Upload
others
View
19
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
DESAIN DIDAKTIS KONSEP ELIPS PADA IRISAN KERUCUT UNTUK
MENGATASI LEARNING OBSTACLE PADA PEMBELAJARAN SMA
KELAS XI
Skripsi
Diajukan kepada Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan
Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Mencapai Gelar Sarjana Pendidikan
Disusun oleh :
NUR HALIMAH
NIM.11140170000037
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2019
ii
i
ABSTRAK
Nur Halimah (11140170000037), Desain Didaktis Konsep Elips Pada Irisan
Kerucut Untuk Mengatasi Learning Obstacle Pada Pembelajaran SMA Kelas
XI, Skripsi Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta, Juli 2019. Tujuan dari
penelitian ini adalah mengidentifikasi learning obstacle tepatnya pada hambatan
epistimologis siswa pada konsep elips. Selain itu, penelitian ini ditujukan untuk
mengatasi dan mengembangkan desain pembelajaran matematika konsep elips di
SMA. Penelitian ini dilaksanakan di SMA Cenderawasih II. Metode penelitian yang
digunakan adalah Didactical Design Research (DDR). Metode ini dilakukan dalam
tiga tahapan, yaitu analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran (analisis
prospektif), analisis metapedadidaktik, dan analisis retrospektif. Berdasarkan hasil
studi pendahuluan, dari 23 siswa yang mengikuti tes identifikasi learning obstacle,
80,20% dari total siswa tersebut mengalami hambatan epistimologis pada konsep
elips. Dalam mengatasi hambatan epistimologis siswa pada konsep elips diperlukan
rancangan pembelajaran yang dikembangkan berdasarkan analisis learning
obstacle, repersonalisasi, dan rekontekstualisasi sehingga menghasilkan hipotesis
yang terdiri dari Hypothetical Learning Trajectory (HLT) yang memuat berbagai
aktivitas dan prediksi respon siswa beserta antisipasinya serta menghasilkan
Lembar Kerja Siswa (LKS). Hasil penelitian menunjukkan bahwa desain didaktis
yang diberikan dapat mengatasi hambatan siswa, hal tersebut dapat terlihat dari
efektifnya antisipasi yang diberikan pada saat pembelajaran.
Kata Kunci : Didactical Design Research (DDR), Desain Didaktis, learning
obstacle, Elips, Hypothetical Learning Trajectory (HLT)
ii
ABSTRACT
Nur Halimah (11140170000037), Didactic Design of Elliptical Concepts on Cone
Slices to Overcome Learning Obstacle in Class XI Senior High School Learning, Thesis Department of Mathematics Education, Faculty of Tarbiya and Teachers
Training, Syarif Hidayatullah State Islamic University Jakarta, July 2019. The
purpose of this study is to identify the learning obstacle is precisely the
epistemological barriers of students to the elliptical concept. In addition, this
research is aimed at overcoming and developing the design of mathematical
learning of the elliptical concept in high school. This research was conducted at
Cenderawasih II High School. The research method used is Didactical Design
Research (DDR). This method is carried out in three stages, namely the analysis of
didactic situations before learning (prospective analysis), metapedadactic analysis,
and retrospective analysis. Based on the results of the preliminary study, of the 23
students who took the obstacle learning identification test, 80.20% of the total
students experienced epistemological barriers to the elliptical concept. In
overcoming the epistemological barriers of students to the elliptical concept, a
learning design that is developed based on learning obstacle analysis,
repersonalization, and recontextualization so as to produce hypotheses consisting
of the Hypothetical Learning Trajectory (HLT) which contains various activities
and predictions of student responses and anticipations and produces Student
Worksheets LKS). The results of the study show that the didactic design provided
can overcome student barriers, it can be seen from the effectiveness of anticipation
given during learning.
Keywords: Didactical Design Research (DDR), Didactic Design, learning
obstacle, Elliptical, Hypothetical Learning Trajectory (HLT)
iii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat-Nya penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan salam semoga selalu tercurah kepada
junjungan Nabi Muhammad SAW, keluarga, sahabat, serta umatnya.
Skripsi ini disusun sebagai syarat memperoleh gelar sarjana pendidikan pada
program studi pendidikan matematika. Penulis menyadari masih terdapat berbagai
kesulitan dan hambatan yang dihadapi. Berkat doa dan dukungan dari berbagai
pihak, Alhamdulillah penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu,
penulis mengucapkan terimakasih kepada :
1. Dr. Suruin M.Ag., Dekan Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif
Hidayatullah Jakarta.
2. Dr. Gelar Dwirahayu, M.Pd., Ketua Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
3. Gusni Satriawati, M.Pd., Sekretaris Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
4. Dr. Lia Kurniawati, M.Pd, selaku Dosen Pembimbing I yang telah berkenan
meluangkan waktunya untuk membimbing, memotivasi, dan memberikan
semangat selama proses penulisan skripsi. Semoga Ibu selalu diberikan
kesehatan dan kemudahan dari Allah SWT.
5. Ramdani Miftah, M.Pd., selaku Dosen Pembimbing II yang telah berkenan
meluangkan waktunya untuk membimbing, memotivasi, dan memberikan
semangat selama proses penulisan skripsi. Semoga Bapak selalu diberikan
kesehatan dan kemudahan dari Allah SWT.
6. Dindin Sobiruddin, M.Kom., selaku Dosen Pembimbing Akademik yang
telah memberikan dukungan, arahan, dan perhatian mulai dari penulis
menjadi mahasiswa baru hingga selesainya penulisan skripsi. Semoga
Bapak selalu diberikan kesehatan dan kemudahan dari Allah SWT.
7. Seluruh Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Ilmu Tarbiyah dan
Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang telah memberikan ilmu
iv
selama penulis berada di bangku perkuliahan. Semoga ilmu yang bapak dan
Ibu berikan mendapat keberkahan-Nya.
8. Staff Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif Hidayatullah
Jakarta yang telah memberikan kemudahan dalam proses administrasi.
9. Bapak kepala sekolah, Bapak wakasek kurikulum, dan Ibu mata pelajaran
matematika peminatan kelas XI SMA Plus Pembangunan Jaya Tangerang
Selatan yang telah mengizinkan peneliti dalam melakukan observasi,
sehingga mempermudah peneliti dalam memperoleh data. Semoga Bapak
dan Ibu diberikan kesehatan dan dalam lindungan-Nya
10. Bapak kepala sekolah dan Ibu mata pelajaran matematika peminatan kelas
XI SMA Cenderawasih II Tangerang Selatan yang telah mengizinkan
peneliti dalam melakukan penelitian, sehingga mempermudah peneliti
dalam memperoleh data. Semoga Bapak dan Ibu diberikan kesehatan dan
dalam lindungan-Nya.
11. Teristimewa dan terkasih untuk Ayahanda Suherman dan Ibunda Dewi
Khilmiah yang telah mendukung secara moril dan materil, memotivasi,
memberi arahan, dan mendukung penulis dalam menyelesaikan skripsi.
Semoga Allah SWT selalu memberikan kesehatan, kemudahan, serta
kebahagiaan teruntuk Ayahanda dan Ibunda.
12. Saudara kandung penulis, Nur Haliza yang telah menyemangati dan selalu
mengingatkan penulis dalam menyelesaikan skripsi. Semoga Allah SWT
selalu memberikan kesehatan, kemudahan dalam meyelesaikan studi, serta
kebahagiaan.
13. Sahabat Next Trip, Diwani, Nurul, Fifi, Kuni, Ulfah, Novi, Imtiyaz,
kasyifah yang tak pernah lelah mendengarkan keluh kesah penulis dari awal
menjadi mahasiswa baru hingga selesai penulisan skripsi.
14. Sahabat terkasih Nurul, Ulfah, dan Asti yang selalu mendampingi penulis
selama proses penelitian. Semoga kebaikan ananda sekalian diterima oleh
Allah SWT.
15. Teman seperjuangan Jurusan Pendidikan Matematika angkatan 2014 yang
selalu memotivasi, bertukar informasi dan ilmu yang dimiliki.
v
16. Teman seperjuangan menulis skripsi Nurul, Ticha, Fifi, Diwani, Kasyifah,
Ulfah, Ka Ega, Ka Arista, Ines, Huswetul, Rohima yang selalu
menyemangati, memotivasi, dan bertukar informsi.
17. Teman seperjuangan PPKT SMAN 5 Tangsel Ulfah, Asti, Putri, Firdha,
Lina, Aini, Nova, Ismi, Arif, Khairul, dan terakhir buat Ka Ica yang selalu
menyemangati, memotivasi, dan memberikan dukungan selama 4 bulan
PPKT. Semoga selalu dalam lindungan-Nya.
18. Sahabat sedari kecil Novita Febriani dan Dini Tri Hastuti yang selalu
menyemangati, memotivasi, dan memberikan dukungan moril. Semoga
selalu dalam lindungan-Nya.
19. Sahabat Gas Kuy Desty, Tiara, Rizka, Elis, Donna, Hanifah Damin, Bagus,
Pipul, Fasha yang selalu menyemangati, memotivasi, dan memberikan
dukungan moril. Semoga selalu dalam lindungan-Nya.
20. Teman organisasi Himpunan Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika
periode 2017/2018 terutama Departemen Kewirausahaan. Terima kasih atas
kerjasama dan pengalaman yang berharga yang telah kita lalui bersama.
21. Sahabat OPTIKA 17 terkasih Ulfah, Adin, Nita, Awi, Neng, Azizah, Peni
semoga selalu dalam lindungan-Nya.
Ucapan terima kasih yang ditunjukkan kepada semua pihak yang namanya
tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga Allah selalu melimpahkan
rahmat-Nya dan memberikan perlindungan baik dunia maupun akhirat. Aamin
Aamiin ya rabbal’alamin.
