Diapositiva 1Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro ANALISIS MATEMATICO II: Derivadas parciales sucesivas (o de orden superior) José R. Narro Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Derivadas parciales Sea z = f(x, y) una función de dos variables con dominio D. Si mantenemos la variable y fija: y = b, siendo b una constante, y suponemos que solo la x varía, la función f se convierte entonces en función de solo la variable x: g(x) = f(x, b). Si g tiene derivada en a, entonces esta se llama derivada parcial de f respecto de x en(a, b), que denotamos por fx(a, b). Luego por definición se tiene: fx(a, b) = g´(a) = ® Análogamente se define la derivada parcial de f respecta de y en (a, b), y que denotamos por fy(a, b), que se obtiene fijando x = a, y obteniendo la derivada en b de la función h(y) = f(a, y) 0 y Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro * b z=f(x, b) Proyección del corte de z=f(x, y) con y = b sobre el plano ZX tg b = fx(a, b) Si consideramos la superficie que tiene por ecuación z = f(x, y), el plano y = b, corta a la superficie en la curva z = f(x, b), que tiene por pendiente en el punto x = a, el valor de su derivada en dicho punto, que es precisamente: fx(a, b) = Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Interpretación geométrica de la derivada parcial Análogamente, si cortamos la superficie por el plano x = a, se obtiene la curva z =f(a,y), que tiene por pendiente en el punto y = b, el valor de su derivada en dicho punto: 0 y z y a y=b Proyección del corte de z = f(x, y) con x = a sobre el plano ZY José R. Narro Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Plano tangente Suponiendo que el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P(a, b, f(a, b)) existe obtengamos su ecuación. Dicho plano debe contener a las rectas tangentes a la curvas contenidas en la superficie y que pasan por P(a, b, f(a, b)); en particular contendrá a las rectas tangentes a las curvas que resultan de cortar a la superficie por los planos x = a, y = b. Al cortar por x = a, se obtiene la curva z = f(a, y) en el plano ZY, y cuya recta tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente fy(a, b), luego un vector director de esta recta será de la forma (0, u, v) , siendo y v =f(a,b) u , tomando u = 1, se obtiene: v = fy(a, b) es decir, un vector en la dirección de la recta tangente es (0, 1, fy(a, b)). _1188745395.unknown Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro a Vector director = (0, 1, fy(a, b)) tg a = fy(a, b) Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro b Vector director = (1, fx(a, b)) z = f(x, b) Análogamente, al cortar por y = b, se obtiene la curva z = f(x, b) en el plano ZX, y cuya recta tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente fx(a, b), luego un vector director de esta recta será de la forma (u, 0, v), siendo x v =f(a,b) u , tomando u = 1, se obtiene v = fx(a, b), es decir, un vector en la dirección de la recta tangente es (1, 0, fx(a, b)). _1188746269.unknown Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Plano tangente y recta normal En consecuencia dos vectores directores del plano tangente en el punto : P(a ,b, f(a, b)) son p r q r = (1, 0, fx(a, b), luego un vector perpendicular al plano se obtendrá multiplicándolos vectorialmente p×q EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 Por lo tanto el plano tangente queda definido por el punto P(a ,b, f(a, b)) y tiene por vector característico xy (f(a,b),f(a,b),-1) fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) – (z – f(a, b)) = 0. La recta perpendicular al plano tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) se llama recta normal a la superficie en dicho punto, por lo que su ecuación, en forma paramétrica, será x y Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Ejemplo Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie z = 3x2-y2, en el punto P(1, 1, 2),así como la ecuación de la recta normal en dicho punto. En este caso: fx(x, y) = 