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TEMA XVI
ESQUEMA GENERAL
Modelos alternativos de análisis
Análisis de la covariancia (ANCOVA)
Análisis de variancia (ANOVA)
Técnicas de análisis
Concepto y formato de los DGNE
DISEÑOS DE GRUPOS NO EQUIVALENTES
Definición
La extensión lógica del diseño de grupo control no equivalente con medidas antes y después es el diseño con múltiples grupos no equivalentes; es decir, un diseño multigrupo formado por un conjunto de grupos intactos procedentes de poblaciones distintas, o no seleccionados al azar.
..//..
Al igual que el diseño de grupo control no equivalente, es importante establecer no sólo la equivalencia inicial de los grupos, mediante la comparación de las puntuaciones medias de la variable antes, sino también considerar de forma especial el proceso de selección.
Aunque los grupos no muestren diferencias significativas en las puntuaciones antes, es posible que una serie de factores actúen, de forma independiente, sobre los datos después y constituyan elementos determinantes en la ulterior interpretación de los resultados. ..//..
Propósito del diseño
Según esta estructura de trabajo, se trata de averiguar si hay efecto de tratamiento. Se pretende estudiar la posible relación causal entre el factor de tratamiento y la variable de resultado. Mediante este formato cuasi-experimental o de grupos de selección, las diferencias previas (de selección) entre los grupos pueden causar cambios en la variable de resultado sin efecto alguno de tratamiento. ..//..
De ahí, lo importante es tener en cuenta las diferencias iniciales de los grupos (diferencias de selección), mediante algún tipo de control estadístico.
Estrategias de análisis
1) ANOVA(x) V.Pre A(H0)
ANOVA(y) V. Dep.
X
2) ANCOVA Y XY
X (V.Bloq.)
3) ANOVA DE BLOQUES
Y (V.Result.)
4) ANOVA(Gan.) Y-X
Técnicas de análisis
Análisis de la variancia con puntuaciones de diferencia o ganancia
Análisis de la variancia con bloques o emparejamiento
Análisis de la covariancia
Análisis simple de la variancia
Técnicas de análisis del diseño de grupos no equivalentes
Ejemplo práctico
Se pretende estudiar la eficacia de tres métodos en la enseñanza de las propiedades de los vectores. Se utilizan los métodos siguientes: A1 (método simplemente verbal), A2 (método de presentación simbólica), y A3 (combinación de ambos métodos). Para probar la eficacia de los tres métodos, el investigador utiliza tres clases o aulas de un centro escolar en el mismo período de tiempo. A tal propósito, el investigador pasa una prueba al iniciar el estudio y otra a finalizarlo. ..//..
A partir de este hipotético ejemplo, se obtiene la correspondiente matriz de datos en la que se incluyen las puntuaciones de ganancia (G), o diferencia entre la puntuación después (D) y la antes (A) de cada sujeto; es decir, las puntuaciones o valores de ganancia.
31 3109674
32343632302829292832
Y
1573
4.9 49 305
8697533404
X
A1
22.5 2255179
4.3 43 283
27.7 2777793
5.3 53 349
10561550
27332933282428262821
Y
7969724441
X
A2
24262428222120251619
6969540202
YX
A3
DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES
Medias:( ):( )2
( ) ( )
Modelo de análisis anova (1)
MODELO ESTRUCTURAL DEL ANOVA: DISEÑO DE GRUPO CONTROL NO EQUIVALENTE
ijjijY
Supuestos del modelo estadístico
εij ~ NID(0,σε²)
Yij = la puntuación postratamiento del i individuo (i = 1 a n) del j grupo de tratamiento (j = 1, 2,...,a) μ = la media total
αj = el efecto del grupo j de tratamiento
εij = el error de medida
Suma de cuadrados. Variable Y
SCtotal(y) = 32² + 34² + ... + 19² - C = 22646 –
21978.133 = 667.867
SCA(y) = 310²/10 + 277²/10 + 225²/10 – C =
22345.4 - 21978.13 = 367.267
SCS/A(y) = 32² + 34² + ... + 19² - (310²/10 +
277²/10 + 225²/10) = 22646 - 22345.4
= 300.6
siendo C = (310 + 277 + 225)²/30 = 21978.133
CUADRO RESUMEN DEL ANOVA. DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES (VARIABLE DESPUÉS, Y)
F0.99(2/27) = 5.49; F0.95(2/27) = 3.35
an-1=9667.87Total
<0.0116.5188.63
11.13(a-1)=2
a(n-1)=27367.27
300.60
Entre Trat (A)
Intra grupos (S/A)
pFCMg.lSCF.V.
