Derivada de Los 4 Pasos

5/7/2018 Derivada de Los 4 Pasos - slidepdf.com

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Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

MATEMÁTICAS BÁSICAS

DERIVADA

INCREMENTOS

Se define como incremento de la variable al aumento o disminución que experimenta, desde un valor

1 x a otro 2 x , en su campo de variación. Se denota por x∆ . Por tanto:

12 x x x −=∆

x1 x2

∆∆∆∆x = x2 - x1

x

y

De forma análoga, el incremento de la variable es el aumento o disminución que experimenta, desdeun valor 1 y a otro 2 y , en su campo de variación. Se denota por y∆ , esto es:

12 y y y −=∆

∆∆∆∆y = y2 - y1

x

y

y1 = f(x1)

y2 = f(x2)




2

Por definición, los incrementos pueden ser:

0>∆ si el valor final es mayor que el inicial

0<∆ si el valor final es menor que el inicial

0=∆ si el valor final es igual que el inicial

Ejemplos.

1) Sea 34 2 −= x y , obtener x∆ y y∆ si pasa de 2 a 5.2

Solución:

5.2,2 21 == x x

5.025.2 =−=∆ x

( ) ( ) ( ) 1331632422

11 =−=−=== f x f y

( ) ( ) ( ) 2232535.245.22

22 =−=−=== f x f y

12 y y y −=∆

91322 =−=∆ y

2) Sea 10263 −−= x x y , obtener x∆ y y∆ si pasa de 3 a 02.3

Solución:

02.3,3 21 == x x

02.0304.3 =−=∆ x

( ) ( ) ( ) ( ) 14610616210323633

11 =−−=−−=== f x f y

( ) ( ) ( ) ( ) 2216.1491004.62616.1651002.3202.3602.33

22 =−−=−−=== f x f y

12 y y y −=∆

2216.31462216.149 =−=∆ y

Como puede observarse, 2 y es el valor final de la variable dependiente cuando a x se le asigna el valor

2 x . De la misma forma, 1 y es el valor inicial de la variable dependiente cuando a x se le asigna el valor

inicial 1 x . Esto es:

( )11 x f y =

( )22 x f y =

Ahora, de 12 x x x −=∆ , se despeja 2 x :

x x x ∆+= 12

por lo que 2 y es:

( ) ( ) x x f x f ∆+= 12

por lo tanto, sustituyendo en 12 y y y −=∆ :

( ) ( )11 x f x x f y −∆+=∆

Esto significa que al darle un incremento a en el punto 1 x le corresponde a y un incremento:

( ) ( )11 x f x x f y −∆+=∆ .




3

Ahora, si a la expresión anterior se divide por x∆ :

( ) ( ) x f x x f y

∆−∆+

=∆∆ 11

se obtiene el cociente de incrementos .

DEFINICIÓN DE DERIVADA

Se define como derivada de una función ( ) x f y = con respecto a x en un punto 1 x , al límite, si existe,

del cociente de incrementos x

y

∆∆

cuando x∆ tiende a cero.

Esto significa que la derivada es el límite del cociente del incremento de la variable dependiente, entre elincremento de la variable independiente, cuando éste tiende a cero, y se denota por:

( ) ( ) ( ) x

x f x x f x f x ∆

−∆+=→∆

11

01 lim'

Las notaciones más comunes de la derivada de la función ( ) x f y = con respecto a x son:

' y ó ( ) x f ' Notación de Lagrange

dx

dyó

( )dx

xdf Notación de Leibniz

y D x ó ( ) x f D x Notación de Cauchy

•

y ó ( )

•

x f Notación de Newton

La más usada es la notación de Leibniz1. Las distintas partes de estas expresión carecen de todo

significado cuando se consideran separadamente. Las d no son números, no pueden simplificarse, y la

expresión completa no es el cociente de otros dos números ""dy y ""dx '.

Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba no como el

límite de los cocientes( ) ( )

x

x f x x f

∆−∆+ 11

, sino como el “valor” de este cociente cuando x∆ es un

número infinitamente pequeño . Esta cantidad “infinitamente pequeña” fue designada por dx y la

correspondiente diferencia “infinitamente pequeña” ( ) ( ) x f x x f −∆+ por ( ) xdf .

MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS

Para hallar la derivada de una función se sigue un procedimiento conocido como método de los cuatro pasos que consiste en:

1Leibniz es generalmente considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal (junto con Newton).




4

1. A la función en x se le incrementa en x∆ : ( ) x x f ∆+

2. A lo obtenido, se le resta la función original, es decir ( ) ( ) x f x x f −∆+

3. Se divide todo por x∆ :( ) ( ) x f x x f

∆−∆+

4. Se toma el límite cuando x∆ tiende a cero: ( ) ( ) x f x x f x ∆ −∆+→∆ 0lim , y si existe este límite, es su derivada.

Ejemplos.Aplicando el método de los cuatro pasos, obtener la derivada de las siguientes funciones.

1) 35 −= x y

Solución:

( ) 35 −= x x f

1er

paso: ( ) ( ) 35 −∆+=∆+ x x x x f

2º paso: ( ) ( ) ( ) ( )3535 −−−∆+=−∆+ x x x x f x x f

x x x x ∆=+−−∆+= 535355

3er

paso:( ) ( )

55

=∆∆

=∆

−∆+ x

x x f x x f

4º paso:( ) ( )

55limlim00

==∆

−∆+→∆→∆ x x x

x f x x f

( ) 5' ==∴dx

dy x f

2) 6742 +−= x x y

Solución:

( ) 674 2+−= x x x f

1er

paso: ( ) ( ) ( ) 6742 +∆+−∆+=∆+ x x x x x x f

( )( ) ( ) 677484677242222 +∆−−∆+∆+=+∆−−∆+∆+= x x x x x x x x x x x x

2º paso: ( ) ( ) ( ) ( )674677484222 +−−+∆−−∆+∆+=−∆+ x x x x x x x x x f x x f

( ) 674677484 222 −+−+∆−−∆+∆+= x x x x x x x x

( ) x x x x ∆−∆+∆= 7482

3er

paso:( ) ( ) ( )

748748

2

−∆+=∆

∆−∆+∆=

∆−∆+

x x x

x x x x

x

x f x x f

4º paso: ( ) ( ) ( ) 78748limlim00

−=−∆+=∆ −∆+ →∆→∆x x x

x x f x x f

x x

( ) 78' −==∴ xdx

dy x f

3) 11523 −−= x x y

Solución:




5

( ) 11523 −−= x x x f

1er

paso: ( ) ( ) ( ) 11523 −∆+−∆+=∆+ x x x x x x f

( ) ( )( ) ( ) ( ) 11552662115533232233223 −∆−−∆+∆+∆+=−∆−−∆+∆+∆+= x x x x x x x x x x x x x x x x

2º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11521155266233223 −−−−∆−−∆+∆+∆+=−∆+ x x x x x x x x x x x f x x f

( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x x x x ∆−∆+∆+∆=++−−∆−−∆+∆+∆+= 5266115211552662 32233223

3er

paso:( ) ( ) ( ) ( )

( ) 52665266 22

322

−∆+∆+=∆

∆−∆+∆+∆=

∆−∆+

x x x x x x x x x x x f x x f

4º paso:( ) ( )

( )( ) 565266limlim 222

00−=−∆+∆+=

∆−∆+

→∆→∆x x x x x

x

x f x x f

x x

( ) 56' 2 −==∴ xdx

dy x f

4)2

7

x

y =

Solución:

( )2

7 x f =

1er

paso: ( )( )2

7

x x x x f

∆+=∆+

2º paso: ( ) ( )( ) 22

77

x x x x f x x f −

∆+=−∆+ , simplificando las fracciones:

( )

( )

( )( )( )

( )

( ) 22

222

22

222

22

22 7147727777

x x x

x x x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x x

∆+

∆−∆−−=

∆+

∆+∆+−=

∆+

∆+−=

( )

