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Dentro de los DBA que podemos relacionar con pensamiento variacional y
procesos de generalización encontramos:
Anexo No. 3 : GUÍA DE OBSERVACIÓN A DOCENTES
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRAFACULTAD DE CIENCIAS BÁSICASMAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
GUÍA No. 1 DOCENTES DE MATEMÁTICASAsignaturas que enseña actualmente:
_____________________________________
En esta guía de observación no es necesario poner su nombre, ya que lainformación obtenida será analizada con criterios estrictamente académicos con elpropósito de encontrar factores que permitan mejorar los procesos de enseñanzay aprendizaje en la clase de aritmética y/o álgebra.
Objetivo: Identificar a través de la entrevista los elementos básicos que conocen yutilizan los profesores referente al Conocimiento Didáctico del Contenido (CDC), laenseñanza de los procesos de generalización en el marco del pensamientovariacional y sus prácticas de aula .
Pregunta
No.
Código Texto Categoría
1 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿Piensa Ud. que su formación
profesional le ha brindado los elementos
necesarios y suficientes para tener el
dominio y uso del conocimiento de los
contenidos de su área a enseñar?
CDC
2 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿Conoce Ud. la relación entre
el conocimiento del contenido por
enseñar y el conocimiento del proceso
de aprendizaje del estudiante?
CDC
3 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿Posee Ud. conocimiento de
la didáctica específica que se requiere
para brindar la instrucción de las
temáticas que aborda?
CDC
4 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿Adopta Ud. estrategias
didácticas transformadoras en su
PA
práctica habitual o solo sigue un texto
guía como ayuda didáctica?5 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿utiliza Ud. un referente o
enfoque pedagógico en la enseñanza
de los procesos de generalización
cuando ha orientado la clase de
álgebra?
PG
6 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿Tiene Ud. en cuenta el
contexto donde se desenvuelven y
desarrollan los procesos de aprendizaje
de sus estudiantes?
CDC
7 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿identifica Ud. los EBC y los
DBA de matemáticas que propone el
MEN.. reconoce la manera de
integrarlos a su plan de estudios?
EBC/DBA
.
8 D1/ D2/ D3 Profesor:¿Es lo suficientemente claro
para que los estudiantes adviertan “qué”
tienen que hacer, por qué es importante
que lo hagan y que están en
condiciones de hacerlo?
PA/SD
9 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿Sabe Ud. lo que es una
secuencia didáctica y reconoce sus
componentes?
PA/SD
Categorías:
CDC: Conocimiento Didáctico del Contenido
PG: Procesos de generalización
PV: Pensamiento variacional
PA: Prácticas de aula.
EBC: Estándares Básicos de Competencias
DBA: Derechos Básicos de Aprendizaje
SD: Secuencia Didáctica
Anexo: GUÍA DE OBSERVACIÓN A DOCENTES
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRAFACULTAD DE CIENCIAS BÁSICASMAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
GUÍA No. 2 DOCENTES DE MATEMÁTICASAsignaturas que enseña actualmente:_____________________________________
Pregunta
No.
Código Texto Categoría
1 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿De ser posible incluiría en
sus prácticas pedagógicas los
procesos de generalización,
pensamiento variacional y sistemas
algebraicos desde los EBC y DBA
propuestos por el MEN?
PG/EBC/DBA
2 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿A partir del concepto deCDC y S.D modificaría Ud. la maneracómo ha ido mostrando a susestudiantes los contenidosa enseñar?
CDC/SD
3 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿Ha considerado Ud. dequé modo podría incentivar a losestudiantes al inicio de sus clases?
PA/SD
4 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿Ha pensado Ud. a través
de qué estrategias se podrían
indagar los saberes previos de los
estudiantes?
PA/SD
5 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿Creería Ud. que el
planteamiento de una situación
problema brindaría elementos para
provocar una motivación inicial en
PA/SD /PG
sus estudiantes?6 D1/ D2/ D3 Profesor: ¿Desde la perspectiva de
una S.D ha considerado Ud. cómo
provocar en los estudiantes un
desafío intelectual?
SD
7 D1/ D2/ D3 Profesor: La planeación en el
desarrollo de las prácticas de aula es
muy importante. ¿Tiene Ud. varias
alternativas para dar a conocer a los
estudiantes los objetivos que deben
alcanzar?
PA/SD
.
8 D1/ D2/ D3 Profesor: Estaría dispuesto a
replantear su ejercicio docente
adoptando estrategias de enseñanza
innovadoras en el aula, que redunden
en el aprendizaje de sus estudiantes.
¿Ha pensado Ud. alguna manera de
cómo podría hacerlo?
CDC/PG/PV/
PA/SD/EBC/
DBA
Categorías:
CDC: Conocimiento didáctico del contenido
PG: Procesos de generalización
PV: Pensamiento Variacional
PA: Practicas de Aula
EBC: Estándares Básicos de Competencias
DBA: Derechos Básicos de Aprendizaje
SD: Secuencia Didáctica
VISIÓN ESQUEMÁTICA DEL PROCESO DE INVESTIGACIÓN.
