Chapter 8: Mechanics of Options Markets โครงสรางของตลาดออปชัน 8.8 ฝายการเงินของบริษัทตองการออกแบบโปรแกรมการเทรดออปชั่นเงินสกุลตางประเทศ จงบอกขอดีและ

ขอเสียระหวางการซื้อขายผาน Philadelfia Stock Exchange (ตลาดเทรดเงินสกุลตางประเทศในประเทศสหรัฐอเมริกา) และ over the counter

ตอบ

a) Stock Exchange มีการเทรดทั้ง European option และ American option โดยมีการกําหนดราคาใชสิทธิ อายุการใชสิทธิ และจํานวนสัญญา ที่แนนอน ขอดีคือ มีความเปนมาตรฐาน ไมมีความเสี่ยงที่ผูขายจะไมขาย แตขอเสียคือไมยืดหยุน ไมคลอบคลุมความตองการของนักลงทุน

b) Over the counter สวนใหญนักลงทุนนิยมเทรดออปชันเงินสกุลตางประเทศกันในตลาดนี้

เนื่องจากเปนตลาดมีความยืดหยุนมากกวา สามารถกําหนดเงื่อนไขไดเอง ตอบสนองความตองการของนักลงทุนไดดี แตขอเสียคือมีความเสี่ยงที่ผูขายจะไมขาย จึงตองมี guarantee margin สูง ทําใหมีตนทุนสูงกวาการเทรดผานตลาด Exchange

8.9 สมมุติวา European Call Option (สิทธิซือ้) สําหรับซื้อหุนราคา $100 มีตนทุนเปน $5 และถือถึง

Maturity ในสถานการณใดที่ผูถือออปชันจะไดกําไร และสถานการณใดที่ผูถือควรจะ exercise จงวาดภาพเพื่ออธิบายวากําไรจากการทํา long position ของออปชัน มีความสัมพันธกับ Maturity ของออปชันอยางไร

ตอบ หากไมดูเรื่อง Time Value of Money แลว ผูถือออปชันจะทํากําไรถาราคาของหุนที่ Maturity มากกวา $105 ทั้งนี้เนื่องจาก payoff ที่ผูถือออปชันจะไดนั้นมากกวาตนทุน $5 ที่เสียไป ผูถือจะใชสิทธิหากราคาของหุนสูงกวา $100 (หากราคาหุนอยูระหวาง $100 - $105 ผูถือจะใชสิทธิ แตก็จะขาดทุน)

กําไรจากการทํา Long Call Position

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

80.00 90.00 100.00 110.00 120.00 130.00

Profit

8.10 สมมุติวา European Put Option (สิทธิขาย) สําหรับขายหุนราคา $60 มีตนทุน $8 และถือถึง Maturity ในสถานการณใดที่ผูขายออปชันจะไดกําไร และสถานการณใดที่ผูถือควรจะ exercise จงวาดภาพเพื่ออธิบายวากําไรจากการทํา short position ของออปชัน มีความสัมพันธกับ Maturity ของออปชันอยางไร

ตอบ หากไมดูเรื่อง Time Value of Money แลว ผูขายออปชันจะทํากําไรถาราคาของหุนที่ Maturity มากกวา $52 ($60 - $8) ทั้งนี้เนื่องจากตนทุนของการขายออปชันต่ํากวาราคาที่ไดรับจากออปชัน ในกรณีนี้ผูถือออปชันจะใชสิทธิหากราคาของหุนที่ maturiy ตํ่ากวา $60 (หากราคาหุนอยูระหวาง $52 - $60 ผูขายออปชันจะยังคงไดกําไรแมวาจะมีการใชสิทธิขายก็ตาม)

กําไรจากการทํา Short Put Position

-15

-10

-5

0

5

10

40.00 50.00 60.00 70.00

Profit

8.11 ใหอธิบาย terminal value ของ portfolio ดังตอไปนี้: long forward contract และ long European put option ซึ่งมี maturity และ strike price เทากัน จงแสดงใหเห็นวา European put option มีมูลคาเทากันกับ European call option ซึ่งมี strike price และ maturity เดียวกัน

ตอบTerminal value ของ Long Forward contract คือ ST – F0

โดยที่ ST เปนราคาของ asset ที่ maturity F0 เปนราคาฟอรเวิรดของ asset ณ เวลาที่จัดพอรท (ราคาสงมอบของสัญญาฟอรเวิรด = F0 เชนกัน)

Terminal value ของ put option คือ Max (F0 – ST , 0)

ดังนั้น Terminal value ของ portfolio จึงเปน ST – F0 + Max (F0 – ST , 0)

ซึ่งจะเห็นไดวาเปน Terminal value คาเดียวกันกับ European call option ซึ่งมี maturity เดียวกันกับ Forward contract และมี exercise price เทากับ F0 ดังรูป

-4.00

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

7.00 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00

Forward Profit Put Profit Total Profit

= Max (0, ST – F0) จากรูปจะเห็นวาสัญญาฟอรเวิรด เมื่อรวมกับ put option จะมีมูลคาเทากันกับ call option ซึ่งมี strike price และ maturity เดียวกัน สัญญาฟอรเวิรดจะมีมูลคาเทากัน “ศูนย” ณ เวลาที่จัดพอรต ซึ่งสิ่งที่ตามมาก็คือ put option จะมีมูลคาเทากับ call option ณ เวลาที่จัดพอรต 8.12 นักเก็งกําไรซื้อ Call option ดวยราคาใชสิทธิที่ $45 และ put option ดวยราคาใชสิทธิที่ $40 โดย

ทั้งสองออปชันมี maturity เหมือนกัน ตนทุน call option อยูที่ $3 และ put option อยูที่ $4 จงวาดภาพแสดงความแปรผันของกําไรกับราคาสินทรัพย

ตอบ

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

20 25 30 35 40 45 50 55 60

Call Put Total

จากกราฟ เราสามารถแบงไดดังนี้ a) เมื่อราคา underlying asset ตํ่ากวา $40 Put Option จะให payoff = $40 – ST และ Call

Option จะให payoff เปนศูนย ตนทุนของทั้งสอง option อยูที่ $7 ดังนั้นจะไดกําไรทั้งหมดเปน $33 - ST

b) เมื่อราคา underlying asset อยูระหวาง $40 และ$45 ออปชันจะมี payoff เปนศูนยทั้งสองตัว ดังนั้นจะขาดทุนทั้งสิ้น $7

c) เมื่อราคา underlying asset มากกวา $45 Call Option จะให payoff ST – $45 และ Put Option จะให payoff เปนศูนย เนื่องจากตนทุนของทั้งสอง option อยูที่ $7 ดังนั้นจะไดกําไรทั้งหมดเปน ST - 52

ฉะนั้นนักเก็งกําไรจะไดกําไร หากราคาหุนต่ํากวา $33 หรือ มากกวา $52

8.13 จงอธิบายวาที่ Underlying asset เดียวกัน ซึ่งมี strike price และ exercise date เหมือนกัน เหตุ

ใด American option จึงมีคามากกวา European option ตอบ อเมริกันออปชันมีคามากกวายูโรเปยนออปชัน เนื่องจากผูถืออเมริกันออปชันมีสิทธิเหมือนกันกับยูโรเปยนออปชันทุกประการ และยังมีสิทธิมากกวาเนื่องจากสามารถใชสิทธิ exercise เมื่อใดก็ได จึงตองมีมูลคามากกวา หากออปชันทั้งสองมีมูลคาเทากัน นักเก็งกําไรจะสามารถทํากําไรไดโดยแคเพียงทําการ short European option และ long American option. 8.14 เหตุใด American Option จึงมีมูลคาอยางนอยเทากับ intrinsic value ตอบ เนื่องจากผูถืออเมริกันออปชันมีสิทธิ์ที่จะ exercise underlysing asset ไดทันที จึงตองมีการกําหนดเงื่อนไข ใหมีมูลคาอยางต่ําไมเกินกวา intrinsic value เพราะหากไมทําเชนนั้นแลว นักเก็งกําไรจะสามารถกําหนดราคากําไรที่แนนอนโดยซื้ออเมริกันออปชันและใชสิทธิ์ทันที 8.15จงอธิบายความแตกตางระหวางการขายสิทธิขาย (short put) และซื้อสิทธิซื้อ (long call) ตอบการทํา short put จะให payoff = min(ST- K,0) การทํา long call จะให payoff = max ST- K ความแตกตางคือ การ short put ฝายคูสัญญา (ผูซื้อ) จะเปนผูที่เลือกวาคุณจะได payoff หรือไม (และจะให payoff คุณก็ตอเมื่อคาเปนลบเทานั้น) แตการ long call คณุเองจะเปนผูตัดสินใจเลือกที่จะได payoff โดยจะเลือกเมื่อคาเปนบวก

8.16 ฝายการเงินของบริษัทพยายามที่จะเลือกระหวางออปชันและสัญญาฟอรเวิรด เพื่อที่จะทําการปองกันความเสี่ยงอัตราและเปลี่ยนเงินตราตางประเทศ จงอธิบายผลดีและผลเสียของวิธีทั้งสอง