Akhir kata penulis memohon maaf atas segala kesalahan dalam penulisan
skripsi ini. Kritik dan saran dari siapapun yang membaca skripsi ini akan penulis
terima dengan hati yang lapang. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat
memberikan manfaat bagi banyak orang khususnya bagi yang membaca.
Jakarta, Juli 2019
Penulis
vi
DAFTAR ISI
ABSTRAK ............................................................................................................... i
ABSTRACT ............................................................................................................ ii
KATA PENGANTAR ........................................................................................... iii
DAFTAR ISI .......................................................................................................... vi
DAFTAR TABEL ................................................................................................ viii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. ix
DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1
A. Latar Belakang ............................................................................................. 1
B. Identifikasi Masalah ..................................................................................... 6
C. Pembatasan Masalah .................................................................................... 6
D. Perumusan Masalah ..................................................................................... 6
E. Tujuan Penelitian ......................................................................................... 7
F. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 7
BAB II KAJIAN TEORI ........................................................................................ 9
A. Deskripsi Konseptual ................................................................................... 9
1. Konsep Elips Pada Irisan Kerucut ............................................................ 9
2. Learning Obstacle .................................................................................. 15
3. Metapedadidaktik ................................................................................... 17
4. Teori Belajar yang Terkait ..................................................................... 19
B. Hasil Penelitian yang Relevan ................................................................... 24
BAB III METODOLOGI PENELITIAN ........................................................... 29
A. Tempat dan Waktu Penelitian .................................................................... 29
B. Metode Penelitian....................................................................................... 29
vii
C. Subyek Penelitian ....................................................................................... 31
D. Teknik Pengumpulan Data ......................................................................... 32
E. Teknik Analisis Data .................................................................................. 32
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ..................................... 30
A. Analisis Prospektif ..................................................................................... 30
1. Analisis Learning Obstacle Materi Elips ............................................... 34
2. Repersonalisasi dan Rekontekstualisasi ................................................. 47
3. Pengembangan Desain Didaktis ............................................................. 53
B. Analisis Metapedadidaktik ......................................................................... 65
C. Analisis Retrospektif .................................................................................. 99
D. Keterbatasan Penelitian ............................................................................ 105
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................. 106
A. Kesimpulan .............................................................................................. 106
B. Saran ......................................................................................................... 108
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 110
viii
DAFTAR TABEL
Tabel 1. 1 Nilai Rata – Rata Siswa Berdasarkan Materi ........................................ 2
Tabel 3. 1 Waktu Pelaksanaan Kegiatan Penelitian .............................................. 29
Tabel 4. 1 Kodifikasi dan Persentase Hambatan Siswa pada Konsep Elips ......... 34
Tabel 4. 2 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 1 pada Situasi 1 ....... 67
Tabel 4. 3 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 2 pada Situasi 1 ....... 68
Tabel 4. 4 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 1 pada Situasi 2 ....... 70
Tabel 4. 5 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 2 pada Situasi 2 ....... 71
Tabel 4. 6 Hambatan dan Antisipasi Hambatan pada Situasi 3 ............................ 74
Tabel 4. 7 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 1 pada Situasi 4 ....... 75
Tabel 4. 8 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 2 pada Situasi 4 ....... 79
Tabel 4. 9 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 3 pada Situasi 4 ....... 83
Tabel 4. 10 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Situasi 5 ................................... 87
Tabel 4. 11 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 1 Situasi 6 .............. 89
Tabel 4. 12 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 2 Situasi 6 .............. 93
Tabel 4. 13 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 3 Situasi 6 .............. 96
Tabel 4. 14 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 4 Situasi 6 .............. 98
Tabel 4. 15 HLT Awal dan HLT yang Direvisi .................................................. 103
ix
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2. 1 Bentuk-bentuk irisan kerucut berdasarkan bidang pemotong ........... 9
Gambar 2. 2 Bentuk elips ...................................................................................... 10
Gambar 2. 3 Unsur-unsur elips ............................................................................. 10
Gambar 2. 4 Elips mendatar dengan pusat O (0,0) ............................................... 11
Gambar 2. 5 Elips tegak dengan pusat O (0,0) ..................................................... 12
Gambar 2. 6 Elips mendatar dengan pusat ( h,k ) ................................................ 13
Gambar 2. 7 Elips tegak dengan pusat ( h,k ) ...................................................... 14
Gambar 2. 8 Segitiga yang telah dimodifikasi ...................................................... 18
Gambar 2. 9 Desain Penelitian DDR Konsep Elips .............................................. 28
Gambar 4. 1 Peta Hambatan Epistimologis Siswa pada Konsep Elips ................. 36
Gambar 4. 2 Respon Kesulitan Siswa Membaca Unsur –Unsur Soal Nomor 1 ... 38
Gambar 4. 3 Respon Kesulitan Siswa dalam Menggunakan Formula Latus
Rectum Soal Nomor 2 ...................................................................... 39
Gambar 4. 4 Respon Kesulitan Siswa Menggunakan Persamaan Elips Pusat (0,0)
Soal Nomor 2 ................................................................................... 40
Gambar 4. 5 Respon Kesulitan Siswa Menentukan Jari-Jari Mayor dan Minor Soal
Nomor 5 ........................................................................................... 41
Gambar 4. 6 Respon Kesulitan Siswa Menentukan Jari-Jari Mayor dan Minor Soal
Nomor 6 ........................................................................................... 42
Gambar 4. 7 Respon Kesulitan Siswa Menentukan Jari-Jari Mayor& Minor serta
Titik Fokus Soal Nomor 3 ............................................................... 44
Gambar 4. 8 Respon Kesulitan Siswa Menggunakan Persamaan Elips Pusat (h,k)
Soal Nomor 3 ................................................................................... 44
Gambar 4. 9 Respon Kesulitan Siswa Menentukan Titik fokus dan Titik Pusat
Elips Pusat (h,k) Soal Nomor 4 ....................................................... 45
Gambar 4. 10 Peta Konsep Elips........................................................................... 47
Gambar 4. 11 Sajian Konsep Elips (h,k) di Buku Matematika peminatan Penerbit I
......................................................................................................... 48
Gambar 4. 12 Sajian Konsep Elips (h,k) di Buku Matematika peminatan Penerbit
II ....................................................................................................... 49
x
Gambar 4. 13 Peta Proses Pembelajaran Konsep Elips Berdasarkan Hierarki
Materi dan Analisis Learning Obstacle ........................................... 52
Gambar 4. 14 Desain Didaktis Awal Konsep Definisi dan Unsur-Unsur Elips ... 54
Gambar 4. 15 Alat Peraga Definisi Elips .............................................................. 55
Gambar 4. 16 Desain Didaktis Awal Konsep Definisi dan Unsur-Unsur Elips ... 56
Gambar 4. 17 Desain Didaktis Awal Konsep Definisi dan Unsur-Unsur Elips ... 57
Gambar 4. 18 Desain Didaktis Awal Konsep Definisi dan Unsur-Unsur Elips ... 57
Gambar 4. 19 Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (0,0) ...................... 58
Gambar 4. 20 Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (0,0) ...................... 59
Gambar 4. 21 Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (0,0) ...................... 60
Gambar 4. 22 Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (0,0) ...................... 61
Gambar 4. 23 Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (h,k) ...................... 62
Gambar 4. 24 Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (h,k) ...................... 63
Gambar 4. 25 Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (h,k) ...................... 64
Gambar 4. 26 Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (h,k) ...................... 65
Gambar 4. 27 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 1 pada
Situasi 1 ............................................................................................ 66
Gambar 4. 28 Contoh Hasil Jawaban pada Alat Peraga........................................ 67
Gambar 4. 29 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 2 pada
Situasi 1 ............................................................................................ 68
Gambar 4. 30 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 1 pada
Situasi 2 ............................................................................................ 69
Gambar 4. 31 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 2 pada
Situasi 2 ............................................................................................ 71
Gambar 4. 32 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Kesimpulan Definisi
Elips dan Persamaan Elips ............................................................... 72
Gambar 4. 33 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa pada Situasi 3 ........... 73
Gambar 4. 34 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 1 pada
Situasi 4 ............................................................................................ 75
Gambar 4. 35 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 2 pada
Situasi 4 ............................................................................................ 78
xi
Gambar 4. 36 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 3 pada
Situasi 4 ............................................................................................ 81
Gambar 4. 37 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 3 pada
Situasi 4 ............................................................................................ 82
Gambar 4. 38 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Kesimpulan Elips yang
Berpusat di (0,0) .............................................................................. 84
Gambar 4. 39 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Situasi 5 ................... 86
Gambar 4. 40 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 1 pada
Situasi 6 ............................................................................................ 89
Gambar 4. 41 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 2 pada
Situasi 6 ............................................................................................ 92
Gambar 4. 42 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 3 pada
Situasi 6 ............................................................................................ 95
Gambar 4. 43 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 4 pada
Situasi 6 ............................................................................................ 97
Gambar 4. 44 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Kesimpulan Elips yang
Berpusat di (h,k) .............................................................................. 98
Gambar 4. 45 Desain Didaktis Awal Definisi Elips ........................................... 100
Gambar 4. 46 Desain Didaktis Revisi Definisi Elips .......................................... 100
Gambar 4. 47 Desain Didaktis Awal Definisi Elips ........................................... 102
Gambar 4. 48 Desain Didaktis Revisi Definisi Elips .......................................... 102
xii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 Kisi-Kisi Soal Identifikasi Learning Obstacle ................................ 113
Lampiran 2 Penyelesaian Soal Identifikasi Learning Obstacle .......................... 117
Lampiran 3 Panduan Wawancara Siswa dan Guru ............................................. 121
Lampiran 4 Desain Pembelajaran ....................................................................... 123
Lampiran 5 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran ................................................ 142
Lampiran 6 Lembar Kerja Siswa ........................................................................ 162
Lampiran 7 Lembar Observasi Metapedadidaktik .............................................. 178
Lampiran 8 Rekapitulasi Lembar Observasi Metapedadidaktik ......................... 194
Lampiran 9 Desain Pembelajaran I (Revisi) ....................................................... 195
Lampiran 10 Lembar Kerja Siswa (Revisi) ........................................................ 214
Lampiran 11 Rekapitulasi Penskoran Learning Obstacle Konsep Elips ............. 230
Lampiran 12 Hasil Wawancara Siswa dan Guru ................................................ 233
Lampiran 13 Dokumentasi Penelitian ................................................................. 241
Lampiran 14 Surat Permohonan Izin Observasi ................................................. 242
Lampiran 15 Surat Balasan Permohonan Izin Observasi .................................... 243
Lampiran 16 Surat Permohonan Izin Penelitian ................................................. 244
Lampiran 17 Surat Balasan Permohonan Izin Penelitian .................................... 245
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang diwajibkan dan
dibebankan kepada peserta didik dari Sekolah Dasar hingga Sekolah
Menengah. Hal ini dikarenakan matematika memiliki peran penting dalam
kehidupan sehari hari, baik untuk memenuhi kebutuhan praktis maupun dalam
memecahkan suatu permasalahan. Banyak sekali permasalahan kontekstual
sehari-hari yang berhubungan dengan matematika, tetapi hanya sebagian saja
yang menyadarinya dan menjadikan masalah kontekstual tersebut sebagai
suatu konteks pada pembelajaran matematika.
