). Este tipo puede ser denominado ECM, Educación colonial o misionera. La historia nos enseña que el tipo ECM es la forma más corriente de educación en los llamados países del Sur, y que este tipo se caracteriza generalmente por el hecho de que la educación (pero también la economía e incluso la política) depende en gran medida, y a menudo a través de una "burguesía" local, de los países del Norte, y por el hecho de tratarse de una educación "de muchas velocidades". Aquí también pueden ser distinguidos numerosos sub-tipos, de acuerdo con la naturaleza de las relaciones establecidas entre "colonizadores" y "colonizados": los imperios español, portugués, francés, británico, soviético, inca, por ejemplo, desarrollaron tipos de escuelas coloniales diferentes, y establecieron claras distinciones (CARNOY, 1976) entre la escuela destinada a las élites urbanas locales, la escuela destinada a los campesinos del mundo rural, y la escuela destinada a los artesanos y a los obreros sometidos a las

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necesidades del "Imperio". 3.- EBI o EIB Cuando los conocimientos de la cultura B son enseñados a los niños de cultura A bajo el control de adultos de cultura A, se trata de Etnoeducación aculturante (o integradora). Gracias a la sinonimia "Kwibi Urraga = Etno-", este tipo puede ser llamado EKU, pero se acostumbra, sobre todo en los países andinos, denominarlo con la expresión Educación bilingüe intercultural, EBI o EIB. Aquí conservaremos la notación EBI. Desde hace algunas décadas, en el marco de los movimientos de descolonización y de liberación, el modelo EBI se desarrolla en numerosos países, sobre todo en América latina. A menudo, las ONG participan en este desarrollo de manera más oficial y más sistemática, desde que algunos países como Colombia reconocen en su Constitución política el derecho de los pueblos minoritarios a hablar su lengua y a disponer de la educación de sus hijos. La EBI implica siempre algo de ambigüedad, ya que el control del proceso educativo por parte de los adultos de cultura A nunca puede ser total, en razón de que los conocimientos transmitidos son producidos por los adultos de cultura B. Es decir, los adultos de cultura A no los manejan con la misma eficacia que los adultos de B, los cuales intervienen necesariamente en el proceso educativo, por lo general en calidad de expertos y/o formadores de maestros de cultura A.

El tipo EBI debe ser, en consecuencia, cuidadosamente diferenciado del tipo ECM. No podrán ser confudidos, por ejemplo, los modelos propuestos por el Instituto Lingüístico de Verano, de intención evangelizadora, y los de la GTZ, de intención emancipadora e integradora. Es, pues, gracias a su intención, manifiesta o no, que podrían ser diferenciados mejor los sub-tipos de EBI. 4.- EKU Cuando la interacción de dos culturas A y B produce conocimientos (saberes, valores…) realmente híbridos o mestizos, y estos conocimientos mestizos son enseñados, trátese de niños de cultura A bajo el control de adultos de cultura A, o de niños de cultura B bajo el control de adultos de cultura B, se trata precisamente de Etnoeducación, o de Educación Kwibi Urraga, llamada EKU. No se tienen testimonios del tipo EKU. Sin embargo, él existe bajo la forma de una utopía muy viva, sobre todo en Colombia, expresada por los diez autores de Colombia al hilo de la oportunidad, los cuales concluyen diciendo que este país aspira hoy a un modelo alternativo de educación, un modelo capaz de crear un mundo nuevo accesible a los niños, Un mundo al alcance de los niños. De manera más general, el EKU podría ser muy bien la utopía necesaria para construir el futuro, ya que ella parece corresponder a la realidad y a las necesidades del mundo actual: un mundo dividido en millares de etnias, lenguas y culturas, por una parte, y atormentado por poderosas corrientes de globalización, de unificación y de mestizajes de todo tipo, por la otra. Un mundo en el que las oportunidades de supervivencia dependen cada vez más del dominio de las ciencias y las técnicas, de su control democrático por las sociedades civiles, y de la salvaguardia de la diversidad de conocimientos, saberes y valores (tanto tradicionales como "modernos"). La historia de las ciencias podría mostrar que las llamadas matemáticas "universales" nacieron en Europa, entre la Edad media y el Renacimiento, de padres griegos y árabes, de abuelos egipcios, babilonios, indios…, gracias al trabajo de traductores judíos y al de aquellos innumerables comentaristas de estas incomprensibles traducciones. Traducciones que no condujeron a reproducir idénticamente los modelos matemáticos griegos y árabes, sino a hacer surgir una nueva variedad de matemáticas, la cual iba poco a poco a liberarse del

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latín de los traductores, y a expresarse en lenguas europeas en las que se fueron desarrollando jergas por causa del uso matemático. En pocas palabras, mostrar que las matemáticas universales nacieron bajo la forma de etnomatemáticas, de matemáticas Kwibi Urraga. Toda práctica se inscribe en un enmarañamiento de génesis Los albañiles tienen un nombre específico para cada tipo de palustre que utilizan; y es fraguando que el aprendiz se convierte en herrero: primero un experto en metalurgia, pero también, como a menudo sucede en Africa, un inevitable intermediario entre los hombres y los dioses, un verdadero chamán socialmente habilitado para curar las enfermedades… Podríamos multiplicar los ejemplos y mostrar con ellos que toda práctica desarrolla no sólo competencias, sino también vocabularios y jergas específicas, saberes (saber-hacer, saber-vivir, saber-ser), conocimientos, creencias, códigos de buena conducta…, que dependen siempre de la práctica tomada en consideración, del entorno material y del medio social en los cuales ella se desarrolla, y cuyos efectos, en situación de aprendizaje, dependen mucho de la calidad de las relaciones entre el maestro, el aprendiz y los conocimientos concernientes. En cierta medida, más o menos importante según los casos especiales, los conocimientos y los saberes adquiridos en una práctica particular son transferibles a otras prácticas particulares, y comunicables a otras. Es una consecuencia de la capacidad de lenguaje en sus funciones, individual y social, de (re)presentar referentes reales o imaginarios, y de construir sentido, es decir, de permitir traducir un "mismo" contenido en diversas formas de glosas (actividad epilingüística espontánea) y de parafrasear (actividad metalingüística controlada).

En resumen, ninguna práctica humana existe ni se desarrolla sin generar simultáneamente unos sistemas simbólicos y unos conjuntos de conocimientos, ni sin transformar profundamente a los actores comprometidos en estas prácticas, lo mismo que a su medio social y natural. En otros términos, toda práctica humana se inscribe en un conjunto de procesos productivos y creativos de tipos diversos que se enmarañan y se influyen de manera mutua y profunda: una glotogénesis, una gnosogénesis, una epigénesis, una etnogénesis, una industria y una política. La actividad matemática no escapa a esta regla general:

- Ella transforma, en el transcurso de una epigénesis, a los individuos que se dedican a ella como profesionales de diferentes tipos: el geómetra, el algebrista, el analista, el lógico, el estadístico, el probabilista…,

- Y éstos se organizan, en el transcurso de una etnogénesis, en comunidades de especialistas con sus jerarquías, sus valores, sus creencias, sus modos de vida, sus necesidades materiales y financieras…

- Ella genera, en el transcurso de una glotogénesis, jergas, notaciones, escrituras, sistemas de representación, lenguajes, lógicas, visiones del mundo…

- Ella produce, en el transcurso de una gnosogénesis, conocimientos y saberes, objetos, modelos, teoremas, demostraciones, teorías y toda suerte de aplicaciones prácticas o lúdicas.

- Ella permite actuar eficazmente sobre las diferentes caras de la realidad que ella permite representar, y esto en todos los ámbitos de la vida: industria, ejército, economía, comercio, construcción, medios de comunicación, salud, educación, cultura…

- Ella influye las cosmovisiones, las creencias, los modos de comunicación y de argumentación…

Todas las anteriores relaciones son recíprocas: la práctica influye las cosmovisiones y éstas influyen la práctica.

La influencia y el poder que confieren las matemáticas inducen a preguntar si es

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necesario enseñarlas, a quién y para qué. La respuesta no es simple; más difícil aún es decir quién está facultado legítimamente para responderla. No obstante, se observa que todos los países llamados desarrollados se esfuerzan por:

a) desarrollar la cultura matemática de sus poblaciones, y b) disponer de matemáticos capaces de participar en el desarrollo de las matemáticas. También se observa que para alcanzar estos objetivos los países desarrollados han

optado por enseñar las matemáticas en la lengua materna de los alumnos, y que todos se esfuerzan por defender el uso de su lengua en el mundo científico.

Paralelamente se observa que todos los países denominados en vía de desarrollo han tomado o han experimentado las mismas decisiones: enseñar las matemáticas en la(s) lengua(s) oficial(es) del país, o sea, en las lenguas maternas de los alumnos. La historia recuerda que estas decisiones han sido frecuentemente el resultado de una lucha por la independencia, lucha librada particularmente contra la ECM que había impuesto profesores, programas, lengua en que se hacía la enseñanza, y valores. En otros términos, la actividad matemática se desarrolla en cualquier lugar del mundo y acompaña la difusión de las culturas industriales íntimamente ligadas al desarrollo de las ciencias y las técnicas. Esta difusión llega ahora hasta los más alejados territorios-refugios. En este caso, como en otros, ella transformará las identidades y las lenguas; cambiará las creencias, las ideologías y las culturas; tendrá efectos en los entornos naturales; influirá los modos de producción y de intercambio; modificará las estructuras de poder… Los procesos en marcha en estas múltiples génesis siguen siendo poco conocidos, sobre todo en situaciones de gran diversidad cultural y lingüística. Ni siquiera se sabe si pueblos con lenguas y culturas realmente diferentes pueden -sin autodestruirse- intercambiar y apropiarse de verdaderos conjuntos de conocimientos complejos, como por ejemplo, una teoría científica o unos saberes chamánicos. Y hay numerosos ejemplos históricos que sirven para mostrar que tales intercambios siempre han producido modificaciones particularmente importantes, mestizajes de culturas o de lenguas, el surgimiento de nuevas variedades de ciencias, la aparición de crisis y hasta guerras religiosas…

La insuficiencia de los conocimientos actuales limita bastante las posibilidades de dirección de programas de EKU y EBI, pues una dirección de esa naturaleza supondría que los programas estuviesen acompañados de verdaderos planes de investigación en todos los campos señalados (epigénesis y etnogénesis, glotogénesis y gnoseogénesis). Investigaciones grandes y costosas. Sabiendo que las matemáticas de hoy -y por lo general las ciencias y las técnicas- han estado a lo largo de la historia íntimamente ligadas a la cultura "moderna" de los países más industrializados, la cuestión es saber si es posible ser al mismo tiempo matemáticos y amerindios auténticos; si es posible para los amerindios servirse de las matemáticas sin renunciar a sus propias culturas, y sin tener que adoptar necesariamente la llamada cultura del progreso universal. El primer paso podría consistir en tomar conciencia de la diversidad de teorías y prácticas matemáticas, lo mismo que de la diversidad de sus aplicaciones posibles, y en distinguir, sobre esta base, qué tipos de matemáticas permiten, o no, alcanzar algún tipo de objetivos, y esto, a costa de qué transformaciones de lengua, cultura, saberes y creencias tradicionales. Dos objetivos, uno máximo y menos conocido, el otro mínimo y más asentado, son fácilmente identificables en las prácticas y en los debates de estos últimos años. Los programas en curso sugieren que los actores de la EBI han optado, conscientemente o no, por un objetivo mínimo: elevar la cultura matemática general de los pueblos amerindios. Estos programas persiguen esencialmente el dominio de la serie numérica natural y de las cuatro operaciones de la aritmética, es decir, el programa de la

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escuela primaria tradicional… Tales programas ofrecen la ventaja de permitir articular "fácilmente" los conocimientos matemáticos y los conocimientos y saberes familiares. Al final, deberían permitir a los amerindios resolver los problemas cotidianos que plantean los contactos con la sociedad dominante: utilizar un sistema de medidas, calcular y comparar los precios, estimar las pérdidas y las ganancias… En el campo de la numeración, por ejemplo, lo que se pretende es el dominio de la numeración decimal de posición, y el dominio de una numeración hablada, la de la lengua de los alumnos cuando ésta exista, o la que los adultos crearán cuando ella no exista. Este objetivo -dar a los alumnos un mínimo de cultura matemática- presenta dos ventajas importantes: es perfectamente respetable e inmediatamente realizable. Parece, sin embargo, que tal objetivo ha sido fijado sin tomar en consideración otro más ambicioso, el de la formación de adultos indígenas profesionales en matemáticas, capaces de contribuir al desarrollo de las matemáticas de hoy, esas que hay que dominar para comprender cómo se calculan los costos industriales, los impuestos o las primas de seguro, las trayectorias para enviar una sonda a Marte; para comprender cómo son construidas las redes ferroviarias para trenes de grandes velocidades, cómo son cavados los túneles como el que une a Francia e Inglaterra…; en síntesis, para participar en las discusiones conducentes a la decisión de implantar o no una represa, una central nuclear o una perforación petrolera…