( ) 22

2714

x x x

x x x

∆+

∆−∆−=

3er

paso:( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) 2222

222

2

714714

714

x x x

x x

x x x x

x x x

x

x x x

x x x

x

x f x x f

∆+

∆−−=

∆∆+

∆−∆−=

∆∆+

∆−∆−

=∆

−∆+

4º paso:( ) ( )

( ) 34222200

141414714limlim

x x

x

x x

x

x x x

x x

x

x f x x f

x x−=

−=

−=

∆+

∆−−=

∆−∆+

→∆→∆

( )3

14'

dx

dy x f −==∴

5) x y 3=

Solución:

( ) x x f 3=

1er

paso: ( ) ( ) x x x x f ∆+=∆+ 3

2º paso: ( ) ( ) ( ) x x x x f x x f 33 −∆+=−∆+




6

multiplicando arriba y abajo por el conjugado del binomio, se tiene:

( ) x x x

x

x x x

x x x

x x x

x x x x x x

333

3

333

333

333

333333

+∆+

∆=

+∆+

−∆+=

+∆+

+∆+⋅−∆+=

3er

paso:

( ) ( )

( ) x x x x x x x

x

x

x x x

x

x

x f x x f

333

3

333

3333

3

+∆+=∆+∆+

∆

=∆

+∆+

∆

=∆

−∆+

4º paso:( ) ( )

x x x x x x x

x f x x f

x x 32

3

33

3

333

3limlim

00=

+=

+∆+=

∆−∆+

→∆→∆

( ) xdx

dy x f

32

3' ==∴

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Sea una función ( ) x f y = . Si se toma un punto cualquiera ( ) y x P , y se efectúa un incremento

cualquiera 1 x∆ se obtiene su respectivo incremento 1 y∆ en el punto ( ) y y x xQ ∆+∆+ ,1 . La razón

1

1

x

y

∆∆

representa la pendiente del segmento 1 PQ .

Ahora, si P permanece fijo y x∆ es cada vez más pequeño, lo que sucede es que el punto Q se

mueve sobre la curva acercándose a P . Cada vez que disminuye x∆ , la recta 1 PQ gira en torno a P

hasta que llega a su posición límite que es la tangente a la curva en el punto P . Por lo tanto el

( ) ( ) x f x x f

x ∆−∆+

→∆ 0lim es la pendiente de la tangente a la curva ( ) x f y = en el punto P .

y

x

P(x,y)

∆∆∆∆x5

y = f(x)

∆∆∆∆y2

∆∆∆∆y3

∆∆∆∆y4∆∆∆∆y5

∆∆∆∆y1

∆∆∆∆x4

∆∆∆∆x3

∆∆∆∆x2

∆∆∆∆x1

0 ←←←← ∆∆∆∆x

Q1(x+∆∆∆∆x,y+∆∆∆∆y)

Rectatangente

Q4

Q5

Q3

Q2

La interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente en el punto ( ) y x P , .




7

DERIVABILIDAD DE FUNCIONES

Una función ( ) x f es derivable en el punto 1 x si ( )a f ' existe. Por su parte, una función es derivable en

un intervalo abierto ( )ba, si es derivable en cualquier punto del intervalo.

Es importante resaltar que: si ( ) x f es derivable en un punto 1 x , entonces ( ) x f es continua en 1 x , sin

embargo, el caso inverso, no necesariamente es cierto porque hay funciones que son continuas pero noson derivables.

En general, si la gráfica de una función presenta cualquiera de los siguientes tres casos, entonces unafunción no es derivable.

1. Si posee “picos” ya que la función no posee tangente en esos puntos y no es derivable allí debido a

que al calcular ( )1' x f se encuentra que los límites laterales son diferentes.

x1x

y

Un “pico”

2. Si una función ( ) x f no es continua en 1 x entonces no es derivable en ese punto, por lo tanto, encualquier discontinuidad, la función deja de ser derivable.

x1x

y

Discontinuidad

3. Si la curva tiene una recta tangente vertical cuando 1 x x = . Esto es: ( ) x f es continua en 1 x y

( ) ∞=→ 1'lim

1

x f x x

, lo que significa que las tangentes se vuelven cada vez más pronunciadas.




8

x1

x

y

Tangente vertical

A pesar de que la gráfica tome la apariencia de una recta, mientras no presente un cambio brusco enforma de esquina, entonces la función es derivable. Las siguientes gráficas muestran esto en un punto

1 x x = :

x1

x

y

f(x) es derivable en x = x1

x1

x

y

f(x) no es derivable en x = x1

Ejemplo.

Determinar los puntos en que la función ( ) x x f = es derivable.

Solución:Como el valor absoluto de x presenta tres posibles valores, se analiza por separado:

• Si 0> x , se tiene: ( ) 11limlimlimlim'0000

==∆∆

=∆

−∆+=

∆

−∆+=

→∆→∆→∆→∆ x x x x

x

x

x x x

x

x x x x f

Por tanto, la función es derivable para 0> x .

• Si 0< x , se tiene:




9

( )( ) ( )

( ) 11limlimlimlim'0000

−=−=∆∆−

=∆

−−∆+−=

∆

−∆+=

→∆→∆→∆→∆ x x x x

x x x x x x x x f

Por tanto, la función es derivable para 0< x .

• Si 0= x , se tiene:

( )

x

x f x ∆

−∆+

= →∆

00

lim' 0 (si existe)

Se comparan los límites laterales por separado:

11limlimlim00

lim0000

==∆∆

=∆

∆=

∆

−∆+++++ →∆→∆→∆→∆ x x x x

x

x

x

x

x

( ) 11limlimlim00

lim0000

−=−=∆∆−

=∆

∆=

∆

−∆+−−−− →∆→∆→∆→∆ x x x x x

x x

x

x

Puesto que ( ) ( )0lim0lim00 f f

x x −+ →∆→∆≠ , no existe ( )0' f . Por lo tanto ( ) x f es derivable para toda x

excepto en 0= x .

En la gráfica siguiente se aprecia como la función no posee tangente en 0= x .

0 x

y

y = f(x) = x

2 4-2-4

2

4

FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

Sean las funciones ( )u f y = y ( ) x g u = , tal que se forme una composición de funciones que cumpla

con: ( )( ) x g f y = .

La derivadadx

dyde la función compuesta se obtiene por medio de:

dx

du

du

dy

dx

dy⋅=

Expresión conocida también como la regla de la cadena .




10

La regla de la cadena es muy útil en cambios de variable a fin de simplificar la derivación de funciones: auna parte de la función se le denota como u , se deriva la función respecto a esta variable, se le

multiplica pordx

duy finalmente se sustituye u por la parte correspondiente de la función original en .

Sean wvu ,, tres funciones de , es decir, ( ) ( ) ( ) x f w x f v x f u === ,, y c una constante. Las once

primeras formulas básicas de derivación, considerando la regla de la cadena, son:

1) ( ) 0=cdx

d

Demostración:

( ) c x f =

1er

paso: ( ) c x x f =∆+

2º paso: ( ) ( ) 0=−=−∆+ cc x f x x f

3er

paso:( ) ( )

00

=∆

=∆

−∆+ x

x f x x f

4º paso: ( ) ( ) 00limlim00

==∆

−∆+→∆→∆ x x

x f x x f

( ) ( ) 0' ==∴ cdx

d x f

La derivada de una constante siempre es cero .

2) ( ) 1= xdx

d

Demostración:

( ) x x f =

1er

paso: ( ) x x x x f ∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x f x x f ∆=−∆+=−∆+=−∆+

3er

paso:( ) ( )

1=∆∆

=∆

−∆+ x

x

x

x f x x f

4º paso:( ) ( )

( ) 11limlim00

==∆

−∆+→∆→∆ x x

x f x x f

( ) ( ) 1' ==∴ xdx

d x f

La derivada de , respecto a si misma, es uno .

3) ( ) c xcdxd =⋅

Demostración:

( ) xc x f ⋅=

1er

paso: ( ) ( ) x xc x x f ∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) xccx xccxcx x xc x f x x f ∆=−∆+=−∆+=−∆+




11

3er

paso:( ) ( )

c x

xc

x

x f x x f =

∆∆

=∆

−∆+

4º paso:( ) ( )

( ) cc x

x f x x f

x x==

∆−∆+

→∆→∆ 00limlim

( ) ( ) c xcdx

d

x f =⋅=∴ '

La derivada de una función por una constante es igual a la constante .

