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Prof. Carlos R. Paiva
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Instituto Superior Técnico
Março de 2006
Teoria Elementar da Fotodetecção 1
1. Introdução A fotodetecção é um dos processos fundamentais de um sistema de comunicação óptica
juntamente com a fotoemissão e a transmissão (e controlo) tal como se indica na Fig. 1.
Figura 1 Blocos fundamentais de um sistema de comunicação óptica.
Na fotoemissão um laser semicondutor converte uma corrente eléctrica modulada (portadora
da informação) num sinal óptico (campo electromagnético radiado) que é captado por uma
fibra óptica. Na transmissão, o sinal óptico percorre a distância entre os pontos a ligar na
comunicação sendo aí amplificado (e.g., através de uma fibra amplificadora dopada com
érbio), controlado (e.g., através da gestão da dispersão) e distribuído (e.g., através de uma
rede óptica). Finalmente, junto à recepção, o sinal óptico é convertido novamente numa
corrente eléctrica através de um fotodetector.
Neste capítulo analisa-se, de um ponto de vista elementar e introdutório, a teoria da
fotodetecção. Os fotões, cada um com uma energia p h fω= =E , são aí convertidos em
electrões – designados, por isso, fotoelectrões – que vão assim constituir uma corrente
eléctrica.
Num laser a potência óptica emitida ( )P t relaciona-se com a intensidade óptica ( )I t
através da relação ( ) ( ) ( )P t I t σ ω= em que ( )σ ω representa a secção eficaz de transição.
Sendo ( )tφ a densidade do fluxo de fotões emitidos, tem-se então ( ) ( )pI t tφ=E com
( ) ( ) ( )it W tφ σ ω= e onde iW representa a taxa de transições induzidas (absorção e emissão
Fotoemissão Transmissão
& Controlo
Fotodetecção
Sistema de Comunicação Óptica
2 Carlos R. Paiva
estimulada). Note-se, com efeito, que [ ] WP = , [ ] 2WmI −= , [ ] 2mσ = , Jp⎡ ⎤ =⎣ ⎦E ,
[ ] 2 1m sφ − −= e [ ] 1siW −= .
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )p i
i
P t I t
I t t P t W t
W tt
σ ω
φ ω
φσ ω
=
= ∴ =
=
E . (1)
Num fotodetector é preferível falar no fluxo total de fotões ( )p tΓ que incide, em que
1sp−⎡ ⎤Γ =⎣ ⎦ , em vez da densidade do fluxo de fotões ( )tφ . Neste caso, tem-se então
( ) ( )p
p
P ttΓ =
E. (2)
Note-se, porém, que um receptor óptico (digital) é mais do que um fotodetector: deve possuir,
também, um amplificador, um filtro e um sistema de decisão. Este último deve decidir se o
sinal recebido corresponde a um bit “1” ou a um bit “0” em função de um limiar de decisão
(threshold) previamente estabelecido.
Num fotodetector ordinário (fotodíodo PIN) o sinal óptico recebido ( )p tΓ é
convertido num fluxo ( )e tΓ de fotoelectrões, com
( ) ( ) ( )e p d d
p
P tt tη γ η γΓ = Γ + = +
E. (3)
Designou-se por η a eficiência quântica do fotodetector, i.e., o número médio de
fotoelectrões produzidos por cada fotão recebido. O termo dγ representa o fluxo (suposto
constante) de electrões e corresponde à chamada corrente escura (dark current) di , i.e., à
corrente eléctrica devida à emissão espontânea de electrões quando não há sinal óptico
recebido. O circuito equivalente de um fotodíodo ideal é pois o indicado na Fig. 2. Sendo q a
carga do electrão, a corrente ( )i t gerada pelo sinal óptico será
Teoria Elementar da Fotodetecção 3
( ) ( ) ( ) , ,e d d dqi t q t R P t i R i qη γω
= Γ = + = =
onde se designou por R a responsividade do fotodetector, com [ ] 1AWR −= .
Figura 2 Circuito equivalente de um fotodíodo ideal.
