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1
Definizione Limite 1
• Approccio Intuitivo
Lxfxx
)(lim0
• Man mano il valore di x si “avvicina” a x0 il valore di f(x) si “avvicina” a L
5)1(lim 2
2
x
x
x f(x) 5-f(x)
1,968377 4,874509 0,125491
1,990000 4,960100 0,039900
1,996838 4,987361 0,012639
1,999000 4,996001 0,003999
1,999684 4,998735 0,001265
1,999900 4,999600 0,000400
1,999968 4,999874 0,000126
1,999990 4,999960 0,000040
5)1(lim 2
2x
x
•Possiamo precisare meglio:
2
Definizione Limite 2
3
52
3
12)(
xx
xxfy
2)(lim xf
x
2)(lim xf
x
)(lim3
xfx
)(lim3
xfx
3
Definizione Limite 2
1
1)(
2
2
x
xxfy
1)(lim xf
x
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
1
21
2
x
4
Definizione Limite 3
2xy
)(lim xfx
)(lim xfx
•Le altre “combinazioni”:
)(lim xfx
)(lim xfx
•Esempi: 3xy
|)ln(| xy
xx
lnlim0
5
Definizione Limite 4
•Sia e sia (insieme derivato di A) allora vale:
Lxfxx
)(lim0
YXAf : '0 Ax
)(0 LUxIf YX
L x0
Se per ogni intorno UY(L) fissato, esiste un intorno IX(x0) tale che
Definizione Unitaria (Topologica)
L x0 I
II
6
Definizione Limite 5
• In R, nel caso di x0 ed L finiti abbiamo:
0xI X
Diventa un intorno sferico di x0 di raggio δ
0 0 0 0: :I x x x x x x x x
LUYDiventa un intorno sferico di L di raggio ε
: :U L y y L y L y L
• Per cui la definizione diventa (definizione ε-δ di Cauchy - Weierstrass):
Lxfxxx )(:: 0 0
LUxIfxILU 00 : • e quindi:
7
Limiti x0 finito L finito
x0 x0 + δ x0 - δ
L - ε
L
L+ ε
Lxfxx
)(lim0
Lxfxxx )(::0 0 0
LUxIfxILU 00 :
8
Limiti x0=+∞, L finito
H
L - ε
L
L+ ε Lxfx
)(lim
LxfHxxH )(:: 0
LUIfILU HH :
• in questo caso diciamo che y=L è un Asintoto Orizzontale per f(x) a +∞
11
1lim
x
x
x
9
Limiti x0=-∞, L finito
H
L - ε
L
L+ ε
Lxfx
)(lim
LxfHxxH )(:: 0
LUIfILU HH :
• in questo caso diciamo che y=L è un Asintoto Orizzontale per f(x)a -∞
21
12lim
x
x
x
10
Limiti x0 finito, L +∞
K
)(lim0
xfxx
KxfxxxK )(::)0( 0 0
KK UxIfxIU 00 :
• in questo caso diciamo che x=x0 è un Asintoto Verticale per f(x)
x0 x0 + δ x0 - δ
2
1 1
12lim
x
x
x
11
Limiti x0 finito, L -∞
K
)(lim0
xfxx
KxfxxxK )(::)0( 0
KK UxUfxUU 00 :
• in questo caso diciamo che x=x0 è un
• Asintoto Verticale per f(x)
x0 x0 + δ x0 - δ
2
1 1
1lim
x
x
x
12
Limiti x0 +∞, L +∞
K
)(lim xfx
KxfHxxHK )(::0 0
KHHK UIfIU :
x
xelim
H
13
Limiti x0 -∞, L +∞
K
)(lim xfx
KxfHxxHK )(:: 0
KHHK UIfIU :
3lim xx
H
14
Limiti x0 -∞, L -∞
K
)(lim xfx
KxfHxxHK )(::
KHHK UIfIU :
3lim xx
H
15
Limiti x0 +∞, L -∞
K
)(lim xfx
KxfHxxHK )(::0
KHHK UIfIU :
x
x2
1loglim
H
16
Limite destro e sinistro
Lxfxx
)(lim0
Limite destro
Limite Sinistro
Lxfxx
)(lim0
Va scelto un intorno destro di x0
Lxfxxxx )(::0 0 00
1
1lim
1 xx
1
1lim
1 xx
Va scelto un intorno sinistro di x0
)(lim0
xfxx
KxfxxxxK )(::0 0 00
)(lim0
xfxx
KxfxxxxK )(::0 0 00
