DEKOMPOZICIJA I REKONSTRUKCIJA …Dekompozicija je bazirana na kombinaciji distribucija iz Cohen-ove klase i koncepta sopstvenih, odnosno singularnih vektora. Ukoliko je u signalu

UNIVERZITET CRNE GORE

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET

Anđela Draganić

DEKOMPOZICIJA I REKONSTRUKCIJA

MULTIKOMPONENTNIH SIGNALA

KORIŠĆENJEM VREMENSKO-FREKVENCIJSKE

ANALIZE I COMPRESSIVE SENSING-A

- Magistarska teza -

Podgorica, 2013

PODACI I INFORMACIJE O MAGISTRANTU Ime i prezime: Andjela Draganić Datum i mjesto rođenja: 10.08.1988. godine, Nikšić, Crna Gora Naziv završenog osnovnog studijskog programa i godina diplomiranja: Elektrotehnički fakultet, odsjek za Elektroniku, telekomunikacije i računare, 2011. INFORMACIJE O MAGISTARSKOM RADU Naziv postdiplomskog studija: Studijski program Računari Naslov rada: Dekompozicija i rekonstrukcija multikomponentnih signala korišćenjem vremensko-frekvencijske analize i Compressive Sensing-a Fakultet na kojem je rad odbranjen: Elektrotehnički fakultet, Podgorica UDK, OCJENA I ODBRANA MAGISTARSKOG RADA Datum prijave magistarskog rada: 08.02.2013. Datum sjednice Vijeća Univerzitetske jedinice na kojoj je prihvaćena tema: 15.03.2013. Komisija za ocjenu teme i podobnosti magistranta:

Prof. dr Srdjan Stanković Doc. dr Irena Orović Doc. dr Nikola Žarić

Mentor: Prof. dr Srdjan Stanković Komisija za ocjenu magistarskog rada:

Prof. dr Srdjan Stanković Prof. dr Miloš Daković Doc. dr Irena Orović

Komisija za odbranu magistarskog rada: Prof. dr Srdjan Stanković Prof. dr Miloš Daković Doc. dr Irena Orović

Datum odbrane: 15.07.2013. Datum promocije:____________________

ZAHVALNICA

Ova magistarska teza je rađena u Laboratoriji za multimedije, Elektrotehničkog

fakulteta u Podgorici. Ovom prilikom se zahvaljujem svima koji su na bilo koji način

doprinijeli ovom radu. Posebnu zahvalnost dugujem:

Mentoru, Prof. dr Srdjanu Stankoviću, na pruženoj šansi za rad u Laboratoriji za

multimedije, na strpljenju i nesebičnoj pomoći tokom izrade magistarske teze.

Ukazanim povjerenjem tokom proteklog perioda rada i stručnoj pomoći koju mi je

kontinuirano pružao, podstakao je publikovanje nekoliko naučnih radova na kojima je

teza zasnovana i ohrabrio je nastavak mojih studija. Zahvaljujem se na korisnim

sugestijama koje su omogućile prevazilaženje brojnih problema sa kojima sam se

sretala tokom rada na tezi.

Doc. dr Ireni Orović, na vremenu koje je posvetila čitanju teze i komentarima

doprinijela značajnom poboljšanju iste. Mnogobrojnim diskusijama pomogla je

prilikom pisanja naučnih radova. Zahvaljujem se na podsticajnom djelovanju tokom

cijelog perioda izrade magistarske teze.

Zahvalnost dugujem i Doc. dr Nikoli Žariću kao i PhD studentima Milošu Brajoviću i

Branki Jokanović na korisnim savjetima tokom rada na tezi.

Andjela Draganić Podgorica, Jun 2013.

ACKNOWLEDGEMENT

I wrote this thesis while working in the Laboratory for multimedia at Faculty of

Electrical Engineering in Podgorica. I owe a debt of gratitude to everyone who

contributed in any way to the creation of this thesis. My heartfelt appreciation goes to:

My supervisor, Prof. Dr Srdjan Stankovic, for giving me the opportunity to work in

the Laboratory for multimedia and for his generous help and patience while I was

working on this thesis. With given trust and professional help during my work he

encouraged publication of several research papers on which this thesis is based upon

and, as well, encouraged me to pursue to the next level of studies. I deeply appreciate

all suggestions that were very useful and allowed me to overcome obstacles that I

have encountered during my work on the thesis.

Prof. Dr Irena Orovic, for the time that she devoted to read this thesis and for

contributing to its improvement with her comments. In numerous discussions she also

helped during the writing of research papers. I am very grateful to Prof. Orovic for

encouragement that influenced me during the whole period of my work on the thesis.

I am very thankful to the Prof. Dr Nikola Zaric and PhD candidates: Milos Brajovic

and Branka Jokanovic for useful advices during my work on the thesis.

Andjela Draganić Podgorica, June 2013.

REZIME

Većina signala koji se javljaju u realnim aplikacijama ima promjenljiv

frekvencijski sadržaj. Analiza signala čiji je spektar vremenski promjenljiv bazirana je

na vremensko-frekvencijskom predstavljanju signala. Ne postoji jedinstvena

vremensko-frekvencijska distribucija koja bi dala zadovoljavajuće rezultate pri analizi

različitih tipova signala. Stoga, u zavisnosti od vrste signala i aplikacije kojoj je signal

namijenjen, različite vremensko-frekvencijske distribucije su u upotrebi.

Prvo poglavlje rada sadrži kratak opis vrsta signala, kao i Fourier-ovu

transformaciju, kao uobičajeno sredstvo za predstavu signala u frekvencijskom

domenu. Posebna pažnja u okviru prvog poglavlja je posvećena FHSS i IEEE 802.11b

signalima, koji se javljaju u bežičnim komunikacijama. Drugo poglavlje sadrži opis

najčešće korišćenih vremensko-frekvencijskih distribucija, kao i distribucija koje se

često koriste u obradi multikomponentnih signala. Nerijetko se pri analizi

multikomponentih signala, u vremensko-frekvencijskoj reprezentaciji javljaju kros-

članovi. Postoji veliki broj vremensko-frekvencijskih distribucija, namijenjenih

redukciji (tj. eliminaciji) kros-članova. Čitava klasa distribucija – Cohen-ova klasa, je

namijenjena prevazilaženju ovog problema. Distribucije iz Cohen-ove klase su

zasnovane na funkciji jezgra, čijim je podešavanjem moguće kontrolisati uticaj kros-

članova, a takođe uticati na rezoluciju signala u vremensko-frekvencijskoj ravni. U

radu je analiziran uticaj različitih jezgara na redukciju kros-članova kod signala sa

veoma bliskim komponentama. Osim na redukciju ovih neželjenih komponenti, jezgro

utiče i na koncentraciju komponenti signala, kao i na njihov oblik u vremensko-

frekvencijskoj ravni, što će biti razmatrano u radu.

Imajući u vidu da standardne forme vremensko-frekvencijskih distribucija ne

pružaju zadovoljavajuće rezultate u radu sa zašumljenim signalima, u trećem

poglavlju su razmatrane robustne forme distribucija. Takođe, u ovom poglavlju su

uvedene robustne forme distribucija iz Cohen-ove klase. Uvedene forme su efikasne u

slučajevima kada je signal zahvaćen impulsnim šumom. Za signale zahvaćene

kombinacijom impulsnog i Gauss-ovog šuma, predložene su L-forme distribucija iz

Cohen-ove klase.

U četvrtom poglavlju data je procedura za odvajanje komponenti

multikomponentog signala. U cilju estimacije parametara signala, komponente signala

je poželjno odvojiti i svaku komponentu posmatrati zasebno. Za odvajanje

komponenti signala, korišćena je dekompozicija na singularne (sopstvene) vrijednosti.

Dekompozicija je bazirana na kombinaciji distribucija iz Cohen-ove klase i koncepta

sopstvenih, odnosno singularnih vektora. Ukoliko je u signalu prisutan šum,

dekompozicija je kombinovana sa robustnim i sa L-formama distribucija iz Cohen-

ove klase. Dekompozicijom multikomponentnih signala je moguće odvojiti

pojedinačne komponente signala i estimirati parametre od značaja (kao što su

vremensko trajanje i frekvencijski opseg svake komponente), na osnovu kojih se dalje

vrši klasifikacija signala.

Pored dekompozicije signala na pojedinačne komponente, izvršena je

rekonstrukcija istih korišćenjem koncepta kompresivnog očitavanja (Compressive

Sensing ili Compressive Sampling - CS). CS je relativno novi pristup odabiranju

signala, koji se intenzivno razvija u poslednjih nekoliko godina. Zasniva se na

prikupljanju odbiraka signala na sasvim slučajan način i omogućava rekonstrukciju

signala sa velikom tačnošću iz značajno manjeg broja odbiraka, nego što to zahtijeva

teorema o odabiranju. Smanjenje broja odbiraka, neophodnih za uspješnu

rekonstrukciju, može biti od velikog značaja u sistemima kod kojih signali rade na

visokim frekvencijama i kod kojih bi odabiranje u skladu sa teoremom o odabiranju

dovelo do postojanja velikog broja odbiraka. Takođe, smanjenje broja odbiraka je

značajno u komunikacionim tehnologijama jer dovodi do smanjenja potrošnje

energije, kao i cijene izrade bežičnih prijemnika. Opis tehnike kompresivnog

odabiranja, kao i njena primjena na signale koji se javljaju u bežičnim

komunikacijama (FHSS signali), data je u petom poglavlju. Ovo poglavlje takođe

sadrži analizu broja odbiraka koji se uzimaju prilikom rekonstrukcije signala. U

zavisnosti od zahtijeva aplikacije, CS tehnika se može primijeniti na čitav FHSS

signal ili na njegove pojedinačne komponente. Ukoliko je cilj estimirati parametre

signala, CS tehnika se može kombinovati sa procedurom dekompozicije. Komponente

odvojene dekompozicijom šalju se na ulaz klasifikacionog modula. Primjenom CS

tehnike moguće je slati značajno manje odbiraka, i uspješno estimirati parametre

signala neophodne za njegovu klasifikaciju. Pokazuje se da je greška koja se pri tome

pravi, zanemarljivo mala.

ABSTRACT

Most of the signals that occur in real applications have variable frequency

content. Analysis of signals with time-varying frequency content is based on time-

frequency distributions. There is no single time-frequency distribution that can be

used for efficient analysis of different types of signals. Therefore, depending on the

type of the signal and applications where the signal is used, different time-frequency

distributions are used.

