DECISIONES FINANCIERAS BAJO

INCERTIDUMBRE: PROGRAMACIN ESTOCSTICA

Larraitz Aranburu Laka

Trabajo de investigacin 07/ 013

Programa de Doctorado en Finanzas Cuantitativas

Tutora: Araceli Garn

Universidad Complutense de Madrid Universidad del Pas Vasco

Universidad de Valencia www.uv.es/qf

Un especial agradecimiento a Araceli Garn, Mara Merino, Gloria Prez y Eliseo Navarro, puesto que sus aportaciones han sido esenciales a la hora de llevar a cabo este trabajo. Araceli, Maria y Gloria han sido de gran ayuda por sus conocimientos y avances en el campo de la programacin estocstica. Y por otro lado, el modelo desarrollado por Navarro y Nave ha sido el modelo financiero analizado y extendido mediante tcnicas de Programacin Estocstica.

1

ndice General 0. Introduccin ______________________________________________4

1. Programacin estocstica __________________________________ 5

1.1. Modelos lineales deterministas__________________________________ 6

1.2. Modelos lineales estocsticos ___________________________________ 7

1.3. Anlisis de escenarios ___________________________________________ 8

1.4. Decisiones y tipos de recurso ___________________________________ 9

1.5. Principio de no anticipatividad__________________________________ 10

1.6. El modelo determinista equivalente_____________________________ 15

1.6.1. Formulacin compacta _______________________________ 16

1.6.2. Formulacin extendida_______________________________ 18

1.7. Modelos estocsticos y propiedades _____________________________ 19

1.7.1. Modelos bietapa ______________________________________20

1.7.2. Modelos multietapa __________________________________ 21

2. Una aplicacin: efectos de los costes de transaccin en la

inmunizacin dinmica de carteras de renta fija ____________ 24

2

2.1. El modelo esttico_______________________________________________ 25

2.2. El modelo dinmico_____________________________________________27

2.2.1. Riesgo de inmunizacin ______________________________ 32

2.3. El modelo dinmico con costes de transaccin __________________36

2.4. Ejemplo ilustrativo _____________________________________________ 37

2.5. Conclusiones ___________________________________________________ 41

3. Extensin: tratamiento del problema mediante el anlisis

de escenarios _______________________________________________ 42

3.1. Modelo estocstico ______________________________________________42

3.2. Ejemplo ilustrativo _____________________________________________47

3.3. Conclusiones ___________________________________________________54

3.4. Futuras extensiones_____________________________________________ 55

3.4.1. Comportamientos de los tipos de inters _____________ 55

3.4.2. Tamao del problema ________________________________57

4. Bibliografa_______________________________________________ 58

3

Introduccin

En el mundo de las finanzas es habitual encontrarse en situaciones en las que es necesario tomar decisiones en un entorno de incertidumbre. Todos estos problemas podran ser abordados despreciando la estocasticidad asociada a cada uno de ellos, pero se estaran asumiendo hiptesis que podran no cumplirse en la realidad.

En este trabajo se trata de abordar el entorno de incertidumbre que rodea a este tipo de problemas a travs del Anlisis de Escenarios. En el primer captulo se recogen las bases de la programacin estocstica al igual que las tcnicas de optimizacin y el concepto de anlisis de escenarios.

Dada la amplia variedad de problemas de optimizacin bajo incertidumbre nos centramos en el problema de la inmunizacin de carteras de renta fija cuando se permiten costes de transaccin, cuya versin dinmica ha sido estudiada por Navarro y Nave. En el segundo captulo se resumen tanto el modelo como las conclusiones obtenidas por los autores mencionados.

En el tercer y ltimo captulo se presenta un modelo estocstico para testar la optimalidad de las estrategias de inmunizacin, de forma que se permite la introduccin de costes de transaccin. La incertidumbre se representa mediante un rbol de escenarios y se trata con un modelo lineal de dos etapas. El problema se representa mediante el Modelo Determinista Equivalente (MDE) y se resuelve para un ejemplo sencillo anlogo al utilizado por Navarrro y Nave en su artculo. Por ltimo se recogen las conclusiones obtenidas en el modelo estocstico y se comparan a las obtenidas por Navarro y Nave, de forma que se observa la necesidad de un estudio estocstico para este problema.

Por ltimo sealar que la experiencia computacional ha sido realizada utilizando el compilador MICROSOFT VISUAL STUDIO.NET y las subrutinas de optimizacin de IBM OSL v3 para resolver los distintos problemas lineales.

4

Captulo 1

Programacin estocstica

La toma de decisiones es un problema comn en campos de muy diversa ndole. Por ejemplo est presente en buena parte de los modelos de finanzas, economa, industria o actividades sociales. En la actualidad, los procesos de decisin basados en modelos son esenciales para la gestin y la organizacin de las empresas.

Una de las herramientas que en la actualidad proporciona decisiones ms fiables es la Optimizacin, campo en el que confluyen las Matemticas y las Ciencias de la Computacin. El propsito de sta es construir y resolver de forma efectiva modelos que reflejen la situacin real observada, con objeto de permitir que los tomadores de decisiones exploren una amplia variedad de posibles alternativas.

Como intentamos modelizar la realidad y esta es en la mayora de los casos compleja, muchos modelos presentan algunas caractersticas que dificultan enormemente la resolucin del problema, considerndose stos problemas de complejidad computacional elevada. Algunas de estas caractersticas pueden ser: la dimensin del problema, la aleatoriedad de algunos parmetros del sistema, el carcter entero de algunas variables o la no linealidad tanto de la funcin objetivo como de alguna de las restricciones del modelo.

5

1.1 Modelos lineales deterministas

Los modelos ms sencillos y ms bsicos que se pueden considerar son los problemas lineales deterministas. El objetivo de estos modelos es encontrar la solucin de la optimizacin de una funcin lineal sujeto a un conjunto de restricciones tambin lineales:

= + ++ + =

+ + =

1 1

11 1 1 1

1 1

m in ...

. . ...

... 0

...

n n

n n

i

m m n n m

Z c x c x

s a a x a x b

x

a x a x b

( )1 1 1. .

En notacin matricial, =

=

m in

. .

0

Z cx ( )1.1.2 s a A x bx

donde c es un vector fila n-dimensional de costos, x es un vector columna tambin n-dimensional de decisiones formado por trminos no negativos, A es la matriz m n dimensional de restricciones y b es el vector columna m-dimensional de trminos independientes. Adems, el adjetivo determinista hace referencia al hecho de que los parmetros que definen el problema c, A y b son conocidos.

La funcin objetivo es una funcin lineal, , mientras que el conjunto de soluciones factibles son aquellos valores de x que cumplen .

La solucin ptima, , es una solucin factible tal que para cualquier

cx; = 0Ax b x

*x cx * cx*x x y x factible. Los programas lineales buscan

normalmente soluciones ptimas de mnimo coste bajo restricciones de demanda o mximo beneficio bajo una situacin de recursos limitados.

Segn el carcter de las variables los podemos clasificar de la siguiente forma:

6

^ Problemas lineales generales (PL): Si todas las variables son continuas, es decir, toman valores en . Son los problemas ms estudiados y se denominan simplemente problemas lineales.

\

^ Problemas lineales enteros (PE): Si todas las variables son enteras, es decir, toman valores en . En particular si todas las variables toman valores en el espacio {0,1} tenemos un problema entero 0-1.

]

^ Problemas lineales mixtos (PM): Si las variables son algunas continuas y otras enteras. En particular, un problema mixto 0-1 es aquel que tiene variables tanto continuas como binarias.

1.2 Modelos lineales estocsticos

Una generalizacin de los modelos lineales deterministas son los modelos lineales estocsticos. Al igual que los anteriores son problemas de optimizacin lineal. La diferencia principal reside en que en este caso, algunos de los parmetros del problema, c, A o b son inciertos. Algunos de ellos se convierten en variables aleatorias que vendrn descritas por sus distribuciones de probabilidad, densidades o en el caso ms simple, por sus valores medios.

Dependiendo del carcter aleatorio de matriz de coeficientes, A, podemos clasificar los modelos en dos categoras:

^ Matriz de coeficientes fija: Son modelos de menor dificultad ya que toda la aleatoriedad se centra en la funcin objetivo y en los trminos independientes de las restricciones.

^ Matriz de coeficientes aleatoria: La mayora de problemas de finanzas, y en particular la que se estudia en este trabajo, son de este tipo.

7

El conjunto de aplicaciones de los modelos estocsticos es realmente amplio en multitud de disciplinas. Podramos citar como ejemplo de variables aleatorias que podran afectar al modelo: los costes de produccin y distribucin tpicamente dependen del coste de carburante, las demandas futuras dependen de las condiciones de mercado inciertas, las rendimientos de las cosechas dependen de las condiciones meteorolgicas, o los rendimientos de activos financieros dependen de los valores futuros de los tipos de inters.

Hay distintas metodologas para poder resolver un modelo de estas caractersticas. Este trabajo lo har basndose en la metodologa denominada Anlisis de Escenarios.

1.3 Anlisis de escenarios

A lo largo de esta seccin se describe un mtodo consistente en analizar los distintos valores posibles que pueden tomar los parmetros inciertos a lo largo de los periodos que constituyen el horizonte de planificacin y resolver el problema bajo todos ellos.

Definicin: Se considera escenarios a cada realizacin de los parmetros inciertos.