4) ( )dx

dw

dx

dv

dx

duwvu

dx

d ++=++

Demostración:

( ) wvu x f ++=

1er

paso: ( ) ( ) ( ) ( ) x xw x xv x xu x x f ∆++∆++∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xw xv xu x xw x xv x xu x f x x f −−−∆++∆++∆+=−∆+

3er

paso:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xw x xw xv x xv xu x xu x f x x f

∆

−∆++−∆++−∆+

=∆

−∆+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x

xw x xw

x

xv x xv xu x xu

∆−∆+

+∆

−∆++

∆−∆+

=

4º paso:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xw x xw xv x xv

x

xu x xu

x

x f x x f

x x x x ∆−∆+

+∆

−∆++

∆−∆+

=∆

−∆+→∆→∆→∆→∆ 0000

limlimlimlim

( ) ( )dx

dw

dx

dv

dx

duwvu

dx

d wvu f ++=++=++∴ '

La derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de esas funciones.

5) ( )dx

duv

dx

dvuvu

dx

d ⋅+⋅=⋅

Demostración:

( ) vu x f ⋅=

1er

paso: ( ) ( ) ( ) x xv x xu x x f ∆+⋅∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xv xu x xv x xu x f x x f ⋅−∆+⋅∆+=−∆+

3er

paso:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x

xv xu x xv x xu x f x x f

∆⋅−∆+⋅∆+

=∆

−∆+

restando y sumando: ( ) ( ) x xu xv ∆+⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xv xu x xu xv x xu xv x xv x xu x f x x f

∆⋅−∆+⋅+∆+⋅−∆+⋅∆+=

∆−∆+

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] x

xu x xu xv xv x xv x xu

∆−∆++−∆+∆+

=

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] x

xu x xu xv xv x xv x xu

∆−∆+

+∆

−∆+∆+=

4º paso:




12

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] x

xu x xu xv xv x xv x xu x f x x f

o x x x ∆−∆+

+∆

−∆+∆+=

∆−∆+

→∆→∆→∆limlimlim

00

( )( ) ( )

( )( ) ( )

x

xu x xu xv

x

xv x xv x xu

o x x x x ∆−∆+

⋅+∆

−∆+⋅∆+=

→∆→∆→∆→∆limlimlimlim

000

( ) ( ) dx

du

vdx

dv

uvudx

d

vu f ⋅+⋅=⋅=⋅∴ '

La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera función multiplicada por la derivada de la segunda, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera .

6) ( )dx

duwv

dx

dvwu

dx

dwvuwvu

dx

d ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅

Demostración:

( ) ( ) ( ) ( ) xw xv xu x f ⋅⋅=

1er

paso: ( ) ( ) ( ) ( ) x xw x xv x xu x x f ∆+⋅∆+⋅∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xw xv xu x xw x xv x xu x f x x f ⋅⋅−∆+⋅∆+⋅∆+=−∆+

3er

paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x

xw xv xu x xw x xv x xu x f x x f

∆⋅⋅−∆+⋅∆+⋅∆+=

∆−∆+

restando y sumando: ( ) ( ) ( ) xw x xv x xu ⋅∆+⋅∆+ y ( ) ( ) ( ) xw xv x xu ⋅⋅∆+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xw x xv x xu x xw x xv x xu x f x x f

∆⋅∆+⋅∆+−∆+⋅∆+⋅∆+

=∆

−∆+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x

xw xv x xu xw x xv x xu

∆⋅⋅∆+−⋅∆+⋅∆+

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xw xv xu xw xv x xu

∆⋅⋅−⋅⋅∆+

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x xv x xv xw x xu xw x xw x xv x xu x f x x f

∆−∆+

⋅⋅∆++∆−∆+

⋅∆+⋅∆+=∆−∆+

( ) ( )( ) ( ) xu x xu

xw xv∆

−∆+⋅⋅+

4º paso:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) x

xw x xw x xv x xu

x

x f x x f

x x x ∆−∆+

⋅∆+⋅∆+=∆

−∆+→∆→∆→∆ 000

limlimlim

( ) ( )( ) ( ) xv x xv

xw x xu x x ∆

−∆+⋅⋅∆++

→∆→∆ 00limlim

( ) ( )( ) ( )

x

xu x xu xw xv

o x x∆

−∆+⋅⋅+

→∆→∆limlim

0

( ) ( )dx

duwv

dx

dvwu

dx

dwvuwvu

dx

d vu f ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅∴ '

La derivada de un producto de tres funciones es igual al producto de la primera y la segunda funciones por la derivada de la tercera, más el producto de la primera y la tercera funciones por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda y la tercera funciones por la derivada de la primera .




13

7) 01

≠=

c

cc

x

dx

d

Demostración:

( )c

x x f =

1er

paso: ( ) ( )c

x x x x f ∆+=∆+

2º paso: ( ) ( )( )

c

x

c

x

c

x

c

x

c

x

c

x x x f x x f

∆=−

∆+=−

∆+=−∆+

3er

paso:( ) ( )

c x

c

x

x f x x f 1=

∆

∆

=∆

−∆+

4º paso:( ) ( )

cc x

x f x x f

x x

11limlim

00=

=∆

−∆+→∆→∆

( ) 01' ≠= =∴ c

cc x

dxd x f

La derivada del cociente de la función identidad sobre una constante es igual al inverso multiplicativo de la constante .

8)2

1

x

c

xdx

d c

x

c

dx

d −=

⋅=

Demostración:

( ) x

c x f =

1er

paso: ( ) x

c

x x f ∆+=∆+

2º paso: ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) x x x

xc

x x x

xccxcx

x x x

x xccx

x

c

x x

c x f x x f

∆+∆

−=∆+

∆−−=

∆+∆+−

=−∆+

=−∆+

3er

paso:( ) ( ) ( )

( ) ( ) x x x

c

x x x x

xc

x

x x x

xc

x

x f x x f

∆+−=

∆∆+∆

−=∆

∆+∆

−=

∆−∆+

4º paso:( ) ( )

( ) 200limlim

x

c

x x x

c

x

x f x x f

x x−=

∆+−=

∆−∆+

→∆→∆

( ) 2' x

c

x

c

dx

d

x f −=

=∴

La derivada del cociente de una constante sobre la función identidad es igual a la constante dividida por el cuadrado de la función afectado todo por un signo negativo .

9) 0,2

≠⋅−⋅

=

v

v

dx

dvu

dx

duv

v

u

dx

d

Demostración:




14

( )( )( ) xv

xu x f =

1er

paso: ( )( )( ) x xv

x xu x x f

∆+∆+

=∆+

2º paso: ( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) xv x xv

x xv xu xv x xu

xv

xu

x xv

x xu x f x x f ⋅∆+

∆+⋅−⋅∆+=−∆+

∆+=−∆+

restando y sumando: ( ) ( ) xv xu ⋅

( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) xv x xv

xv xu x xv xu xv xu xv x xu

xv

xu

x xv

x xu

x

x f x x f

∆⋅∆+

⋅+∆+⋅−⋅−⋅∆+

=∆

−∆+∆+

=∆

−∆+

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) x xv x xv

xv x xv xu xu x xu xv

∆⋅⋅∆+

−∆+−−∆+=

4º paso:( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) x xv x xv

xv x xv xu xu x xu xv

x

x f x x f

x x ∆⋅⋅∆+−∆+−−∆+

=∆

−∆+→∆→∆ 00

limlim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) xv x xv

x xv x xv xu

x xu x xu xv

x

x x

⋅∆+∆

−∆+⋅−∆

−∆+⋅=

→∆

→∆→∆

0

00

lim

limlim

4º paso:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )20

''lim

xv

xv xu xu xv

x

x f x x f

x

⋅−⋅=

∆−∆+

→∆

( ) 0;'2

≠⋅−⋅

=

=∴ vv

dx

dvu

dx

duv

v

u

dx

d x f

La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el

cuadrado del denominador .