The first chapter of the thesis contains a brief description of the types of

signals, as well as the Fourier transform, as a common tool for the signal analysis in

the frequency domain. Special attention in the first chapter is devoted to FHSS and

IEEE 802.11b signals that occur in wireless communications. The second chapter

describes the commonly used time-frequency distributions, as well as distributions

that are suitable for multicomponent signal analysis. In the time-frequency based

multicomponent signal analysis, cross-terms occurrence is common. There is a

number of time-frequency distributions introduced to reduce (or completely eliminate)

the cross-terms. The entire class of distributions – called Cohen class, is intended to

overcome this problem. Distributions from the Cohen class are kernel-based

distributions. Kernel function affects the cross-terms, as well as the resolution of the

signal in the time-frequency plane. The effect of different kernels in the cross-terms

reduction, in the case of the signals with very close components, is analysed in this

paper. Besides the reduction of the unwanted components, the kernel affects the

concentration of signal components, as well as the component shape in the time-

frequency plane, which will be discussed in the paper.

Having in mind that standard forms of the time-frequency distributions do not

provide satisfactory results when dealing with noisy signals, the robust forms of these

distributions are discussed in the third chapter. The robust forms of the distributions

from the Cohen class are introduced in this chapter. These forms are effective when

the signal is affected by impulse noise. In this chapter, the L-form of the distributions

from the Cohen class are also defined. They provide an efficient analysis of the

signals corrupted with the mixture of impulse and Gaussian noise.

The fourth chapter describes the procedure for separation of the

multicomponent signal components. In order to estimate the signal parameters, the

components are first separated and each component is observed separately. The

Singular Value (Eigenvalue) Decomposition is used for components separation. The

decomposition procedure is combined with distributions from the Cohen class. In the

cases of noisy signals, the decomposition is combined with the L-forms of the Cohen

class distributions. By using the proposed decomposition, it is possible to separate the

individual components of the signal and to estimate the parameters of interest (such as

the time duration and the frequency range of each component), based on which

classification of the signal is performed.

The fifth chapter deals with the Compressive Sensing based signal

reconstruction. Compressive Sensing (CS) is a relatively new approach to the signal

sampling, and it is intensively developed in recent years. It is based on collecting

signal samples completely randomly and allows the signal reconstruction with high

accuracy from the smaller number of samples than it is required by the sampling

theorem. Reducing the number of samples required for signal reconstruction, might be

important in systems where signals operate at high frequencies and when sampling

according to the sampling theorem produces large number of signal samples.

Reduction of the number of samples for signal reconstruction is important in

communication technology, where it leads to a reduction in energy consumption, as

well as lowers the cost of making wireless devices. In this chapter, Compressive

Sensing technique, as well as its application to signals in wireless communications

(FHSS signals) is given. Number of samples, required for the signal reconstruction, is

also analysed in this chapter. Depending on the required application, CS technique

can be applied to a reconstruction of the whole FHSS signal or for reconstruction of

its individual components. In order to estimate the signal parameters, CS technique

can be combined with a Singular Value (Eigenvalue) decomposition procedure. After

separation, components could be sent to the input of the classification module. By

applying CS techniques, the signal parameters can be estimated and signal can be

classified, by using significantly less samples, compared with the traditional sampling

methods. It is shown that the reconstruction error in the case of FHSS signal

reconstruction is negligible.

Andjela Draganić Magistarski rad

________________________________________________________________________ 1

SADRŽAJ

Lista slika ....................................................................................................... 3

Lista tabela .................................................................................................... 6

Spisak skraćenica .......................................................................................... 7

1. Uvod ......................................................................................................... 8

1.1. Vrste signala......................................................................................................... 8

1.2. Frekvencijska analiza signala .............................................................................. 9

1.2.1 Signali u bežičnim komunikacijama ............................................................ 12

2. Vremensko-frekvencijska analiza signala .......................................... 15

2.1. Analiza multikomponentih signala .................................................................... 16

2.2. Linearne vremensko-frekvencijske distribucije ................................................. 17

2.2.1. Kratkotrajna Fourier-ova transformacija .................................................. 18

2.3. Kvadratne vremensko-frekvencijske distribucije .............................................. 21

2.3.1 Wigner-ova distribucija .............................................................................. 25

2.3.2 S-metod ....................................................................................................... 27

2.4. Cohen-ova klasa distribucija .............................................................................. 29

2.4.1 Ambiguity funkcija ...................................................................................... 30

2.4.2 Definicija Cohen-ove klase distribucija ...................................................... 33

3. Robustna forma distribucija iz Cohen-ove klase .............................. 41

3.1. Robustne distribucije ......................................................................................... 41

3.2. Robustni spektrogram ........................................................................................ 43

3.3. Robustna forma Wigner-ove distribucije ........................................................... 45

3.4. Robustna forma distribucija iz Cohen-ove klase ............................................... 46


________________________________________________________________________ 2

4. Dekompozicija multikomponentih signala ......................................... 55

4.1. Dekompozicija na singularne vrijednosti i vektore kombinovana sa Wigner-ovom distribucijom i S-metodom ...................................................................... 56

4.2. Dekompozicija na singularne vrijednosti u kombinaciji sa distribucijama iz Cohen-ove klase ................................................................................................. 58

4.3. Dekompozicija muzičkih signala ....................................................................... 59

4.4. Dekompozicija FHSS signala ............................................................................ 66

4.5. Dekompozicija IEEE 802.11b signala ............................................................... 74

4.6. Dekompozicija FHSS i IEEE 802.11b signala .................................................. 77

5. Primjena Compressive Sensing tehnike na multikomponentne FHSS signale .................................................................................................... 79

5.1. Osnovni koncepti Compressive Sensing-a......................................................... 79

5.2. Uslovi koje CS zahtijeva .................................................................................... 81

5.3. Rekonstrukcija FHSS signala primjenom CS-a ................................................. 83

Zaključak ..................................................................................................... 90

Literatura ..................................................................................................... 92


________________________________________________________________________ 3

Lista slika GLAVA 2

Slika 2.1 Širina komponenti u vremensko-frekvencijskoj ravni a) bez upotrebe funkcije prozora; b) upotrebom širokog prozora; c) upotrebom uskog prozora ............ 20

Slika 2.2 Spektrogram, Wigner-ova distribucija i S-metod signala sa brzo promjenljivom faznom funkcijom ............................................................................................. 28

Slika 2.3 Spektrogram, Wigner-ova distribucija i S-metod multikomponentnog signala 29

Slika 2.4 Wigner-ova distribucija i ambiguity funkcija: a) i b) FHSS signala definisanog relacijom (2.42); c) i d) signala definisanog relacijom (2.43) .......................... 32

Slika 2.5 Izgled Choi-Williams-ovog jezgra, za različite vrijednosti parametra σ : a) 0.01σ = , b) 1σ = , c) 100σ = ........................................................................ 36

Slika 2.6 Izgled Gauss-ovog jezgra, za različite vrijednosti parametra σ : a) 20σ = , b) 60σ = , c) 120σ = . Uzeto je da je 1 2σ σ σ= = ............................................. 37

Slika 2.7 Izgled Zhao-Atlas-Marks jezgra, za različite funkcije prozora: ....................... 38

Slika 2.8 Različiti izgled Born-Jordanovog jezgra, ......................................................... 39

Slika 2.9 VF reprezentacije signala FHSS signala, dobijene korišćenjem različitih jezgara: Born-Jordan-ovog i Choi-Williams-ovog – prvi red; Zhao-Atlas-Marks-ovog i Gauss-ovog jezgra – drugi red .......................................................................... 39

Slika 2.10 VF reprezentacije signala definisanog relacijom (2.43), korišćenjem različitih jezgara: Born-Jordan-ovog i Choi-Williams-ovog – prvi red; Zhao-Atlas-Marks-ovog i Gauss-ovog jezgra – drugi red ................................................... 40

GLAVA 3

Slika 3.1 Ambiguity funkcija FHSS signala: a) standardna forma, b) L forma sa 0.3ρ = , c) robustna medijan forma ................................................................................ 49

Slika 3.2 Wigner-ova distribucija dobijena korišćenjem: a) standardne ambiguity funkcije b) L-forme ambiguity funkcije, sa parametrom 0.3ρ = , c) medijan forme ambiguity funkcije posmatranog FHSS signala ............................................... 49

Slika 3.3 a) Impulsni šum kojim je zahvaćen posmatrani signal, b) zašumljena standardna forma ambiguity funkcije, c) zašumljena L-forma ambiguity funkcije, .......... 50


________________________________________________________________________ 4

Slika 3.4 Wigner-ova distribucija dobijena iz: a) standardne forme ambiguity funkcije; b) L-forme ambiguity funkcije - 0.3ρ = i c) robustne medijan forme ambiguity funkcije posmatranog zašumljenog FHSS signala .......................... 51

Slika 3.5 Prvi red – kombinovani impulsni i Gauss-ov šum; Drugi red – standardna forma ambiguity funkcije; Treći red - L-forme ambiguity funkcije, dobijene za

0.05, 0.2ρ ρ= = i 0.45ρ = , respektivno ....................................................... 52

Slika 3.6 Distribucije dobijene filtriranjem standardnih formi ambiguity funkcija, a) Choi-Williams-ovim; b) Gauss-ovim; c) Born-Jordan-ovim jezgrom ...................... 52

Slika 3.7 Distribucije dobijene filtriranjem L-formi ambiguity funkcija, Choi-Williams-ovim jezgrom (prva kolona), Gauss-ovim jezgrom (druga kolona), Born-Jordan-ovim jezgrom (treća kolona); Vrijednost parametra ρ je 0.05, 0.2 i 0.45, respektivno .............................................................................................. 53

GLAVA 4

Slika 4.1 Algoritam dekompozicije muzičkih signala .................................................... 61

Slika 4.2 S-metod signala flaute...................................................................................... 62

Slika 4.3 S-metod signala violine.................................................................................... 64

Slika 4.4 S-metod a) signala bez šuma; zašumljenog signala sa b) SNR=15dB, c) SNR=12 dB, d) SNR= 9 dB ............................................................................. 65

Slika 4.5 a) Spektrogram; b) Wigner-ova distribucija; c) S-metod FHSS signala .......... 67

Slika 4.6 Odvojene komponente FHSS signala, dekompozicijom primijenjenom na S-metod ................................................................................................................ 67

Slika 4.7 Ambiguity funkcija posmatranog FHSS signala............................................... 68

Slika 4.8 a) Choi-Williams jezgro; b) distribucija dobijena primjenom Choi-Williams jezgra; c) odvojene komponente signala, iz distribucije prikazane .................. 69

Slika 4.9 a) Pravougaono jezgro; b) distribucija dobijena primjenom pravougaonog jezgra; c) odvojene komponente signala, iz distribucije prikazane na Slici 4.9b .......................................................................................................................... 70