La incertidumbre inherente en un modelo lineal estocstico se representa en trminos del experimento aleatorio cuyo resultado llamaremos w. Los resultados posibles son los del conjunto . Cada elemento de se denomina suceso. Y cada suceso w define un

escenario

( )= , , w w w wc A b . F es la coleccin de sucesos aleatorios con estructura de -lgebra y que permite la definicin de una medida de probabilidad. ( ,F,p) es un espacio de probabilidad.

Se considerar a las variables aleatorias como discretas, es decir, existir un nmero finito de escenarios, w , w y cada uno ocurrir con probabilidad ( )= = wp wp , de manera que = 1ww p . La funcin de distribucin ser ( ) ( ) ( )= = : F P w P , su esperanza

8

( ) = w wwE p , su varianza ( ) ( )( )= 2Var E E y el -cuantil de con ( ) , 0 1 , ( ){ }= min : F .

Para simplificar, cada escenario se denotar por w y el conjunto de estos ser . Asimismo, el conjunto de escenarios se representar mediante un rbol cuyos niveles correspondern a los distintos periodos de decisin.

Figura 1.3.1: Observemos el rbol en la figura.

En l se representa un problema de cuatro periodos de tiempo. En cada periodo hay tantos nodos como realizaciones posibles de los parmetros inciertos. El nodo del que parten todos, el nico nodo del periodo inicial, se llama nodo raz. Cada trayectoria del nodo raz a cualquier nodo del periodo final es un escenario que corresponde a una realizacin de los parmetros inciertos.

Una vez tenemos el rbol es necesario ampliar la modelizacin del problema, de forma que recoja la informacin que tenemos en l. Una forma de hacerlo es resolver los problemas deterministas asociadas a cada escenario:

==

m in

. .

0

w w wxw w w

w

Z c

s a A x b

x

( )1.3.1

Estudiaremos las soluciones para cada escenario para decidir una solucin aceptable. Pero puede haber soluciones que den una mejor

9

solucin en un escenario y peor en otro. Entonces, qu solucin es la ptima?

La metodologa basada en el Anlisis de Escenarios, como tratamiento de la incertidumbre en un problema de optimizacin, proporciona soluciones factibles bajo cada escenario pero sin subordinarse a ninguno de ellos. Esto se consigue optimizando una funcin lineal de las funciones objetivo bajo cada escenario, y replicando el conjunto de restricciones en cada uno de ellos.

1.4 Decisiones y tipos de recurso

Una de las cosas que ms atraen de la Programacin Estocstica es el hecho de poder incluir cambios en las decisiones a tomar, a medida que se tiene ms informacin. As al principio se fijan las decisiones de la primera etapa o periodo de decisin, pero no del resto, que se tomarn cuando lleguemos y sepamos qu ha ocurrido antes.

Definicin: Decimos que una solucin es anticipativa si los valores de las variables son nicos, implementables e independientes del escenario.

Segn esto podemos hacer la siguiente clasificacin:

^ Modelo de recurso simple: Es aquel en que todas las decisiones a tomar deben ser fijadas desde un principio, y no se cambiarn ni con la llegada de nueva informacin. Todas las decisiones se tomarn en el periodo actual, t=0, y corresponde a variables anticipativas. Es un modelo ms fcil de resolver pero mucho menos flexible.

^ Modelo de recurso parcial: Es aquel en el que en t=0 se toman las decisiones de las r primeras etapas y a partir de ah las decisiones se toman en base a las nuevas informaciones.

^ Modelo de recurso total: Es aquel en el que todas las decisiones son ajustadas en el tiempo. Cada decisin se toma con la llegada de la

10

informacin. Su solucin est formada por un conjunto de soluciones nicas para el primer periodo y una decisin ptima para cada escenario, en cada uno de los periodos.

Los modelos estocsticos considerados en este trabajo son de recurso total. En general para cada etapa o periodo de decisin, t, es importante conocer la informacin disponible para tomar la decisin . En el problema multietapa se partir de una etapa t y antes de tomar la

decisin se observa una realizacin de los parmetros inciertos,

,tx t S

wt y se toman en cuenta las decisiones anteriores. As tenemos:

... ... 1 1 2 2w w w w w wt t Sx x x Sx

)

As la decisin, depender de los sucesos ocurridos antes pero la decisin no depender de los sucesos posteriores. Esta condicin se basa en el principio de no anticipatividad. Introducido en el trabajo de Rockafeller y Wets (1991), la idea bsica consiste en evitar adelantar innecesariamente decisiones que hay que tomar en una etapa a etapas anteriores. De esta forma, la solucin que se obtiene considera todos los escenarios posibles en situaciones futuras pero no se subordina a ninguno de ellos y adems proporciona las decisiones a tomar en el momento que se necesitan.

wtx

1.5 Principio de no anticipatividad

Principio de no anticipatividad: Si dos escenarios, w y w, son idnticos considerando la informacin disponible sobre ellos desde la primera etapa hasta la etapa t incluida, entonces las decisiones a tomar bajo esos escenarios desde la primera etapa hasta la etapa t, tambin deben ser las mismas.

Consideremos cada realizacin de los parmetros inciertos a lo largo de

las etapas: (= , ,..., 1 2w w w wS que se puede asociar a la correspondiente secuencia de decisiones: ( )= , ,...,1 2w w w wSx x x x : . Pero las decisiones no son independientes entre s. El principio de no

w

11

anticipatividad exige que si = 'wt tx xw = ' w w para cualquier = ,..., 1 t y . t S

Representamos el principio de anticipatividad para 4 = escenarios, S=3 etapas de decisin y T=4 periodos de tiempo. Considerando el siguientes rbol de escenarios,

Figura 1.5.1

t=1 t=2 t=3 t=4

4 8 w=1

2

5 9 w=2

1

6 10 w=3

3

7 11 w=4

Se podra interpretar este rbol como cuatro realizaciones independientes, de las cuales algunos nodos estn relacionados entre s:

Figura 1.5.2

s=1 s=2 s=3

t=1 t=2 t=3 t=4

w=1

w=2 w=3 w=4

8 4

9 2 5

1 10 6

3 11

7

12

En t=1, la informacin sobre los parmetros inciertos es conocida y, por tanto, = = = 1 2 31 1 1 41 . Por lo tanto, las decisiones tambin debern coincidir, = = =1 2 3 41 1 1x x x x1

42

.

Una vez tomada esta decisin, pueden ocurrir dos perspectivas que sern conocidas al principio de la etapa 2. Por tanto, van a ocurrir slo 2 versiones en cuanto a la realizacin de los parmetros. Por tanto,

. = = = = y y 1 2 3 4 1 2 32 2 2 2 2 2 2x x x x

Para introducir el concepto matemticamente (la condicin de no anticipatividad) en un modelo de recurso parcial o completo, resultar til definir el concepto de grupo de escenarios.

Definicin: Un grupo de escenarios para una etapa es el conjunto de escenarios cuya realizacin de los parmetros inciertos es la misma hasta dicha etapa.

Notacin: t(g): etapa del grupo de escenarios g. G: conjunto de grupos de escenarios. Se enumeran consecutivamente. G t : subconjunto de grupos de escenarios de la etapa t, t S , de tal forma que si dos escenarios distintos w y w presentan las mismas realizaciones de parmetros aleatorios hasta la etapa t, entonces los escenarios w y w pertenecen al mismo grupo g, para gG t G. Notar que { }G G= = = = 1 1 1 Sg y . g : conjunto de escenarios que definen al grupo de la etapa t=t(g), para g , ttG S, tal que g . Notar que

. t(g) t(g')g' g

Ejemplo: Vamos a utilizar este ejemplo para ilustrar el concepto de grupo de escenarios de una etapa dada. En este caso nos fijaremos en cules son los grupos de escenarios que tenemos:

13

Figura 5.1

t=1 t=2 t=3 t=4

4 8 w=1

2

5 9 w=2

1

6 10 w=3

3

7 11 w=4

En cada nodo i se deber tomar la decisin ix . En este ejemplo los subconjuntos de grupos de escenarios en cada etapa son:

X t=1: G { } { }= = = , , , ,1 11 8 9 10 11 X t=2: G { } { } { }= = = , , , , ,32 3 8 9 10 112 2 X t=3: G { } { } { } { } { } , , , , , , ,= = = = 3 4 5 64 5 6 7 8 9 10 11=7 X t=4: G { } { } { } { } , , , , , , ,= = = =4 8 9 108 9 10 11 8 9 10

{ } =11 11

El principio de no anticipatividad requiere un nico valor de las variables de decisin en cada grupo de escenarios de cada etapa t. As, las condiciones de no anticipatividad se pueden expresar:

{= = ,': , , 'w w wt t gNA x x x w w g G },t t S

Notar que en la primera etapa todas las decisiones son iguales. Por tanto, . En particular, ser la nica condicin para un modelo de dos etapas.

= 1 1 ' , , 'w wx x w w

8 4

9 2

51 10

6 3

11

7

14

Evidentemente, entre las condiciones de no anticipatividad se encuentra un nmero elevado de restricciones redundantes. Por tanto, se puede trabajar sobre un subconjunto elegido adecuadamente. Una posible manera para seleccionarlos es establecer un orden entre los escenarios y a continuacin relacionar con para un solo escenario w de su grupo de equivalencia, para

wtx

'wtx

, ' gw w , gG ,t t S . As w se relaciona con w+1 si w+1g ; en otro caso, w+1 se relaciona con el primer escenario de los incluidos en g .