Anexo No. 5
SECUENCIA DIDÁCTICA (Construyendo Procesos de Generalización)
I. SECUENCIA DIDÁCTICA. (Definición S.D)
II. VISIÓN GENERAL.
1. Objetivo de la secuencia 2. Competencias del área 3. Competencia comunicativa 4. Intencionalidad pedagógica 5. Nivel de complejidad 6. Momento de evaluación 7. Desempeños esperados 8. Ruta de aprendizaje 9. Ideas clave 10. Actividad diagnóstico y procesos de la S.D
III. PRIMERA SESIÓN.
1. Inicio 2. Desarrollo 3. Cierre
IV. SEGUNDA SESIÓN.
1. Inicio 2. Desarrollo 3. Cierre
V. REFERENCIAS.
I. SECUENCIA DIDÁCTICA
CONSTRUYENDO PROCESOS DE GENERALIZACIÓN
Propuesta didáctica para la enseñanza de procesos de generalización.
¿Qué es una SECUENCIA DIDÁCTICA?
Las secuencias didácticas son actividades y posibles modelos que se propone a los docentes con la finalidad de explorar nuevas formas de enseñar las matemáticas, un sistema de elementos interconectados que dan dirección a los procesos de enseñanza/aprendizaje.
Un cúmulo de acciones a partir de las cuales el docente traza el quehacer pedagógico que deberá recorrer en conjunto con sus estudiantes para construir conocimientos, es decir, un punto de conexión donde intervienen en primera instancia procesos de organización, jerarquización y secuenciación de contenidos; con el propósito de generar una variedad de experiencias de enseñanza/aprendizaje que faciliten a los estudiantes transponer eficazmente sus conocimientos en diferentes niveles de complejidad.
¿Qué duración debe tener una SD?
La duración de una SD depende en gran manera de la complejidad del contenido a enseñar y de las actividades allí propuestas.
¿Cuáles son los momentos a incluir en la planificación de una SD?
El diseño de una SD debe contemplar diferentes fases, cada una de ellas debe adquirir una forma definida. Aunque, no existe un modelo o estándar válido se espera que dentro de éste se tengan en cuenta algunos aspectos significativos.
II. VISIÓN GENERAL
1. Objetivo de la secuencia:
Aquello que el docente se propone ofrecer para servir de mediador entre el contenido y los estudiantes, a esto se suma la generación de un ambiente propicio en el aula, favorecer la autonomía en el aprendizaje, uso integrado y significativo de las TIC además del uso de fuentes de información diversas dado el caso.
2. Competencias del área:
A partir de la propuesta hecha por el Ministerio de Educación Nacional MEN y la estructura descrita en los cinco procesos generales que se plantean en los Lineamientos Curriculares para toda actividad matemática y que se describen así… (Formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular, comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos) constituyen las actividades intelectuales que van a permitir a los estudiantes alcanzar y obtener un mejor nivel en las competencias.
De ahí los estándares para cada pensamiento que se tienen en cuenta en esta SD están basados en la interacción entre la faceta práctica y la formal de las matemáticas y entre el conocimiento conceptual y el procedimental.
3. Competencia comunicativa.
Aquí nos referimos a la comunicación oral o escrita de lo aprendido, así lo sostiene Raymond Duval (2004) que si no se dispone al menos de dos formas distintas de expresar y representar un contenido matemático, formas que él llama registros de representación semiótica no parece posible aprender y comprender dicho contenido.
4. Intencionalidad pedagógica:
En esta parte necesariamente nos referiremos al descubrimiento de patrones que por ende requiere trabajar en 3 procesos:
- Experiencias de actividades con patrones geométricos y numéricos - Expresar las reglas que caracterizan el patrón - Propiciar en los estudiantes la expresión de dichas reglas en forma abreviada.
Todo esto tendiente a que los estudiantes finalmente puedan percibir un patrón, expresarlo de una manera correcta, elaborar su registro y finalmente probar la validez de la fórmula planteada.
5. Nivel de complejidad:
Dado por el orden en el que se desarrolla la secuencia, desde los conocimientos previos de 6° a 9° donde intervienen los EBC Estándares Básicos de competencias en matemáticas y los Derechos Básicos de Aprendizaje de matemáticas DBA propuestos por el MEN.
6. Momento de evaluación:
Así como se propone desde el MEN, hace referencia al proceso a través del cual se encuentran las relaciones entre el conocimiento adquirido y nuevas situaciones planteadas desde otras perspectivas. Desde ahí se puede transformar de esta manera en una nueva fase de desequilibrio, produciéndose entonces un aprendizaje en espiral en el que el nuevo momento de construcción adopta antiguos elementos ya existentes y alcanza nuevos niveles de complejidad.