Slika 4.10 a) Born-Jordan jezgro; b) distribucija dobijena primjenom Born-Jordan jezgra; c) odvojene komponente signala, iz distribucije prikazane na Slici 4.10b ....... 70

Slika 4.11 a) Jezgro Gauss-ovog tipa; b) distribucija dobijena primjenom Gauss-ovog jezgra; c) odvojene komponente signala, iz distribucije prikazane na Slici 4.11b .......................................................................................................................... 71


________________________________________________________________________ 5

Slika 4.12 Tačne (plavo) i estimirane trenutne frekvencije komponenti signala, primjenom: a) Choi-Williams-ovog; b) pravougaonog; c) Born-Jordan-ovog; 72

Slika 4.13 a) Šum; b) distribucija bazirana na standardnoj formi ambiguity funkcije; distribucije bazirane na L- formi ambiguity funkcije c) bez šuma; d) u prisustvu šuma .................................................................................................. 73

Slika 4.14 Odvojene komponente iz VF distribucije sa slike 4.13d – gornji red;............. 74

Slika 4.15 S-metod IEEE 802.11b signala ........................................................................ 75

Slika 4.16 Odvojene komponente IEEE 802.11b signala ................................................. 75

Slika 4.17 S-metod IEEE 802.11b signala, zašumljenog Gauss-ovim šumom ................. 76

Slika 4.18 Odvojene komponente zašumljenog IEEE 802.11b signala ............................ 76

Slika 4.19 S-metod signala definisanog relacijom (4.20) ................................................. 77

Slika 4.20 Odvojene komponente signala opisanog relacijom (4.20) ............................... 77

Slika 4.21 S-metod FHSS i IEEE 802.11b signala, dobijen kombinacijom odvojenih komponenti ovih signala .................................................................................. 78

GLAVA 5

Slika 5.1 Zumirani vremenski regioni a) originalnog, b) rekonstruisanog signala sa različitim brojem slučajnih mjerenja (od ukupno 2048 odbiraka) ................... 84

Slika 5.2 Vremenski oblik originalnog i signala rekonstruisanog sa 922 slučajnim putem uzetih mjerenja ................................................................................................. 85

Slika 5.3 Apsolutna vrijednost Fourier-ove transformacije originalnog (plavo) i signala rekonstruisanog sa 922 mjerenja (zeleno) ........................................................ 86

Slika 5.4 S-metod a) originalnog i b) rekonstruisanog signala ........................................ 86

Slika 5.5 S-metod komponenti koje su odvojene a zatim rekonstruisane sa 40% slučajnih odbiraka ............................................................................................................ 87

Slika 5.6 S-metod a) od vektora rekonstruisanih sa 40% mjerenja, b) od čitavih vektora .......................................................................................................................... 88

Slika 5.7 Vremenski oblik singularnih vektora, koji odgovaraju komponentama signala, a) originalni, b) vektori dobijeni rekonstrukcijom sa 40% slučajnih mjerenja 89


________________________________________________________________________ 6

Lista tabela

GLAVA 2

TABELA 1: NEKE OD DISTRIBUCIJA IZ COHEN-OVE KLASE I NJIMA ODGOVARAJUĆE FUNKCIJE JEZGRA ................................................. 34

TABELA 2: POŽELJNE OSOBINE VREMENSKO-FREKVENCIJSKIH DISTRIBUCIJA IZ COHEN-OVE KLASE I USLOVI KOJE FUNKCIJE JEZGRA TREBA DA ZADOVOLJAVAJU ............................................... 35

GLAVA 4

TABELA 3: ODVOJENE KOMPONENTE SIGNALA FLAUTE KROZ 5 ITERACIJA...................................................................................................................... 63

TABELA 4: ODVOJENE KOMPONENTE SIGNALA VIOLINE KROZ 10 ITERACIJA ................................................................................................. 64

TABELA 5: BROJ ODVOJENIH KOMPONENTI U ZAVISNOSTI OD JAČINE ŠUMA .......................................................................................................... 66

TABELA 6: VREMENSKO TRAJANJE I FREKVENCIJSKI OPSEG ODVOJENIH KOMPONENTI SIGNALA......................................................................... 72

TABELA 7: SREDNJA KVADRATNA GREŠKA IZMEĐU ORIGINALNE TRENUTNE FREKVENCIJE I TRENUTNE FREKVENCIJE DOBIJENE IZ COHEN-OVE KLASE DISTRIBUCIJA ................................................ 73

GLAVA 5

TABELA 8: SREDNJE KVADRATNE GREŠKE IZMEĐU ORIGINALNIH I REKONSTRUISANIH VEKTORA ............................................................ 88


________________________________________________________________________ 7

Spisak skraćenica

Simbol Značenje CS Kompresivno očitavanje

CSS Chirp Spread Spectrum

DSSS Direct Sequence Spread Spectrum

EEG Elektroencefalograf

FHSS Frequency Hopping Spread Spectrum

IF Trenutna frekvencija

ISM Industrial, Scientific and Medical

ML Maximum-likelihood

PCA Principal Component Analysis

SNR Odnos signal šum

SPEC Spektrogram

STFT Kratkotrajna Fourier-ova transformacija

SVD Dekompozicija na singularne vrijednosti

TFD Vremensko-frekvencijska distribucija

THSS Time Hopping Spread Spectrum

VF Vremensko-frekvencijska distribucija

2D FT Dvodimenziona Fourier-ova transformacija


________________________________________________________________________ 8

1. Uvod

1.1. Vrste signala

U svakodnevnom životu, pod pojmom signala, podrazumijeva se neka pojava koja

nosi informaciju. Signal može biti funkcija vremena, temperature, pritiska, i slično,

kojom se opisuju neke varijacije u posmatranom sistemu. Postoje brojni načini kojima se

modeluje signal, kao što su matematičke funkcije ili simboličke (fizičke) predstave

informacije [1]. Vrijednost matematičke funkcije kojom je signal predstavljen može biti

realan, kompleksan broj ili vektor [1], [2]. Ukoliko funkcija uzima realne vrijednosti,

govorimo o realnom signalu, a ukoliko su vrijednosti funkcije kompleksni brojevi –

signal je kompleksan. Ako funkcija ima vrijednosti u vektorskom obliku, kaže se da je

signal multikanalni [2]. Signal može biti funkcija jedne, dvije ili više promjenljivih, pa

razlikujemo jednodomenzione, dvodimenzione, trodimenzione signale i slično. Muzički i

govorni signali predstavljaju primjere jednodimenzionih signala. Digitalna slika je

dvodimenzioni signal dok digitalni video spada u grupu trodimenzionih signala. Ukoliko

je signal funkcija više promjenljivih, nazivamo ga multidimenzionim.

Dalja podjela signala je na kontinualne i diskretne [3]. Kontinualni signali su

definisani za svaku vrijednost nezavisno promjenljive, a diskretni signali su definisani

samo za određene vrijednosti nezavisno promjenljive. U cilju obrade i analize,

kontinualni signali se moraju digitalizovati. Digitalizacija signala podrazumijeva njihovo

odabiranje, tj. uzimanje vrijednosti signala u tačno određenim vremenskim trenucima.

Interval vremena između dva susjedna trenutka odabiranja naziva se periodom

odabiranja.

Bitno je napomenuti da se ne mogu svi signali opisati nekim matematičkim

modelom. Ukoliko se signal može jednoznačno opisati nekom funkcijom ili pravilom,

naziva se determinističkim [1]. Vrijednosti determinističkog signala su poznate i u

prošlosti i u budućnosti, zbog čega ovakvi signali ne nose informaciju. Koriste se u

teorijskim opisima i analizama. U praksi se javljaju signali koji se ne mogu, ili su

komplikovani za predstaviti se nekom matematičkom funkcijom. Ovakvi signali se


________________________________________________________________________ 9

nazivaju slučajnim (stohastičkim), i ponašaju se na nepredvidljiv način sa promjenom

nezavisno promjenljive (nezavisno promjenljiva može biti npr. vrijeme). Matematički

model za opis stohastičkih signala pruža teorija vjerovatnoće.

1.2. Frekvencijska analiza signala

Svaki signal u vremenskom domenu ima svoju ekvivalentnu predstavu u domenu

frekvencija [1]-[7]. Analiza signala u frekvencijskom domenu ima veću praktičnu

primjenu od analize u vremenskom domenu. Većina realnih signala može se predstaviti u

obliku sume sinusoidalnih komponenti. Ako je signal periodičan, razlaganje na

sinusoidalne komponente predstavlja razvoj u red, a ukoliko je signal aperiodičan ovo

razlaganje naziva se Fourier-ovom transformacijom [3], [5]. Za signal razložen na sumu

sinusoida kaže se da je predstavljen u frekvencijskom domenu. Ovakva predstava pruža

informacije o frekvencijama koje postoje u signalu, kao i informacije o amplitudama

komponenti posmatranog signala, dok predstava signala u vremenskom domenu daje

informacije o promjenama amplitude signala u toku vremena. Frekvencijski sadržaj

signala naziva se spektrom signala.

Fourier-ova transformacija signala ( )x t definiše se na sljedeći način [6], [7]:

( ) ( ) j tX x t e dtωω∞

−

−∞

= ∫ . (1.1)

Vremenski oblik signala se može dobiti iz Fourier-ove transformacije njenom inverzijom.

Inverzna forma Fourier-ove transformacije definiše se kao:

1

( ) ( )2

j tx t X e d

ωω ωπ

∞

−∞

= ∫ . (1.2)

Osobine Fourier-ove transformacije Fourier-ova transformacija zadovoljava sljedeće osobine [1]-[4]:


________________________________________________________________________ 10

1. Linearnost

Fourier-ova transformacija linearne kombinacije signala, jednaka je linearnoj kombinaciji

njihovih Fourier-ovih transformacija:

( )1 2

1 2 1 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).

j t

j t j t

x t x t e dt

x t e dt x t e dt X X

ω

ω ω

α β

α β α ω β ω

∞−

−∞

∞ ∞− −

−∞ −∞

+ =

= + = +

∫

∫ ∫

(1.3)

2. Vremensko pomjeranje

Pomjeranje signala ( )x t za 0t po vremenu, rezultuje u multipliciranju Fourier-ove

transformacije članom 0j te ω− , tj.:

00( ) ( ).j tj t

x t t e dt e Xωω ω

∞−−

−∞

− =∫ (1.4)

3. Frekvencijsko pomjeranje:

Modulacija signala eksponencijalnom funkcijom pomjera Fourier-ovu transformaciju po

frekvencijskoj osi:

( )0 0( ) ( ).j t j te x t e dt Xω ω ω ω∞

−

−∞

= −∫ (1.5)

4. Konvolucija:

Fourier-ova transformacija konvolucije dva signala, 1( )x t i 2 ( )x t , jednaka je proizvodu

Fourier-ovih transformacija pojedinačnih signala:

1 * 2 1 2 1 2{ ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) ( )FT x t x t FT x x t d X Xτ τ τ ω ω∞

−∞

= − =

∫ . (1.6)

Fourier-ova transformacija proizvoda dva signala jednaka je konvoluciji njihovih

Fourier-ovih transformacija:


________________________________________________________________________ 11

1 2 1 2{ ( ) ( )} ( ) ( )FT x t x t X Xωω ω⋅ = ∗ . (1.7)

Sa ω∗ je označena konvolucija u frekvencijskom domenu.

