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7/25/2019 Deber 2 Do Parcial
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DEPARTAMENTO DE ELCTRICA Y ELECTRNICASISTEMAS DE CONTROL
DEBER DE SISTEMAS DE CONTROL - SEGUNDO PARCIAL
1. Represente en el plano complejo s los s!"entes l"!ares !eom#trcos $% !r&'cosn(epen(entes)*
a) Tempo (e esta+lecmento menor a , se!"n(os+) Mp menor al 1-c) Los polos con ts/, 0ra(s2 3 Mp/1- (e la '"nc4n (e trans'erenca (e "n sstema sn
ceros 'ntos.
a) ts< 4segundos
ts=4
4
1
Para =2:
ts=4
2
2 segundos < , se!"n(os
Sistema sin ceros finitos:
n
2
s2+2s+n
2
b) Mp
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2/26
wd
0.733
wd
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eesa= 2
ka=
2
0=
G2 ( s )= 3
s(s+2)
kp=lims 0
G(s)H(s)=lims 0
3
s (s+2 )=
eesp= 1
1+kp=
1
1+=0
kv=lims 0
sG(s)H(s)=lims 0(
3
s (s+2 ) )s=3
2
eesv=1
kv=
1
3
2
=2
3
ka=lims 0
s2 G(s)H(s)=lims 0
( 3
s ( s+2 ))s2=0
eesa= 2
ka=
2
0=
3
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%. :tlce Ro"t;< ;"r=t> para (etermnar la esta+l(a( a+sol"ta (e los s!"entessstemas*
a 1
2 s4+s3+3 s2+5 s+10
s4 2 !0
s3 ! 0
s2
a"#$ b"!0 0
s1 c"25
7 0
s0
d"!0
a=310
1 =7
b=100
1 =10
c=3510
7 =
25
7
d=
25
7
10
25
7
=10
E%isten 2 cambios de signo& por lo tanto el sistema no es estable
b 1
s4+3 s3+3 s2+2 s+k
s4 ! '
s3 2 0
s2
a"7
3 b"' 0
s1 c"2#9k7 0
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s0
d"'
a=923 =
7
3
b=
3k
3 =k
c=
14
33k
7
3
=29
7k
d=k(2
9k
7 )
29k
7
=k
Para que el sistema sea estable debe cumplir la siguiente condicin
29k7 >0k>0
k0
Por lo que para que el sistema sea estable ' debe estar entre el inter(alo de:
0
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a=331 =0
b=601 =6
c=3 6 =36
d=6
+omo podemos obser(ar para un (alor cercano a cero la e%presin3
6
es negati(a
E%isten 2 cambios de signo& por lo tanto el sistema no es estable
,
,. ?os@"eje el l"!ar !eom#trco (e las races (e los s!"entes sstemas 3 j"st'@"e el!ra'o. Compr"e+e a(em&s "tl>an(o Matla+.