6x, fy(x, y) = -2y, (a, b) = (1, 1) Þ Luego la ecuación del plano tangente es: 6(x-1)-2(y-1)-(z-2) = 0 x=1+6t Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Plano tangente en P(a, b, f(a, b)) x = a y = b Recta normal Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro José R. Narro Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Función derivada parcial Si (a, b), es un punto variable lo representaremos por (x, y) y obtendremos el concepto de funciones derivadas parciales: La derivada parcial de f con respecto de x, la denotamos por fx, y se define así 0 x para todos los puntos (x, y) donde este límite exista. La derivada parcial de f con respecto de y, la denotamos por fy, y se define así 0 y para todos los puntos (x, y) donde este límite exista. Si z = f(x, y), otras notaciones usuales para las derivadas parciales son fx(x, y) = zx = Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Derivadas parciales Como en el cálculo de derivadas parciales una de las variables se mantiene constante, se podrán aplicar las reglas de derivación para funciones de una variable, siempre que esté clara la existencia de esta derivada. Ejemplo Siendo f(x, y) = (x2 + y)exy, calcular sus derivadas parciales y evaluarlas en el punto (1,1): fx(x, y) = 2xexy + (x2 + y)yexy Þ Þ fy(1, 1) = e + 2e = 3e Se han aplicado directamente las reglas de derivación de funciones de una variable, ya que al fijar una variable la función se convierte en una función derivable por ser el resultado de operar funciones derivables. Esta función admite derivadas parciales en todo punto de R2. _1187715097.unknown _1187715177.unknown Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Ejemplo Estudiar la existencia de derivadas parciales, para cualquier punto, de la función f(x, y) = |x+y|= x+ysix+y>0 ¹ 0, existen ambas derivadas parciales, ya que al fijar una variable se obtiene un polinomio que siempre es derivable, siendo fx(x, y) = 1, fy(x, y) = 1, si x+y>0 fx(x, y) = -1, fy(x, y) = -1, si x+y £ 0 Queda por estudiar cuando el punto P(a, b) si x+y = 0, es decir, b = -a Þ ®® == , que no existe, ya que vale 1 o -1 según que h tienda acero por la derecha o por la izquierda. 00 y ®® == , que no existe, ya que vale 1 o -1 según que h tienda acero por la derecha o por la izquierda. Luego la función admite derivadas parciales en todos los puntos, salvo en la recta x + y = 0. Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Ejercicio Estudiar la existencia de derivadas parciales, para cualquier punto, de la función: 22 xy si(x,y)(0,0) Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Derivadas parciales sucesivas Al calcular las derivadas parciales de una función de dos variables se obtienen también funciones de dos variables, a las que se les puede calcular sus derivadas parciales, a las que llamamos derivadas parciales segundas. Este proceso puede seguir obteniéndose las derivadas sucesivas (o de orden superior). Las notaciones mas usuales son: Derivadas parciales segundas: 2 xx 2 ff ()==f xxx e y ¶¶¶ ¶¶¶ 3) derivando primero respecto de x y luego respecto de y 2 xy ff ()==f yxyx ¶¶¶ ¶¶¶¶ 4) derivando primero respecto de y y luego respecto de x 2 yx ff ()==f xyxy ¶¶¶ ¶¶¶¶ En las dos notaciones utilizadas se deriva primero respecto a la variable más cercana a f. _1194882275.unknown _1194882326.unknown _1194882357.unknown _1194882306.unknown _1187848272.unknown Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Derivadas parciales sucesivas f(x, y) = Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Derivadas parciales sucesivas 32222 y x Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Derivadas parciales sucesivas xyyx f=f , igualdad que en general no es cierta, aunque si lo será para la mayoría de funciones que manejemos. Una condición suficiente para que xyyx Teorema (de Schwarz, sobre la permutabilidad de orden de derivación) Si f está definida en un entorno U de (a, b), y si existen las derivadas parciales fx, fy, fxy en el mismo U, siendo también fxy continua en (a, b) , entonces