2. Processo estocástico de Poisson e limite quântico da fotodetecção Uma variável aleatória x é uma regra que faz corresponder a cada resultado ζ de uma
experiência S um número ( )x ζ : ( )xζ ζ . Um processo estocástico ( )x t , por sua vez, é
uma regra que faz corresponder a cada resultado ζ uma função ( ),x t ζ : ( ) ( ), ,t x tζ ζ .
Quer ( )p tΓ quer ( )e tΓ em (3) são processos estocásticos de Poisson. O número
médio de acontecimentos (recepção de fotões ou produção de fotoelectrões) num intervalo
temporal [ ],s st t t T∈ + é dado por
( ){ } ( )E s
s
t T
tN t t dt m
+= Γ =∫ (4)
onde ,p eΓ = Γ Γ . Com efeito, a probabilidade de se ter ( )N t n= nesse intervalo temporal
obedece à distribuição de Poisson (Apêndice A)
( ){ } ePr!
n mmN t nn
−
= = . (5)
( )P t ( )i t
4 Carlos R. Paiva
Na Fig. 3 representa-se esta probabilidade, que se designa por nP , no caso concreto de se ter
12m = .
Vamos, agora, determinar o chamado limite quântico da fotodetecção, i.e., o número
médio de fotões que um fotodetector deve receber para detectar um bit de informação.
Admitimos que os bits “0” e “1” são equiprováveis e que não são transmitidos quaisquer
fotões para um bit “0”. Assim, um erro na detecção corresponde a não serem recebidos
quaisquer fotões quando um bit “1” foi transmitido. De acordo com (5), vem então
( ){ } 11 1Pr 0 |1 e2 2
meP N t −= = = . (6)
Figura 3 Probabilidade nP vs n− − de uma distribuição de Poisson, com 12m = , dada por (5).
Note-se que em (6) se considerou 1m por se tratar da recepção do bit “1”. Para uma
probabilidade de erro 910eP −= (BER=bit-error rate), que corresponde a um erro cometido
em 910 bits recebidos, resulta de (6) que
( )1 ln 2 20.03em P= − = . (7)
Teoria Elementar da Fotodetecção 5
O limite quântico da fotodetecção corresponde, portanto, a um número médio de
1 10 fotões/bit2mχ = = (8)
uma vez que
( )1 01
2 2m m mχ = = − (9)
dado que 0 0m = (não são recebidos quaisquer fotões para um bit “0”) e que os dois símbolos
são equiprováveis.
No caso de se considerar que 0 0m > , é necessário estabelecer um limiar α de
detecção: quando N α> foi recebido um bit “1” e quando N α≤ foi rcebido um bit “0”.
Consequentemente, virá
( ) { } { }1 1Pr | 0 Pr |12 2eP N Nα α α= > + ≤
( ) 0 10 1
1 0
1 1e e2 ! 2 !
n nm m
en n
m mPn n
α
α
α∞
− −
= + =
∴ = +∑ ∑ . (10)
Porém, notando que
0 00 0 0
0 1 0e e
! ! !
n n nm m
n n n
m m mn n n
α
α
∞ ∞
= = + =
= ∴ = −∑ ∑ ∑
é possível reduzir (10) a
( ) ( )011 0
0
1 1 1 e e2 2 !
mm n ne
nP m m
n
α
α −−
=
= + −∑ . (11)
O valor de α deve ser tal que minimize a probabilidade de erro. Considerando a diferença
6 Carlos R. Paiva
( ) ( )1e e eP P Pα α∆ = − −
virá
01 011 1e e2 ! 2 !
mme
mmPαα
α α−−∆ = − . (12)
Então, impondo 0eP∆ = , obtém-se de (12)
( ) ( ) ( ) ( )
1 0
1 0 1 0
2ln ln ln ln
m mm m m m
χα −= =
− − (13)
e onde o limite quântico da fotodetecção χ é dado por (9). O limiar da detecção 0α deverá,
deste modo, ser a parte inteira do número real α obtido através de (13), ou seja
[ ]0α α= . (14)
Assim, quando 0 0m > , o limite quântico da fotodetecção deixa de ser dado por (8) e
vai depender do valor 0m considerado. Para cada valor de 1m infere-se um novo valor de 0α
obedecendo a (13) e (14) e, recorrendo a (11), é então possível determinar a nova
probabilidade de erro.
