Interés compuestohttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto.html

A lo mejor quieres leer primero la Introducción al interés

Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer periodo, lo sumamos al total, y después calculamos el interés del siguiente periodo, y sigue... así:

Aquí tienes los cálculos para un préstamo de 5 años al 10%:

AñoPréstamo

inicialInterés Préstamo final

0 (Ahora) $1,000.00 ($1,000.00 × 10% = ) $100.00 $1,100.001 $1,100.00 ($1,100.00 × 10% = ) $110.00 $1,210.002 $1,210.00 ($1,210.00 × 10% = ) $121.00 $1,331.003 $1,331.00 ($1,331.00 × 10% = ) $133.10 $1,464.104 $1,464.10 ($1,464.10 × 10% = ) $146.41 $1,610.515 $1,610.51

Como ves, es fácil calcular si vas paso a paso.

1. Calcula el interés (= "préstamo inicial" × tasa de interés)2. Suma el interés al "préstamo inicial" para calcular el "préstamo final" del año3. El "préstamo final" del año es el "préstamo inicial" del año siguiente

Una tarea simple, con muchos cálculos. Pero hay maneras más rápidas, siendo listos con las matemáticas.

Hagamos una fórmula

Vamos a hacer una fórmula para lo de arriba... empezamos mirando el primer año:

$1,000.00 + ($1,000.00 × 10%) = $1,100.00

Lo podemos reescribir así:

Así que sumar el 10% de interés es como multiplicar por 1.10

Nota: la tasa de interés la hemos escrito en decimal dividiendo entre 100: 10% = 10/100 = 0.10, lee Porcentajes para saber más.

Así que ahora es todo en un paso:

1. Multiplica el "préstamo inicial" por (1 + tasa de interés) para calcular el "préstamo final"

(¡Pero recuerda que primero hay que poner la tasa de interés en decimal! 0.10, no 10%)

Con un simple cálculo vemos que el resultado es el mismo:

$1,000 + ($1,000 x 10%) = $1,000 + $100 = $1,100   

es lo mismo que: $1,000 × 1.10 = $1,100

Ahora viene la magia...

... ¡la misma fórmula vale todos los años!

· Podemos calcular el año siguiente así: $1,100 × 1.10 = $1,210· Y seguimos otro año más: $1,210 × 1.10 = $1,331· etc...

Así es como funciona:

De hecho podemos ir directamente desde el principio hasta el año 5, multiplicando 5 veces:

$1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = $1,610.51

Pero es más fácil escribir las multiplicaciones usando exponentes (o potencias) así:

La fórmula

Hemos usado un ejemplo real, pero podemos hacerlo en general con letras en vez de números, así:

(¿Ves que es lo mismo? Antes teníamos PV = $1,000, r = 0.10, n = 5, y FV = $1,610.51)

Esta es la fórmula básica para el interés compuesto.

Apréndetela, es muy útil.

Ejemplos

¿Qué tal unos ejemplos...?

¿Y si el préstamo fuera de 15 años? ... sólo tienes que cambiar el valor de "n":

... ¿y si el préstamo fuera de 5 años, pero la tasa de interés fuera sólo del 6%? Queda así:

¿Has visto cómo hemos puesto el 6% en su sitio?

... ¿ y si fuera de 20 años al 8%? ... ¡esa la calculas tú!

Calcular "al revés" para encontrar el valor presente

Digamos que tu objetivo es tener $2,000 dentro de 5 años. Te dan un 10% en el banco, así que ¿cuánto tienes que poner al principio?

Es decir, conoces el valor futuro, y quieres conocer el valor presente.

Sabemos que si multiplicamos un valor presente (PV) por (1+r)n nos da el valor futuro (FV), así que podemos volver atrás dividiendo:

Así que la fórmula es:

PV = FV / (1+r)n

Y podemos calcular la respuesta del problema:

PV = $2,000 / (1+0.10)5 = $2,000 / 1.61051 = $1,241.84

O sea, $1,241.84 crecerán hasta $2,000 si los invertimos al 10% durante 5 años.

Otro ejemplo: ¿Cuánto tienes que invertir ahora para tener $10,000 dentro de 10 años al 8% de interés?

