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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANAVICE-RECTORADO ACADEMICO
DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIAAREA DE MATEMATICAS
GUIA DE MATEMATICAS I,
CAPITULO IV
Prof. Orlando Baisdem Perez
Puerto Ordaz, Mayo del 2010.
Capıtulo 4
La Derivada
4.1 La Recta Tangente
Definicion 4.1 Definicion de la recta tangente con pendiente m
Si f esta definida en un intervalo abierto que contiene a c y ademas existe el lımite
lim∆x→0
∆y
∆x= lim
∆x→0
f(c + ∆x)− f(c)
∆x= m
entonces, la recta que pasa por (c, f(c)) y cuenta con una pendiente m es la recta tangente
a la grafica de f en el punto (c, f(c)).
Ejemplo 1 Encontrar la pendiente de la grafica de f(x) = 2x− 3 en el punto (2, 1)
limx→32x− 5 = 1
encontrar δ tal que |(2x− 5)− 1| < 0.01, siempre que 0 < |x− 3| < δ
Solucion: Para encontrar la pendiente de f cuando c = 2, aplicamos la definicion de la
pendiente de una recta tangente.
87
lim∆x→0
f(2 + ∆x)− f(2)
∆x= lim
∆x→0
[2(2 + ∆x)− 3]− [2(2)− 3]
∆x
= lim∆x→0
4 + 2∆x− 3− 4 + 3
∆x
= lim∆x→0
2∆x
∆x= lim
∆x→02
= 2
Figura 4.1: La pendiente de f en (2, 1) es m = 2
Ejemplo 2 Calcular las pendientes de las rectas tangentes a f(x) = x2 + 1 en los puntos
(0, 1) y (−1, 2)
Solucion: Sea (c, f(c)) un punto cualquiera de f . La pendiente de la recta tangente en el
se encuentra mediante:
88
lim∆x→0
f(c + ∆x)− f(c)
∆x= lim
∆x→0
[(2 + ∆x)2 + 1]− (c2 + 1)
∆x
= lim∆x→0
c2 + 2c(∆x) + (∆x)2 + 1− c2 − 1
∆x
= lim∆x→0
2c(∆x) + (∆x)2
∆x= lim
∆x→0(2c + ∆x)
= 2c
Figura 4.2: La pendiente de f en un punto cualquiera (c, f(c)) es m = 2c
4.2 Derivada de una Funcion
Definicion 4.2 Definicion de la derivada de una funcion
La derivada de f en x viene dada por:
f ′(x) = lim∆x→0
f(x + ∆x)− f(x)
∆x
siempre que exista ese lımite. Para todos los x para los que exista este lımite, f ’ es una
funcion de x.
89
El proceso de calcular la derivada de una funcion se llama derivacion. Una funcion es
derivable en x, si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a,b) si
es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo.
Ejemplo 3 Calcular la derivada de f(x) = x3 + 2x
Solucion:
f ′(x) = lim∆x→0
f(x + ∆x)− f(x)
∆x
= lim∆x→0
(x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)− x3 + 2x
∆x
= lim∆x→0
(x3 + 3x2∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 + 2∆x
∆x
= lim∆x→0
∆x[3x2 + 3x∆x + (∆x)2 + 2]
∆x= lim
∆x→0[3x2 + 3x∆x + (∆x) + 2]
= 3x2 + 2
Ejemplo 4 Encontrar f ′(x) para f(x) =√
x. Calcular luego la pendiente de la grafica de f
en los puntos (1, 1) y (4, 2). Analizar el comportamiento de f en (0, 0)
Solucion:
90
f ′(x) = lim∆x→0
f(x + ∆x)− f(x)
∆x
= lim∆x→0
√x + ∆x−√x
∆x
= lim∆x→0
(
√x + ∆x−√x
∆x)(
√x + ∆x +
√x√
x + ∆x +√
x)
= lim∆x→0
(x + ∆x)− x
∆x(√
x + ∆x +√
x)
= lim∆x→0
∆x
∆x(√
x + ∆x +√
x)
= lim∆x→0
1
(√
x + ∆x +√
x)
=1
2√
x, x > 0
4.3 Reglas Basicas de Derivacion
Teorema 1 Regla de la contante
La derivada de una funcion constante es 0. es decir, si c es un numero real, entonces
d
dx[c] = 0
Teorema 2 Regla de las potencias
Si n es un entero positivo, entonces
d
dxxn = nxn−1
Ejemplo 5 Derivar y = x
91
Solucion
dy
dx= 1x1−1 = 1x0 = 1
Ejemplo 6 Derivar y = x6
Solucion
dy
dx= 6x6−1 = 6x5
Teorema 3 Regla del multiplo constante
Si f es una funcion derivable y c un numero real, entonces cf tambien es derivable y
d
dx[cf(x)] = cf ′(x)
Ejemplo 7 Derivar y = 4t2
5
Solucion
dy
dt= [
4
5t2] =
4
5dt[t2] =
4
5(2t) =
8
5t
Ejemplo 8 Derivar y = 1
23√
x2
Solucion
dy
dx=
d
dx[1
2x−
23 ] =
1
2(−2
3)x−
53 = − 1
3x53
Teorema 4 Las reglas de suma y diferencia
La derivada de la suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables f y g es derivable
92
sı. Ademas, la derivada de f + g (o f − g) es igual a la suma (o diferencia) de las derivadas
de f y g.d
dx[f(x)± g(x)] = f ′(x)± g′(x)
Ejemplo 9 Derivar f(x) = −x4
2+ 3x3 − 2x
Solucion
f ′(x) = −2x3 + 9x2 − 2
Teorema 5 La regla del Producto
El producto de dos funciones derivables f y g es derivable en sı. Ademas, su derivada es
igual a la primera funcion por la derivada de la segunda mas la derivada de la primera por
la segunda.
