C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Serie II b, p, 411-418, 1997Mecanique des soJides et des structures/Mechanics of solids and structures

Deformation des coques elastiquesLudovic PAUCHARD, Yves POMEAU et Sergio RICA

Laboratoire de Physique Statistique de I'Ecole Normale Superieure associe au CNRS, 24, rue Lhomond,75231 Paris cedex 05, France.

Resume. Nous etudions Ie contact d'une coque elastique avec un plan rigide. L'experiencemontre une transition du premier ordre entre deux configurations differentes : lapremiere est caracterisee par un contact total entre coque et plan; dans la seconde lacoque se renverse en creant un creux. Nous discutons les energies de chaque configu­ration pour expliquer la transition observee,

Deformation of elastic shells

Abstract. We discuss the contact of a thin elastic shell with a rigid plane. Experiments show afirst order/discontinuous transition between two different configurations: the first ischaracterized by a flat contact between the shell and the rigid plane; in the second onethe shell inverses itself and makes contact with the plane along a circular ridge only.We discuss the energies of both configurations in order to explain the observedtransition.

Dans la section 15 de la theorie de l'elasticite de L. D. Landau et E. M. Lifshitz (Landau, 1967), ontrouve la solution du probleme de deformation d'une coque spherique soumise aune force ponctuellenormale a la surface. Dans Ie cas ou les forces ont une faible intensite, la deformation E qui estlocalisee au voisinage du point d'appui augmente lineairernent avec la force. Si la force appliqueeest plus importante, des plis circulaires, centres sur Ie point d'application de la force, apparaissent.Pour cette derniere situation, les lois d'echelle pour la deformation de la coque, se deduisent deconsiderations d'ordre de grandeur des differents termes des equations de l'elasticite appliquees anotre probleme, On montre ainsi que la force appliquee est proportionelle a la racine carree de ladeformation E, resultat dO aA. V. Pogorelov (1988). Plus precisement, si Fest la force appliquee,alors:

Note presentee par Yves POMEAU.

F

F

Eh2

TE pour E < h

Ehs12~Ell2 pour E > h

(1)

(2)

1251-8069/97/03240411 ~ Acadernie des Sciences/Elsevier, Paris 411

L. Pauchard, Y. Pomeau et S. Rica

ou E est Ie module d'Young, R Ie rayon de la coque consideree cornmespherique au repos, et h sonepaisseur,

Le passage d'un comportement a l'autre, pour E =: h, est tout a fait continu, comme Ie mettent enevidence les experiences de Pogorelov. Celui-ci utilise des demi-coques spheriques en cuivre,materiau tres elastique, de rayon R =150mm et d'epaisseur variant de 0,03 a 0,1 rnm. La variationde hlR entre 1/5000 et III 500 permet d'appliquer des deformations beaucoup plus grandes queI'epaisseur h, condition necessaire ala validite de la formule (2), tout en restant dans les limites del'elasticite hookeenne, c'est-a-dire avec de faibles gradients du deplacement. L'experience consistea exercer une force sur Ie pole de la coque a I'aide d'une pointe de courbure tres superieurea celIede la coque. L' accord entre theorie et experience est bon.

A l'aide d'une experience tres simple, nous considerons ici la situation suivante, opposee a celIe dePogorelov : la courbure de la pointe de contact est cette fois tres petitedevant celIe de la coque. Celaest plutot l'analogue du contact de Hertz pour des coques. Nous avons utilisee deux types de balle sedistinguant par Ie materiau et Ie rapport hlR. Ces balles sont les suivantes (les modules de Youngmesures par la flexion a trois points) :

- une balle de tennis, caracterisee par E =: 107 N/m 2, R =35 rnm et h = 3,7 rnm, conduisant

a hlR =: 1110.

- une balle de ping-pong: E =: 108 N/m 2, R =18,9rnm, h =0,4 rnm et hlR =: 1/50.