Na Fig. 4 representa-se o valor normalizado ( )1 BEReP m em função de 1m para o
caso em que se considera 0 10m = e para 9BER 10−= . O limite quântico é, nestas condições,
consideravelmente diferente de (8) onde se considerou 0 0m = . Verifica-se, por exemplo, que
se tem de ter 1 82.3m = no gráfico da Fig. 4 por forma a garantir uma probabilidade de erro
910eP −= . O limite quântico da fotodetecção é, deste modo,
( )1 01 36.2 fotões/bit
2 2m m mχ = = − = (15)
Teoria Elementar da Fotodetecção 7
o que representa um valor superior a três vezes o obtido em (8).
Porém, é difícil a determinação de α para um dado valor da probabilidade de erro eP ,
i.e., inverter a expressão (11). Por essa razão é útil encontrar uma expressão aproximada para
( )eP α que seja analiticamente mais fácil de usar do que (11). Essa expressão aproximada
pode ser encontrada através dos limites de Chernoff ou, melhor ainda, dos limites de Chernoff
corrigidos.
Figura 4 Probabilidade de erro (normalizada a 9BER 10−= ) em função de 1m e para 0 10m = .
3. Limites de Chernoff corrigidos Usando os chamados limites de Chernoff corrigidos, vem
{ } ( )0
0 0 00 00
1Pr e exp , ,! 2
nm
n
m mN m mn m
α
α α ααπα
−
=
≤ = < −Θ >⎡ ⎤⎣ ⎦−∑ (16)
{ } ( )0
00 0 0
00
11Pr e exp , ,! 12
nm
n
mN m mn mα
αα α ααπα
∞−
=
+≤ = < −Θ <⎡ ⎤⎣ ⎦− +∑ (17)
onde
8 Carlos R. Paiva
( )0 00
, 1 ln mm mα αα
⎡ ⎤⎛ ⎞Θ = − +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦. (18)
Nestas circunstâncias, a probabilidade de erro é
( ) ( )
( )( )
10 1 0
1 00
00 0
0 00
1 1 exp ,2 2
21 1 exp , 12 22 1
emP m
m
mm
α ααπα
α ααπ α
< −Θ⎡ ⎤⎣ ⎦−
++ −Θ +⎡ ⎤⎣ ⎦− ++
(19)
de acordo com (11).
Exemplo 1 Consideremos uma fibra óptica operada com um débito binário (bit rate)
100 Mb/sB = na portadora 0 0.8 mλ µ= . No fotodetector a potência óptica correspondente ao
bit “1” é 91 5 10 WP −= × enquanto que, para o bit “0”, se tem 9
0 10 WP −= . Para uma
eficiência quântica 0.9η = e uma corrente escura 91.5 10 Adi−= × , calcular a probabilidade
de erro eP usando os limites de Chernoff corrigidos.
Solução
Comecemos por calcular 0m e 1m . Tem-se 0 b dm m m= + e 1 5 b dm m m= + uma vez que
1 05P P= . O número de fotoelectrões correspondentes a 0P para o período 1 10nsBT B= =
será
0 0 0 36.25B Bb
P T P Tmhc
λη ηω
= = =
enquanto que o número de electrões correspondentes à corrente escura é
93.63d Bd
i Tmq
= = .
Teoria Elementar da Fotodetecção 9
Infere-se, assim, que 0 129.9m = e 1 274.9m = . O limiar da fotodetecção é, neste caso,
0 193α = de acordo com (13) e (14), uma vez que 193.4α = . Usando a expressão (11) exacta
obtém-se o valor 71.0301 10eP −= × . Usando a expressão (19) correspondente aos limites de
Chernoff corrigidos, vem 71.054 10eP −= × .