d
dx[f(x)g(x)] = f(x)g′(x) + f ′(x)g(x)
Ejemplo 10 Derivar h(x) = (3x− 2x2)(5 + 4x)
Solucion
h′(x) = (3x− 2x2)d
dx[5 + 4x] +
d
dx[3x− 2x2](5 + 4x)
= (3x− 2x2)(4) + (3− 4x)(5 + 4x)
= (12x− 8x2) + (15− 8x− 16x2)
= −24x2 + 4x + 15
93
Ejemplo 11 Derivar y = (4x + 1)(2x2 − x)(x3 − 8x)
Solucion:Se identifican los dos primeros factores como la ”primera funcion”
dy
dx= (4x + 1)(2x2 − x)
d
dx[(x3 − 8x)] +
d
dx[(4x + 1)(2x2 − x)](x3 − 8x)
Para encontrar la derivada de la primera funcion, debe aplicarse la regla del productopor
segunda ocasion. Asi que,
dy
dx= (4x + 1)(2x2 − x)(3x2 − 8) + [(4x + 1)(4x− 1) + (4)(2x2 + x)](x3 − 8x)
= (4x + 1)(2x2 − x)(3x2 − 8) + (16x2 − 1)(x3 − 8x) + (4)[(2x2 + x)(x3 − 8x)
La Regla del Cociente
Teorema 6 El cociente f/g de dos funciones derivables f y g es derivable en sı para todos
los valores de x para los que g(x) 6= 0. Ademas, la derivada de f/g se obtiene mediante el
denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del deno-
minador, todo dividido entre el cuadrado del denominador
d
dx[f(x)
g(x)] =
g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)
[g(x)]2
g(x) 6= 0
Ejemplo 12 Encontrar la derivada de y = 5x−2x2+1
94
Solucion:
d
dx[5x− 2
x2 + 1] =
(x2 + 1) ddx
[5x− 2]− (5x− 2) ddx
[x2 + 1]
(x2 + 1)2
=(x2 + 1)(5)− (5x− 2)(2x)
(x2 + 1)2
=(5x2 + 5)− (10x2 − 4x)
(x2 + 1)2
=−5x2 + 4x + 5
(x2 + 1)2
Ejemplo 13 Encontrar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) =3−( 1
x)
x+5en
(−1, 1)
Solucion: Antes de aplicar la regla del cociente, es conveniente reescribir la funcion
f(x) =3− ( 1
x)
x + 5
=x(3− 1
x)
x(x + 5)
=3x− 1
x2 + 5x
Ahora procedemos a derivar
f ′(x) =(x2 + 5x)(3)− (3x− 1)(2x + 5)
(x2 + 5x)2
=(3x2 + 15x)− (6x2 + 13x− 5)
(x2 + 5x)2
=−3x2 + 2x + 5
(x2 + 5x)2
para encontrar la pendiente en (−1, 1) evaluamos f ′(−1) = 0
95
Figura 4.3: La recta y = 1 es tangente a la grafica de f(x) en (−1, 1)
4.3.1 Derivadas de Funciones Trigonometricas
Teorema 7 Sea x una funcion derivable.
ddx
(sinx) = x′cosx ddx
(cosx) = −x′sinxddx
(tanx) = x′sec2x ddx
(cotx) = x′cosec2xddx
(secx) = x′secxtanx ddx
(cosecx) = −x′cosecxcotx
Ejemplo 14 Hallar la derivada de f(x) = x5cosx
Solucion:
Aplicamos la regla del producto
d
dx(x5cosx) = x5 d
dx(cosx) + d
dx(x5)(cosx)
= −x5senx + 5x4cosx
Ejemplo 15 Hallar la derivada de y = 1−cosxsenx
96
Solucion:
Aplicamos la regla del cociente
y′ =(senx)(senx)− (1− cosx)(cosx)
sen2x
=sen2x + cos2x− cosx
sen2x
=1− cosx
sen2x
4.3.2 Derivadas de Funciones Exponenciales y Logaritmicas
Teorema 8 Sea x una funcion derivable.