ตอบ การทําสัญญาฟอรเวิรดจะเปนการตรึงอัตราแลกเปลี่ยนซึ่งจะนําไปใชสําหรับการใดโดยเฉพาะ ขณะที่ออปชันจะใหการประกันวาอัตราแลกเปลี่ยนจะไมแยไปกวาระดับหนึ่งที่ยอมรับได ขอดีของการทําสัญญาฟอรเวิรดก็คือความไมแนนอนของอัตราแลกเปลี่ยนจะถูกกําจัดออกไปมากเทาที่จะมากได แตขอเสียคือผลของการทํา hedging อาจจะออกมาเลวรายกวาการไมทํา hedging ซึ่งขอเสียนี้จะไมเกิดถาเราปองกันความเสี่ยงดวยออปชัน อยางไรก็ดีการทําออปชันก็จะมีตนทุนที่สูงกวา (option involve an up-front cost) 8.17 พิจารณาสัญญา call option ซื้อ 500 หุน ดวยราคา strike price ที่ $40 และมี maturity 4 เดือน

สัญญาออปชันจะเปลี่ยนไปอยางไรหากมีเงื่อนไขดังตอไปนี้ ตอบ

a) 10% stock dividend การจายปนผลเปนหุนจะสงผลใหจํานวนหุนของสัญญาออปชันเปลี่ยนเปน 500 x 1.1 = 550 หุน ดวยราคาใชสิทธิที่ 40/1.1 = $36.60

b) 10% cash dividend การจายปนผลเปนเงินสดจะไมสงผลการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ตอสัญญาออปชัน เนื่องจากตามปกติแลว สัญญาออปชันถูกคํานวณมาสําหรับการจายปนผลเงินสดอยูแลว

c) 4-for-1 stock split การแตกหุนจะสงผลใหจํานวนหุนของสัญญาออปชันเปลี่ยนเปน 500 x 4 = 2,000 หุน ดวยราคาใชสิทธิที่ 40/4 = $10 8.18 “หาก call option สวนใหญ เปน in the money, แสดงวาราคาหุนนาจะขึ้นอยางรวดเร็วในชวง 2-3

เดือนที่ผานมา” จงแสดงความเห็นกับประโยคดังกลาว ตอบ ในการเทรดอัตราแลกเปลี่ยนสําหรับออปชันใหม จะมีกฎเกณฑที่แนนอน นั่นคือ ออปช่ันจะมีราคาใกลเคียงกับราคาตลาดเมื่อมีการเทรดครั้งแรก หากคอลออปชันทั้งหมดอยูในสถานะกําไร (in-the-money) ก็นาจะเปนไปไดวาราคาหุนสูงขึ้นตั้งแตเริ่มมีการเทรดออปชัน*** 8.19 การจายเงินปนผลโดยที่ไมไดมีการคาดการณมากอน ทําใหเกิดผลกระทบอยางไรตอ a) ราคาของ call

option และ b) ราคา put option

ตอบ การจายเงินปนผลโดยที่ไมมีการคาดหมายลวงหนาอาจทําใหราคาของหุนลดลง ซึ่งราคาหุนที่ตกลงจะไมไดถูกคาดการณจากผูถือออปชัน โดยจะสงผลใหมูลคาของคอลออปชันลดลงและเพิ่มมูลคาของพุทออปชัน (อยาลืมวาเงื่อนไขของออปชันไดถูกปรับมาสําหรับการจายเงินปนผลเฉพาะในกรณีพิเศษเทานั้น) 8.20 option ของหุน General Motors จะออกทุก ๆ เดือนมีนาคม, มิถุนายน, กันยายน และธันวาคม ออป

ชันใดบางที่มีการซื้อขายในวันดังตอไปน้ี a) 1 มีนาคม b) 30 มิถุนายน c) 5 สิงหาคม ตอบ

a) ออปชันที่มีการซื้อขายในวันที่ 1 มีนาคม คือ ออปชันเดือนมีนาคม เมษายน มิถุนายน และ กันยายน b) ออปชันที่มีการซื้อขายในวันที่ 30 มิถุนายน คือ ออปชันเดือนกรกฎาคม กันยนยน และ ธันวาคม c) ออปชันที่มีการซื้อขายในวันที่ 5 สิงหาคม คือ ออปชันเดือนสิงหาคม กันยายน ธันวาคม และ มีนาคม

8.21 จงอธิบายวาเหตุใด market maker’s bid-offer spread จึงเปนตัวแทน ตนทุนที่แทจริงของผูลงทุน

ในออปชัน ตอบ ราคา “Fair price” สําหรับออปชันเปนราคากึ่งกลางระหวางราคา bid และ ราคา offer ที่ market maker ทําการ quote ไว นักลงทุนมักจะซื้อที่ราคา offer จาก market maker และขายที่ราคา bid จาก market maker ทุกครั้งที่มีการซื้อขาย จะมีตนทุนที่ซอนอยูซึ่งมีคาเทากับครึ่งหนึ่งของสวนตางระหวางราคา bid และ offer 8.22 นักลงทุนชาวอเมริกันผูหนึ่งทําการขาย naked call option จํานวน 5 สัญญา ราคาออปชันอยูที่ $3.50

ราคาใชสิทธิอยูที่ $60 ราคาหุนอยูที่ $57 ควรจะมี initial margin requirement อยูที่เทาไร? ตอบ การคํานวณหา Initital margin

1) 500 x (3.5 + 0.2 x 57 – 3) = 5,950 2) 500 x (3.5 + 0.1 x 57) = 4,600 คิดยังไง?

จากการคํานวณขางตน Initial margin ก็คือ คาที่มากกวา หรือ $5,950 นั่นเอง

Chapter 9: Properties of Stock Options คุณสมบัติของออปชันหุนสามัญ 9.8 จงอธิบายวาเหตุใดขอถกเถียงซึ่งนําไปสูการทํา put-call parity ของยูโรเปยนออปชัน จึงใชไมไดกับอเมริกันออปชัน ตอบ ความแตกตางของอเมริกันออปชัน คือ การที่เราสามารถใชสิทธิกอนวันครบกําหนดอายุ สมมติวาเราจะได P+S > C+Ke-rT โอกาสในการคากําไรของเราจะไมแนนอน เราซื้ออเมริกันคอลออปชัน ขายอเมริกันพุทออปชัน และซื้อหุน แตเราจะไมสามารถแนใจไดวาเราจะไดกําไร เพราะเราไมทราบวาอเมริกันพุทออปชันจะถูกใชสิทธิเมื่อไหร ตางจากยูโรเปยนออปชัน ซึ่งเรารูกําหนดเวลาการใชสิทธิที่แนนอน ทําใหการหา put-call parity ชวยใหเราทําการคากําไรได 9.9 จงหา lower bound ของคอลออปชันอายุ 6 เดือน ที่มีสินทรัพยอางอิงเปนหุนไมจายปนผล เมื่อราคาหุนอยูที่ $80 ราคาใชสิทธิ์อยูที ่$75 และ risk free อยูที่ 10% ตอป

ตอบจากสูตร c = So- Ke-rT

คํานวณหา lower bound ได c = 80 – 75e-0.1x0.5 = $8.66

9.10 จงหา lower bound ของยูโรเปยนพุทออปชันอายุ 2 เดือน สินทรัพยอางอิงเปนหุนที่ไมจายปนผล เมื่อราคาหุนอยูที่ $58 ราคาใชสิทธิ์อยูที ่$65 และ risk free อยูที่ 5% ตอป

ตอบจากสูตร p = Ke-rT- So คํานวณหา lower bound ได p = 65e-0.05x2/ 12 – 58

= $6.46 9.11 ยูโรเปยนคอลออปชันอายุ 4 เดือน มีสินทรัพยอางอิงเปนหุนที่จายปนผล ขายอยูที่ราคา $5 ราคาหุนอยูที่ $64 ราคาใชสิทธิ $60 และจะจายเงินปนผล $0.80 ในหนึ่งเดือน อัตรา risk free อยูที่ 12% ตอป ผูคากําไรมีโอกาสในการทํากําไรอยางไรบาง?

ตอบมูลคาปจจุบันของราคาใชสิทธิ คือ 60e-0.12x4/12 = $57.65 มูลคาปจจุบันของเงินปนผล คือ 0.80e-0.12x1/12 = $0.79

จากสมการ c >= So – D - Ke-rT 5 < 64 – 0.79 – 57.65 จึงมีโอกาสที่จะทําการคากําไร

ณ เวลา 0 Long option, short stock ซึ่งจะไดสวนตาง = 65 – 5 = $60 จากเงิน $60 - $0.79 ลงทุนเปนเวลาหนึ่งเดือน โดยไดอัตราดอกเบี้ย 12% เพื่อที่จะจายเงินปนผล $0.80 ในเดือนถัดไป - $59.21 ลงทุนเปนเวลา 4 เดือน โดยไดอัตราดอกเบี้ย 12%

ณ เวลา T หาก ST < 60 จะขาดทุนในออปชัน $5 แตจะไดกําไรจากการหุน เนื่องจากขายไป ที่ราคา $64 + $0.79 (เงินปนผล) และปดสถานะเมื่อราคาหุนอยูที่ $60 หรือตํ่ากวา และเนื่องจาก $57.65 เปนมูลคาปจจุบันของ $60 สถานะขายของหุนใหผลตอบแทนอยางนอย = 64 – 57.65 – 0.79 = $5.56

หาก ST > 60 จะใชสิทธิออปชันเพื่อซื้อหุนที่ราคา $60 และนํามาปดสถานะหุนที่ขายไวกอนหนานี้ มูลคาปจจุบันของ $60 ที่จายไปในหุน = $57.65 และมูลคาปนผล = 0.79 กําไรที่ไดจากการทํา short position และการใชสิทธิออปชันจึงเปน 64 – 57.65 – 0.79 = $5.56 ทั้งนี้มูลคาปจจุบันของกําไรที่ไดจะเปน 5.56 – 5.0 = $0.56 9.12 ยูโรเปยนพุทออปชันอายุ 1 เดือน มีสินทรัพยอางอิงเปนหุนที่ไมจายปนผล ขายอยูที่ราคา $2.50 ราคาหุนอยูที่ $47 ราคาใชสิทธิ $50 อัตรา risk free อยูที่ 6% ตอป ผูคากําไรมีโอกาสในการทํากําไรอยางไรบาง?