Diskretna Fourier-ova transformacija

Za praktične aplikacije potrebno je koristiti diskretnu formu Fourier-ove

transformacije. Diskretna Fourier-ova transformacija se definiše na sljedeći način [4]:

21

0

( ) ( )N j nk

N

n

DFT k x n e

π− −

=

=∑ , (1.8)

dok je njena inverzna forma:

21

0

1( ) ( )

N j nkN

k

x n DFT k eN

π−

=

= ∑ . (1.9)

Analiza u Fourier-ovom domenu ne daje informacije o vremenu pojavljivanja

određenih frekvencija u signalu. Ova informacija je sadržana u faznom spektru signala,

ali je teško tu informaciju interpretirati. Spektralna analiza ne pruža informaciju ni o

vremenskom trajanju ni o frekvencijskim modulacijama komponenti posmatranog

signala, stoga nije pogodna za analizu nestacionarnih signala, tj. signala čiji je spektar

nezavistan od vremena [8], [9]. U slučajevima ovakvih signala, potrebna je analiza koja

će dati informacije i o frekvencijama i o vremenu pojavljivanja frekvencija u spektru.

U cilju prevazilaženja nedostataka Fourier-ove transformacije, uvedena je analiza

signala po vremenu i po frekvenciji istovremeno, tzv. vremensko-frekvencijska (VF) [1],

[10]-[17] analiza. Osim što pruža informacije o vremenu pojavljivanja komponenti

signala i o frekvencijama koje se javljaju u signalu, VF analiza omogućava jasno

razlikovanje multikomponentnih od monokomponentnih signala. Opis nekih često

korišćenih VF distribucija dat je u narednom poglavlju.


________________________________________________________________________ 12

1.2.1 Signali u bežičnim komunikacijama

U nastavku je dat opis nekih modulacijskih tehnika koje se koriste u bežičnim

komunikacijama. Signali opisani u nastavku su korišćeni u radu kao testni signali.

Frequency Hopping Spread Spectrum tehnika modulacije

Frequency Hopping Spread Spectrum (FHSS) [18]-[28] je modulacijska tehnika

koja se koristi u komunikacijama širokog spektra. Tehnike proširenja spektra (Spread

Spectrum techniques) [18] se koriste u telekomunikacijama i radio komunikacijama za

proširenje frekvencijskog opsega signala. Signal proširenog spektra ima frekvencijski

opseg nekoliko puta veći od frekvencijskog opsega nemodulisanog signala. Tehnike su

razvijene u cilju otežavanja prisluškivanja povjerljivih informacija, kao i povećanja

otpornosti signala na šumove.

Proširenje frekvencijskog opsega postiže se upotrebom DSSS (Direct Sequence

Spread Spectrum), THSS (Time Hopping Spread Spectrum), CSS (Chirp Spread

Spectrum), FHSS modulacije, ili njihovim kombinacijama. Svaka od pomenutih tehnika

koristi pseudoslučajne sekvence za povećanje opsega signala. Kod FHSS tehnike,

frekvencija nosioca signala se mijenja sa jedne vrijednosti na drugu, što smanjuje uticaj

smetnji na signal i otežava njegovo presretanje. Frekvencije na kojima se signal

pojavljuje definisane su pseudoslučajnom (najčešće binarnom) sekvencom. Množenjem

pseudoslučajnog niza sa korisnim signalom postiže se proširenje spektra signala. Na

prijemnoj strani signal se sažima i dekodira. Da bi se signal mogao dekodirati,

pseudoslučajna sekvenca mora biti poznata kako predajniku, tako i prijemniku.

Za karakterizaciju FHSS signala moguće je koristiti vremensko-frekvencijsku

analizu signala [19]. U slučaju FHSS signala, vremensko-frekvencijska analiza daje

zadovoljavajuće rezultate prilikom estimacije parametara ovih signala, što je značajno za

identifikaciju načina rada u komunikacionim sistemima. Parametri signala, kao što su

trajanje hop sekvence, rastojanje između susjednih frekvencijskih komponenti signala, ili

centralna frekvencija komponente, mogu se dobiti karakterizacijom signala u vremensko-


________________________________________________________________________ 13

frekvencijskom domenu [19].

FHSS tehnika modulacije se koristi u Bluetooth sistemima, prilikom prenosa

bežičnih signala. Bluetooth je komunikacijski protokol, koji koristi ISM (Industrial,

Scientific and Medical) opseg frekvencija od 2.4GHz do 2.4835 GHz [26]. Bluetooth

tehnika koristi radio talase koji omogućavaju komunikaciju na rastojanjima do 10 m.

Frekvencijski opseg Bluetooth signala se dijeli u više nivoa, tako da u ISM opsegu

postoji 79 različitih frekvencija. Kako broj korisnika ISM opsega frekvencija raste iz

dana u dan, raste i vjerovatnoća pojave smetnji u sistemu usljed prisustva raznih tipova

signala. Razvijen je veliki broj tehnika za redukciju smetnji u ovim sistemima. Jedna od

njih je bazirana na proširenju spektra signala. Na osnovu Shannon-ove formule može se

zaključiti da se kapacitet kanala za prenos informacije povećava sa povećanjem širine

propusnog opsega signala. Shannon-ova formula za kapacitet data je sljedećom

relacijom:

2log (1 ),S

C WN

= + (1.10)

gdje C predstavlja kapacitet kanala, W propusni opseg, S snagu signala a N snagu šuma.

Takođe, proširivanjem spektra signala povećava se broj korisnika istog medijuma za

prenos signala, a da se međusobno ne ometaju.

IEEE 802.11b signal

IEEE 802.11 [19], [27], [28] je standard korišćen u bežičnim tehnologijama. Radi

u nelicenciranom 2.4 GHz ISM opsegu frekvencija. IEEE 802.11b standard koristi jedan

od 13 preklapajućih, 22 MHz širokih kanala. Svaki kanal se karakteriše svojom

centralnom frekvencijom. Rastojanje između susjednih centralnih frekvencija je 5 MHz.

Standard omogućava prenos signala na udaljenostima od 10 do 100 metara. Brzina

prenosa je oko 11 Mbps. Kao što je prethodno rečeno, broj korisnika ISM opsega

frekvencija raste. Ovaj opseg koriste kako Bluetooth uređaji, tako i bežični telefoni,


________________________________________________________________________ 14

mikrotalasne pećnice, vojni radari, kao i neki amaterski radio uređaji. Zbog podjele

spektra veoma česta je pojava interferencija. Oprema koja se koristi u komunikacijama bi

trebala da toleriše ove interferencije, zbog čega korisnici i nemaju nikakvu zaštitu

prilikom korišćenja uređaja čija je radna frekvencija u pomenutom opsegu. U cilju

smanjenja vjerovatnoće pojave smetnji, i IEEE 802.11b kao i Bluetooth standard koristi

tehniku proširenja spektra. IEEE 802.11b standard koristi Direct Sequence Spread

Spectrum (DSSS) tehniku modulacije. DSSS moduliše sinusni signal pseudoslučajnom

sekvencom simbola (tzv. chips). Sekvenca chip simbola, proizvedena od strane

predajnika poznata je i prijemniku. Prijemnik koristi istu ovu sekvencu u cilju

rekonstrukcije informacije.


________________________________________________________________________ 15

2. Vremensko-frekvencijska analiza signala

Vremensko-frekvencijska analiza signala daje uvid u raspodjelu energije signala u

domenu vremena i frekvencije [29]. Uvedena je sa ciljem da omogući analizu signala u

slučajevima kada pojedinačnom analizom u vremenskom i frekvencijskom domenu ne

možemo izvući željene podatke o signalu.

Postoji veliki broj VF distribucija, čiji je cilj opis varijacija frekvencijskog

sadržaja signala u vremenu [10]-[17]. VF distribucije su dvodimenzione funkcije

vremena i frekvencije. Funkcija koja opisuje promjene spektra signala naziva se trenutna

frekvencija (Instantaneous frequency - IF) [15]. Trenutna frekvencija je bitan parametar

signala, i pokazuje kako se frekvencijski sadržaj mijenja tokom vremena. Predstavlja

mjeru lokalizacije u vremenu pojedinih frekvencijskih komponenti [9] i, za razliku od

Fourier-ove frekvencije, vremenski je zavisna. Definiše se kao prvi izvod faze signala

[9]:

1 ( )

( ) ,2

d tIF t

dt

φ

π= (2.1)

gdje je sa ( )tφ označena faza signala. Osim trenutne frekvencije, za lokalizaciju

spektralnih komponenti signala koristi se i grupno kašnjenje, definisano kao prvi izvod

faze po frekvenciji [9]:

1 ( )

( ) ,2

d ff

df

ϕτ

π= − (2.2)

gdje je sa ϕ označena faza Fourier-ove transformacije. Grupno kašnjenje opisuje

lokaciju komponente čija je frekvencija f na vremenskoj osi.

U zavisnosti od tipa signala, kao i od primijenjene VF distribucije, dobija se

različita tačnost procjene trenutne frekvencije posmatranog signala. VF analiza je našla

brojne primjene u analizi nestacionarnih signala [30]-[33]. Neke od aplikacija u kojima se

VF distribucije primijenjuju su mjerenje temperaturnog gradijenta mikrostrukture u


________________________________________________________________________ 16

okeanima baziranom na vezi između trenutne frekvencije i disipacije kinetičke energije;

mjerenje apsorpcije i disperzije koeficijenata tla; analiza i dizajniranje ultrasoničnih

pretvarača; opisivanje signala koji prolaze kroz određeni medijum; analiza govornih,

seizmičkih, muzičkih signala; primjene u optici; radarima, medicini, i brojne druge [34]-

[46].

Sve VF distribucije se mogu podijeliti na linearne, kvadratne [10]-[17] i

distribucije višeg reda [47]-[55]. U nekim aplikacijama, poboljšanje koncentracije u

vremensko-frekvencijskom domenu postiže se povećavanjem broja prozora kod

postojećih distribucija, tj. upotrebom distribucija sa višestrukim prozorima [56]-[59].

Neke od najzastupljenijih distribucija u obradi signala opisane su u nastavku.

