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Définition #1: Champ vectoriel. Vector field . Champ vectoriel. Équivalent à une fonction vectorielle. Point. Vecteur. Si f est un champ vectoriel « smooth ». f est différentiable un nombre infini de fois. Définition #2: Dérivée de Lie…. …de h par rapport à f (Lie derivative ). - PowerPoint PPT Presentation
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Définition #1: Champ vectoriel
• Vector field.: n nf
Champ vectoriel Équivalent à une fonction vectorielle
( )x f xPoint Vecteur
Si f est un champ vectoriel « smooth »
f est différentiable un nombre infini de fois
Définition #2: Dérivée de Lie…
• …de h par rapport à f (Lie derivative).
: nh
Fonction scalaire
fL h h f Gradient de h
Semblable à la dérivée de h dans la direction de f
: n nf
Champ vectoriel
Produit scalaire
Scalaire
Définition #2: Dérivée de Lie…
• … à répétition.
g f fL L h L h g
Pertinence de la dérivée de Lie par rapport aux systèmes dynamiques
• Soit le système suivant:
• Alors:
– Et ainsi de suite…
( )( )
nx f x xy h x y
2
f
f f f f f
y h x h f L h
y L h x L h f L L h L h
Définition #3: « Lie bracket »…
• …de f et g.: n nf
Champ vectoriel
,f
f g g f f g
ad g
: n ng
Champ vectoriel
Jacobiennes
Définition # 3: « Lie bracket »…
• … à répétition.
0
2
1
,
, ,
,n n
f
f
f
f f
ad g g
ad g f g
ad g f f g
ad g f ad g
Pertinence des « Lie brackets » par rapport aux systèmes dynamiques
• Soit le système suivant:1 2 1 2( ) ( ) ; ,nx f x u g x u x u u
Directions du mouvement instantané
Aussi directions de la vitesse instantanée
Combinaison linéaire de f et g
( ), ( )x span f x g x
La contrôlabilité en question
• Étant donné l’état initial x0 et l’état final désiré xd, tel que:
• Existe-t-il une séquence d’entrées u1 et u2 qui va faire en sorte que l’état du système passe de x0 à xd ?
0 ( ), ( )dx x span f x g x
Oui, mais seulement si [f,g](x0) ≠ 0
Lemme 1
• Considérez la séquence de commande suivante:
• Alors:
1 2
(1,0), 0,(0,1), , 2
( ), ( ) 0( 1,0), 2 ,3(0, 1), 3 , 4
t ht h h
u t u t ht h ht h h
Petit
2 30 0(4 ) , ( ) ( )x h x h f g x h O
Termes d’ordre élevés
Preuve
• Utilisant les séries de Taylor…2 31
0 10 102
2 310 0 0 02
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x h x hx h x h
x h f x h f x f x h
OO
2 312(2 ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )x h x h h g x h h g x h g x h h O
0 0 0 0 0( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( )g x h g x h f x g x h g x f x
0( ( )) ( )g x h g x
Preuve
• Suite …
• Puis:
210 0 0 0 02
2 2 310 0 0 02
(2 ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x h x h f x h f x f x h g x
h g x f x h g x g x h
O
30 0
2 10 0 0 0 0 02
(3 ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x h x h g x h
h g x f x f x g x g x g x
O
Preuve
• Et enfin:
• Donc x(4h) ≠ x0.
2 30 0(4 ) , ( ) ( )x h x h f g x h O
2 30 0 0 0 0(4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x h x h g x f x f x g x h O
Définition #4: Difféomorphisme
• Diffeomorphism: n n
Fonction vectorielle
Région ouverte
Telle que:
est « smooth »
1 existe1 est aussi « smooth »
Lemme 2
• Supposons:– une fonction « smooth »;– non singulière;
• Alors:– Il existe une région Ω (dans laquelle x0 est inclus)
tel que est un difféomorphisme local.
: n n
0( )x
JacobienneA un certain point
: n
Pertinence des difféomorphismes par rapport à la linéarisation entrée-état
• Soit le système suivant:
• … et un difféomorphisme donné:
( ) ( ) nx f x g x u x
1
( )
( )
z x
x z
Transformation
algébrique d’état
Cela mène à…
• … une équation équivalente dans le nouvel espace d’état:
1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ( )) ( ( ))
( ) ( )
z x f x g x u
x f z g z u
f z g z u
Le travail à faire, c’est de trouver un difféomorphisme φ tel que les nouvelles
équations d’état soient sous la forme compagnon d’un système non-linéaire. (NSCF)
Forme compagnon d’un système non linéaire
• Voici ce que l’on désire:
• Pourquoi ???
1 2
2 3
1
( ) ( )n n
n
x xx x
x xx f x b x u
Forme compagnon d’un système non linéaire
• Soit la commande linéarisante suivante:
• Alors:1 1
2 2
1 1
0 1 0 0 00 0 1 0 0
0 0 0 1 00 0 0 0 1
n n
n n
x xx x
vx xx x
1 ( )( )
u v f xb x
Nouvelle commande
Forme compagnon d’un système non linéaire
• C’est la forme compagnon d’un système linéaire.