1.6 El modelo determinista equivalente

Las tcnicas de optimizacin estocstica, mediante anlisis de escenarios que describen estrategias de recursin parcial o completa constituyen lo que conocemos como Optimizacin Robusta. El esquema de modelizacin utiliza el principio de no anticipatividad para expresar las relaciones que hay entre la realizacin de los parmetros de una etapa y su decisin.

En este marco se producen las soluciones robustas que, sin estar condicionadas a ningn escenario pero teniendo en cuenta todos ellos, cumplen el objetivo de optimizar, en nuestro caso, el valor esperado de la funcin objetivo sobre cada escenario.

Se define el Modelo Determinista Equivalente (MDE) correspondiente a la versin con recurso total del modelo estocstico, al modelo definido como:

==

0

w w w

w

w w w

w

Z min w c x

s.a. A x b , w

x NA, w

( ). .1 6 1

La matriz de restricciones de este modelo presenta una estructura de cuasiescalera. Los modelos deterministas para distintos escenarios difieren unos de otros. Y adems, el nmero de variables que relacionan distintas etapas no es significativo.

15

Dependiendo de la representacin de las restricciones de no anticipatividad, surgen dos representaciones equivalentes del MDE: la formulacin compacta y la formulacin extendida.

Formulacin compacta Se utiliza el concepto de grupos de escenarios definido anteriormente. Se incluye, adems, la notacin necesaria:

Para entender bien el concepto de, N g subconjunto de grupos de

escenarios, veamos cules seran en el ejemplo anterior: N 1 ={1}, N ={1,2}, N ={1,3}, N ={1,2,4}, N 5 ={1,2,5}, N ={1,3,6}, N ={1,3,7}, N ={1,2,4,8}, N 9 ={1,2,5,9}, N 10 ={1,3,6,10}, N 11 ={1,3,7,11}.

2 3 4 6 7

8

Figura 1.5.1

t=1 t=2 t=3 t=4

4 8 w=1

2

5 9 w=2

1

6 10 w=3

3

7 11 w=4

Notacin: gx : vector de variables correspondientes al grupo de escenarios gG.

Representa a todos los vectores de variables idnticas segn el principio de no anticipatividad.

gp : peso asociado a cada grupo de escenarios gG; = g wg wp p tal que 1G = ,t gg p t . N g : subconjunto de grupos de escenarios { }G '' : g gg . Es decir, es el camino de grupos de escenarios desde el nodo raz hasta el grupo g.

8 4

9 2

51 10

63

11 7

16

En la formulacin compacta del MDE de recurso total, se sustituyen el nmero de variables iguales debido a la no anticipatividad por una nica variable. Es decir, las restricciones de no anticipatividad aparecen de manera implcita. Como observaremos, se reduce sustancialmente el tamao del problema.

Por tanto, la formulacin compacta del modelo es:

( )G

G N

G

== =

donde

0

g ggg

g g g g g'g

g

Z min w c x

s.a. A x b g x x : g'

x g

( ). .1 6 2

Un modelo expresado en formulacin compacta, haciendo uso de grupos de escenarios tiene G vectores de variables y G tipos de restricciones. Este modelo define una estructura de cuasiescalera como podemos ver en la siguiente figura:

Figura 6.1

'

'

'

'

'

'

1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

A

A A

A A

A A

A A

A A

A A

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

x x x x x x x

b

b

b

b

b

b

b

Como hemos visto, en la formulacin compacta las restricciones de no anticipatividad aparecen de manera implcita. No estropean la estructura en cuasiescalera del modelo.

17

Formulacin extendida

En la formulacin extendida de un modelo estocstico de recurso total, la matriz de restricciones es tambin de cuasi-escalera aunque como veremos, ms amplia que la anterior. En esta formulacin se desdoblan las variables en etapas segn las perspectivas y se imponen explcitamente las condiciones de no anticipatividad. Es decir, se aaden explcitamente restricciones que fuerzan a estas variables a tomar el mismo valor. Por eso se llama formulacin extendida o formulacin con variables divididas.

G

==

=

0

0

w w w

w

w w w

w w'

w

Z min w c x

s.a. A x b , w

x x , w,w' : w w',g

x

( ). .1 6 3

Es un modelo de T vectores de variables y +T NA tipos de restricciones. Aunque la matriz es de mayores dimensiones, es menos densa que la matriz en formulacin compacta. Si y representan las densidades de la formulacin compacta y la formulacin extendida respectivamente, definidas como la proporcin entre el nmero de elementos no nulos y el nmero de elementos total, se observa que,

cD eD

>G G

= =2 2c eD DT .

Vemos que la relajacin de las restricciones de no anticipatividad, en este tipo de formulacin convierte al modelo estocstico en modelos independientes, asociados uno a cada escenario. Su estructura es exactamente en forma de escalera, por lo que un modelo de optimizacin de grandes dimensiones se puede abordar mediante la resolucin de varios problemas de menores dimensiones, uno por cada escenario. Esta caracterstica se emplea en varios mtodos de resolucin de problemas de grandes dimensiones, que emplean tcnicas de descomposicin.

Si representamos la formulacin extendida en el ejemplo:

18

Figura 6.2

'

'

'

'

'

'

'

'

11

1 12 2

1 13 3

21

2 22 2

2 23 3

31

3 32 2

3 33 3

41

4 42 2

4 43 3

0

0

0

0

0

A

A A

A A

A

A A

A A

A

A A

A A

A

A A

A A

I I

I I

I I

I I

I I

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 41 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

11

12

13

21

22

23

31

32

33

41

42

43

x x x x x x x x x x x x

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

1.7 Modelos estocsticos y propiedades

Es habitual en la prctica de la programacin lineal, plantear problemas multiperiodo. En algunos de dichos periodos se formulan las decisiones a tomar y se constituyen las distintas etapas de decisin. Sea

= {1,2,,T} el conjunto de periodos que constituye el horizonte de planificacin. Los periodos se agruparn en etapas de decisin bajo la estructura de informacin disponible.

Definicin: Una etapa de un horizonte dado es un conjunto de periodos de tiempo en los que tiene lugar la realizacin de parmetros inciertos.

19

1.7.1 Modelos bietapa

El programa lineal estocstico de dos etapas de recurso fijo (Dantzing y Beale 1955) se define como:

( )

= +=

+ =

1 1 2 2

1 1 1

2 1 2 2 2

1 20 0

w wPL

w w w w

w

Z minc x E minc x

s.a. A x b

A ' x A x b

x ,x

(1.7.1.1)

La decisin en la primera etapa viene dada por el vector . Le

corresponden los vectores1x

\ \,11 1 1n mc b y la matriz . En la segunda etapa pueden ocurrir un conjunto de sucesos aleatorios

. Para cada realizacin, w, hay unos valores de los vectores

\ \1 11 m nAw ,2 2c b y la matriz, '2A . Entonces, se define cada escenario ( )= , , ,..., 22 2 21 2w w w w wmc b A A con = + + 2 2 2N n m m n1 componentes potenciales.

La dependencia de sobre w es de una naturaleza completamente

diferente a la dependencia de u otros parmetros estocsticos sobre w. No es una relacin funcional pero indica que las decisiones de la segunda etapa, , no son normalmente las mismas bajo diferentes realizaciones de w. Estas son elegidas de manera que las dos ltimas condiciones del problema (1) se mantienen casi seguramente, es decir

, excepto tal vez para un conjunto de probabilidad nula.

2x

2c

2x

w

La funcin objetivo contiene el trmino determinista y la esperanza para los trminos de la segunda etapa tomada bajo los distintos escenarios. As para cada w:

1 1c x

( ) { }= = 2

1 2 2 2 2 2 2 1 2 0w w w w w w w w

xQ x , c x : A x b A ' x ,xmin (1.7.1.2)

20

es el valor de la funcin objetivo en la segunda etapa y E la esperanza con respecto a .

Entonces, el valor esperado de la funcin objetivo en la segunda etapa es:

( ) ( )= ,1 1 wQ x EQ x (1.7.1.3)

El modelo determinista equivalente se expresa como:

( )

= +=

1 1 1

1 1 1

1 0

PLZ minc x Q x

s.a. A x b

x

(1.7.1.4)

Vemos as que la mayor diferencia con la formulacin determinista est en el valor de la funcin en la segunda etapa. Si esta funcin viene dada, un problema estocstico es exactamente un problema de optimizacin no lineal.

La dificultad de la programacin estocstica en cuanto a modelos de dos etapas, radica en el peso computacional de ( )1Q x para todo x en (1.7.1.4). Por eso las propiedades del MDE y de ( )1Q x han sido muy estudiadas. De estas propiedades se observa que la resolucin de problemas estocsticos lineales de dos etapas de grandes dimensiones no es tan compleja como la de aquellos en los que intervienen variables enteras, o en particular 0-1.

1.7.2 Modelos multietapa

En los modelos bietapa hay dos tipos de decisiones; las que se toman antes y aquellos que se toman despus de que se desvele la incertidumbre. Sin embargo en los problemas multietpicos la situacin

21

se complica. La incertidumbre se va desvelando etapa a etapa segn se van tomando decisiones. La decisin :tx t S , se basa slo en la informacin anterior (no anticipatividad). En general, la decisin depende de los parmetros ( ),..., , , ,..., 1 1 1 2t tx x .