10)1−⋅= nn xn x

dx

d

Demostración:

( ) n x x f =

1er

paso: ( ) ( )n x x x x f ∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) nn x x x x f x x f −∆+=−∆+

3er

paso:( ) ( ) x f x x f

∆−∆+

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) x x

x xnnn x xnn xnx x nn

nnnn

∆

−

∆+⋅⋅⋅+

∆−−+

∆−+

∆+

=

−−−

!3

21

!2

1

!1

33221

( ) ( )( ) ( )( ) 1

2321

!3

21

!2

1

!1

−−−−

∆⋅⋅⋅+∆−−

+∆−

+= nnnn

x x xnnn x xnnnx

4º paso:




15

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 11

2321

00 !3

21

!2

1

!1limlim

−−−−−

→∆→∆⋅=

∆⋅⋅⋅+

∆−−+

∆−+=

∆−∆+ nn

nnn

x x xn x

x xnnn x xnnnx

x

x f x x f

( ) ( ) 1' −⋅==∴ nn xn xdx

d x f

La derivada de una potencia de x es igual al exponente multiplicado por x elevado al exponente menos

uno .

En resumen y aplicando la regla de la cadena, en donde ( ) x f u = , las expresiones anteriores toman la

siguiente forma:

1) ( ) 0=cdx

d 2) ( ) 1= x

dx

d

3) ( )dx

ducuc

dx

d ⋅=⋅ 4) ( )

dx

dw

dx

dv

dx

duwvu

dx

d ++=++

5) ( )dx

duv

dx

dvuvu

dx

d ⋅+⋅=⋅ 6) ( )

dx

duwv

dx

dvwu

dx

dwvuwvu

dx

d ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅

7) 01

≠⋅=

c

dx

du

cc

u

dx

d 8)

dx

du

u

c

udx

d c

u

c

dx

d ⋅−=

⋅=

2

1

9) 0,2

≠⋅−⋅

=

v

v

dx

dvu

dx

duv

v

u

dx

d 10)

dx

duunu

dx

d nn ⋅⋅= −1

Ejemplos.Aplicando las fórmulas de derivación, obtener la derivada de las siguientes funciones:

1) 4= y

0=dx

dy

2) x y 7=

7=dx

dy

3)3

4 x y =

212 xdx

dy=

4) 6582 +−= x x y

516 −= xdxdy

5) 111923 +−−= x x x y

11183 2 −−= x xdx

dy

6) ( )52 276 −−= x x y

Aplicando la regla de la cadena:




16

276 2 −−= x xu 5u y =

45udu

dy=

712 −= xdx

du

( ) ( )712276542 −−−=∴ x x x

dx

dy

para fines prácticos, se deriva a la función del paréntesis en su conjunto ( )u y se multiplica por la

derivada del contenido del paréntesis:

7) ( )324 1358 x x x y −−=

( ) ( )13103213583 3224 −−−−= x x x x xdx

dy

8) ( )543 6527 −−−= x x x y

( ) ( )582165275 32443 −−−−−= x x x x xdx

dy

9) ( )( )1341158129322 −+−−+−= x x x x x y

( )( ) ( )( )12181341151211108129 3222 −−+−−++−−+−= x x x x x x x xdx

dy

10) ( )( )961557816102234 +−++−−= x x x x x x y

( )( ) ( )( )716484096156305781610 232234 +−−+−+−++−−= x x x x x x x x x xdx

dy

11) ( )( )( )46981711432 −−−= x x x x y

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )172246982446171124981711 43242332 −−−+−−+−−= x x x x x x x x x x xdx

dy

12) ( )( )( )23245163125123 x x x x x y −+−−=

( )( )( ) ( )( )( ) x x x x x x x x x xdx

dy41635123329125123 23452245 −−−+−+−−=

( )( )( )34232 481516312 x x x x x −−++

13) ( ) ( )78532 14694 x x x x y +−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )243278768532 2789451461448146794 x x x x x x x x x x xdx

dy−−++++−=

14)6

114 2−−=

x x y

6

18 −=

x

dx

dy

15)( )

9

1247353

−−−

=x x

y




17

( ) ( )9

101212421 42253 x x x x

dx

dy −−−−=

16) x y =

2

1

x y =

x x

xdx

dy

2

1

2

1

2

1

2

12

1

===−

17)5 3 x y =

5

3

x y =

5 25

25

2

5

3

5

3

5

3

x x

xdx

dy===

−

18)4 69 x y =

( )41

69 x y =

( )( ) ( )4 36

5

4

36

554

36

94

54

94

54549

4

1

x

x

x

x x x

dx

dy===

−

19)6 82 x y =

( )61

82 x y =

( )

( )( )6 58

7

6

58

776

58

23

8

26

16162

6

1

x

x

x

x x x

dx

dy===

−

20)7 4

1

x y =

7

4

7

4

1 −== x

x

y

7 117

117

11

7

4

7

4

7

4

x x

xdx

dy−=−=−=

−

21)3 472 x x y −=

( )31

472 x x y −=

( ) ( )( ) ( )3

24

3

3

24

33

3

24

723

282

723

28228272

3

1

x x

x

x x

x x x x

dx

dy

−

−=

−

−=−−=

−

22)6 29 85

41

x x y

−

−=




18

( )( ) 6

129

6

129

8541

85

41 −−−=

−

−= x x

x x

y

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )6 729

8

6

729

886

729

856

164541

856

164541164585

6

41

x x

x x

x x

x x x x x x

dx

dy

−

−=

−

−=−−=

−

23) x

x x y

115

2372

2

−−−

=

( )( ) ( )( )

( )22

22

115

1110237314115

x x

x x x x x x

dx

dy

−

−−−−−−=

24)65

34

57

4138

x x

x x y

−++−

=

( )( ) ( )( )( )265

54342365

57

301354138393257

x x x

x x x x x x x x x

dx

dy

−+

−++−−−−+=

25) ( )5 8

33

2

1117

x x

x x y

−−−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )25 8

75

48332235 8

2

2825

111171121111732

x x

x x x x x x x x x x

dx

dy

−

−−−−−−−−−=

−

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )25 8

5 48

7332235 8

2

25

2811171121111732

x x

x x

x x x x x x x x

dx

dy

−

−

−−−−−−−−

=

26)3

175 −

= x

y

( )( )25

4

3

517

−−= x

x

dx

dy

27)46 53

6

x y

−=

( )( )246

35

53

20186

x x

x x

dx

dy

−

−−=

28) ( )39 28

14

x x y

−

−=

( ) ( ) ( )( )

( )( )49

8

69

829

28

27214

28

27228314

x x

x

x x

x x x

dx

dy

−

−=

−

−−−−=

29)32

7124

x x y +−=

3217124 −−− +−= x x x y




19

432

432 2124421244

x x x x x

dx

dy−+−=−+−= −−−

30)4

2

27

1539

5

14

8

6

x x x

x y −−++=

4227

15395

14

8

6 −−−

−−++= x x x x x y

538

538 6069

5

28

8

426069

5

28

8

42

x x

x x x x x

dx

dy+−+−−=+−+−−= −−−

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

La derivadadx

dyde una función ( ) x f y = se conoce como primera derivada. Si ésta es a su vez una

función derivable, su derivada se denomina segunda derivada de la función original, que se denota como:

( ) x f dx

yd

dx

dy

dx

d ''

2

2

==

La derivada de la segunda derivada, en caso de existir, se conoce como tercera derivada de la función:

( ) x f dx

yd

dx

yd

dx

d '''

3

3

2

2

==

El proceso es sucesivo, y mientras exista, la derivada enésima es: ( ) x f dx

yd n

n

n

= .

Ejemplo.

Obtener la tercera derivada de la función 1254223 −−−= x x x y

Solución:

586 2 −−= x xdx

dy

8122

2

−=

= xdx

dy

dx

d

dx

yd

122

2

3

3

=

=

dx

yd

dx

d

dx

yd

Ejemplo.