Berdasarkan Standar Isi mata pelajaran matematika untuk semua satuan
pendidikan didaksmen (SD/MI, SMP/MTS, SMA/MA, SMK/MAK), maka
tujuan mata pelajaran matematika di sekolah yaitu agar siswa memiliki
kemampuan diantaranya sebagai berikut: (1) memahami konsep, (2)
menggunakan penalaran, (3) memecahkan masalah, (4) mengkomunikasikan
gagasan, (5) memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam
kehidupan.1 Tujuan tersebut dapat terealisasikan jika hal-hal yang berkaitan
dengan proses pembelajaran berjalan secara baik dan efektif. Menurut Suryadi
bahwa pada dasarnya pembelajaran matematika berkaitan dengan tiga hal yaitu
guru, siswa, dan materi.2 Ketiga hal tersebut harus berkaitan, karena jika
hubungan ketiga hal tersebut terdapat kesenjangan maka terdapat
permasalahan yang sangat berarti dalam pembelajaran matematika.
Salah satu standar isi pada pembelajaran matematika adalah geometri.
Menurut NCTM bahwa standar geometri mengambil pandangan yang lebih
luas dalam menuntut siswa untuk menganalisis karakteristik bentuk geometris
1 Sri Wardhani, Analisis SI dan SKL Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs untuk Optimalisasi
Pencapaian Tujuan, (Yogyakarta: PPPPTK,2008), h.8 2 Didi Suryadi,Menciptakan Proses Belajar Aktif:Kajian dari Sudut Pandang Teori Belajar dan
Didaktik, Makalah Seminar Nasional Pendidikan Matematika UNP,2010,h.6
2
dan membuat argumen matematis.3 Geometri juga menuntut siswa untuk
menggunakan visualisasi, penalaran spasial dan model geometri dalam
memecahkan suatu masalah.4 Pemahaman konsep geometri yang kurang
menjadi salah satu penyebab munculnya ketidakmampuan dalam
menyelesaikan suatu masalah.5 Oleh karena itu, materi geometri menjadi
perhatian khusus terutama untuk guru di sekolah. Materi pembelajaran
matematika peminatan di Sekolah Menengah Atas pada kurikulum 2013 yang
tergolong bidang geometri yaitu irisan kerucut.6 Materi ini membahas tentang
lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola.7 Pada realita di lapangan, masih
banyak ditemukan siswa yang mengalami hambatan dalam memahami materi
ini.
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, terdapat sedikitnya tiga
penelitian yang berkaitan dengan irisan kerucut dan elips. Pertama,penelitian
yang dilakukan oleh Putri Permata Sari tahun 2016 mengungkapkan bahwa rata
– rata prestasi belajar siswa kelas XI-IA-2 SMAIT Nur Hidayah Kartasura pada
materi matematika peminatan semester 1.
Tabel 1. 1
Nilai Rata – Rata Siswa Berdasarkan Materi
Materi Nilai Rata-Rata
Siswa KKM
Polinomial 89.79 75
Irisan Kerucut 71.34 75
Lingkaran 88.83 75
Statistika 85.37 75
3 National Council of Teacher of Mathematic (NCTM), Executive Summary Principles and
Standards for School Mathematics, p 3 4 National Council of Teacher of Mathematic (NCTM), Ibid.,p 3
5 Een Unaenah, Analisis Learning Obstacle Konsep Geometri Pada Mahasiswa Semester 1
Program Studi Pendidikan Dosen Sekolah Dasar, Prosiding Seminar Nasional Pendidikan FKIP
UNTIRTA, ISBN: 978-602-19411-2-6, 2017, , h.289
6 Herry Sulistiyanti,dkk, Pengembangan Desain Didaktis Irisan Kerucut untuk Memfasilitasi
Disposisi Matematis Siswa, Jurnal Pendidikan Matematika Universitas Lampung, Vol.4, No.28
2016, h.4
7 Alexander Christian Widya Eka Winarto dan Tri Nova Hasti Yunianta, Pengembangan Mobile
Learning Matematika Sebagai Suplemen Belajar SMA Kelas XI, Histogram: Jurnal Pendidikan
Matematika, Vol.2, No.1, 2018, h.33
3
Rata-rata siswa pada materi irisan kerucut adalah 71,34. Nilai ini berada
dibawah KKM yaitu 75 dan tergolong rendah jika dibandingkan dengan materi
polinomial, lingkaran, dan statistika. Hal ini menunjukkan bahwa pemahaman
siswa terhadap konsep irisan kerucut masih rendah. Contoh kasus siswa
mengalami hambatan dalam mengidentifikasi persamaan tidak baku seperti
persamaan parabola /elips/hiperbola misalnya 𝑥2 − 6𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0; 9𝑥2 −
16𝑦2 − 18𝑥 − 64𝑦 − 199 = 0; 𝑑𝑎𝑛 9𝑥2 + 16𝑦2 − 18𝑥 − 96𝑦 + 9 = 0.8
Kedua, penelitian yang dilakukan oleh Tsena Cendekia Wardani,dkk tahun
2016 yang dilaksanakan di SMAN 1 Kota Cirebon kelas XI IPA 8 dan XII IPA
8 mengungkapkan bahwa learning obstacle yang teridentifikasi berdasarkan
hasil analisis tes kemampuan responden komunikasi matematis pada materi
elips dengan pokok bahasan persamaan elips beberapa diantaranya adalah
sebagai berikut : (1) siswa menuliskan jawaban bahwa puncak elips sama
dengan pusat elips; (2) siswa menuliskan formula titik ujung sumbu mayor
untuk menjawab panjang sumbu mayor; (3) siswa menuliskan formula titik
ujung sumbu minor untuk menjawab panjang sumbu minor; (4) siswa keliru
dalam menentukan nilai c sehingga tidak dapat menentukan nilai eksentrisitas
dengan tepat; (5) siswa keliru dalam menuliskan formula persamaan direktis;
(6) siswa menuliskan formula persamaan garis lurus untuk menentukan
persamaan elips; (7) siswa mengira bahwa titik fokus pada diagram elips
merupakan titik ujung sumbu mayor, sehingga siswa keliu dalam menentukan
fokus, nilai eksentrisitas dan panjang lactus rectum; (8) siswa menggunakan
formula persamaan elips untuk dapat menentukan persamaan direktriks.9
Ketiga, penelitian yang dilakukan oleh Dewi Malihatud Darojah dan
Suparman tahun 2018 yang dilaksanakan di SMAN 1 Kebumen kelas XI IPA
mengungkapkan bahwa terdapat beberapa analisis pada materi irisan kerucut
diantaranya: (1) berdasarkan analisis metode pembelajaran di kelas guru masih
8 Putri Permata Sari, Analisis Kasus Rendahnya Prestasi Belajar Matematika Siswa Pada Materi
Irisan Kerucut dan Solusi Pemecahannya di Kelas XI IA SMAIT Nur Hidayah, Prosiding KNPMP I
Universitas Sebelas Maret, 2016, h 450 9 Tsena Cendekia Wardani,dkk, Desain Bahan Ajar Berbasis Komunikasi Matematis Pada
Materi Elips kelas XI, [online] https://osf.io/sd748 diakeses pada tanggal 12 November 2018,h.9
4
menggunakan strategi konvensional yang berpusat hanya pada guru. Hal ini
dikarenakan keterbatasan sarana dan prasarana sehingga guru menjadikannya
sebuah alasan tidak menggunakan alat peraga dan media. (2) berdasarkan
analisis karakteristik siswa dilihat saat pembelajaran berlangsung, siswa
cenderung pasif akibat dari pembelajaran yang hanya berpusat pada guru. Pada
pembelajaran tersebut guru hanya menjelaskan unsur-unsur, persamaan,
bahkan contoh penyelesaian soal pada materi irisan kerucut, sehingga ketika
guru memberikan kesempatan untuk mengerjakan soal di papan tulis, siswa
cenderung tidak mau maju. (3) berdasarkan analisis pemahaman siswa
diperoleh siswa kurang memahami konsep irisan kerucut. Hal ini didapat ketika
siswa diberi tugas oleh guru untuk mencari persaman irisan kerucut yang
berbeda titik pusatnya, sebagian siswa siswa masih bingung dalam
mengerjakannya. Setelah dilakukan wawancara, hasilnya siswa kurang
memahami penjelasan guru ketika menjelaskan menggunakan strategi
konvensional.10
Melihat hasil penelitian yang dilakukan oleh Putri Permata Sari, Tsena
Cendekia Wardani,dkk serta Dewi Malihatud Darojah dan Suparman tersebut
bahwa kemampuan siswa pada materi risan kerucut masih tergolong rendah.