Todas las discusiones de las que son excluidos tradicionalmente los pueblos "minorizados", cuya reivindicación, muchas veces expresada, es el derecho a una forma de educación que pueda desembocar en la recuperación de su tierra. Si se admite que las matemáticas no se limitan a la solución de algunos problemas de cálculo aritmético expresables con la sola ayuda de los números naturales, resulta difícil contentarse con el objetivo mínimo (más sospechoso aún por cuanto corresponde al de la escuela colonial); lo anterior, por una sencilla razón: la penuria de maestros indígenas formados en matemáticas, y más aún, la falta de didactistas indígenas capaces de articular auténticamente las matemáticas y las cosmovisiones indígenas. Los actores de la EBI no pueden, pues, sustraerse al asunto de la definición -sobre todo en términos de contenidos y niveles de competencia esperada- de los objetivos de la enseñanza de las matemáticas. ¿Hay que enseñar, en aritmética por ejemplo, todos los tipos de números que los matemáticos utilizan en su práctica cotidiana, o sólo los que los alumnos y los estudiantes del mundo entero encuentran en sus estudios? ¿A nombre de qué, y por quién, esas preguntas son formuladas y resueltas? Supongamos que se haya decidido, por ejemplo, que los amerindios tuviesen que poder acceder a la noción matemática de número real. Este objetivo conduce a reconsiderar seriamente las bases escogidas para la enseñanza de todas las nociones de las que depende la construcción de los números reales, comenzando por la definición de enteros naturales y por el tipo de numeración que permite expresarlos sin introducir obstáculos en la construcción de las extensiones numéricas sucesivas -la de los negativos, la de los racionales- y necesarias para la construcción del conjunto de los números reales. Este objetivo más ambicioso -una EKU capaz de conducir a ciertos amerindios, al igual que a ciertos occidentales, a las más altas cimas del pensamiento matemático- exige inmediatamente unos estudios de factibilidad, es decir, el estudio de los medios de articular concretamente los pensamientos matemáticos e indígenas, y de construir una verdadera escuela bicultural. En este campo, las observaciones son rarísimas, pero particularmente sugestivas. Por ejemplo, en la Sierra Nevada de Santa Marta (Colombia), un mama ha señalado que el modelo matemático de la recta real impone una visión "lineal" del tiempo -a priori

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incompatible con la visión "circular" del tiempo indígena- y ha rechazado el empleo de ese modelo para la enseñanza de las matemáticas a los niños de su pueblo, es decir, exige que los matemáticos produzcan un modelo de la recta real compatible con la visión indígena tradicional del tiempo. Experiencias semejantes conducen a lanzar programas de investigación particulares, que finalizan con la producción de conocimientos de un nuevo tipo, los conocimientos creados y producidos en, y por, el debate interétnico e intercultural. Por ejemplo, un modelo original de la recta real (plasmado en una hélice dibujada sobre un cono) producido por la interacción de un matemático y un mama (gracias a la presencia de una lingüista y al trabajo de intérpretes indígenas) bajo la doble limitación de respetar los axiomas del matemático y la cosmovisión del mama. Este modelo y los asuntos que de él se desprenden han sido presentados especialmente en la primera universidad europea de verano Historia y epistemología en la educación matemática (Montpellier, 19-23 julio de 1993), y en el coloquio Orstom/Unesco Las ciencias fuera de occidente en el siglo veinte (París, 19-23 de septiembre de 1994).

Una creación mestiza: Las pirámides, números de piedra Alejandro JAÉN, bribrí de Costa Rica, es el autor del libro Las pirámides, números de piedra*, publicado por la Liga Maya Internacional, con el apoyo de la Agencia Española de Cooperación Internacional de la Embajada de España en Guatemala.

El libro, dedicado a don Francisco García, awá del pueblo bribrí ("chamán del pueblo bribrí"), está ubicado bajo dos exergos: 1) un principio de investigación recordado por J.E. Thompson, que dice que la verdad no siempre está donde uno la espera:

No debemos limitar nuestra búsqueda de la verdad al ámbito donde estamos seguros de hallarla [...] pues el éxito solo sonríe a quienes la curiosidad lleva fuera de los caminos trillados.

2) una enseñanza formulada por Alí García, indígena bribrí (nieto de don Francisco y amigo del autor), que recuerda que el mito es un banco de conocimientos de fácil acceso:

La historia mítica es la forma más simple de recordar las cosas más complejas. Después de las reservas que surgen del carácter extraño de esta obra inclasificable -salvo, quizá, en una categoría "fourre-tout" (que lo contiene todo), que denominaríamos Etnoaritmética-, el director del Centro Cultural Español-ICI, co-responsable de la edición, subraya en una carta-prefacio uno de los principales objetivos del trabajo de Alejandro Jaén:

Ayudar a sacar del olvido una parte importante de la cultura guatemalteca, su tradición de origen maya; y contribuir de ese modo al reconocimiento de las culturas, y consolidar la paz civil "en este momento de silencio de las armas".

El autor presenta, en trece capítulos, la aventura intelectual que le ha permitido imaginar una forma de cálculo figurativo que él denomina computo piramidal, cálculo desarrollado a partir de materiales tomados de tres fuentes principales:

a) el conocimiento íntimo de las culturas amerindias de hoy, b) la lectura de obras que tratan de la astronomía y la aritmética de los mayas, y c) los conocimientos matemáticos adquiridos en la escuela y en el transcurso de

lecturas personales (de las que una bibliografía de 65 entradas da una idea bastante precisa).

Las fuentes bibliográficas muestran que el libro de Alejandro Jaén es un producto mestizo, el fruto de la interacción de culturas alejadas en el tiempo y en el espacio. Por eso

* Los fragmentos del libro de Alejandro Jaén aparecen citados en español y francés en el original de este artículo (N. del T).

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entendemos que: a) sea difícil de clasificar, b) no pueda ser evaluado por fuera de un contexto interétnico e interdisciplinario, c) sería útil para la observación y el estudio de los fenómenos de cogénesis, y d) podría servir en las nuevas prácticas señaladas por los términos de etnociencias y

etnoeducación. Más allá de la construcción de su instrumento de cálculo, el autor defiende una tesis particularmente fuerte desde el punto de vista de la historia cognitiva de las ideas matemáticas mayas: el computo piramidal habría sido inventado y utilizado por los mayas 2000 años antes de la llegada de los españoles (cf. pág. 28, por ejemplo, para la invención del cero). El autor estima que este sistema constituye una nueva clave para la lectura de obras mesoamericanas, permitiendo particularmente descifrar numerosas figuras geométricas de las artes tradicionales, como los motivos de los tejidos, por ejemplo, incluso ciertos datos de los códigos mayas (capítulo 12). El computo piramidal es presentado con la ayuda de ejemplos, los cuales ilustran indiferentemente el funcionamiento y las posibilidades de esta forma de cálculo figurativo. De este modo, el lector descubre paso a paso el camino seguido por el pensamiento del autor. Al mismo tiempo, descubre cómo el sistema permite codificar la información numérica y, más intuitivamente, los tratamientos que ella ha experimentado, por ejemplo, en el transcurso de la solución de un problema de calendario. El computo piramidal es al mismo tiempo un sistema simple y flexible. Ello se debe a que utiliza sustitutos visuales del número, de acuerdo con un principio de correspondencia ostensiva (icónica) entre el significante y el significado numéricos. El signo fundamental (y único) es un pequeño adoquín de forma cuadrada (So), tradicionalmente asociado a la unidad de cálculo (Se); la regla de base plantea que todo entero natural n se identifica con -y está representado por- un conjunto de n adoquines idénticos y unidos por los bordes. Así, por ejemplo, una hilera, o una columna, de trece adoquines es (desde un punto de vista onomasiológico) una concreción del número trece.

Se notará que la concreción de un número es redundante, lo cual aumenta la motivación del signo: el valor numérico está ligado al número de adoquines, pero también a la forma geométrica dada a su conjunto. Alejandro Jaén hace bastante uso, por ejemplo, del cuadrado 13 x 13, concreción del número 169. Los historiadores de las matemáticas reconocen aquí un procedimiento "clásico" de la Escuela de los pitagóricos -a la cual se le atribuye el descubrimiento de la irracionalidad de raíz de dos, hacia el año 550 a. de c.- para representar los números a través de "adoquines" esféricos y clasificarlos de acuerdo con la forma de los conjuntos de "adoquines" esféricos que los representaban. El segundo capítulo, que trata de las tablas de operación, se intitula, por lo demás, Pitágoras en la escuela de Quetzalcoatl. Un uso flexible del sistema consiste en la posibilidad de modificar (a discreción del autor o del que haga los cálculos) el valor numérico asociado al adoquín unidad. Alejandro Jaén escribe, por ejemplo, la serie de los trece primeros enteros en las casillas sucesivas de una hilera de trece adoquines. Obtiene, así (página 36), una representación de los trece primeros enteros, de la serie que forman, de la de un nuevo número, su suma 91, e incluso una representación "en acto" del predicado correspondiente a la igualdad: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 91. Otra posibilidad -manipular los conjuntos de adoquines (página 43)- le confiere al computo piramidal una gran flexibilidad de uso. Tomemos por ejemplo el número 169, concretado en un cuadrado de 169 adoquines dispuestos en trece hileras de 13 adoquines cada una. Dividamos este cuadrado diagonalmente. Se obtienen dos partes triangulares, necesariamente desiguales, las cuales evocan los peldaños de una escalera, con 91 y 78

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adoquines respectivamente. La figura del cuadrado así dividido es una concreción de la igualdad 169 = 91 + 78. Pero hay más. Las dos partes separadas pueden, en efecto, ser colocadas "espalda con espalda", formando de ese modo la imagen de una pirámide. Tal como en el caso del cuadrado inicial, la pirámide que se obtiene es una concreción del número 169; pero estas dos representaciones difieren por la información que ellas contienen, a saber, que 169 es al mismo tiempo el cuadrado de trece (169 = 13 x 13) y la suma de 91 y 78 (169 = 91 + 78). La figura del cuadrado, asociada al recuerdo de la manipulación precedente representa, pues, de manera muy sintética, la doble desigualdad: 169 = 13 x 13 = 91 + 78. Y eso no es todo.

Pues la más grande riqueza del computo piramidal proviene de las interpretaciones que desencadenan los números y las formas que surgen en el transcurso de las manipulaciones de los conjuntos de adoquines. Jaén lo considera, entonces, como el Lenguaje secreto de los Dioses (página 19), el lenguaje de los mitos, verdaderos tesoros de los pueblos de tradición oral:

En una cultura de tradición oral, el mito se convierte en la forma por excelencia de guardar el conocimiento. El mito es entonces un cofre sellado, el cual se abre para conocer la sabiduría que resguarda [...] el mito es por lo tanto el centro, el eje sobre el que gira todo su sistema de enseñanza-aprendizaje.

En una cultura oral, el mito se convirtió en la forma por excelencia de preservación de conocimientos. El mito es, pues, un cofre cerrado, que se abre por el conocimiento de la sabiduría que contiene […]. Por eso, el mito es el centro, el eje sobre el cual gira todo el sistema de enseñanza-aprendizaje (página 22).

La aparición del número 91, por ejemplo, origina la idea de asociar ese número a la duración de una estación, duración que se obtiene al dividir un año de 364 días en cuatro estaciones iguales. Indiferente al hecho de que el año (365 días) de cuatro estaciones es también, y posiblemente de manera especial, un rasgo de las culturas occidentales, Alejandro Jaén liga su interpretación a la conjunción de dos hechos:

a) Los mayas, entre otros, utilizaron un año de 364 días, y b) El número 4 es sagrado en la tradición bribrí, cuya mitología (página 23) ofrece

diversos ejemplos de división en cuatro partes iguales. En cuanto a la pirámide anteriormente obtenida, Alejandro Jaén señala que ella contiene 13 niveles. Este hecho, insignificante para un occidental no supersticioso, alcanza una dimensión totalmente diferente cuando el autor lo asocia a dos aspectos mitológicos (página 44). El primero viene de la Mesoamérica antigua: según los mayas, había 13 cielos superiores.

El segundo viene de la mitología bribrí. Jaén le recuerda al lector que la casa tradicional bribrí tiene una forma cónica, que él asocia inicialmente a la forma piramidal de la concreción de los números; posteriormente, subraya la importancia de ese resultado haciendo observar que es también la forma mitológica del universo:

Para ellos, el cielo no es como una esfera, sino como un cono sobre el cual suben y bajan la luna, el sol, los planetas y las estrellas. Es por eso que ellos dicen que los astros viajan sobre el techo de la vivienda. (página 47)

Como se observa, el autor teje, paso a paso, toda una red de asociaciones y de interpretaciones. Partiendo del cuadrado 13 x 13, obtiene una pirámide cuya forma y número de niveles remite a dos elementos fundamentales de las cosmovisiones amerindias: la forma del universo de los bribrís de hoy y el número de los cielos superiores de los antiguos mayas.

Al igual que otras mitologías, la bribrí también considera que toda habitación tiene un doble, una especie de imagen en un espejo, que simboliza el mundo inferior. Este hecho mitológico instiga a buscar las manipulaciones en los conjuntos de adoquines:

Luego, siguiendo la tradición bribrí, debemos suponer que debajo de esa pirámide existía otra exactamente igual hasta formar un rombo escalonado o rombo piramidal.