La procedure experimentale consiste a insererune demi-coque spherique entre deux plaques rigidestransparentes (ce qui rend possible l'observation de la coque deformee). Nous controlons Ie deplace­ment de la plaque superieure tout en mesurant la force appliquee a l'aide d'un dynamometre', (fig. 1).Lors d'une compression de la demi-coque, I'air peut s'echapper Iibrement, afin de s'affranchird'unepression qui modifierait les valeurs des forces mesurees.

Fig. I. - Montage experimental. Le dynarnometre est represents par un ressort, Le perimetre de la derni-sphere est fixe,pour eliminer d'eventuelles deformations non axisymetriques.

Fig. J. - Experimental setup. The dynamometer is shown as a spring. The boundary of the half-sphere is fixed to theupper surface. to eliminate possible non axisymmetric deformations.

' Pour avoir Ie deplacernent effectif i1 est necessaire de corriger la raideur finie du dynamornetre, qui est d'environ 30 kg pourImm.

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Deformation des coques elastiques

L'experience met en evidence deux phases distinctes, au fur et a mesure que la deformationaugmente (fig. 2) :

D

Fig. 2. - Deux configurations correspondant au contact des coques ; I'aplatissernent d'une partie de la eoque (11 gauche)et Ie renversement de la courbure (11 droite) donnent lieu 11 un pli cireulaire et 11 un creux.

Fig. 2. - 7Wo configurations corresponding to the contact of shells; the fiattening of part of the shell (left)and the inversion of the curvature (right) leading to a circular fold and to a trough.

- pour les faibles deformations, une partie de la coque est en contact avec la plaque rigide(schema I, fig. 2) ;

- pour les deformations plus importantes, la partie aplatie se renverse comme Ie montre IeschemaII de lafigure 2. Ce renversement de courbure s'accompagne de la formation d'un pli circulaireou pratiquement toute l'energie elastique est concentree.

Dans la suite, nous appellerons configurations (I) et (II) les deformations respectivement plate etcreuse. La figure 3 montre Ie changement quantitatif de la valeur de la force en fonction de ladeformation. La transition a lieu pour une deformation de I'ordre de 2 h, pour les deux types de balle

100 y-908070 -t-

-tt-

60 -+

~"- 50 +~

1.2

~ 40 +

30+

...20

0.91 2 3 4 5 6 £Ih

Fig. 3. - Foree mesuree 11 I'a ide d'un dynamometre (en N) en fonction de la deformation normalisce 11 l'epaisseur( Elh). On note une transition brusque pour Elh - 2.

Fig. 3. - The force measured by a dynamometer (in N) as a function of the normalized deformation (E1h).Note the sharp transition at E1h - 2.

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L. Pauchard, Y, Pomeau et S, Rica

etudies, Une interpolation donne (pour les balles de tennis) F"'E 1.2, pour E < 2 h et F"'E°.sS pourE > 2 h ; ce qui met en evidence deux comportements differents. Comme ces deux configurations

possedent des lois de forces differentes, leurs energies de deformation (fF dE) soot aussi diffe­

rentes. L'egalisation de ces energies, pour une deformation donnees, implique une transitiondiscontinue, ce que nous observons dans nos experiences.

Lorsqu'on realise un cycle d'application de la force, on observe une boucle d'hysteresis dans lareponse force-deplacement (fig. 4), mais avec une grande dissipation pendant la phase de retour en (II).Cette energie dissipee s'evalue comme l'aire entre les courbes d'aller et retour. Les arguments quisuivent tentent d'expliquer I'origine de cette dissipation.

35 50 ...40 ..'

30 .' .0.' .)0 ...... .

20 .. ..'25 10 ............

..., .:.. 0

~20

o 0 6.

150

A M ~ 0R ~ 6.

10 A + 6.R A ! il ! A 6. 6. 6. 6.

5 R • '"R ..

'"2 3 4 5 £Ih

Fig. 4. - Force adimensionnee F/Eh2 x R1h en fonction de la deformation (Elh). Pour les balles de tennis :un cycle grand (aller : 0; retour : .6.) et un court (a1ler : x ; retour : +). Dans l'encadre pour celles de ping-pong

(aller : . ; retour: 0) on note une transition brusque pour Elh - 2.