• Et on aura: ( ) 1( ) ( ) ( )
( )nx f x b x v f x v
b x
n-ième dérivée
Ce système correspond à une chaine de n intégrateurs avec l’entrée v sur le premier et la
sortie x sur le n-ième…
LINÉARISATION ENTRÉE-ÉTATS
Procédure
• Point de départ:– Avoir une fonction non-linéaire:
– Exemple:
( ) ( ) ,nx f x g x u x u
221
sin 0( ) ( )
1a x
x f x g x u ux
Procédure – étape 1
• Construire:
– Exemple:
2 1, , , , nf f fg ad g ad g ad g
2 2
, ,
0 cos 0 0 cos, ,
1 0 1 1 0
fg ad g g f g
a x a
221
sin 01
a xx u
x
Procédure – étape 2
• Vérifier la contrôlabilité et l’involutivité.– Exemple:
– Et, il est maintenu tant que –a cos x2 ≠ 0. Pour assurer l’involutivité, il faut que x2 ne force jamais le cosinus à être à 0.
221
sin 01
a xx u
x
20 cos2
1 0a x
rang n controllable
Procédure – étape 3
• Construire une fonction telle que:
– Exemple:2
21
sin 01
a xx u
x
1
1
1
0, 0,1, , 2
0
i
n
f
f
ad g i n
ad g
11
2
11 2
1
0
cos 0f
gx
ad g a xx
1
Procédure – étape 3
• Essayons: 1 1x
11
2
11 2 2
1
0
cos cos 0f
gx
ad g a x a xx
Procédure – étape 4
• Calculer le diffémorphisme:
– Exemple: 221
sin 01
a xx u
x
11 1 1( ) , , ,
Tnf fz x L L
1 1 1
22 1 1 2 12
1
sin1 0 sinf
z xa x
z L f a x xx
Procédure – étape 5
• Définir la commande u comme étant:
– Exemple:
111
1 nfn
g f
u v LL L
1 1 2
2 21 1 2 1 22
1
1 1 2 2
sin
sin0 cos cos
00 cos cos
1
f
f f f
g f f
L f a x
a xL L L f a x a x x
x
L L L g a x a x
Procédure – étape 5
• Donc:
21
1
21 2
2
21
2
1
1 coscos
cos
fg f
u v LL L
v a x xa x
vxa x
Fin de l’exemple
• Puisque:
• Alors:
1 1
2 2sinz xz a x
1 1 2
22 2 2 2 1cos cos
z x z
z a x x a x x u
21
2cosvu x
a x 2z v
Fin de l’exemple
• Le système équivalent est donc:
• On peut alors concevoir une commande par retour d’état…
1 1
2 2
0 1 00 0 1
z zv
z z
1 1 2 2
1 1 2 2sinv k z k zk x k a x
LINÉARISATION ENTRÉE-SORTIE
Procédure
• Point de départ:– Avoir une fonction non-linéaire:
– Exemple:
( ) ( ) ,( )
nx f x g x u x uy h x y
221
2
sin 0( ) ( )
1( )
a xx f x g x u u
x
y h x x
Procédure – étape 1
• Dériver y jusqu’à faire apparaitre u dans la r-ième dérivé:– Traduction:
– Exemple:
1 ( ) 0rg fL L h x
22 1y x x u
222
1
sin 01
a xx u y x
x
Degré relatif
Degré relatif : r = 1
Procédure – étape 2
• Construire des fonctions telles que:
– Exemple:
( ) 0, 1, ,g kL x k r n
x
22 2 2 1 2 1
2
( )( ) ( ) 0 ( )g
xL x x g x k k x
x
1( ), , ( )r nx x
222
1
sin 01
a xx u y x
x
Procédure – étape 3
• Calculer:
– Exemple:
11, , , , , ,
TT rf f r nz h L h L h
1 2
1 2 1 2 1
z h xk k x
Procédure – étape 4
• Dériver les équations du système:
– Or:
21 2 1
1 2 1 2 2sinz x x u
k x k a x
2 1
1 11
2
x zk
xk
2
1 11
2
1 2 1
1
sin
kz u
kk a z
y z
Bilan
• La forme obtenue ressemble à:1 2
2 3
( , )( , )
r
z zz z
z a z uz
Commande
• Choisir la commande équivalente suivante:
– Exemple:
1 1
( , ), 0r r i
u a z vv k z k z k
2
1 1
2
1
bu v
bv kz
2
1 11 1
2
1 1 2 1
( , )
( , ) sin
ba z
bz b a z
Mais, il faut vérifier la dynamique de η
• Dynamique appelée la dynamique du 0 (zero dynamics).
• Il faut vérifier que est asymptotiquement stable. – Si oui, notre design convient.– Si non, on a un grave problème…
– Exemple:
( , )z
1 2 1sink a z On a justement un problème !!!!