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(página 49) La mitología es percibida, pues, como una guía más segura que la intuición, una guía que conduce a la construcción del rombo piramidal. Geométricamente, este rombo es generado por la aplicación de dos "manipulaciones" aplicadas sucesivamente al conjunto triangular de 91 adoquines (la gran mitad del cuadrado 13 x 13); la primera construye simétricamente una pirámide de 13 niveles (diferente de la que se había obtenido al volver a pegar las dos cuasi-mitades del cuadrado: la cúspide de la pirámide no está ya constituida por uno solo, sino por dos adoquines); después, aplicando una simetría "en espejo", se obtiene la segunda mitad del rombo piramidal de 364 adoquines. La totalidad constituye el rombo, el cual es considerado como una concreción del año de cuenta de los astrónomos mayas, año dividido en cuatro estaciones, de acuerdo con el número sagrado de los bribrís. Prosiguiendo la investigación, Alejandro Jaén inscribe el rombo piramidal en un marco cuadrado (página 55). Este cuadrado tiene, así, un lado de 26 y contiene, por consiguiente, 676 adoquines. El interés de inscribir el rombo en un cuadrado es de nuevo revelado por el conocimiento de la mitología. Parece que fue el valor 676 el que sirvió de activador. Alejandro Jaén recurre al mito azteca:

Los aztecas creían que habían existido cuatro soles anteriores y que ellos se encontraban en el quinto sol. Ellos llevaban un registro exacto de la duración de cada uno de los cuatro soles anteriores: primer sol 676 años, segundo sol 364 años, tercer sol 312 años y cuarto sol 676 años. (página 55)

La inscripción del rombo en un cuadrado hace aparecer tres números que la tradición (azteca) ha conservado. Por eso son importantes, incluso sagrados: el número 676 (representado por el cuadrado 26 x26), el número 364 (representado por el rombo piramidal), y su diferencia 312 (representada por el complemento del rombo en el marco cuadrado).

El descubrimiento inesperado de la coincidencia entre el mito y la figura es proclamado por Alejandro Jaén de la manera siguiente:

A veces las cosas más sencillas esconden relaciones o fenómenos extraordinarios, y este es uno de los casos. (página 55) O también: La historia de los Soles se transforma en un gráfico matemático, que facilita en gran medida su estudio y comprensión. Tal parece que estos "fanáticos adoradores del tiempo" habían escondido en el fondo del mito el conocimiento necesario para integrar, como una unidad, el espacio y el tiempo. (página 56) Dejémosle al lector el placer de proseguir los cálculos, la manipulación de figuras y

las interpretaciones astronómicas y mitológicas de Alejandro Jaén, y miremos la argumentación de la tesis según la cual el computo piramidal sería una invención de los mayas que data aproximadamente del año 1000 a. de c. El argumento descansa en la idea de que el computo piramidal llenaría a las mil maravillas la ausencia de documentos históricos que prueben la existencia de herramientas matemáticas necesarias para el pensamiento científico maya en aritmética y astronomía.

Los especialistas en la cultura maya, sin distingos de disciplina, están de acuerdo, en efecto, en por lo menos los dos hechos siguientes:

1) los mayas habían desarrollado una astronomía y una aritmética de calidad, 2) ningún documento histórico permite reconstruir en detalle los procesos del

pensamiento científico maya. Es por eso que se acepta, por ejemplo, que los mayas descubrieron el ciclo de Meton, o que dispusieron de un calendario más preciso que el calendario gregoriano; pero no se sabe nada preciso, por falta de testimonios históricos, sobre la forma como ellos efectuaban los cálculos que tales descubrimientos suponen. No se sabe qué operaciones aritméticas habían sido concebidas y no se conoce ningún algoritmo operatorio; en esas condiciones, una

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matemática de la época actual, Geneviève Guitel (autora de una monumental Historia compararada de las numeraciones escritas) estima, por ejemplo, que es conveniente plantear que los mayas no conocían la división. En otros términos, si nadie pone en duda la excepcional calidad de los resultados obtenidos por los mayas, todo el mundo se pregunta por los medios que les permitieron producirlos efectivamente: el investigador se encuentra en las mismas condiciones del antropólogo que después de descubrir un utensilio del cual conoce la función principal, no dispone de ningún elemento para describir sus modos de fabricación y de empleo.

En tales condiciones, los científicos recurren a la experiencia: se ponen, por ejemplo, a tallar puntas de sílex y a utilizar de todas las maneras posibles las flechas así producidas. Poco a poco, aparecen regularidades; surgen limitaciones y se desprenden series de gestos de los que se demuestra que optimizan tal o cual parámetro… Así es como son reconstruidos los procesos más verosímilmente admisibles. Se puede entonces conjeturar, hasta que no se demuestre lo contrario, que los procesos así reconstruidos y seleccionados por la experiencia eran conocidos por los pueblos desaparecidos. Eso es lo que, de cierta manera, hace Alejandro Jaén: él experimenta sobre la acomodación de adoquines, ensayando toda suerte de combinaciones geométricas y de cálculos aritméticos, con el propósito de reconstruir un procedimiento de cálculo. Como investigador aislado, no le queda muy fácil acatar las obligaciones que se imponen los equipos y los laboratorios científicos, pero tiene una ventaja, su conocimiento íntimo de las culturas amerindias, su intuición de indígena bribrí, dispuesto a reaccionar cuando un cálculo produce un número que la mitología ha consagrado. Jaén dice explícitamente que él está en pos de un contenido olvidado, el supuesto contenido que habría sido enseñado por el equivalente de la escuela primaria maya de tiempos remotos. El trabajo de Jaén no es, sin embargo, fácilmente aceptado por la comunidad científica internacional. Fundamentalmente porque los datos utilizados son parcelarios y heterogéneos (algunos fragmentos de mitos, algunos números particulares, algunos motivos decorativos, completamente aislados de su contexto), tratados casi que exclusivamente de manera intuitiva. El método está, por lo demás, mancillado por una especie de "europeocentrismo" que lleva a Alejandro Jaén a proyectar sobre los datos (como lo hacen muchos etnomatemáticos) unos conocimientos extraídos de la cultura científica occidental (intentar encontrar las ecuaciones de segundo grado, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, o aun (página 94) el número π, ligado indudablemente al conocimiento del círculo, y tal vez al uso de la rueda). Jaén considera que el cómputo piramidal es una clave de lectura para todo tipo de datos. Desde luego, como todo sistema de numeración de tipo icónico, él permite traducir todos los números pequeños; y la posibilidad de cambiar el valor del adoquín unidad permite extender el sistema a la representación de los números grandes. De ese modo, Jaén traduce (punto de vista de la versión), página 115 por ejemplo, el número 1366560 -vuelto famoso por la página 24 del códice de Dresde (9.9.16.0.0.)- por medio de la figura de un cuadrado dividido en cuatro partes iguales, las cuales así delimitadas simbolizan 584 y su cuadrado 5842, o la igualdad 1366560 = 4 x 5842 + 4 x 584 (la cual sería exacta de no ser por una unidad, es decir, si se ignora el adoquín central). Pero para encontrar un número en una figura geométrica (punto de vista del tema), él no da más que un ejemplo, el del motivo del tejido que figura en un tapete guatemalteco (que ilustra la cubierta del libro). Diversas manipulaciones de los bloques de adoquines hacen aparecer los números que se repiten frecuentemente en su estudio: 676, 364, 312, 224, y muchos otros que guardan relación con los ciclos de los planetas, especialmente con Venus. Como la única regla del juego en el cómputo piramidal consiste en encontrar el entero natural buscado, y como el número de posibles descomposiciones de un entero es una función

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extremadamente creciente de dicho entero, siempre es prácticamente posible encontrar una descomposición que proporcione el entero natural buscado. En otros términos, el cómputo piramidal permite encontrar, muy "fácilmente", unos números sagrados de la mitología de un pueblo africano, o de un pueblo europeo, en el motivo del tapete guatemalteco. Este único ejemplo no puede obtener la adhesión de la comunidad científica. La conclusión de todo esto es que la obra de Alejandro Jaén no es una contribución a la historia del cálculo mesoamericano. Y que el interés de la obra radica en otra parte. En el hecho de que se trata, por ejemplo, de una concreción de las prácticas matemáticas universales que sobre todo le habrá permitido al autor, Alejandro Jaén, arraigarse (de nuevo) en unas prácticas y unas creencias profundamente amerindias que, en parte, él había perdido. Por esa razón, el carácter concreto (resultado de una concreción) del sistema de numeración, y las posibilidades manipulatorias del sistema de cálculo, hacen que el cómputo piramidal sea una herramienta didáctica interesante, sobre todo para los alumnos amerindios de la EBI, los cuales estarían comprometidos en un proceso de enculturación-aculturación planificado.

Con la condición de que, naturalmente, los maestros permanezcan conscientes del hecho de que la obra de Jaén no es un manual de matemáticas, y por el hecho de que, si hay que partir de representaciones que tengan sentido para el alumno, es para que se pueda producir una articulación entre ellas y la enseñanza matemática: si bien las representaciones son demasiado concretas, demasiado familiares, hay que trabajar con ellas y tenerlas en cuenta, pero trascenderlas, no para destruirlas, sino para integrarlas a la cultura matemática de la humanidad. En fin, para los lingüistas y antropólogos de campo, este libro recuerda que los pueblos amerindios se han impuesto el reto de desarrollar una EKU. ¿Por qué no responder al desafío científico de la observación y de la comprensión de los fenómenos de creación y de difusión de conocimientos complejos y estructurados, en situación de gran diversidad cultural y lingüística, las situaciones de cogénesis de lenguas y conocimientos?

2. Etnomatemáticas Observación de un ejercicio de conteo En esta observación veremos que la definición operatoria de un objeto, incluso tan simple como el rectángulo, aprehendido en una práctica común de enumeración, permite plantear de manera ejemplar el difícil asunto de las relaciones -siempre complejas- que la práctica de solución de problemas obliga a tejer entre los objetos reales del mundo, las idealidades del pensamiento y sus diferentes formulaciones en signo. Así podremos esbozar algunas observaciones acerca de la naturaleza de la actividad matemática creadora de conocimientos, y de los lazos que ella mantiene con la puesta en signos y la creación lingüística; es decir, aclarar, en el marco de una lingüística cognitiva, algunos aspectos de las relaciones entre la gnosogénesis y la glotogénesis. . La tarea propuesta exige, sin ninguna otra precisión: 1) cuántos rectángulos hay en la siguiente figura, y 2) justificar el buen fundamento del resultado obtenido. A los sujetos -los cuales sólo disponen de la hoja en la que está dibujada la figura y de un lápiz- se les pide que respondan individual y directamente en dicha hoja. Adicionalmente, uno de los rectángulos está dibujado bajo una forma casi cuadrada, con el fin de distinguir los sujetos que utilizan el término rectángulo como un hiperónimo, es decir, como un término en relación de inclusión con el término cuadrado, o por el contrario, como un hipónimo en relación de contraste o de exclusión con dicho término. Para los

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primeros, todo cuadrado es un rectángulo. Este uso es dominante en la comunidad matemática. Para los segundos, ningún cuadrado es un rectángulo. Este uso parece ser dominante en la vida cotidiana. De allí resulta que sus respectivas enumeraciones diferirán en una unidad: para los primeros, hay seis rectángulos inmediatamente perceptibles, y para los segundos, cinco rectángulos y un cuadrado. Para resolver este problema de enumeración, hay que reconocer los rectángulos, saber contar y ser capaz de articular esos dos tipos de conocimiento (el uno más declarativo; el otro más procedimental) en una estrategia eficaz. La principal dificultad procede del hecho de que somos incapaces de estabilizar y retener en la memoria el conjunto importantísimo de los rectángulos que hemos percibido directamente en la figura, y/o que (re)construimos mentalmente. La dificultad señalada conduce a buscar un medio de estabilizar las representaciones de los rectángulos. A menudo, eso se hace reemplazando sus imágenes móviles -perceptiva o mentalmente- por unos sustitutos (gráficos, simbólicos, lingüísticos). Por su materialidad, esos sustitutos (señal y símbolo) podrán ser -por la misma razón que los significantes de los signos lingüísticos- efectivamente "manipulados" (realmente o en el pensamiento). Sobre todo, podrán ser colocados en orden sucesivo, es decir, ser enumerados, condición indispensable en todo conteo (BRIAND, 1993, página 218 y siguientes). En este sentido, la tarea propuesta conduce necesariamente a una conceptualización (reducción selectiva del referente) y a una puesta en signos (POTTIER, 1987) en una "lengua" que convenga.

Es una situación de enunciación conflictiva, un poderoso activador de procesos glotogenéticos, productores de signos en estado naciente, caracterizados por la elasticidad de los lazos que unen los tres componentes de todo signo (su significante Se, la forma Si de su significado y la sustancia So de su significado). Respuesta n°1 En esta respuesta, la noción de rectángulo parece reducida a lo que permite una presentación deíctica del mismo, o sea, al acto de mostrar esta figura designándola: "esto es un rectángulo", sin dar ninguna descripción, definición o explicación explícita. En otros términos, el rectángulo no es definido en modo alguno; el sujeto está en una especie de grado cero de la conceptualización de la noción. Sin embargo, este conocimiento simplemente ostensivo del rectángulo puede bastar para resolver el problema de conteo propuesto: El sujeto trazó una especie de carta, un calco directo de lo que ha percibido o concebido. Este calco del referente (trátese de lo real simulado o de lo imaginario modelizado) es suficiente en la medida en que proporciona sustitutos manipulables, es decir, representaciones estables, susceptibles de ser enumeradas y después contadas. Sin embargo, esta "carta" casi no proporciona índices convencionales para reconstruir de manera precisa cómo el sujeto se representa un rectángulo: la (re)presentación deíctica es un tipo de lenguaje limitado que no permite ni instaurar un verdadero diálogo, ni superar la convicción del lector: por ser estrictamente ostensivo, [tal lenguaje] no posee en sí mismo ninguna fuerza argumentativa (indiferentemente se podría objetar: "pero esto -designando un cuadrado- no es un rectángulo", o por el contrario, "pero esto es un rectángulo"); además, la ostensión deíctica, por ser dependiente de la presencia efectiva del referente, es un lenguaje que no puede tener -por fuera de una situación- más que un débil poder de comunicación. Por ser ostensivo, este tipo de lenguaje no permite ninguna réplica; lo que le impide conducir al conocimiento científico, fruto del debate y de la construcción colectiva.