Hal ini diakibatkan oleh beberapa hal, diantaranya terdapat indikasi
kekurangan pada pengajaran guru sehingga siswa mengalami hambatan dalam
menyelesaikan masalah tertentu. Siswa dituntut mempunyai pengalaman
belajar yang membuat mereka memahami konsep materi irisan kerucut
terutama pada konsep elips dengan baik yang dapat mengurangi munculnya
learning obstacle. Selain itu, ketiga penelitian ini mengalami hambatan belajar
pada faktor epistimologis. Hal ini didukung hasil yang sudah dipaparkan
sebelumnya.
Dalam pembelajaran di kelas guru harus menyiapkan desain yang memuat
isi dari materi pembelajaran yang akan disampaikan kepada siswa.
10 Dewi Malihatud Darojah dan Suparman,Analisis Kebutuhan Desain Pembelajaran Irisan
Kerucut Menggunakan Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik Indonesia, Prosiding Seminar
Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Pendidikan Matematika Universitas
Muhammadiyah Purworejo,2018, h..511-512
5
Pembelajaran di kelas akan didapati berbagai hambatan. Hambatan yang
ditemukan dari sisi guru dikelas yaitu pada saat proses pembelajaran, misalnya
dalam penyampaian materi guru tidak sesuai dengan rancangan pelaksanaan
yang dibuat atau siswa mengalami hambatan dalam menyelesaikan masalah
yang diberikan oleh guru. Hambatan yang dialami siswa tersebut merupakan
hambatan belajar (learning obstacle). Menurut G.Brosseau terdapat tiga faktor
yang menyebabkan hambatan belajar siswa yaitu: (1) hambatan ontogenis
(obstacles of ontogenic) yaitu hambatan yang timbul akibat keterbatasan siswa
pada saat perkembangannya, (2) hambatan didaktis (obstacles of didactical)
yaitu hambatan yang disebabkan oleh pengajaran daari guru dan bahan ajar
yang dirancang pada saat pembelajaran, (3) hambatan epistimologis (obstacles
of epistiomological) yaitu hambatan pada konsep itu sendiri, walaupun konsep
tersebut sudah dipelajari sebelumnya.11
Hambatan belajar siswa (learning obstacle) pada proses pembelajaran
memaksa guru untuk mempersiapkan pembelajaran di kelas secara matang.
Persiapan yang dilakukan antara lain membuat Rancangan Pelaksanaan
Pembelajaran yang sesuai dengan tujuan materi yang harus dicapai siswa. Guru
juga harus memprediksikan apa saja aktivitas yang akan terjadi di dalam kelas.
Selain persiapan diatas, untuk meminimalisir hambatan epistimologis pada saat
proses pembelajaran guru wajib membantu siswa mengingat pengetahuan yang
sudah dipelajari sebelumnya untuk dikaitkan dengan pengetahuan yang akan
dipelajari.
Kesalahan yang terjadi setelah adanya pembelajaran tersebut, guru perlu
memperbaiki rancangan pembelajaran yang sesuai dengan learning obstacle
yang telah teridentifikasi. Rangkaian yang harus disadari oleh guru dalam
analisis dan antisipasi tentunya memiliki tahapan yang harus dilakukan, yaitu :
(1) analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran (prospektif) yang wujudnya
berupa Disain Didaktis Hipotetis termasuk ADP, (2) analisis
metapedadidaktik, dan (3) analisis retrosfektif yakni analisis yang mengaitkan
11 Guy Brosseau,Theory of Didactical Situation in Mathematic,(Drodrecht: Kluwer Academic
Publisher, 1997),h.86
6
hasil analisis situasi didaktis hipotetis dengan hasil analisis
metapedadidaktik.12
Berdasarkan pemaparan diatas penulis tertarik untuk meneliti
permasalahan learning obstacle pada konsep elips irisan kerucut di Sekolah
Menengah Atas, sehingga permasalahan tersebut dapat dikurangi. Judul
penelitian ini adalah “Desain Didaktis Konsep Elips pada Irisan Kerucut untuk
Mengatasai Learning Obstacle pada Siswa Kelas XI ”.
B. Identifikasi Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang sudah dipaparkan diatas, maka
dapat diidentifikasi masalah dalam penelitian ini, sebgai berikut :
1. Rendahnya pemahaman siswa mengenai konsep elips pada irisan kerucut.
2. Siswa mengalami hambatan dalam menggunakan konsep elips pada irisan
kerucut.
3. Guru tidak dapat memprediksi respon siswa dan hambatan belajar pada
saat membuat rancangan pembelajaran.
C. Pembatasan Masalah
Agar penelitian ini lebih terarah dan tidak menimbulkan penfsiran yang
lain, maka dilakukan pembatasan masalah dalam penelitian ini antara lain :
1. Pokok bahasan yang dipilih adalah konsep elips yang meliputi elips pusat
(0,0) dan elips pusat (h,k).
2. Penyusunan desain didaktis dalam pembelajaran konsep elips berdasarkan
learning obstacle.
3. Penyusunan learning obstacle berdasarkan hambatan epistimologis terkait
konsep elips.
4. Penelitian dibatasi pada pembuatan desain didaktis revisi (satu siklus).
D. Perumusan Masalah
12 Didi Suryadi, Didactical Design Research (DDR) Dalam Pengembangan Pembelajran
Matematika,Seminar UNNES,2013,h.12
7
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan di atas maka yang
menjadi rumusan masalah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Bagaimana learning obstacle yang terkait dengan konsep elips pada irisan
kerucut ?
2. Bagaimana desain didaktis konsep elips pada irisan kerucut berdasarkan
learning obstacle ?
3. Bagaimana respon siswa terhadap penerapan desain didaktis konsep elips
pada irisan keucut saat pembelajaran ?
4. Bagaimana desain didaktis revisi berdasarkan respon siswa setelah
penerapan desain didaktis awal ?
E. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah yang telah diuraikan diatas, maka tujuan
peneitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengidentifikasi learning obstacle yang terkait dengan konsep elips pada
irisan kerucut.
2. Menyusun suatu desain didaktis konsep elips pada irisan kerucut.
3. Menganalisis respon siswa terhadap penerapan desain didaktis konsep
elips pada irisan kerucut.
4. Menyusun desain didaktis revisi konsep elips pada irisan kerucut
berdasarkan desain awal yang telah diimplementasikan.
F. Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini merupakan kelanjutan dari tujuan penelitian di atas.
Penelitian ini diharapkan mampu memberikan manfaat sebagai berikut :
1. Bagi guru
Mampu mengetahui desain didaktis yang cocok untuk diterapkan dikelas
agar dapat memperbaiki dan meningkatkan pembelajaran siswa khususnya
pada konsep elips.
2. Bagi sekolah
8
Mampu mengembangkan menuju arah penyempurnaan dalam
pembelajaran matematika di sekolah.
3. Bagi peneliti
Diharapkan dapat mengetahui mengenai desain didaktis yang tepat dan
selanjutnya dapat diterapkan pada proses penelitian selanjutnya.
9
BAB II
KAJIAN TEORI
A. Deskripsi Konseptual
1. Konsep Elips Pada Irisan Kerucut
a. Irisan Kerucut
Irisan kerucut adalah perpotongan atau irisan antara bidang
lengkung kerucut tegak terhadap suatu bidang pengiris yang berupa
suatu bidang datar.13 Terdapat empat bentuk irisan kerucut berdasarkan
bidang pemotongnya:
Gambar 2. 1
Bentuk-bentuk irisan kerucut berdasarkan bidang pemotong
Salah satu bentuk yang akan dibahas pada penelitian ini adalah elips.
b. Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan
jaraknya ke tititk tertentu dan ke garis tertentu selalu tetap.14 Titik
tertentu itu disebut fokus, sedangkan garis tertentu itu disebut direktis.
Nilai perbandingannya disebut eksentrisitas (𝑒), dengan 0 < 𝑒 < 1. 15
13 Nanang Priatna dan Tito Sukamto,Buku Siswa Aktif dan Kreatif Belajar Matematika untuk
Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah kelas XI Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam,(Jakarta: Raja
Garfindo Persada,2016), h.61
14 ST Negoro dan B.Harahap, Ensiklopedia Matematika, (Jakarta: PT. Ghalia Indonesia, 2003),
h.75
15 ST Negoro dan B.Harahap, Ibid, h.75
10
Pada elips terdapat beberapa unsur, diantaranya sebagai berikut:16
Gambar 2. 3
Unsur-unsur elips
1) Sumbu simetri pada elips
a. Sumbu utama atau sumbu transversal, yaitu sumbu simetri yang
melalui titik pusat dan kedua titik fokus elips. Ruas garis 𝐴1𝐴2
pada sumbu panjang atau sumbu mayor. 𝑨𝟏𝑨𝟐 = 𝟐𝒂.
b. Sumbu sekawan atau sumbu konjugasi, yaitu sumbu simetri yang
tegak lurus dengan sumbu utama dan melalui titik pusat elips.
Ruas garis 𝐵1𝐵2 pada sumbu sekawan disebut sumbu pendek atau
sumbu minor. 𝑩𝟏𝑩𝟐 = 𝟐𝒃.
2) Titik pusat elips, yaitu titik potong sumbu utama dan sumbu sekawan
elips. Titik P merupakan titik pusat elips.
16Nanang Priatna dan Tito Sukamto,Ibid, h.86
Gambar 2. 2 Bentuk elips
11
3) Titik puncak elips. 𝐴1 dan 𝐴2 merupakan titik puncak elips. Kedua
titik puncak dan titik fokus elips terletak pada sumbu utama.