7. Desempeños esperados.
Partiendo de los DBA y los EBC se espera que el estudiante de acuerdo a su nivel de competencia este en capacidad de dar respuesta al propósito de esta SD, el cual consiste en hacer un análisis correcto de secuencias con figuras geométricas dadas, hallar el área de las figuras en algunos casos y una fórmula para el cálculo generalizado en diferentes situaciones, plantear un ejercicio de (generalización) con sus pasos…ya sea secuencia, sucesión, serie, ecuación de recurrencia. etc..
8. Ruta de aprendizaje.
Nos muestra la panorámica de lo que se va a hacer durante el desarrollo de las dos sesiones de trabajo programadas para el logro de los objetivos de la SD.
Maestrante: Luis Antonio Acosta M. Nombre de la secuencia Construyendo Procesos de Generalización
Tiempo: 10 horas Planteamiento del problema Descubrir y describir el patrón numérico propuesto, a
través del análisis de la secuencia expuesta con las figuras geométricas dadas.
Propósito de la secuencia Análisis de secuencias con figuras geométricas dadas. Hallar el área de las figuras y una fórmula para el cálculo generalizado en diferentes situaciones.
Diseño pedagógico TEORÍA DE APRENDIZAJE
ENFOQUE
1 2 3 4 5 I 3 1 5 5 5 II 4 5 5 5 5 III 5 3 5 4 4
Enfoque pedagógico: CONOCIMIENTO DIDACTICO DEL CONTENIDO C.D.C
I. Conocimiento disciplinar
II. Conocimiento didáctica especifica
III. Contexto
Teoría de aprendizaje: CONSTRUCTIVISMO
1. Contexto favorable del aprendizaje 2. Clima motivacional de cooperación 3. Métodos y objetivos fijados previamente 4. Proceso del aprendizaje/objetivo curricular 5. Evaluación del aprendizaje
9. Ideas clave:
- Concepto de secuencia numérica.
- Concepto de sucesión.
- Concepto de sumatoria.
- Concepto de serie.
- Concepto de fila/columna.
- Relación de dependencia entre dos variables.
- Tipos de variable.
10. Actividad diagnóstico y procesos de la SD.
Planteamiento de actividades para dar inicio al desarrollo de la SD
- Descripción de aprendizajes.
- Puesta en escena.
- Momento de la clase.
- Recolección de evidencias de aprendizaje.
- Instrumento de evaluación.
III. PRIMERA SESIÓN
Planteamiento de actividades para dar inicio al desarrollo de la SD (primera sesión), con tres fases que comprenden el inicio, desarrollo y cierre.
1. INICIO
1.1. Introducción (contextualización)
1.2 Actividad diagnóstico
1.3 Materiales a utilizar
1.4 Actividades subsiguientes
1.5 Planteamiento de la Situación problema
1.6 Identificar un patrón de comportamiento.
2. DESARROLLO (Situaciones didácticas acorde con la intencionalidad pedagógica).
2.1 Sucesión
2.2 Representación de una sucesión.
2.3 Descripción de las sucesiones infinitas.
2.4 Registro del patrón.
2.5 Probar la validez de las fórmulas
2.6 Práctica y ejercicios con la propuesta de los cuadrados 6°.
2.7 Nivel de complejidad 6° - 9°.
3. CIERRE
3.1 Evaluación (Permanente – formativa).
3.2 Desempeños esperados.
1. INICIO
1.1 Introducción (contextualización)
En matemáticas podemos encontrar situaciones que nos dan a entender el comportamiento de un fenómeno que se repite, ya sea en conjuntos de figuras o de números; este tipo de fenómenos en su gran mayoría muestran una serie de relaciones que nos permiten entender cómo se comporta una secuencia.
Estas secuencias pueden observarse a partir de la identificación de un patrón o de una regla lógica que las determine.
Por Ejemplo:
Figura No.1
1.2 Actividad diagnóstico
En esta primera actividad debemos indagar sobre los conocimientos previos de los estudiantes y complementar la presentación anterior con otro tipo de apoyos visuales ya sea de manera virtual o con material manipulativo como es nuestro caso, para ello podemos recurrir al planteamiento de preguntas orientadoras, es necesario que quede claro el contexto, el vocabulario y algunos conceptos básicos a utilizar; con la finalidad de ir direccionando al estudiante hacia el cómo plantear y resolver un problema.
Preguntas orientadoras de la actividad diagnóstico.
¿Reconoces las figuras que se muestran en la imagen de la figura No.1.que puedes decir de ellas?
¿Observas algún tipo de comportamiento en la serie de figuras que acabamos de mostrar?
¿Identificas algún tipo de secuencia que ilustre un procedimiento lógico?
¿Podrías describirlo de alguna manera?