a) G ( s )=
2Ks (s+2)
Polos
s=0 s=2
Ceros
s= s=
Neor deraas=2
Neor de as!ntotas
N"=polos ceros
N"=20
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N"=2
n$%los as!ntotas
&=180(2'+1)
N
&1=
180(1)2 =90 (
&2=180(2+1)
2 =270(
P%nto de b)*%rcac)+n
s (s+2 )+2K=0
s2+2 s+2K=0
K=s22s
2
dKds=2 s2
2
2=0
s1=0
s=1
Corte "s!ntotas
c=p,
N =
202 =1
#2 #! 0
Im
R
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+) G ( s )= K
s2(s+5)
Polos
s=0
s=0
s=5
Ceros
s=
s=
s=
Nerode raas=3
Nerode as!ntotas
N"=polos ceros
N"=30
N"=3
n$%los as!ntotas
&=180(2'+1)
N
&1=
180(1)3 =60(
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&2=
180(3)3 =180 (
&3=180(5)
3 =300 (=60 (
P%nto de b)*%rcac)+n
s2 ( s+5 )+K=0
K=s35 s2
dKds=3 s210 s=0
s (3 s10 )=0
s=0
s=103 =3.33
Corte "s!ntotas
c=p,
N
c=
503
c=1.66
#-
Im
R
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c) G ( s )=K(s+4 )
s(s+2)
Polos
s=0
s=2
Ceros
s=4
s=
Nerode raas=2
Nerodeas!ntotas
N"=polos ceros
N"=21
N"=1
n$%los as!ntotas
&=180(2'+1)
N
&=180(1)
1 =180 (
Corte "s!ntotas
c=p,
N
c=2(4)
1
c=2
P%ntodeb)*%rcac)+n
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s (s+2 )+K(s+4 )=0
K=s22s
s+4
dK
ds=(2 s2 ) (s+4 )(s22 s)(1)
(s+42) =0
2 s28 s2 s8+s2+2 s=0
s28 s8=0
s=1.17
s=6.83
#,. #4 #2 #!,!$
() G ( s )= K(s+4)
s
2
4
s+8
Polos
s24 s+8=0
s1=2+'2
s1=2' 2
Ceros
s=4 s=
Nerode raas=2
Nerodeas!ntotas
Im
R
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N"=polos ceros
N"=21
N"=1
Corte "s!ntotas
c= p,
N
c=(2+' 2+2'2 )(4)
1
c=8
#n$%los as!ntotas
&=180(2'+1)
N
&1=
180(1)1 =180(
&2=180(2+1)
2 =270(
P%ntodeb)*%rcac)+n
s24 s+8+K(s+4)=0
K=s2+4 s8
s+4
dK
ds=
(2 s+4 ) ( s+4 )(s2+4 s8)(1)
(s+4)2
2
2=0
2 s
2
8 s+4 s+16+s
2
4 s+8=0s28 s+24=0
s=2.32
s=10.32
Cortee'e )a$)nar)o
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s24 s+8+K( s+4 )=0
(')24 (')+8+K('+4 )=0
24'+8+K'+4K=0
2+8+4K=0
=4.89
4'+K'=0
K=4
4
2
#!0,2 #. # #4 #2 2
#2
#4#
B) ;alle "n sstema e@"8alente (e menor or(en para el s!"ente sstema
G(s)= 36 ( s+20 )
(s+21 )(3 -2+6 -+9)
simplificando el sistema tenemos por ser polos / ceros cercanos se puede simplificar quedando
G ( s )=
36
3 (-2+2-+3 )20
21
G ( s )= 11.42
(-2+2-+3 )
Para (erificar ubicamos los datos en atlab
Im
R
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Sistema 1rfica de las 2 funciones superpuestas
Sistema equi(alente
. Dsee "n control proporconal para @"e el sstema (e la>o cerra(o (e la '!"ra7 ten!a*
.1. Error (e esta(o esta+le ante entra(a escal4n menor al 1-.5. Tempo pco sea 1.5F se!"n(os.%. Determne s e9ste al!Gn 8alor (e para po(er c"mplr las (os con(cones
anterores.