1. ddx
[lnx] = 1xx′, x > 0
2. ddx
[ex] =′ xex, x > 0
Ejemplo 16 Hallar la derivada de f(x) = lnx(x2+1)2√2x3−1
Solucion:
f(x) = lnx(x2 + 1)2
√2x3 − 1
= lnx + 2ln(x2 + 1)− 1
2ln(2x3 − 1)
f ′(x) =1
x+ 2(
2x
x2 + 1)− 1
2(
6x2
2x3 − 1)
=1
x+
4x
x2 + 1− 3x2
2x3 − 1
97
Ejemplo 17 Hallar la derivada de f(x) = e−3x
Solucion:
f ′(x) = (3
x2)e
−3x =
3e−3x
x2
4.4 La regla de la cadena
Teorema 9 Si y = f(u), u = g(x), y las derivadas dydu
y dudx
existen ambas, entonces la
funcion compuesta definida por y = f(g(x)) tiene una derivada dada por:
dy
dx=
dy
du
du
dx= f ′(u)g′(x) = f ′(g(x))g′(x)
Ejemplo 18 Sea y = (3x2 − 7x + 1)5. Usar la regla de la cadena para encontrar dydx
Solucion: Considerando
y = u5 y u = 3x2 − 7x + 1
se expresa y como una funcion compuesta de x. Si se utiliza la regla de la cadena
dy
dx=
dy
du
du
dx= 5u4(6x− 7)
= 5(3x2 − 7x + 1)4(6x− 7)
4.4.1 La regla general de las potencias
Teorema 10 Si y = [u(x)]n donde u es una funcion derivable de x y n es un numero ra-
cional entonces
98
dy
dx= n[u(x)]n−1du
dx
o su equivalented
dx= [un] = nun−1u′
Ejemplo 19 Hallar las derivadas de las siguientes funciones:
1. f(t) = sen3(4t)
2. y = tan(6x2 + 1)
3. y = (3x−1x2+3
)2
Solucion: Considerando
1. f(t) = sen3(4t)
f(t) = sen34t
= (sen4t)3
f ′(t) = 3(sen4t)2 d
dt[sen4t]
= 3(sen4t)2(cos4t)(4)
= 12(sen)24t(cos4t)
2. y = tan(6x2 + 1)
dy
dx= sec2(6x2 + 1)
d
dx(6x2 + 1) = 12xsec2(6x2 + 1)
99
3. y = (3x−1x2+3
)2
y′ = 2(3x− 1
x2 + 3)
d
dx[3x− 1
x2 + 3]
= [2(3x− 1)
x2 + 3][(x2 + 3)(3)− (3x− 1)(2x)
(x2 + 3)2]
=2(3x− 1)(3x2 + 9− 6x2 + 2x)
(x2 + 3)3
=2(3x− 1)(−3x2 + 2x + 9)
(x2 + 3)3
4.5 Derivadas de Orden Superior
La derivada f ′(x) es una funcion qe proviene de una funcion y = f(x). Diferenciando la
primera derivada f ′(x) se obtiene otra funcion, llamada segunda derivada, la cual se denota
por
f ′′(x), y′′, d2ydx2 , o bien D2
xy
de igual manera derivando la segunda derivada obtendremos una tercera funcion la cual lla-
maremos tercera derivada y ası sucesivamente hasta encontrar la e-nesima derivada.
Ejemplo 20 Obtener las primeras cinco derivadas de:
f(x) = 2x4 − 6x3 + 7x2 + 5x− 10
100
Solucion: Se obtiene que:
f ′(x) = 8x3 − 18x2 + 14x + 5
f ′′(x) = 24x2 − 36x + 14
f ′′′(x) = 48x− 36
f 4 = 48
f 5 = 0
Ejemplo 21 Obtener la tercera derivada de y = 1x3 :
Solucion: Escribiendo y = x−3, se obtiene que
dy
dx= −3x−4
d2y
dx2= (−3)(−4)x−5 = 12x−5
d3y
dx3= (12)(−5)x−6 = −60
x6
4.6 Derivacion implicita
Hasta este punto, todas las funciones estudiadas se enunciaron de forma explicita. Por
ejemplo, la ecuacion y = 3x2 − 5 viene dad de forma explicita, la variable y esta escrita
explıcitamente como funcion de x. Sin embargo, algunas funciones solo se enuncian de ma-
nera implıcita en una ecuacion. Ası, la funcion y = 1x
viene definida implicitamente por la
ecuacion xy = 1. Supongamos que se pide calcular la derivada dy/dx, cambiamos del forma
implicita a explicita despejando y y derivamos con respecto a x.