4) Lactus rectum, yaitu panjang ruas garis yang melalui titik fokus elips
dan tegak lurus dengan sumbu utama. Panjang ruas garis tersebut
adalah jarak titik potong garis tersebut dengan elips. Panjang ruas
garis 𝐿1𝐿′1 dan 𝐿2𝐿′2 adalah lactus rectum. 𝑳𝟏𝑳′𝟏 = 𝑳𝟐𝑳′𝟐 =𝟐𝒃𝟐
𝒂
5) Pada gambar 𝐵1𝑃𝐹2 dengan menggunakan Teorema Phytagoras
diperoleh:
Dengan 𝑎 adalah setengah panjang sumbu mayor, 𝑏 adalah setengah
panjang sumbu minor, dan 𝑐 adalah setengah panjang jarak kedua
fokus elips.
Berdasarkan titik pusat elips dibedakan menjadi dua antara lain
sebagi berikut : 17
1) Elips dengan Pusat O (0,0)
a. Elips Mendatar
Gambar 2. 4
Elips mendatar dengan pusat O (0,0)
Elips seperti ini disebut dengan istilah elips mendatar
(horizontal). Persamaan elips yang berpusat O (0,0) adalah
17 Nanang Priatna dan Tito Sukamto,Ibid.,h.86-93
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
h𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎2 > 𝑏2
dengan
12
Keterangan :
Pusat O (0,0)
Puncak A1 (-a,0) dan A2 (a,0)
Fokus F1(-c,0) dan F2 (c,0) dengan a2 = b2 + c2
Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y
Sumbu utama = 2a dan sumbu sekawan =2b
Direktriks :𝑥 =𝑎
𝑒
Eksentrisitas : 𝑒 =𝑐
𝑎
b. Elips Tegak
Gambar 2. 5
Elips tegak dengan pusat O (0,0)
Dengan memperhatikan titik 𝑇(𝑥, 𝑦) dan definisi elips,
maka persamaan elips tegak adalah
Keterangan :
Pusat O (0,0)
h𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 = 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎2 < 𝑏2
dengan
13
Puncak 𝐵1(0, 𝑏) dan 𝐵2(0, −𝑏)
Fokus 𝐹1(0, 𝑐) dan 𝐹2(0, −𝑐) dengan a2 = b2 + c2
Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y
Sumbu utama = 2b dan sumbu sekawan =2a
Direktriks :𝑦 =𝑏
𝑒
Eksentrisitas : 𝑒 =𝑐
𝑏
2) Elips dengan Pusat (ℎ, 𝑘)
a. Elips Mendatar
Gambar 2. 6
Elips mendatar dengan pusat ( h,k )
Dengan memperhatikan sebarang titik T yang terletak
pada elips, maka persamaan elips mendatar dengan pusat (ℎ, 𝑘)
adalah
Sifat – sifat elips mendatar sebagai berikut :
i. Sumbu utama adalah garis y=k dan sumbu sekawan
adalah garis x=h
ii. Koordinat titik puncak adalah 𝐴1(ℎ − 𝑎, 𝑘) dan 𝐴2(ℎ +
𝑎, 𝑘)
iii. Koordinat fokus adalah 𝐹1(ℎ − 𝑐, 𝑘) dan 𝐹2(ℎ + 𝑐, 𝑘)
h(𝑥−ℎ)2
𝑎2+
(𝑦−𝑘)2
𝑏2= 1, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎2 > 𝑏2
14
iv. Panjang sumbu mayor adalah 2a dan panjang sumbu
minor 2b
v. Nilai eksentrisitas 𝑒 =𝑐
𝑎
vi. Garis direktis adalah 𝑔1 dan 𝑔2 dengan persamaan 𝑥 =
ℎ −𝑎
𝑒 dan 𝑥 = ℎ +
𝑎
𝑒
vii. Panjang lactus rectum adalah 2𝑏2
𝑎
b. Elips Tegak
Gambar 2. 7
Elips tegak dengan pusat ( h,k )
Elips tegak atau elips vertikal dengan pusat (ℎ, 𝑘)
persamaannya adalah
Sifat – sifat elips tegak sebagai berikut :
i. Sumbu utama adalah garis x=h dan sumbu sekawan
adalah garis y=k
ii. Koordinat titik puncak adalah 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) dan 𝐵2(ℎ, 𝑘 −
𝑏)
iii. Koordinat fokus adalah 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) dan 𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐)
h(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎2 < 𝑏2
15
iv. Panjang sumbu mayor adalah 2b dan panjang sumbu
minor 2a
v. Nilai eksentrisitas 𝑒 =𝑐
𝑏
vi. Garis direktis adalah 𝑔1 dan 𝑔2 dengan persamaan 𝑦 =
𝑘 +𝑏
𝑒 dan 𝑦 = 𝑘 −
𝑏
𝑒
vii. Panjang lactus rectum adalah 2𝑎2
𝑏
Bentuk umum persamaan elips dapat dituliskan dalam bentuk
sebagai berikut :
2. Learning Obstacle
Salah satu alasan belajar matematika dari Sekolah Dasar hingga
Sekolah Menengah adalah untuk melatih siswa agar bisa menyelesaikan
masalah di dalam kehidupan sehari-hari. Realita yang terjadi di lapangan
dalam proses belajar matematika siswa mengalami kendala-kendala. Hal ini
siswa mengalami suatu kondisi dimana ia belum siap menerima pelajaran
sehingga tidak dapat belajar sebagaimana mestinya. Hambatan atau kendala
dalam belajar ini biasa disebut Learning Obstacle.
Hambatan belajar yang dialami siswa disebabkan oleh beberapa faktor.
Sulit untuk menyalahkan dari sisi siswanya, dikarenakan terdapat kondisi
lain yang dapat mempengaruhi siswa dalam hambatan belajar. Menurut
Brosseau, terdapat 3 sumber dalam hambatan belajar antara lain :18
a. Hambatan Ontogenis (Obstacles of Ontogenic)
Hambatan ontogenis merupakan hambatan yang timbul akibat
keterbatasan siswa pada saat perkembangannya.
b. Hambatan Didaktis (Obstacles of Didactical)
18 Guy Brosseau, Op.Cit,h.86-87
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
16
Hambatan didaktis merupakan hambatan yang disebabkan oleh
pengajaran daari guru dan bahan ajar yang dirancang pada saat
pembelajaran.
c. Hambatan Epistimologis (Obstacles of Epistiomological)
Hambatan epistimologis merupakan hambatan pada konsep itu sendiri,
walaupun konsep tersebut sudah dipelajari sebelumnya. Hambatan ini
terjadi ketika siswa masuk pada permasalahan baru, dimana
permasalahan ini membutuhkan pengetahuan sebelumnya dengan kata
lain siswa tersebut sudah mempelajarinya. Hal ini terjadi karena
pengetahuan sebelumnya tidak digunakan kembali, sehingga siswa
hambatan dalam menggunakan pengetahuannya tersebut disebabkan
pengetahuan yang dimiliki siswa tersebut hanya terbatas pada konten
tertentu. Hambatan belajar ini diperlukan adanya antisipasi dini dalam
membuat desain pembelajaran oleh guru. Rancangan desain didaktis
dapat memprediksi adanya learning obstacle yang mungkin muncul
pada saat pembelajaran.
Menurut Hercovics bahwa perkembangan pengetahuan ilmiah
seseorang banyak mengalami kendala epistimologis, dimana skemata
konseptual pada diri siswa mengalami kendala kognitif. Hercovics lebih
menyukai menggunakan istilah kendala kognitif dalam proses pembelajaran
dan istilah kendala epistimologi ketika merujuk ke masa yang lalu.19
Menurut Brousseau pengembangan pengetahuan ilmiah terjadi pada situasi
didaktis, serta melalui konsep lompatan informasi. Apabila lompatan
informasi mengalami hambatan maka terjadilah kendala epistimologis.
Hambatan epistimologis menyebabkan stagnasi pengetahuan ilmiah dan
bahkan penurunan pengetahuan seseorang.20
19 Euis Setiawati,Hambatan Epistemologi (Epistimological Obstacle) dalam Persamaan
Kuadrat Pada Siswa Madrasah Aliyah,Proceeding International Seminar and the Fourth National
Conference on Mathematics Education,ISBN: 978-979-16353-7-0, 2011, h.793 20 Euis,Ibid,h.794
17
Jadi hambatan epistimologis muncul ketika seseorang mendapatkan
permasalahan yang baru, namun ia tidak dapat mengatasinya walaupun ia
sudah memiliki pengetahuan sebelumnya. Hal ini dikarenakan ia mengalami
hambatan dalam menggunakannya, sebab pengetahuan yang ia miliki hanya
terbatas pada permasalahan tertentu.
Oleh karena itu, penelitian ini menggunakan hambatan epistimologis
sebagai tolak ukur dalam mendesain rancangan pembelajaran. Hambatan
belajar siswa dapat diidentifikasi dari hasil penyelesaian persoalan
matematika secara tertulis selanjutnya dengan mengajukan pertanyaan –
pertanyaan lisan. Jika hasil tersebut menunjukkan bahwa siswa melakukan
kesalahan, maka perlu dilakukan analisis hambatan yang dialami siswa
tersebut, bagaimana siswa tersebut membuat kesalahan. Hal ini dilakukan
untuk mengkaji hambatan belajar siswa dalam konsep elips, maka perlu
dirancang sebuah tes dengan materi konsep elips.
3. Metapedadidaktik
Dua aspek mendasar dalam pembelajaran yaitu hubungan siswa-materi
dan hubungan guru-siswa dapat menciptkan situasi didaktis maupun
pendagogis yang tidak sederhana bahkan yang terjadi bisa saja kompleks.21
Guru dalam konteks pendidikan memiliki peran dalam mengelola
pendagogik dan didaktik pada pembelajaran peserta didik untuk mencapai
tujuan pembelajaran yang ideal.