Lxfxxxx )(::0 0 00
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Limite per eccesso e per difetto
Lxfxx
)(lim0
Limite per eccesso
Limite per difetto
Va scelto un intorno destro di L
LxfLxxx )(::0 0 0
0)1(lim 2
1x
x
0lim
0x
x
Lxf
xx)(lim
0
Va scelto un intorno sinistro di L
LxfLxxx )(::0 0 0
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Limiti di Successioni
Def. Una successione è una funzione da NR
RNf :nanfn :)(associa ad
È possibile avere i limiti anche per le successioni, l’unico punto di accumulazione di N è
+∞, per cui il limite si può fare solo quando n tende a +∞
Si hanno allora 3 possibili risultati:
(finito) lim Lann
La successione è detta
CONVERGENTE
Es.
n
nan
12
nan
11
lim
nn
aLa successione è detta
DIVERGENTE
esiste lim nonann
La successione è detta
IRREGOLARE
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Limiti di Successioni Convergenti
(finito) lim Lann
Definizione:
)())(( che tale)(),( LUIfILU KK
LaKnK n ha si che tale,0
Es. 01
lim nn
01
n
1
1 n
n
Basta scegliere come K il più piccolo intero maggiore di 1/ε
Es. 01
lim nn
en
n
n
11lim
20
Limiti di Successioni Divergenti
nn
alim
Definizione:
che tale)( )],( [ )( HKK IUoU
] [o ha si che tale, KaKaHnHK nn
Es.
nn
1lnlim
K
K
eeK
n
1n
n
1
1ln
Basta scegliere come H il più piccolo intero maggiore di 1/(exp(K))
Es.
3lim nn
nn
1lnlim
)]( [ )())(( KKH UoUIf
21
Successioni Irregolari
Es.
n
na )1( )sin( nan
22
Esistenza ed Unicità del Limite 1
Non sempre il limite di una funzione esiste: esistenonxx
)sin(lim
esistenonxxx
)sin(lim
esistenonxx
1
sinlim0
23
Esistenza ed Unicità del Limite 2
Non sempre il limite di una funzione esiste:
esistenonxx
1
lim0
xx
1lim
0Però:
xx
1lim
0
N.B. : non è necessario che la funzione sia definita nel punto a cui tende la x. L’unica richiesta è che questo valore sia un punto di accumulazione del campo di esistenza della funzione.
1)sin(
lim0
x
x
x
0)sin(
lim x
x
x
24
Esistenza ed Unicità del Limite 2b/3
x
xxf
)sin()(
25
Esistenza ed Unicità del Limite 3/3
Affinchè il limite di una funzione esista deve essere che il limite destro e sinistro esistano e che debbano essere uguali:
Lxf
Lxf
Lxf
xx
xx
xx )(lim
)(lim
)(lim
0
0
0
Se una funzione è pari ed x0=0 basta dimostrare l’esistenza del limite destro affinché esista il limite.
LxfLxfxx
)(lim)(lim00
:allora pari é f(x) se
)(lim)(lim:00
yfxfparifyx
xycon
)(lim0
yfy
26
Teoremi sui Limiti 1
Teorema di unicità.
Se una funzione ammette limite per x tendente a x0, allora questo limite è unico
Teorema della permanenza del segno.
Se una funzione f ammette limite L per x tendente a x0 , con L positivo (negativo), allora esiste un intorno di x0 in cui f(x) è positiva (negativa).
Teorema (di esistenza per funzioni Monotone) [no DIM].