existe fyx(a, b) y se cumple xyyx . Para más de dos variables el concepto de derivada parcial es análogo. Veamos un ejemplo para tres variables Ejemplo f(x, y, z) = x2+y2+z2+exyz xyz x xyz y xyz z Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Regla de la cadena Estudiemos ahora la regla de la cadena o la derivada de la función compuesta para funciones de dos variables. Regla de la cadena para el caso: z = f(x, y), x = g(t), y = h(t). Teorema Sea z = f(x, y) diferenciable en (x, y). Si x = g(t), y = h(t), siendo g y h funciones derivables en t, entonces f es derivable en t, y su derivada es z´(t) = zxx´(t) + zyy´(t). Ejemplo Siendo z = xy2 – x2, con x = cos t, y = sen t verificamos el resultado anterior calculando z´(t) de dos formas distintas: directamente sustituyendo x, y en función de t y, aplicando el teorema anterior: z = cos t sen2 t – cos2 t Þ z´ = -sen t sen2 t + 2cos t cos t sen t + 2sen t cos t = = -sen3 t + 2cos2 t sen t + 2sen t cos t z´(t) = zxx´(t) + zyy´(t) = (y2 – 2x)(- sen t) + 2xy cos t = (sen2 t – 2 cos t)(- sen t) + + 2 cos2 t sen t, que coincide con el resultado anterior. _1189572384.unknown Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro z´(t) = zxx´(t) + zyy´(t) z zx zy x y t t Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Regla de la cadena Regla de la cadena para el caso: z = f(x, y), x = g(u, v), y = h(u, v)): Teorema Si f es diferenciable en (x, y), existen las derivadas parciales xu, xv, yu, yv en (u, v), entonces existen zu, zv en (u, v) y se verifica: zu = zxxu + zyyu zv = zxxv + zyyv Para funciones de mas de dos variables se obtienen resultados análogos. Ejercicio Siendo 22 xy z= 2 , x = u + v, y = u-v, calcular zu, zv de dos formas distintas: a) Sustituyendo x e y en función de u y v. b) Aplicando el teorema anterior. _1189574168.unknown Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro zu = zxxu + zyyu zv = zxxv + zyyv Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Derivación en forma implicita El modo de escribir la función de dos variables, hasta ahora, ha sido z = f(x, y), y decimos que z está dada en forma explicita, es decir, despejada en función de x, y. Otra forma, mas general, de definir z como función de x, y es F(x, y, z) = 0, que se llama forma implícita de definir z como función de x, y (la z no está despejada). El pasar de la forma explicita a la implcita es inmediato: z = f(x, y) Þ z – f(x, y) = 0, llamando F(x, y, z) = z – f(x, y) Þ F(x, y, z) = 0 El pasar de la forma implícita a la explicita, en general, es mas complicado, y a veces, es imposible como se ve con el ejemplo z5x2 + z3y – sen xy = 0. _1189576050.unknown Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Derivación en forma implicita Supongamos que z está definida implícitamente como función de x e y: F(x, y, z) = 0, considerando F como una función de tres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la igualdad F(x, y, z) = 0 , se obtiene: derivando respecto de x : x x z -F z= F y y z -F z= F Ejemplo Siendo z3sen x + zexy – xy = 0, obtener zx, zy aplicando el resultado anterior. En este caso F(x, y, z) = z3sen x + zexy – xy, luego Fx = z3cos x + zyexy – y, Fy = zxexy – x, Fz = 3z2sen x + exy. Por lo que sustituyendo queda: 3xy x 2xy Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Ejercicio Con el mismo dato del ejemplo anterior, obtener zx, zy derivando directamente la igualdad z3sen x + zexy – xy = 0 , y considerando que z es función de x e y. Comprobar que el resultado obtenido coincide con el anterior. José R. Narro Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Derivación en forma implicita Como otra aplicación de la derivación implícita, obtengamos la ecuación de plano tangente a al superficie z = f(x, y) en el punto P(a, b, c) cuando esta viene dada en forma implícita F(x, y, z) = 0. Se obtuvo que esta es: zx(a, b)(x-a)+zy(a, b)(y-b)-(z-c) = 0 y siendo )=0 Þ Luego la recta normal en el punto P(a, b, c) tiene como vector director (Fx(a, b, c), Fy(a, b, c), Fz(a, b, c)), por lo