ตอบมูลคาปจจุบันของราคาใชสิทธิ คือ 50e-0.06x1/12 = $49.75 จากสมการ การ p >= Ke-rT- So

2.5 < 49.75 - 47 จึงมีโอกาสที่จะทําการคากําไร

ณ เวลา 0 Long put option, long stock

ณ เวลา T หาก ST > 50 จะไมใชสิทธิออปชัน และจะขายหุนไดที่ราคาอยางนอย $50 ซึ่งมูลคาปจจุบันของ $50 ที่ได คือ $49.75 ดวยกลยุทธนี้จึงใหกําไรคิดเปนมูลคาปจจุบันอยางนอย = $0.25

หาก ST < 50 จะใชสิทธิขายออปชันเพื่อขายหุนที่ซื้อมาที่ราคา $50 (หรือ $49.75 เมื่อคิดเปนมูลคาปจจุบัน) กลยุทธนี้จึงใหกําไรคิดเปนมูลคาปจจุบันเทากับ $0.25

9.13 จงอธิบายโดยใชความรูสึกของคุณเองวาเหตุใดการใชสิทธิลวงหนาของอเมริกันพุทจึงนาดึงดูดใจมากขึ้นเมื่ออัตรา risk free เพิ่มขึ้น และความผันผวนราคาลดลง ตอบ กรณีที่ราคาของหุนกําลังอยูในสถานะที่ทํากําไรสูงใหกับออปชันที่ถือ หากอัตราดอกเบี้ยที่ไมมีความเสี่ยงเพิ่มขึ้น โดยปจจัยอื่นคงที่ ก็จะดึงดูดใหผูถืออเมริกันพุทออปชันใชสิทธิลวงหนา เนื่องจากอัตราดอกเบี้ยที่เพิ่มทําใหนักลงทุนตองการผลตอบแทนจากการลงทุนเพิ่มขึ้น และสงผลใหมูลคาปจจุบันของเงินที่ผูถือออปชันจะไดรับในอนาคตลดลง จึงควรรีบใชสิทธิทันที สวนความผันผวนราคาที่ลดลงนั้น ดึงดูดใหผูถือใชสิทธิลวงหนา เพราะวา ราคาหุนเริ่มนิ่ง หากถือตอไปจนครบกําหนด อาจจะไดกําไรนอยกวาเดิม จึงควรรรีบใชสิทธิขณะที่อยูในชวงกําไรสูงสุด 9.14 ยูโรเปยนคอลออปชันอายุ 6 เดือน ราคาใชสิทธิ $30 มีราคาอยูที่ $2 ราคาของหุนซึ่งเปนสินทรัพยอางอิง อยูที่ $29 และจะมีการจายเงินปนผล $0.50 ณ เวลา 2 เดือน และ 5 เดือน risk free rate อยูที่ 10% จงหาราคาของยูโรเปยนพุทออปชัน ซึ่งมีอายุ 6 เดือน และมีราคาใชสิทธิที่ $30

ตอบ จากสมการ Put-Call Parity c + Ke-rT + D = p + S0

หรือเขียนใหมเปน p = c + Ke-rT+ D - S0 แทนคา = 2 + 30e-0.1x0.5 + 0.50e-0.1x2/12 + 0.5e-0.1x5/12- 29 = 2.51 ดังนั้นราคาของยูโรเปยนออปชันจะอยูที่ $2.51 9.15 จากขอ 9.14 จงอธิบายโอกาสในการคากําไร หากราคาของยูโรเปยนพุท = $3

ตอบราคายูโรเปยนคอลออปชัน = $2 ราคายูโรเปยนพุทออปชัน = $3 สามารถทําการคากําไรไดโดย ณ เวลา 0 - long European call option - Short European put option - Short the stock ซึ่งจะทําใหไดเงินสด = -2 + 3 + 29 = $30 จากนั้นนําเงินไปลงทุนที่อัตราดอกเบี้ย 10% ไมวาจะเกิดอะไรขึ้น กําไรที่คิดเปนมูลคาปจจุบันแลวจะถูกตรึงอยูที่ 3.00 – 2.51 = $0.49

ณ เวลา T หาก ST > 30 จะทําการใชสิทธิคอลออปชัน และปลอยใหพุทออปชันหมดอายุไป

คอลออปชันจะใหสิทธิในการซื้อหุนอยูที่ $30 หรือ 30e-0.1x0.5 = $28.54 ตนทุนเงินปนผลจากการทํา short position = 0.5e-0.2x2/12 + 0.5e-0.1x5/12 = $0.97 กําไรคิดเปนมูลคาปจจุบัน = 30 – 28.54 – 0.97 = $0.49

หาก ST < 30 จะใชสิทธิพุทออปชัน และปลอยใหคอลออปชันหมดอายุไป การขายพุทออปชันจะทําใหขายหุนไดในราคา $30 หรือ 30e-0.1x0.5 = $28.54 ตนทุนเงินปนผลจากการขาย = 0.5e-0.2x2/12 + 0.5e-0.1x5/12 = $0.97 กําไรคิดเปนมูลคาปจจุบัน = 30 – 28.54 – 0.97 = $0.49 9.16 อเมริกันคอลออปชันที่มีสินทรัพยอางอิงเปนหุนที่ไมจายปนผล ราคาอยูที่ $4 ราคาหุนอยูที่ $31 ราคาใชสิทธิ $30 และมีอายุ 3 เดือน อัตราดอกเบี้ย risk free อยูที่ 8% จงหาขอบเขตราคาสูงสุดและต่ําสุดของอเมริกันพุทออปชัน ซึ่งมีสินทรัพยอางอิง ราคาใชสิทธิ และอายุการใชสิทธิ เหมือนกันกับคอลออปชันขางตน

ตอบจากสมการ S0 – K <= C – P <= S0 – Ke-rT

แทนคา 31 – 30 <= 4 – P <= 31 - 30e-0.08x0.25

1.00 <= 4.00 – P <= 1.59 2.41 <= P <= 3.00 ดังนั้นราคาขอบเขตสูงสุดของอเมริกันพุทออปชันอยูที่ $3.00 และขอบเขตต่ําสุดอยูที่ $2.41 9.17 จากขอ 9.16 จงอธิบายโอกาสในการคากําไร หากราคาอเมริกันพุทออปชันสูงกวาราคาขอบเขตสูงสุดที่คํานวณได

ตอบผูคากําไรสามารถทํากําไรโดย - short American put option - short stock - long American call option ซึ่งจะทําใหไดเงินสดอยางนอย = 3 + 31 - 4 = $30 จากนั้นนําเงินไปลงทุนที่อัตราดอกเบี้ย 8% ในระหวางชวง 3 เดือน อาจจะมีการใชสิทธิอเมริกันพุทหรืออเมริกันคอลออปชัน โดยจาย $30 รับหุน และปดสถานะขาย เงินสดรับที่ผูคากําไรไดจะเปน +$30 ณ เวลา 0 และ -$30 ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง ซึ่งเงินสดที่ไดจะมีมูลคาปจจุบันเปนบวก

9.18 จงพิสูจนสมการ S0 – K <= C – P <= S0 – Ke-rT (ในสวนแรก ใหพิจารณา (a) กลุมหลักทรัพยท่ีประกอบไปดวย 1 ยูโรเปยนคอลออปชัน และเงินสดเทากับ K และ (b) กลุมหลักทรัพยท่ีประกอบไปดวย 1อเมริกันพุทออปชันและ 1 หุน) 9.19 จงพิสูจนสมการ S0 – D - K <= C – P <= S0 – Ke-rT (ในสวนแรก ใหพิจารณา (a) กลุมหลักทรัพยท่ีประกอบไปดวย 1 ยูโรเปยนคอลออปชัน และเงินสดเทากับ D + K และ (b) กลุมหลักทรัพยท่ีประกอบไปดวย 1อเมริกันพุทออปชันและ 1 หุน) 9.20 สําหรับคอลออปชันแบบปกติที่มีสินทรัพยอางอิงเปนหุนแบบไมจายปนผล เราไมควรที่จะใชสิทธิกอนวันครบกําหนด แตก็มีแนวโนมวาออปชันหุนที่ใหกับผูบริหารถูกใชสิทธิลวงหนาแมวาบริษัทจะไมทําการจายเงินปนผลก็ตาม จงอธิบายเหตุผลในเรื่องนี้ ตอบ ผูบริหารทําการใชสิทธิคอลออปชันลวงหนา อาจมีเหตุผลดังนี้