¿Sabes lo que es una tabla de datos?, como se construye, como se analiza. Reconoces el concepto de fila y/o columna.
1.3 Materiales a utilizar
Para esta actividad utilizaremos material manipulativo consistente en el manejo y ubicación de fichas de forma cuadrada y triangular con colores azul y amarillo según el caso, es importante que el estudiante entre en contacto con el material, lo explore y se familiarice con el fin de comenzar la construcción de conceptos básicos necesarios para el desarrollo de las actividades que se proponen en el desarrollo de la SD.
1.4 Actividades subsiguientes
En este espacio desarrollamos una serie de actividades que permitirán la consolidación y profundización de los conceptos ya trabajados, se recomienda trabajar en grupo inicialmente y posteriormente de manera individual con la intención de pasar a la etapa de ejercitación y afianzamiento de conceptos y procedimientos, finalmente se lleva a cabo una situación de aplicación donde podremos realizar una evaluación permanente del aprendizaje de los estudiantes y la capacidad adquirida para transferir lo aprendido a otros contextos.
En dirección hacia el planteamiento y solución de la situación problema debemos orientar el estudiante hacia la comprensión de una estrategia de solución que defina un orden y una combinación apropiada de conceptos y procedimientos, en ese sentido mostraremos algunos de los aspectos que verifican esa condición.
Una de las rutas de acceso al pensamiento algebraico son los procesos de generalización, en nuestro caso la generalización de patrones geométricos y numéricos.
Para esta actividad plantee a los estudiantes como regla la identificación de un patrón estableciendo una relación comunicativa entre una secuencia de figuras geométricas y su interpretación numérica en una tabla de datos:
Veamos…
Tabla No.1 Secuencia de figuras geométricas, relación entre No. de figuras y cantidad de cuadrados
No. Figura n = cantidad de cuadrados 1
n = 1
2
n = 3
3
n = 6
4
n = 10
5 ??? n = ??? 6 ??? n = ???
1.5 Planteamiento de la Situación problema
Descubrir y describir el patrón numérico a través del análisis de la secuencia expuesta con las figuras geométricas dadas.
¿Podrías construir y determinar la cantidad de cuadrados de las figuras No. 5, 6, 7 y 8 de la tabla anterior?
Efectivamente se puede establecer una relación entre el número de cuadrados que forman cada figura y el conjunto de los números enteros positivos, de tal manera que podamos formar una secuencia.
1.6 identificar un patrón de comportamiento
Teniendo en cuenta que la generalización es algo primario hacia la abstracción matemática, según Mason (1.985) la generalización en un salón de clases tiene 4 etapas:
Percibir un patrón, expresar el patrón, registrar el patrón (fórmula) y probar la validez de la misma.
Desde la idea de trabajo colaborativo los estudiantes podrán intercambiar las opiniones iniciales que les hará pensar en el comportamiento de un patrón y así poder descubrirlo y expresarlo de diversas formas.
2. DESARROLLO
2.1 Sucesión.
En el conjunto de los enteros positivos podemos establecer relaciones de tal forma que, podamos formar una secuencia, cuando establecemos una relación entre los números naturales con los números enteros positivos le llamamos sucesión.
2.2 Representación de una sucesión
Figura No.2 Representación de una sucesión
N Z⁺
Para designar una sucesión se utiliza la expresión…
{��} = {��,�,�,��,……,��,….}
1.
2.
3.
4.
n.
��
�
�
��
��
Donde ��, es el primer término de la sucesión y�, el segundo término de la sucesión; de
igual forma �, es el tercer término de la sucesión y así sucesivamente.
El término ��, es llamado término general, pues ocupa el enésimo lugar de la sucesión, este término puede expresarse mediante una fórmula que nos permite observar el comportamiento e identificar los enteros que conforman la sucesión.
La cual dependiendo del valor que tome n nos puede describir una sucesión infinita.
2.3 Descripción de las sucesiones infinitas
Las sucesiones infinitas se pueden encontrar de la siguiente forma:
a) 1, 4, 7, 10, 13…..
b) {��} = 3� − 2; � ≥ 1 fórmula explícita
c) {��} = ���� + 3 , � ≥ 2, �� = 1 fórmula de recurrencia
Veamos otra forma de agrupar los cuadrados de la tabla No.1 en la figura No.5.
Tabla No. 2 Reagrupación de los cuadrados de la tabla No.1 en la figura No.5.
No. Figura n = cantidad de cuadrados
5
n = 15
2.4 Registro del patrón (fórmula)
Si basados en la figura No. 5 de la tabla No.2 construimos un rectángulo con un número de cuadrados equivalente tendremos…
Tabla No. 3 Construcción de un rectángulo con un número de cuadrados equivalentes
Figura n = cantidad de cuadrados
Altura n+1= 6
Base n = 5
n total = ???
Un rectángulo de base n = 5 y altura (n+1) = 6
Donde n = número de cuadrados.