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Respuestas n° 2 y n° 3 En estas dos respuestas, los seis rectángulos inmediatamente perceptibles son tomados directamente, fuera de conceptualización, es decir, sin reducción selectiva y constructiva de los rasgos susceptibles de caracterizar un rectángulo; como consecuencia, son también presentados aquí ostensivamente como signos, con la diferencia de que el escriptor no los representa por medio de una carta, sustituto directo del referente, sino que les da como un nombre "propio", escogido muy arbitrariamente (sin motivación directa) en un paradigma familiar, una lista de números, una lista de nombres de colores, una lista de adjetivos… Pero hay algo más en esos ejemplos: el escriptor utiliza, en efecto, esas clases de nombres propios para formar expresiones compuestas. Esta composición está marcada por un signo escogido en un campo familiar, el guión de la composición gramatical, el signo aritmético de la suma, no arbitrariamente, sino en relación con una especie de motivación más o menos inmediata. La motivación es evidente y remite a una operación conceptual, que consiste en reunir dos o varios rectángulos elementales adyacentes y en considerar ese agregado como un nuevo rectángulo; un nuevo rectángulo cuyo nombre compuesto calca ostensivamente la manera como ha sido percibido o concebido. El signo escogido para representar esta unión de rectángulos elementales no tiene las propiedades del signo habitual; ha sido descontextualizado (de su uso habitual), después, re-contextualizado (en una nueva jerga): por ejemplo, si el signo de la adición aritmética señala bien el acto de reunir en uno solo dos o varios rectángulos adyacentes, 1+1, 1+2, 1+2+3+4, efectuar las sumas indicadas -2, 3, 10-, no tendría estrictamente ningún sentido. Del mismo modo, el guión, tomado de la grafía de la lengua escrita, es utilizado independientemente de las propiedades que señala habitualmente en ese contexto. Se hubiera podido tomar otras metáforas. Tomar, por ejemplo, el signo U de la unión de conjuntos (en este caso, la igualdad 1 U 1 = 1 sería más coherente que la sorprendente escritura 1 + 1 = 1). Respuestas n° 4 y n° 5 Todas las respuestas consideradas en este momento se caracterizan por el hecho de que todo rectángulo (inmediatamente perceptible o no) está designado por una expresión compuesta. Puede tratarse de una 4-upla de mayúsculas "/ABED/", de una pareja de cifras "(1, I)", o de una pareja de letras "(A, E)". En el primer caso, uno distingue los rectángulos definidos por sus vértices ABED, ABHG, etc., y en el último, los rectángulos definidos por su diagonal principal AE, AH, etc. Las expresiones compuestas en los ejemplos precedentes muestran que el escriptor ha construido cada rectángulo a partir de una selección de elementos previamente identificados, a saber, respectivamente, los cuatro vértices (o los cuatro lados), un par de bandas, una horizontal y la otra vertical, dos vértices diagonalmente opuestos… Esta reducción selectiva no está hecha al azar; parece depender, al contrario, de una especie de definición operatoria del rectángulo, o sea, de una especie de calco de los diferentes medios por los cuales el escriptor aprehende esta forma matemática. Para uno, el rectángulo es, en el marco del problema planteado, un trayecto ordenado de cuatro vértices. Es una definición por el perímetro. Para otro, el rectángulo es definido como una intersección de bandas. Para un tercero, el rectángulo es la figura rectangular únicamente determinada por la base de su diagonal principal (numerosos programas de computación de dibujo geométrico utilizan este modo de determinación del rectángulo). Las respuestas demuestran así la articulación predicativa del pensamiento simulador y el pensamiento modelizante, el primero se apoya en lo que se conoce realmente a través de la

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figura, y el segundo, en los conocimientos memorizados y movilizados, que son especies de definiciones operatorias del rectángulo concebido de diferentes maneras. Ya no se trata de decir: "eso es un rectángulo", sino de demostrar que una definición se cumple: "el trayecto de los cuatro vértices A,B,D,E define un rectángulo que yo represento "/ABED/"; la intersección de las bandas 1 y I define un rectángulo que represento "(1; I)"; la base de una diagonal principal (o de dos vértices diagonalmente opuestos) define un rectángulo que represento "(A,E)". En otros términos, esas respuestas ya no están en el grado cero de la cognición, el del reconocimiento ostensivo de los sustitutos directos, sino en el primer grado de cognición, el del pensamiento natural (en el sentido en que se habla de lenguas naturales) que se expresa no con palabras simples y aisladas, sino a través de verdaderos predicados (que ponen en relación lo dado y lo concebido); predicados que expresan, a través de una modalidad explícita o implícitamente marcada, una postura epistémica; predicados que son, por eso mismo, susceptibles de abrir el diálogo, la polémica, la verificación o la refutación… Una escritura como "(1, I)" aparece así como un resumen cuya fórmula desarrollada sería una glosa de tipo "yo digo que es verdad que la figura obtenida al cortar una banda vertical y una horizontal es un rectángulo"; o de tipo "la definición un rectángulo es la intersección de dos bandas se aplica válidamente a las bandas 1 y I". Del mismo modo, la escritura "18 RECTANGULOS", tipográficamente insertada en el cuerpo del texto de la respuesta 4, es la forma condensada de un predicado que puede glosarse así: "Yo digo que es verdad que hay 18 rectángulos en la figura dada". La observación de las respuestas permite formular hipótesis acerca de las estrategias heurísticas puestas en práctica para realizar el conteo solicitado. Para ello basta con poner en evidencia, a partir de su organización tipográfica, la estructura retórica del texto producido. Por ejemplo, el texto de la respuesta consta de seis enunciados, todos abiertos por una especie de enorme guión y cerrados por un cambio de línea, un pequeño guión facultativo, y un espacio en blanco. Un séptimo enunciado "HAY 18 RECTANGULOS", centrado y en mayúsculas, está inserto en el conjunto del bloque formado por los seis enunciados precedentes; cada uno de estos enunciados puede, pues, ser leído en el contexto de la figura, como un resumen de la glosa "en la figura que aparece arriba, SE HAYAN los rectángulos /ABED/ABHG/ABKJ/..." Con el propósito manifiesto de nombrar una sola vez cada rectángulo percibido o concebido, sin repetición ni omisión, el escriptor parece haberse contentado con leer directamente la figura, de acuerdo con las reglas habituales de la lectura, es decir, desplazándose de arriba abajo y de izquierda a derecha, comenzando por el primer punto arriba y a la derecha. Para verlo, basta con darse cuenta de que cada enunciado, delimitado como acabamos de decirlo, contiene exactamente todos los rectángulos (definidos como un trayecto perimétrico) cuya notación comienza por la misma mayúscula (A para el primer enunciado, B para el segundo, etc. H para el sexto), y que el orden de encadenamiento de los enunciados corresponde a un barrido de la figura según el orden de lectura de los textos.

Esta estrategia no es otra que la de la lectura ordinaria, que consiste en barrer las palabras del texto de izquierda a derecha y de arriba abajo. La práctica de la lectura es suficiente para procurar al escriptor y al lector un sentimiento de evidencia, la certeza de haber pasado una sola vez por cada palabra (las 4-uplas que designan los rectángulos, como /ABED/), de haber enumerado los rectángulos sin repetición ni omisión. La respuesta (exacta) se origina trivialmente en la enumeración previa, la cual permitió ordenar el conjunto de escrituras que designa a cada uno de los rectángulos. La no repetición resulta de la diferencia de escrituras: /ABED/ no es el mismo rectángulo que /ABHG/. La no omisión resulta de un control en posición metasituacional por el hecho de que no ha sido olvidado ningún rectángulo. Este hecho aparece en la organización tipográfica del "texto": el escriptor sistemáticamente escribió todos los rectángulos cuya escritura comienza por A, después todos

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los rectángulos cuya escritura comienza por B, etc., en fin, todos los rectángulos cuya escritura comienza por H. De la enunciación individual... Se puede observar que en situación de enunciación conflictiva, todos los escriptores han dado muestras de un real dominio individual de los procedimientos léxico-morfogenéticos; y, más generalmente, de los procesos de glotogénesis: ellos inventan literalmente sus notaciones, sus sistemas de representación, sus dialectos y sus lenguas, sin vacilar en mezclar diferentes sistemas, como los de la lengua natural, representaciones gráficas y escrituras especializadas, ni en adaptarlas a sus necesidades inmediatas de expresión específica. Desde el punto de vista de la puesta en signos, y de los sistemas semiológicos que ella utiliza, dos puntos merecen ser subrayados.

Primero, la complejidad de los sistemas de representación utilizados, que mezclan en un solo enunciado (heterogéneo, podríamos decir) fragmentos en lengua natural, elementos de escritura y de tipografía, elementos gráficos, elementos de escrituras simbólicas especializadas… Después, el hecho de que hubo creación de reglas sintácticas de composición para formar el nombre de los rectángulos, y de que cada regla remite a la manera como el rectángulo ha sido definido o construido a partir de elementos constitutivos más simples (cuatro vértices o cuatro lados, dos vértices diagonalmente opuestos, dos bandas). Propias de cada uno y ligadas al conteo solicitado, las definiciones movilizadas son operatorias, en el sentido en que ellas determinan -en la medida en que son determinadas por él- el sistema representativo que cada uno utiliza para construir su propia estrategia de solución, valiéndose para ello de los medios que ponen a su disposición los sistemas de representación más generales. Propias de cada uno, estas definiciones no dejan de utilizar, pero descontextualizándolos y adaptándolos, los sistemas de representación más familiares, aquellos que proporcionan el conocimiento de la lengua natural y de los diversos sistemas especializados, como por ejemplo, la escritura de las sumas aritméticas, la codificación de las casillas de un tablero, la codificación de las figuras. En consecuencia, puede afirmarse que las situaciones de enunciación conflictiva planteadas en el marco de una actividad de solución de problemas, son un irremplazable motor de la lexicogénesis y de la morfogénesis. Es por eso que tales situaciones presentan un interés completamente excepcional para los responsables de la EBI, una de cuyas tareas más urgentes es la constitución de léxicos especializados en lenguas amerindias. Aprovecharse de la riqueza de estas situaciones permitiría, sin ninguna duda, superar los límites habituales de las prácticas de traducción inmediata -las que parten de corpus de términos matemáticos del español y se esfuerzan en traducirlos uno a uno a las lenguas indígenas-. Tarea probablemente imposible, en la medida en que los signos jamás son directamente traducibles, por no ser definidos sino por oposición a otros signos del sistema de cada lengua. Desde un punto de vista más matemático que lingüístico, podemos subrayar que todos los escriptores han empleado una definición particular de rectángulo. La originalidad es mucho más impresionante por cuanto ninguno de ellos utilizó la definición escolar, según la cual "un rectángulo es un paralelogramo cuyos lados son perpendiculares de dos en dos"; definición escolar que remite a otras definiciones, sobre todo a las del paralelogramo y de la perpendicularidad, y a las de los teoremas que explicitan las propiedades características de esa figura, por ejemplo, el hecho de que en todo rectángulo los lados opuestos son iguales,

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que las diagonales se cortan en su punto medio… En otros términos, toda definición está condicionada por una práctica, pudiéndose decir que las nociones matemáticas no existen verdaderamente sino en relación con los problemas que les dan sentido, los cuales siempre dependen más o menos estrechamente de las exigencias y necesidades de las sociedades que las desarrollan: no se producen las mismas matemáticas para la investigación médica y para la investigación nuclear; no se enseñan las mismas matemáticas para dar una cultura general que permita defenderse en la vida cotidiana y para formar matemáticos profesionales capaces de desarrollar esta disciplina milenaria. ... al debate colectivo generador de conocimientos... Colocados en situación de enunciación conflictiva, los sujetos hasta aquí han trabajado de manera individual. Es poco probable que la situación haya provocado el menor aprendizaje matemático. De una parte porque ellos no han movilizado más que conocimientos simples y puntuales anteriormente adquiridos (una definición del rectángulo y una técnica de conteo); y de otra parte, porque la situación no les devuelve ningún feed-back que les permita controlar ellos mismos la exactitud o inexactitud de su respuesta. En otros términos las situaciones de enunciación conflictiva no son situaciones de aprendizaje. Los didactistas han subrayado bastante las insuficiencias de la escuela tradicional, la cual le confía al solo maestro el cuidado de corregir las respuestas, estigmatizando con un trazo rojo lo que el alumno frecuentemente experimenta no tanto como un error, sino como una falta, y dejando de valorar (¿debería utilizar un trazo azul?) las respuestas -correctas o no a los ojos del maestro y de descubrir la "lógica" y las representaciones que han conducido al alumno a producirlas. Los epistemólogos abundantemente han subrayado el hecho que los conocimientos son, como las representaciones y los saber-hacer, el fruto de una construcción colectiva.