Menurut Kansanen dalam Suryadi menyatakan hubungan yang
menggambarkan hubungan didaktis (HD) antara siswa dan materi, serta
hubungan pendagogis (HP) antara guru dan siswa.22 Penggambaran tersebut
menurut Suryadi belum memuat hubungan antara guru dengan materi,
karena hubungan didaktis dan pendagogis haruslah dipahami secara utuh.
Hal tersebut dikarenakan hubungan didaktis dan pendagogis tidak dapat
terjadi secara bersamaan. Atas dasar hal tersebut, segitiga didaktis Kansanen
21 Didi Suryadi, Op.Cit,h.3
22 Didi Suryadi, Ibid, h.3
18
dimodifikasi dengan menambahkan Antisipasi Didaktis dan Pendagogis
(ADP).23 Jadi, Hubungan ketiganya digambarkan sebagai berikut:
Gambar 2. 8
Segitiga yang telah dimodifikasi
Antisipasi Didaktis dan Pendagogis (ADP) dilakukan untuk
mengetahui berbagai macam respon siswa atas situasi pembelajaran di kelas
sehingga tercipta situasi didaktis baru. Proses penyusunan ADP haruslah
memperhatikan learning trajectory (lintasan belajar) siswa. Hypothetical
learning trajectory (HLT) adalah suatu prediksi bagaimana pemikiran dan
pemahaman siswa berkembang dalam aktivitas pembelajaran.24
Hypothetical learning trajectory (HLT) memuat prediksi dan respon siswa
yang berfungsi sebagai dasar penyusunan desain pembelajaran yang akan
dikembangkan. HLT disusun berdasarkan analisis tes learning obstacle
siswa, analisis repersonalisasi, dan analisis rekontekstualisasi.
Repersonalisasi dan rekontekstualisasi dilakukan guna memudahkan guru
23 Didi Suryadi, Ibid, h.3
24 Rully Charitas, Design Research (Teori dan Implementasinya : Suatu Pengantar), (Depok:
rajawali Pers,2017), h.20
19
untuk melihat gambaran secara utuh tentang materi yang akan disampaikan
serta melihat gambaran suasana yang melatari aktivitas pembelajaran.25
Peran guru dalam konteks segitiga didaktis yang telah dimodifikasi
adalah menciptakan suatu situasi didaktis sehingga terjadi proses belajar
dalam diri siswa. Hal ini berarti seorang guru selain perlu menguasai materi
ajar, juga diperlukan pengetahuan lainnya yang terkait dengan siswa serta
mampu menciptakan relasi didaktis antara siswa dan materi ajar sehingga
tercipta suatu situasi didaktis yang ideal bagi siswa.26
Untuk menciptakan situasi didaktis maupun pendagogis yang sesuai,
dalam menyusun rencana pembelajaran guru perlu memandang situasi
pembelajaran secara utuh sebagai suatu objek. Situasi didaktis dan
pendagogis yang terjadi dalam suatu pembelajaran merupakan situasi yang
sangat kompleks, maka guru perlu mengembangkan kemampuan untuk bisa
memandang proses tersebut secara komprehensif, mengidentifikasi dan
menganalisis hal-hal penting yang terjadi , serta melakukan tindakan yang
tepat sehingga tahapan pembelajaran berjalan lancar dan hasilnya siswa
belajar dengan optimal.
4. Teori Belajar yang Terkait
Memahami teori tentang bagaimana seseorang belajar serta
kemampuan menerapkannya dalam pengajaran matematika merupakan
persyaratan penting untuk menciptakan proeses pembelajaran efektif.27
Berbagai studi tentang perkembangan intelektual manusia telah
menghasilkan sejumlah teori belajar yang beragam. Teori belajar yang
mendukung digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut:
25 Tatang Suratno, Didaktik dan Didactical Design Research. Dalam D.Suryadi, E. Mulyana,
T.Suratno, D.A.K. Dewi, dan S.Y.Maudy (Eds.) Monograf Didactical Design Research, (Bandung
: Rizqi Press, 2016), h.8 26 Didi Suryadi,Ibid,h.3 27 Didi Suryadi, Op.Cit., h.1
20
a. Teori Ausubel
Teori ini dikenalkan oleh David Ausubel ialah tentang belajar
bermakna. Bagi Ausubel, belajar bermakna merupakan suatu proses
dikaitkannya informasi baru pada konsep-konsep yang relevan. Hal ini
terdapat dalam struktur kognitif seseorang.28 Jadi belajar bermakna
dapat dikatakan melalui tahapan mengetahui, memahami,
mengaplikasikan, dan memilikinya untuk dimanfaatkan lebih
lanjut.Terdapat empat tipe belajar berdasarkan teori belajar Ausubel:29
1) Belajar dengan penemuan bermakna, mengaitkan pengetahuan yang
sudah dimilikinya dengan materi pelajaran yang sedang siswa
pelajari.
2) Belajar dengan penemuan tidak bermakna, pelajaran yang
ditemukan sendiri oleh siswa tanpa dikaitkan dengan pengetahuan
yang sudah dimilikinya, lalu siswa hafalkan.
3) Belajar menerima bermakna, materi yang telah tersusun secara logis
disampaikan kepada siswa sampai bentuk akhir, lalu pengetahuan
yang baru siwa kaitkan dengan pengetahuan yang sudah dimilikinya.
4) Belajar menerima tidak bermakna, materi yang telah tersusun secara
logis disampaikan kepada siswa sampai bentuk akhir, lalu
pengetahuan yang baru siswa hafalkan tanpa mengaitkan dengan
pengetahuan yang sudah dimilikinya.
Misalnya jika siswa menemukan persamaan elips, siswa akan
mengaitkannya dengan unsur-unsur dari elips itu sendiri sehingga siswa
dapat memvisalisasikan dalam bentuk gambar terlebih dahulu.
Selanjutnya siswa akan menemukan dan menbangun pengetahuannya
sendiri dari berbagai macam masalah elips yang lainnya.
28 Ratna Wilis Dahar, Teori-Teori Belajar dan Pembelajaran,(Jakrta: Erlangga,2011),h.95
29 Amin Otoni Harefa, Penerapan Teori Pembelajaran Ausubel dalam Pembelajaran,Majalah
Ilmiah Warta Dharmawangsa,Edisi 3,ISSN: 1829-7463, 2013, h.48-49
21
b. Teori Vygotsky
Menurut Vygotsky menyatakan bahwa seluruh fungsi mental yang
lebih tinggi berasal dari lingkungan sosial. Meskipun pembelajaran
sosial mempengaruhi konstruksi pengetahuan, tetapi harus
diperhitungkan dalam menjelaskan pembelajaran dan perkembangan.
Terdapat ringkasan tentang poin-poin pokok dalam teori Vygotski
sebagai berikut :30
a. Interaksi-interaksi sosial itu penting; pengetahuan dibangun
diantara dua atau lebih orang.
b. Pengaturan-diri dikembangkan melalui internalisasi
(mengembangkan sebuah representasi internal) dari tindakan -
tindakan dan operasi-operasi mental yang terjadi dalam interaksi
sosial
c. Perkembangan manusia terjadi melalui alat-alat kultural (bahasa,
simbol-simbol) yang diteruskan dri orang ke orang
d. Bahasa adalah alat kultural yang paling penting. Bahasa
berkembang dari tuturan sosial, ke tuturan pribadi, ke tuturan
tersembunyi (di dalam)
e. Zona perkembangan proksimal (ZPD/zone of proximal
development) adalah perbedaan antara apa yang dapat dilakukan
sendiri oleh anak-anak dan apa yang dapat mereka lakukan dengan
bantuan orang lain. Interaksi dengan orang-orang dewasa dan
teman-teman sebaya dalam ZPD mendorong perkembangan
kognitif.
Dari poin-poin tersebut dapat disimpulkan bahwa proses
siswa dalam mempelajari suatu konsep tidak terlepas dari aktifnya
siswa dalam berinteraksi dengan teman sebaya maupun orang dewasa
yang telah menguasai materi tersebut. Orang dewasa yang
dimaksudkan ialah guru. Peran guru tidak hanya sebatas mengajar saja,
30 Dale H.Schunk,Learning Theories An Educational Perspective (Teori-Teori Pembelajaran
:Perspektif Pendidikan ), (Yogyakarta:Pustaka Pelajar,2012),h.340-341
22
namun guru harus berperan sebagai fasilitator untuk mencapai tujuan
pembelajaran yang diinginkan. Menurut Vygotsky, kegiatan belajar
dapat meningkatkan keaktifan siswa untuk berinteraksi dengan orang
yang lebih dewasa maupun dengan teman sebayanya. Pemecahan
masalah yang dilakukan oleh siswa akan berbeda dengan pemecahan
melalui bantuan orang yang lebih dewasa (zone of proximal
development). Bantuan yang diberikan terhadap setiap individu siswa
tidaklah konstan, melainkan memberi bantuan secara bertahap,
sehingga guru mampu menciptakan situasi didaktis.
c. Piaget
Menurut Piaget bahwa proses belajar seseorang harus disesuaikan
dengan tahap perkembangan kognitif yang dilalui oleh individu
tersebut. Terdapat empat tahap, antara lain tahap sensomotor, tahap ini
berlangsung pada usia anak 1,5 sampai 2 tahun; tahap praoperasional,
tahap ini berlangsung pada usia anak 2 sampai 8 tahun; tahap
operasional konkret, tahap ini berlangsung pada anak usia 7/8 tahun
sampai 12/14 tahun); dan tahap operasional formal, tahap ini
berlangsung pada anak usia 14 tahun keatas.31
Menurut Piaget, terdapat tiga tahapan proses belajar siswa antara
lain sebagai berikut :32
a. Asimilasi
Asimilasi merupakan proses pengintegrasian informasi baru ke
struktur kognitif yang telah ada sebelumnya. Proses ini terjadi
secara kontinu selama proses perkembangan intelektual anak.
b. Akomodasi
Akomodasi merupakan proses penyesuaian struktur kognitif ke
dalam situasi baru. Proses akomodasi terjadi untuk mengubah
struktur kognitif yang telah ada agar sesuai dengan stimulus yang
31 Evelin Siregar dan Hartini Nara, Teori Belajar dan Pembelajaran, (Bogor : Ghalia
Indonesia. Cet ke-2, Oktober 2010, h.33 32Evelin Siregar dan Hartini Nara,Ibid, h.32
23
baru didapat. Proses asimilasi dan akomodasi terjadi secara
bersama-sama sehingga menyebabkan terjadinya proses adaptasi
dan perkembangan struktur intelektual.
c. Equilibrasi (penyeimbang)
Equilibrasi merupakan penyeimbang anatar dunia luar dengan
dunia dalam. Maksudnya ialah setiap individu yang ingin
beradapatasi dengan lingkungnnya harus mencapai keseimbangan
antara aktivitas individu (internal) terhadap lingkungannya
(eksternal).