Obtener la quinta derivada de la función 1995722346 −−+−= x x x x y

Solución:

x x x xdx

dy18152812 235 −+−=




20

18308460 24

2

2

−+−=

= x x xdx

dy

dx

d

dx

yd

30168240 3

2

2

3

3

+−=

= x x

dx

yd

dx

d

dx

yd

168720 2

3

3

4

4

−=

= xdx

yd

dx

d

dx

yd

xdx

yd

dx

d

dx

yd 440,1

4

4

5

5

=

=

Ejemplo.

Obtener la séptima derivada de la función y5

=

Solución:1

5

−=x y

25 −−= xdx

dy

3

2

2

10 −=

= xdx

dy

dx

d

dx

yd

4

2

2

3

3

30 −−=

= x

dx

yd

dx

d

dx

yd

5

3

3

4

4

120 −=

= x

dx

yd

dx

d

dx

yd

6

4

4

5

5

600 −−=

= xdx

yd

dx

d

dx

yd

7

5

5

6

6

600,3 −=

= x

dx

yd

dx

d

dx

yd

8

8

6

6

7

7 200,25200,25

x x

dx

yd

dx

d

dx

yd ==

= −

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA IMPLÍCITA

Como se definió en el primer capítulo, una función expresada en forma implícita es de la forma

( ) 0, = y x f . Para encontrar la derivada podría encontrarse su equivalente forma explícita y derivar. Sin

embargo, como se sabe, no siempre es fácil despejar la variable dependiente, por lo que resultanecesario derivar en forma implícita.




21

En este sentido, la derivadadx

dyde una función ( ) 0, = y x f se puede obtener efectuando el

procedimiento que consta de los siguientes pasos:

1. Se expresa el operador

dx

dya cada término de la función

2. Se deriva cada término, considerando la regla del producto (que en su caso aplique), y además, tomandoen cuenta que la derivada de una función en y con respecto a es igual a la derivada de esta función

con respecto a y multiplicada por la derivada de con respecto a x , esto es:( ) ( )

dx

dy

dy

ydf

dx

ydf ⋅=

3. Se acomodan en el primer miembro todos los términos que posean al operadordx

dyy en el segundo

miembro a los que no lo tengan, siempre respetando las reglas de los signos.

4. Se factoriza el operadordx

dy

5. Finalmente, se obtiene la derivadadxdy al despejarla de la expresión resultante.

Ejemplos.Hallar la derivada de las siguientes funciones expresadas en forma implícita:

1) 0122545432 =−−+ y x y x

Solución:

012254 5432

dx

d

dx

d y

dx

d x

dx

d y x

dx

d =−−+

001020834 43322 =−−++dx

dy y x x y

dx

dy y x

33422 2081034 x xydx

dy y

dx

dy y x −−=−

( ) 33422 2081012 x xy y y xdx

dy−−=−

422

33

1012

208

y y x

x xy

dx

dy

−−−

=

2) 01578263533645 =+−++− y x y y x x

Solución:

01578263 533645

dxd

dxd y

dxd x

dxd y

dxd y x

dxd x

dxd =+−++−

003524624661542236544 =+−++

+−dx

dy y x

dx

dy y x y

dx

dy y x x

035246243615 42263544 =−++−−dx

dy y x

dx

dy y y x

dx

dy y x x




22

26344254 24241535636 x y x xdx

dy y

dx

dy y

dx

dy y x −+−=−+−

( ) 26344254 24241535636 x y x x y y y xdx

dy−+−=−+−

4254

2634

35636

242415

y y y x

x y x x

dx

dy

−+−−+−

=

3) 0111072837434 =−−+− y x x y x x

Solución:

01110728 37434

dx

d

dx

d y x

dx

d x

dx

d y x

dx

d x

dx

d =−−+−

003010496423223624333 =−

+−+

+− x ydx

dy x x x y

dx

dy y x x

03010496832 23642333 =−−+−− y x

dx

dy x x y x

dx

dy y x x

y x x y x xdx

dy x

dx

dy y x 26423333 3049632108 +−+−=−−

( ) y x x y x x x y xdx

dy 26423333 3049632108 +−+−=−−

333

26423

108

3049632

x y x

y x x y x x

dx

dy

−−+−+−

=

4) 011585116 534323 =−+−+− x y x y y x x

Solución:

011585116 534323

dxd

dxd x

dxd y x

dxd y

dxd y x

dxd x

dxd =−+−+−

0052458202231118 254333222 =−+

+−+

+− x ydx

dy y x

dx

dy y x y

dx

dy y x x

05244020223318 524333222 =+−−+−− y xdx

dy y x

dx

dy y xy

dx

dy y x x

5242218402033 523243322 −++−=−+− y x xy xdx

dy y x

dx

dy y

dx

dy y x

( ) 5242218402033 523243322 −++−=−+− y x xy x y x y y xdx

dy

43322

5232

402033

5242218

y x y y x

y x xy x

dx

dy

−+−−++−

=

5) 0461091282234 =−+−++ x xy y y x x

Solución:

046109128 2234

dx

d

dx

d x

dx

d xy

dx

d y

dx

d y x

dx

d x

dx

d =−+−++




23

0061010183621232 2233 =−+

+−+

++ ydx

dy x

dx

dy y x y

dx

dy y x x

06101018362432 2233 =+−−+++ ydx

dy x

dx

dy y y x

dx

dy y x x

6103632101824 2233 −+−−=−+ y y x xdx

dy x

dx

dy y

dx

dy y x

( ) 6103632101824 2233 −+−−=−+ y y x x x y y xdx

dy

x y y x

y y x x

dx

dy

101824

61036323

223

−+−+−−

=

Si se tiene una función ( ) 0, = y x f , se conoce como derivada parcial de f con respecto a a la

derivada de la función, sólo considerando a x como variable y lo demás como constante2. Se denota

como:

x

f

∂∂

Similarmente, la derivada parcial de f con respecto a y es la derivada de la función, sólo considerando

a y como variable y lo demás como constante. Se denota como:

y

f

∂∂

Ejemplos.

Obtener f

∂∂ y

y

f

∂∂ de las siguientes funciones:

1) 0269873562242 =++−++ x y y x y x x

616286 6232 +++=∂∂

xy y x x x

f

4524 454814 y y x y x y

f −+=

∂∂

2) 0129364427234 =−−+− y x y x y x

433 181216 xy x y x x

f −−=

∂∂

32624 362112 y x y y x y

f −+=

∂∂

2La definición de derivada parcial es mucho más formal y amplia que lo expuesto. El concepto dado aquí es sólo para poseer otro

recurso para resolver derivadas expresadas en forma implícita. En cursos posteriores de Cálculo se comprenderá el importantesignificado y utilidad de una derivada parcial.




24

Dada una función implícita de la forma ( ) y x f , , la derivadadx

dypuede obtenerse muy fácilmente a

través de la aplicación de derivadas parciales, por medio de la siguiente expresión:

y

f x

f

dx

dy

∂∂∂∂

−=

Ejemplos.

Aplicando derivadas parciales, obtenerdx

dyde las siguientes funciones expresadas en forma implícita:

1) 01091252234 =−+− y y x x

Solución:

y y x y x x

y

f x

f

dxdy

18243620

3

223

+−+−=

∂∂∂

∂

−=

2) 0157826353645 =+−++− y x y y x x

Solución:

4254

634

35636

82415

y y y x

y x x

y

f x

f

dx

dy

−+−−+−

=

∂∂∂∂

−=

Ejemplos.Comprobar los resultados de los primeros cinco ejercicios resueltos de este subtema.