Suma de cuadrados. Variable X
SCtotal(x) = 8² + 6² + ... + 2² - C = 937 - 700.83 = 236.17
SCA(x) = 49²/10 + 53²/10 + 43²/10 - C = 705.9 - 700.83 = 5.07
SCS/A(x) = 8² + 6² + ... + 2² - (48²/10 + 53²/10 + 43²/10) = 937 - 705.9 = 231.1
siendo C = (49 + 53 + 43)²/30 = 700.83
CUADRO RESUMEN DEL ANOVA: DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES (VARIABLE ANTES, X)
F0.95(2/27) = 3.35
an-1=29236.17Total
>0.050.292.535
8.559(a-1)=2
a(n-1)=275.07
231.10
Entre Trat (A)
Intra grupos (S/A)
pFCMg.lSCF.V.
Modelo de análisis ancova (2)
ANALISIS DE LA COVARIANCIA
Trat. A3Trat. A1
X Y X Y
TotalesMedias
Grupos de tratamiento
Trat. A2
X Y
MODELO ESTRUCTURAL DEL ANCOVA: DISEÑO DE GRUPO CONTROL NO EQUIVALENTE
ijijjij '..)XX(Y
Supuestos del modelo estadístico
ε’ij ~ NID(0,σε²)
ß = el coeficiente de la regresión lineal
intra-grupo de la variable post (Y) sobre la
_
pre (X), y X.. la media total de la variable
pre-tratamiento.
Cómputo de las SC’s del ANCOVA
Se requiere:
a) Cálculo de los siguientes valores: SCx, SCy y SPxy
b) Ajustar las Sumas de Cuadrados del total y del error de la variable Y (SC...(y))
c) Proceder siguiendo la lógica del ANOVA
Sumas de Cuadrados de X e Y
Las Sumas de cuadrados de las variables X (pre-tratamiento o antes) e Y (pos-tratamiento o dependiente) son las que previamente se han calculado para resolver el análisis mediante la primera estrategia (ANOVA).
Las Sumas de Productos cruzados entre X e Y se presentan en la pantalla siguiente.
Cálculo de las Sumas de Productos (SP).
F.V. SP
Σj(ΣiXij)(ΣiYij)Variable A --------------------- - C xy nError S/A SPtot – SPA
(ΣiXij)(ΣiYij)Grupo (Gj) ΣiXijYij - ------------------ n Total (T) Σ iΣjXijYij - Cxy
(ΣiΣjXij)(ΣiΣjYij)Cxy = ----------------------- an
Σj(ΣiXij)(ΣiYij)
Variable A = ----------------------- – Cxy
n
Se suman los productos cruzados a través de los grupos
Error S/A = SPtot – SPA
La Suma de Productos del error es la Suma de Productos residual del total
Total (T) = ΣiΣjXijYij – Cxy
Donde (ΣiΣjXij)(ΣiΣjYij)
Cxy = ----------------------- an
es el factor de ajuste para la media.