PV = $10,000 / (1+0.08)10 = $10,000 / 2.1589 = $4,631.93

Así que $4,631.93 invertidos al 8% durante 10 años dan $10,000

Periodos de interés compuesto

El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual deberían decirlo!

Ejemplo: tomas prestados $1,000 durante 12 meses y dicen "1% al mes", ¿cuánto tienes que devolver?

Sólo tienes que usar la fórmula del valor futuro con "n" el número de meses:

FV = PV × (1+r)n = $1,000 × (1.01)12 = $1,000 × 1.12683 = $1,126.83 a devolver

También se puede tener interés anual pero varias veces en el mismo año, lo que se llama Composición periódica.

Por ejemplo, 6% de interés "compuesto mensualmente" no quiere decir 6% cada mes, sino 0.5% al mes (6% entre 12 meses), y se calcularía así:

FV = PV × (1+r/n)n = $1,000 × (1 + 6%/12)12 = $1,000 × (1.005)12 = $1,000 × 1.06168... = $1,061.68 a devolver

Esto es lo mismo que un 6.168% durante un año ($1,000 se han convertido en $1,061.68).

¡Así que ten cuidado con los significados!

TAE

Como es fácil confundirse cuando lees un anuncio (¡a veces lo hacen a propósito!), se suele usar el "TAE".

TAE quiere decir "Tasa Anual Equivalente" ... te dice lo que vas a sacar en realidad cada año (incluyendo el compuesto, costes, etc.)

En este anuncio parece que es 6.25%, pero en realidad es 6.335%

Aquí hay más ejemplos:

Ejemplo 1: "1% al mes" en realidad es TAE 12.683% (si no hay costes).

Y:

Ejemplo 2: "6% de interés compuesto mensualmente" en realidad es TAE 6.168% (si no hay costes).

Si estás buscando hacer negocios, pregunta por el TAE.

 

¡Un respiro!

Hasta ahora hemos usado (1+r)n para ir de un valor presente (PV) a un valor futuro (FV) y al revés, además hemos visto algunos de los trucos que te puedes encontrar en un préstamo.

Ahora tómate un descanso antes de seguir con los dos temas siguientes:

Cómo calcular la tasa de interés si conoces el PV, el FV y el número de periodos

Cómo calcular el número de periodos si conocemos el PV, el FV y la tasa de interés

 

Calcular la tasa de interés

Puedes calcular la tasa de interés si sabes el valor presente, el valor futuro y cuántos periodos son.

Ejemplo: tienes $1,000, y quieres tener $2,000 en 5 años, ¿qué tasa de interés te hace falta?

La fórmula es:

r = ( FV / PV )1/n - 1

Nota: el pequeño "1/n" es un exponente fraccionario, primero calcula 1/n y luego úsalo como exponente en la calculadora.

Por ejemplo 20.2 lo calcularíamos así: 2, "x^y", 0, ., 2, =

Ahora "metemos" los valores para tener el resultado:

r = ( $2,000 / $1,000 )1/5 - 1 = ( 2 )0.2 - 1 = 1.1487 - 1 = 0.1487

Y 0.1487 en porcentaje es 14.87%,

Así que te haría falta una tasa de interés del 14.87% para que $1,000 se convirtieran en $2,000 en 5 años.

Otro ejemplo: ¿Qué tasa de interés te hace falta para que tus $1,000 se conviertan en $5,000 en 20 años?

r = ( $5,000 / $1,000 )1/20 - 1 = ( 5 )0.05 - 1 = 1.0838 - 1 = 0.0838

Y 0.0838 en porcentaje es 8.38%. Así que un 8.38% convertirá tus $1,000 en $5,000 en 20 años.

Calcular el número de periodos

Puedes calcular cuántos periodos son si sabes el valor presente, el valor futuro y la tasa de interés.

Ejemplo: quieres saber cuántos periodos necesitas para que tus $1,000 se conviertan en $2,000 al 10% de interés.

Esta es la fórmula (nota: usa el logaritmo natural ln):

n = ln(FV / PV) / ln(1 + r)

La función "ln" debería de estar en tu calculadora si es de las buenas.

También hay log, no las confundas.