1) 0122545432 =−−+ y x y x

Solución:

422

33

1012

208

y y x

x xy

y

f x

f

dx

dy

−−−

=

∂∂∂∂

−=

2) 01578263 533645=+−++− y x y y x x

Solución:

4254

2634

35636

242415

y y y x

x y x x

y

f x

f

dx

dy

−+−−+−

=

∂∂∂∂

−=




25

3) 0111072837434 =−−+− y x x y x x

Solución:

333

26423

108

3049632

x y x

y x x y x x

y

f x

f

dx

dy

−−+−+−

=

∂

∂∂∂

−=

4) 011585116534323 =−+−+− x y x y y x x

Solución:

43323

5232

402033

5242218

y x y y x

y x xy x

y

f x

f

dx

dy

−+−−++−

=

∂∂∂∂

−=

5) 0461091282234 =−+−++ x xy y y x x

Solución:

x y y x

y y x x

y

f x f

dx

dy

101824

61036323

223

−+−+−−

=

∂∂∂∂−

=

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA PARAMÉTRICA

Dada una función expresada en forma paramétrica, tal y como se definió en el tema I.6, de la forma:

( )

( )

=

=

t f y

t f x

Su derivada viene dada por:

dt

dxdt

dy

dx

dy=

Ejemplos.Obtener la derivada de las siguientes funciones expresadas en forma paramétrica:

1)

+−−=

+−=

21075

964

23

2

t t t y

t t x

Solución:




26

101415

682 −−

−==

t t

t

dt

dxdt

dy

dx

dy

2) ( )( )( )

−−=

−−=5224

423

541312

13118

t t t t y

t t x

Solución:

Para hallardt

dxse aplica la regla de la cadena y para encontrar

dt

dyse aplica la regla del producto:

( )( ) ( )( )( ) ( )t t t t

t t t t t t t t

dt

dxdt

dy

dx

dy

22241311484

2648542581312

2323

352424

−−−

−−+−−==

3)

=

=8

3

5t y

t x

Solución:

( )

=

=

8

1

3

1

5t y

t x

( )

3 2

8 7

3

1

58

5

t

t

dt

dxdt

dy

dx

dy

==

4)

=

−=

t y

t x

2

35

Solución:

=−=

−

−

2

1

5

2

3

t y

t x

6

3

15

1

t

t

dt

dxdt

dy

dx

dy−

==




27

5)

−−

=

−=

53

4

76

84

92

t t

t y

t x

Solución:

Para hallardt

dxse aplica la regla

dt

du

uu

dt

d ⋅=

2

1y para encontrar

dt

dyse aplica la regla del

cociente:

( )( ) ( )( )( )

4

3

253

4253

92

18

76

351884476

t

t

t t

t t t t t

dt

dxdt

dy

dx

dy

−−

−

−−−−

==

La segunda derivada de una función expresada en forma paramétrica está dada por:

dx

dt

dx

dy

dt

d

dx

yd ⋅

=2

2

Ejemplos.Obtener la segunda derivada de las siguientes funciones expresadas en forma paramétrica:

1)

−=

+−=

212

154

3

2

t y

t t x

Solución:

58

6 2

−==

t

t

dt

dxdt

dy

dx

dy

( )( ) ( )( )

( ) ( )322

2

22

2

2

58

486096

58

1

58

861258

58

6

−

−−=

−⋅

−

−−=⋅

−=⋅

=t

t t t

t t

t t t

dx

dt

t

t

dt

d

dx

dt

dx

dy

dt

d

dx

yd

( )32

58

6048

−

−=

t

t t

2)

=

=

53

1

t y

t x

Solución:




28

6

2

4

151

15t

t

t

dt

dxdt

dy

dx

dy−=

−==

( ) ( )7256

2

2

909015 t t t dx

dt

t dt

d

dx

dt

dx

dy

dt

d

dx

yd

=−⋅−=⋅−=⋅

=

DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS

Sea una función ( ) x f y = en el intervalo abierto ( )ba, cuya derivada no cambia de signo. Si su función

inversa es ( ) y g x = , la derivadadx

dyviene dada por:

dydxdx

dy 1=

Ejemplos.Obtener la derivada de la función inversa de:

1) ( ) 68 −= x x f

Solución:Forma 1. Obteniendo la función inversa:

( ) ( )8

668 1 +

==⇒−= − x x g x f y x

( )

8

1=

dx

xdg

Forma 2. Aplicando la fórmula:

8

11==

dy

dxdx

dy

2) ( ) 52 −= x x f


( ) ( ) 5512 +==⇒−= − x x g x f y x

( )52

1+= xdx

xdg


52

1

2

11

+===

x y

dy

dxdx

dy




29

3) ( ) 14 += x x f


( ) ( )4

114

21 −

==⇒+= − x x g x f y x

( )24

2 x x

dx

xdg ==


24

142

142

4

11 x y

ydy

dxdx

dy=

+=

+

==

Ejemplos.

Aplicando la expresión

dy

dxdx

dy 1= obtener la derivada de las siguientes funciones:

1) ( ) ( )23+= x x f

Solución:Obteniendo la función inversa:

( ) ( ) ( ) 3312 −==⇒+= − x x g x f y x

( ) ( ) x x y

dy

dxdx

dy

2

1

332

1

32

11=

+−=

+==

2) ( ) x

x f 5=


( ) ( ) x

x g x f y

x55 1 ==⇒= −

22

2

2

2

5

5

25

5

5

55

11

x x

x y

ydy

dxdx

dy−=−=

−=−=−

==

3) ( )17

2

−= x

x f


( ) ( ) 172

17

2 1 +==⇒−

= −

x x g x f

y x




30

( )

( )2

22

2

2

2

2

2

2

17172

2

17

17

2

11

x

x x y

ydy

dxdx

dy−=

−=

+−−=

−−=

−−

==

4) ( ) 3 2 104 += x x f .


( ) ( )4

10104

313 2 −

==⇒+= − x x g x f y x

( ) ( )

( )

4

108

3

8

1043

81043

1

11

3

23 22

3

22 −

=+

=+

==− x

x

y

y

y ydy

dxdx

dy

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS

Las funciones trigonométricas o circulares directas fueron expuestas con amplitud en el capítulo II del librode Matemáticas V de esta misma serie. Las derivadas de estas funciones se deducen a continuación:

1) ( ) x x sendx

d cos=

Demostración:

1er

paso: ( ) ( ) x x sen x x f ∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) x sen x x sen x f x x f −∆+=−∆+

considerando la identidad trigonométrica: ( ) b senbaa senba sen 2

1

2

1cos2 ⋅

+=−+

se tiene: ( ) ( ) x sen x x x f x x f ∆⋅

∆+=−∆+2

1

2

1cos2

3er

paso:( ) ( )

x

x sen

x x x

x sen x x

x

x f x x f

∆

∆⋅

∆+=∆

∆⋅

∆+=

∆−∆+

2

12

1

2

1cos

2

1

2

1cos2

4º paso:

( ) ( ) x

x sen

x x

x

x sen

x x x

x f x x f x x x x

∆

∆

⋅

∆+=

∆

∆

⋅

∆+=∆ −∆+ →∆→∆→∆→∆

2

12

1

lim21coslim

2

12

1

21coslimlim

0000

pero se sabe que: 1

2

12

1

lim0

=∆

∆

→∆ x

x sen

x




31

( ) ( ) x x x

x

x f x x f

x xcos1

2

1coslimlim

00=⋅

∆+=∆

−∆+⇒

→∆→∆

( ) ( ) x x sendx

d x f cos' ==∴

2) ( ) x sen xdx

d −=cos

Demostración:

Aplicando la identidad trigonométrica

−= x sen x π

2

1cos , se tiene:

( )

−= x sen x f π

2

1

derivando la función:

( )

−−=

− x x sendx

d π π

2

1cos1

2

1

pero se sabe que:

−= x x sen π

2

1cos

( ) ( ) x sen xdx

d x f −==∴ cos'

3) ( ) x xdx

d 2sectan =

Demostración:

( )

x

x sen x f

cos

=

derivando el cociente:

( )( ) ( )

( )x

x x

x sen x

x

x sen x sen x x x f 2

22

22

2sec

cos

1

cos

cos

cos

coscos' ==

+=

−−=

( ) ( ) x xdx

d x f 2sectan' ==∴

4) ( ) x xdx

d 2csccot −=

Demostración:

( ) x sen x x f cos=


( )( ) ( )

( )

( ) x sen

x x sen

x sen

x x sen

x sen

x x x sen x sen x f

2

22

2

22

2

cos1coscoscos'

+−=

−−=

−−=

x x sen

2

2csc

1−=

−=




32

( ) ( ) x xdx

d x f 2csccot' −==∴

5) ( ) x x xdx

d tansecsec ⋅=

Demostración:

( ) x

x f cos

1=


( )( )

( )x x

x

x sen

x x

x sen

x

x sen x f tansec

coscos

1

coscos'

22⋅=⋅==

−−=

( ) ( ) x x xdx

d x f tansecsec' ⋅==∴

6) ( ) x x x

dx

d cotcsccsc ⋅−=

Demostración:

( ) x sen

x f 1

=


( )( )

( )x x

x sen

x

x sen x sen

x

x sen

x x f cotcsc

cos1coscos'

22⋅−=⋅−=−=−=

( ) ( ) x x xdx

d x f cotcsccsc' ⋅−==∴

Aplicando la regla de la cadena, en donde ( ) x f u = , las expresiones anteriores toman la siguienteforma:

1)dx

duuu sen

dx

d ⋅= cos 2)

dx

duu senu

dx

d ⋅−=cos

3)dx

duuu

dx

d ⋅= 2sectan 4)

dx

duuu

dx

d ⋅−= 2csccot

5)dx

duuuu

dx

d ⋅⋅= tansecsec 6)

dx

duuuu

dx

d ⋅⋅−= cotcsccsc

Ejemplos.