2.1. Analiza multikomponentih signala

Prije opisa VF distribucija, dat je kratak osvrt na analizu multikomponentih

signala [60]-[67]. Boashash [61] je dao generalnu proceduru prilikom analize signala:

Naime, prilikom analize signala prvo je potrebno odrediti da li je signal

stacionaran ili ne, kao i utvrditi da li je signal multikomponentni ili monokomponentni;

Ukoliko je signal sastavljen od više komponenti, poželjno je razdvojiti ga na

pojedinačne komponente, i pratiti promjene spektra za svaku komponentu pojedinačno

[61]. Takođe, potrebno je odrediti energiju signala oko njegove trenutne frekvencije;

Sljedeći korak je modelovanje signala. Ukoliko svaku komponentu opisuje njena

amplituda i faza, onda se analiza signala svodi na to da se nađu ovi parametri za svaku

komponentu signala.

VF analiza predstavlja značajno sredstvo za analizu multikomponentnih signala.

Kada se govori o trenutnoj frekvenciji multikomponentog signala, zapravo se misli na

lokalnu trenutnu frekvenciju. Naime, trenutna frekvencija multikomponentnog signala se

definiše za svaku komponentu istog, tj. trenutna frekvencija multikomponentog signala


________________________________________________________________________ 17

predstavlja mjeru lokalizacije u vremenu svake pojedinačne komponente signala [9],

[61]. Signal ( )x t se smatra multikomponentnim ukoliko postoji konačan broj N

monokomponentnih signala ( )ix t , 1,2,...,i N= takvih da relacija 1( ) ( )N

iix t x t

==∑ važi za

sve vrijednosti t za koje je signal ( )x t definisan [65].

Bitno je napomenuti da nijesu sve VF distribucije pogodne za analizu

multikomponentnih signala. Kvadratne VF distribucije, u slučaju multikomponentih

signala, pored članova signala stvaraju neželjene kros-komponente. Posmatrajmo signal

( )x t , sastavljen od dvije komponente, 1( )x t i 2 ( )x t . Kvadratne VF distribucije rezultuju

postojanjem sljedećih članova [65]:

11 22 12 21( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )TFD t TFD t TFD t TFD t TFD tω ω ω ω ω= + + + , (2.3)

gdje su 11( , )TFD t ω i 22 ( , )TFD t ω VF distribucije korisnih komponenti signala, dok

21( , )TFD t ω i 12 ( , )TFD t ω predstavljaju tzv. kros distribucije, nastale kao posljedica

kvadratne prirode primijenjene VF distribucije.

U ovom radu analizirani su multikomponenti signali koji se javljaju u bežičnim

komunikacijama – FHSS i IEEE 802.11b signali, kao i neki muzički signali. Takođe,

analizirane su i distribucije pogodne za primjenu kod ovakvih tipova signala.

2.2. Linearne vremensko-frekvencijske distribucije

Linearne vremensko-frekvencijske reprezentacije [1], [14], [15] zadovoljavaju

svojstvo linearnosti, što znači da vremensko-frekvencijska reprezentacija linearne

kombinacije signala odgovara linearnoj kombinaciji pojedinačnih djelova signala. Ako se

signal ( )x t može predstaviti kao linearna kombinacija signala 1( ),...., ( )px t x t , tj.:

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )P Px t k x t k x t k x t= + + + , (2.4)


________________________________________________________________________ 18

to će linearna vremensko-frekvencijska transformacija ovakvog signala biti [2]: 1 1 2 2{ ( )} ( , ) ( , ) ... ( , ).P PTFD x t k X t f k X t f k X t f= + + + (2.5)

gdje je ( , )pX t f vremensko-frekvencijska transformacija signala ( )px t . U grupu

linearnih vremensko-frekvencijskih transformacija spadaju kratkotrajna Fourier-ova

transformacija [68]-[71], lokalna polinomijalna Fourier-ova transformacija [72], wavelet

transformacija [73]-[76] i slično.

2.2.1. Kratkotrajna Fourier-ova transformacija

Često korišćena reprezentcija u obradi signala je kratkotrajna Fourier-ova

transformacija – Short Time Fourier Transform (STFT) [77]-[80]. STFT je Fourier-ova

transformacija signala uokvirenog prozorom. Naime, umjesto Fourier-ove transformacije

čitavog signala, funkcijom prozora izdvaja se samo dio signala oko posmatranog

vremenskog trenutka t i računa se Fourier-ova transformacija tako uokvirenog dijela

signala. Pomjeranjem prozora duž čitave dužine signala dobija se STFT. STFT je

definisana na sljedeći način [77]:

( , ) ( ) ( ) ,jSTFT t x t w e dωτω τ τ τ∞

−

−∞

= +∫ (2.6)

gdje ( )x t predstavlja signal, a ( )w τ funkciju prozora. U praktičnim realizacijama koristi

se STFT u diskretnom obliku. Za diskretizaciju STFT-a posmatrajmo signal ( ) ( )x t wτ τ+ ,

[1]. Prema teoremi o odabiranju, period odabiranja je 1

2 mT

f≤ , gdje mf maksimalna

frekvencija signala ( ) ( )x t wτ τ+ . Diskretna forma STFT-a data je relacijom [79]:

( , ) (( ) ) ( ) .j mT

m

STFT n x n m T w mT e Tωω

∞−

=−∞

= +∑ (2.7)

Uzimajući ( ) ( )Tx nT x n= i normalizujući frekvenciju sa T dobija se:

( , ) ( ) ( ) .j m

m

STFT n x n m w m eωω

∞−

=−∞

= +∑ (2.8)


________________________________________________________________________ 19

Kako se diskretizacija obično vrši sa brojem odbiraka koji je veći ili jednak dužini

funkcije prozora, prethodna relacija se može zapisati kao:

21

0

( , ) ( ) ( ) , 0,..., 1N j km

N

m

STFT n k x n m w m e k N

π− −

=

= + = −∑ , (2.9)

gdje je N dužina funkcije prozora, a 2

kN

πω = .

Vremenski oblik signala, ( )x t , može se dobiti inverznom STFT:

1

( ) ( , ) .2 ( )

jx t STFT t e d

w

ωττ ω ωπ τ

∞

−∞

+ = ∫ (2.10)

Vrijednosti ( )x t τ+ mogu se računati za date vremenske trenutke t i za vrijednosti

parametra τ za koje funkcija prozora ( )w τ ima nenulte vrijednosti. Energetska verzija

STFT-a je spektrogram (SPEC) i opisan je relacijom:

2

( , ) ( , ) ,SPEC t STFT tω ω= (2.11)

STFT zadovoljava osobine navedene za Fourier-ovu transformaciju. Bitno je napomenuti

da spektrogram, kao kvadratna verzija kratkotrajne Fourier-ove transformacije, ne

zadovoljava osobinu linearnosti.

Širina prozora τ kod STFT-a utiče na rezoluciju signala u vremensko-

frekvencijskom domenu, što ograničava primjenu ove transformacije. Istovremeno

postizanje dobre rezolucije i po vremenu i po frekvenciji kod STFT i SPEC onemogućava

Hajzenbergov princip neodređenosti. Na Slici 2.1 ilustrovano je kako širina prozora utiče

na rezoluciju u VF ravni. Vidi se da se upotrebom širokog prozora poboljšava rezolucija

po frekvenciji, dok je vremenska rezolucija gora, dok sa uskim prozorom dobijamo bolju

vremensku i lošiju frekvencijsku rezoluciju (horizontalna poluosa elipse odgovara

rezoluciji po vremenu, dok vertikalna poluosa odgovara rezoluciji po frekvenciji). Princip

neodređenosti se može definisati na sljedeći način [4], [17]:

1 / 2t ω∆ ∆ ≥ , (2.12)

gdje su t

∆ i ω∆ vremensko trajanje i frekvencijski opseg posmatranog signala,

definisani kao:


________________________________________________________________________ 20

2 22 2

2 2

2 2

( ) ( )

,

( ) ( )t

w d W d

w d W d

ω

τ τ τ ω ω ω

τ τ ω ω

∞ ∞

−∞ −∞∞ ∞

−∞ −∞

∆ = ∆ =∫ ∫

∫ ∫. (2.13)

Princip neodređenosti odražava činjenicu da je spektar signala, koji ima kratko trajanje u

vremenskom domenu, širok, a signal dugog vremenskog trajanja ima uzak spektar.

Vremensko trajanje i frekvencijski spektar signala ne mogu imati proizvoljno male

vrijednosti istovremeno.

Slika 2.1 Širina komponenti u vremensko-frekvencijskoj ravni a) bez upotrebe funkcije prozora; b) upotrebom širokog prozora; c) upotrebom uskog prozora

Kratkotrajna Fourier-ova transformacija i spektrogram multikomponentnih signala

Signali u realnim aplikacijama, kao što su telekomunikacije, akustika,

biomedicina i slično, većinom su multikomponentni. Da bi se ovakvi signali mogli

okarakterisati, moraju se uzeti u obzir sve komponente signala. Svaka komponenta može

imati različitu trenutnu frekvenciju, amplitudu i trajanje. Analiza ovakvih signala u

domenu vremena ili u domenu frekvencija, nije pogodna za njihovu karakterizaciju. U

cilju opisa frekvencijskog sadržaja signala, trajanja pojedinačnih komponenti, promjena

amplitude signala tokom vremena i slično, pogodno je koristiti VF analizu.


________________________________________________________________________ 21

Analiza multikomponentnih signala podrazumijeva određivanje broja komponenti

u signalu, razlikovanje članova signala od kros-članova, mogućnost odvajanja

komponenti u VF domenu, kao i estimaciju trenutne frekvencije svake komponente

signala, tj.estimaciju lokalne trenutne frekvencije.

Ukoliko se komponente multikomponentnog signala ne preklapaju u vremensko-

frekvencijskoj ravni, spektrogram takvog signala se može napisati kao [17]:

2

2

1

( , ) ( , ) ( , )P

p

p

SPEC t STFT t STFT tω ω ω=

= =∑ , (2.14)

gdje su ( , )pSTFT t ω kratkotrajne Fourier-ove transformacije pojedinačnih komponenti

signala. U opštem slučaju, spektrogram multikomponentih signala je definisan relacijom

[17]:

2

*

1 1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ),P P P

p p q

p p qq p

SPEC t STFT t STFT t STFT tω ω ω ω= = =

≠

= +∑ ∑∑ (2.15)

gdje je druga suma u izrazu posljedica interakcije između komponenti signala, i

predstavlja kros-komponente. Kros-komponente se kod spektrograma javljaju samo

ukoliko se komponente signala preklapaju u vremensko-frekvencijskoj ravni. Međutim,

rezolucija spektrograma u velikom broju slučajeva ne zadovoljava zahtjeve aplikacije u

kojoj se primjenjuje, pa se koriste druge VF distribucije.