As un modelo multietapa lineal viene dado por la expresin:

+ + = + + + +

2 1 3 1 2

1 1

3 3

1 1 2 2

S S

w w

w wPL | | , w w

S S| ,...,

minc x ...Z min c x E minc x E

... E minc x

(1.7.2.1)

s.a.

= + = + + = =+ + + +

... ...

...

, ,...,

11 11

21 1 22 2 2

31 1 32 2 33 3 3

1 1 2 2 3 3

1 20

w

w w w w

w w w w w w

ww w w w w w wSS S S SS S

w wS

A x bA x A x bA x A x A x b

bA x A x A x A x

x x x NA

(1.7.2.2)

donde son los vectores fila de los coeficientes de la funcin objetivo. wtcwtA son las matrices de restricciones. es el vector de trminos

independientes rho y

wtb

wtx son los vectores columna de las variables

continuas para la etapa t bajo el escenario w, para ,t S ,w .

Lo habitual es que en las restricciones slo intervengan variables consecutivas en el tiempo. Por lo que se emplear la siguiente expresin abreviada de modelos estocsticos multietapa lineales en la formulacin en variables divididas:

22

G

=+ =

=

'

min

. . ' , ,

, , ' : ', ,

, ,

1

0

0

w wPL t tt S w

w w w w wt t t t t

w wt t g t

wt

Z c x

s a A x A x b t S w

x x w w w w g t

x t S w

S (1.7.2.3)

donde 'tA y tA son las matrices de restricciones correspondientes a las variables y respectivamente, para 1tx tx t S .

23

Captulo 2

Una aplicacin: efectos de los costes de transaccin en la inmunizacin dinmica de carteras de renta fija

Como probaron Bierwag y Khang (1979), la inmunizacin puede describirse como una estrategia de maximizacin a lo largo de los estados de la naturaleza, donde el objetivo del inversor es garantizar un rendimiento mnimo durante el horizonte de planificacin. Por tanto, de acuerdo con Dantzig (1971), esta solucin mxima se puede encontrar resolviendo un problema lineal equivalente que depender de la hiptesis sobre la Estructura Temporal de los Tipos de Inters, en adelante ETTI.

Uno de los resultados ms importantes que conciernen al desarrollo de estrategias de cartera contra el riesgo de tipo de inters es el llamado Teorema de Inmunizacin Global Dinmica enunciada por Khang (1983). Segn esta teora, para garantizar el valor final de la cartera al final de un periodo de tiempo, independientemente de los cambios de los tipos de inters, la estrategia ptima sera mantener a lo largo del tiempo la duracin igual al periodo de planificacin del inversor. Dada la naturaleza de la duracin de una cartera, esta estrategia implicara un continuo reajuste de la cartera. De cualquier manera, la optimalidad de

24

esta estrategia est basada en algunos supuestos entre los que se incluyen:

a. La estructura de tipos de inters tiene cambios paralelos. Es decir, si la estructura cambia de a ( )g t ( )* ,g t , entonces:

( ) ( )* , = + g t g t

b. No hay costes de transaccin. Es un supuesto muy importante ya que si hubiese costes de transaccin y stos fuesen muy elevados, el reajuste continuo de la cartera sera inviable.

El primero de los supuestos evita el problema del riesgo de infraestimacin del comportamiento de la estructura llamado Riesgo de Inmunizacin, ver Fong y Vasicek (1983).

Con respecto a la hiptesis de la ausencia de costes de transaccin, resulta crucial en un contexto dinmico; si se tienen en cuenta los costes de transaccin, la estrategia del reajuste continuo, podra no ser ptima dados los costes tan elevados que implicara.

2.1 El modelo esttico

El modelo de seleccin descrito a continuacin, trata de obtener el patrn de reajuste ptimo que mantiene la cartera libre del riesgo de tipo de inters. Est basado en el modelo esttico propuesto por Meneu y Navarro (1991) que introduce el concepto de que la inmunizacin es una estrategia de maximizacin utilizando tcnicas de programacin lineal.

Como se ha mencionado, la inmunizacin se puede describir como una estrategia de maximizacin a lo largo de los estados de la naturaleza, donde el objetivo del inversor es garantizar un rendimiento mnimo durante el horizonte de planificacin. Este valor final de la cartera

25

depender de la evolucin de los tipos de inters y la composicin de la cartera. Este problema puede ser modelizado de la siguiente forma:

Sea un inversor que desea invertir una cantidad I (unidades monetarias, euros, etc.) en un mercado con n bonos cupn distintos (que supondremos libres de riesgo de incumplimiento para poder analizar el riesgo de tipo de inters). Las distintas composiciones de la cartera se considerarn estrategias del inversor.

0

Se denota por al precio de una unidad del activo i y por al nmero de unidades de este activo que se incluyen en la cartera ptima. Por tanto, la estrategia del inversor consiste en determinar un vector

ip ix

( ),...,1 nx x que debe cumplir la condicin de presupuesto:

== 0

1

n

i ii

x p I ( ). .211

Adems se asume que justo despus de la compra de la cartera

seleccionada, los tipos de inters pueden cambiar de su nivel actual ( )

a cualquiera de los valores donde cr

,..., ,...,1 cr r rm ... ...< < <

Denotando por V el valor final mnimo de la cartera que el inversor quiere maximizar, el proceso de seleccin de la cartera se puede modelizar como:

=

=

==

1

01

Max

1

0

x ,V

n

i iji

n

i ii

i

V

s.a

x v V j ,...,m

x p I

x ,V

( ). .213

2.2 El modelo dinmico

El modelo de seleccin propuesto hasta ahora proporciona una cartera que slo est inmunizada contra el riesgo de tipo de inters al principio del HPP. Desafortunadamente, el comportamiento dinmico de la duracin de la cartera supone que esta inmunizacin no sea efectiva durante todo el horizonte de planificacin. Slo se conseguira si todos los activos considerados fuesen cupn cero con vencimiento al final del HPP. As Navarro y Nave (1994) introdujeron la dinmica en este modelo.

Se considera una particin del HPP en k subintervalos de igual longitud h: , ,,[[ ],0 1t t , 1 2t t ],1k kt t , siendo el principio y el final del HPP. Se asume tambin que el reajuste de la cartera slo est permitido al principio de cada subintervalo.

0t kt

Sin prdida de generalidad se supondr que hay n bonos cupn distintos disponibles en , cuyos vencimientos sern , ,, ,,0t 1t 2t kt nt

27

respectivamente; los pagos de cupn se dan en los momentos de reajuste.

Este problema consta entonces de los siguientes elementos:

Conjuntos:

X I, conjunto de activos, i, a incluir en la cartera. =I n es el nmero de activos del conjunto I.

X , el conjunto de escenarios posibles para los tipos de inters. = m el nmero de escenarios posibles.

X T, el conjunto de periodos de vencimiento, , donde es el vencimiento del activo i.

it it

Es decir, el activo i es un activo con vencimiento en i periodos y con un

pago de cupn de unidades monetarias por periodo iC [ ],1s st t , s=1,..k.

Variables de decisin:

X , nmero de unidades del activo i incluido en la cartera en s,ix st , para s=0,,k-1 y i=s+1,,n.

X , nmero de unidades del activo i comprado en s,ib st , para s=0,,k-1 y i=s+1,,n. Se puede calcular como , 1,s i s ix x cuando esta diferencia es positiva. Es decir, =max(s,ib , , 1s i s ix x ,0).

28

X , nmero de unidades del activo i-s vendido en , para s=0,,k-1 y i=s+1,,n. Se puede calcular como

s,iz st, ,1s i s ix x cuando esta diferencia es

positiva. Es decir, =max(s,iz , ,1s i s ix x ,0).

Podramos ahorrarnos estas dos variables utilizando las diferencias . Cuando esta diferencia sea positiva interpretaremos que hay

que comprar activo. Sin embargo si es negativa habr que venderlo. , 1s i s ix x ,

X valor final de la cartera en , para s=0,,k. sV st

Parmetros:

X , presupuesto inicial de la cartera. 0I

X , cupones generados por una unidad del bono i. ic

X , es el valor nominal del activo con vencimiento 0,sp st , para s=1,,n.

X , denota la corriente de pagos generada por una unidad del bono i, en

( )i sC tst , para s=1,,n y i=1,,n. Entonces,

( ) ,,,,

>= + =

X , precio del activo i-s en , si es el tipo de inters que hay en que suponiendo ETTI plana se obtiene de la forma:

s,ip st r

st

( ), ( , , )= +

= 1

i

s i i j s jj s

p C t P r t t ( ). .2 2 2

donde ( )( , , ) = + 1

1s j j sP r t t

r h ( ). .2 23

X , nominal del activo s con vencimiento en . s,sp st

X , denota el valor final en s,iv k st de una inversin de unidades monetarias en el activo i-s en si el tipo de inters cambia de a . Entonces,

,s ip

st r 'r

( ) ( )( ),

', ,, ,..., ; ,...,

', ,= += = = +k i s 1 0 1n i r s rr ss i

s k

C t P r t tv s n

P r t t ( ). .2 2 4

Se observa que tanto los precios como los valores de la cartera dependen de los tipos de inters cuyo recorrido no es conocido a priori.