Como el área del rectángulo es � = �. ℎ
Y la figura No. 5 de la tabla No.1 corresponde a la mitad del rectángulo obtendremos…
� = �.�
Apoyados en el concepto de área del rectángulo y haciendo �� =�
Donde, ��= número de cuadrados obtenidos en la tabla No.1 al desarrollar la secuencia
De la figura No. 5 de la tabla No.1 podemos concluir que…
{��} = �(� + 1)2 ; � ≥ 1
Que sería el número de cuadrados de color azul para cualquier valor de � en la secuencia de la tabla No.1.
2.5 Probar la validez de las fórmulas
Ahora debemos realizar varias pruebas de la fórmula encontrada y así verificar y probar de diferentes formas la veracidad, de igual manera utilizar este método para resolver situaciones similares, se hace necesario hacer una pequeña reflexión colectiva sobre el proceso de aprendizaje y la claridad sobre los procesos mentales consolidados hasta el momento para el logro del objetivo trazado.
2.6 Práctica y ejercicios con la propuesta de los cuadrados 6°.
La ejercitación de procedimientos como proceso general en la matemática cumple un papel fundamental en el desarrollo de este tipo de actividades, de ahí se hace necesario plantear otra serie de acciones similares que cumplan con este objetivo.
En este caso como tarea se debe verificar la secuencia con su respectivo procedimiento y fórmula para las figuras No. 6, 7, 8, 9 y 10 de la tabla No.1.ademas de escribir los 15 primeros términos de la sucesión de la forma indicada.
Práctica. 1
I. Escribir los 10 primeros términos de cada sucesión.
a) ��= 5n
b) ��= 2n-3
c) ��= 2n²+n+1
II. Deducir la fórmula del término general de cada sucesión.
a) {��}= {3, 6, 9, 12, 18, …..}
b) {��}= {1, 3, 5, 7, 9, …..}
c) {��}= {3, 7, 13, 21, 31, 43, …..}
3. CIERRE
3.1 Evaluación (Permanente – formativa).
La evaluación permanente y formativa cumple un papel importante en el logro de las competencias de los estudiantes, su misión intrínseca de acompañar y apoyarlos en cada proceso de aprendizaje permite evaluar los aprendizajes esperados en cada etapa de la secuencia, para ello puede ser necesario obtener un instrumento de evaluación que recoja cada objetivo propuesto en el inicio desarrollo y cierre de la SD.
3.2 Desempeños esperados.
Básicamente se espera que el estudiante este en capacidad de….
Situación que primordialmente nos remite a los referentes curriculares propuestos por el MEN, allí en su orden los Estándares Básicos de Competencias EBC y los Derechos Básicos de Aprendizaje DBA nos ubicarán en los respectivos criterios de evaluación relacionados con la temática aquí expuesta, se sugiere que cada docente en sus diferentes contextos pueda diseñar un instrumento de evaluación (rejilla) que permita valorar todas las situaciones y actividades que contiene la SD con la tendencia a proporcionar una valoración integral del estudiante.
Teniendo en cuenta lo anterior se espera que el estudiante de acuerdo a su nivel de competencia este en capacidad de dar respuesta al propósito de esta SD, el cual consiste en hacer un análisis correcto de secuencias con figuras geométricas dadas, hallar el área de las figuras y/o una fórmula para el cálculo generalizado en diferentes situaciones, plantear un ejercicio de (generalización) con sus pasos…ya sea secuencia, sucesión, serie, ecuación de recurrencia. etc..
IV. SEGUNDA SESIÓN.
Planteamiento de actividades para dar inicio al desarrollo de la SD (segunda sesión), con tres fases que comprenden el inicio, desarrollo y cierre.
1. INICIO
1.1. Introducción
2. DESARROLLO (Situaciones didácticas acorde con la intencionalidad pedagógica).
2.1 Serie
2.2 Planteamiento de la situación problema.
2.3 Descripción de las series infinitas.
2.4 Registro del patrón
2.5 Ecuaciones de Recurrencia.
2.6 Probar la validez de las formulas
2.7 Práctica y ejercicios con la propuesta de los triángulos 9°.
3. CIERRE
3.1 Evaluación (Permanente – formativa).
3.2 Desempeños esperados.
1. INICIO
1.1 Introducción (contextualización)
Dando continuidad a las temáticas vistas en la Primera sesión abordaremos nuevos temas que nos ayudaran a lograr los objetivos trazados en la Segunda sesión, visto con claridad el concepto de sucesión, los elementos que la forman y la manera de cómo se expresa, seguiremos con la suma de los términos que la componen.
En el estudio de las sucesiones se distinguen dos que poseen características especiales, nos referimos a las progresiones aritméticas y geométricas.