G ( s )= 6
0.2 s2+0.4 s+1
a) errp=lim
s 0
s1
s
1+ 6k
0.3 s+0.4 s+1
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b)./=
6 k
0.3 s2+0.4 s+1+6 k
6 k
0.3 (s2+ 43s+103 +20k)
20k
s2+4
3s+
10
3+20k
tp=
dd=
tp
d=2.47
d=n 12 d=n1(
2
3n )2
d=n9n
24
9n2
d=n9n4
3n
3d=9n24 9d
2=9n24 9 (2.47 )2=9n
24 n=2.56
2 n=4
3=
2
3n2.56= 103 +20k 6.54=103 +20k
19.6310=60k k=0.16
0 0,! !,-
c) as condiciones anteriores se cumplen para (alores de '3!,-
F. :na planta H$s) se controla en la>o cerra(o con realmentac4n "ntara. La !ananca (etra3ectora (recta (el sstema (e control es*
G ( s )=k(s+4)(s2+4 s+8)
(s+6)( s24 s+8)
a) osque5ar el ugar geom6trico de las ra7ces de 18s),b) 9eterminar el (alor de ' para que el sistema ; sea marginalmente inestable, 9etermine
adems la frecuencia n ,
c) 9eterminar el (alor de ' para que el sistema ; tenga dos polos dominantes en s"!&4=#2&,
d) 9eterminar el (alor de ' para que el error en estado estable sea menor del !0> de ?ss anteescaln de (alor unidades,
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a) ugar geom6trico de las ra7ces
Polos de origen:s1=6,
s2=2+2' 0
s3=22'
+eros de llegada:s4=4,
s5=2+2' 0
s6=22' @
no a/ as7ntotas porque no a/ ceros BC ramales: D" " 0ugar de las ra7ces / e5es:
# < s < #4Do a/ puntos de bifurcacin
Angulo de salida:
&, &p=180 (2 )+1 )
&,1+&,2+&,3(&p1+&p2+&p )=180
0+ tan1( 26 )+ tan1(44 )[90+ tan1( 28 )+&p]=180
0+18.93+45(90+14+&p )=180
40.60&p=180
&p=220.60
&p=220.60
&p=40.6=&p=139.4
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&p1=139.4
&p2=0
Angulo de llegada:
&,1+&,2+&,3(&p1+&p2+&p3 )=180
( 44 )180tan1
tan1(24 )+0+=180
&,1+
tan1
(2
2
)+90
+
&,1+45+90(26.56+0+135 )=180
&,126.56=180
&,1=206.56
&,1=26.56
&,3=26.56
&,2=180
aFo +errado:k( s+4 )( s2+4 s+8 )
( s+6 )(s24 s+8 )+k(s+4 )(s2+4 s+8)
&,1 ( s+6 )(s24 s+8 )+k(s+4)( s2+4 s+8)
s34 s2+8 s+6 s2+24 s+48+k(s3+4 s2 )+8 s+4 s2+16 s+32
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s32 s2+16 s+48+k(s3+8 s+24 s+32 )=0
'w32w216'w+48+k('w38w2+24'w+32 )=0
w2k w216+24k=0
w216k( w224 )=0
w216w224
=k(1)
2w28k w2+3+48=0
2(w224)
8(w2+4) =k(2)
(1 )=(2)
w216w
224=2(w224)
8(w2+4)
3 w496w2+832=0
3 (w2 )2
96w2+832=0
w2=1
Entonces: 3 (1 )2961+832=0
11=7.09
1239.09
w2=11
w2=7.09
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w=22.66
+omprobacion en atlab del lugar de las ra7ces:
b)
GtiliFando la ecuacin !) del literal anterior para despe5ar H
k=(2.66 )216
(2.66 )224=1.36 Para que el sistema sea marginalmente inestable,
Para In:
wn2=k
k=wn
wn= 1.3634
wn=1.1676 rad /s
En atlab: para c"!,
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c) +omprobacion en atlab de que los dos polos s"!&4=# 2& son lugar de las ra7ces& entonces sepuede terminar el (alor de H
|k(s+4)( s2+4 s+8)
(s+6)( s24 s+8) |s " #!,4 J2,5
'"0,20--d)
Error de estado estable ante entrada escaln
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ess=lims 0
s/ (s)1+G(s)H(s)
ess=lims 0
s3
s
1+ k(s+4)( s2
+4 s+8)(s+6)( s24 s+8)
ess= 3
1+k(0+4)(02+4 (0)+8)
(0+6)(024 (0)+8)
= 3
1+k(4)(8)(6)(8)