De esta forma obtenemos el siguiente problema determinista dinmico:

=, 0sx Vk

VMax ss

( ). .2 25

30

= +

= = = + = = + =

= == = +

, ,, ,

, , , ,

, ,

, ,

,...,

,...,

,..., ; ,...,

,...,

,...,

1

0 0

1

1

1

0 1

1

0 1 1 1

1

1

n

s i s i si s

i i

s i s i s i s i

s s s s

k i k i

x v V s k

x b i n

x x b z i s n s k

x z s k

x z i k n

=

= + = + = +

= +

=

==

+

, ,

, , , , , , ,

, ,

,...,

0 0 01

11 1 1

1

0

1 1

n

i ii

n n n

s i s i s i s i s s s s i s ii s i s i s

n

k i k ii k

x p I

b p z p z p C x

s k

z p

=

+ = = + =

= = =

, , ,, ,

,

, ,..., ; ,...,

,..., ; ,...,

,...,

1

0 1 1 1

0 1

0 0

n

k k k k i k i ki k

s i s i

s i

s

z p C x V

x b i s n s k

z s k i s n

V s k

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

2 2 6

2 2 7

2 2 8

2 2 9

2 2 10

2 2 11

2 2 12

2 2 13

2 2 14

2 2 15

2 2 16

El sistema de restricciones (2.2.6) permite asumir que el objetivo del inversor es maximizar en cada el valor mnimo de la cartera al final del HPP si ocurre un cambio inesperado en los tipos de inters justo despus del reajuste. El conjunto se restricciones (2.2.7) indica el nmero de activos que se compran en el periodo inicial. El grupo de restricciones (2.2.8), indica las compras y ventas en cada periodo. El grupo de restricciones (2.2.9) representa el nmero de los bonos con madurez en que tiene que ser igual al nmero de activos de s que haba en la cartera ptima en el periodo anterior. Estas restricciones se incluyen para distinguir los activos que se venden en de aquellos que vencen en el mismo periodo. El grupo de restricciones (2.2.10) indica que al final del HPP hay que vender todos los activos de la cartera. La restriccin (2.2.11) define la riqueza inicial. El subsistema (2.2.12)

st

st

st

31

define las ecuaciones de balance entre periodos consecutivos, y para finalizar, la restriccin (2.2.13) define el valor de la cartera en . Los subsistemas (2.2.14)-(2.2.16) fuerza la no negatividad de las variables del modelo.

kt

2.2.1 Riesgo de inmunizacin

En 2001 los mismos autores introdujeron en el modelo el concepto de riesgo de inmunizacin. Es bien conocido que la naturaleza de la dinmica de los tipos de inters es mucho ms compleja que la que hemos supuesto, y por tanto, las estrategias pueden fallar si la estructura de la ETTI es muy diferente. Esto se conoce como el riesgo de inmunizacin.

Aunque hay varias alternativas para medir el riesgo de inmunizacin, una de las ms aceptadas es la medida de dispersin propuesta por Fong

y Vasicek (1983) conocida como . Probaron que minimizando esta dispersin cuadrtica, se minimiza el efecto de un movimiento distinto al supuesto en el valor final de la cartera. Esta medida de dispersin correspondiente al bono i se define como sigue:

2M

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

, ,,...,

, ,

= =

2

2 1i i

si

i is

s HPP C s P r t t sM i

C s P r t t sn ( ). .2 217

As la medida de dispersin en st , que corresponde al bono i con vencimiento en st , para s=0,,k-1 y para i=s+1,,n se puede calcular de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )( ) ( ),

, ,

, , = +

= +

= 2

2 1

1

i

r s k s i r i s rr ss i i

i r i s rr s

t t C t P r t tM

C t P r t t ( ). .2 218

32

Esta medida de dispersin se introduce en el modelo penalizando la funcin objetivo como sigue:

= = = +

,, ,

1 2

0 0 1sx V

k k n

s s i s i ( ). .2 219 s s i s

V A M xMax

donde A es un coeficiente positivo que depende de la aversin al riesgo de inmunizacin de cada inversor. Se ver que el resultado del problema de optimizacin depende de este valor.

Hasta ahora se ha considerado un modelo determinista cuyos parmetros venan dados. Es bien sabido que el comportamiento de los tipos de inters es difcil de predecir, y por tanto, no se puede considerar determinista. Adems el modelo considerado tiene varios parmetros que dependen de los movimientos de esta variable tan difcil de modelizar.

En este punto la naturaleza puede jugar una serie de estrategias o escenarios sobre los tipos de inters. En este modelo hay que asumir una hiptesis previa sobre el nivel de los tipos de inters esperados al inicio de cada subintervalo, para poder analizar el impacto de los cambios de los tipos de inters justo despus de las fechas de reajuste.

Ante esta situacin se pueden utilizar varias alternativas para incluir esta aleatoriedad en el modelo. El mtodo ms sencillo pero menos preciso podra ser el de utilizar estimaciones de los parmetros inciertos. En este caso se podra considerar el valor esperado de los tipos de inters y a partir de ah calcular los parmetros del problema. As el modelo quedara igual que el descrito anteriormente (seguira siendo un modelo determinista) y los parmetros inciertos se calcularan de la forma descrita en las ecuaciones (2.2.20), (2.2.21) y (2.2.22):

33

( ) ( )= +

= 01

i

s ,i i j t s s jj s

p C t P(E r t ,t ,t ) ( ) ( )( )( )( )= +

=

,

, ,

, ,0

0

1

n

i r t s s rr ss i

t s s k

C t P E r t t tv

P E r t t t

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

= +

= +

=

,, ,

, ,0

0

2

2 1

1

i

r s k s i r i t s s rr ss i i

i r i t s s rr s

t t C t P E r t t tM

C t P E r t t t

Otra forma de hacerlo es mediante el anlisis de escenarios que ya ha sido introducido en el Captulo 1. Se consideran todos los posibles escenarios o posibles valores que puede tomar el tipo de inters a lo largo del tiempo y se consideran tantas restricciones como escenarios

posibles. As si se considera que es el tipo de inters instantneo bajo el escenario w=1,..m, las ecuaciones (2.2.20), (2.2.21) y (2.2.22) se convierten en:

wr

( )= +

= 1

iw ws ,i i j s j

j s

p C t P( r ,t ,t )

( ). .2 2 23 ( ) ( )

( )= += ,, ,

, ,1

n wi r s rw r s

s i ws k

C t P r t tv

P r t t

( ). .2 2 24

( ) ( ) ( )

( ) ( ) = +

= +

= ,, ,

, ,

2

2 1

1

i wr s k s i r i s rw r s

s i i wi r i s rr s

t t C t P r t tM

C t P r t t

( ). .2 2 25

Navarro y Nave (2001) utilizan una mezcla de ambos mtodos. Utilizan el valor medio de los tipos de inters a la hora de calcular los precios y la medida de dispersin. Pero utilizan el anlisis de escenarios a la hora de mirar el valor de las inversiones. As pues, sus parmetros son:

34

( ) ( )= +

= , ( , , )01

i

s i i j t s s jj s

p C t P E r t t

( ). .2226t

( ) ( )( )= += ,

, ,

, ,1

n wi r s rw r s

s i ws k

C t P r t tv

P r t t

( ). .2227

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) = +

= +

=

,, ,

, ,0

0

2

12

1

i

r s k s i r i t s s rr ss i i

i r i t s s rr s

t t C t P E r t t tM

C t P E r t t t ( ). .2228

Por tanto, el modelo dinmico hbrido considerado en Navarro y Nave (2001) queda:

= = = +

,, ,

1 2

0 0 1sx V

k k n

s s i s is s i s

V A M xMax ( ). .2 2 29

= +

= == = + = = + =

= == =

, ,, ,

, , , ,

, ,

, ,

, ..., ; , ...,

, ...,

, ..., ; , ...,

, ...,

1

0 0

1

1

1

0 1 1

1

0 1 1 1

1

nw

s i s i si s

i i

s i s i s i s i

s s s s

k i k i

x v V s k w m

x b i n

x x b z i s n s k

x z s k

x z i

=

= + = + = +

+=

==

, ,

, , , , , , ,

,

, ...,

, ...,

0 0 01

11 1 1

1

0

1 1

n

i ii

n n n

s i s i s i s i s s s s i s ii s i s i s

k

k n

x p I

b p z p z p C x

s k

z

= + =

+ + = = + =

= = =

, , , ,, ,

,

, , ..., ; , ...,

, ..., ; , ...,

, ...,

11

0 1 1 1

0 1

0 0

n n

i k i k k k k i k i ki k i k

s i s i

s i

s

p z p C x V

x b i s n s k

z s k i s n

V s k

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

2 2 30

2 2 31

2 2 32

2 2 33

2 2 34

2 2 35

2 2 36

2 2 37

2 2 38

2 2 39

2 2 40

35

La solucin ptima tiene que ser consistente con el teorema de Khang (1983): la duracin ptima de la cartera consiste en igualarla con el HPP en cada periodo. La pequea diferencia entre estos dos valores se deben al hecho de considerar un nmero finito de escenarios.