En el primer caso la progresión aritmética es una sucesión en la cual cada término, excepto el primero, se obtiene de sumar al término anterior una cantidad constante llamada razón, de manera análoga la progresión geométrica es una sucesión en la cual cada término,
excepto el primero, se obtiene de multiplicar al término anterior una cantidad constante llamada razón, en ambos casos la suma de los primeros términos genera otra denominación, para el primer caso serie aritmética y para el segundo serie geométrica.
Cada una en esencia tiene una notación, en el primer caso…
Serie aritmética …… "� = (#$%#&)'
Donde "� es la suma, �� es el primer término, �� es el término enésimo y n es el número de términos que se suma, en el segundo caso…
Serie geométrica …. "� = #$()ⁿ��))�� + ≠ 1
Donde "� es la suma, �� es el primer término, y + es la razón.
El análisis y comprensión de las expresiones expuestas aquí deben hacer parte del dominio disciplinar del docente.
De otro lado los otros puntos que hacen parte del inicio en esta sesión están en la primera sesión, por lo tanto se pueden obviar; dado que esta sesión es continuación de la primera.
2. DESARROLLO
2.1 Serie
De acuerdo con la intencionalidad pedagógica que se tiene en cuenta en esta sección, solo tomaremos algunos de los elementos mencionados en la parte introductoria que consideramos necesarios para el desarrollo de la SD.
Cuando realizamos la suma de los términos de una sucesión le asignamos el nombre de serie.
Por ejemplo, Si tenemos la sucesión compuesta por los siguientes términos.
{��}= {3, 6, 9, 12, 18, …..}
Podemos encontrar la suma de los cinco primeros términos así.
{��} = {��+�+�+��+�,} es decir,
{��}= {3+ 6+ 9+12+18}= 48
Veamos otra forma de observar este procedimiento, en la figura que se muestra a continuación, si prestamos atención a la cantidad de triángulos equiláteros en cada fila, es decir,
��= cantidad de triángulos en la fila 1
�= cantidad de triángulos en la fila 2
�= cantidad de triángulos en la fila 3 y así sucesivamente de ser el caso.
Podemos observar que…
Figura No.3. Sucesión vertical de triángulos equiláteros
��= ………………………… 1
�= …………………………. 3
�= ………………………..... 5
Al sumar ��+�+� tendremos…. {��}= {1+ 3+ 5}= 9
Logramos concluir que este tipo de representación tiene la misma validez que el anterior, así mismo observar que las figuras geométricas de igual manera nos dan a entender una secuencia numérica.
La suma que obtuvimos puede ser representada con la letra sigma (∑) de la siguiente manera.
-��
�.�
Que se lee “sumatoria desde 1 hasta 3 de ��” , representa la suma de los tres primeros términos de una sucesión cuyo término general es ��.
Vale la pena resaltar que el proceso de la sumatoria cuenta con ciertas propiedades que el docente en su dominio disciplinar debe conocer para avanzar en el desarrollo de la segunda sesión de la SD.
Miremos otro ejemplo.
Figura No.4. Sucesión vertical de triángulos equiláteros
No. Fila n = Cantidad de triángulos
1 …………………… …………………….. 1
2 ……………….. …………………….. 3
3 ……………. …………………….. 5
4 ……… ……………………... 7
5 …. . ………………….... 9
6 .. ……………..…....11
De manera análoga como en el ejemplo anterior podemos sumar…
{��}= {1+ 3+ 5+7+9+11}= 36
Y de igual forma podemos decir…
- ��/
�.�= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
2.2 Planteamiento de la Situación problema
Descubrir y describir el patrón numérico a través del análisis de la secuencia expuesta con las figuras geométricas dadas.
¿Podrías construir y determinar la cantidad de triángulos al aumentar la figura anterior hasta la fila No.9?
¿Observas algún cambio en el patrón a identificar?
Efectivamente se puede establecer una relación entre el número de triángulos que forman la figura y el conjunto de los números enteros positivos, de tal manera que podamos formar una secuencia y sumar sus elementos, es decir, el número de triángulos.
2.3 Descripción de las series infinitas
Realizado el ejercicio podemos concluir que esta serie tiene un comportamiento el cual podemos generalizar de la siguiente forma…
-2� − 13
�.�
Pues denota un comportamiento con tendencia hacia infinito.
Expresión que nos permite concluir su forma general, teniendo en cuenta que n = número de filas, la expresión 45 − 6 la cantidad de triángulos por fila y la Sumatoria el total de triángulos de la figura, que para el valor propuesto como ejercicio en la pregunta orientadora quedaría.
-2� − 17
�.�
Es decir,
-2n − 17
�.�= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81
2.4 Registro del patrón (fórmula)
Si basados en la figura No. 4 anterior construimos otra similar con un número de filas igual a nueve como se expresa en la pregunta orientadora, podemos observar que tanto en las dos figuras anteriores hay varios patrones que se repiten y que muestran en cada una un comportamiento proporcional, si observamos con detenimiento; en el interior de cada figura triangular encontramos que se genera una figura de forma hexagonal que solo difiere en el número de triángulos que la conforman.