Derivar las siguientes funciones trigonométricas.

1) x sen y 4=

xdx

dy4cos4=

2) x y 9cos3=




33

( )( ) x sen x sendx

dy927993 −=−=

3)3

2tan5 x y =

( )322322

2sec302sec65 x x x xdx

dy

==

4) ( )72 85cot6 x x y −=

( ) ( ) ( ) ( )72267226 85csc3366085csc56106 x x x x x x x xdx

dy−+−=−−−=

5)4

2sec8 x y =

( ) 443443 2tan2sec642tan2sec88 x x x x x xdx

dy==

6) ( ) x x y 63csc4 5−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x xdx

dy63cot63csc246063cot63csc6154 554554 −−+−=−−−−=

7) ( )794122 +−= x x sen y

( ) ( ) ( ) ( )794cos10896794cos9812 22 +−−=+−−= x x x x x xdx

dy

8) ( )53 3810cos6 +−−= x x y

( ) ( ) ( )5

324

3 3810830381030 +−−+−= x x sen x x xdx

dy

9) x y 3tan=

( )21

3tan x y =

( ) ( ) x

x x x

dx

dy

3tan2

3sec33sec33tan

2

1 22

2

1

== −

10) ( )( )425sec2cot4 x x y =

( )( ) ( ) ( )( )2244432 2csc445sec5tan5sec202cot4 x x x x x x x

dxdy −+=

22444232csc5sec165tan5sec2cot80 x x x x x x x −=

11) x sen

x y

85

2csc7 3

−=




34

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )22332

85

8cos852csc72cot2csc6785

x sen

x x x x x x sen

dx

dy

−

−−−−=

x sen

x x x x x sen x

825

8cos2csc2802cot2csc82102

2332 +=

12)2 x sen y =

2cos2 x xdx

dy=

13) x sen y 2=

( )2 x sen y =

x x sendx

dycos2 ⋅=

Nótese como las funciones de los ejercicios 12 y 13, aunque aparentemente son similares, son muy

diferentes: en el primer caso el cuadrado está afectando al argumento de la función. En el segundo caso,el cuadrado está afectando a la función seno. En conclusión, sus derivadas son totalmente distintas. Algomuy similar sucede con los siguientes dos ejercicios:

14)3cos x y =

323 x sen xdx

dy−=

15) x y3

cos=

( )3cos x y =

( ) x sen x x sen xdx

dy 22

cos3cos3 −=−=

16)47

9cot x y =

( )749cot x y =

( ) 4246342346 9csc9cot2529csc369cot7 x x x x x xdx

dy−=−=

17) ( )( ) x x y 9tan815sec103=

( ) ( )( ) ( ) ( )( )33223 15tan15sec45109tan89sec9815sec10 x x x x x x

dx

dy+=

33223 15tan15sec9tan36009sec15sec720 x x x x x x +=

18)3

3

10cos

10

x

x sen y =

( )( ) ( )( )( )23

323323

10cos

10301010cos3010cos

x

x sen x x sen x x x

dx

dy −−=




35

( )32

2

32

32322

32

322322

10cos

30

10cos

1010cos30

10cos

103010cos30 x

x

x sen x x x sen x x x=

+=

+= 322 10sec30 x x=

19)3

10tan x y =

322

10sec30 x xdx

dy

=

Se observa como la derivada de las funciones de los ejercicios 18 y 19 son iguales. Eso significa queaplicar convenientemente identidades trigonométricas puede simplificar notablemente el proceso dederivación. Un caso similar sucede con las derivadas de los ejercicios 20 y 21:

20)( )8611

1245 +−

= x x sen

y

( )8611 245 +−= − x x sen y

( ) ( ) ( )8611cos861112445 242463 +−+−−−= − x x x x sen x xdx

dy

pero como uu senu cotcos =

( ) ( )( )

( ) ( )( )8611

8611cot12445

8611

8611cos12445245

243

246

243

+−+−−

−=+−

+−−−=

x x sen

x x x x

x x sen

x x x x

dx

dy

y uu sen

csc1

= , se tiene:

( ) ( ) ( )8611csc8611cot12445 245243 +−+−−−= x x x x x xdx

dy

21) ( )8611csc245 +−= x x y

( ) ( ) ( ) ( )( )8611cot8611csc8611csc12445 2424443 +−+−−⋅+−−= x x x x x x x xdx

dy

( ) ( ) ( )8611csc8611cot12445 245243 +−⋅+−−−= x x x x x xdx

dy

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Las funciones trigonométricas inversas definidas poseen reglas de derivación. A continuación se deducenlas seis fórmulas considerando sus respectivos campos de variación.

1) ( )2

1

1

1

x x sen

dx

d

−=−

Demostración:

y sen x x sen y =⇒= −1

derivando:

dx

dy y y sen

dx

d

dx

dx⋅== cos




36

dx

dy y ⋅= cos1

22222 1cos1cos1cos x y y x y y sen −=⇒=+⇒=+

2

2

1

111

xdx

dy

dx

dy x

−

=⇒⋅−=

( ) ( )2

1

1

1'

x x sen

dx

d x f

−==∴ −

2) ( )2

1

1

1cos

x x

dx

d

−

−=−

Demostración:

y x x y coscos 1 =⇒= −

derivando:

dx

dy y sen y

dx

d

dx

dx⋅−== cos

dx

dy y sen ⋅−=1

22222 111cos x y sen x y sen y y sen −=⇒=+⇒=+

2

2

1

111

xdx

dy

dx

dy x

−

−=⇒⋅−−=

( ) ( )2

1

1

1cos'

x x

dx

d x f

−

−==∴ −

3) ( ) 2

1

1

1tan xdx

d

+=−

Demostración:

y x x y tantan1 =⇒= −

derivando:

dx

dy y y

dx

d

dx

dx⋅== 2sectan

dx

dy y ⋅= 2sec1

22221sectan1sec x y y y +=⇒+=

( ) 22

1111

dxdy

dxdy x +=⇒⋅+=

( ) ( )2

1

1

1tan'

x x

dx

d x f

+==∴ −

4) ( )2

1

1

1cot

x x

dx

d

+−

=−

Demostración:




37

y x x y cotcot1 =⇒= −

derivando:

dx

dy y y

dx

d

dx

dx⋅−== 2csccot

dx

dy

y ⋅−=

2

csc1

2222 1csccot1csc x y y y +=⇒+=

( )2

2

1

111

dx

dy

dx

dy x

+−

=⇒⋅+−=

( ) ( )2

1

1

1cot' x

dx

d x f

+−

==∴ −

5) ( )1

1sec

2

1

−=−

x x x

dx

d

Demostración:

y x x y secsec 1=⇒= −

derivando:

dx

dy y y y

dx

d

dx

dx⋅⋅== tansecsec

dx

dy y y ⋅⋅= tansec1

1tan1sectantan1sec 22222 −=⇒−=⇒+= x y y y y y

1

111

2

2

−=⇒⋅−⋅=

x xdx

dy

dx

dy x x

( ) ( )1

1sec'2

1

−==∴ −

x x x

dxd x f

6) ( )1

1csc

2

1

−

−=−

x x x

dx

d

Demostración:

y x x y csccsc1 =⇒= −

derivando:

dx

dy y y y

dx

d

dx

dx⋅⋅−== cotcsccsc

dxdy y y ⋅⋅−= cotcsc1

1cot1csccotcot1csc 22222 −=⇒−=⇒+= x y x y y y

1

111

2

2

−

−=⇒⋅−⋅−=

x xdx

dy

dx

dy x x




38

( ) ( )1

1csc'