Para ver esto, se introduce la notacin adicional que sigue:

X denota la duracin del activo i con vencimiento en it y con la cadena de pagos dada por

id ( )i sC t para s=1,,n y i=1,,n. Calculado segn Macaulay (1938):

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )=

= =

=, ,

, ,00 01

i

s i s t s

0 01

si i i

i s t s ss

t t C t P E r t t td dM

C t P E r t t t

s ( ). .2 2 41

s s

X D denota la duracin de la cartera en t , para s=0,,k-1 calculado como:

( )( )

+ +==+

, ,

,= ,0 0 01t s i ii

1

1

n s

s s i s s i iis s n

x p dD

E r t x p ( ). .2 2 42

En una cartera inmunizada, segn el teorema de Khang, el valor de

en el periodo debe ser cercano a sD

st 1 kt st

1k st 1 k s

, mientras que en una cartera no inmunizada ser cercana a la duracin de un activo con vencimiento en , esto es d . t

2.3. El modelo dinmico con costes de transaccin

Por otro lado, tambin se introducen costes de transaccin para analizar sus efectos en la solucin ptima. Los costes de transaccin que afectan en cada reajuste, se toman como un porcentaje, , del volumen negociado en cada t .Adems se considera que el nominal y los pagos de s

36

cupn no generan costes de transaccin aunque no sera difcil implementar esta posibilidad. As los precios de compra de los activos crecen en un porcentaje y los precios de venta decrecen la misma proporcin. Por tanto lo que se analiza en este modelo dinmico es: analizar los efectos inesperados en los cambios de tipos de inters en

cada en el valor final de la cartera, y los efectos de los costes de transaccin en la solucin ptima.

st

Sea el porcentaje del volumen negociado (en unidades monetarias) en cada periodo, que corresponde a los costes de transaccin debidos al reajuste de cada cartera.

Una vez introducido este parmetro el modelo resultante queda:

= = = +

,, ,

1 2

0 0 1sx V

k k n

s s i s i ( ). .231 s s i s

V A M xMax

= +

= == = + = = + =

= == =

, ,, ,

, , , ,

, ,

, ,

,..., ; ,...,

,...,

,..., ; ,...,

,...,

1

0 0

1

1

1

0 1 1

1

0 1 1 1

1

nw

s i s i si s

i i

s i s i s i s i

s s s s

k i k i

x v V s k w m

x b i n

x x b z i s n s k

x z s k

x z i

( )( ) ( )

=

= + = + = +

++ =

+ =

, ,

, , , , , , ,

,...,

0 0 01

11 1 1

1

1

1 1 0

n

i ii

n n n

s i s i s i s i s s s s i s ii s i s i s

k n

x p I

b p z p z p C x

( )

= + =

= + + =

= + = = = =

, , , , ,, ,

,

,...,

, ,..., ; ,...,

,..., ; ,...,

,...,

11

1 1

1

0 1 1 1

0 1

0 0

n n

k i k i k k k k i k i ki k i k

s i s i

s i

s

s k

z p z p C x V

x b i s n s k

z s k i s n

V s k

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

23 2

233

23 4

235

23 6

23 7

23 8

23 9

2310

2311

2312

37

2.4 Ejemplo ilustrativo

Navarro y Nave (2001) consideran un inversor con un HPP de 18 meses y 4 activos distintos disponibles en el mercado. Suponen que puede invertir diez mil unidades monetarias en estos activos y que el tipo de inters vigente con pagos de cupones semianuales es del 4%. Los tipos de inters pueden subir o bajar en 100 puntos bsicos a 3% o 5%. Las caractersticas asumidas son:

i Madurez: it Cupn anual: iC Duracin: id

Activo 1 0.5 4% 0.5

Activo 2 1 4% 0.990196

Activo 3 1.5 4% 1.47078

Activo 4 2 4% 1.94194

A lo largo de ao y medio (horizonte de planificacin), la composicin de la cartera se puede variar cada seis meses. Se forma la cartera en t=0 (hoy) y se reajusta en t=0.5 (en seis meses) y t=1 (dentro de un ao). Se desea un valor de la cartera ptimo al llegar al periodo t=1.5=HPP (dentro de ao y medio). El rbol a tener en cuenta es:

Figura 2.10.1

t=0 (hoy) t=0.5 (en 6 meses) t=1 (a un ao) t=1.5 (ao y medio)

s=0 s=0.5 s=1

3% 3% w=1

3% 4% 4% w=2

5% 5% w=3

3% 3% w=4

4% 4% 4% 4% w=5

5% 5% w=6

3% 3% w=7

5% 4% 4% w=8

5% 5% w=10

38

Tomando distintos , nivel de los costes de transaccin como un porcentaje del volumen negociado, se obtienen distintas soluciones. En el caso de = 0 estaramos ante ausencia de costes de transaccin:

=0.00% 0 < A 2

st x(s,1) x(s,2) x(s,3) x(s,4) Duracin

0 0 0 9383.895 616.105 1.499809

0.5 - 0 9992.94 207.06 0.999952

1 - - 10404 0 0.5

Dicha solucin ptima es consistente con el teorema de Khang ya que la duracin de la cartera en cada periodo de decisin coincide con la HPP del periodo correspondiente.

Sin embargo cuando se introducen los costes de transaccin:

=0.15% A 0.02

st x(s,1) x(s,2) x(s,3) x(s,4) Duracin

0 0 0 9778.27866 206.7438 1.48053

0.5 - 0 9977.68 206.7438 0.9999226

1 - - 10387.1879 0 0.49994

=0.30% A 0.1

st x(s,1) x(s,2) x(s,3) x(s,4) Duracin

0 0 0 9763.66116 206.42857 1.48053

0.5 - 0 9962.466 206.42857 0.999893

1 - - 10165.23613 206.42857 0.5096966

39

=0.45% A 0.0484

st x(s,1) x(s,2) x(s,3) x(s,4) Duracin

0 0 0 9749.0872 206.114297 1.4805355

0.5 - 0 9947.29937 206.114297 0.999864

1 - - 10149.4579 0 0.509667

=0.60% A

st x(s,1) x(s,2) x(s,3) x(s,4) Duracin

0 0 0 9940.3578 0 1.47078

0.5 - 0 10137.97928 0 0.99008

1 - - 10339.5296 0 0.49988

2.5 Conclusiones

Navarro y Nave (2001) demostraron que cuando no existen costes de transaccin, los resultados obtenidos son consistentes con la Estrategia de Inmunizacin Dinmica de Khang.

Sin embargo si se tienen en cuenta los costes de transaccin esta estrategia deja de ser ptima. Observaron que a mayores costes de transaccin mayor es la diferencia entre la duracin y el HPP. Adems, advirtieron que en este ejemplo concreto con un suficientemente grande lo ptimo es invertir todo el capital inicial en el bono que vence en el HPP del inversor.

Navarro y Nave observan que esta estrategia sugiere la forma de aprovechar el comportamiento de la duracin de la cartera. Si el inversor construye una cartera con una duracin menor que el HPP, al pasar el tiempo, la duracin de la cartera se acerca al HPP. As que el riesgo de tipo de inters desaparece sin necesidad de reajustes de cartera

40

adicionales. Adems en el caso de que la duracin fuese suficientemente larga, se podra ayudar este proceso mediante la reinversin ptima de los cupones con menor duracin.

Aun as hay muchas cuestiones que se quedan en el aire. Ya que si se considera el rbol definido anteriormente, se acepta la posibilidad de que en t=0.5 el valor del tipo de inters libre de riesgo no sea el esperado. Puede darse la posibilidad de que suba o baje 100 puntos bsicos. Si realmente al llegar a t=0.5 el tipo de inters se encuentra en el 3%, de qu cantidad se dispone para invertir?, y cmo se reparte ese dinero de manera ptima? Qu ocurre si el tipo de inters sube al 5%? Este modelo no contesta a estas preguntas que pueden resultar cruciales para el inversor, ya que de esta forma tan slo obtiene un patrn a seguir en el caso de que el tipo de inters se mantenga en sus niveles esperados. Pero como ya se ha mencionado con anterioridad el nivel de los tipos de inters es difcilmente predecible, y por tanto, es muy poco probable que se mantenga en sus niveles esperados. Por esa razn parece necesario desarrollar modelos que incluyan la posibilidad de cambios del tipo de inters.

41

Captulo 3

Extensin: tratamiento del problema mediante el anlisis de escenarios

Cabe pensar en extender el modelo anterior trabajando de la forma que hemos introducido en el Captulo 1. Se desarrolla a continuacin el modelo utilizando el mtodo de anlisis de escenarios para todas las variables inciertas. De esta forma se analizan todas las posibles soluciones que se puedan dar, y por tanto, su solucin ser ms robusta que aquella obtenida mediante la estimacin de los parmetros.

3.1 Modelo estocstico

En todos los casos analizados anteriormente la solucin era anticipativa cuyas decisiones eran conocidas en . 0t

En esta seccin se analiza un modelo de dos etapas ya que dado el comportamiento impredecible de los tipos de inters es poco fiable la informacin a ms de un periodo vista. As pues parece lgico pensar en un modelo de dos etapas que ayude a determinar las decisiones a tomar en las dos primeras etapas de decisin y al llegar a este punto volver a plantear otro problema de 2 etapas y as continuar hasta complementar el horizonte de planificacin.

42

La formulacin presentada permite la posibilidad de reajustar la cartera a lo largo del tiempo. Las variables de primer nivel son variables continuas para determinar la seleccin de activos y el volumen (nmero de unidades) a incluir en la cartera, el nmero de unidades que se compran o se venden, y el valor final de la cartera tras las decisiones iniciales. Todas las variables de decisin de primer nivel ,0 ix , ,0 ib , ,0 iz y

,0 iV son variables no negativas e independientes del escenario.

