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DERIVADA
Aula 01 – Matemática II – Agronomia
Prof. Danilene Donin Berticelli
•O que você sabe sobre Derivadas?
1. Qual o significado de reta tangente?
2. Qual é a relação de derivadas com aceleração e velocidade instantâneas?
3. O que significa a derivada de uma função em um ponto?
• Utilizamos o conceito de derivadas no estudo de taxas de variações como:
• Velocidades
• Acelerações
• Produtividade
• Taxa de crescimento de população
• Taxa de infecção de uma população...
• As derivadas são interpretadas como inclinações e taxas de variação.
• Domínio de gráficos de funções e suas derivadas.
• Usamos a definição de derivadas para calcular as derivadas de funções
definidas por fórmulas.
• Trabalhamos com as regras de derivação para minimizar o tédio...
• Usamos as regras para resolver problemas envolvendo taxas de variação e
aproximação de funções.
A Derivada
• O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para
estudar as taxas de variações é um método conhecido como derivação.
• As taxas de variações são aplicadas em diversos ramos da Ciência.
A Derivada
• Derivação método utilizado para estudar taxas de variação.
Derivada - Definição
• A expressão:
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
é chamada de quociente da diferença da função f(x).
Derivada de uma Função
• A derivada da função f(x) em relação a x é a função f ’(x) dada por:
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
• E o processo de calcular a derivada é chamado de derivação.
• Dizemos que uma função é derivável no ponto c se f ’(c) existe, ou seja, se o
limite do quociente diferença que define f ’(x) existe no ponto x = c.
Significado do sinal da Derivada f ’(x)
Se a função f é derivável em x = c,
f é crescenteem x = c
f ’(x) > 0
f é decrescenteem x = c
f ’(x) < 0
Função Derivada
𝑦 = 𝑐 𝑦′ = 0
𝑦 = 𝑥 𝑦′ = 1
𝑦 = 𝑐. 𝑓(𝑥) 𝑦′ = 𝑐. 𝑓′(𝑥)
𝑦 = ℎ 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑦′ = ℎ′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)
𝑦 = ℎ 𝑥 . 𝑔(𝑥) 𝑦′ = ℎ′ 𝑥 . 𝑔 𝑥 + ℎ 𝑥 . 𝑔′(𝑥)
𝑦 =ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)𝑦′ =
𝑔 𝑥 . ℎ′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 . ℎ(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
𝑦 = 𝑎𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑦′ = 𝑎𝑥. ln 𝑎
Considere f(x), h(x) e g(x) como funções deriváveis:
Função Derivada
𝑦 = 𝑎𝑢 𝑦´ = 𝑎𝑢. ln 𝑎. 𝑢´
𝑦 = 𝑒𝑢 𝑦´ = 𝑒𝑢. 𝑢´
𝑦 = log𝑎 𝑢 𝑦´ =𝑢´
𝑢log𝑎 𝑒
𝑦 = ln 𝑢𝑦´ =
𝑢´
𝑢
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑦´ = cos 𝑢. 𝑢´
𝑦 = cos 𝑢 𝑦´ = −𝑠𝑒𝑛 𝑢. 𝑢´
Considere u e v como funções deriváveis:
Calcule a derivada das funções:a) 𝑦 = 𝑥−4
b)𝑦 = −2
c) 𝑦 = 𝜋𝑟2
d)𝑦 = 2𝑥
e) 𝑦 =9
𝑡
f) 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 3
g) 𝑦 = 𝑥9 − 5𝑥8 + 𝑥 + 12
h)𝑦 = −0,02𝑥3 + 0,3𝑥
i) 𝑦 =1
𝑡+
1
𝑡2−
1
𝑡
j) 𝑦 =𝑥5−4𝑥²
𝑥³
k) 𝑦 = 3 𝑥 +13 𝑥
Derivadas trigonométricas
FUNÇÃO FÓRMULA
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦´ = cos 𝑥
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑦´ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 𝑦´ = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑦´ = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥
𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑦´ = sec 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑦´ = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
Calcule as derivadas a seguir:
1) 𝑓 𝑥 = 10(3𝑥2 + 7𝑥 − 3)10
2) 𝑓 𝑥 = (7𝑥2 + 6𝑥)7. ((3𝑥 − 1)4
3) 𝑓 𝑥 =3(3𝑥2 + 6𝑥 − 2)2
4) 𝑓 𝑥 =2𝑥+1
𝑥−1
5) 𝑓 𝑥 = 23𝑥2+6𝑥
6) 𝑓 𝑥 =1
3𝑒3−𝑥
7) 𝑓 𝑥 = log2(2𝑥 + 4)
8) 𝑓 𝑥 = ln(1
𝑥+
1
𝑥2)
9) 𝑓 𝑥 = cos(𝜋
2− 𝑥)
10) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛³(3𝑥2 + 6𝑥)