- ตองการเงินสด - ไมแนใจในอนาคตของบริษัท

ทั้งนี้สําหรับคอลออปชันแบบปกติ สามารถทําการขายในตลาดไดหากเกิดเหตุการณขางตน แตสําหรับออปชันหุนของบริหารไมสามารถขายในตลาดได ในทางทฤษฎี ผูบริหารสามารถเลือกทําการขายหุนบริษัทแทนการใชสิทธิในออปชัน แตในทางปฏิบัติไมสงเสริมใหทํา และอาจจะเขาขายผิดกฎหมายได 9.21 ใชซอฟทแวร Deriva Gem (ใหมากับหนังสือทายเลม) เพื่อพิสูจนวารูป 9.1 และ 9.2 เปนจริง

Chapter 10: Trading Strategies Involving Options 10.8 จงใช Put-Call parity อธิบายความสัมพันธระหวาง Initial Investment สําหรับ Bull Spread ซึ่งใช Call และ Initial Investment สําหรับ Bull Spread ซึ่งใช Put

ตอบBull spread ที่ใชคอลออปชั่น จะใหรูปแบบผลกําไรในแบบเดียวกับ Bull spread ที่ใชพุทออปชัน กําหนด p1 และ c1 เปนราคาของพุทและคอล โดยมีราคาใชสิทธิที่ K1

p2 และ c2 เปนราคาของพุทและคอล โดยมีราคาใชสิทธิที่ K2

จากสมการ Put-Call parity p1 + S = c1 + K1e-rT

p2 + S = c2 + K2e-rT

ดังนั้น p1 - p2 = c1 - c2 – (K2 - K1)e-rT

ซึ่งแสดงใหเห็นวา initial investment ที่ spread เกิดจากพุท มีคานอยกวา initial investment ที่เกิดจากคอล อยู (K2 - K1)e-rT

( initial investment ที่ bull spread เกิดจากพุท จะมีคาเปนลบ ขณะที่ initial investment ที่เกิดจากที่คอลจะมีคาเปนบวก) กําไรที่เกิดขึ้นเมื่อใชคอลสราง bull spread จะสูงกวาเมื่อใชพุท เทากับ (K2 - K1) (1 - e-rT) ซึ่งสะทอนใหเห็นวาการใช call strategy มีความเกี่ยวของกับสวนของการลงทุนใน risk free เพิ่มเติม คือ (K2 - K1)e-rT ของ put strategy ซึ่งจะทําใหมีกําไรจากดอกเบี้ย (K2 - K1)e-rT (1 - e-rT) = (K2 - K1) (1 - e-rT)

10.9 จงอธิบายวา put option สามารถสราง Aggressive bear spread ไดอยางไร ตอบ เราสามารถสราง Aggressive bear spread โดยใชพุทออปชันสองตัว ซึ่งออปชันจะตองมีสถานะเปน “out of the money” ทั้งคู (นั่นหมายถึง จะตองมีราคาใชสิทธิตํ่า) ซึ่งจะทําใหสราง spread ดวยตนทุนที่ตํ่าเนื่องจากพุทออปชันทั้งสองตัวมีราคาเขาใกล “ศูนย” โดยสวนใหญแลว bear spread จะให payoff เทากับศูนย อยางไรก็ตาม อาจจะมีบางโอกาส (นอยครั้ง) ที่ราคาหุนจะตกลงอยางรวดเร็วจนกระทั่งทําใหพุทออปชันทั้งสองตัวกลายสถานะเปน “In the money” ในวันหมดอายุ หากเปนเชนนั้น bear spread ก็จะให payoff เทากับสวนตางของราคาหุนทั้งสองตัว (K1 – K2) 10.10 สมมุติวา พุทออปชันของหุน 2 ตัว มีราคาใชสิทธิที่ $ 30 และ $ 35 และมีตนทุนอยูที่ $ 4 และ $ 7 ตามลําดับ จงอธิบายวา Option จะสามารถสราง a) Bull Spread, b) Bear Spread ไดอยางไร และจงสรางตารางเพื่อแสดงกําไร และ Payoff ของขอ a และ b

ตอบa) เราสามารถสราง bull spread ไดโดย long put $30 และ short put $35

ดวยวิธีนี้จะทําใหเกิด initial cash inflow $3 ดังตาราง ราคาหุน Payoff กําไร ST >= 35 0 3 30 <= ST < 35 ST – 35 ST – 32 ST < 30 -5 -2

b) เราสามารถสราง bear spread ไดโดย short put $30 และ long put $35

ดวยวิธีนี้จะทําใหเกิดคาใชจายเริ่มตน $3 ดังตาราง ราคาหุน Payoff กําไร ST >= 35 0 -3 30 <= ST < 35 35 - ST 32 - ST ST < 30 5 2 10.11 จงใช Put-Call Parity เพื่อแสดงวา ตนทุนของ Butterfly Spread ที่สรางจาก European Put มีคาเทากับตนทุนของ Butterfly Spread ที่สรางจาก European Call

ตอบ กําหนดให c1, c2 และ c3 เปนราคาของยูโรเปยนคอลออปชันซึ่งมีราคาใชสิทธิอยูที่ K1, K2 และ K3 p1, p2 และ p3 เปนราคาของยูโรเปยนพุทออปชันซึ่งมีราคาใชสิทธิอยูที่ K1, K2 และ K3 แทนคาในสมการ c1 + K1e-rT = p1 + S c2 + K2e-rT = p2 + S c3 + K3e-rT = p3 + S จะได c1 + c3 - 2c2 + (K1 + K3 - 2K2 )e-rT = p1 + p3 - 2 p2 เนื่องจาก K2 - K1 = K3 - K2

K1 + K3 - 2K2 = 0 ดังนั้น

c1 + c3 - 2c2 = p1 + p3 - 2 p2

จากสมการจะเห็นไดวาตนทุนของ butterfly spread ที่สรางจากยูโรเปยนคอล มีคาเทากันกับตนทุนของ butterfly spread ที่สรางจากยูโรเปยนพุท 10.12 Call Option ที่มี Strike Price เทากับ $60 และ มีตนทุนเทากับ $6 และ Put Option ที่มี Strike Price และ Expiration date เดียวกัน มีตนทุนอยูที่ $4 จงสรางตารางเพื่อแสดงกําไรแบบ Straddle และชวงราคาหุนที่เทาไหรที่ Straddle จะเริ่มขาดทุน

ตอบ เราสามารถสราง straddle ไดโดยการ long call และ long put ซึ่งจะทําใหเกิดตนทุน $10 โดยจะใหกําไร/ขาดทุนดังตาราง ราคาหุน Payoff กําไร ST > 60 ST - 60 ST – 70 ST < = 60 60 - ST 50 - ST

จากตารางแสดงใหเห็นวาการทํา straddle จะทําใหขาดทุนถาราคาหุนอยูในชวงระหวาง $50 - $70 10.13 จงสรางตาราง Pay off จาก Bull Spread โดยใช Put Option ที่มี Strike Price เทากับ K1 และ K2 ,( K2 > K1 )

ตอบ เราสามารถสราง bull spread ไดโดยการ long put ที่ srike price K1 และ short put ที่ srike price K2 (ซื้อถูกขายแพง) จะได payoff ดังตาราง

ราคาหุน Payoff จาก long put Payoff จาก short put Payoff รวม ST >= K2 0 0 0 K1 < ST < K2 0 ST - K2 - (K2 - ST) ST <= K1 K1 - ST ST - K2 - (K2 - K1) 10.14 นักลงทุนรายหนึ่งเชื่อวา ราคาหุนจะมีการกาวกระโดดอยางมาก แตไมมีความแนนอนวาจะไปในทิศทางใด จงระบุกลยุทธทั้ง 6 วิธีที่นักลงทุนสามารถเลือกใชและจงอธิบายความแตกตางของแตละวิธี ตอบ กลยุทธที่นักลงทุนสามารถทําไดไดแก Strangle, Straddle, Strip, Strap, Reverse calendar spread และ Reverse butterfly spread โดยกลยุทธทั้งหมดจะให profit เปนบวกเมื่อราคาของหุนสวนใหญมีการเคลื่อนไหว รายละเอียดดังตาราง Strategy ขนาดการเคลื่อนไหวของราคา Strangle

ตนทุนต่ําสุด แตจะตองมีขนาดการเคลือ่นไหวราคามาก เพื่อที่จะสามารถทํากําไร

Straddle

ตนทุนสูงกวา strangle

Strip

ตนทุนสูงกวา straddle แตไดกําไรมากกวา เมื่อเทียบกับ strap จะใหกําไรมากกวาเมื่อราคาหุนตกลงมาก

Strap

ตนทุนสูงวา straddle แตไดกําไรมากกวา

Reverse calendar spread ใหกําไรสูงสุด ขนาดของการเคลือ่นไหวของราคาไมมีผลตอการเพิ่มขึ้นของกําไร