Misalnya seorang siswa sudah mengetahui prinsip fungsi
kuadrat, jika guru memperkenalkan siswa metode penyelesaian
elips, maka terjadilah proses pengintegrasian antara prinsip fungsi
dengan metode penyelesaian elips, ini dinamakan proses asimilasi.
Jika siswa diberikan soal elips yang diketahui titik pusatnya
berbeda, maka situasi ini dinamakan akomodasi. Agar siswa dapat
terus berkembang, maka diperlukan proses penyeimbangan.
d. Teori Van Hiele
Teori Van Hiele dikembangkan oleh dua pendidik berkebangsaan
Belanda, Pierre Marie Van Hiele dan Dina Van Hiele-Geldof. Teori ini
menjelaskan perkembangan berfikir siswa dalam belajar geometri.
Menurut teori ini, seseorang akan melalui lima level perkembangan
berfikir dalam belajar geometri, yaitu sebagai berikut:33
a. Level 0 : Tingkat Visualisasi
Tingkat ini disebut tingkat pengenalan. Pada level ini siswa hanya
mengetahui suatu bangun geometri sebagai suatu keseluruhan
tanpa mengamati ciri-ciri dari bagian bangun tersebut.
b. Level 1 : Tingkat Analisis
33 Abdussakir,Pembelajaran Geometri Sesuai Teori Van Hiele,Jurnal Madrasah, Vol.11
No.1,2009,h.3-4
24
Tingkat ini dikenal sebagai tingkat deskriptif, dimana siswa sudah
mampu mengenal bangun geometri beserta ciri-cirinya dan siswa
sudah terbiasa menganalisis bagian-bagian suatu bangun geometri.
c. Level 2 : Tingkat Abstraksi
Tingkat ini disebut juga tingkat pengurutan atau tingkat relasional.
Dengan kata lain siswa pada level ini siswa sudah bisa memahami
hubungan antar sifat bangun yang satu dengan sifat bangun yang
lain.
d. Level 3 : Tingkat Deduksi Formal
Pada tingkat ini siswa dapat memahami peran definisi, aksioma,
dan teorema dalam geometri. Selain itu, siswa juga mampu
menyusun bukti – bukti secara formal.
e. Level 4 : Tingkat Rigor
Tingkat ini disebut juga tingkat matematis dimana siswa mampu
melakukan penalaran secara formal tentang sistem-sistem
matematika, termasuk sistem geometri, tanpa memerlukan model
konkret sebagai acuan.
Jika diterapkan pada peneliian ini sebagai contohnya yaitu
bermula dengan siswa mengamati bentuk elips dari persamaan elips
yang telah diketahui sebelumnya, lalu siswa akan menganalisis dari
unsur-unsur yang didapatkan dari mengamati, dengan begitu siswa
akan menghubungkan konsep elips dengan unsur-unsurnya.
Selanjutnya siswa akan menerapkan aksioma dan teorema yang ada
tanpa mengetahui model konkretnya.
B. Hasil Penelitian yang Relevan
1. Penelitian yang dilakukan Putri Permata Sari (2016) yang berjudul
“Analisis Kasus Rendahnya Prestasi Belajar Matematika Siswa Pada
Materi Irisan Kerucut dan Solusi Pemecahannya Di Kelas XI IA SMAIT
Nur Hidayah”. Hasil penelitian tersebut menunjukkan siswa kurang
memiliki motivasi belajar, materi irisan kerucut sulit untuk dipahami,
25
siswa merasa kesulitan pada dikarenakan materi tidak dapat
divisualisasikan, penguasaan konsep lemah, siswa merasa kesulitan dalam
mengidentifikasi unsur, intusi sswa dalam mengerjakan soal lemah, serta
siswa kurang terampil dalam mengerjakan soal – soal bervariatif.34
2. Penelitian yang dilakukan Tsena Cendekia Wardani (2016) yang berjudul
“Desain Bahan Ajar Berbasis Komunikasi Matematis Pada Materi Elips
Kelas XI”. Hasil penelitian tersebut menunjukkan terdapat 3 hambatan
belajar (learning obstacle) yang ditemukan pada analisis tes kemampuan
responden terkait kemampuan komunikasi matematis yaitu learning
obstacle dalam menentukan persamaan elips berpusat di O (0,0), learning
obstacle dalam menentukan persamaan elips berpusat di (h,k) dan learning
obstacle terkait kemampuan komunikasi matematis.35
3. Penelitian yang dilakukan Dewi Malihatud Darojah dan Suparman (2018)
yang berjudul “Analisis Kebutuhan Desain Pembelajaran Irisan Kerucut
Menggunakan Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik Indonesia”.
Hasil penelitian tersebut menunjukkan bahwa kurikulum yang diterapkan
oleh SMAN 1 Kebumen menggunakan kurikulum 2013. Dilihat dari
metode pembelajaran guru dalam menjelaskan irisan kerucut belum
menggunakan pendekatan saintifik, dan pembelajaran masih berpusat pada
guru. Hal ini mengakibatkan karakteristik siswa cenderung pasif, karena
pada saat pembelajaran guru hanya memberikan rumus formal dan contoh
soal. Hal ini menyebabkan kurangnya pemahaman siswa terhadap materi
irisan kerucut.36
C. Kerangka Berpikir
Tujuan utama mempelajari matematika agar siswa dapat meningkatkan
kemampuan berpikir, baik itu berpikir penalaran, kritis, logis, dan sistematis
dalam menyelesaikan masalah. Untuk mencapai tujuan tersebut yaitu dengan
menciptakan dan mengkondisikan siswa pada saat proses pembelajaran yang
34 Putri Permata Sari,Ibid,h.451 35 Tsena Cendekia Wardani,Ibid,h.4
36 Dewi Malihatud Darojah dan Suparman,Op.Cit.,h.513
26
memungkinkan siswa dapat mengeksplorasi pengetahuannya sendiri. Salah
satu materi di pembelajaran geometri SMA ialah irisan kerucut. Materi ini
cukup menarik dikarenakan siswa harus menentukan irisan seperti apa yang
terjadi jika bidang pengiris memotong dengan arah tertentu. Walaupun realita
tidak selalu sesuai dengan harapan dan tujuan. Banyak siswa mengalami
hambatan dalam memahami materi irisan kerucut terutama pada elips.
Hambatan belajar yang dialami siswa pada saat aktivitas belajar ini dikenal
dengan learning obstacle.
Learning Obstacle muncul disebabkan oleh tiga faktor seperti
dikemukakan oleh Brousseau yaitu hambatan ontogeny (kesiapan mental
belajar), hambatan didaktis (pengajaran guru atau bahan ajar), dan hambatan
epistimologis (pengetahuan siswa yang memiliki konteks aplikasi yang
terbatas). Proses mengurangi learning obstacle terutama pada hambatan
epistimologis membutuhkan persiapan yang matang dan mendalam sebelum
menyampaikan konsep matematika. Persiapan dilakukan sebelum aktivitas
belajar dimulai, hal ini sangat erat dengan peran guru. Hal ini mengharuskan
guru membuat rancangan pembelajaran untuk mengantisipasi respon siswa
pada saat proses pembelajaran.
Dalam menciptakan situasi didaktis dan pendagogis pada saat
pembelajaran, guru harus memperhatikan hubungan guru dengan materi
(ADP), guru dengan siswa (HP), serta siswa dengan materi (HD). Guru
diharuskan untuk membuat rancangan sebelum pembelajaran, saat proses
pembelajaran berlangsung, dan setelah proses pembelajaran. Hal ini dilakukan
untuk mengantisipasi respon siswa pada saat pembelajaran berlangsung.
Pada penelitian ini, konsep geometri yang akan dibahas adalah konsep
materi irisan kerucut. Banyak siswa yang belum memahami konsep elips itu
sendiri baik itu unsur-unsurnya maupun penggunaan persamaan elips pada
masalah tertentu. Jika dilihat dari realitanya siswa hanya menghafalkan rumus.
Hal ini dapat mengakibatkan kekeliruan dan kesalahan dalam penggunaan
rumus itu sendiri. Oleh karena itu, guru sebagai peran penting harus
mengetahui dan memahami tahap perkembangan intelektual siswa, sehingga
27
dalam merancang proses pembelajaran dapat sesuai dengan kemampuan siswa
agar pembelajaran dapat lebih bermakna.
Didactical Design Research merupakan suatu rancangan pembelajaran
yang memfokuskan dan memperhatikan respon siswa, penyusunan desain
didaktis berdasarkan konsep sebuah materi berupa bahan ajar yang akan
disajikan dengan mempertimbangkan learning obstacle yang telah
diidentifikasi sebelumnya, sehingga desain yang dibuat dapat meminimalisir
learning obstacle. Desain didaktis ini dirancang untuk menciptakan situasi
didaktis dan pendagogis antara guru, siswa, serta materi.