Se puede admitir, pues, que los maestros de la nueva escuela, sobre todo de la EBI, no pueden contentarse con colocar a los alumnos en situación de enunciación conflictiva, sino que les toca organizar situaciones de aprendizaje propiamente dicho, es decir, dirigir la entrada a la vida cognitiva y, más allá, al pensamiento científico. Esta iniciación puede comenzar por la organización de debates colectivos. La confrontación del conjunto de respuestas en el ejercicio de conteo de rectángulos proporciona al grupo de alumnos numerosos feed-back, que la situación de enunciación conflictiva no había permitido hacer surgir con tanta intensidad. Comenzando por el descubrimiento de que cada uno no llegó necesariamente al mismo total: los participantes en un seminario internacional celebrado en Cuzco, por ejemplo, han proporcionado las respuestas siguientes: 1 (solo un rectángulo divido en seis), 5 (cinco rectángulos y un cuadrado), 6, 13, 14, 18, 19, y 24 rectángulos (porque cada rectángulo contiene internamente cuatro rectángulos). La confrontación colectiva de las respuestas, y sobre todo de los medios utilizados por cada uno para llegar a ellas, enriquece considerablemente la paleta de definiciones operatorias del rectángulo; ello se logra poniendo en evidencia el vínculo funcional, que conecta cada definición particular con la búsqueda de las heurísticas enumerativas que ella suscita o estimula. Por esa razón, la confrontación de las formulaciones es parte integrante de la actividad matemática de conteo. Claro que la riqueza de los debates, sobre todo entre interlocutores de lenguas y culturas diferentes, depende del número y de la originalidad de las definiciones aparecidas en el transcurso de la fase de búsqueda individual (y/o presentadas en el transcurso de la fase de debate socio-cognitivo), pero también depende de la originalidad de los sujetos a los cuales se les propuso el ejercicio: el citadino, por ejemplo, no propone las

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mismas definiciones operatorias que el agricultor, o que el especialista de la informática. Igual sucede con los matemáticos.

Poner a disposición esta riqueza supone evidentemente que cada uno pueda escuchar al otro, y que unos y otros dispongan de lenguas que sirvan de puente entre sus diversas cosmovisiones y/o de medios de traducción. Todo induce así a conjeturar que el rendimiento cognitivo pasa por lo máximo cuando en el grupo hay un auténtico especialista de cada una de las dos culturas y un auténtico especialista de la traducción de las dos lenguas; del mismo modo, los cursos que más progresan en matemáticas son aquellos que constan de suficientes alumnos buenos y que cuentan con un maestro sensible a las técnicas de cambio de sistemas de representación, y el cual dispone de índices fiables para seguir los adelantos del alumno en este campo de competencia transdisciplinar (RAUSCHER, 1993). Se puede, pues, admitir (y verificar por medio de la experiencia) que el debate socio-cognitivo será tanto más rico cuanto más se desarrolle entre interlocutores bien diferentes. Para los programas EKU lo ideal es organizarlo en el seno de lo que hemos llamado "cadenas de intérpretes", es decir, grupos interétnicos e interdisciplinarios, a la vez. Con la condición de que, naturalmente, esos interlocutores puedan entenderse (tanto material como cognitivamente: la experiencia indica que a veces es más difícil, para un lingüista, entender a un matemático occidental expresándose en la "misma" lengua suya, que entender a un locutor de una lengua amerindia no-descrita). El componente interétnico es una condición necesaria para poder tomar en cuenta las representaciones y cosmovisiones autóctonas. El componente interdisciplinario es una condición necesaria:

a) para poder tomar en cuenta la especificidad de los conceptos científicos comprometidos, y

b) para la conducción de las operaciones de aproximación (o traducción) de las representaciones de los contenidos en las dos culturas y las dos lenguas en cuestión.

La articulación de estos dos componentes es otra condición que debe subrayarse fuertemente: no basta con reunir a unos actores interétnicos e interdisciplinarios, también es necesario que ellos cooperen y que formen una cadena con eslabones bien soldados Así ha aparecido la cadena de intérpretes en las experiencias llevadas a cabo en la Sierra Nevada y/o en la Universidad de la Guajira, como la más pequeña unidad que permite sobrepasar los límites habituales de las sesiones de traducción en lengua amerindia, y uno a uno, de los ítems de lista de términos científicos en español, sesiones que conducen invariablemente a reproducir la organización cognitiva de los contenidos tal como ella existe en los libros escolares de la sociedad dominante. Podríamos mostrar, a título de contra-ejemplo, que los sistemas de numeración construidos para las necesidades de la escuela indígena (y que a veces han sido denominadas "neonumeraciones") son calcos directos del sistema de numeración hablada en español, de la cual reproducen, para la formación de los mismos compuestos, las dos reglas "sintácticas", la de la composición de valor aditivo y la de la determinación de valor multiplicativo. Estos calcos sólo difieren de su modelo en español en la escogencia de los significantes de los átomos del vocabulario terminal (los nombres de los primeros números y los de las unidades diez, cien, mil y millón), y en las limitaciones de la gramática (las reglas de composición y de determinación). Para ser operacionales, las cadenas de intérpretes incluyen al menos adultos amerindios -sobre todo depositarios de conocimientos tradicionales-, matemáticos (si se trata de producir léxicos matemáticos), lingüistas y especialistas en problemas de "traducción". Para justificar el costo de su ejecución y de su permanencia, dichas cadenas deben, además,

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movilizarse y continuar movilizándose alrededor de un proyecto común suficientemente rico. Más adelante veremos que el programa Kwibi Urraga de la Universidad de la Guajira propone movilizar tales equipos alrededor de un programa concreto de traducción, escogido por su capacidad para generar resultados teóricos (sobre las diversas génesis tratadas), producciones prácticas (obras científicas en lenguas amerindias) y para facilitar ocasiones de experimentación y ocasiones de formación de actores de la EKU. ... para acceder al pensamiento matemático Enumerar y contar conjuntos, definir y caracterizar formas geométricas son actitudes matemáticas; sin embargo, los matemáticos vacilan en considerar el ejercicio de contar rectángulos y las soluciones que hemos presentado, como del dominio de las matemáticas de hoy: ese ejercicio no exige más que mostrar que se es capaz de distinguir las formas rectangulares y contar hasta dieciocho. Aquí nos topamos nuevamente con la discusión que enfrenta a antropólogos y matemáticos sobre la naturaleza -científica o no, matemática o no- de los conocimientos y los saberes observados en las prácticas cotidianas; discusión que, si se quisiese ser equitativo, llevaría a aceptar la idea de que el pensamiento natural ha producido más conocimientos de lo que se admite generalmente, y que el pensamiento matemático está menos fuera de lo común de lo que se dice frecuentemente. Los primeros declaran que las prácticas cotidianas prueban que el hombre de la calle (o el indio de las selvas) produce matemáticas. Salvo que, sin embargo, ellos no llegan a suprimir toda calificación adicional, lo que disminuye singularmente la fuerza del argumento: los antropólogos hablan, en efecto, de matemáticas de la calle, de etnomatemáticas, pero rara vez de matemáticas (en plural) a secas, y menos aún de matemática (en singular). En cuanto a los segundos, ellos dicen que no se trata de matemáticas, sino en el sentido de matemáticos de hoy, o matemáticas rigurosas. En el mismo sentido, las matemáticas de la Edad media, que hemos calificado de auténticas etnomatemáticas, ya no se consideran como parte integrante de los tratados modernos, como el de Bourbaki, por ejemplo, y parece que sólo se les utiliza -esporádicamente, cuando ello ocurre- para motivar a los alumnos de ciertos cursos.

El asunto merece, pues, ser examinado. Antes que responder dogmáticamente, pienso que es más útil mostrar bajo qué condiciones los matemáticos aceptarían considerar el ejercicio de contar como parte de sus prácticas. Una simple encuesta dirigida a matemáticos profesionales permite extraer una condición esencial. Se trata de una condición de generalidad, o por lo menos, de una exigencia de generalización. La definición de la generalidad es, por lo demás, uno de los escollos de las discusiones precedentes: los matemáticos la conciben en términos de teorías que puedan aplicarse a un gran abanico de situaciones simplemente concebibles, mientras que el antropólogo se interesa en los casos concretos, aquellos en los que interviene tal o cual institución particular. La exigencia de generalidad, por ejemplo, exige hacer que las soluciones descubiertas sean, por lo menos, independientes del caso específico que permitió plantear el ejercicio. Muy espontáneamente, los matemáticos interrogados proponen dos tipos de generalización. Es bastante sorprendente constatar que los no-matemáticos sometidos a la misma encuesta no proponen ninguna generalización, y que muchos de ellos parece que ni siquiera comprendiesen el sentido de la pregunta planteada. Un primer tipo de generalización propuesto por los matemáticos consiste en preguntar cuántos rectángulos hay en una cuadrícula con un número dado de casillas. Por ejemplo, cuántos rectángulos hay, si se sabe que la cuadrícula tiene n líneas horizontales y p líneas

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verticales. Un segundo tipo de generalización consiste en cambiar la forma de la figura de base -reemplazando, por ejemplo, el motivo rectangular por un motivo triangular- y preguntar cuántos triángulos hay en la nueva cuadrícula, o aun preguntar si es posible inventar un método aplicable indistintamente al caso del rectángulo y al del triángulo.

A pesar de que esta encuesta no haya sido aplicada a una muestra representativa y que, en consecuencia, no pueda tener más que un valor indicativo, su resultado hace más verosímil la idea de que la práctica matemática desarrolla hábitos específicos de representación y de generalización, los cuales podrían validar la conjetura según la cual existe una diferencia (no de naturaleza, pero tal vez de grado y seguramente de objeto) entre las representaciones y los procedimientos de generalización utilizados por el hombre de la calle y los utilizados por los profesionales de las matemáticas. Para el matemático, representar, no consiste en extraer unas propiedades y reducir de ese modo la complejidad de lo real, sino que consiste, por el contrario, en enriquecerla, organizarla, estructurarla. Bien sabido es que, por ejemplo, los esquimales se hacen -utilizando las mismas herramientas cognitivas que nosotros- una representación de la nieve más rica que la nuestra. Ellos no son ni superiores ni inferiores a nosotros, aun cuando sus actuaciones aventajen las nuestras en ese campo. Lo mismo sucede en matemáticas. En su campo, los matemáticos disponen de representaciones acumuladas a lo largo de dos milenios de esfuerzos colectivos. Esos instrumentos -originados en la práctica sistemática del razonamiento matemático- les permiten generalizar muy espontáneamente el ejercicio de contar y resolverlo en el caso general. Al igual que sucede con las respuestas obtenidas en el caso particular, las respuestas del caso general difieren de un matemático a otro, y las estrategias de solución dependen de la escogencia de la definición puesta en práctica para aprehender los rectángulos; tal escogencia también condiciona muy directamente el número y la naturaleza de los conocimientos matemáticos necesarios para el desarrollo de la demostración. Partiendo de la definición del rectángulo como intersección de dos bandas, por ejemplo, el problema general se descompone en otros dos: contar, por una parte, las bandas horizontales y verticales que pueden ser construidas con n líneas horizontales y p líneas verticales; y determinar, por otra parte, el número de rectángulos obtenidos al cortar x bandas horizontales y y bandas verticales. Para un matemático, el número x de bandas horizontales (o el número y de bandas verticales) es una combinación dos a dos de n líneas horizontales (o de p líneas verticales), representado por el número Cn2 (o Cp2 ) utilizado por los matemáticos francófonos. Del mismo modo, el número de rectángulos se obtiene formando todas las parejas posibles, apareando una de las x bandas horizontales con cada una de las y bandas verticales; este número es dado por el producto x.y.

Sea finalmente la fórmula general: Cn2 x Cp2 .

Sólo resta saber que los números de combinaciones se calculan ellos mismos gracias a las fórmulas Cn2 = n!/2! (n-2)! y Cp2 = p!/ 2! (p-2)!. Lo que da para el caso particular:

1·2·3·4/1·2·1·2 x 1·2·3/1·2·1 = 18. Partiendo, por ejemplo, de la definición de los rectángulos por su diagonal principal,

el problema general se reduce a calcular el número de diagonales que se pueden formar en la red de puntos dados para la cuadrícula. Esta vez, el matemático comienza determinando el

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número de puntos diagonalmente opuestos a todo vértice de la cuadrícula. Todo vértice Ai,j, situado en la intersección de la i-ésima horizontal y de la j-ésima vertical, puede estar opuesto a (i-1).(j-1) vértices situados en las intersecciones de las i-1 horizontales por debajo de la i-ésima línea, y de las j-1 verticales a la derecha de la j-ésima línea.

Basta con hacer, pues, la suma aritmética de todas las diagonales correspondientes a los vértices Ai,j; lo que da la fórmula general:

ΣΣΣΣi ( Σ Σ Σ Σj [(n-i).(p-j)] ) la cual solamente supone como conocido el medio de calcular los vértices aritméticos generalizados. Sea para el caso particular: [(4-1) + (4-2) + (4-3)] · [(3-1) + (3-2)] = 18. Cálculo que puede poner en evidencia la respuesta siguiente en la cual cada vértice es modificado por un número correspondiente al total de los puntos que le son diagonalmente opuestos: 6 3 En esta figura, hay 6 + 3 + 4 + 2 + 2 + 1 = 18 rectángulos. Sobre la base de los ejemplos anteriores se comprende mejor una diferencia importante entre las matemáticas de la calle, más cercanas a los métodos intuitivos de las fases de investigaciones heurísticas, y las matemáticas de los matemáticos, más rigurosamente vinculadas a la práctica erudita de la demostración y el razonamiento formal.