(ΣiXij)(ΣiYij)
Grupo (Gj) = ΣiXijYij – --------------------
n
es el cálculo de la suma de Productos por grupo
31 3109674
32343632302829292832
Y
1573
4.9 49 305
8697533404
X
A1
22.5 2255179
4.3 43 283
27.7 2777793
5.3 53 349
10561550
27332933282428262821
Y
7969724441
X
A2
24262428222120251619
6969540202
YX
A3
DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES
Medias:( ):( )2
( ) ( )
Sumas de productos cruzados
SPtot = (1573 + 1550 + 1056) - Cxy = 4179 - 3924.67 = 254.33
SPA = [(310)(49) + (277)(53) + (225)(43)]/10 - Cxy = 3954.6 – 3924.67 = 29.93
SPS/A = 254.33 - 29.93 = 224.4 (49+53+43)(310+277+225)
Cxy = ------------------------------------ = 3924.67 3x10
Sumas de Productos de los grupos de tratamiento
Grupo A1 = 1573 - (310)(49)/10 = 54
Grupo A2 = 1550 - (277)(53)/10 = 81.9
Grupo A3 = 1056 - (225)(43)/10 = 88.5
SPS/A = 224.4
CÁLCULO DE LAS SUMAS DE CUADRADOS DEL ANCOVA
Sumas de cuadrados del ancova
F.V. SC g.l. F
CMA(aj)
A(aj) SCA(y') = SCtot(y') - SCS/A(y') a-1 --------------- CMS/A(aj)
SPS/A²S/A(aj) SCS/A(y') = SCS/A(y) - ------------ a(n-1)-1 SCS/A(x)
SPtot²Total(aj) SCtot(y') = SCtot(y) - ----------- an - 2 SCtot(x)
Orden de ejecución de los cálculos:
Se procede empezando por el total y termina con el de tratamientos
SPtot²
Total(aj) = SCtot(y') = SCtot(y) – ----------- SCtot(x)
SPS/A²
S/A(aj) = SCS/A(y') = SCS/A(y) – ------------
SCS/A(x)
A(aj) = SCA(y') = SCtot(y') – SCS/A(y')
Cómputo de las sumas de cuadrados
27.31171.8298.393SCSCSC
71.821.231
4.2246.300
SC
SPSCSC
98.39317.236
33.25487.667
SC
SPSCSC
)'Y(A/S)'Y(tot)'Y(A
2
)X(A/S
2A/S
)Y(A/S)'Y(A/S
2
)X(tot
2tot
)Y(tot)'Y(tot
CUADRO RESUMEN DEL ANCOVA DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES
F0.99(2/26) = 5.53; F0.95(2/26) = 3.37
an-2=28393.98Total
<0.0148.94155.63
3.18(a-1)=2
a(n-1)-1=26311.27
82.71
Entre Trat (A)
Intra grupos (S/A)
pFCMg.lSCF.V.
Anova con técnica de bloques (3)
Formación de bloques
La técnica de bloques o emparejamiento se aplica formando bloques o pares de individuos con puntuaciones similares en la variable pre-tratamiento o antes. Así, a partir de la matriz inicial de datos, se forman tres bloques de sujetos de acuerdo a los intervalos de la variable antes o covariable. El primer bloque está formado por los individuos con puntuaciones entre 0 y 3, el segundo bloque por individuos con puntuaciones 4 y 6, y el tercer bloque con individuos con puntuaciones 7 y 9. De esta forma, se obtiene la siguiente matriz de datos del diseño.
31 3109674
32343632302829292832
Y
1573
4.9 49 305
8697533404
X
A1
22.5 2255179
4.3 43 283
27.7 2777793
5.3 53 349
10561550
27332933282428262821
Y
7969724441
X
A2
24262428222120251619
6969540202
YX
A3
DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES
Medias:( ):( )2
( ) ( )
Bloques Tratamientos
A1 A2 A3 bloque I 0-3 28 24 20 B1 29 21 25 28 16 19 Totales 85 45 80 ΣY..1 = 210 _ medias 28.3 22.5 20 ΣY..1 = 70.8 bloque II 4-6 34 29 24 B2 30 28 24 29 26 22 32 28 21 totales 125 111 91 ΣY..2 = 327 _ medias 31.25 27.7 22.75 ΣY..2 = 81.7 bloque III 7-9 32 27 26 B3 36 33 28 32 33 28 totales 100 121 54 ΣY..3 = 275 _ medias 33.3 30.25 27 ΣY..3 = 90.55
ΣY.j. = 310 277 225 ΣY... = 812 _ _ ΣY.j. = 92.85 80.45 69.75 ΣY.jk = 243.05
Cálculo de las sumas de cuadrados
SCtotal = 28² + 29² + ... + 28² – C = 22646 - 21978.13 = 667.87
SCA = 310²/10 + 277²/10 + 225²/10 – C = 22345.4 - 21978.13 = 367.27
SCB = 210²/9 + 327²/12 + 275²/9 – C = 22213.53 - 21978.13 = 235.40
SCAxB = 85²/3 + 125²/4 + 100²/3 + 45²/2 + 111²/4 + 121²/4 + 80²/4 + 91²/4 + 54²/2 – C – SCA – SCB = 22529.17 – 21978.13 - 367.27 – 235.40 = – 51.63
Los Cuadrados medios se obtienen como en el caso proporcional, siendo
(812)2
C = ------------ = 21978.13
30
Método de medias no ponderadas Paso 1. Se calcula SCA, SCB y SCAB a partir de las medias
de las casillas y no a partir de los datos originales. Se toman como valores las correspondientes medias.