101
Ahora bien esta estrategıa funciona siempre y cuando se pueda despejar y como ecuacion de
x en la ecuacion, de lo contrario, este metodo no es viable. Por ejemplo ¿Como encontrar
dy/dx para la ecuacion x2 − 2y3 + 4y = 2
donde resulta muy dificil despejar y como funcion explıcita de x? En tales situaciones se
debe usar la derivacion implicıta.
Estrategias para la derivacion implicita
1. Derivar ambos lados de la ecuacion respecto de x.
2. Agrupar todos los terminos en que aparezca dy/dx en el lado izquierdo de la ecuacion
y pasar todos los demas a la derecha.
3. Factorizar dy/dx del lado izquierdo de la ecuacion
4. Despejar dy/dx
Ejemplo 22 Encontrar dy/dx dado que y3 + y2 − 5y − x2 = −4:
Solucion:
1. Derivar ambos lados de la ecuacion respecto de x.
d
dx[y3 + y2 − 5y − x2] =
d
dx[−4]
3y2 dy
dx+ 2y
dy
dx− 5
dy
dx− 2x = 0
2. Agrupar todos los terminos en que aparezca dy/dx en el lado izquierdo de la ecuacion
y pasar todos los demas a la derecha.
3y2 dy
dx+ 2y
dy
dx− 5
dy
dx= 2x
102
3. Factorizar dy/dx del lado izquierdo de la ecuacion
dy/dx(3y2 + 2y − 5) = 2x
4. Despejar dy/dxdy
dx=
2x
3y2 + 2y − 5
Ejemplo 23 Encontrar dy/dx si seny = ycos2x:
Solucion:
d
dxseny =
d
dxycos2x
cosydy
dx= y(−sen2x ∗ 2) + cos2x ∗ dy
dx
(cosy − cos2x)dy
dx= −2ysen2x
dy
dx= − 2ysen2x
cosy − cos2x
4.7 Aplicaciones de la Derivada
4.7.1 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 4.3 Una funcion f es creciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos
numeros x1 y x2, en el intervalo, x1 < x2 implica f(x1) < f(x2).
Una funcion f es decreciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos numeros x1 y x2,
en el intervalo, x1 < x2 implica f(x1) > f(x2).
Teorema 11 Criterio para funciones crecientes y decrecientes
Sea f una funcion que es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo
abierto (a, b).
103
1. Si f ′(x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f es creciente en [a,b].
2. Si f ′(x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es decreciente en [a,b].
3. Si f ′(x) = 0 para todo x en (a, b), entonces f es constante en [a,b].
Figura 4.4: La derivada se relaciona con la pendiente de una funcion
Definicion 4.4 Punto crıtico: Sea f definida en c. Si f ′(c) = 0 o si f no es derivable en
c, entonces c es un punto crıtico de f .
Ejemplo 24 Determinar los intervalos abiertos sobre los cuales f(x) = x3− 32x2 es creciente
o decreciente
Solucion: La funcion es derivable en R, para hallar los puntos crıticos hacemos f ′(x) = 0.
f(x) = x3 − 3
2x2
f ′(x) = 3x2 − 3x = 0
3(x)(x− 1) = 0
x = 0, 1
104
por lo tanto los puntos crıticos son x = 0 y x = 1
En la siguiente tabla analizaremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Intervalo (−∞, 0) (0, 1) (1,∞)
Valor de prueba x = −1 x = 12
x = 2
Signo de f’(x) f ′(−1) = 6 > 0 f ′(12) f ′(2) = 6 > 0
Conclusion Creciente Decreciente Creciente
Figura 4.5:
Estrategias para determinar los intervalos en los que una funcion es creciente
o decreciente
Sea f continua en el intervalo (a, b). Para encontrar los intervalos abiertos sobre los cuales
f es creciente o decreciente, hay que seguir los pasos siguientes:
1. Localizar los puntos crıticos de f en (a, b) y utilizarlos para determinar intervalos de
prueba.
2. Determinar el signo de f’(x) en un valor de prueba en cada uno de los intervalos.
3. Recurrir al teorema anterior para determinar si f es creciente o decreciente para cada
intervalo
105
Teorema 12 Criterio de la primera derivada
Sea c un punto crıtico de una funcion f que es continua en un intervalo abierto I que con-
tiene ac. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede
clasificarse como sigue:
1. Si f ’(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mınimo relativo en
(c, f(c)).
2. Si f ’(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un maximo relativo en
(c, f(c)).
3. Si f ’(x) es positiva a ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c)
no es ni un mınimo relativo ni un maximo relativo
pag 181 nuevo larson
Ejemplo 25 Determinar los extremos relativos de f(x) = x4+1x2
Solucion: Reescribimos la funcion original
f(x) = x2 + x−2
f ′(x) = 2x− 2x−3
= 2x− 2
x3
=2(x4 − 1)
x3
=2(x2 + 1)(x + 1)(x− 1)
x3
De tal modo, f’(x) es cero en x±. Ademas, como x=0 no esta en el dominio de f , es necesario
utilizar este valor de x junto con los puntos crıticos para determinar los intervalos prueba.