Pero se comprende sobre todo la necesidad y la apuesta que representa para la formación y la educación, el objetivo de articular diferentes formas de "lógica" y de racionalidad, de establecer verdaderos puentes entre las prácticas populares y eruditas. Y se entrevé la imposibilidad de alcanzar este objetivo sin disponer de cadenas de intérpretes interétnicos e interdisciplinarios. El trabajo de traducción para el cual el programa Kwibi Urraga convoca a esos intérpretes supone particularmente que ellos conozcan el sistema de la lengua de los matemáticos.

¿Qué lengua(s) hablan los matemáticos? Muchos matemáticos profesionales están convencidos de que sus disciplinas son universales e independientes de las culturas y las sociedades en las cuales se desarrollan. Hacen notar, por ejemplo, que se entienden unos a otros, de París a Tokio, pasando por Moscú, Sao Paulo, Tel Aviv o Nueva York; y que sus compatriotas no-matemáticos no tienen mayor comprensión de sus dialectos y sus procedimientos científicos que los amerindios, que hablan lenguas que no han desarrollado léxicos especializados por y para el uso matemático.

Algunos deducen de allí que el aprendizaje de las matemáticas es independiente de la lengua natural utilizada para la enseñanza de esta disciplina, la cual dispone de una lengua universal y de una escritura de tipo ideográfico cuya lectura es independiente de las lenguas naturales. Trabajar en el desarrollo de una lengua matemática wayuunaiki, ikan, damana, kogian o nasa yuwe, sería pura pérdida de tiempo. Muchos profesores están convencidos de que, por el contrario, las matemáticas sólo pueden tener sentido para sus alumnos cuando se adecuan secuencias situacionales que permiten articular las nociones matemáticas que se enseñan con las nociones naturales familiares y, por eso mismo, necesariamente expresadas en la lengua de los alumnos. Hacen notar, entonces, que todos los países, desarrollados o no, decidieron utilizar la lengua materna de los alumnos como soporte de la enseñanza de las matemáticas y no, por ejemplo, el inglés,

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convertido en lengua internacional de comunicación científica. Muchos recomiendan, por las mismas razones, recurrir también a la historia y a la

epistemología de las matemáticas (y, por ende, a las etnomatemáticas). Algunos sacan como conclusión que la enseñanza de las matemáticas es fundamentalmente dependiente de la lengua natural y que, en consecuencia, los amerindios deberían comenzar -como ha sucedido en numerosos países africanos, por ejemplo- a desarrollar en sus lenguas las estructuras y los léxicos especializados que esta enseñanza supone, comenzando por los subsistemas de la numeración. Como se intuye, aun reducido a la escogencia de la lengua que convendría escoger, el reto de las escuelas EKU y EBI -enseñar y practicar las matemáticas en los pueblos amerindios- no es simple; y las soluciones preconizadas todavía dependen de muchos prejuicios: unos que conducen a reivindicar el uso de las lenguas maternas; otros, el uso de la escritura universal de los matemáticos. Pero para dejar atrás los prejuicios de un debate que se creía superado, actualmente sólo disponemos de escasos datos -científicos y experimentales- sobre el problema específico de la apropiación del conjunto de conocimientos complejos y estructurados, en las situaciones de muy grande diversidad cultural y lingüística. En esas condiciones, parece indispensable que cada uno precise sus opciones iniciales. En lo que nos concierne, consideramos las siguientes tesis:

1) los matemáticos utilizan una lengua específica, incomprensible (e impronunciable) para el profano no-iniciado: "Tenemos: ΣΣΣΣi ( Σ Σ Σ Σj [(n-i).(p-j)] ) rectángulos"; esta lengua matemática, "Sprache Mathematik" (MEHRTENS, 1990) es un sistema de palabras y símbolos, con reglas formales estrictas;

2) esta lengua es fundamentalmente una escritura, es decir, un sistema visual de representación simbólica, susceptible de ser leído idénticamente por todos, y destinado a comunicar textos completos constituido por encadenamientos de predicados; 3) el núcleo de esta escritura es un sistema semiótico de tipo ideográfico -que podemos llamar "escritura simbólica" o "escritura especializada", ES- específicamente construido para la representación de los términos (1, 2, a, b, x, y, Ai,jk, tB, ...), los conjuntos (1+2, f(x,y), A B, ...), las jerarquías de conjuntos, y las relaciones (, ...) ; 4) como cualquier lengua, la escritura matemática se distribuye en numerosos registros que corresponden a unas prácticas especializadas: aritmética, álgebra, geometría, cálculo de probabilidad, lógica, etc.; al igual que cualquier otra comunidad lingüística, los matemáticos han creado un cierto número de géneros, por ejemplo: el teorema, la definición, la demostración, la enunciación de problemas; 5) la lengua matemática se presenta siempre como una mezcla susceptible de utilizar, en un mismo enunciado heterogéneo, los recursos de todos los registros disponibles, pero también los recursos más generales como los de la tipografía, de la representación gráfica y de una lengua natural; 6) se puede demostrar que ningún texto matemático puede semiológicamente eliminar el uso de una lengua natural, sobre todo para producir enunciados metamatemáticos indispensables para la comunicación matemática y para distinguir, en el transcurso de la demostración, los cambios de contenido (12 = 3 x 4; 12 = 10 + 2) y de estatuto (hipótesis, consecuencia) de los enunciados (proposiciones); 7) de lo anterior resulta que el dialecto de los matemáticos "Sprechen der Mathematiker" (MEHRTENS, 1990) está siempre, en la práctica de esta disciplina científica, ligado a una lengua natural, a menudo la lengua materna del matemático; las limitaciones de este uso conducen evidentemente a evoluciones de la lengua natural, la cual se transforma siempre en jerga más o menos especializada;

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8) el desarrollo de la escritura matemática está en correlación con el desarrollo de la disciplina; y recíprocamente: estos dos tipos de desarrollo se sirven mutuamente de catalizadores en el transcurso de una dialéctica hecha de continuidades y discontinuidades;

9) al igual que toda lengua, la lengua matemática cumple al menos tres funciones en el aprendizaje: acompañar y ayudar al pensamiento en su trabajo: a) de identificación de los objetos y sus relaciones, b) de clasificación, tratamiento y transformación de informaciones, y c) de programación y control de las acciones. Traducir a lenguas amerindias textos matemáticos parece, actualmente, imposible; en todo caso, ese trabajo, necesariamente interdisciplinario e interétnico, supone que los intérpretes conozcan las lenguas amerindias y las escrituras matemáticas. Pero esas condiciones no son todavía suficientes, porque hace falta, además, establecer la factibilidad de este trabajo mostrando que un texto matemático es efectivamente traducible a lenguas amerindias. En la actualidad, ninguna traducción permite testimoniar este punto. Nos falta, en consecuencia, imaginar las condiciones de traducibilidad de tales textos. Las experiencias colombianas, sobre todo las de traducción de grandes fragmentos de la Constitución política de 1991 en siete lenguas amerindias, las reflexiones del seminario "Traducción y alteridad lingüística", presentadas en Quito, en el 49o Congreso de americanistas, y los trabajos de los lingüistas de la Universidad de la Guajira agrupados en el Programa Kwibi Urraga, permiten precisar algunos postulados y condiciones de traducibilidad. de la traducibilidad... 1) La toma de datos y la comprensión de las nociones más fundamentales tanto para el razonamiento natural como para el razonamiento erudito (por ejemplo: el número, el espacio y el razonamiento), y sus representaciones tanto por y en las lenguas naturales como por y en las jergas de los especialistas, son procesos de co-génesis (cada una con su desarrollo propio) que conducen a cosmovisiones o a lógicas particulares, y que se vuelven habitualmente cada vez más extrañas una frente a la otra.

2) Los procesos de glotogénesis y de gnosogénesis se fecundan mutuamente, por ejemplo, la notación y la noción de los números: la (re)presentación cataliza la (com)prensión y viceversa. 3) El dominio de los sistemas de representación del otro es una condición de acceso a su pensamiento: hay que conocer las lenguas amerindias para acceder a las cosmovisiones de esos pueblos, y hay que conocer las escrituras matemáticas para acceder a las demostraciones de los matemáticos. 4) Todo pensamiento, natural o erudito, es "traducible" a los registros y lengua del otro, extranjera o no, natural o erudita; pero sólo bajo la condición de admitir que el tiempo de la traducción es del orden del tiempo cognitivo que fluye en la duración de un doble aprendizaje. El primero, de naturaleza más lingüística, es el del aprendizaje de los sistemas de representación del otro. El segundo, de naturaleza más cognitiva, es el del reconocimiento de las necesidades, los problemas, las respuestas y las prácticas resolutorias del otro. Este doble proceso de aprendizaje no conduce a reconstruir idénticamente el pensamiento del otro (salvo acaso en el marco de la escuela voluntariamente asimiladora); en el mejor de los casos, la "traducción" (o el aprendizaje) será menos el reflejo, incluso la síntesis, de dos cosmovisiones -que estructuran diferentemente el mismo campo y dan claves suficientes para permitir distinguirlas- que la invención de nuevas variedades de saberes y conocimientos, y de nuevas variedades, sino de lenguas, por lo menos de registros de lenguas y jergas. 5) Pasar de un sistema lingüístico a otro no obliga a traducir, sobre todo cuando uno

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de los sistemas es una escritura de tipo ideográfico, pero constriñe a construir representaciones metalingüísticas, a colocarse en situación de reflexión, en posición metasituacional.

6) Esta actividad cognitiva, que podemos llamar de "traducción", hace parte de la práctica del matemático, en la medida en que él es un especialista que hace malabarismos con las representaciones y las notaciones, sobre todo para hacer que las nociones sean independientes, en la medida de lo posible, de las notaciones y las situaciones. 7) Tomar en cuenta el hecho de la diversidad de lenguas y cosmovisiones (naturales y eruditas, amerindias y occidentales) es una condición Kwibi Urraga, necesaria cuando se trata de minimizar los cortes crecientes, por ejemplo, entre los defensores de una geometría de la observación, cercana a las preocupaciones del hombre de la calle, y los defensores de una geometría hipotético-deductiva, cercana a las prácticas matemáticas. Los maestros, y muy especialmente los de los programas EKU y EBI, son fundamentalmente unos guías capaces de inventar y de construir las vías que permiten desplazarse de una cultura a otra -sobre todo entre una cultura natural y una cultura matemática-, unos traductores de registros de lenguas y jergas científicas, y unos intérpretes que integran el pensamiento de unos y otros. En pocas palabras, unos especialistas de las dos culturas, unos anfibios culturales, unos hombres capaces de colocar a otros en unas secuencias de situaciones de aprendizaje propias para iniciar la actividad, a la vez cognitiva y matemáticamente formadora, generadora de lenguajes que permiten la comunicación de los contenidos y su posicionamiento en unas escalas de valores, especialmente de valores lógicos de verdad.

... de la escritura matemática

1) El matemático es un especialista que hace malabares con las representaciones, capaz de construir toda suerte de modelos, interpretaciones de simulaciones, de materializaciones… El uso de las matemáticas proporciona así una especie de caja de herramientas particularmente bien surtida, para representar y comprender el mundo interior de la información y el mundo exterior de la materia, dos mundos regidos por principios específicos diferentes (por ejemplo, un principio de coherencia para el mundo material y un principio de no-contradicción para el mundo de las ideas), a los que la capacidad de lenguaje permite poner en relación (por ejemplo, en relación de acuerdo suficiente). 2) Practicar o comprender las matemáticas supone adquirida la distinción entre lo que es "general" y lo que es "particular".

El entrenamiento de base de todo aprendiz de matemático, o de todo traductor de textos matemáticos, pasa por la formación de esta sensibilidad característica, y por la comprensión y aceptación de esta distinción. Bien temprano en la formación del joven matemático, por ejemplo, el maestro trata de inculcar el hábito, contrario a la tendencia natural, de que para (de-)mostrar que las diagonales de un rectángulo son iguales, no tiene derecho, en clase de matemáticas, a medirlos, sino que debe, por el contrario, proporcionar una argumentación independiente del dibujo y sus medidas; no sólo del dibujo que tiene frente a sus ojos, sino también de toda representación posible de la misma situación. Bien temprano en la formación, el maestro trata de inculcar la idea de que la fuerza de las nociones y de los teoremas reside en su independencia con respecto a las estructuras y a los formalismos que sirven para expresarlos.

3) Esta diferencia no está ligada a la complejidad de las tareas. Todo matemático

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establece la diferencia entre una propiedad del juego de ajedrez -cuyas reglas y consecuencias, que pueden ser bien complejas, dependen siempre del tablero- y un teorema sobre las invariantes topológicas o algebraicas, cuyo sentido más profundo reside más exactamente en su transferibilidad a una multiplicidad de estructuras y situaciones. Por ejemplo, el joven matemático debe comprender que, a pesar de su verdad y su utilidad innegables, la regla de divisibilidad por nueve (-"cuando la suma de las cifras de un entero natural, representado en numeración decimal, es múltiplo de nueve, entonces este entero es divisible por nueve"-) no constituye un teorema de la teoría de los números. Pues, los teoremas deben ser independientes del sistema de numeración utilizado para representarlos (hablada o escrita, binaria, decimal, vigesimal…); y el estudiante no debe confundir la noción y su notación.