Reverse butterfly spread

ใหกําไรสูงสุด ขนาดของการเคลือ่นไหวของราคาไมมีผลตอการเพิ่มขึ้นของกําไร

10.15 จงอธิบายวาจะใชสัญญา Option เพื่อทําสัญญา Forward ซึ่งมี underlying aseet เปนหุน โดยสามารถระบุราคาสงมอบและวันที่สงมอบไดอยางไร

ตอบสมมุติให K = ราคาสงมอบ และ T = วันสงมอบ สัญญาฟอรเวิรดทําโดยการ long European call option และ short European put option ทั้งสองออปชันมีราคาใชสิทธิที่ K และเวลาใชสิทธิที ่T โดยพอรตดังกลาวให payoff = ST – K ในทุกกรณี โดย ST เปนราคาหุน ณ เวลา T และให F0 = ราคาฟอรเวิรด หาก K = F0 สัญญาฟอรเวิรดที่ทําขึ้นก็จะมีคาเทากับศูนย ซึ่งแสดงใหเห็นวาราคาของคอลออปชันจะเทากับราคาของพุทออปชัน เมื่อราคาใชสิทธิเทากับ F0 10.16 “Box Spread ประกอบดวยออปช่ัน 4 ตัว โดยใช 2 ออปชันผสมกันเปน Long Forward และอีก 2 ออปชันผสมกันเปน Short Forward” จงอธิบายประโยคดังกลาว ตอบ Box Spread ก็คือ bull spread ที่สรางขึ้นโดยใชคอลออปชัน และ bear spread ที่สรางขึ้นโดยใชพุทออปชัน โดย Box spread ประกอบดวย a) long call ที่ราคาใชสิทธิ K1 b) short call ที่ราคาใชสิทธิ K2 c) long put ที่ราคาใชสิทธิ K2 a) short put ที่ราคาใชสิทธิ K1 a) และ d) จะผสมกันเปน 1 long forward contract ที่ราคาสงมอบ K1 ขณะที่ b) และ c) จะผสมกันเปน 1 short forward contract ที่ราคาสงมอบ K2 และเมื่อนําสองสัญญามารวมกันก็จะได payoff = K2 - K1 10.17 ถาราคา Strike Price ของ Put Option สูงกวาราคา Strike Price ของ Call Option จะสงผลกระทบอยางไรใน Strangle ตอบ หาก strike price ของพุทออปชันสูงกวา stike price ของคอลออปชัน กําไรที่ไดจะใกลเคียงกันกับเมื่อราคาใชสิทธิของคอลสูงกวาพุท แตหากราคาใชสิทธิของพุทออปชันมากกวา เงินลงทุนเริ่มตนที่ตองเสียไป และ payoff สุดทายที่ไดจะมากกวา 10.18 1 ออสเตรเลียนดอลลารมีมูลคาเทากับ $ 0.64 Butterfly Spread ที่มีอายุ 1 ป ถูกสรางโดย

European Call Options ที่มี Strike Prices เทากับ $0.60, $0.65, $0.70 อัตราผลตอบแทนที่ไมมีความเสี่ยงในประเทศสหรัฐอเมริกาและออสเตรเลียเทากับ 5%และ 4% ตามลําดับ และความผันผวนของอัตราแลกเปลี่ยนเทากับ 15% จงใชโปรแกรม Deriva Gem คํานวณตนทุน

การทํา Butterfly Spread โดยแสดงใหเห็นวาตนทุนจะยังคงเทากันหากสราง Butterfly Spred ดวย European Put Option

ตอบ

Chapter 11: Introduction to Binomial Trees 11.8 จงพิจารณาสถานการณที่การเปลี่ยนแปลงราคาหุนในชวงระหวางอายุของยูโรเปยนออปชันนั้นถูกกําหนดดวย Binomial tree สอง step ใหอธิบายวาเหตุใดเราจึงไมสามารถหาสถานะที่จะทําใหทั้งหุนและออปชันปราศจากความเสี่ยงไดตลอดอายุของออปชัน

ตอบ พอรตที่ไมมีความเสี่ยงประกอบดวยการถือสถานะขายออปชัน และสถานะซื้อของหุน แตหุนจะมีการเปลี่ยนแปลงราคาระหวางอายุของออปชัน เมื่อราคาหุนมีการเปลี่ยนแปลง พอรตที่เคยไมมีความเสี่ยงนี้ก็จะเปลี่ยนแปลงตามไปดวยเชนกัน 11.9 ราคาหุนปจจุบันอยูที่ $50 ณ สิ้นเดือนที่ 2 ราคาหุนจะเทากับ $53 หรือ $48 อัตราผลตอบแทนที่ไมมีความเสี่ยงเทากับ 10% ตอป(continuous compounding) จงหามูลคาของ European call Option อายุ 2 เดือน ที่ราคาใชสิทธิที่ $49 โดยไมใชวิธีเก็งกําไร (No Arbitrage)

ตอบ ณ เวลาสิ้นเดือนที่ 2 มูลคาของออปชันจะอยูที่ $4 (ถาราคาหุน = $53) หรือ $0 (ถาราคาหุน = $48) ลองพิจารณาพอรตซึ่งประกอบดวย + ∆ : หุน - 1 : ออปชัน มูลคาของพอรต ณ เดือนที่สอง จะเปน 48 ∆ หรือ 53∆ – 4 ซึ่งก็คือ 48∆ = 53 ∆ – 4

∆ =0.8 มูลคาของพอรตจะเปน 38.4 ณ คา ∆ นี้ พอรตจะไมมีความเสี่ยง และมูลคาปจจุบันของพอรตจะเทากับ 0.8 x 50 – f โดยที่ f คือมูลคาของออปชัน เนื่องจากพอรตจะตองไดรับดอกเบี้ยเทากับ risk-free rate จึงได

(0.8 x 50 – f) e0.10x2/12 = 38.4 f = 2.23

มูลคาของออปชันจะเปน $2.23 ทั้งนี้ สามารถคํานวณไดโดยตรงจากสมการ f = e-rT [pfu + (1-p)fd] p = erT - d u - d u = 1.06, d = 0.96 ดังนั้น p = e0.10x2/12 - 0.96 = 0.5681 1.06- 0.96

และ f = e0.10x2/12 x 0.5681 x 4 = 2.23 11.10 ราคาหุนปจจุบันอยูที่ $80 ณ สิ้นเดือนที่ 4 ราคาหุนจะเทากับ $75 หรือ $85 อัตราผลตอบแทนที่ไมมีความเสี่ยงเทากับ 5% ตอป(continuous compounding) จงหามูลคาของ European call Option อายุ 4 เดือน ที่ราคาใชสิทธิที่ $80 โดยไมใชวิธีเก็งกําไร (No Arbitrage)

ตอบณ สิ้นเดือนที่ 4 มูลคาของออปชันจะเทากับ $5 (หากราคาหุน = $75) หรือ $0 (หากราคาหุน = $85) ลองพิจารณาพอรตซึ่งประกอบดวย - ∆ : หุน + 1 : ออปชัน (หมายเหตุ: เราใหคา ∆ ของพุทออปชันเปนลบ เนื่องจากไมตองการสรางพอรตที่ติดลบตั้งแตแรกเริ่ม) มูลคาของพอรต ณ เดือนที่ 4 จะเปน - 85∆ หรือ - 75∆ + 5 ซึ่งก็คือ -85∆ = -75∆ + 5

∆ = - 0.5 มูลคาของพอรตจะเปน 42.5 ณ คา ∆ นี้ พอรตจะไมมีความเสี่ยง และมูลคาปจจุบันของพอรตจะเทากับ 0.5 x 80 + f โดยที่ f คือมูลคาของออปชัน เนื่องจากเปนพอรตที่ไมมีความเสี่ยง จึงได

(0.5 x 80 + f) e0.05x4/12 = 42.5 f = 1.80

มูลคาของออปชันจะเปน $1.80 ทั้งนี้ สามารถคํานวณไดโดยตรงจากสมการ

f = e-rT [pfu + (1-p)fd] p = erT - d u - d u = 1.0625, d = 0.9375 ดังนั้น p = e0.05x4/12 - 0.9375 = 0.6345 1.0625- 0.9375 1-p = 0.3655 และ

f = e0.05x4/12 x 0.3655 x 5 = 1.80

11.11 ราคาหุนปจจุบันอยูที่ $40 ณ สิ้นเดือนที่ 3 ราคาหุนจะเทากับ $45 หรือ $35 อัตราผลตอบแทนที่ไมมีความเสี่ยงเทากับ 8% ตอป(ทบตนรายไตรมาส) จงหามูลคาของ European call Option อายุ 3 เดือน ที่ราคาใชสิทธิที่ $40 ใหพิสูจนวาวิธNีo Arbitrage และ risk-neutral valuation จะใหคําตอบเดียวกัน

ตอบณ สิ้นเดือนที่ 3 มูลคาของออปชันจะเทากับ $5 (หากราคาหุน = $35) หรือ $0 (หากราคาหุน = $45) ลองพิจารณาพอรตซึ่งประกอบดวย - ∆ : หุน + 1 : ออปชัน