106
x = ±1 Puntos crıticos
x = 0 Cero no esta en el dominio de f .
Intervalo (−∞,−1) (−∞, 0) (0, 1) (1,∞)
Valor de prueba x = −2 x = −12
x = 12
x = 2
Signo de f’(x) f ′(−2) < 0 f ′(−12) < 0 f ′(1
2) < 0 f ′(2) > 0
Conclusion Decreciente Creciente Decreciente Creciente
Aplicando el criterio
de la primera derivada, se puede concluir que f tiene un mınimo relativo en el punto (−1, 2)
y otro el punto (1, 2).
Figura 4.6:
Concavidad y el criterio de la segunda derivada
Definicion 4.5 Concavidad: Sea f derivable en un intervalo abierto I. La grafica de f
es concava hacia arriba sobre I si f ’ es creciente en el intervalo y concava hacia abajo
en I si f ’ es decreciente en el intervalo.
La siguiente interpretacion grafica de concavidad es util.
107
1. Sea f derivable sobre un intervalo abierto I. Si la grafica de f es concava hacia arriba
en I, entonces la grafica de f yace sobre todas sus rectas tangentes en I.
2. Sea f derivable en un intervalo abierto I. Si la grafica de f es concava hacia abajo en
I, entonces la grafica de f yace debajo de todas sus rectas tangentes en I.
Figura 4.7:
Teorema 13 Criterio de concavidad
Sea f una funcion cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.:
1. Si f ′′(x) > 0 para todo x en I, entonces la grafica de f es concava hacia abajo en I.
2. Si f ′′(x) < 0 para todo x en I, entonces la grafica de f es concava hacia abajo en I.
Ejemplo 26 Determinar los extremos relativos de f(x) = 6x2+3
es concava hacia arriba o
hacia abajo.
Solucion: Se observa que f es continua en R
108
f(x) = 6(x2 + 3)−1
f ′(x) = (−6)(x2 + 3)−2(2x)
=−12x
(x2 + 3)2
f ′′(x) =(x2 + 3)2(−12)− (−12x)(2)(x2 + 3)(2x)
(x2 + 3)4
=36(x2 − 1)
(x2 + 3)3
Como f ′′(x) = 0 cuando x = ±1 y f ′′ se define en toda la recta real, se debe probar f ′′ en los
intervalos (−∞,−1),(−1, 1) y (1,∞).
Intervalo (−∞,−1) (−1, 1) (1,∞)
Valor de prueba x = −2 x = 0 x = 2
Signo de f”(x) f ′′(−2) > 0 f ′′(0) < 0 f ′′(2) > 0
Conclusion C.hacia abajo C.hacia arriba C. hacia arriba
Figura 4.8:
Ejemplo 27 Determinar los intervalos abiertos sobre los cuales la grafica de f(x) = x2+1x2−4
es concava hacia arriba o hacia abajo.
109
Solucion:
f(x) =x2 + 1
x2 − 4
f ′(x) =(x2 − 4)(2x)− (x2 + 1)(2x)
(x2 − 4)2
=−10x
(x2 − 4)2
f ′′(x) =(x2 − 4)(−10)− (−10x)(2)(x2 − 4)(2x)
(x2 − 4)4
=10(3x2 + 4)
(x2 − 4)3
No hay puntos en los cuales f ′′(x) = 0, pero en x = ±2 la funcion f no es continua, por lo
que se prueba la concavidad en los intervalos (−∞,−2),(−2, 2) y (2,∞), como se ilustra en
la tabla siguiente:
Intervalo (−∞,−2) (−2, 2) (2,∞)
Valor de prueba x = −3 x = 0 x = 3
Signo de f”(x) f ′′(−3) > 0 f ′′(0) < 0 f ′′(3) > 0
Conclusion C.hacia arriba C.hacia abajo C. hacia arriba
Puntos de Infle-
xion
Definicion 4.6 Punto de Inflexion:Sea f una funcion que es continua en un intervalo
abierto y sea c un punto en ese intervalo. Si la grafica de f tiene una recta tangente en
este punto (c,f(c), entonces este punto es un punto de inflexion de la grafica de f si la
concavidad de f cambia de concava hacia arriba a concava hacia abajo (o de concava hacia
abajo a concava hacia arriba) en ese punto
110
Figura 4.9:
Teorema 14 Punto de Inflexion: Si (c, f(c)) es un punto de inflexion de la grafica de
f , entonces f ′′(c) = 0 o f ′′ no existe en x = c
Ejemplo 28 Determinar los puntos de inflexion y analizar la concavidad de la grafica de
f(x) = x4 − 4x3
Solucion:
111
f(x) = x4 − 4x3
f ′(x) = 4x3 − 12x2
f ′′(x) = 12x2 − 24x = 12x(x− 2)
Haciendo f ′′(x) = 0 es posible determinar que los puntos de inflexion posibles ocurren en x =
0 y x = 2. Al probar los intervalos determinados por estos valores de x, se puede concluir que
ambos producen puntos de inflexion.