2.3. Kvadratne vremensko-frekvencijske distribucije

Linearnost je poželjna osobina kod VF distribucija. Međutim, ukoliko želimo da

prikažemo distribuciju energije u VF ravni, prirodnije je koristiti kvadratne VF

distribucije [14]. Za kvadratne VF distribucije se vezuje koncept trenutne snage i

spektralne gustine energije. Trenutna snaga signala ( )x t definisana je formulom [4]:

2

( ) ( )xp t x t= , (2.16)


________________________________________________________________________ 22

dok se spektralna gustina energije definiše sljedećom relacijom:

2

( ) ( )xP f X f= . (2.17)

Prethodne dvije relacije povezane su marginalnim osobinama:

2

2

( , ) ( ) ( ) ,

( , ) ( ) ( ) ,

x

f

x

t

TFD t f df p t x t

TFD t f dt P f X f

= =

= =

∫

∫ (2.18)

gdje je sa TFD označena vremensko-frekvencijska distribucija. Ukupna energija signala

se dobija integracijom po vremenu i po frekvenciji po cijeloj VF ravni [4]:

2 2

( ) ( ) .xE x t dt X dω ω= =∫ ∫ (2.19)

Neke od osobina koje bi kvadratne (tj. energetske) VF distribucije trebalo da

zadovoljavaju date su u nastavku [1]-[4].

1. Realnost:

Imajući u vidu da predstavlja energiju signala poželjno je da VF distribucija bude realna

funkcija, tj.:

*( , ) ( , )x xTFD t f TFD t f= . (2.20)

2. Nenegativnost:

VF distribucija treba da bude nenegativna funkcija, iz istog razloga zbog koga je poželjno

da bude realna funkcija.

3. Vremensko pomjeranje:

Ako se posmatraju dva signala, ( )x t i 0( ) ( )x t x t t= − , istog oblika ali pomjereni u

vremenu za 0t , VF reprezentacije ova dva signala bi trebalo da budu istog oblika,

pomjerene po vremenu za istu vrijednost 0t :

0( , ) ( , )x xTFD t f TFD t t f= − , za 0( ) ( )x t x t t= − . (2.21)


________________________________________________________________________ 23

4. Frekvencijsko pomjeranje:

Posmatrajmo dva signala, ( )x t i 02( ) ( ) j f tx t x t e π= . Ako je spektar drugog signala

transliran u odnosu na spektar prvog signala za 0f , tj. ako važi

0(2 ) (2 2 )X f X f fπ π π= − , onda, na osnovu osobine modulacije Fourier-ove

transformacije, slijedi da VF distribucija drugog signala treba da bude translirana u

odnosu na VF distribuciju prvog signala za 0f , tj.:

0( , ) ( , )x xTFD t f TFD t f f= − , za 02( ) ( ) j f tx t x t e π= . (2.22)

5. Vremenski marginalni uslov:

Integral po frekvenciji VF distribucije, u određenom trenutku t , treba da bude jednak

trenutnoj snazi signala, tj. energiji signala u datom trenutku t :

2

( , ) ( )xf

TFD t f df x t=∫ . (2.23)

6. Frekvencijski marginalni uslov:

Integral po vremenu neke vremensko-frekvencijske distribucije, za određenu frekvenciju

f , treba da bude jednak spektralnoj gustini energije:

2

( , ) ( )xt

TFD t f dt X f=∫ . (2.24)

7. Energija signala:

Energija signala se dobija integracijom VF distribucije po cijeloj VF ravni:

1

( , )2x x

E TFD t f dfdtπ

∞ ∞

−∞ −∞

= ∫ ∫ . (2.25)

8. Vremensko-frekvencijsko skaliranje:

Ukoliko je poznata VF distribucija signala ( )x t , onda se VF distribucija signala

skaliranog po vremenu ( ) ( )y t a x at= može dobiti na sljedeći način:


________________________________________________________________________ 24

( , ) ( , )y xf

TFD t f TFD ata

= , za ( ) ( ), 0y t a x at a= ≠ . (2.26)

9. Trenutna frekvencija:

( , )1

( ) arg[ ( )]2( , )

x

f

i

x

f

fTFD t f dfd

f t x tdtTFD t f df π

= =

∫

∫. (2.27)

Prethodna relacija ima smisla samo ako se radi o monokomponentim signalima. U

slučaju multikomponentnih signala, trenutna frekvencija se traži za svaku komponentu

signala.

10. Grupno kašnjenje:

( , )1

( ) arg[ ( )]2( , )

x

tx

x

t

tTFD t f dtd

t f X fdfTFD t f dt π

= = −∫

∫. (2.28)

11. Vremensko ograničenje:

( , ) 0xTFD t f = izvan vremenskog intervala 1 2[ , ]t t , ako važi da je ( ) 0x t = izvan istog

vremenskog intervala.

12. Frekvencijsko ograničenje:

( , ) 0xTFD t f = izvan intervala frekvencija 1 2[ , ]f f , ako važi da je ( ) 0X f = izvan istog

frekvencijskog intervala.

13. Konvolucija signala

Ukoliko je poznat signal na ulazu sistema ( )x t i impulsni odziv sistema ( )h t , može se

odrediti VF distribucija signala na izlazu iz sistema, ( )y t , preko VF distribucija signala

( )x t i ( )h t , kao:

( , ) ( , ) ( , )y h xTFD t f TFD t f TFD f dτ τ τ∞

−∞

= −∫ , (2.29)


________________________________________________________________________ 25

gdje je ( ) ( ) ( )y t h t x dτ τ τ∞

−∞

= −∫ , hTFD i xTFD VF distribucije impulsnog odziva ( )h t i

signala ( )x t , respektivno.

14. Proizvod signala

VF distribucija proizvoda dva signala, 1( )x t i 2 ( )x t , treba da bude jednaka konvoluciji po

frekvenciji ovih signala, tj.:

1 2

1( , ) ( , ) ( , )

2 x xTFD t TFD t TFD t dω ω θ θ θ

π

∞

−∞

= −∫ . (2.30)

2.3.1 Wigner-ova distribucija

U cilju poboljšanja koncentracije signala u vremensko-frekvencijskoj ravni u

odnosu na STFT i SPEC, uveden je veliki broj VF distribucija. Među njima često

korišćena distribucija je Wigner-ova distribucija, definisana na sljedeći način [81]-[89]:

*( , ) ( ) ( ) .2 2

jWD t x t x t e d

ωττ τω τ∞

−

−∞

= + −∫ (2.31)

Wigner-ova distribucija poboljšava koncentraciju signala u odnosu na spektrogram, te

obezbjeđuje idealnu reprezentaciju za linearno-frekvencijski modulisane signale [81].

Međutim, Wigner-ova distribucija ima dva nedostatka koji se ispoljavaju kod određenih

tipova signala. Naime, u slučaju Wigner-ove distribucije nelinearno frekvencijski

modulisanih signala, javljaju se interferencije usljed nestacionarnosti samog signala, tzv.

„inner-interferences“. Drugi nedostatak Wigner-ove distribucije ispoljava se kod

multikomponentnih signala. Kod ovih tipova signala, na aritmetičkoj sredini između dva

člana signala (tj. auto-člana), Wigner-ova distribucija proizvodi novi član (tzv. kros ili

unakrsni član). Energija kros-člana može da bude značajno veća od energije auto-člana,

pa se kros-član u tim slučajevima može pogrešno protumačiti kao komponenta signala. Iz

tog razloga Wigner-ova distribucija ne daje uvijek vjernu predstavu signala u vremensko-

frekvencijskom domenu. U praksi se često koristi Wigner-ova distribucija uokvirena

prozorom – pseudo Wigner-ova [90], i definisana je sljedećom relacijom:


________________________________________________________________________ 26

* *( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,2 2 2 2

jPWD t w w x t x t e d

ωττ τ τ τω τ∞

−

−∞

= + −∫ (2.32)

gdje je sa ( )w τ označena funkcija prozora. Bitno je napomenuti da širina prozora ne utiče

značajno na rezoluciju signala u vremensko-frekvencijskoj ravni.

Osobine Wigner-ove distribucije

Wigner-ova distribucija zadovoljava osobine 1-14, izuzev osobine 2, zbog čega

predstavlja najznačajniju kvadratnu vremensko-frekvencijsku distribuciju. Kako Wigner-

ova distribucija ne zadovoljava osobinu nenegativnosti, ne može se smatrati striktno

energetskom distribucijom.

Wigner-ova distribucija je invertibilna, što znači da je iz VF distribucije moguće

dobiti originalni oblik signala. Svojstvo invertibilnosti se zapisuje relacijom [15]:

2 *( , ) ( ) (0)2

j fttWD f e df x t x

π∞

−∞

=∫ . (2.33)

Lijeva strana relacije sadrži vremenski oblik signala i faktor *(0)x koji predstavlja

tačnost estimacije vremenskog oblika signala.

Wigner-ova distribucija u analizi multikomponentnih signala

Posmatrajmo multikomponentni signal ( )x t , sastavljen od dvije komponente i

definisan relacijom:

1 2

( )1 2

( ) ( )1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) , ( ) ( ) ,

j t

j t j t

x t x t x t a t e

x t a t e x t a t e

φ

φ φ

= + =

= = (2.34)

gdje su 1( )a t i 2 ( )a t trenutne amplitude, a 1( )tφ i 2 ( )tφ trenutne faze signala 1( )x t i 2 ( )x t .

Wigner-ova distribucija signala ( )x t proizvodi kros-član na aritmetičkoj sredini između

članova 1( )x t i 2 ( )x t , što se može napisati na sljedeći način [10]:


________________________________________________________________________ 27

1 2 1 2

*( , ) ( ) ( )2 2

( , ) ( , ) 2Re{ ( , )},

j

x x x x

WD t x t x t e d

WD t WD t WD t

ωττ τω τ

ω ω ω

∞−

−∞

= + − =

= + +

∫ (2.35)

gdje su sa

1( , )xWD t ω i 2 ( , )xWD t ω označene Wigner-ove distribucije auto-članova, dok

1 2( , )x xWD t ω predstavlja Wigner-ovu distribuciju kros-člana. Wigner-ova distribucija

kros-člana se definiše kao Fourier-ova transformacija kros-korelacione funkcije:

1 2

*1 2( , ) ( ) ( ) .2 2

jx xWD t x t x t e d

ωττ τω τ∞

−

−∞

= + −∫ (2.36)

Zbog navedenog nedostatka Wigner-ove distribucije, u slučaju multikomponentih signala

pogodno je koristiti distribucije koje redukuju ili eliminišu uticaj kros-članova [9]-[15].