Las variables de segundo nivel son variables continuas que determinan la inversin en los diferentes activos para cada periodo , hasta el horizonte de planificacin bajo cada escenario w. Es decir, las decisiones de segundo nivel para el reajuste dependen del escenario que acontezca. Los valores de las variables de segundo nivel consideran todos los escenarios sin subordinarse a ninguno de ellos.

,...,1 kt t

El rbol de escenarios en un modelo dos etapas se puede describir como:

0t 1t 2t ... nt w=1 w=2 w=3 . . . w=m

El problema de optimizacin consiste en maximizar el valor esperado del valor de la funcin objetivo (2.3.1) a lo largo del conjunto de escenarios. Es decir,

43

= = = = +

+ , , ,,

12 2

0 0 01 0 0 1s

n k k nw w w w w

i i s s i sx V i w s w s i s

primer nivel segundo nivel

V A M x p V A p M xMax ,i

( )311. . Sujeto a las siguientes restricciones:

= =, , , ...,0 0 1i ix b i n (3.1.2)

( )=

+ = , ,0 0 01

1n

i ii

x p I (3.1.3)

= +

= , , ,...,0 0 01

1n

wi i

i s

x v V w m (3.1.4)

= +

= , , ,..., ; ;1 1 11

0 1n

w w ws i s i s

i s

x v V s k w w (3.1.5)

+ = = + = , , , , ,..., ; ,..., ;1 0 1 1 1w w w ws i s i s i s ix x b z i s n s k w (3.1.6) = = , , ,..., ;1 1w ws s s sx z s k w (3.1.7) = = + , , , ..., ;1 1w wk i k ix z i k n w (3.1.8)

( ) ( )

= + = + = +

+ ==

, , , , , , ,,..., ;

11 1 1

1 1

1 1

n n nw w w w w ws i s i s i s i s s s s i s i

i s i s i s

b p z p z p C x

s k w 0

(3.1.9)

( ) = + =

+ + = , , , , ,11

1n n

w w w w wk i k i k k k k i k i k

i k i k

z p z p C x V w (3.1.10)

= + = , ,, , ..., ; , ..., ;0 1 1 1w ws i s ix b i s n s k w (3.1.12) = = , , ..., ; , ..., ;0 1ws iz s k i s n w (3.1.13) = ,..., ;0 0wsV s k w (3.1.14)

donde wp es la verosimilitud del escenario w, y denota el valor del parmetro o variable correspondiente bajo el escenario w. Los

w

44

parmetros estocsticos ,ws iM , ,

ws iv y ,

ws ip se definen ahora para cada

escenario . w

El resto de las variables se definen de la forma que sigue:

Parmetros deterministas:

X , denota la corriente de pagos generada por una unidad del bono i, en

( )i sc tst , para s=1,,n y i=1,,n. Entonces,

( ) ,,,,

>= + =

Tambin se introduce la siguiente notacin adicional:

X denota la duracin del activo i bajo el escenario w que se calcula: wid

( ) ( ) ( )( ) ( )= =

= , ,

, ,0 01

01

i ws i s sw s

i i wi s ss

t t C t P r t td

C t P r t t ( )3118. .

X es la duracin de la cartera en el periodo inicial: 0D

=

==

, ,

, ,

0 010

0 01

n w wi i iw i

n

i ii

x p d pD

x p ( )3119. .

que es equivalente a la duracin determinista definida en (2.2.42) ya que

. = w wi iwd d p

X denota la duracin de la cartera en bajo el escenario w, para s=0,,k-1 calculado como:

wsD st

( )

+ +=

==

+

, ,

, ,

1

0 011

n s w w w ws s i s s i iw i

s s nwi ii

x p d pD

r x p ( )3120. .

En representacin compacta, las restricciones de no anticipatividad:

= 0 0w w',i ,ix x w w';w,w' (3.1.21) = 0 0w w',i ,ib b w w';w,w' (3.1.22) = 0 0w w',i ,iz z w w';w,w' (3.1.23) = 0 0w w',i ,iV V w w';w,w' (3.1.24)

se escriben de forma implcita.

De esta forma se obtiene un modelo determinista con una funcin objetivo cncava y numerosas restricciones lineales. El resultado

46

principal es el valor ptimo de la funcin objetivo y los valores ptimos de las variables de primer nivel. En un problema dinmico, se aplica esta decisin y al final del primer periodo de tiempo el modelo se vuelve a resolver con la nueva informacin sobre la ETTI.

3.2 Ejemplo ilustrativo

Se considera un mercado y un inversor con las mismas caractersticas que los considerados en Navarro y Nave (2001). Pero en este caso consideramos un problema bietapa por lo que el rbol que se utiliza es de la forma:

Figura 3.2.1

t=0 (hoy) t=0.5 (en 6 meses) t=1 (a un ao) t=1.5 (ao y medio)

s=0 s=0.5 s=1

3% 3% 3% w=1

4% 4% 4% 4% w=2

5% 5% 5% w=3

De esta forma el problema estocstico que se plantea es el siguiente:

= =

+ + + + , , ,, . . .3 3

0 0 1 0 2 0 31 0

102647 00244 026

3sws

x V w sV V A x x x xMax ,0 4

+,,

,

2

3

+ + + + + + + + + + + + + + +

, , , ,

, , , ,

, , , ,

. . . .

. . . .

. . . .

1 1 1 1 11 2 1 3 1 4 2 3 2 4

2 2 2 21 2 1 3 1 4 2 3 2 4

3 3 3 31 2 1 3 1 4 2 3 2 4

00833 0001633 0081733 0 00817

00833 0001633 0081733 0 00817

00833 0001633 0081733 0 00817

x x x x x

A x x x x x

x x x x x

47

sujeto a:

=, ,0 1 0 1x b =, ,0 2 0 2x b =, ,0 3 0 3x b =, ,0 4 0 4x b

( ) + + + + = , , , ,0 1 0 2 0 3 0 41 100 100 100 100 1000000x x x x + + +, , , ,. . . .0 1 0 2 0 3 0 4 0105 0829 105 5904 106 0904 106 5831x x x x V

V V

1V 1V 1V

1V

1V

1V

2V 2V

2V

2V

2V

2V

3V 3V

+ + +, , , ,. . . .0 1 0 2 0 3 0 4 0106 1208 106 1208 106 1208 106 1208x x x x + + +, , , ,. . . .0 1 0 2 0 3 0 4 0107 1637 106 6512 106 1513 105 6634x x x x

+ +, , ,. . .1 1 11 2 1 3 1 4 1103 53 104 03 104 5226x x x + +, , ,. . .1 1 11 2 1 3 1 4 1104 04 104 04 104 04x x x + +, , ,. . .1 1 11 2 1 3 1 4 1104 55 104 05 103 5622x x x

+ , ,.1 12 3 2 4 2102 102 4926x x + , ,1 12 3 2 4 2102 102x x + , ,.1 12 3 2 4 2102 101 5122x x

+ +, , ,. . .2 2 21 2 1 3 1 4 1103 53 104 03 104 5226x x x + +, , ,. . .2 2 21 2 1 3 1 4 1104 04 104 04 104 04x x x + + , , ,. . .2 2 21 2 1 3 1 4 1104 55 104 05 103 5622x x x

+ , ,.2 22 3 2 4 2102 102 4926x x + , ,2 22 3 2 4 2102 102x x + , ,.2 22 3 2 4 2102 101 5122x x

+ +, , ,. . .3 3 31 2 1 3 1 4 1103 53 104 03 104 5226x x x + +, , ,. . .3 3 31 2 1 3 1 4 1104 04 104 04 104 04x x x

48

+ +, , ,. . .3 3 31 2 1 3 1 4 1104 55 104 05 103 5622x x x 3V3V

3V

3V

+ , ,.3 32 3 2 4 2102 102 4926x x + , ,3 32 3 2 4 2102 102x x + , ,.3 32 3 2 4 2102 101 5122x x

+ =, , , ,1 1 11 2 0 2 1 2 1 2 0x x b z + =, , , ,1 1 11 3 0 3 1 3 1 3 0x x b z + =, , , ,1 1 11 4 0 4 1 4 1 4 0x x b z + =, , , ,1 1 1 12 3 1 3 2 3 2 3 0x x b z + =, , , ,1 1 1 12 4 1 4 2 4 2 4 0x x b z + =, , , ,2 2 21 2 0 2 1 2 1 2 0x x b z + =, , , ,2 2 21 3 0 3 1 3 1 3 0x x b z + =, , , ,2 2 21 4 0 4 1 4 1 4 0x x b z + =, , , ,2 2 2 22 3 1 3 2 3 2 3 0x x b z + =, , , ,2 2 2 22 4 1 4 2 4 2 4 0x x b z + =, , , ,3 3 31 2 0 2 1 2 1 2 0x x b z + =, , , ,3 3 31 3 0 3 1 3 1 3 0x x b z + =, , , ,3 3 31 4 0 4 1 4 1 4 0x x b z + =, , , ,3 3 3 32 3 1 3 2 3 2 3 0x x b z + =, , , ,3 3 3 32 4 1 4 2 4 2 4 0x x b z =, ,10 1 1 1x z =, ,1 11 2 2 2x z =, ,x z1 12 3 3 3 =, ,20 1 1 1x z

49

=, ,2 21 2 2 2x z =, ,2 22 3 3 3x z =, ,30 1 1 1x z =, ,3 31 2 2 2x z =, ,3 32 3 3 3x z =, ,1 12 4 3 4x z =, ,2 22 4 3 4x z =, ,3 32 4 3 4x z

( ) ( ) + + + + + + + + + = + + + +

, ,, ,

, , ,, ,

, ,

. .