Intervalo (−∞, 0) (0, 2) (2,∞)
Valor de prueba x = −1 x = 1 x = 3
Signo de f”(x) f ′′(−1) > 0 f ′′(1) < 0 f ′′(3) > 0
Conclusion C.hacia arriba C.hacia abajo C. hacia arriba
Criterio de la Segunda Derivada
Figura 4.10:
Teorema 15 Criterio de la segunda derivada: Sea f una funcion tal que f ′(c) = 0 y
la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c.
1. Si f ′′(c) > 0, entonces f tiene un mınimo relativo en (c, f(c)).
112
2. Si f ′′(c) < 0, entonces f tiene un maximo relativo en (c, f(c))
Si f ′′(c) = 0, entonces el criterio falla. Eso es, f quizas tenga un maximo relativo en c, un
mımio relativo en (c, f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio
de la primera derivada.
Figura 4.11:
Ejemplo 29 Encontrar los extremos relativos correspondientes a f(x) = −3x5 + 5x3
Solucion:Empezamos determinando los puntos crıticos
113
f ′(x) = −15x4 + 15x2 = 15x2(1− x2) = 0
x = −1, 0, 1
Empleando
f ′′(x) = −60x3 + 30x = 30(−2x3 + x)
Aplicando el crıterio de la segunda derivada nos queda:
Intervalo (−1,−2) (1, 2) (0,0)
Signo de f”(x) f ′′(−1) > 0 f ′′(1) < 0 f ′′(0) = 0
Conclusion Min. Relativo Max. Relativo Falla de la prueba
Como el criterio de la
segunda derivada no decide en (0, 0), es posible utilizar el criterio de la primera derivada y
observar que f aumenta hacia la izquierda y hacia la derecha de x = 0. De tal modo (0, 0)
no es un mınimo relativo, ni un maximo relativo.
Figura 4.12:
114
4.7.2 La Regla de L’Hopital
Teorema 16 Regla de L’Hopital: Sean f y g derivables en el intervalo (a, b) excepto
posiblemente en un punto x = c en (a, b). Y supongamos que g′(x) 6= 0 en (a, b) excepto
posiblemente en x = c. Si limx→c.
Ejemplo 30 Encontrar los extremos relativos correspondientes a limx→0e2x−1
x
Solucion: Puesto que la sustitucion directa nos lleva a una indeterminacion de la forma
0/0, aplicamos la regla de L’hopital para obtener
limx→0
e2x − 1
x= lim
x→0
ddx
[e2x − 1]ddx
[x]= lim
x→0
2e2x
1= 2
Ejemplo 31 Encontrar los extremos relativos correspondientes a limx→∞ e−x√
x
Solucion: Puesto que la sustitucion directa nos lleva a una indeterminacion de la forma
0∗∞, reescribimos el limite para que se ajuste a las forma 0/0 o∞/∞. En este caso elegimos
la segunda forma y escribimos
limx→∞
e−x√
x = limx→∞
√x
ex
y por la regla de L′Hopital, tenemos
limx→∞
√x
ex= lim
x→∞
12√
x
ex= lim
x→∞1
2√
xex= 0
115
4.7.3 Optimizacion
Esta seccion ilustra como aplicar los metodos del Calculo a problemas que requieren
hallar un maximo o un mınimo. Preste atencion a como se resuelve el problema. Empezamos
indicando una estrategia general (estrategia, no reglas).
• Dibuje una grafica
• Determinar cuales son las variables y como estan relacionadas.
• Decidir que magnitud se desea hacer maxima o mınima.
• Expresarla en terminos de una unica variable independiente
• Calcular los valores maximo y mınimo admisibles (si los hay) de esa variable.
• Resolver el problema.
Ejemplo 32 Con una cartulina cuadrada de 18 cm de lado se desea hacer una caja abierta
(sin tapa) cortando en ella cuatro pequenos cuadrados de las esquinas y doblando luego por
las lıneas de puntos. Hallar las dimensiones de la caja de volumen maximo.