Fig. 4. - Dimensionless force FlEh2 x RIb as a function of the deformation (EIh). For the tennis balls : a long loop(forward: 0; backward: .6.) and a short one (forward: x ; backward : +). The inset show ping-pong ones

(forward: .; backward: 0) one notes the sharp transition for EIh - 2.

Si E < 2 h l'aire representant I'energie dissipee est tres petite en comparaison de celle de laboucle de la figure 4. On note que cette dissipation est bien plus importante lorsque l'on est enpresence de la phase creuse (II). Vne difference entre les phases (I) et (II) est l'existence d'un pli dans(II). 11 pourrait done y avoir une dissipation due aux fortes contraintes dans Ie solide. Cependant, uneexperience de type Pogorelov montre que le solide reste largement elastique dans les conditions au l' onobservait hysteresis: en realisant un cycle sur une coque soumise aune force ponctuelle, ou des plis seforment, l'aire mesurant la dissipation est negligeable.

En conclusion, l'energie dissipee est sans doute due a la friction avec le plateau: dans la configu­ration (I), la surface de contact s' agrandit sans glisser sur Ie support plan, alors que dans la phase creuse(II), un deplacement de la couronne de contact cree une friction solide avec Ie plateau. Lorsqu'il existe

2ee que nous pouvons retenir comme critere de transition, en fait la transition s'elTectue plutllt pour I'egalite des forces, mais dupoint de vue des ordres de grandeur I'egalite de forces ou des energies restent les memes, voir plus loin.

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Deformation des coques elastiques

une compression de la coque e la couronne se deplace de VRE (voir plus loin) au fur et amesurequ' on augmente e. En general, les lois des frictions entre corps ne dependent pas de la valeur de lasurface de contact, mais de la force normale relative, le coefficient de proportionalite est plus petitque l'unite, et on observe qu'il diminue avec la presence d'un lubrifiant. En consequence, l'energiedissipee est de la forme suivante (on utilise FIl '" e l

/2 ; figure 3) :

l'aire de hysteresis croit lineairement avec Ie deplacement relatif.Pour estimer les energies elastiques des configurations (I) et (II), on imagine deux deformations

ideales comrne celles representees sur la figure Si. Dans la configuration (I), Ie contact entre la coquespherique et le plan 3, symbolise par la droite AB, est decrit par la droite PQ. D'autre part, la fractionde coque inversee par symetrie par rapport au segment PQ, caracterise la configuration (II).L'energie elastique de la configuration (I) possede deux contributions. La premiere est due a lacompression de la calotte spherique (en gris) limitee aux droites PA", B"Q et PQ par Ie plan de traceAB ; cette energie est due en fait a un changement de longueur dans la coque. La secondecontribution a I'energie de la configuration (I) est plus subtile: elle est la consequence du pli(circulaire) qui se forme al'intersection des tangentes A'P et PQ. En ce qui conceme l'energie de laconfiguration (II), il n'existe qu'une contribution liee au pli forme par l'intersection des droitesA'P et la tangente par reflection a la coque inversee (ne pas confondre avec PO !). II faut ajouterqu'une partie de l'energie de flexion intervient dans Ie changement de courbure concave-convexe etvice-versa,

B'A'

A -,~--+'-""*--B

i)

Fig. 5. - i) Configuration idcale. Les droites A:4 '" et Bn'" sont tangentes au cercle,et les angles OPA' et OQB' sont droits. La distance PQ est v'2RE au premier ordre en e,

(Les rayons OP et OQ ne sont pas tangents au cercle inverse). ii) Asymptotes limitant un pli caracterise par son rayonde courbure minimal R1 ; a est l'angle entre les deux asymptotes. La largeur 15 delimite l'enveloppe courbee

correspondant au plio

Fig. 5. - i) Idealized configuration. The straight lines A:4" and Bn'" are tangent to the circle. and om' and OQB' areright angles. The distance PQ is V2 R£ at first order in e, (The radii OP and OQ are not tangents to the inverted

circle). ii) Asymptotes limiting a fold characterized by its minimal radius R1 .. a is the angle between the asymptotesand b the distance separating the extremity of the fold and the asymptotes intersection. The width delimits the curvature

corresponding to the fold.