3. Aproximação gaussiana Para um detector com um limiar de decisão α e símbolos binários equiprováveis, a
distribuição gaussiana corresponde a uma probabilidade de erro
( ) ( ) ( )1 01 12 2eP f x dx f x dx
α
αα
∞
−∞= +∫ ∫ (20)
em que
( )21 exp
22xf x
π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
(21)
( ) ( )0 10 1
0 0 1 1
E E1 1,x xf x f f x fσ σ σ σ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠. (22)
e onde 0E e 1E são os valores médios e 0σ e 1σ os desvios padrão da variável de decisão
quando os símbolos “0” e “1” são transmitidos, respectivamente. Notando que
( ) ( )f x f x− = , tem-se
( ) ( )f x dx f x dxα
α
∞
−∞ −=∫ ∫ (23)
pelo que
( ) ( ) ( )0 11 12 2eP f x dx f x dx
α αα
∞ ∞
−= +∫ ∫ . (24)
Fazendo a mundança de variável
10 Carlos R. Paiva
E ,xs d s d xσ−
= = (25)
obtém-se
( )21 Eexp ,
22a b s af x dx d s b
σπ−∞ −∞
⎛ ⎞ −= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ . (26)
Assim, definindo as funções
( )21 exp
22x sx d s
π −∞
⎛ ⎞Φ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
( ) ( ) ( )211 exp
22 x
sQ x x x d sπ
∞ ⎛ ⎞= −Φ = Φ − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ (27)
é possível reescrever (24) na forma
( ) 0 1
0 1
E E1 12 2eP Q Qα αα
σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
. (28)
Atendendo a que
( ) ( )2exp , 0ax d x aaπ∞
−∞− = ℜ >∫ (29)
vem ainda ( )0 0.5Q = e ( ) 1Q −∞ = . Logo
( ) 1 1 erf2 2
xQ x⎡ ⎤⎛ ⎞
= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (30)
Teoria Elementar da Fotodetecção 11
em que a função de erro ( )erf x é dada por
( ) ( )2
0
2erf expx
x t dtπ
= −∫ . (31)
Na Fig. 5 apresentam-se os gráficos de ( )Q x e de ( )erf x no intervalo [ ]0,3x∈ .
Figura 5 Funções ( )erf x e ( )Q x .
Para facilidade de cálculo é usual escolher um limiar de decisão gα que não é o valor
óptimo, dado por (13) e (14), mas que permite igualar os dois argumentos em (28). Assim
0 1 0 1 1 0
0 1 0 1
E E E Eg gg
α α σ σασ σ σ σ− − +
= ∴ =+
. (32)
Então, definindo a relação sinal-ruído SNR (signal-to-noise ratio)
1 0
1 0
E Eρσ σ−
=−
(33)
12 Carlos R. Paiva
resulta de (28) que
( )eP Q ρ= . (34)
A aproximação gaussiana consiste em utilizar como razoável a distribuição gaussiana
para reproduzir a distribuição de Poisson, de forma que
1 01 0
1 0
m m m mm m
ρ −= = +
− (35)
uma vez que, na distribuição de Poisson, 0 0mσ = e 1 1mσ = . Nestas circunstâncias,
resulta de (32) que
0 1 1 00 1
0 1g
m m m mm m
m mα
+= =
+. (36)
Finalmente, ao substitui (36) em (34), obtém-se a aproximação gaussiana
( )1 0eP Q m m≈ − . (37)
A função ( )Q x pode ser calculada por integração numérica através de (30). No
entanto, ao integrar por partes, tem-se
( )2 2 2
2
1 1 12 exp exp exp2 2 2x x
s x sQ x s d s d ss x s
π∞ ∞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ . (38)
Para 3x > é razoável utilizar a seguinte aproximação
( ) ( )2
11 exp
22xQ x Q x
x π⎛ ⎞
≈ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
(39)
Teoria Elementar da Fotodetecção 13
de modo que, de acordo com (37), vem
( )1 1 0eP Q m m≈ − . (40)
Na Fig. 6 representa-se graficamente o erro relativo cometido ao aproximar ( )Q x através de
( )1Q x :
( ) ( ) ( )( )
1Q x Q xx
Q xε
−= . (41)
Figura 6 Cálculo do erro relativo ( ) ( ) ( )1 1x Q x Q xε = − .