4) No existe ningún pensamiento en estado puro, independientemente de una forma que lo expresa, lo representa y permite comunicarlo a los demás. El reto matemático -hacer que las nociones y los teoremas sean invariantes con respecto a las notaciones y lenguas, contextos y situaciones- es, pues, paradójico. Pero esta paradoja no lo es menos en el seno de la disciplina misma y expresa una de sus especificidades más íntimas.

5) Esta independencia parece ser el resultado de la búsqueda obstinada de los matemáticos, siempre estresados por el deseo de ir más allá de las cosas de sentido común, y de liberarse de las notaciones, consideradas demasiado contingentes, demasiado "ad hoc", demasiado pesadas, demasiado poco elegantes, etc. El fruto de una práctica cotidiana de cambios de puntos de vista, de cambios de notaciones, de cambios de registros, de cambios de escrituras simbólicas. Total, el fruto de todo un trabajo de "traducción" que hace familiar la percepción de la "transferibilidad" de contenidos; y como consecuencia, la percepción de una invariancia más general, la invariancia en los invariantes cognitivos propios de cada cosmovisión, cultura, lengua, escritura o jerga. 6) La práctica familiar y cotidiana de la "traducción" aparece así como el medio más habitual y más poderoso en la práctica matemática, de afilar la punta de nuestras facultades de abstracción. Hasta hacerlas capaces de aprehender lo impensado y de agarrar como objetos familiares "idealidades" inaccesibles para los no-iniciados. Fueron necesarios, por ejemplo, dos mil años de matemáticas para concebir una definición operatoria del infinito, independiente especialmente de toda opinión sobre los atributos de lo divino.

Uno imagina todo el beneficio que los programas de la EKU obtendrían si se echase mano de la diversidad de lenguas y cosmovisiones para ampliar la experiencia humana precedente, organizando sistemáticamente el ideal matemático de experimentar cotidianamente los medios de hacer que los contenidos sean independientes de las lenguas y las representaciones. No buscando lo imposible, es decir, separarlos absolutamente de toda lengua particular, sino experimentando cómo un mismo contenido puede ser "transferido", "traducido", expresarse en varias lenguas, escribirse de diferentes maneras y en diferentes sistemas de escritura. Ya que si las nociones no son primeramente vinculadas a representaciones particulares, simplemente no existirán y será imposible lograr que ellas puedan ser separadas de esas formas -observando cómo ellas pueden unirse a otras notaciones o a otros lenguajes- para, finalmente, poder ser sometidas a las reglas que el pensamiento reflexivo construye y precisa poco a poco (por ejemplo, el descubrimiento matemático de una definición operatoria del infinito obliga a reconsiderar un principio que ella contradice, a saber, el principio que dice que "el todo es más grande que la parte"). 7) La traducción de un texto de contenido complejo y estructurado, por ejemplo una constitución política, no puede ser la obra de un hombre solo.

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8) La traducción de tales textos supone la intervención de toda la comunidad autóctona, principalmente de sus autoridades tradicionales, lo mismo que la de expertos especialistas de las disciplinas que el texto contiene, e insoslayablemente, la de los lingüistas, excluyéndose la figura cada vez más obsoleta del lingüista hombre-orquesta que dirige todo el proceso, desde la descripción de la lengua hasta la presentación de la traducción a sus pares, traducciones de mitos que él mismo ha recogido en el secreto de su relación con el informante. Más que la experiencia de la traducción en siete lenguas amerindias de grandes fragmentos de la Constitución política de la República de Colombia, la experiencia llevada a cabo en Riohacha de traducir en wayuunaiki un manual de aritmética a nivel de un primer ciclo universitario está mostrando una nueva exigencia: 9) los intérpretes implicados en el acto de traducir deben formar una cadena de eslabones sólidamente soldados, es decir, participar juntos en el control de todos los momentos del proceso de traducción del texto matemático.

3. El laboratorio Kwibi Urraga Un déficit de conocimientos Lejos de desaparecer, las situaciones de gran diferenciación cultural y lingüística se multiplican en todos los niveles de organización de las sociedades y naciones. Los más optimistas ven allí una promesa de desarrollo; los más pesimistas, el anuncio de violencias étnicas y explosiones sociales. Colombia, con más de sesenta lenguas indígenas, no escapa a esta constatación. Frente al déficit de conocimientos, tanto teóricos como prácticos, de la dinámica de estas situaciones tan diversas como imprevisibles, los científicos de campo -antropólogos y etnolingüistas, principalmente- han tomado conciencia, en particular en la Guyana francesa, de la importancia y urgencia de desarrollar verdaderos programas de investigación para delimitar mejor y tener en cuenta algunos factores específicos de exclusión, ligados al carácter pluriétnico, pluricultural y plurilingüe de las sociedades modernas, en las cuales las causas de la marginalización y el cambio de clase social -indicadores de rupturas crecientes- parecen hoy depender menos de los imperativos económicos que de las realidades socioculturales y políticas. Este déficit de conocimientos surgió como uno de los factores que más fuertemente limitan hoy las tentativas propuestas para reducir las crecientes desigualdades, como por ejemplo, los numerosos programas de EBI que se ejecutan en América latina.

Un límite de experiencias Como lo han subrayado los organizadores del seminario de Cuzco, El Aprendizaje de la matemática en pueblos indígenas en América latina, las primeras experiencias de EBI y los coloquios que los han acompañados, han hecho hincapié en los problemas de la enseñanza de lenguas, el de la lengua indígena de los alumnos -con todos los problemas de transcripción que ello supone- y el del español considerado como segunda lengua y como lengua de transmisión de conocimientos científicos. Las primeras experiencias se han chocado en el terreno con una barrera recurrente, la dificultad previsible de la enseñanza de las ciencias en sociedades de tradición oral y economía marginal. Y cuando existe, la enseñanza de las ciencias sigue siendo, en los

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programas EBI, extremadamente modesta, poco adaptada, mal realizada, muchas veces aún en español y siempre sin medios técnicos suficientes para una enseñanza experimental (biología, química, física…). Las tentativas han sido más numerosas en matemáticas. En esta disciplina, y bajo el impulso de antropólogos y lingüistas de campo, se han llevado a cabo investigaciones con la esperanza de descubrir y describir una cultura matemática indígena en la cual articular la enseñanza de las matemáticas "universales", en este caso, las matemáticas tradicionalmente enseñadas en las escuelas primarias del país concernido. Los esfuerzos se han referido especialmente a los sistemas de numeración tradicionales y a los algoritmos operatorios de base (las cuatro operaciones, las relaciones de orden); y este material ha servido generalmente para producir una terminología indígena para una enseñanza limitada en realidad, como en el caso de los paeces, a lo que hay que llamar primerísimos rudimentos de matemáticas.

Muy a menudo, los matemáticos y los didactistas no han tenido ninguna parte activa en estos esfuerzos. Los objetivos han seguido siendo excesivamente escolares. El aprendizaje ha tomado, a veces, la forma de memorización de nociones y de repetición mecánica de las tablas y los algoritmos. A veces también ha tomado la forma de remotivación cultural de los aspectos más exteriores de tal o cual noción, incluso de tal o cual notación. Excepciones pueden evidentemente existir, pero si este es el caso, sería muy provechoso que ellas fuesen conocidas. Una falta de precisión En consecuencia, la cuestión de la definición de contenidos y la de su adaptación a las diferentes lenguas y culturas amerindias -cuestiones que constituyen el verdadero cuello de botella de todas las reformas educativas en situación de gran diferenciación cultural y lingüística- siguen siendo de actualidad: En matemáticas no se conoce con precisión ni el punto de partida ni el de llegada de la EBI; el punto de partida porque no se dispone -entre otras cosas por falta de un número suficiente de lingüistas de lengua materna autóctona- de estudios suficientes de los elementos de las cosmovisiones indígenas en las cuales podrían articularse las matemáticas; el punto de llegada porque el objetivo de la enseñanza de las matemáticas sigue siendo ambiguo: aparte de la cuestión de los primerísimos rudimentos de una aritmética de la vida cotidiana, ningún otro objetivo de la enseñanza de las matemáticas ha sido fijado con toda la claridad deseada y menos aún, experimentado en el terreno. Parece urgente, pues, hacer las cosas como deben hacerse y realizar las investigaciones necesarias para la elaboración de propuestas curriculares realmente interculturales para la enseñanza de las matemáticas en los pueblos amerindios, o sea, propuestas que tengan en cuenta la realidad de las matemáticas y la realidad de las cosmovisiones indígenas de hoy. Los pocos resultados obtenidos hasta ahora en el terreno muestran que el problema es más complejo de lo que se había supuesto, y que no será probablemente resuelto de manera satisfactoria ni por los lingüistas o antropólogos de terreno solos, ni por los matemáticos solos, ni por los indígenas solos, ni por los responsables de las instituciones escolares solos. Lo cual muestra la necesidad de la articulación del conjunto de todos estos actores.

Unas enseñanzas Un resultado no despreciable puede, no obstante, ser resaltado: ahora se conoce la naturaleza del problema que deben resolver la EBI y la EKU.

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Es un problema de frontera, de interfaz, de articulación, de transmisión, de traducción, de repartición… de contenidos de conocimientos complejos y estructurados, entre personas de lenguas y culturas realmente diferentes, aún más diversificadas de lo que uno se imaginaba. También hemos aprendido que los contenidos complejos y estructurados sólo pueden ser transmitidos con el sentido de reconstrucción, es decir, en el transcurso de un proceso de génesis y hasta de enmarañamiento de génesis. Fundamentalmente, es un problema epistemológico para el conjunto de las ciencias de la cognición. Una especificidad del problema planteado proviene del desarrollo exponencial de las matemáticas universales, el cual parece haber provocado un corte que convierte en inconmensurables los conocimientos del común de los mortales y los del matemático. Este corte es, probablemente, una causa esencial de las dificultades de la enseñanza de las matemáticas. Dificultades que se observan en el mundo entero y que han originado innovaciones, posteriormente investigaciones, sobre todo en didáctica de las matemáticas.

Estas dificultades no excluyen evidentemente a los maestros indígenas de la EBI; por el contrario, presentan una intensidad tanto más excepcional cuanto que las diferencias lingüísticas y culturales son, en este caso, realmente impresionantes. Y esto tanto más cuanto que desde la caída de sus civilizaciones, los amerindios -sobre todo los mayas- no participan ya en la construcción de las matemáticas universales. Algunos matemáticos señalan que en este punto los amerindios no difieren en nada de los occidentales, y precisan que ellos no participan más en esta construcción que el hombre de la calle de los países industrializados, considerado -a menudo con justo título- como "analfabeta en matemáticas"

Los dos casos exigen, sin embargo, ser claramente distinguidos, ya que un francés, por ejemplo, incluso un vasco o un bretón, a diferencia de un amerindio, está inmerso en una lengua y una cultura que han recibido las influencias del desarrollo milenario de las matemáticas y por ello, en consecuencia, profundamente modificadas. Los instrumentos de la enseñanza, especialmente los sistemas de representación, están de ese modo disponibles en un caso, y totalmente por construir o por descubrir, en el otro. Más aún, los conocimientos que se enseñan son, en un caso, producciones de la cultura familiar, y en el otro, producciones de una cultura extranjera, muy diversamente apreciada por los pueblos autóctonos, entre los cuales algunos la rechazan por considerarla inferior, mientras que otros desean, más o menos inmensamente aun en una misma comunidad, compartir ciertos valores de ella.

En consecuencia, los resultados obtenidos -la mayoría de las veces en el marco del estudio de los procesos de adquisición de conocimientos por niños con la misma lengua y cultura occidentales que los adultos que las han producido, que las utilizan y/o que las enseñan- por los sicólogos, principalmente Jean PIAGET, o más recientemente por los didacticistas de las matemáticas, sólo serán plenamente aplicables a la EBI, y a fortiori a la EKU, cuando se conozcan más precisamente, no sólo las finalidades consideradas para la enseñanza de las matemáticas en las comunidades indígenas, sino también las funciones del lenguaje y de las lenguas -naturales y eruditas- en la construcción de los conocimientos. Varios estudios (citados, por ejemplo, por RAUSCHER, 1993) han mostrado que el aprendizaje de esas funciones es complejo y que esta complejidad es subestimada por los profesores de matemáticas, hasta el punto que las recomendaciones oficiales que insisten -en Francia, por ejemplo- en las grandes finalidades de la enseñanza de esta disciplina (aprender a aprender, a razonar, a ser crítico, a dominar y tratar la información, etc.) siguen siendo, a menudo, letra muerta.

En muchos cursos se observa que si los profesores fijan efectivamente toda su atención en la adquisición de conocimientos disciplinarios declarativos, precisos y puntuales, dejan al azar, en cambio, el cuidado de desarrollar ciertas capacidades intelectuales generales

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(transdisciplinares) susceptibles de favorecer la reflexión, sobre todo las capacidades de representación y de tratamiento de la información; e ignoran (o no saben cómo manejarlas) las capacidades de "traducción", principalmente aquellas que permitirían, en el sentido del tema, traducir las representaciones naturales a representaciones eruditas y, en el sentido de la versión, divulgar las representaciones eruditas, y articularlas a las representaciones naturales.