Se una funzione è monotona crescente in un intorno destro U+ (x0 ) del punto x0, allora esiste il suo limite per xx0
+ e vale:
)()(lim)( 0
0
xfInfxfxUxxx
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Dimostrazione Teorema “Unicità”
Teorema di unicità.
Se una funzione ammette limite per x tendente a x0, allora questo limite è unico
Dim. Per assurdo ammettiamo l’esistenza di due limiti distinti
122121 ,con )(lim)(lim00
LLLLLxfLxfxxxx
Per la definizione di limite abbiamo:
1101 )(:: 0 )1( Lxfxxx
2202 )(:: 0 )2( LxfxxxSia:
),min( 21
Allora la (1) e la (2) valgono contemporaneamente per ogni x: |x-x0|<δ. Ne segue che per tali x:
21 )( LxfL
Ma da ciò segue che:
2
21 LL
La qual cosa nega l’arbitrarietà di ε.
c.v.d.
11 )( LxfL
22 )( LxfL
21 LL
28
Dimostrazione Teorema
“Permanenza del segno”
Dim. Sia :
c.v.d.
0)(lim0
Lxfxx
LxfLxUxxU )()(:)( 0 00
Scegliamo ε, data l’arbitrarietà,in modo tale che L- ε>0.
Ne segue che la f(x)>0.
Teorema della permanenza del segno.
Se una funzione f ammette limite L per x tendente a x0 , con L positivo (negativo), allora esiste un intorno di x0 in cui f(x) è positiva (negativa).
Dimostrazione analoga vale nel caso di L negativo.
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Teoremi sui Limiti 2
Lxhxgxxxx
)(lim)(lim00
Teorema (del confronto).
Siano f,g,h tre funzioni con x0 punto di accumulazione dei loro tre insiemi di definizione. Se:
1) Se esiste un intorno U(x0) tale che: g(x)≤f(x)≤h(x)
Lxfxx
)(lim0
Allora
2) Se
30
Dimostrazione Teorema
“del confronto”
Lxhxgxxxx
)(lim)(lim00
Teorema (del confronto).
Siano f,g,h tre funzioni con x0 punto di accumulazione dei loro tre insiemi di definizione. Se:
1) Esiste un intorno U(x0) tale che: g(x)≤f(x)≤h(x)
Lxfxx
)(lim0
Allora
2) Se
Dim.
Lxgxx
)(lim0
c.v.d.
Se LxgLxUxxU )()(:)( 0 )1( 0101
Lxhxx
)(lim0
Se LxhLxUxxU )()(:)( 0 )2( 0202
Allora: 21 UUUx LxhxfxgL )()()(
In particolare LxfL )(Il che dimostra la tesi
31
Teoremi sui Limiti 3
Applicazioni: 01
sin lim0
x
xx
1,1)sin( x )0(per 1
sin
Uxx
xxx
Poiché la funzione xsin(1/x) è pari basta dimostrare il limite destro
Poiché :
0- lim lim00
xxxx
01
sin lim0
xx
x
kxhxgxxxx
)(lim)(lim00
Teorema (del confronto).
Siano f,g,h tre funzioni con x0 punto di accumulazione dei loro tre insiemi di definizione. Se:
1) Esiste un intorno U(x0) tale che: g(x)≤f(x)≤h(x)
kxfxx
)(lim0
Allora
2) Se
32
Teorema del confronto
xxxf
1sin)(
33
Limite Notevole sin(x)/x
Applicazioni: 1)sin(
lim0
x
x
x
O
A
B
C D
x
)tan(
)sin(
xBD
xDA
xAC
Poiché la funzione sin(x)/x è pari basta dimostrare il limite destro
)0(per )tan()sin( Uxxxx
Dividendo per sin(x):
)0(per )cos(
1
)sin(1 Ux
xx
x
)0(per 1)sin(
)cos( Uxx
xx
Poiché :
11 lim0
x
1x
sin(x) lim
0
x
Limite Notevole
1)cos( lim0
xx