มูลคาของพอรต ณ เดือนที่ 3 จะเปน - 35∆+5 หรือ - 45∆ ซึ่งก็คือ -35∆ + 5 = -45∆ 5

∆ = - 0.5

มูลคาของพอรตจะเปน 22.5 ณ คา ∆ นี้ พอรตจะไมมีความเสี่ยง และมูลคาปจจุบันของพอรตจะเทากับ -40∆ + f โดยที่ f คือมูลคาของออปชัน เนื่องจากพอรตจะตองไดรับดอกเบี้ยเทากับ risk-free rate จึงได

(40 x 50 + f) x 1.02 = 22.5 ดังนั้น f = 2.06

มูลคาของออปชันจึงเทากับ $2.06

เราสามารถคํานวณมูลคาโดยใช risk-neutral โดยสมมติวา p เปนความนาจะเปนที่ราคาหุนที่จะสูงขึ้น ซึ่งเราจะตองได 45p + 35 (1-p) = 40 x 1.02 หาก 10p = 5.8 หรือ p = 0.58 มูลคาคาดหวังของออปชันที่ความเสี่ยงเปนศูนย จะได 0 x 0.58 + 5 x 0.42 = 2.10 ซึ่งมีมูลคาปจจุบันเทากับ 2.10 = 2.06 1.02 จะเห็นไดวาจะไดคาเทากันกับการ no arbitrage 11.12 ราคาหุนปจจุบันอยูที่ $50 ณ อีก 2 ไตรมาสถัดไป คาดวาราคาหุนจะโตขึ้น 6% หรือลดลง 5% ในแตละไตรมาส อัตราผลตอบแทนที่ไมมีความเสี่ยงเทากับ 5% ตอป(continuous compounding) จงหามูลคาของ European call Option อายุ 6 เดือน ที่ราคาใชสิทธิที่ $51

ตอบจากโจทยสามารถวาด Binomial tree ของราคาหุนไดดังนี้

501.635

532.910

47.5 0

56.185.18

50.350

45.1250

ความนาจะเปนที่ความเสี่ยงเปนศูนยของราคาหุนที่เพิ่มขึ้นคํานวณไดดังนี้ p = e0.05x3/12 - 0.95 = 0.5689 1.0625- 0.9375

โดยจะได payoff จากออปชันเทากับ 56.18 – 51 = 5.18 ที่ปลายกิ่งสูงที่สุด (ซึ่งเทากับการเพิ่มราคา 2 ครั้ง) และจะไดเทากับศูนยสําหรับตัวอื่น และจะไดมูลคาของออปชันดังนี้ 5.18 x 0.56892 x e-0.05x6/12 = 1.635

ทั้งนี้ เราสามารถคํานวณไดจาก Binomial Tree ในรูป โดยมูลคาของคอลออปชัน คือ เลขบรรทัดลางของแตละกิ่ง 11.13 จากขอ 11.2 จงหามูลคาของ European Put Option อายุ 6 เดือน ที่ราคาใชสิทธิ $51 และพิสูจนวาราคาของ European Put Option และ European Call Option สอดคลองกับหลักการ Put-Call Parity ทั้งนี้ หาก Put Option เปนแบบอเมริกัน จะเปนการไดประโยชนกวาหรือไมหากทําการใชสิทธิ ณ ที่ก่ิงใดกิ่งหนึ่งของไดอะแกรมกอนวันครบกําหนด

ตอบจากโจทยสามารถวาด Binomial tree ของราคาหุนไดดังนี้

501.376

53

0.277

47.5 2.866

56.180

50.350.65

45.125 5.875

A

B

C

เราได payoff เทากับ 51 – 50.35 = 0.65 หากไปถึงกิ่งตรงกลาง และได payoff เทากับ 51 – 45.125 = 5.875 ที่ปลายกิ่งอันต่ําสุด และจะไดมูลคาของออปชันดังนี้

(0.65 x 2 x 0.5689 x 0.4311 + 5.874 x 0.43112) x e-0.05x6/12 = 1.376

ทั้งนี้ เราสามารถคํานวณไดจาก Binomial tree ในรูป

มูลคาของพุทออปชันบวกกับราคาหุนอางอิงจากขอ 11.12 1.376 + 50 = 51.376

มูลคาของคอลออปชันบวกกับมูลคาปจจุบันของราคาใชสิทธิคือ

1.636 + 51 e-0.05x6/12 = 51.376 จะเห็นวาไดเทากัน จึงเปนการพิสูจนวาการถือ European Put Option และ European Call Option สอดคลองกับหลักการ Put-Call Parity และเพื่อจะดูวาเราควรใชสิทธิอเมริกันพุทออปชันกอนวันครบกําหนดหรือไม เราจะเปรียบเทียบมูลคาของออปชันที่คํานวณไดในแตละกิ่งซึ่งบอก payoff ในการใชสิทธิทันที โดยที่กิ่ง C จะได payoff จากการใชสิทธิทันทีที่ 51 – 47.5 = 3.5 เนื่องจาก payoff ที่ไดมากกวา 2.8664 เราจึงควรใชสิทธิออปชันที่กิ่งนี้ และไมควรไปใชสิทธิที่กิ่ง A หรือ กิ่ง B 11.14 ราคาหุนปจจุบันอยูที่ $25 ณ สิ้นเดือนที่ 2 ราคาหุนจะเทากับ $23 หรือ $27 อัตราผลตอบแทนที่ไมมีความเสี่ยงเทากับ 10% ตอป(continuous compounding) สมมติให ST คือราคาหุน ณ สิ้นเดือนที่สอง จงหามูลคาของตราสารอนุพันธที่ให payoff ที่ S2

T ณ เวลานั้น

ตอบณ สิ้นเดือนที่ 2 มูลคาของตราสารอนุพันธจะเทากับ $529 (หากราคาหุน = $23) หรือ $729 (หากราคาหุน = $27) ลองพิจารณาพอรตซึ่งประกอบดวย + ∆ : หุน - 1 : ตราสารอนุพันธ

มูลคาของพอรต ณ เดือนที่ 2 จะเปน 27∆ - 729 หรือ 23∆ - 529 ซึ่งก็คือ 27∆ - 729 = 23∆ - 529 ∆ = 50

มูลคาของพอรตจะเปน 621 ณ คา ∆ นี้ พอรตจะไมมีความเสี่ยง และมูลคาของพอรตจะเทากับ 50 x 25 - f โดยที่ f คือมูลคาของตราสารอนุพันธ เนื่องจากพอรตจะตองไดรับดอกเบี้ยเทากับ risk-free rate จึงได

(50 x 25 - f) e-0.10x2/12 = 621

f = 639.3 ดังนั้นมูลคาของออปชันจะเปน $639.3

ทั้งนี้ สามารถคํานวณไดโดยตรงจากสมการ f = e-rT [pfu + (1-p)fd]

p = erT - d u - d u = 1.08, d = 0.92 ดังนั้น p = e0.10x2/12 - 0.92 = 0.6050 1.08- 0.92 และ f = e-0.10x2/12 x (0.6050 x 729 x 0.3950 x 529) = 639.3 11.15 จงคํานวณหาคา u, d และ p พ่ือหามูลคาของออปชันที่มีสินทรัพยอางอิงเปนเงินตราตางประเทศ ระยะเวลาหนึ่งเดือน ดอกเบี้ยภายในประเทศ 5% ตอป ดอกเบี้ยตางประเทศ 8% ตอป และความผันผวน 12% ตอป

ตอบจากสูตร p = a - d u- d a = e(0.05 – 0.08) x 1/12 = 0.9975

u = e0.12 0√1/12. = 1.0352 d = 1/u = 0.9660

p = 0.9975 - 0.9660 = 0.4553 1.0352- 0.9660

Chapter 12: Valuing Stock Options: The Black-Scholes Model 12.8 ราคาหุนในปจจุบันเปน $40 ถา Expected Return จากหุนเปน 15% และมี Volatility เปน 25% จงหา การกระจายความนาจะเปนของ Rate of return (continuous compounding) ที่จะไดรับในเวลา 1 ป

ตอบµ = 0.15 และ σ = 0.25 การกระจายความนาจะเปนของอัตราผลตอบแทน (continuous compounding) = Ø ( 0.15 – 0.252/2, 0.25 )

= Ø ( 0.11875, 0.25 ) ดังนั้น Expected Return เปน 11.85%ตอป และ Standard deviation 25%ตอป 12.9 หุนมี Expected Return 16% และมี Volatility 35%ราคาปจจุบันคือ $38 a. จงหาความนาจะเปนที่ European call option ของหุนที่มี Exercise Price $40 และ Maturity Date ใน 6 เดือน จะถูก Exercise b. จงหาความนาจะเปนที่ European put option ของหุนที่มี Exercise Price และ Maturity เดียวกับขอ a. จะถูก Exercise

ตอบ a. ความนาจะเปนที่จะใชสิทธิ European call option ที่ราคาใชสิทธิ $40 ก็คือ ความนาจะเปนที่

ราคาหุนจะสูงกวา $40 ใน 6 เดือน กํานดใหราคาของหุนอีก 6 เดือน เปน ST

ln ST ~ Ø (ln38 + (0.16-0.352/2)*0.5, 0.35*√0.5) ln ST ~ Ø (3.687, 0.247)

เนื่องจาก ln 40 = 3.689, ความนาจะเปน = 1- N ( [3.689-3.687] / 0.247 ) = 1 – N (0.008)