Una pista que hay que seguir Se entrevé que la solución del problema epistemológico planteado por la EBI y, más aún, por la EKU podría fundamentares en un mejor conocimiento de las cuestiones que plantean las diferentes formas del acto de "traducción". Ya que la historia sugiere que las ciencias bien han podido nacer en Occidente gracias a una primera impulsión, una impulsión dada por los traductores y sus comentaristas que permitieron descubrir, en la Europa de la Edad media, y en un latín profundamente modificado por este uso, los textos matemáticos procedentes de las tradiciones árabe, griega, egipcia, mesopotámica… Desde luego, la historia jamás se repite. Sin embargo, y si es cierto que las mismas causas ocultan los mismos efectos, no es utópico conjeturar que la historia cognitiva obedece las mismas reglas a ambos lados del Atlántico y que el pensamiento matemático indígena espera para despertarse el mismo tipo de impulsión inicial, a saber, ser efectivamente puesto frente a auténticos textos matemáticos. El poner en contacto dos culturas tan diferentes podría hacerse perfectamente a partir de traducciones de obras juiciosamente escogidas. Traducciones necesariamente aproximativas y torpes, pero que al menos permitirían presentarles a los adultos amerindios verdaderos problemas matemáticos. En su época, los griegos habían lanzado a Europa, por intermedio de los árabes, el reto de construir los números reales, es decir, hacer más discreto lo continuo domesticando el infinito y comprender un pensamiento de un nuevo tipo, sometido a las reglas del razonamiento deductivo, puesto en práctica en el marco de una geometría un tanto diferente de los corpus de fórmulas hasta entonces conocidas para la medida de los campos, el cálculo de los impuestos o el de los intereses. "traducir", o la confrontación de cosmovisiones Pasar de un sistema lingüístico a otro no obliga a traducir, particularmente cuando el sistema origen es una escritura de tipo ideográfico, pero ello obliga a proponer construcciones metalingüísticas, es decir, a pasar por la dimensión cognitiva (PURY, S. et CAUTY, A., 1997). Un ejemplo simple puede bastar para mostrar, sin establecer diferencias, la dificultad y los alcances cognitivos del acto que designa el término "traducción".

Todas las lenguas disponen de términos de parentesco; particularmente ellas permiten designar los hermanos y las hermanas. No obstante, los vocabularios de diferentes lenguas no poseen el mismo número de palabras para designar los individuos de este universal [lingüístico] que es la fatría: el español y el francés tienen dos palabras; el panaré tiene tres; el húngaro, cuatro. Este simple hecho basta para demostrar que ciertos léxicos pueden ser puestos en biyección y otros, no: ninguna biyección puede ser establecida entre el conjunto (hermano, hermana) del francés, y el conjunto {yako, yipin, yinasu} de la lengua e?nepa de los Panaré de Venezuela (CAUTY, 1974). Este hecho aparentemente trivial es, sin embargo, un poderoso revelador de la alteridad de las cosmovisiones francesa y panaré: confrontados a la necesidad de designar el universal que representa la necesidad de la identificación de los parientes, los locutores se

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ven imponer, a través de su lengua, una manera específica de organizarlo y estructurarlo. Es el fenómeno de la conceptualización o reducción selectiva del referente (real o imaginario), en el sentido del lingüista Bernard Pottier. Por análisis más o menos difíciles de llevar a cabo, el "traductor" debería terminar comprendiendo estas dos cosmovisiones. Descubrirá, por ejemplo, que el francés se dedica a discriminar una propiedad distintiva de las personas, el sexo en este caso, mientras que el panaré se dedica a discriminar el tipo de relaciones que estas personan mantienen, a saber, las relaciones "homosexuales" indiferenciadas, de un lado, frente a las relaciones "heterosexuales" distinguidas según las orientaciones niño-niña y niña-niño, del otro. El francés (de manera respectiva, el español) clasifica a unas personas en dos sexos, y marca este hecho por la escogencia de dos términos léxicos (respectivamente por el género gramatical); el panaré clasifica unas relaciones interpersonales en tres tipos, y marca este hecho por la escogencia de tres términos léxicos En otros términos, todo difiere de una lengua y una cultura a la otra: el "mismo" referente universal es literalmente visto y concebido de diferente manera; remite a entidades diferentes; está estructurado diferentemente -en dos tipos de personas o en tres tipos de relaciones-, y los procedimientos de puesta en signos difieren igualmente: unos utilizan marcadores léxicos; los otros, marcadores gramaticales. Sin olvidar que el locutor o el traductor hace, además, malabares con todos los registros y todos los géneros disponibles.

La com-prensión y el re-conocimiento de esas dos cosmovisiones (exigidas al traductor) muestran así, de una parte, que no existe la buena traducción (es imposible hacer corresponder palabra por palabra una predicación basada en las propiedades de una persona y una predicación basada en las propiedades de una relación); y de otra parte, que el traductor resulta siempre ganancioso en el plano cognitivo, ya que obtiene todo el beneficio de los análisis sin los cuales es imposible aproximar las nociones francesas y panarés, análisis que le permiten no sólo proponer traducciones de tipo yako = "hermano (de un hombre) o hermana (de una mujer)", sino especialmente disponer, después, de dos cosmovisiones diferentes y susceptibles de hacer aparecer cada una de las caras diferentes de la misma realidad.

El traductor adquiere así, por la práctica de su arte, la capacidad de descubrir invariantes de invariantes, invariantes "universales" obtenidos por confrontación de los invariantes "específicos" liberados por cada cultura. Lo que le confiere particularmente la capacidad de prever la posibilidad de otros tipos de lengua, por ejemplo una lengua que distinguiera, según la orientación de la relación o según el sexo de las personas designadas, dos sub-tipos diferentes de relación yako. Es probable que las capacidades desarrolladas por el arte de la traducción, sobre todo esta capacidad de construir invariantes de invariantes, sean, si no una condición, por lo menos, un componente esencial de la práctica matemática. Una tesis en ciencias de la educación, La heterogeneidad de los profesores frente a alumnos heterogéneos (RAUSCHER, 1993), acaba de demostrar que la atención que los profesores de matemáticas de los cuatro primeros años de la educación secundaria prestan, o no, al desarrollo sistemático de las capacidades generales para tratar y traducir la información, es un factor explicativo del éxito o del fracaso de los alumnos de sus cursos de geometría.

La creación de un laboratorio La Universidad de la Guajira, en colaboración con la Universidad de Burdeos I y con el apoyo de los Wayuu (Guajiros) de la organización indígena Yanama y de los lingüistas del Centro de Estudios de Lenguas Indígenas de América (UMR 197 del CNRS, París) propone la creación de un laboratorio de investigación intitulado Laboratorio de traducción Kwibi

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Urraga para la investigación en lingüística cognitiva aplicada à la etnoeducación. Esta creación abre una segunda fase de investigación y formación en Colombia. La primera, iniciada en los años ochenta, había consistido en crear un centro de formación en investigaciones etnolingüísticas de campo. Ella condujo a la creación del CCELA, Centro Colombiano de Estudios en Lenguas Aborígenes, el cual cuenta con unos cuarenta investigadores. En estos momentos es, pues, posible, por una parte, obtener datos precisos, fiables y comparables sobre una gran parte de las más de sesenta lenguas indígenas habladas actualmente en Colombia. Por otra parte, emprender trabajos de traducción de textos de contenido complejo y especializado, como por ejemplo, la traducción de fragmentos de la Constitución política a siete lenguas indígenas del país.

La segunda fase está prevista para desembocar en una tercera: la formación a través de la investigación de los futuros actores de la EKU, principalmente didactistas y profesores indígenas de matemáticas. El laboratorio Kwibi Urraga tiene por misión llevar a cabo investigaciones teóricas, metodológicas y aplicadas a la traducción de textos científicos a lenguas amerindias y a las condiciones de sus lecturas por los locutores adultos de esas lenguas de tradición oral. Una experiencia piloto se está desarrollando bajo la responsabilidad de la profesora Nubia Tobar Ortiz; se trata de traducir al guajiro una obra de aritmética de un nivel intermedio entre el fin de los estudios secundarios y el inicio de los estudios universitarios. Esta experiencia piloto debería conducir poner de relieve las bases de los estudios que se realizarían -en lingüística cognitiva- acerca de los procesos de traducción de los sistemas de representación (natural y erudita) de los conocimientos complejos y estructurados; procesos observados en su duración histórica, en la duración del aprendizaje y teniendo siempre en cuenta la diversidad de lenguas y culturas; esto con miras a sus aplicaciones en la EKU y limitándose concretamente al caso de la enseñanza de las matemáticas en los pueblos amerindios. El principio que da vida al programa Kwibi Urraga plantea que se trata menos de traducir y de adaptar los textos occidentales para una educación en el marco de la escuela tradicional, que de crear las condiciones que permitan a los amerindios inventar sus variedades de matemáticas; y esto, en sus lenguas y en el marco de sus sistemas específicos de conceptualización.

Más precisamente, se trata de organizar unos espacios-tiempos de traducción, es decir, unos talleres que permitan el debate interétnico e interdisciplinario, con miras a inventar las concreciones necesarias de algunos conceptos matemáticos fundamentales, presentados bajo forma de problemas, o de paradojas accesibles a los adultos de las comunidades amerindias.

La primera misión del laboratorio es la de producir conocimientos propios para guiar la acción educativa en situación de gran diferenciación cultural y lingüística, con la obligación de procurar para los amerindios una real apertura hacia las ciencias y el mundo actuales, y sin separarlos ni de sus culturas ni de sus lenguas. La originalidad del laboratorio consiste en hacerse cargo específicamente del estudio de los aspectos lingüísticos y cognitivos ligados a las representaciones de los contenidos científicos, escogidos para formar el bagaje disciplinario de los maestros indígenas, dejando provisionalmente de lado el estudio de los aspectos afectivos, relacionales, institucionales…

La investigación versará, por una parte, sobre el estudio de las lenguas naturales y los lenguajes matemáticos, considerados como sistemas de representación de conjuntos de conocimientos complejos y estructurados; y por otra parte, sobre el estudio de los observables espontáneos o provocados, que permiten remontarse a los sistemas representativos construidos por los sujetos en situación de traducción o de verbalización, en el marco de la

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construcción de un concepto o de la búsqueda de una estrategia de resolución de problemas. Se trata de estudiar diferencialmente el continuum que vincula las lenguas naturales y los lenguajes matemáticos, en su confrontación con los problemas planteados por la representación de las nociones fundamentales, y sobre cuyas bases se edifica el conjunto de conocimientos matemáticos de la actualidad. Un matemático, un lingüista y un chamán, por ejemplo, pueden encontrarse y entenderse sobre el hecho el número es una herramienta que permite hacer discreto el continuo, y no lo que manipulan los niños de las escuelas pre-escolar y primaria.

Las traducciones del laboratorio no pueden ser realizadas, y menos aún validadas, sin movilizar por lo menos tres tipos diferentes de autoridad: una autoridad científica para el control de la calidad de las investigaciones teóricas, una autoridad académica para el control institucional del laboratorio, y una autoridad indígena tradicional para el control de los efectos (deseados e inducidos) de las aplicaciones a la etnoeducación. La triple autoridad precedente es responsable de conservar el nuevo objetivo: producir las condiciones de la autonomía intelectual de los maestros de la escuela indígena, suministrándoles las herramientas de su propio desarrollo disciplinar, y mejor aún, los medios y los métodos para producirlos.

El objetivo de la autonomía del maestro indígena, y a fortiori del maestro indígena monolingüe, hace aparecer los tipos de productos y de materiales que conviene desarrollar en el laboratorio. A saber, lo que puede llamarse la biblioteca de base del maestro de la nueva escuela, las herramientas concretas de su autonomía intelectual en el ejercicio de su oficio de profesor de matemáticas en lengua indígena. Este objetivo, aparentemente utópico, se expresa fácilmente en programas de acciones realistas. De una forma aparentemente más modesta, pero igualmente exigente, se trata simplemente de construir programas de enseñanza de las matemáticas, respetando unas limitaciones didácticas específicas, en particular.

1) vislumbrar la formación de verdaderos matemáticos; 2) utilizar sólo las lenguas amerindias y abrirlas a las escrituras ideográficas de los

matemáticos; 3) utilizar sólo situaciones didácticas compatibles con las cosmovisiones, los medios naturales y los entornos socioculturales específicamente amerindios; 4) diversificar los actores que controlan y regulan los procesos de enseñanza y aprendizaje; 5) poner todo bajo el control de las autoridades indígenas tradicionales, debidamente informadas de la "verdadera" naturaleza de las matemáticas; 6) experimentar, y volver a experimentar, la práctica de las cadenas interdisciplinarias e interétnicas de intérpretes. La experiencia colombiana nos ha llevado, no a recetas milagrosas, sino a la certeza de que llegó el momento de lanzar verdaderos planes de investigación, de formación, de experimentación y de producción, no en las universidades parisinas o madrileñas, sino en el terreno y con sus habitantes koguis, ikas, paeces, wayuus..

Investigaciones que se inscriben en el marco preciso de las inter-acciones e inter-dicciones que la puesta en sinergia de las prácticas interdisciplinarias e interétnicas provoca, finalizadas en producciones concretas e "inmediatamente" aplicables, la producción de traducciones kwibi urraga de textos científicos (disciplinares, pedagógicos, didácticos) a lenguas amerindias y para el uso de los adultos. André CAUTY Mano, 10 de enero de 1998

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