2

1

−

−==∴ −

x x x

dx

d x f

Aplicando la regla de la cadena, en donde ( ) x f u = , las expresiones anteriores toman la siguiente

forma:

1)dxdu

uu sen

dxd ⋅

−=−

2

1

1

1 2)dxdu

uu

dxd ⋅

−−=−

2

1

1

1cos

3)dx

du

uu

dx

d ⋅

+=−

2

1

1

1tan 4)

dx

du

uu

dx

d ⋅

+−

=−2

1

1

1cot

5)dx

du

uuu

dx

d ⋅

−=−

1

1sec

2

16)

dx

du

uuu

dx

d ⋅

−

−=−

1

1csc

2

1

Ejemplos.Derivar las siguientes funciones trigonométricas inversas:

1) x sen y 51−

=

( )( )

22 251

55

51

1

x xdx

dy

−=

−=

2) x y3

1cos 1−=

22

9

113

1

3

1

3

11

1

x xdx

dy

−

−=

−

−=

3)31

2tan x y −=

( )( )

6

22

23 41

66

21

1

x

x x

xdx

dy

+=

+=

4)41

10cot x y −=

( )( )

8

33

24 1001

4040

101

1

x

x x

xdx

dy

+−

=+

−=

5) ( )11213sec221

+−=−

x x y

( ) ( )( )1226

11121311213

2

222

−−+−+−

= x

x x x xdx

dy

( ) ( ) 112121311213

2452

222 −−−+−

−=

x x x x

x




39

6) ( ) x x y 414csc931 −−= −

( ) ( )( )442

1414414

9 2

233

−−−−

−−= x

x x x xdx

dy

( ) ( ) 1414414

36378

233

2

−−−

−=

x x x x

x

7)4151

8cos34 x x sen y −− ⋅=

( )( )

( )( )4

25

413

24

51 15

31

48cos32

81

134 x

x

x x

x

x sendx

dy

−⋅+

−

−⋅= −−

10

441

8

351

91

608cos

641

3234

x

x x

x

x x sen

−⋅+

−⋅−= −−

8) 71

1

3tan5

4csc2

x

x

y −

−

=

( )( )

( )( )

( )271

6

27

1

2

71

3tan5

2131

54csc24

144

23tan5

x

x x

x x x

x

dx

dy

−

−−

+⋅−

−

−⋅

=

( )271

14

16

2

71

3tan5

91

4csc210

116

3tan10

x

x

x x

x x

x

−

−−

+−

−−

=

9) ( )475secsec21 −+= − x x y

Por ser funciones inversas, se eliminan:

475 2 −+= x x y

710 += xdx

dy

10) 6 21 2cot x y −=

( )61

21 2cot x y −=

( )( )

( )( ) ( )46 521

22

6

521

412cot6

44

21

12cot

6

1

x x

x x

x x

dx

dy

+−=

+

−⋅=

−

−−

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Las reglas de derivación para las funciones exponenciales y logarítmicas se deducen a continuación:




40

1) ( ) e x

xdx

d aa log

1log =

Demostración:

1er

paso: ( ) ( ) x x x x f a ∆+=∆+ log

2º paso: ( ) ( ) ( )

∆

+=

∆+

=−∆+=−∆+ x

x

x

x x

x x x x f x x f aaaa 1loglogloglog

3er

paso:( ) ( ) x

x

aa

a

x

x

x x

x

x

x

x x

x

x

x

x f x x f ∆

∆+⋅=

∆+⋅

∆⋅=

∆

∆+

=∆

−∆+1log

11log

11log

4º paso:

( ) ( )e

x x

x

x x

x

x x

x f x x f a

x

x

xa

x

x

a x x

log1

1limlog1

1log1

limlim000

=

∆+=

∆+⋅=

∆−∆+ ∆

→∆

∆

→∆→∆

( ) ( ) e x

dx

d x f aa log

1log' ==∴

2) ( ) x

xdx

d 1ln =

Demostración:

( ) e xdx

d aa log

1log =

para este caso: ea =

( ) x

ee x

x f e

1ln

1log

1' ===

( ) ( ) x xdx

d

x f

1

ln' ==∴

3) aaadx

d x x ln⋅=

Demostración:

a xa ya y x xlnlnln ==⇒=

derivando con respecto a :

aaa ydx

dya

dx

dy

y

x lnlnln1

⋅=⋅=⇒=⋅

( ) ( ) aaadx

d x f x x ln' ⋅==∴

4) x x ee

dx

d =

Demostración:

( ) aaadx

d x x ln⋅=

para este caso: ea =




41

( ) ( ) x x xeeee x f ==⋅= 1ln'

( ) ( ) x x eedx

d x f ==∴ '

Aplicando la regla de la cadena, en donde ( ) x f u = , las expresiones anteriores toman la siguiente

forma:

1) ( )1,0log1

log ≠>⋅= aadx

due

uu

dx

d aa

2)dx

du

uu

dx

d ⋅=

1ln

3) ( )0ln >⋅= adx

duuaa

dx

d uu

4)dx

duee

dx

d uu ⋅=

Ejemplos.Derivar las siguientes funciones:

1) ( )167log24

3 −−= x x y

e x

x x

dx

dy324

3

log167

144

−−−

=

2) ( )4

5 3log x sen y =

e

x sen

x x

dx

dy54

43

log

3

3cos12=

3) ( )12ln2 −−= x x y

12

142 −−

−=

x

dx

dy

4)45cosln x y =

4

43

5cos

520

x

x sen x

dx

dy −=

435tan20 x x−=

5) x

y 57=

( )( )55ln75 xdx

dy x=

6)( )193 2

4 −−= x x y




42

( ) ( )( )( )96193ln4 2193 2

−−−= −− x x xdx

dy x x

7)52 xe y =

524

10x

e xdx

dy

=

8) xe y =

x

e

dx

dy x

2=

9) ( )52

2 743log +−= x x y

Aplicando la propiedad:

xn x a

n

a loglog = se tiene:

10) ( )( )2322586ln x x x x y −−=

Aplicando la propiedad:

( ) y x y x aaa logloglog +=⋅ se tiene:

( ) ( )23225ln86ln x x x x y −+−=

23

2

2

25

415

86

812

x

x x

x

x

dx

dy

−

−+

−

−=

11)5

2

3

8

4

3ln

x

x

e y =

Aplicando la propiedad: y x y

xaaa logloglog −=

se tiene:

5238 4ln3ln x x e y −=

( ( ) 42

3

43

8

28

158ln164

154

3

168ln35

5

2

2

x x xe

xe x x

dx

dy x

x

x

x

+=−=

12)( )( )

( )

⋅=

−

3

615 3

4

24

3cos6logln

x sen

x x y

Aplicando convenientemente las propiedades de logaritmos se tiene:

( )3615 3

4 24ln3cos6logln x sen x x y −⋅= −

x sen x x y 24ln33cosln6logln 615 3

4 −+= −

( )743log5 22 +−= x x y

( )e

x

x

dx

dy22

log743

465

+−−

=




43

( ) x sen x x y 24ln33cosln6logln 615

13

4 −+= −

( ) x sen x x y 24ln33cosln6logln5

1 613

4 −+= −

( ) x sen

x

x

x

x

x

e x

x

dx

dy

24

2cos24

3cos

31

18

6log

log6

18

5

161

26

5

3

4

43

2

−−

−

+=−

( )x

x x

x

x x

e2cot6

913cos

18

6log30

log18

1261

5

3

4

4 −−

−=−

Documents

Derivada de Los 4 Pasos