. .

. .

1 11 2 1 2

0 1 0 21 1 11 3 1 3 1 1

0 3 0 41 11 4 1 4

100 4926 100 4926

1 100 9779 1 100 9779 100 2 0

101 4561 101 4561

b zx x

b z zx x

b z

( ) ( ) + + ++ = + + + , , ,

,, , ,

. .

. .

1 1 12 4 2 3 1 1 1 21

1 11 1 12 3 2 4 1 3 1 4

100 4926 100 49261 1 100 2

100 9779 100 9779

b z xz

b z x

++ ,

,

1

10

x

x

+,,

2

20

x

0

( ) ( ) + + + + + + + + + = + + + +

, ,, ,

, , ,, ,

, ,

2 21 2 1 2

0 1 0 22 2 21 3 1 3 1 1

0 3 0 42 21 4 1 4

100 100

1 100 1 100 100 2 0

100 100

b zx x

b z zx x

b z

( ) ( ) + + ++ = + + + + , , ,

,, , ,

2 2 22 3 2 3 1 1 1 22

1 12 2 22 4 2 4 1 3 1 4

100 1001 1 100 2

100 100

b z x xz

b z x

( ) ( ) + + + + + + + + + = + + + +

, ,, ,

, , ,, ,

, ,

. .

. .

. .

3 31 2 1 2

0 1 0 23 3 31 3 1 3 1 1

0 3 0 43 31 4 1 4

99 5122 99 5122

1 99 0363 1 99 0363 100 2

98 572 98 572

b zx x

b z zx x

b z

50

( ) ( ) + + ++ = + + + , , ,

,, , ,

. .

. .

3 3 32 3 2 3 1 1 1 23

1 13 3 32 4 2 4 1 3 1 4

99 5122 99 51221 1 100 2

99 0363 99 0363

b z xz

b z x

++ ,

,

3

30

x

x

1

( ) + + = , , , ,. 1 1 1 13 4 3 3 2 3 2 4 31 100 4926 100 2z z x x V2

( ) + + = , , , ,2 2 2 23 4 3 3 2 3 2 4 31 100 100 2z z x x V3

( ) + + = , , , ,. 3 3 3 33 4 3 3 2 3 2 4 31 99 5122 100 2z z x x V

= + = , ,, ,..., ; ,..., ;0 1 1 1w ws i s ix b i s n s k w = = , ,..., ; ,..., ;0 1ws iz s k i s n w = ,..., ;0 0wsV s k w

Tomando distintos , nivel de los costes de transaccin como un porcentaje del volumen negociado, se obtienen distintas soluciones. En el caso de = 0 estaramos ante ausencia de costes de transaccin:

=0.00% A=0 w st x(s,1) x(s,2) x(s,3) x(s,4) Duracin

0 3081.51122 0 0 6918.4888 1.4976

0.5 - 0 10222.139 0 0.994678 1

1 - - 10404 0 0.5049

0.5 - 4933.77778 0 5266.2222 1.0012104 2

1 - - 10404 0 0.5

0.5 - 3297.597 0 6918.4888 1.1519 3

1 - - 10404.487 0 0.495157

51

=0.00% 0

=0.30% 0

=0.60% A w

st x(s,1) x(s,2) x(s,3) x(s,4) Duracin

0 0 0 9940.358 0 1.47078

0.5 - 0 10136.0654 0 1.0093 1

1 - - 10336.589 0 0.504677

0.5 - 0 10137.9793 0 0.99008 2

1 - - 10339.529 0 0.49988

0.5 - 0 9940.3578 200.4843 0.98114 3

1 - - 10142.9533 200.4844 0.5045

3.3 Conclusiones

En esta ocasin se dispone de respuestas para las preguntas que han quedado en el aire en el captulo anterior. Este modelo propone distintas alternativas y estrategias a seguir dependiendo de la evolucin de la ETTI. As de esta ltima tabla (con costes de transaccin de 0.60%) se deduce que las diez mil unidades monetarias (una vez descontados sus costes de transaccin) han sido invertidas en un mismo activo. Al llegar al siguiente periodo de decisin, la estrategia a seguir depende del estado de la naturaleza que se produzca. Si los tipos se han mantenido, la decisin es anloga a la contemplada en el captulo anterior. Pero en el caso de que los tipos cambien tambin cambia la decisin ptima a tomar.

En este punto se analiza cules de las conclusiones obtenidas en el modelo dinmico se ratifican en el modelo estocstico, y cuales, por el contrario, se rechazan.

54

Se observa que cuando los costes de transaccin son inexistentes, la estrategia ptima es aquella que hace que la duracin coincida con el HPP. Lo que es consistente con el teorema de Khang. Sin embargo en el tercer escenario (cuando el tipo de inters sube del 4 al 5%) el reajuste no consigue casar de forma tan exacta las duraciones de los dos ltimos periodos con el HPP correspondiente.

Si se tienen en cuenta los costes de transaccin la estrategia inmune deja de ser ptima. Se nota que a mayores costes de transaccin mayor es la diferencia entre la duracin y el HPP. En este sentido se reafirma la conclusin de Navarro y Nave. Tambin se observa que, al igual que en el caso dinmico, para valores de alpha suficientemente elevados, la mayor parte de la cartera ptima al inicio del HPP (hasta llegar a ser la cartera completa con costes de transaccin que superan el 0.6%) se forma nica mente con el activo que vence al final del HPP.

Sin embargo en este caso, no todas las trayectorias se comportan de la misma forma. As como en los casos en los que los tipos de inters se mantienen en el 4% o bajan al 3%, con unos costes de transaccin suficientemente elevados, la estrategia ptima consiste en mantener la cartera formada tan slo con el activo que vence en el HPP, cuando los tipos de inters suben al 5% lo ptimo es reajustar la cartera introduciendo un activo con vencimiento posterior.

As pues, si la estrategia de Navarro y Nave era construir una cartera con una duracin menor que el HPP y sin necesidad de reajustes mantenerla de forma que poco a poco se inmunizar por s sola haciendo que la duracin se iguale al HPP, en este caso dependiendo del comportamiento de los tipos de inters esta estrategia podra no ser ptima.

3.4 Futuras extensiones

3.4.1 Comportamientos de los tipos de inters

El modelo desarrollado en este trabajo est basado en la hiptesis de un comportamiento de los tipos de inters dado. Particularmente se asume que los tipos de inters se pueden mover en 100 puntos bsicos de su valor esperado (tanto hacia arriba como hacia abajo). De esta forma no

55

se permiten cambios bruscos en los tipos de inters. Es bien sabido que, tericamente, si no se asumen cotas para los cambios de los tipos de inters, la estrategia que maximiza los beneficios es aquella que inmuniza la cartera frente al riesgo de tipo de inters. Es decir, si los cambios de tipos de inters no estn acotados la estrategia ptima es la que iguala el HPP a la duracin. Sin embargo, dado que los cambios extremos en los tipos de inters son tan poco frecuentes, en trminos prcticos otras estrategias pueden dar mejores resultados.

En el ejemplo, hay cuatro estrategias ptimas posibles dependiendo del nivel de costes de transaccin asumidos.

Estrategia 1 (inmunizacin), consiste en un reajuste continuo de la cartera para mantenerla inmune a los cambios adversos en los tipos de inters, haciendo que la duracin sea igual al HPP durante todo el periodo de planificacin. Es la estrategia que menor riesgo de tipo de inters implica pero tambin es la que produce mayores costes de transaccin. La estrategia 4 consiste en invertir toda la riqueza inicial del inversor en el bono que vence al final del HPP. De esta forma, su duracin es menor que el HPP al inicio y por tanto, el inversor tiene que asumir cierto riesgo de tipo de inters; pero a cambio, su estrategia ser la ms barata en trminos de los costes de transaccin. Las estrategias 2 y 3 son posiciones intermedias entre la minimizacin de riesgo de tipo de inters (estrategia 1) y la minimizacin de los costes de transaccin (estrategia 4).

Se puede testar la optimalidad de cada una de estas estrategias mediante tcnicas de simulacin.

Adems, el comportamiento de los tipos de inters asumido en este trabajo es muy bsico y muy poco real como es bien sabido. Una extensin inmediata sera asumir distintos comportamientos del tipo de inters que se sabe que se ajustan mejor a la realidad. Por ejemplo modelos unifactoriales del tipo Vasicek o CIR cuyo modelo dinmico ya ha sido estudiado por Navarro y Nave. O modelos bifactoriales que ajustan todava mejor la realidad. Pero el hecho de que de esta forma (tanto con los modelos unifactoriales como con los bifactoriales) la funcin objetivo no sea lineal hace que el coste computacional crezca mucho.

56

3.4.2 Tamao del problema

El ejemplo utilizado utiliza tan solo 4 activos y pocos periodos de decisin. Sin embargo en la realidad existen muchsimos activos y si adems se plantea un problema en el que se reajuste la cartera en tiempo continuo nos encontramos con un problema que con los algoritmos utilizados hasta el momento sera inviable. Habra que desarrollar algoritmos que hiciesen posible la resolucin de estos problemas.

Por otro lado, cabe plantearse el caso multiperiodo en el que se consideran muchos ms escenarios posibles y por tanto, las dimensiones del problema se multiplican.

57

Bibliografa

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