que su ecuación en forma paramétrica es x y z Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Ejemplo Obtener la ecuación del plano tangente y de la normal a la superficie xy zz En este caso es F(x, y, z) = xy zz Como consecuencia la ecuación del plano tangente en P es 4log2(x-2)+4log2(y-2)-16log2(z-1) = 0 x=2+t y=2+t Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales. José R. Narro Ejercicio Obtener las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie: z2+4z+x2 = 0, en los puntos de intersección con el eje OZ. Sea z = f(x, y) una función de dos variables con dominio D. Si mantenemos la v a- riable y fija: y = b, siendo b una constante, y suponemos que solo la x varía, la fu n- ción f se convierte entonces en función de solo la variable x: g(x) = f(x, b). Si g tiene derivada en a, entonces esta se llama derivada parcial de f respecto de x en(a, b), que denotamos por f f x (a, b) = 0f(a+h,b)-f(a,b)limhh Análogamente se define la derivada parcial de f respecta de y en (a, b), y que den o- tamos por f y (a, b), que se obtiene fijando x = a, y obteniendo la derivada en b de la función h(y) = f(a, y) b Proyección del corte de z=f(x, y) con y = b sobre el plano ZX (a, b) Si consideramos la superficie que tiene por ecuación z = f(x, y), el plano y = b, corta a la superficie en la curva z = f(x, b), que tiene por pendiente en el punto x = a, el valor de su derivada en dicho punto, que es precisamente: f x (a, b) = 0f(a+h,b)-f(a,b)limhh Análogamente, si cortamos la superficie por el plano x = a, se o btiene la curva z =f(a,y), que tiene por pendiente en el punto y = b, el valor de su derivada en dicho punto: z y a f y Proyección del corte de z = f(x, y) con x = a sobre el plano ZY Suponiendo que el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P(a, b, f(a, b)) existe obtengamos su ecuación. Dicho plano debe contener a las rectas tange n- tes a la curvas contenidas en la superficie y que pasan por P(a, b, f(a, b)); en part i- cular contendrá a las rectas tangentes a las curvas que resultan de cortar a la s u- perficie por los planos x = a, y = b. Al cortar por x = a, se obtiene la curva z = f(a, y) en el plano ZY, y cuya recta ta n- gente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente f y (a, b), luego un vector direc- tor de esta recta será de la forma (0, u, v) , siendo yv=f(a,b)u (a, b) es decir, un vector en la dirección de la recta tangente es (0, 1, f y a y b x z = f(x, b) Análogamente, al cortar por y = b, se obtiene la curva z = f(x, b) en el plano ZX, y cuya recta tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente f x (a, b), luego un vector director de esta recta será de la forma (u, 0, v), siendo xv=f(a,b)u x (a, b), es decir, un vector en la dirección de la recta tangente es (1, 0, f (a, b)). En consecuencia dos vectores directores del plano tangente en el punto : P(a ,b, f(a, b)) son p lar al plano se obtendrá multiplicándolos vectorialmente p×q xyf(a,b)i+f(a,b)j-k Por lo tanto el plano tangente queda definido por el punto P(a ,b, f(a, b)) y tiene por vector característico f x (a, b)(y - b) – (z – f(a, b)) = 0. La recta perpendicular al plano tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) se llama recta normal a la superficie en dicho punto, por lo que su ecuación, en forma paramétr i- ca, será Ejemplo Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie z = 3x 2 -y 2 , en el punto P(1, 1, 2),así como la ecuación de la recta normal en dicho punto. En este caso:
Luego la ecuación del plano tangente es: 6(x-1)-2(y-1)-(z-2) = 0 x=1+6ty=1-2tz=2-t Plano tangente x = a y = b Recta normal P(a, b, f(a, b)) Si (a, b), es un punto variable lo representaremos por (x, y) y obtendremos el co n- cepto de funciones derivadas parciales: La derivada parcial de f con respecto de x, la denotamos por f x para todos los puntos (x, y) donde este límite exista. La derivada parcial de f con respecto de y, la denotamos por f y para todos los puntos (x, y) donde este límite exista. Si z = f(x, y), otras notaciones…