Postoji veliki broj distribucija čiji je cilj redukcija, odnosno eliminacija kros-komponenti

iz vremensko-frekvencijske ravni. S-metod [91] u velikom broju slučajeva prevazilazi

nedostatke Wigner-ove distribucije, tj. redukuje ili potpuno eliminiše kros-članove. Osim

redukcije (eliminacije) kros-komponenti, S-metod se odlikuje dobrom koncentracijom

komponenti signala, kao kod Wigner-ove distribucije. Međutim, u slučajevima signala sa

jako bliskim komponentama, S-metod može da uzrokuje pojavu kros-člana. U tim

slučajevima, umjesto S-metoda, može se koristiti neka od pogodnih distribucija iz Cohen-

ove klase [13], [15]. Funkcija jezgra kod Cohen-ove klase distribucija, osim što utiče na

redukciju kros-komponenti u VF domenu, izaziva opadanje koncentracije komponenti

signala, pa je uvijek prisutan kompromis između očuvanja koncentracije signala i

redukcije kros-članova.

2.3.2 S-metod

U cilju prevazilaženja nedostataka STFT-a i Wigner-ove distribucije, uveden je S-

metod [91]-[95]. S-metod je definisan tako da poboljšava koncentraciju signala u odnosu

na SPEC ali i redukuje (odnosno potpuno eliminiše) prisustvo kros-članova koji se


________________________________________________________________________ 28

javljaju u Wigner-ovoj distribuciji multikomponentnih signala. S-metod redukuje

prisustvo kros-članova ukoliko se STFT pojedinačnih komponenti ne preklapaju u

vremensko-frekvencijskom domenu [93]. S-metod je opisan sljedećom relacijom:

*1

( , ) ( ) ( , ) ( , )2 2 2

SM t P STFT t STFT t dθ θ

ω θ ω ω θπ

∞

−∞

= + −∫ , (2.37)

gdje je ( )P θ funkcija prozora u frekvencijskom domenu [91], [95]. Za prozor ( ) 1P θ =

dobija se pseudo Wigner-ova distribucija, dok se za ( ) 2 ( )P θ πδ θ= dobija spektrogram.

U numeričkim realizacijama se koristi diskretna forma S-metoda, opisana relacijom [92]:

*( , ) ( ) ( , ) ( , ),d

d

L

i L

SM n k P i STFT n k i STFT n k i=−

= + −∑ (2.38)

gdje se sa dL označava širina prozora u frekvencijskom domenu [92], [94]. Širina

prozora ne bi trebalo da bude veća od polovine rastojanja između dva auto-člana. U

suprotnom, doći će do pojave kros-članova u S-metodu. Neke od aplikacija S-metoda

mogu se naći u [92]-[97].

Posmatran je signal sa brzo promjenljivom funkcijom faze. Na Slici 2.2 dati su

spektrogram, Wigner-ova distribucija i S-metod signala.

100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

Slika 2.2 Spektrogram, Wigner-ova distribucija i S-metod signala sa brzo promjenljivom faznom funkcijom

Kao što se vidi sa Slike 2.2, spektrogram ne daje zadovoljavajuću koncentraciju

trenutne frekvencije signala. Kod Wigner-ove distribucije javljaju se smetnje usljed

nestacionarnosti samog signala. S-metod posmatranog signala u potpunosti prati

promjene prvog izvoda faze signala i, od posmatrane tri distribucije, daje najbolju

koncentraciju u vremensko-frekvencijskoj ravni. Slika 2.3 prikazuje spektrogram,


________________________________________________________________________ 29

Wigner-ovu distribuciju i S-metod signala koga čine dvije komponente. Kod Wigner-ove

distribucije posmatranog signala primjetno je značajno poboljšanje koncentracije u

odnosu na spektrogram, ali se javlja kros-član između dvije komponente signala. S-metod

eliminiše neželjenu komponentu koja se javlja kod Wigner-ove distribucije, zadržavajući

dobru vremensko-frekvencijsku koncentraciju komponenti signala.

100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

Slika 2.3 Spektrogram, Wigner-ova distribucija i S-metod multikomponentnog signala

Iako S-metod ima prednosti u odnosu na spektrogram i Wigner-ovu distribuciju,

ova distribucija nije inverzna. Pomenuta osobina S-metoda može predstavljati problem u

slučajevima kada je potrebno dobiti vremenski oblik signala.

2.4. Cohen-ova klasa distribucija

Većina vremensko-frekvencijskih distribucija pripada Cohen-ovoj klasi

distribucija [98]-[103]. Wigner-ova distribucija i spektrogram predstavljaju specijalne

slučajeve distribucija iz Cohen-ove klase. Distribucije iz Cohen-ove klase su kvadratne

distribucije, bazirane na funkciji jezgra. Ove distribucije zadovoljavaju osobinu

vremenske i frekvencijske invarijantnosti. To znači da, ukoliko je signal pomjeren po

vremenu i modulisan, njegova vremensko-frekvencijska reprezentacija će biti translirana

u istom iznosu u vremensko-frekvencijskom domenu. Postoji veliki broj distribucija koje

pripadaju Cohen-ovoj klasi. Svaka od njih ima oblast primjene, u zavisnosti od osobina


________________________________________________________________________ 30

koje zadovoljava. Osobine koje zadovoljava distribucija zavise od osobina primijenjenog

jezgra, pa prema tome razlikujemo Choi-Williams-ovu, Zhao-Atlas-Marks-ovu, Born-

Jordan-ovu distribuciju i druge [9], [98] -[110].

Cohen-ova klasa distribucija u analizi multikomponentnih signala

U analizi multikomponentnih signala, različite kvadratne vremensko-

frekvencijske distribucije su u upotrebi. Wigner-ova distribucija daje idealno

koncentrisanu trenutnu frekvenciju kod linearno-frekvencijski modulisanih signala, dok

kod multikomponentnih i visoko nestacionarnih signala unosi smetnje. Choi-Williams i

Zhao-Atlas-Marks distribucija u određenoj mjeri redukuju kros-članove, ali njihova

primjena je ograničena na mali broj signala. Korišćenjem jezgra Gausovog tipa i

podešavanjem njegovih parametara, mogu se dobiti zadovoljavajući rezultati za različite

tipove signala. Naime, prilagođavanjem jezgra lokaciji auto-komponenti signala u

ambiguity domenu, moguće je u velikoj mjeri redukovati kros komponente a

istovremeno, sačuvati kvalitet komponenti signala. Parametre jezgara u Cohen-ovoj klasi

treba birati tako da omoguće značajnu ili potpunu redukciju kros-komponenti, uz

zadržavanje dobre koncentracije članova signala [110]. Distribucije zasnovane na funkciji

jezgra daju zadovoljavajuće rezultate u slučajevima multikomponentih signala jako

bliskih komponenti, kad niti spektrogram niti Wigner-ova distribucija ne mogu dati

efikasne rezultate. Kako se priroda multikomponentnih signala razlikuje od aplikacije do

aplikacije, razvijen je veliki broj VF distribucija, tj. postoji veliki broj funkcija jezgara

[102], [103]. Neke od njih će biti objašnjene u narednim poglavljima.

2.4.1 Ambiguity funkcija

Osnova za definisanje Cohen-ove klase je Wigner-ova distribucija. Kao osnova za

definisanje ove klase mogla je poslužiti bilo koja distribucija, koja zadovoljava

marginalna svojstva. Međutim, odabrana je Wigner-ova distribucija jer najbolje


________________________________________________________________________ 31

koncentriše energiju signala. Takođe, Wigner-ova distribucija koristi jedinično jezgro

koje je nezavisno od signala. Posmatrajmo dvodimenzionu transformaciju Wigner-ove

distribucije, poznatu kao ambiguity funkcija [1]:

2/2 1

*

/2

( , ) ( ) ( ) .N jmk

N

k N

A m n x k n x k n e

π− −

=−

= + −∑ (2.39)

U integralnom obliku, relacija (2.39) se može napisati kao [104]:

*( , ) ( ) ( ) .2 2

j tA x t x t e dt

θτ τθ τ∞

−

−∞

= + −∫ (2.40)

Ambiguity funkcija i Wigner-ova distribucija predstavljaju Fourier-ov transformacioni

par [2]:

( )( , ) ( , ) j tA WD t e dtdθ τωθ τ ω ω∞ ∞

− −

−∞ −∞

= ∫ ∫ . (2.41)

Na Slici 2.4 data je Wigner-ova distribucija i ambiguity funkcija dva različita signala.

Prvi signal je FHSS signal, sastavljen od tri komponente. Signal je definisan relacijom:

31 2 2 8.52 11.6 2 9.2( ) j tj t j tx t e e e ππ π − ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + + , (2.42)

gdje je N dužina signala, 1 1

1: :1128 128

t = − − , a 1 2 32 2

(1: ), ( : ), ( : )3 3 3 3

N N N Nt t t N∈ ∈ ∈ .

Drugi signal je sastavljen od dvije komponente i definisan je kao:

2 22 12 ( 1)( ) 6 8 , 1:1/128:1 1/128j t j tx t e e tπ π −= + = − − . (2.43)


________________________________________________________________________ 32

WD

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250 t

ω

τ

θAmbiguity funkcija

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

a) b)

WD

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250 t

ω Ambiguity funkcija

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

τ

θ

c) d)

Slika 2.4 Wigner-ova distribucija i ambiguity funkcija: a) i b) FHSS signala definisanog relacijom (2.42); c) i d) signala definisanog relacijom (2.43)

Kod oba posmatrana signala, kros-članovi su dislocirani od koordinatnog početka, dok se

auto-članovi nalaze u blizini koordinatnih osa i koordinatnog početka. Maksimalna

vrijednost auto-članova u ambiguity domenu je u koordinatnom početku, i ta vrijednost je

jednaka energiji signala.

Ambiguity funkcija se može definisati i u frekvencijskom domenu, na sljedeći

način:

1

( , ) ( ) *( ) .2 2 2

jA X X e d

ωτθ θθ τ ω ω ωπ

∞

−∞

= + −∫ (2.44)

Važno je napomenuti da filtriranje signala u ambiguity domenu rezultira redukcijom

kros-članova, ali i smanjenjem rezolucije auto-članova u VF domenu, tako da uvijek


________________________________________________________________________ 33

postoji kompromis između redukcije kros-članova i očuvanja rezolucije komponente

signala.