SCA = 92.85²/3 + 80.45²/3 + 69.75²/3 – 243.05²/3x3 = 6652.796 – 6563.700 = 89.096
SCB = 70.8²/3 + 81.7²/3 + 90.55²/3 - 243.05²/3x3 = 6628.944 – 6563.700 = 65.244
SCAB = 28.3² + 31.25² + 33.3² + 22.5² + 27.7² + 30.25² + 20² + 22.75² + 27² – 243.05²/3x3 – SCA – SCB = 6721.51 – 6563.700 – 89.096 – 65.244 = 3.47
Paso 2. Cálculo de la SCS/AB
A continuación, se calcula la Suma de cuadrados del error como residual del total:
SCS/AB = SCtotal – SCgrupos
SCS/AB = 28² + 29² + ... + 28² – [85²/3 + 125²/4 + 100²/3 + 45²/2 + 111²/4 + 121²/4 + 80²/4 + 91²/4 + 54²/2] = 22646 – 22529.17 = 116.83siendo los grados de libertad del error:
g.l.S/AB = g.l.total – g.l.celdas = (30 – 1) – (9 – 1) = 21. Así,
CMS/AB = 116.83/21 = 5.563
Paso 3. Cálculo del recíproco de la media armónica de las entradas de las celdas o casillas:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ----- = (----)(ΣjΣk----) = ---(--- + --- + --- + --- + --- ñh ab njk 9 3 4 3 2 4 1 1 1 1 + --- + --- + --- + ---)
4 4 4 2
= (0.111)(2.917) = 0.324
Paso 4. Se estima el error por
1
CMS/AB’ = ------ CMS/AB = (0.324)(5.563) = 1.802
ñh
siendo la Suma de Cuadrados del error ajustado
SCS/AB’ = (0.324)(116.83) = 37.852
Resultado del anova el método de medias no ponderadas.
F.V. SC g.l. CM F p
Tratamientos (A) 89.096 2 44.55 24.75 <0.05
Bloques (B) 65.244 2 32.62 18.13 <0.05
Inter. AxB 3.470 4 0.87 0.48 >0.05
Error ajustado 37.852 21 1.80
F0.95(2/21) = 3.47; F0.95(4/21) = 2.84
Anova con puntuaciones de ganancia (4)
Concepto
En su versión más elemental, el análisis basado en las puntuaciones de diferencia –puntuaciones de ganancia o cambio –, consiste en calcular, de cada sujeto, la diferencia entre su puntuación después y su puntuación antes. De este modo, se tienen las diferencias directas o brutas (que no deben ser confundidas con las puntuaciones de diferencia estandarizadas). ..//..
A continuación, se calculan los valores de estas puntuaciones de los distintos grupos de tratamiento y se aplica, para probar la significación estadística, el correspondiente análisis de la variancia a los datos de diferencia o ganancia.
22.4 2245042
20242324212224222420
Y-X
27332933282428262821
Y
7969724441
X
A2
26.1 2616833
24282725252526252828
Y-X
32343632302829292832
Y
8697533404
X
A1
24262428222120251619
Y
6969540202
X
A3
18.2 1823350
18171819171720231617
Y-X
DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES
Medias:( ):( )2
Cálculo de las Sumas de Cuadrados del anova
SCtotal(d) = 24² + 28² + ... + 17² - C = 15225 - 14829.63 = 395.37
SCA(d) = 261²/10 + 224²/10 + 182²/10 - C = 15142.1 – 14829.63 = 312.47
SCS/A(d) = 24² + 28² + ... + 17² - (261²/10 + 224²/10 + 182²/10) = 15225 - 15142.1 = 82.9
siendo C = (261 + 224 + 182)²/30 = 14829.63
CUADRO RESUMEN DEL AVAR: DISEÑO DE GRUPOS NO EQUIVALENTES (DATOS DE DIFERENCIA)
F0.99(2/27) = 5.49; F0.95(2/27) = 3.35
an-1=29 395.37Total
<0.0150.88156.23
3.07
(a-1)=2
a(n-1)=27
312.47
82.90
Entre Trat (A)
Intra grupos (S/A)
pFCMg.lSCF.V.
Comparación de los valores F
Fe Ft
Anova (y) = 16.5 F0.95(2/27) = 3.35
Ancova = 48.94 F0.95(2/26) = 3.37
Anova (bloq.) = 24.75 F0.95(2/21) = 3.47
Anova (gan.) = 50.88 F0.95(2/27) = 3.35