Exemplo 2 Voltando ao exemplo numérico tratado no Exemplo 1, teremos então 0 129.9m =
e 1 274.9m = . Assim virá 1 0 5.18m mρ = − = a que corresponde, utilizando (40), uma
probabilidade de erro de 71.13 10eP −≈ × . Se se utilizar (37), virá 71.093 10eP −≈ × . Recorde-se
que o valor calculado através da distribuição de Poisson no Exemplo 1 foi de 71.0301 10eP −= × ; utilizando os limites de Chernoff corrigidos obteve-se 71.054 10eP −= × .
14 Carlos R. Paiva
O limite quântico da fotodetecção, correspondente a uma probabilidade de erro 910eP −= , pode agora ser facilmente calculado através da aproximação gaussiana, i.e.,
utilizando (37). Com efeito, para essa probabilidade de erro, infere-se de (37) que deve ser
5.9978ρ = . Mas então, de ( )1 0 2m mχ = − resulta finalmente
( )022
mρχ ρ= + (42)
de acordo com (35). Na Fig. 7 representa-se χ , o número de fotões por cada bit, em função
do ruído de fundo 0m para um 9BER 10−= .
Figura 7 Limite quântico da fotodetecção χ na aproximação gaussiana, dado por (42), em
função do ruído de fundo 0m . O valor obtido para 0 0m = está nitidamente acima do valor
exacto dado por (8), i.e., de 10 fotões/bit.
Teoria Elementar da Fotodetecção 15
Apêndice A – Distribuição de Poisson
Consideremos o caso da detecção de fotões no intervalo [ ],s st t t T∈ + . Admitiremos que se
trata de um processo estocástico estacionário: o número de fotões detectado não depende da
escolha do instante inicial st . Sendo m o valor médio de fotões, dado pela Eq. (4), deverá ter-
se
m pT= (A1)
onde p é a taxa média de detecção de fotões.
Para comodidade de notação designaremos doravante a probabilidade ( ){ }Pr N t n=
de detecção de n fotões no intervalo [ ],t t T+ por ( ),P n T . Com efeito, dado que o processo
é estacionário, não existe a necessidade de escrever ( ), ,P n t t T+ . Quando 0n = não são,
portanto, detectados quaisquer fotões no intervalo considerado. Qual será então a
probabilidade de ter 0n = no intervalo de duração T Tδ+ ? Será, de acordo com a notação
adoptada, ( )0,P T Tδ+ . Mas esta probabilidade é a probabilidade conjunta de não detectar
fotões no intervalo de duração T bem como no pequeno intervalo subsequente de duração
Tδ . Ter-se-à, consequentemente,
( ) ( ) ( )0, 0, 0,P T T P T P Tδ δ+ = . (A2)
Acontece, porém, que a probabilidade de detectar um fotão no intervalo Tδ é p Tδ .
Podemos, mesmo, considerar desprezável a probabilidade de detectar mais do que um fotão
nesse pequeno intervalo. Mas então,
( )0, 1P T p Tδ δ= − . (A3)
Logo, das Eqs. (A2) e (A3), obtém-se
( ) ( ) ( )0, 0,0,
P T T P Tp P T
Tδδ
+ −= − . (A4)
16 Carlos R. Paiva
No limite 0Tδ → , vem
( ) ( ) ( ) ( )0,0, 0, exp
d P Tp P T P T pT
dT= − ∴ = − (A5)
uma vez que deverá ser, como é óbvio, ( )0,0 1P = .