= 3(48)48+32k
ess= 9
3+2k
?ss ante entrada escaln:
aFo cerrado de 18s):
k(s+4)(s2+4 s+8)
( s+6 )( s24 s+8 )+k(s+4 )(s2+4 s+8)
3ss=lims0
s/ ( s )k(s+4)( s2+4 s+8)
(s+6 )( s24 s+8 )+k(s+4)( s2+4 s+8)
3ss=lims 0
s3
sk(s+4)( s2+4 s+8)
(s+6 )( s24 s+8 )+k(s+4)( s2+4 s+8)
3ss=lims 0
3k(0+4)(0+4 (0)+8)
(0+6 )(s24 (0)+8 )+k(0+4)( s2+4(0)+8)
3ss= 3k(4 )(8)
(6 ) (8 )+k(4)(8)
3ss= 6
3+2k
Entonces:
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esso cerra(o con realmentac4n "ntara. La !ananca (etra3ectora (recta (el sstema (e control es
G ( s )=k(s2+4 -+8)
s2(s+4 )
a) osque5ar el ugar geom6trico de las ra7ces de 18s),b) 9eterminar el (alor de ' para que el sistema responda como uno de segundo orden& con factor de
amortiguamiento 0,-, Adems indique los polos dominantesDota: Puede determinar los polosdominantes con la a/uda de matlab& si no puede encontrarlo con algKn procedimiento matemtico alintersecar el 1 / la recta que representa el factor 0,-c) +on el (alor de ' calculado en el literal anterior determine el error esttico del sistema en laFocerrado ante entradas escaln& rampa / parbola
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a) ! polos de origens!"0s2"0s"#4
2 Feros de llegadas!"#2=52s2"#2#52
s"infinito amales D"
4 polos en el e5e reals"#4
- ngulo de salida 2$0 / #2$0
+) +omo tenemos de dato el (alor de =0.5 sabemos que =cos(&) de
donde &=60 aora sabemos que s='d
tan (& )=wd
tan (60 )=1.73
En matlab buscamos en el lugar de las ra7ces los polos que denwd=1.73:
s!"#!,2L=52,24
s2"#!,2L#52,24Mgualamos ese (alor al de la ecuacin caracter7stica con laFo cerrado
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Glc ( s)=
k(s2+4 -+8 )s2 (s+4 )
1+k(s2+4 -+8)
s2(s+4)
Glc ( s)= k(s2+4 -+8 )
s3+4 s2+k s2+4 ks+8k
s3+4 s2+k s2+4ks+8k=(s+1.29+' 2.24)(s+1.29'2.24)( s+12.9)
s( 2+2.58 s+6.68)(s+12.9)
s3+4 s2+k s2+4 ks+8k=
s3
+4 s2
+k s2
+4ks+8k=s3
+15.48s2
+39.93s+85.86
4='"!-,4.4'"L,L.'".-,.
Elegimos el (alor de ' mas cercano a las condiciones / es '"L,L. 10
1raficamos con ese (alor de ' para obser(ar nuestro sistema
c)
Glc ( s)= 10 (s2+4 -+8 )
s3+14 s2+40s+80
error esttico
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eps=lims 0
s/ ( s)1+G(s)H(s)
eps=lims 0
s1s
1
1
+
10 (s2+4 -+8 )s2(s+4)
eps=0
error de (elocidad
ev=lims 0
s/ (s )1+G(s)H(s)
ev=lims0
s1
s2
1+10 (s2+4 -+8 )
s2(s+4)
ev=0
error de aceleracin
ea=lims 0
s/ (s )1+G(s )H(s)
ea=lims 0
s1
s3
1+10 ( s2+4 -+8 )
s2(s+4)
ea=0.05
J. ?os@"ejar la resp"esta c$t)7 ante entra(a escal4n "ntaro $sn "tl>ar trans'orma(an8ersa (e Laplace) (el sstema en la>o cerra(o con realmentac4n "ntara7 (e la
planta G ( s )=2 ( s2 )(s+3)
+errando el laFo
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Glc ( s)=
2 (s2 )( s+3)
1+2 ( s2)(s+3)
Glc ( s)= -+33 s1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4x 10
26
Step Response
Time (seconds)
Amplitu
de
+omo se obser(a en el laFo cerrado el polo esta en el lado positi(o del e5e real por lotanto es un sistema inestable / la funcin se ira acia el infinito