Solucion: El volumen de la caja (paralelepıpedo rectangular) es
V = l ∗ a ∗ h
En la figura se puede apreciar que la altura es h = x, mientras que la longitud y la
anchura son l = a = 18 − 2x. Ası pues, podemos expresar el volumen en terminos de la
unica variable x como
V = V (x) = (18− 2x)2(x) = 4x(9− x)2
Como x es una distancia x ≥ 0. Ademas, x ≤ 9 porque cortando cuadrados de 9cm de lado
cortariamos toda la cartulina. En resumen, tenemos que hallar el maximo absoluto de la
116
Figura 4.13:
funcion continua
V (x) = 4x(9− x)2 en el intervalo cerrado [0, 9]
La figura anterior muestra la grafica de y = V (x) en el intervalo [0, 9] y en ella se aprecia
que el maximo es aproximadamente 400 y se produce cerca de x = 3. Resolviendo el proble-
ma analıticamente. Se tiene:
V ′(x) = 4(9− x)2 + 4x(2)(9− x)(−1)
= 4(9− x)[(9− x)− 2x]
= 4(9− x)(9− 3x)
117
Por tanto, V tiene dos numeros crıticos 3 y 9, ambos en el intervalo considerado. Ya solo
hemos de comparar los valores de la funcion en los numeros crıticos y en los extremos del
intervalo: V (0) = 0, V (9) = 0 y V (3) = 432
El maximo volumen posible es de 432cm3. Se consigue cortando un cuadrado de 3cm de
lado de cada esquina. La caja optima tiene dimensiones 12 ∗ 12 ∗ 3
Ejemplo 33 Una lata de refresco debe 12 onzas de lıquido. Hallar las dimensiones que mi-
nimizan la cantidad de alumnio empleada en su construccion, suponiendo que es de grosor
uniforme.
Solucion: Una lata tıpica tiene la forma de un cilindro circular recto de altura h y radio r.
Si el alumnio tiene el mismo grosor en todas partes, minimizar la cantidad de alumnio es lo
mismo que minimizar el area de la superficie de la lata. Se tiene
: area= area de la tapa + area de la base +area lateral
Area = 2 ∗ π ∗ r2 + 2π ∗ r ∗ h
Podemos eliminar una de las dos variables usando el hecho de que el volumen (1 onza
≈1.80469 pulg3) debe ser
12onzas = 12onzasx1.80468pulg3
onzas= 21.65628pulg3
Ademas, el volumen del cilindro es = π ∗ r2 ∗ h
asi que
h =vol
π ∗ r2=
21.65628
π ∗ r2
118
el area de la lata es
A(r) = 2 ∗ π ∗ r2 + 2 ∗ π ∗ 21.65628
π ∗ r2
= 2 ∗ π(r2 +21.65628
π ∗ r)
Ahora nuestro problema es minimizar A(r), pero aqui no hay intervalo cerrado y acotado de
valores admisibles. Todo cuanto puede decirse es que r > 0, pero r puede ser tan grande o
tan pequeno como podamos imaginar.
Para tener idea de cual puede ser la solucion, dibujamos la grafica de y = A(r).
Parece haber un mınimo local (posiblemente absoluto) entre r = 1 y r = 2. El valor mınimo
Figura 4.14:
es algo menor que 50.
A′(r) =d
dr[2π(r2 +
21.65628
πr)]
= 2π(2r − 21.65628
πr2)
= 2π(2πr3 − 21.65628
πr2)
119
Los numeros crıticos seran los que anulen el numerador:
0 = 2πr3 − 21.65628
Eso ocurre si, y solo si
r = rc =3
√21.65628
2π≈ 1.510548
En consecuencia, la lata optima tiene radio rc ≈ 1.510548 y altura
h = 21.65628πr2
c≈ 3.0211
Ejercicios
1. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funcion en el punto dado.