จากตาราง Normal Distribution N (0.008) = 0.5032 ดังนั้นคําตอบคือ 1 – 0.5032 = 0.4968

b. ความนาจะเปนที่จะใชสิทธิ European put option ก็คือ ความนาจะเปนที่ราคาหุนนอยกวา $40 ใน 6 เดือน

= 1 – 0.4968 = 0.5032

12.10 จงพิสูจนวา ชวงความเชื่อมั่น 95% สําหรับ ST อยูระหวาง S0*e(µ - σ*σ /2) * T - 1.96 * σ * √T และ S0*e(µ - σ*σ /2) * T + 1.96 * σ * √T

ตอบ จากสมการ ln ST ~ Ø (ln S0 + (µ - σ 2/2)*T, σ *√T)

ชวงความเชื่อมั่น 95% สําหรับ ln ST ตามโจทยจึงได = ln S0 + (µ - σ 2/2)*T – 1.96*σ *√T) และ ln S0 + (µ - σ 2/2)*T + 1.96*σ *√T)

= eln S0 + (µ - σ 2/2)*T – 1.96*σ *√T) และ eln S0 + (µ - σ 2/2)*T + 1.96*σ *√T) = S0e(µ - σ * σ /2)*T – 1.96*σ *√T) และ S0e(µ - σ * σ /2)*T + 1.96*σ *√T)

12.11 ผูจัดการพอรตประกาศวา อัตราผลตอบแทนเฉลี่ยที่รับรูในแตละปที่ผานมา 10 ป คือ 20% ตอป ประโยคดังกลาวอาจทําใหเกิดความเขาใจผิดในแงใด? ตอบ ประโยคขางตนอาจทําใหเกิดความเขาใจผิดวา ผูที่ลงทุนในกองทุนเปนเวลา 10 ป จะไดอัตราผลตอบแทน(ที่มีดอกเบี้ยทบตน annual compounding อยูดวย)เฉลี่ยอยูที่ 20%ตอป ซึ่งไมเปนความจริงเนื่องจาก อัตราผลตอบแทนที่มีดอกเบี้ยทบตนที่ไดจะมีคานอยกวา 20%ตอป

เนื่องจาก คาเฉลี่ยของอัตราผลตอบแทนที่ไดในแตละปเปนเวลา 10 ปตามที่ผูจัดการพอรตประกาศนั้นเปน Arithmetic Average ของอัตราผลตอบแทนในแตละป แตอัตราผลตอบแทนที่มีดอกเบี้ยทบตนจะเปน Geometric Average

ประโยคขางตนอาจทําใหเกิดความเขาใจผิดวา ผูที่ลงทุนในกองทุนเปนเวลา 10 ป จะไดรับอัตราผลตอบแทนนอยกวา 20%ตอป เพราะมีการรวมดอกเบี้ยทบตนเขาไปแลว

แตที่จริง คาเฉลี่ยของอัตราผลตอบแทนที่ไดในแตละปนั้นจะสูงกวาอัตราผลตอบแทน(รวมดอกเบี้ยทบตน) ตอปที่เกิดขึ้นในชวง 10 ป เนื่องจากคาเฉลี่ยผลตอบแทนในแตละปจะคิดโดยวิธี Arithmetic Average แตอัตราผลตอบแทนที่มีดอกเบี้ยทบตนที่เกิดขึ้นทั้งชวงจะใชวิธีคิดแบบ Geometric Average 12.12 ถาหุนที่ไมจายปนผลมีอัตราผลตอบแทนที่คาดหวังที่ µ และความผันผวนที่ σ สถาบันการเงินไดประกาศวาจะคาตราสารอนุพันธที่จายผลตอบแทนเปนดอลลารมีมูลคาเทากับ (1/T)*ln(ST/S0) ที่เวลา T โดย S0 คือ ราคาหุนที่เวลา 0 และ ST คือ ราคาหุนที่เวลา T a. จงอธิบายการจายผลตอบแทนของตราสารอนุพันธ b. ใช Risk-neutral valuation เพื่อคํานวณราคาของตราสารอนุพันธที่เวลา 0

ตอบ a. ตราสารอนุพันธจะจายผลตอบแทนซึ่งมีมูลคาเทากับอัตราผลตอบแทนแบบ Continuously compounded ของ Security ระหวางเวลา 0 และเวลา T

b. จากสมการ ln(ST/S0) ~ Ø [(µ - σ 2/2)*T, σ 2T] Expected value ของ ln(ST/S0) = (µ - σ 2/2)*T

ดังนั้น Expected payoff จากอนุพันธ = (µ - σ 2/2 ) Risk-Neutral = r - σ 2/2 ดังนั้นมูลคาของตราสารอนุพันธที่เวลา 0 = (r - σ 2/2) * e-rT 12.13 จงหาราคาของ European call option ของหุนที่ไมจายปนผล เมื่อราคาหุนเปน $52 ราคาใชสิทธิเปน $50, อัตราผลตอบแทน Risk-Free เปน 12%ตอป อัตราผันผวนเปน 30%ตอป และมีกําหนดอายุ 3 เดือน ตอบ S0 = 52, K = 50, r = 0.12, σ = 0.30, T = 0.25 จากสูตร

d1 = ln(S0/ K ) + (r+ σ 2/2)*T σ *√T

d2 = ln(S0/ K ) + (r - σ 2/2)*T = d1 – σ √T σ *√T แทนคา

d1 = ln(52/50) + (0.12+0.32/2)*0.25 = 0.5365 0.30*√0.25

d2 = d1 – 0.30*√0.25 = 0.3865 ราคาของ European Call

= 52* N(0.5365) – 50*e-0.12 * 0.25 * N(0.3865) = 52 * 0.7042 – 50* e-0.03 * 0.6504

= $5.06 12.14 จงหาราคาของ European put option ของหุนที่ไมจายปนผล เมื่อราคาหุนเปน $69 ราคาใชสิทธิเปน $70 อัตราผลตอบแทน Risk-Free เปน 5%ตอป อัตราผันผวนเปน 35%ตอป และมีกําหนดอายุ 6 เดือน

ตอบ S0 = 69, K = 70, r = 0.05, σ = 0.35, T = 0.5 จากสูตร

d1 = ln(S0/ K ) + (r+ σ 2/2)*T σ *√T

d2 = ln(S0/ K ) + (r - σ 2/2)*T = d1 – σ √T σ *√T

แทนคา d1 = ln(69/70) + (0.05+0.352/2)*0.5 = 0.1666

(0.35*√0.5) d2 = d1 – 0.35*√0.5 = -0.0809 ราคาของ European Put = 70*e-0.05 * 0.5 * N(0.0809) - 69* N(-0.1666) = 70*e-0.025 * 0.5323 - 69* 0.4338

= $6.40

12.15 Call option ของหุนที่ไมจายปนผลมีราคาตลาดที่ $2.50 ราคาหุน $15 ราคาใชสิทธิ $13 อายุ 3 เดือน อัตราดอกเบี้ย Risk-Free เปน 5%ตอป จงหาคาผันผวนที่บอกเปนนัย (implied volatility)

ตอบ c = 2.5, S0 = 15, K = 13, T = 0.25, r = 0.05 อัตราผันผวน 0.2 (หรือ20%ตอป) จะให c = 2.20 อัตราผันผวน 0.3 (หรือ30%ตอป) จะให c = 2.32 อัตราผันผวน 0.4 (หรือ40%ตอป) จะให c = 2.507 อัตราผันผวน 0.39 (หรือ39%ตอป) จะให c = 2.487

จากการคํานวณโดยการลองผิดลองถูก (Interpolation -คนหาขอมูลในชวงที่กําหนด) เราจะไดคาผันผวนบอกเปนนัยที่ตองการหาประมาณ 0.396 หรือ 39.6%ตอป (คํานวณไดโดยใชโปรแกรม Deriva Gem) 12.16 จงแสดงวาสูตรของแบล็ค-โชลสสําหรับคอลออปชันจะใหราคาที่มีแนวโนมไปที่ max(S0 – K, 0) ในขณะที่ T เขาใกล 0

ตอบ d1 = [ln(S0/K) + (r + σ 2/2)*T] / (σ *√T) = ln(S0/K) / (σ *√T) + [(r + σ 2/2) / σ] * √T

ในขณะที่ T เขาใกล 0 เทอมดานขวามือจะขยับเขาใกล 0 ในขณะที่เทอมดานซายมือจะขยับเขาใกล +∞ ถา ln(S0/K) > 0 และ เขาใกล -∞ ถา ln(S0/K) < 0 เนื่องจาก ln(S0/K) > 0 เมื่อ S0>K และ ln(S0/K) < 0 เมื่อ S0<K ดังนั้น d1 เขาใกล ∞ ในขณะที่ T เขาใกล 0 เมื่อ S0>K d1 เขาใกล -∞ ในขณะที่ T เขาใกล 0 เมื่อ S0<K และในทํานองเดียวกัน d2 เขาใกล ∞ ในขณะที่ T เขาใกล 0 เมื่อ S0>K d2 เขาใกล -∞ ในขณะที่ T เขาใกล 0 เมื่อ S0<K

ภายใตสูตรแบล็ค-โชลส c = S0 * N(d1) – K * e-rT * N(d2)