En fin, vamos a "meter" los valores:

n = ln( $2,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.10 ) = ln(2)/ln(1.10) = 0.69315/0.09531 = 7.27

¡Magia! Dentro de 7.27 años tus $1,000 serán $2,000 al 10% de interés.

Otro ejemplo: ¿Cuántos años hacen falta para que $1,000 se hagan $10,000 al 5% de interés?

n = ln( $10,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.05 ) = ln(10)/ln(1.05) = 2.3026/0.04879 = 47.19

¡47 años! Pero es que estamos hablando de multiplicar el dinero por 10, sólo al 5% de interés.

Calculadora

He hecho una Calculadora de interés compuesto que usa estas fórmulas, por si te interesa.

Resumen

La fórmula básica para el interés compuesto es:

FV = PV (1+r)n Para calcular el valor futuro, donde: FV = valor futuro, PV = valor presente, r = tasa de interés (en decimal), y

n = número de periodosY manipulando la fórmula (lee Derivación de la fórmula del interés compuesto) podemos calcular cualquier valor si sabemos los otros tres:

   

PV = FV / (1+r)nCalcular el valor presente si sabemos el valor futuro, la tasa de interés y el número de periodos.

   

r = ( FV / PV )1/n - 1Calcular la tasa de interés si sabemos el valor presente, el valor futuro y el número de periodos.

   

n = ln(FV / PV) / ln(1 + r)Calcular el número de periodos si sabemos el valor presente, el valor futuro y la tasa de interés.

Anualidades

Hasta ahora hemos hablado de lo que pasa con una cantidad cuando el tiempo va pasando... ¿pero qué pasa si tienes una serie de cantidades, como pagos periódicos de un préstamo o inversiones anuales? De esto hablamos en la página de Anualidades, pronto la tendremos lista.

Derivar las fórmulas de interés compuesto

¡Vamos a derivar las fórmulas, con ejemplos!

http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/compuesto-interes-derivacion.html

Para el interés compuesto, se calcula el interés del primer periodo, se suma al total, y después se calcula el interés del periodo siguiente, y así siempre... como este ejemplo:

Hagamos una fórmula

Empezamos mirando el primer año:

$1,000.00 + ($1,000.00 × 10%) = $1,100.00

Lo podemos reescribir así:

 

Así que sumar el 10% de interés es como multiplicar por 1.10

(Nota: la tasa de interés la hemos escrito en decimal dividiendo entre 100: 10% = 10/100 = 0.10, lee Porcentajes para saber más.)

Y la misma fórmula vale todos los años:

· Podemos calcular el año siguiente así: $1,100 × 1.10 = $1,210· Y seguimos otro año más: $1,210 × 1.10 = $1,331· etc...

Así es como funciona:

De hecho podemos ir directamente desde el principio hasta el año 5, multiplicando 5 veces:

$1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = $1,610.51

Pero es más fácil escribir las multiplicaciones usando exponentes (o potencias) así:

La fórmula

Hemos usado un ejemplo real, pero podemos hacerlo en general con letras en vez de números, así:

(¿Ves que es lo mismo? Antes teníamos PV = $1,000, r = 0.10, n = 5, y FV = $1,610.51)

Ejemplos

¿Qué tal unos ejemplos...?... ¿Y si el préstamo fuera de 15 años? ... sólo tienes que cambiar el valor de "n":

... ¿y si el préstamo fuera de 5 años, pero la tasa de interés fuera sólo del 6%? Queda así:

Las cuatro fórmulas

La fórmula básica para el interés compuesto es:

FV = PV (1+r)n Para calcular el valor futuro, donde: FV = valor futuro, PV = valor presente, r = tasa de interés (en decimal), y

n = número de periodos

Con esto podemos calcular FV si sabemos PV, la tasa de interés y el número de periodos

Y manipulando la fórmula podemos calcular PV, la tasa de interés o el número de periodos si sabemos los otros tres:

   

PV = FV / (1+r)nCalcular el valor presente si sabemos el valor futuro, la tasa de interés y el número de periodos.

   

r = ( FV / PV )1/n - 1Calcular la tasa de interés si sabemos el valor presente, el valor futuro y el número de periodos.

   

n = ln(FV / PV) / ln(1 + r)Calcular el número de periodos si sabemos el valor presente, el valor futuro y la tasa de interés.