Tomando este análisis como punto de partida podemos deducir que existe un patrón que se repite y que así como la figura en su totalidad la podemos analizar a través de una expresión matemática, el fenómeno que observamos de la figura hexagonal que se forma en el interior también.
Dada esta situación se hace necesario referirnos a la primera sesión donde mencionamos algunas de las formas como se puede expresar una sucesión infinita.
Las sucesiones infinitas se pueden encontrar de la siguiente forma:
a) 1, 4, 7, 10, 13…..
b) {��} = 3� − 2; � ≥ 1 fórmula explícita
c) {��} = ���� + 3 , � ≥ 2, �� = 1 fórmula de recurrencia
Comencemos con un ejemplo:
Una sucesión muy conocida es la sucesión de Fibonacci: {��}= {1, 1, 2, 3, 5, 8,13,…} cada término a partir del tercero se obtiene sumando los dos anteriores, o sea:
��= ����+ ��� para � ≥ 3
Como lo observamos en los ejemplos anteriores una expresión de este tipo, en la que el término general de la sucesión se escribe en función de algunos términos anteriores, recibe el nombre de ecuación de recurrencia.
2.5 Ecuaciones de Recurrencia.
Para obtener un término concreto de una sucesión dada en forma recurrente debemos ir obteniendo todos los anteriores, lo cual no siempre es práctico; supongamos que queremos calcular el término �79 de la sucesión de Fibonacci; esto sería un poco complicado.
Encontrar una solución a la ecuación de recurrencia es determinar una expresión de tipo ��= f (n) en la que el término general dependa solo de la posición que ocupa y no de los anteriores.
Para que la solución sea única es necesario conocer algunos términos de la sucesión, lo que llamaremos condiciones iniciales. En el ejemplo anterior de la sucesión de Fibonacci las condiciones iniciales serían ��= 1 y �= 1.
Definición: una ecuación de recurrencia lineal de orden k con coeficientes constantes es una relación
:���+ :�������+ :�����+…..+ :��;���; = ��, para � ≥ < donde, :�,:���, …. , :��; son constantes (≠ 0) y (��) es una sucesión conocida. Diremos que la expresión anterior es homogénea si ��= 0.
Las ecuaciones de recurrencia lineales homogéneas pueden ser de primer orden y segundo orden, además también podemos encontrar ecuaciones de recurrencia lineales no homogéneas.
En nuestro caso y de acuerdo al patrón que identificamos y la necesidad de encontrar el registro del patrón (fórmula) que queremos , nos limitaremos a la recurrencia lineal no homogénea.
:���+ :�������+ :�����+…..+ :��;���; = ��, para � ≥ < con (��) = f (n) ≠ 0
Veamos un ejemplo.
Encuentre la solución general de la ecuación de recurrencia.
��= ����+ 2���+ n2ⁿ
Con �== 1 ; ��= - 4 ;�= 10 y �= 54
Primer paso:
Igualamos… ��- ����- 2���= n2ⁿ
Segundo paso:
Identificamos el índice, como el factor polinomio es n entonces es de grado 1 y orden 2
Así podemos redefinir la ecuación de la siguiente forma.
��= r²
����= r
2���= 2
Tercer paso:
Se construye la ecuación característica.
Con la redefinición anterior se construye un factor de la forma (r – b)ª⁺¹; a = grado del polinomio y b base de la parte exponencial que se presenta en la ecuación.
Así tendremos…
(r²+ r+ 2)(r – 2)¹⁺¹= 0
(r²+ r+ 2)(r – 2)² = 0
Factorizando y encontrando las soluciones de esta ecuación observamos que tiene dos soluciones.
+�= -1 ; += 2 en el primer caso con multiplicidad 1 y en el segundo con multiplicidad 3, es decir ?�= 1 y ?= 3
Teniendo en cuenta que �� es una combinación lineal de varios términos anteriores de la sucesión la forma general se expresa así.
��= @�(n)+�ⁿ+@(n)+ⁿ+……….+@A(n)+Aⁿ donde el grado del polinomio @B es menor que la multiplicidad de las raíces, es decir menor que ?B.
Cuarto paso:
Se construye un sumando donde aparece la potencia enésima de cada solución.
+�= (-1)ⁿ y += (2)ⁿ
��= A(−1)ⁿ+ (Bn²+Cn+D)2ⁿ Reordenado y reemplazando los valores de la condición inicial en la ecuación de recurrencia tenemos.
�== A + D= 0 entonces D = - A
��= -3A +2B +2C= - 4
�= -3A +16B +8C= 10
�= -9A +72B +24C= 54
Resolviendo el sistema obtenemos A=2; B = 1;C = 0;D =−2
Reemplazando en la ecuación ��= A(−1)ⁿ+ (Bn²+Cn+D)2ⁿ tenemos..