Consideremos, agora, o caso 1n ≥ . Neste caso, como ou não são detectados fotões no
intervalo Tδ ou apenas um fotão é detectado (uma vez que se despreza a possibilidade de
detectar mais do que apenas um fotão nesse intervalo elementar), é possível escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 0, 1, 1,P n T T P n T P T P n T P Tδ δ δ+ = + −
( ) ( )( ) ( ), , 1 1,P n T T P n T p T P n T p Tδ δ δ∴ + = − + −
donde se infere que, no limite 0Tδ → e para 1n ≥ ,
( ) ( ) ( ),, 1,
d P n Tp P n T p P n T
dT= − + − . (A6)
Para resolver a Eq. (A6) vai-se admitir – tal como esta mesma equação sugere – que se
tem ( ) ( ) ( ),P n T u T v T= . Pelo que
( ) ( ) ( ),d P n T dv duu T v TdT dT dT
= + . (A7)
Logo, atendendo às Eqs. (A6) e (A7), vem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,dv duu T v T pu T v T p P n TdT dT
+ = − + −
( ) ( ) ( )0 expdv p v T v T v pTdT
∴ = − ⇒ = − . (A8)
Teoria Elementar da Fotodetecção 17
Mas então, tira-se que
( ) ( ) ( )01, expdu dup P n T v T v pTdT dT
− = = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
exp 1, 1, expTdu p ppT P n T u T P n s ps d s
dT v v∴ = − − ⇒ = − −∫ . (A9)
Portanto, das Eqs. (A8) e (A9), resulta finalmente que (para 1n ≥ )
( ) ( ) ( ) ( )0
, exp 1, expT
P n T p pT P n s ps d s= − − −∫ . (A10)
Esta equação permite determinar ( ),P n T a partir de ( )1,P n T− para 1n ≥ . O caso 0n = foi
estabelecido anteriormente através da Eq. (A5). Assim, obtém-se sucessivamente
( ) ( )0, expP T pT= −
( ) ( ) ( )1, expP T pT pT= −
( ) ( ) ( )2
2, exp2!
pTP T pT= −
( ) ( ) ( )3
3, exp3!
pTP T pT= −
ou, no caso geral,
( ) ( ) ( ), exp!
npTP n T pT
n= − . (A11)
O valor máximo de ( ),P n T ocorre para pT n= . Com efeito, fazendo x pT= , vem
( ) ( )1, e 0!
xnd P n T
x x n x nd x n
−−= − = ∴ = .
18 Carlos R. Paiva
Na Fig. A representa-se a probabilidade ( ),P n T em função da variável x pT= para vários
valores de n . Para valores elevados de n a distribuição de Poisson aproxima-se de uma
distribuição gaussiana centrada em pT n= com um desvio padrão de n .
Figura A Distribuição de Poisson: probabilidade de detectar n fotões no intervalo de tempo
T para uma taxa média de p fotões por segundo de acordo com (A11), i.e., supondo que um
fotão é detectado no intervalo (em segundos) 1 p .
Recordando a Eq. (A1) bem como o significado de ( ),P n T neste apêndice, infere-se
por fim que
( ){ } ePr!
n mmN t nn
−
= = (A12)
que é precisamente a Eq. (5).
A Eq. (A6) pode ainda ser utilizada na determinação do valor médio n . Com efeito,
por definição,
Teoria Elementar da Fotodetecção 19
( )0
,n
n n P n T∞
=
=∑ . (A13)
Logo, de acordo com a Eq. (A6), vem por derivação
( ) ( ) ( )0 0
,, 1,
n n
d n d P n Tn n p P n T p P n T
dT dT
∞ ∞
= =
= = − + −⎡ ⎤⎣ ⎦∑ ∑
( ) ( ) ( )0 0
, 1 ,n n
d np n P n T p n P n T
dT
∞ ∞
= =
= − + +∑ ∑
( )1 1d n
p n p n p n p n pdT
∴ = − + + = − + + = .
Assim, integrando este resultado, infere-se que
n pT= . (A14)
Esta última equação está de acordo com o nosso ponto de partida, i.e., com a Eq. (A1). Este
mesmo resultado também se poderia obter substituindo a Eq. (A11) na Eq. (A13) e derivando
a conhecida relação
0
en x
nx
∞
=
=∑
com x pT= .
Usando um raciocínio semelhante, viria – também através da Eq. (A6) – o seguinte
resultado
( ) 21 2 2d n n p n p TdT
− = = . (A15)
Novamente, integrando esta equação, obtém-se
20 Carlos R. Paiva
( ) ( )2 22 2n n pT n pT pT− = ⇒ = +
22n n pT n∴ − = = . (A16)
Note-se, para terminar, que
( )2 2 22 22n n n n n n n n− = − + = −
( )2n n pT∴ − = . (A17)
Teoria Elementar da Fotodetecção 21
8 1
1
34
19
2.99792458 10 ms1.380658(12) 10 JK
1.05457266(63) 10 Js1.60217733(49) 10 C
B
ck
q
−
−
−
−
= ×
= ×
= ×
= ×
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