จากขอสรุปขางตน เมื่อ S0>K, N(d1) เขาใกล 1.0 และ N(d2) เขาใกล 1.0 ในขณะที่ T เขาใกล 0 c จะเขาใกล (S0 –K) เมื่อ S0<K, N(d1) เขาใกล 0 และ N(d2) เขาใกล 0 ในขณะที่ T เขาใกล 0 c จะเขาใกล 0

ดังนั้น c max(S0-K,0) ในขณะที่ T เขาใกล 0

12.17 จงอธิบายวาทําไมวิธีการประเมินคาแบบแบล็คโชลสใน American call option ซึ่งมีสินทรัพยอางอิงเปนหุนที่จายปนผลอาจจะใหเพียงคาประมาณเทานั้นแมทราบวาจะจายเงินปนผลเพียงครั้งเดียว ทานคิดวาวิธีของแบล็คโชลสประเมินคา Option ตํ่ากวา หรือ สูงกวา ความเปนจริงหรือไม จงอธิบาย ตอบ ในทางปฏิบัติแลว วิธีของแบล็คโชลสจะตั้งสมมติฐานวาผูถือออปชันตองตัดสินใจ ณ เวลา 0 วาอเมริกันออปชันควรจะครบกําหนดที่เวลา tn (วันกอนจายเงินปนผลงวดสุดทาย) หรือที่เวลา T ซึ่งจริง ๆ แลวผูถือออปชันมีทางเลือกมากกวานั้น ผูถือสามารถที่จะเลือกใชสิทธิออปชันที่เวลา tn ถาราคาหุนที่เวลานั้นเหมาะแกการใชสิทธิ และหากไมใชสิทธิที่เวลา tn ก็ยังสามารถไปใชสิทธิที่เวลา T ได จะเห็นวาวิธีแบล็คโชลสนั้นประเมินคาออปชันต่ํากวาความเปนจริง เนื่องจากที่จริงแลวผูถือออปชันมีกลยุทธหลากหลายที่จะตัดสินใจใชสิทธิ ณ เวลาใด ซึ่งไมใชเพียงแคสองทางเลือกตามวิธีของแบล็คโชลส ดังนั้นผูถือออปชันจึงมีโอกาสที่จะเลือกใชสิทธิ ณ เวลาที่เขาเห็นวาใหประโยชนกับเขามากที่สุด ซึ่งกลยุทธเหลานี้จะเพิ่มมูลคาใหกับออปชันมากกวาวิธีแบลค็โชลส นอกจากนี้ วิธีการปกติที่ใชประเมินคาอเมริกันออปชัน หรือ ยูโรเปยนออปชัน ของหุนที่จายปนผลครั้งเดียว จะใชอัตราผันผวนของราคาหุน ลบดวยมูลคาปจจุบันของเงินปนผล แตสําหรับแบล็คโชลส เมื่อพิจารณาที่จะใชสิทธิ ณ เวลากอนวันจายเงินปนผล จะใชแคอัตราผันผวนของราคาหุนเพียงอยางเดียว จึงเห็นไดวาวิธีคํานวณของแบล็คโชลส มีความผันผวนของราคาหุนมากกวาวิธีปกติ ซึ่งหมายความวา ในบางครั้ง วิธีแบล็คโชลสอาจใหราคาสูงกวาวิธีปกติได 12.18 พิจารณาอเมริกันคอลออปชันของหุน ที่มีราคาหุนเปน $70 อายุ 8 เดือน อัตราดอกเบี้ย Risk-Free 10%ตอป ราคาใชสิทธ ิ$65 อัตราผันผวน 32% และจะมีการจายเงินปนผล $1 เมื่อครบ 3 เดือน และ 6 เดือนตามลําดับ จงใชผลลัพธจากสวนทายบทในหนังสือ (Appendix) เพื่อแสดงใหเห็นวาการที่จะใชสิทธิออปชันในวันจายเงินปนผล ไมวาในวันไหนก็ตาม จะไมทําใหไดมูลคาออปชันสูงสุด

ตอบ D1 = D2 = 1, t1 = 0.25, t2 = 0.50, T = 0.6667, r = 0.1 และ K = 65

K*(1 - e-r * ( T – t2 ) = 65 * (1- e-0.1 * 0.1667 ) = 1.07 ดังนั้น D2 < K* (1 - e-r * (T – t2 ) )

K* (1 - e-r * ( t2 – t1 ) ) = 65 * (1 - e-0.1*0.25 ) = 1.60 ดังนั้น D1 < K* (1 - e-r * ( t2 – t1 ) )

จะเห็นวาผลที่ไดเปนไปตาม Appendix ซึ่งก็คือ ไมควรจะรีบใชสิทธิออปชันลวงหนา เราจึงสามารถประเมินคาอเมริกันออปชันเหมือนกับยูโรเปยนออปชัน

มูลคาปจจุบันของ Dividends คือ e-0.25*0.1 + e-0.50*0.1 = 1.9265 และ S0 = 68.0735, K = 65, σ = 0.32, r = 0.1, T = 0.6667 d1 = [ln(68.0735/65) + (0.1+0.322/2)*0.6667] / (0.32*√0.6667) = 0.5626

d2 = d1 - (0.32*√0.6667) = 0.3013 N(d1) = 0.7131, N(d2) = 0.6184 Call Price เทากับ 68.0735 * 0.7131 – 65 * e-0.1*0.6667 * 0.6184 = $10.94 12.19 ราคาหุนปจจุบันเปน $50 และอัตราดอกเบี้ย Risk-Free เปน 5% จงใชโปรแกรม DerivaGem เพื่อแปลงตารางยูโรเปยนคอลออปชันซึ่งมีสินทรัพยอางอิงเปนหุนดังตอไปน้ีใหเปนตารางของ Implied Volatilities โดยสมมติวาไมมีการจายเงินปนผล และจงดูวาราคาออปชันสอดคลองกับสมมติฐานของแบล็คโชลสหรือไม

Maturity (Months) Strike Price ($) 3 6 12

45 7.00 8.30 10.5050 3.50 5.20 7.5055 1.608 2.90 5.10

ตอบ จาก DerivaGem จะไดตารางของ Implied Volatilitiesดังนี้

Maturity (Months) Strike Price ($) 3 6 12

45 37.78 34.99 34.0250 34.15 32.78 32.0355 31.98 30.77 30.45

จากตาราง จะเห็นวาราคาออปชันที่ไดไมสอดคลองกับแบล็คโชลส ทั้งนี้ ถาผลการคํานวณสอดคลองกัน คา Implied Volatilities จะตองเปนคาเดียวกัน ในทางปฏิบัติเราพบวาออปชันของหุนที่มีราคาใชสิทธิตํ่า จะมี Implied Volatilities สูงกวาออปชันที่ราคาใชสิทธิสูง 12.20 จงแสดงวาสูตรของแบล็คโชลส สําหรับทั้งคอลและพุทออปชัน สอดคลองกับ Put-Call Parity

ตอบ สูตรแบล็คโชลส สําหรับยูโรเปยนคอลออปชัน c = S0 * N(d1) – K * e-rT * N(d2) c + K * e-rT = S0 * N(d1) – K * e-rT * N(d2) + K * e-rT c + K * e-rT = S0 * N(d1) + K * e-rT *[1 - N(d2) ] c + K * e-rT = S0 * N(d1) + K * e-rT * N(-d2) สมการ(1) สูตรแบล็คโชลส สําหรับยูโรเปยนพุทออปชัน p = K * e-rT * N(-d2) - S0 * N(-d1) p + S0 = K * e-rT * N(-d2) - S0 * N(-d1) + S0 p + S0 = K * e-rT * N(-d2) + S0 * [1 - N(-d1) ] p + S0 = K * e-rT * N(-d2) + S0 * N(d1) p + S0 = S0 * N(d1) + K * e-rT * N(-d2) สมการ(2)

จะเห็นวา สมการ(1) เทากับ สมการ(2) เพราะฉะนั้น c + K * e-rT = p + S0

12.21 จงแสดงวา ในเงื่อนไขของ Risk-Neutral ความนาจะเปนที่ยูโรเปยนคอลออปชันจะถูกใชสิทธิ จะมีคาที่ N(d2) และจงหาพจนที่ใชในการคํานวณคาของอนุพันธที่จายผลตอบแทน $100 ถาราคาหุน ณ เวลา T มากกวา K

ตอบ ความนาจะเปนที่ยูโรเปยนคอลออปชันจะถูกใชสิทธิ คือ ความนาจะเปนที่ ST > K เมื่อ ST คือราคาหุนที่เวลา T ในเงื่อนไข Risk Neutral ln ST ~ Ø (ln S0 + (r - σ 2/2)*T, σ *√T)

ความนาจะเปนที่ ST > K ก็คือ ความนาจะเปนที่ ln ST > ln K นั่นคือ 1 – N [ {( ln K – ln S0 – (r- σ 2/2)*T } / (σ *√T) ] = N [ {( ln (S0/K) + (r- σ 2/2)*T } / (σ *√T)] = N(d2)

มูลคาอนุพันธที่เวลา T สําหรับ Risk-Neutral ที่จายผลตอบแทน $100 เมื่อ ST > K = 100* N(d2)

จาก Risk neutral valuation มูลคาของอนุพันธที่เวลา T =100* e-rT* N(d2)