¿De dónde hemos sacdo las otras tres fórmulas? ¡Sigue leyendo!

Calcular el valor presente

Digamos que quieres tener $2,000 en 5 años al 10%. ¿Con cuánto tienes que empezar?

O sea, sabes el valor futuro, y quieres saber el valor presente.

Sólo tenemos que arreglar la fórmula... dividimos los dos lados por (1+r)n y nos queda:

Ahora podemos calcular la respuesta:

PV = $2,000 / (1+0.10)5 = $2,000 / 1.61051 = $1,241.84

Funciona así:

Otro ejemplo: ¿Cuánto tienes que invertir ahora para tener $10,000 en 10 años al 8% de interés?

PV = $10,000 / (1+0.08)10 = $10,000 / 2.1589 = $4,631.93

Entonces $4,631.93 invertidos al 8% durante 10 años crecerían hasta llegar a $10,000.

Calcular la tasa de interés

Si tienes $1,000, y quieres tener $2,000 en 5 años, ¿qué tasa de interés te hace falta?

Tenemos que arreglar la primera fórmula para calcular esto.

Ahora que tenemos la fórmula, sólo tenemos que "poner" los valores para tener el resultado:

r = ( $2,000 / $1,000 )1/5 - 1 = ( 2 )0.2 - 1 = 1.1487 - 1 = 0.1487

Y 0.1487 en porcentaje es 14.87%,

Así que te haría falta una tasa de interés del 14.87% para que $1,000 se convirtieran en $2,000 en 5 años.

Otro ejemplo: ¿Qué tasa de interés te hace falta para que tus $1,000 se conviertan en $5,000 en 20 años?

r = ( $5,000 / $1,000 )1/20 - 1 = ( 5 )0.05 - 1 = 1.0838 - 1 = 0.0838

Y 0.0838 en porcentaje es 8.38%. Así que un 8.38% convertirá tus $1,000 en $5,000 en 20 años.

Calcular el número de periodos

Si quieres saber cuántos periodos necesitas para que tus $1,000 se conviertan en $2,000 al 10% de interés, también para esto puedes reordenar la fórmula básica.

Pero nos va a hacer falta usar la función logaritmo natural ln() para calcularlo.

Ahora "ponemos dentro" los valores:

n = ln( $2,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.10 ) = ln(2)/ln(1.10) = 0.69315/0.09531 = 7.27

¡Magia! Te harán falta 7.27 periodos para que tus $1,000 se conviertan en $2,000 al 10% de interés.

Otro ejemplo: ¿Cuántos años hacen falta para que $1,000 se conviertan en $10,000 al 5% de interés?

n = ln( $10,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.05 ) = ln(10)/ln(1.05) = 2.3026/0.04879 = 47.19

¡47 años! Pero es que estamos hablando de multiplicar dinero por 10, sólo al 5% de interés.

Conclusión

Ahora que has visto cómo derivamos cada fórmula y cómo se usan, esperamos que te sea más fácil acordarte de ellas, y usarlas en distintas situaciones.

El interés compuesto

 

El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (Cf).

Para un período determinado sería

Capital final (Cf) = capital inicial (C) más los intereses.

Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo:

Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).

Año Depósito inicial

Interés Saldo final

0 (inicio) $1.000.000 ($1.000.000 x 10% = ) $100.000 $1.100.000

1 $1.100.000($1.100.000 × 10% = )

$110.000$1.210.000

2 $1.210.000 ($1.210.000× 10% = ) $121.000 $1.331.000

3 $1.331.000($1.331.000 × 10% = )

$133.100$1.464.100

4 $1.464.100($1.464.100 × 10% = )

$146.410$1.610.510

5 $1.610.510    

 

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final.

Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general:

En inversiones a interés compuesto, el capital final (Cf), que se obtiene a partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (t), está dado por la fórmula:

Recordemos que i se expresa en forma decimal ya que corresponde a .Y donde t corresponde al número de años durante los cuales se mantiene el depósito o se paga una deuda.

Como corolario a esta fórmula:

A partir de ella, puesto que el interés compuesto final (I) es la diferencia entre el capital final y el inicial, podríamos calcular la tasa de interés (i):

Sacamos factor común  C:

También podemos calcular la tasa de interés despejando en la fórmula de Cf:

En los problemas de interés compuesto i y t deben expresarse en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes períodos de tiempo.