3Pour l'equilibre, nous negligeons la reaction de friction, discutee plus haut, sur la coque.

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Notant 2 Y l'angle POQ (jig. 5i), la difference de longueur entre la partie eirculaire, limitee auxpoints P et Q, et la droite PQ est u =2 R( Y - sin y) ,.. Rr 13. Tenant compte de la relation

2 R sin y =";2 Re qui conduit a y'" sin y =..;el2 R, it vient u « ~ ( el2 R )312. Cela est realisepour PQ de l'ordre de v2 Re, ce qui correspond au cas traite, L'energie s'ecrit alors

U,.. EfdV( utY2 Re )2. L'element de volume intervenant dans cette integrale est Ie produit de

l'epaisseur par la surface soumise a la deformation nRe. Une premiere contribution a l'energiecaracterisant la configuration (I) est:

U", Ehu 2 '" Eh e3R

La contribution al'energie apporteepar les plis se calculecomme suit. L'energie depend uniquementde l'angle a entre les asymptotes limitant le pli (jig. 5ii). Dans la configuration (I), cet anglecorrespond a B'QB, represente sur la figure 5;. et it est egal a la moitie de l'anglePOQ =y'" vel2 R. Dans la configuration (II), l'angle a correspond cette fois a y (les deuxdemi-cercles etant symetriques).

Calculons l'energie du pli represente sur la figure 5ii. On utilise pour cela la theorie des plaquesminces. Cette theorie, (Foppl, 1907) donne les equations d'equilibre d'une plaque plane mince. Nouspouvonsconsiderer ainsi que ces equationsdonnent des ordres de grandeurcorrects en ce qui concemeles energies des deformations tant que leur courbure gaussienne est bien superieure ala courbure de lacoque al' equilibre, ce qui est Ie cas ici.

II est possible d' exprimer (Ben Amar, 1997) les equationsdes plaques minces comme les conditionsd'Euler-Lagrange rendant stationnaire (ds est l'element d'aire de la plaque) l'expression :

(3)

par rapport au changement de forme qui affecte a priori H et K. lei II = lIRI + lIR2 est la courburemoyenne et K= (lIR. R2 ) la courbure gaussienne (R I et R2 rayons de courbure prineipauxmaximal et minimal).

Dans la limite d'une plaque d'epaisseur nulle (h =0), Ie pli se raccorde en deux parties continues(mais non differentiables), formant un angle a. Lorsque h est fini, la structure d'equilibre engendreune enveloppe courbee (K ¢ 0) dans une region de largeur d, qui correspond a la largeur du pli(jig. 5ii). Soit RI Ie rayon de courbure minimal du pli et b la distance qui separe l'extremite du plia l'intersection des asymptotes. Lorsque h ~ 0 aR constant, alors d, b et R) ~ O.

La geometric montre que:

R I '" bltan2( al2 ) et d '" bltan( aI2 )

d'ou

R. '" d/tan( aI2 )

Le rayon de courbure maximal, R2, est de l'ordre du rayon de la sphere, R. Cela est deduit de laremarque suivante: lorsque h est nul, la courbure lIR2 vaut lIR dans la region spherique nondeformee et -lIR dans la coque inversee. Lorsque l'epaisseur h est faible, lIR2 est une fonction qui

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Deformation des coques elastiques

varie contimlment de -lIR a+lIR dans la region de largeur J. Puisque l'energie (3) ne prend encompte que les carres des courbures, on peut remplacer lIR~ par sa valeur moyenne d'ordre degrandeur 1/R2

