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7/24/2019 Demostracion Divergencia
http://slidepdf.com/reader/full/demostracion-divergencia 1/14
Expresión de la divergencia de un campo vectorial(y en general tensorial)
La divergencia de un campo vectorial v=v x i y j z k
Es el límite del flujo del campo vectorial a través de una superficie cerrada s que guarda unvolumen u:
div v= lim u0
s0
∫ v d s
u
Recuérdese que la integral es una suma de infinitos sumandos, o una suma de de finitossumandos pero de valores infinitesimales.
¿Cómo es la epresión para la superficie que encierra este cu!o"
#
#$
#%
7/24/2019 Demostracion Divergencia
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#
&#
'
(
)
*p
p
∆
x
2i
y z i
− x
2i
− y z i++
*p
*p
∆%
∆$
Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)
-upongamos que conocemos el valor de lafunción en el punto p % los valores de susderivadas parciales. -e puede encontrar elvalor aproimado del vector en los puntos p% p % por tanto el flujo en las caras #
% su
opuesta &#.
∇ v= v x
x
v x
y
v x
z
v y
x
v y
y
v y
z
v z
x
v z
y
v z
z
d r ' =
x
2
0
0 d r ' ' =
− x
2
0
0
d s ' x= x z
0
0 d s ' ' x=− x z
0
0 v p ' = ∇ v d r ' v p=
v xp
v yp
v zp
v x
x
x
2
v y
x
x
2
v z
x
x
2
v p ' ' = ∇ v d r ' ' v p=
v xp
v yp
v zp−
v x
x
x
2
v y
x
x
2
v z
x
x
2
7/24/2019 Demostracion Divergencia
http://slidepdf.com/reader/full/demostracion-divergencia 3/14
Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)
' x= ∇ v d r ' v p d s ' x=v xp
v yp
v zp
v x
x
x
2
v y
x
x
2
v z
x
x
2
y z
0
0
=v xp y z
v x
x
x
2 y z
' ' x= ∇ v d r ' ' v p d s ' ' x=v xp
v yp
v zp−
v x
x
x
2 v y
x
x
2
v z
x
x
2
− y z
0
0 =−v xp y z v x
x
x
2 y z
7/24/2019 Demostracion Divergencia
http://slidepdf.com/reader/full/demostracion-divergencia 4/14
Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)
' x=v xp y zv x
x
x
2 y z
' ' x=−v
xp y z
v x
x
x
2
y z
-umando los flujos de las dos caras, el flujo en ellas es:
' ' x ' ' x= v x
x x y z
#
&#
'
(
)
*p
p
∆
x
2
i
y z i
− x
2
i
− y z i++
*p
*p
∆%
∆$
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#)
'
(
)
*p
p
∆
z
2k
x y k
− z
2k
− x y k
+
+
*p
*p
∆%
∆$
Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)
lujo en las caras paralelas al plano $/0
∇ v=v x
x
v x
y
v x
z
v y
x
v y
y
v y
zv z
x
v z
y
v z
z
d r ' =
0
0
z
2
dr ' ' =
0
0
− z
2
d s ' z= 0
0
x y d s ' ' z= 0
0
− x y
v p ' = ∇ v d r ' v p=v xp
v yp
v zp
v x
z
z
2
v y
z
z
2
v z
z z2
v p ' ' = ∇ v d r ' ' v p=v xp
v yp
v zp−
v x
z
z
2
v y
z
z
2
v z
z z2
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Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)
lujo en las caras paralelas al plano $/0
' z= ∇ v d r ' v p d s ' z=v xp
v yp
v zp
v x
z
z
2
v y
z
z
2
v z
z
z
2
0
0
x y
=v zp x y
v z
z
z
2 x y
' ' z= ∇ v d r ' ' v p d s ' ' z=v xp
v yp
v zp− v x
z
z
2
v y
z
z
2
v z
z
z
2
00
− x y=−v zp x yv z
z z
2 x y
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#)
'
(
)
*p
p
∆
z
2k
x y k
− z
2k
− x y k
+
+
*p
*p
∆%
∆$
Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)
lujo en las caras paralelas al plano $/0
' z=v zp x y v z
z
z
2 x y
' ' z=−v zp x y v z
z
z
2 x y
' ' z ' ' z=
v z
z x y z
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#$
#$
'
(
)
*p
p
∆
y
2
j− y
2
j
− x z j
+
+
*p
*p
∆%
∆$
x z j
Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)
lujo en las caras paralelas al plano %/0
∇ v=v x
x
v x
y
v x
z
v y
x
v y
y
v y
z
v z
xv z
yv z
z
d r ' =
0
y
2
0dr ' ' =
0
− z
2
0
d s ' z= 0
x z
0 d s ' ' z=
0
− x z
0
v p ' = ∇ v d r ' v p=v xp
v yp
v zp
v x
y y2
v y
y
y
2
v z
y
y
2
v p ' ' = ∇ v d r ' ' v p=v xp
v yp
v zp−
v x
y y2
v y
y
y
2
v z
y
y
2
7/24/2019 Demostracion Divergencia
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Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)
lujo en las caras paralelas al plano %/0
' y= ∇ v d r ' v p d s ' y=v xp
v yp
v zp v x
y
y
2
v y
y y2
v z
y
y
2
0
x z
0 =v zp x z v z
y y2 x z
' ' y= ∇ v d r ' ' v p d s ' ' y=v xp
v yp
v zp−
v x
y y2
v y
y
y
2
v z
y
y
2
0
− x z
0 =−v zp x z
v z
y
y
2 x z
7/24/2019 Demostracion Divergencia
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Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)
lujo en las caras paralelas al plano %/0
' y=v zp x zv z
y
y
2 x z
' ' y=−v zp x zv z
y
y
2
x z
#$
#$
'
(
)
*p
p
∆
y
2
j− y
2
j
− x z j
+
+
*p
*p
∆%
∆$
x z j
' ' y ' ' y=
v y
y x y z
7/24/2019 Demostracion Divergencia
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#&#
#$
&#$
#%
&#%
'
(
)
= ' ' x ' ' x ' ' y ' ' y ' ' z ' ' z=
v x
x v y
y v z
z
x y z
' ' z ' ' z=v z
z x y z
' ' y ' ' y=v
y
y x y z
' ' x ' ' x= v x
x x y z
7/24/2019 Demostracion Divergencia
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= ' ' x ' ' x ' ' y ' ' y ' ' z ' ' z= v x
x v y
y v z
z x y z
#&#
#$
&#$
#%
&#%
'
(
)
#
#$
#%
div v= lim u0
s0
∫ v d s
u = lim
u0
s0
u
= lim u0
s0
x y z
div v= lim u0
s0
v x
xv y
yv z
z x y z
x y z =
v x
x v y
y v z
z
7/24/2019 Demostracion Divergencia
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div v=
v x
x
v y
v z
z
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divv=
v x
x
v y
y
v z
z
teorema de la divergencia o teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky
div v= lim
u0
s0
∫ v d s
u ⇒ div vu= lim
u 0
s0
∫ v d s
u u⇒
div vu= lims0
∫ v d s=d⇒
∫ div v d u=∫ lims0∫ v d s=∫ v d s
∫ div v d u=∫vn d s
∰div v d u=∯ vn d s=
1ultiplicando por el delta de volumen
2onde: n⊥ds