Periodos de interés compuesto

El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser semestral, trimestral, al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual debería informarse!

Así, si la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante t años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc.,  solo hay que convertir éstos a años.

Por ejemplo, si i se expresa en tasa anual y su aplicación como interés compuesto se

valida en forma mensual, en ese caso i  debe dividirse por 12

. En seguida, la potencia t (el número de años) debe multiplicarse por 12 para mantener la unidad mensual de tiempo (12 meses por el número de años).

Si los periodos de conversión son semestrales, i se divide por 2 ya que el año tiene dos semestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a semestres), por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia t (el número de años) por 2 (el número de semestres de un año):

Suponiendo una tasa anual de 10%, hacemos del siguiente modo:

será igual a

Si los periodos de conversión son trimestrales, i se divide por 4 ya que el año tiene 4 trimestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a trimestres) por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia  t (el número de años) por 4 (el número de trimestres que hay en un año).

Del siguiente modo:

será igual a

En  general, en todos los casos donde haya que convertir a semestres, trimestres, meses, o días se multiplica por n semestres, trimestres, meses o días el 100 de la fórmula

que es igual a .   La potencia t (en número de años) se debe multiplicar por el mismo valor  de n, en cada caso, así, suponiendo una tasa anual de 10%:

será igual a

 

Ver: PSU: Matemática, Pregunta 35_2010 

Ejercicios de práctica

Ejercicio Nº 1

Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.   Resolución:  

Aplicando la fórmula

Reemplazamos con los valores conocidos:

En tasa de interés compuesto

Capital inicial

Tiempo en años (t) = 5

Respuesta:

El capital final es de 1.763.194 pesos.  

Ejercicio Nº 2  Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1.583.945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.   Resolución:

Aplicando la fórmula

Reemplazamos con los valores conocidos:

Capital final (Cf) = 1.583.945

En tasa de interés compuestoTiempo en años (t) = 7

Despejando C:

Respuesta:  Redondeando la cifra resultante, el capital inicial fue de 800.000 pesos.  

Ejercicio Nº 3  Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1.500.000 pesos para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2.360.279 pesos.   Resolución:

Aplicando la fórmula

Reemplazamos los valores conocidos:

Capital inicial (C ) = 1.500.000

Capital final (Cf) = 2.360.279

Tiempo en años (t) = 4

Reemplazamos con los valores conocidos:

Despejamos (1 + i)4

Redondeamos a 0,12 y multiplicamos por 100 (recuerda que i siempre se expresa como

0,12 • 100 = 12 %

Respuesta:

La tasa de interés compuesto anual ha sido de 12 %.

 

Ejercicio Nº 4

Digamos que pretendemos tener $2.000.000 dentro de 5 años. Si el banco paga una tasa de 10% anual ¿cuánto necesitamos como capital inicial?

Aplicando la fórmula

Reemplazamos con los valores conocidos:

Capital final (Cf) = 2.000.000

Tasa de interés compuesto  

Tiempo en años (t) = 5

Reemplazamos con los valores conocidos:

Respuesta:

Un capital inicial de $ 1.241.842,64 crecerá hasta $ 2.000.000 si lo invertimos al 10% durante 5 años.

Otro ejemplo

En general, si conocemos el capital final o valor futuro y queremos conocer el capital inicial o valor presente: Como sabemos que si multiplicamos un valor presente ( C ) por (1 + i)t nos da el valor futuro o capital final(Cf), podemos dividir directamente el capital final (Cf)  por la tasa de interés compuesta (1 + i)t para obtener el valor presente o actual.

Veamos un caso:

¿Cuánto hay que invertir ahora para tener $10.000.000 dentro de 10 años al 8% de interés?

A partir de la fórmula

Reemplazamos por los valores conocidos

Respuesta:

Entonces, $ 4.631.989 invertidos al 8% durante 10 años dan $10.000.000.

Ver: El interés y el dinero

Fuentes Internet:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto.html

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/interes1.htm

 

Es propiedad: www.profesorenlinea.cl. Registro Nº 188.540