Upload
daniela-dinculescu
View
757
Download
15
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Teorema lui Pitagora- demonstratii
Citation preview
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 1/17
Cine a fost Pitagora?
â˘Pitagora ( 580 ĂŽ.Hr. - 500 ĂŽ.Hr.) a fost un filozof Ĺi matematician grec, originar din insula Samos,
ĂŽntemeietorul pitagorismului, care punea la baza ĂŽntregii realitÄĹŁi teoria numerelor Ĺi a armoniei. A fost Ĺi
conducÄtorul partidului aristocratic din Crotone (sudul Italiei). Scrierile sale nu s-au pÄstrat. TradiĹŁia ĂŽiatribuie descoperirea teoremei geometrice Ĺi a tablei de ĂŽnmulĹŁire, care ĂŽi poartÄ numele. Ideile Ĺi descoperirile luinu pot fi deosebite cu certitudine de cele ale discipolilor apropiaĹŁi.â˘Pitagora era ionian, originar din insula Samos, dar a emigrat la Crotone, ĂŽn Italia de sud, unde a ĂŽntemeiat
Ĺcoala ce-i poartÄ numele, cea dintĂŽi ĹcoalÄ italicÄ a Greciei antice
â˘Pitagora a fost un mare educator Ĺi ĂŽnvÄĹŁÄtor al spiritului grecesc Ĺi se spune cÄ a fost Ĺi un atlet puternic,aĹa cum stÄtea bine atunci poeĹŁilor, filosofilor (de exemplu, Platon ĂŽnsuĹi) Ĺi comandanĹŁilor militari etc.
â˘Pitagora pare sÄ nu fi scris nimic. Doctrina filosoficÄ a pitagorismului ne este totuĹi destul de bine cunoscutÄdin lucrÄrile lui Aristotel Ĺi Sextus Empiricus, precum Ĺi din lucrÄri ale pitagoricienilor de mai tĂŽrziu. TotuĹi, nuse poate stabili cu precizie ce aparĹŁine lui Pitagora Ĺi ce au adÄugat pitagoricienii ulteriori. Celebrele texte"pitagoriciene" Versurile de aur ale lui Pitagora Ĺi Legile morale Ĺi politice ale lui Pitagora , existente Ĺi ĂŽntraduceri româneĹti, aparĹŁin unei epoci ulterioare.
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 2/17
TEOREMA LUI PITAGORA
INTR-UN TRIUNGHI DREPTUNGHIC,PATRATUL LUNGIMII IPOTENUZEI, ESTE
EGAL CU SUMA PATRATELOR
LUNGIMILOR CATETELOR.
BC =AB +AC
A B
C
2 2 2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 3/17
Demonstrat i i ale teoremei lui PYtago ras
Teorema lui Pitagora este numita astfel pentru ca descoperireaei se bazeaza pe scoala lui Pitagora. Mai devreme in Mesopotamiasi Egiptul antic, erau cunoscute triplete de valori care corespundlungimilor laturilor unui triunghi dreptunghic si folosite pentrurezolvarea problemelor ce contin astfel de triunghiuri, dar nu au fost
trecute in nici-un papirus,care sa stabileasca aceasta relatie. Astfel piramida Khafre, datand din secolul XXVI i.C.,a fost primamare piramida care a fost construita pe baza numerelor triunghiuluisacru 3,4 si 5, considerat de egipteni.
Teorema lui Pitagora are cele mai multe demonstratii,diferite
folosind metode. Dupa unii autori sunt 367 de demonstratii, iar dupaaltii, in jur de 1000 de demonstratii.
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 4/17
1)Demostratia teoremei, facuta de Pitagora (se
banuieste).
AB =BK⢠BC=A
⢠AC =CK⢠BC=A⢠A = BC =BC(BK+CK)=
⢠=BC⢠BK+BC⢠CK=
⢠=AB +AC
⢠DECI : BC =AB +AC
ABGF
ACIH
BCED
2
2
2 2
2 2 2
2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 5/17
2) Demonstrat ia lui Chou Pei
(500-200 i.C.)
Este vizuala si se bazeaza petriunghiul cu catetele de 3 si4 si
ipotenuza de 5.
Conform figurii,cele 8 triunghiuri cu aria
de 6,impreuna cu patratul
mic, formeaza patratul
mare cu aria de 49.
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 6/17
3) Demonstratia lui Platon
Se refera numai la triunghiul dreptunghic isoscel.
Astfel in fig.2, patratul de latura AB, are aria jumatate
din aria patratului mare , iar cele patru triunghiuri ce sunt
in plus au aria egala cu suma ariilor patratelor celor douacatete, conform fig. 3,unde,
patratul fiecarei catete
este echivalent cu patratul
din fig. 1 fig.1
fig.2
fig.3
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 7/17
4. DemonstraĹŁ ie datÄ de Euclid in ELEMENTE
A
BC
DE
I
H
G
F
M
N
ariaABE=1/2â˘BEâ˘BN=1/2ariaBEMN
V.P.
ariaBCI=1/2â˘BIâ˘AB=1/2aria AHIB
Dar,ÎABEâĄÎBCI(LUL) =>aria BEMN = aria AHIB (1)
ariaACD=1/2CDâ˘CN=1/2ariaCDMN
ariaBCF=1/2CFâ˘CA=1/2ariaCFGA
Dar, ÎACDâĄÎBCF (LUL)=>
aria CDMN = aria CFGA (2)
Adumand relelatiile 1 si 2 obtinem:
Aria(BEMN+CDMN)=aria(AHIB+CFGA)
Deci aria BCDE=aria (AHIB+CFGA)
adica BC² = AB² + AC².