2.4.2 Definicija Cohen-ove klase distribucija

Distribucije iz Cohen-ove klase mogu se definisati na sljedeći način [17], [105]:

1

( , ) ( , ) ( , )2

j t jC t l A e d d

θ ωτω θ τ θ τ θ τπ

∞ ∞− −

−∞ −∞

= ∫ ∫ , (2.45)

gdje ( , )l m n i ( , )l θ τ označavaju dvodimenzione funkcije jezgra, dok je sa ( , )A m n i

( , )A θ τ označena ambiguity funkcija. Diskretna forma distribucija iz Cohen-ove klase

definiše se kao:

2 2/2 1 /2 1

/2 /2

( , ) ( , ) ( , ) ,N N j mk j n

N N

n N m N

C k l m n A m n e

π πψ

ψ− − − −

=− =−

= ∑ ∑ (2.46)

Cohen-ova klasa predstavlja inverznu dvodimenzionu Fourier-ovu transformaciju

funkcije jezgra ( , )l θ τ i ambiguity funkcije ( , )A θ τ . Dvodimenziona Fourier-ova

transformacija funkcije jezgra je definisana na sljedeći način:

1

( , ) ( , ) .2

j t jL t l e d d

θ ωτω θ τ τ θπ

∞ ∞− −

−∞ −∞

= ∫ ∫ (2.47)

Na osnovu osobine dvodimenzione Fourier-ove transformacije, važi da, ukoliko funkcije

1( , )x t ω i 1( , )X θ τ i 2 ( , )x t ω i 2 ( , )X θ τ predstavljaju 2D FT parove, onda je [2]:

2

1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )D FT

X X x t x d dθ τ θ τ η ω ε η ε η ε∞ ∞

−∞ −∞

→ − −∫ ∫ . (2.48)

Ukoliko se uzme da je 1( , ) ( , )x t L tω ω= i 2 ( , ) ( , )x t WD tω ω= , i uvrsti u relaciju (2.45),

dobija se:

1

( , ) ( , ) ( , )2

C t L t WD d dω η ω ε η ε η επ

∞ ∞

−∞ −∞

= − −∫ ∫ . (2.49)


________________________________________________________________________ 34

Prethodna relacija pokazuje da se sve distribucije iz Cohen-ove klase mogu posmatrati

kao 2D filtrirane verzije Wigner-ove distribucije, funkcijom jezgra čija je 2D FT

označena sa ( , )L t ω .

Poželjna osobina distribucija iz Cohen-ove klase je da zadovoljavaju marginalne

uslove [106]. U tom cilju, funkcija jezgra mora da zadovoljava sljedeće uslove:

( ,0) 1l θ = i (0, ) 1l τ = . Wigner-ova distribucija predstavlja specijalan slučaj distribucije

iz Cohen-ove klase, za funkciju jezgra ( , ) 1l θ τ = .

TABELA 1: NEKE OD DISTRIBUCIJA IZ COHEN-OVE KLASE I NJIMA ODGOVARAJUĆE FUNKCIJE JEZGRA

Distribucija Jezgro ( , )l θ τ Wigner-Ville 1

Margenau-Hill cos( / 2)θτ

Kirkwood-Rihaczek /2je θτ

Sinc sin a

a

θτ

θτ

Zhao-Atlas-Marks sin( / 2)

( )/ 2

wθτ

τ τθτ

Born-Jordan sin( / 2)

/ 2

θτ

θτ

Choi-Williams 2 2 2/e θ τ σ−

Gaussian 2 2 2 21 2( /2 /2 )e θ σ τ σ− +

Kao što je prethodno rečeno, svi članovi signala u ambiguity domenu su raspoređeni oko

koordinatnih osa i koordinatnog početka, dok su kros-članovi dislocirani od osa. Izborom

odgovarajuće funkcije jezgra, koja se ponaša kao 2D niskopropusni filtar [107]-[109], i

podešavanjem parametara ove funkcije, moguća je redukcija ili kompletna eliminacija

kros-članova. Postoji veliki broj funkcija jezgra, pogodan za filtriranje različitih tipova

signala.


________________________________________________________________________ 35

TABELA 2: POŽELJNE OSOBINE VF DISTRIBUCIJA IZ COHEN-OVE KLASE I USLOVI KOJE FUNKCIJE JEZGRA TREBA DA ZADOVOLJAVAJU

Osobina Ograničenje funkcije jezgra

Realnost *( , ) ( , )l lθ τ θ τ= − −

Vremensko pomijeranje Uvijek je zadovoljeno Frekvencijsko pomijeranje Uvijek je zadovoljeno

Marginalno svojstvo po vremenu (0, ) 1l τ =

Marginalno svojstvo po frekvenciji ( ,0) 1l θ =

Vremenski momenti 2

( , ) ( )n n

t f t

t TFD t f dtdf t x t dt=∫ ∫ ∫

Frekvencijski momenti 2

( , ) ( )n n

t f f

f TFD t f dtdf f X f df=∫ ∫ ∫

Vremensko-frekvencijsko skaliranje ( , ) ( , )l a la

τθ θ τ= , za 0a ≠

Trenutna frekvencija (0, ) 1l τ = i 0( ( , ))

0l

θ

θ τ

θ =∂

=∂

Grupno kašnjenje ( ,0) 1l θ = i 0( ( , ))

0l

τ

θ τ

τ =∂

=∂

Vremensko ograničenje ( , ) 0xTFD t f = za t van 1 2[ , ]t t ako je

( ) 0x t = van 1 2[ , ]t t

Frekvencijsko ograničenje ( , ) 0xTFD t f = za f van 1 2[ , ]f f ako

je ( ) 0X f = van 1 2[ , ]f f

Moyal-ova formula (unitarnost) ( , ) 1l θ τ =

Konvolucija 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )l l lθ θ τ θ τ θ τ+ =

Množenje 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )l l lθ τ τ θ τ θ τ+ =

Fourier-ova transformacija ( , ) ( , )l a la

τθ θ τ− = , za 0a ≠

Čirp konvolucija ( , ) ( , )l la

τθ τ θ τ− = , za 0a ≠

Čirp multiplikacija ( , ) ( , )l a lθ τ θ θ τ− = , za 0a ≠

Međutim, prilikom izbora funkcije jezgra, osim filtriranja kros-članova mora se voditi

računa i o koncentraciji komponenti signala. Naime, jezgro u većini slučajeva pogoršava

koncentraciju u VF domenu, pa postoji kompromis između redukcije kros-komponenti i

očuvanja dobre koncentracije komponenti signala. Treba napomenuti da sva jezgra imaju

jedan ili više parametara koji se mogu podešavati, i omogućiti veću ili manju redukciju


________________________________________________________________________ 36

kros-članova, a istovremeno, uticati na koncentraciju signala u VF ravni. Cohen-ova

klasa distribucija se može definisati i na sljedeći način:

* ( )1

( , ) ( , ) ( ) ( ) .2 2 2

j u tC t l x u x u e dud d

θ θ τωτ τω θ τ τ θπ

∞ ∞ ∞− −

−∞ −∞ −∞

= + −∫ ∫ ∫ (2.50)

U Tabeli 2 nabrojane su neke od poželjnih osobina koje bi distribucije iz Cohen-ove klase

trebalo da zadovoljavaju [111]. Neke od često korišćenih distribucija iz Cohen-ove klase

opisane su u nastavku.

Choi-Williams distribucija

Filtriranjem ambiguity funkcije eksponencijalnim jezgrom oblika 2 2 2/

eθ τ σ− ,

dobija se Choi-Williams distribucija. Ova distribucija se još naziva i eksponencijalnom

distribucijom [109]. Parametar σ kontroliše širinu jezgra. Promjenom parametra σ utiče

se na redukciju kros-članova, ali i na rezoluciju auto-članova signala. Za male vrijednosti

ovog parametra, pad jezgra je strmiji i jezgro je uže (Slika 2.5). Kako povećavamo

vrijednosti parametra σ , jezgro je šire i uzima veći broj članova iz ambiguity domena, pa

se približava Wigner-ovoj distribuciji.

Slika 2.5 Izgled Choi-Williams-ovog jezgra, za različite vrijednosti parametra σ : a) 0.01σ = , b) 1σ = , c) 100σ =

Na Slici 2.5 dat je izgled jezgra Choi-Williams-ovog tipa, za različite vrijednosti

parametra σ . Choi i Williams su predložili optimalni opseg vrijednosti za parametar σ :

od 0.1 do 10. Jezgro Choi-Williams-ovog tipa propušta članove oko koordinatnog

početka, ali i članove koje se nalaze uz koordinatne ose, pa nije pogodno za signale kod

kojih su kros-članovi locirani blizu koordinatnih osa u ambiguity domenu.


________________________________________________________________________ 37

Ukoliko se kros-članovi nalaze duž dijagonala u ambiguity domenu, a auto-

članovi su skoncentrisani oko koordinatnog početka, Choi-Williams distribucija za malu

vrijednost parametra σ može potpuno da eliminiše kros-članove. Distribucije zasnovane

na jezgrima eksponencijalnog oblika, kao što je Choi-Williams-ova distribucija,

zadržavaju većinu osobina poželjnih za energetske vremensko-frekvencijske distribucije.

Međutim, eksponencijalne distribucije ne zadovoljavaju osobinu konačnog vremenskog i

frekvencijskog trajanja, i ne garantuju pozitivnu distribuciju [109].

Distribucija zasnovana na Gauss-ovom jezgru Gauss-ovo jezgro definisano je relacijom:

2 2 2 2

1 2( /2 /2 )( , )l e θ σ τ σθ τ − += . (2.51) Podešavanje parametara 1σ i 2σ jezgra utiče se na rasipanje VF distribucije po vremenu

i po frekvenciji. Gauss-ova jezgra se mogu koristiti za redukciju kros-članova u Wigner-

ovoj distribuciji i obezbjeđuju pozitivnu distribuciju.

Slika 2.6 Izgled Gauss-ovog jezgra, za različite vrijednosti parametra σ : a) 20σ = ,

b) 60σ = , c) 120σ = . Uzeto je da je 1 2σ σ σ= = Gauss-ovo jezgro je korišćeno u analizi stop i nazalnih suglasnika [109]. Koristi se u

analizi govornih signala, jer omogućava frekvencijsku rezoluciju kao kod spektrograma

sa uskim prozorom, a vremensku rezoluciju kao kod spektrograma sa širokim prozorom

[109]. Na Slici 2.6 dati su izgledi Gauss-ovog jezgra za različite vrijednosti parametara

1σ i 2σ . Uzeto je 1 2σ σ σ= = .


________________________________________________________________________ 38

Distribucija zasnovana na Zhao-Atlas-Marks-ovom jezgru Zhao-Atlas-Marks jezgro def

Documents

DEKOMPOZICIJA I REKONSTRUKCIJA …Dekompozicija je bazirana na kombinaciji distribucija iz Cohen-ove klase i koncepta sopstvenih, odnosno singularnih vektora. Ukoliko je u signalu