•

L'energie du pli a deux contributions: I'une due ala courbure gaussienne K = lIRR) et I'autre duea la courbure moyenne H 0= lIRI' L'aire du pli est J 2 1C Y2 Re. Ainsi, en remplacant A-) parl'echelle de variation des deformations J2

, il vient :

La minimisation de l' energie V par rapport aJ donne:

ce qui entraine R1 0= VhRltan( a/2).L'energie vaut alors :

Pour les valeurs de l'angle a correspondant aux configurations (I) et (II), nous pouvons etablirl'expression finale des energies des plis. Dans la configuration (I), a '" VEiR, et dans la configu­ration (II), a vaut Ie double. n reste acomparer la courbure gaussienne, lIRR) acelle de la spherenon deformee 1/R2

• Alors, si e > h, R1 < R car R1 =R YFJE.Finalement, les energies totales de chaque configuration sont :

(4)

(5)

Si 0 < e < h( 3 Co 14 C1 )213, V/ < VI/, ce qui signifie que pour les faibles compressions, laconfiguration la plus favorable est (I). Si e > h( 3 Co 14 C) )213, V/ > VI/ alors Ie changement decourbure est energetiquement plus favorable.

Les forces correspondant achaque configuration sont :

3 Co Eh 512F ---__ e l121/- 2 R

(6)

(7)

Ces forces se croisent pour une deformation e =h( 3 Co 18 Ct )213 plus petite que h( 3 Co 14 C) )213,mais du meme ordre de grandeur.

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La loi de force FII est bien verifiee dans les experiences comme Ie montre la figure 3. L'accordentre la theorie et l'experience pour la valeur de F1 est toujours possible. En guise d'exemple, laformule (6) peut, pour Co et C1 du meme ordre, bien se relier avec une loi en puissance EV

, avecv "" 1,2.

Finissons cette Note en considerant Ie contact dynamique (soit Ie rebond) inspire du travail deH. Hertz. Cette situation apparait lorsque on lance, par exemple, une balle de ping-pong avec unevitesse v sur un plan rigide. L'energie totale initiale 1/2 m'? realise une compression pendant untemps r jusqu'a une deformation maximale (quand l'energie cinetique initiale se transforme enenergie potentielle UII de (5), car on suppose Emax > 2 h. II decoule de ces considerations (c etantde l'ordre des vitesses des ondes elastiques dans Ie materiau : CZ "" Elp, P densite massique) :

E _(~)413 R2

max c h

et Ie temps de contact

r_(~)1I3B.B.c he

Les formules pour les forces decrites sont valables si Emax > 2 h, i.e., si vic> (h/R )312. Pour lesballes de ping-pong cela donne vIc> 1/325, OU v > I mls I (c "" 320 mls 1

). Dans cette situationIe temps de contact resultant est suffisarnment long devant Ie temps Ric mis par une onde elastiqueaparcourir la sphere, car r > VRiii RIc. Cette inegalite est necessaire pour utiliser l'approximationstatique de la force de reaction, comme dans le cas du contact de Hertz. Pour des vitesses pluspetites, la loi de force change, ainsi que la valeur de Emax : Ie temps de contact diverge alors lorsquev tend vers zero.

Remerciements. Nous remercions l'aide et les conseils judicieux de M. Adda-Bedia, B. Audoly, G. Bacri,L. Brouard, J. Kerboriou, J. Meunier, et 1. C. Sutra-Fourcade.

Note remise Ie 5 fevrier 1997, acceptee le to fevrier 1997.

References bibliographiques

Ben Amar M., Pomeau Y., 1997. Proc. Roy. Soc. Lond., A 453, 1.Fdppl A., 1907. Vorlesungen uber technische Mechanik; Bd. 5, Leipzig, p. 132.Landau L. D. et Lifshitz E. M., 1967. Theorie de l'elasticite. Editions Mir, Moscou, p. 83-88.Pogorelov A. V., 1988. Bendings of Surfaces and Stability of Shells. Am. Math. Soc.

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