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 8/17
5) Demonstratia lui Abraham
Garfield(fost presedinte SUA)
⢠A =(a+b)(a+b)/2
⢠=(a +b +2ab)/2⢠=(a +b )/2+ab
⢠A =2ab/2+c /2
⢠=c /2+ab⢠DECI: c =a +b
TRAPEZ
TRAPEZ
2 2
2 2
2
2
2 2 2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 9/17
6)DEMONSTRATIE VIZUALA
⢠Suprafetele ambelor patrate mari sunt egale cu(a+b). Patratul din stanga
este descompus in patratele de laturi a si respectiv b, si doua dreptunghiuri
congruente , de dimensiuni a si b si diagonala âcâ. ⢠Asezand in patratul din dreapta cele patru triunghiuri dreptunghice
⢠congruiente,obtinem patratul de latura âcâ,a carui arie trebuie sa fie egala cuariile celor doua patrate de laturi a si respectiv b din stanga.
⢠Deci: a + b = c
.
2
2 2 2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 10/17
7) DEMONSTRATIE VIZUALA
a+b+ab=c+2ab/2
SCAZAND ab DIN
AMBII MEMBRIIOBTINEM :
a +b =c
Sau, prin mutarea triunghiurilor congruente⢠1,2 si3 se acopera patratele de laturi a si
b, deci c =a +b
ab
c
a
b
a+b
a+b1
1
2
2
3
3
2 2 2
2 2 2
c
2 2 2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 11/17
8)DEMONSTRATIE VIZUALA
⢠PRIN DESCOMPUNE-
REA
CELOR 3 PATRATE
SE OBSERVA
EGALITATEA
c = a + b
2
2
2
2
2
c
a b
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
2 2 2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 12/17
9)Dem. lui Leonardo da Vinci
1
1
2
2
a bc
a2
b2
c22
ab
c2
22
x
x
y
y
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 13/17
Motivarea demonstratiei
⢠In figura din stanga diagonalele celor doua patratesunt pe aceeasi dreapta si impart hexagonul in doua
figuri echivalente.
⢠Rotind cu 90 figura maro,obtinem portiunea maro
din figura din dreapta.⢠Urmeaza sa observam congruienta triunghiurilor âxâ si atriunghiurilor âyâ,conform(ULU) iar la sfarsit a trapezelor dreptunghice 1 si 2.
⢠Comparand cele doua figuri constatam ca eliminandcele doua triunghiuridreptunghice congruiente , de catete
a si b, obtinem egalitatea:
â˘
⢠a + b = c
0
2 2 2
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 14/17
8)DEMONSTRATIE VIZUALA SI ALGEBRICA
⢠In fig. 1) avem :⢠c =4ab/2+(b-a)
⢠c =2ab +a +b -2ab 1)
⢠c =a +b⢠In fig. 2) avem :
⢠(a+b) =4ab/2 +c
⢠a+b +2ab= 2ab+c 2)
⢠a+b = c
22
2
2 22
2
2
2
2
2
2
2 22
ba
c
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 15/17
9) DemonstraĹŁ ie folosind rotaĹŁ ia a 2 triunghiuri
A
E
H
GF
DI
B
C
K1
2
2â
1â BCDI patrat in care CE
â´ ABsi DE
â´ CEapoi ducem DE â´ CG; DFâCG si KFâ AB
Din constructii Î1 âĄÎ1â [(IU),<ABCâĄ<KBI,BIâĄBC] si Î2 âĄÎ2â [(IU), <CDEâĄ<FDI,DIâĄDC]
Î1 se va suprapune peste Î1â dupa o rotatie de90Âş in jurul punctului B,iar Î2 se va suprapune
peste Î2â dupa o rotatie de 90Âş in jurul punctului D
In acest mod, patratul BCDI construit pe ipotenuza BC,
a fost acoperit de patratele ABKG construit pe cateta AB si
DFEG construit pe latura DE egala cu cateta AC
Deci, BC² = AC² + AB².
V.P.
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 16/17
10. DemonstraĹŁ ie lui Bhaskara Aciarya (1114- 1178)
b²
c²
A B
CDb c
b
c
c b
c
bcb
c
b
bc
bc
a
b
c
2
bc/2
bc/2
bc
2
bc2
Primul patrat ABCD se descompune in 2 dreptunghiuri
egale de arie bc si 2 patrate de arii b² si c².
Al doilea patrat AâBâCâDâ egal cu patratul ABCD sedescompune in 4 triunghiuri dreptunghice de arie bc/2 , si
un patrat de arie a² construit pe ipotenuza triunghiului
dreptunghic de catete b si c.
Cum patratul AâBâCâDâ egal cu patratul ABCD, fiind de latura b + c, au ariile egale.
Aria ABCD = Aria AâBâCâDâ, dezvoltand:
b² + c² + 2bc = a² + 4 bc2
Deci , b ² + c ² = a ² .
V.A.
7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora
http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 17/17
,,ĂnvÄţând matematicÄ,
ĂŽnveĹŁi sÄ gândeĹtiââ.
citat din Grigore Moisil
,,Geometria este cea mai bunÄ Ĺi mai simplÄ
dintre toate logicile, cea mai potrivitÄ sÄ deainflexibilitate judecÄĹŁii Ĺi raĹŁiunii.ââ
definiĹŁie de Denis Diderot