��= 2 (−1ⁿ)+ (� − 2)2ⁿ la solución general de la ecuación de recurrencia.
Volviendo a la situación que nos concierne en el análisis de la figura No. 4 identificamos que el comportamiento de la figura se puede representar mediante la ecuación.
��= ����+ 6(2n-1) con condiciones iniciales �== 0; ��= 6 ; �= 24
Primer paso:
Igualamos… ��– ����= (12n-6)(1)ⁿ dado que el polinomio (12n-6) es de grado 1 , y la potencia enésima es (1)ⁿ ,se construye la ecuación característica
��= r
����= 1 entonces tenemos…
(r – 1)(r – 1)² = 0
Y las raíces son.
+�= 1 con multiplicidad ?�= 3 ; en este caso no hay sino una sola raíz, por lo tanto solo aparece un término en el sumando de grado 2, acompañado de la potencia enésima correspondiente a esa única solución.
��= (Bn²+Cn+D)1ⁿ Teniendo en cuenta las condiciones iniciales
�== D= 0
��= B+C+D= 6 ; B = 6 - C
�= 4B+2C+D= 24
Resolviendo el sistema tenemos que D = 0 ; C= 0 y B = 6 , reemplazando en la ecuación
��= (Bn²+Cn+D)1ⁿ finalmente encontramos que.
��= Bn², es decir ��= 6n² la solución general de la ecuación de recurrencia.
2.6 Probar la validez de las fórmulas
Ahora debemos realizar varias pruebas de la fórmula encontrada y así verificar y probar de diferentes formas la veracidad, de igual manera utilizar este método para resolver situaciones similares, se hace necesario hacer una pequeña reflexión colectiva sobre el proceso de aprendizaje y la claridad sobre los procesos mentales consolidados hasta el momento para el logro del objetivo trazado.
2.7 Práctica y ejercicios con la propuesta de los triángulos 9°.
La ejercitación de procedimientos como proceso general en la matemática cumple un papel fundamental en el desarrollo de este tipo de actividades, de ahí se hace necesario plantear otra serie de acciones similares que cumplan con este objetivo.
En este caso como tarea se debe verificar la secuencia con su respectivo procedimiento y fórmula hasta la fila No. 9, de la gráfica No.4.además escribir los 15 primeros términos de la sucesión de la forma indicada y elaborar su representación gráfica, identificando si la figura hexagonal al interior del triángulo se repite.
3. CIERRE
3.1 Evaluación (Permanente – formativa).
La evaluación permanente y formativa cumple un papel importante en el logro de las competencias de los estudiantes, su misión intrínseca de acompañar y apoyarlos en cada proceso de aprendizaje permite evaluar los aprendizajes esperados en cada etapa de la secuencia, para ello puede ser necesario obtener un instrumento de evaluación que recoja cada objetivo propuesto en el inicio desarrollo y cierre de la SD.
3.2 Desempeños esperados.
Básicamente se espera que el estudiante este en capacidad de….
Situación que primordialmente nos remite a los referentes curriculares propuestos por el MEN, allí en su orden los Estándares Básicos de Competencias EBC y los Derechos Básicos de Aprendizaje DBA nos ubicaran en los respectivos criterios de evaluación relacionados con la temática aquí expuesta, se sugiere que cada docente en sus diferentes contextos pueda diseñar un instrumento de evaluación (rejilla) que permita valorar todas las situaciones y actividades que contiene la SD con la tendencia a proporcionar una valoración integral del estudiante.
Teniendo en cuenta lo anterior se espera que el estudiante de acuerdo a su nivel de competencia este en capacidad de dar respuesta al propósito de esta SD, el cual consiste en hacer un análisis correcto de secuencias con figuras geométricas dadas, hallar el área de las figuras y/o una fórmula para el cálculo generalizado en diferentes situaciones, plantear un ejercicio de (generalización) con sus pasos…ya sea secuencia, sucesión, serie, ecuación de recurrencia. etc..
V. REFERENCIAS
• Butto & Rojano (2004) “Introducción temprana al pensamiento algebraico”.
• Díaz B. Ángel (2013) “Guía para la elaboración de una Secuencia didáctica”.
• MEN (1998) “Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos”.
• MEN (2013) “Secuencias didácticas en matemáticas para la educación básica secundaria”.
• MEN (2003) “Estándares Básicos de competencias en matemáticas”.
• Jiménez & Pineda (2012) “Comunicación y argumentación en clase de matemáticas”.
• Grimaldi, Ralph P. “Matemáticas discretas y combinatoria”.
• Rosen, Kenneth H. (2012) “Discrete Mathematics and its applications”.
• B.B Mandelbrot (1989) “Fractal Geometry: What is it, and what does it do?
• Atencia Toro Vanessa (2014) “Fractales matemáticos”
• Falconer Kenneth (1990) “Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications”