(a) f(x) = 3− 2x, (−1, 5)
(b) g(t) = 3t− t2, (0, 0)
(c) g(x) = 32x + 1, (−2,−2)
2. Encontrar la derivada mediante el proceso de lımite
(a) f(x) = x3 − 12x
(b) f(x) = 1x−1
(c) f(x) =√
x + 1
3. Hallar la derivada de las siguientes funciones
(a) y = −2t2 + 3t− 6
(b) y = 5(2x)3
+ 8x
(c) f(t) = t2 − 4t3
120
(d) f(x) = x3−3x2+4x2
(e) y = x(x2 + 1)
(f) f(x) =√
x− 6 3√
x
(g) h(s) = s45 − s
23
(h) g(x) = (x2 + 1)(x2 − 2x)
(i) y = 3√
t(t2 + 4)
(j) f(x) = x3cosx
(k) f(x) = xx2+1
(l) g(x) = 3√
x
(m) g(x) = senxx2
(n) f(x) = (x3 − 3x)(2x2 + 3x + 5)
(o) f(x) = x2−4x−3
(p) f(x) = senxx
121
(q) g(x) = 3−2x−x2
x2−1
(r) g(x) = x3+3x+2x2−1
(s) f(x) = x(1− 4x+3
)
(t) f(x) = 2x+5√x
(u) f(x) =2− 1
x
x−3
(v) g(x) = (x+1x+2
)(2x− 5)
(w) g(x) = (x2−x−3x2+1
)(x2 + x + 1)
(x) f(x) = t2sent
(y) f(x) = costt
(z) f(x) = −x + tanx
() g(x) = 4√
t + 8sect
() y = 3(1−senx)2cosx
() y = 2xsenx + x2cosx
122
4. Evaluar la derivada de la funcion en el punto que se indica
(a) y = 1+cscx1−cscx
en (π6,−3)
(b) y = tanxcotx en (1, 1)
(c) f(t) = sectt
en (1, 1)
(d) f(x) = senx(senx + cosx) en (π4, 1)
5. Encontrar las derivadas de las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena
(a) y = (2x− 7)3
(b) y = 3√
9x2 + 4
(c) f(t) = ( 1t−3
)2
(d) f(x) = 1√x+2
(e) f(x) = x2(x− 2)4
(f) y = 12x2√
16− x2
(g) f(t) = ( t2
t3+2)2
123
(h) f(x) = (3x2−22x+3
)3
(i) y = x2tan 1x
6. Hallar dy/dx por medio de la derivacion implicita
(a) x2 + y2 = 16
(b) x12 + y
12 = 9
(c) x3 − xy + y2 = 4
(d) x3y3 − y = x
(e) x3 − 3x2y + 2xy2 = 12
(f) senx + 2cos2y = 1
(g) senx = x(1 + tany)
(h) y = sen(xy)
(i) y2 = x2−4x2+4
(j) (x + y)3 = x3 + y3
124
(k) x3 + y3 = 4xy + 1
(l) tan(x + y) = x
7. Encontrar la derivada de orden superior que se indica
(a) y = 2√
2, f ′(x)
(b) y = x2+2x−1x
,f ′′(x)
(c) y = 2t−3t+2
,f 2(t)
(d) y = sen25x,f 2(x)
(e) y = coszz
, f 2(z)
(f) y = 2x, d5ydx5
(g) y = sen(π), f ′′′(x)
(h) y = 1sec(2x+1)
,f 5(x)
8. En las siguientes funciones encontrar: a) Puntos crıticos (si los hay) b) Determinar los
intervalos abiertos donde la funcion es creciente o decreciente, c) aplicar el criterio de
la primera derivada para identificar todos los extremos relativos d) Grafica. Para las
funciones trigonometricas considere el intervalo (0, 2π).
125
(a) f(x) = x2 − 6x
(b) f(x) = −2x2 + 4x + 3
(c) f(x) = senxx
(d) g(x) = 2x3 + 3x2 − 12x
(e) g(x) = x2(3−x)
(f) f(x) = x5−5x5
(g) f(x) = x13 + 1
(h) f(x) = (x− 1)23
(i) g(x) = 5− |x− 5|
(j) g(x) = x + 1x
(k) f(x) = x2
x2−9
(l) f(x) = x2−2x+1x+1
(m) f(x) = x2
+ cosx
126
(n) g(x) = senx + cosx
(o) g(x) = cos2(2x)
(p) g(x) = sen2x + senx
9. En las siguientes funciones encontrar: a) Puntos de inflexion (si los hay) b) Analizar
la concavidad, c) extremos relativos (utilizar el criterio de la segunda derivada donde
sea conveniente).
(a) f(x) = x3 − 6x2 + 12x
(b) f(x) = 14x4 − 2x2
(c) f(x) = x(x− 4)3
(d) g(x) = x√
x + 3
(e) g(x) = xx2+1
(f) g(x) = x4 − 4x3 + 2
(g) f(x) = (x− 5)2
(h) f(x) = x3 − 3x2 + 3
127
(i) f(x) = x2(6− x)3
(j) g(x) = x23 − 3
(k) g(x) = x + 4x
(l) g(x) = cosx− x,[0, 4π]
(m) f(x) = sen(x2), [0, 4π]
(n) f(x) = sec(x− π2), [0, 4π]
(o) f(x) = senx + cosx, [0, 4π]
(p) g(x) = 2senx + sen2x, [0, 4π]
10. Una hoja de papel debe contener 18cm2 de texto impreso: Los margenes superior e
inferior deben medir 2cm y los laterales 1cm cada uno. Hallar las dimensiones de la
hoja para que el gasto de papel sea minimo. Resp. X = 10, Y = 5
11. Los barriles que se utilizan para almacenar petroleo tienen forma cilındrica y una
capacidad de 160 lts. Hallar las dimensiones del cilindro para que la chapa utilizada
en su contruccion sea mınima.
12. Contiguo a dos paredes perpendiculares se desea construir un corral de seccion rectan-
gular que estara subdividido en seis partes iguales colocadas en dos filas de tres cada
una. Para el cercado se dispone de 100 m de tejido.
128
(a) Encuentra las dimensiones de cada parte para que el area encerrada sea maxima.
(b) Calcula esas areas.
129