Adapun tahapan dalam penelitian ini menurut Suryadi, desain didaktis
terdiri dari tiga tahap, yaitu : 1) Analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran
(retrospektif), 2) Analisis metapedadidaktik, 3) Analisis retrospektif yaitu
mengaitkan hasil analisis situasi didaktis hipotesis dengan analisis
metapedadidaktik. Dari ketiga analisis tersebut akan tercipta sebuah desain
bahan ajar yang tidak menutup kemungkinan untuk disempurnakan kembali
melalui ketiga tahapan DDR tersebut.
28
Gambar 2. 9
Desain Penelitian DDR Konsep Elips
29
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
A. Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian dilakukan di Sekolah Menengah Atas (SMA) kelas XI program
IPA pada mata pelajaran matematika peminatan. Penelitian ini dilaksanakan
pada semester genap tahun ajaran 2018/2019 dengan rincian sebagai berikut :
Tabel 3. 1
Waktu Pelaksanaan Kegiatan Penelitian
Tanggal Kegiatan penelitian
17 Januari 2019
Tes identifikasi learning obstacle awal dan
wawancara kepada siswa dan guru mata
pelajaran.
28 Maret 2019 Implementasi desain pembelajaran definisi dan
unsur elips.
29 Maret 2019
dan
11 April 2019
Implementasi desain pembelajaran elips pusat
(0,0).
12 April 2019 Implementasi desain pembelajaran elips pusat
(h,k).
B. Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif. Penelitian kualitatif adalah
penelitian yang mencoba memahami fenomena dalam setting dan konteks
naturalnya.37 Desain penelitian kualitatif ini lebih fleksibel dan tidak kaku,jadi
langkah selanjutnya akan ditentukan oleh temuan selama proses penelitian.38.
Perubahan desain penelitian kualitatif harus dirancang secara lengkap dan rinci
agar terlihat bagian mana saja yang terjadi perubahan.
37 Samiaji Sarosa, Penelitian Kualitatif Dasar – Dasar, (Jakarta : PT INDEKS, 2017), h.8
38 Samiaji Sarosa, Ibid.,h.11
30
Desain yang digunakan penulis dalam penelitian ini berupa Didactical
Design Research (Penelitian Desain Didaktis). Desain didaktis merupakan
rancangan bahan ajar yang disusun berdasarkan tes learning obstacle pada
suatu materi tertentu, dengan harapan dapat meminimalisasi hambatan yang
dialami oleh siswa.39 Penelitian desain didaktis terdiri dari tiga tahapan, yaitu
:40 (1) analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran; (2) analisis
metapedadidaktik ; (3) analisis retrosfektif, yaitu analisis yang mengaitkan
hasil analisis situasi didaktis hipotesis dengan analisis metapedadidaktik.
Tahapan – tahapan yang dilaksanakan dari awal penelitian hingga
penyusunan laporan penelitian sebagai berikut :
1. Tahap Analisis Situasi Didaktis Sebelum Pembelajaran.
a. Menentukan pokok bahasan dalam matematika yang akan menjadi
bahan dalam penelitian, dalam penelitian ini mengenai pokok bahasan
elips pada irisan kerucut.
b. Menganalisis pokok bahasan elips pada irisan kerucut.
c. Repersonalisasi yaitu tahapan dimana peneliti melakukan analisis
buku paket matematika yang digunakan siswa dan bahan ajar yang
digunakan guru pada materi yang akan diteliti, serta memahami
penelitian terdahulu yang mengkaji hambatan belajar yang sudah
ditemukan.
d. Menyusun dan mengonsultasikan instrumen tes learning obstacle
yang dialami siswa.
e. Melakukan tes learning obstacle dan melakukan wawancara kepada
siswa yang sudah mempelajari materi elips sebelumnya.
f. Melakukan observasi, dokumentasi, dan wawancara kepada guru mata
pelajaran terkait pengalamannya selama proses pembelajaran materi
elips.
39 Edya Kresna Annizar dan Didi Suryadi, Desain Didaktis Pada Konsep Luas Daerah Trapesium
Untuk Kelas V Sekolah Dasar,EduHumaniora: Jurnal Pendidikan Dasar,Vol.8, No.1,ISSN: 2085-
1243, 2016, h.23 40 Didi Suryadi, Op.Cit.,h.12
31
g. Menganalisis hasil tes learning obstacle dan wawancara untuk
mengidentifikasi learning obstacle materi elips.
h. Melakukan rekontektualisasi yaitu membuat sebuah alternatif alur
pembelajaran berdasarkan analisis tes learning obstacle dan analisis
materi berbagai sumber.
i. Menyusun dan mengonsultasikan desain didaktis awal yang sudah
dibuat kepada orang yang ahli di bidangnya. Desain didaktis ini dibuat
sesuai dengan learning obstacle yang telah diidentifikasi.
j. Membuat prediksi respon siswa yang mungkin muncul pada saat
desain didaktis diimplementasikan dan mempersiapkan antisipasi dari
repon yang muncul.
2. Tahap Analisis Metapedadidaktik
a. Mengimplementasikan desain didaktis yang telah disusun
b. Menganalisis situasi, respon siswa, dan antisipasi terhadap respon
siswa saat desain diimplementasikan
3. Tahap Analisis Retrosfektif
a. Mengaitkan hasil ananlisis situasi didaktis hipetisi dengan analisis
metapedadidaktik.
b. Menganalisis kemunculan learning obstacle yang sudah
teridentifikasi sebelumnya.
c. Melakukan revisi terhadap desain didaktis yang disusun berdasarkan
respon siswa
d. Menyusun laporan akhir penelitian
C. Subyek Penelitian
Subyek penelitian ini dibagi menjadi dua kelompok. Kelompok pertama
adalah siswa SMA yang telah mempelajari konsep elips untuk diberikan tes
learning obstacle, yaitu kelas XI dengan program MIPA. Subjek penelitian
kelompok kedua adalah siswa yang akan diberikan pembelajaran
menggunakan desain didaktis konsep elips , yaitu kelas XI program MIPA.
32
D. Teknik Pengumpulan Data
Teknik pengumpulan data yang dilakukan penelitian ini adalah melalui
studi literatur dan studi lapangan. Secara khusus, pengumpulan data dalam
penelitian ini yaitu dengan menggunakan tes learning obstacle, wawancara,
observasi, dan dokumentasi. Wawancara dilakukan setelah melaksanakan tes
learning obstacle. Sedangkan observasi dilakukan secara langsung selama
pelaksanaan tes learning obstacle, wawancara, dan implementasi desain
didaktis. Dokumentasi dilakukan untuk memperoleh data langsung dari tempat
penelitian, buku – buku, dan data lain yang relevan.
E. Teknik Analisis Data
Dalam penelitian desain didaktis ini akan dilakukan tiga tahapan
penelitian, yaitu analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran, analisis
metapedadidaktik, dan analisis retrosfektif. Maka tahapan analisis data dalam
penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran (prospektif), yaitu analisis
tes learning obstacle dan hasil wawancara untuk mengidentifikasi
learning obstacle konsep elips pada irisan kerucut. Setelah itu dilakukan
penyusunan desain didaktis dengan konsep elips pada irisan kerucut.
2. Analisis metapedadidaktik, yaitu analisis situasi dan berbagai respon saat
desain didaktis konsep elips diimplementasikan
3. Analisis retrospektif, yaitu analisis hasil implementasi desain didaktis awal
beserta respon – respon siswa yang munul. Hasil analisis ini berupa desain
didakits revisi.
33
BAB IV
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Proses penelitian desain didaktis ini dilakukan dalam tiga tahap analisis yang
diformulasikan berdasarkan tahap berpikir guru. Tahap pertama, dilakukan sebelum
pelaksanaan pembelajaran yaitu analisis prospektif dimana difokuskan pada
kegiatan analisis learning obstacle, rekontekstualisasi dan repersonalisasi.
Kegiatan rekontekstualisasi dan repersonalisasi bertujuan sebagai dasar
pengembangan desain didaktis hipotesis dan antisipasi didaktis pendagogis (ADP).
Tahap kedua, dilakukan selama pembelajaran berlangsung dengan menerapkan
analisis metapedadidaktik. Tahap ketiga, setelah pelaksanaan proses pembelajaran,
dilakukan analisis retrospektif, yaitu merefleksikan apa yang terjadi selama
kegiatan pembelajaran berlangsung kemudian dikaitkan dengan desain didaktis
hipotesis. Ketiga tahap tersebut diformulasikan sebagai langkah untuk
mendapatkan desain didaktis empirik yang dapat dikembangkan dan
disempurnakan.
A. Analisis Prospektif
Analisis prospektif merupakan analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran
yang terdiri dari tiga analisis yaitu learning obstacle, repersonalisasi dan
rekontekstualisasi, serta pengembangan desain didaktis. Analisis learning obstacle
ialah memetakan dan menguraikan semua hambatan yang dialami oleh peserta
didik pada konsep elips. Analisis repersonalisasi dan rekontekstualisasi ialah
menganalisis konteks materi elips dengan mempertimbangkan hambatan belajar
siswa (learning obstacle) dan lintasan belajar siswa (learning trajectory).
Pengembangan desain didaktis disusun berdasarkan hasil analisis repersonalisasi
dan rekontekstualisasi. Hasil pengembangan desain tersebut berupa desain didaktis
hipotesis yang terdiri dari Hypothetical Learning Trajectory (HLT) dan Lembar
Kerja Siswa (LKS).
34
1. Analisis Learning Obstacle Materi Elips
Dalam penyusunan desain bahan ajar yang baik perlu dilakukan identifikasi
learning obstacle yang dialami oleh siswa pada konsep yang akan dipelajari, dalam
hal ini ialah konsep elips pada irisan kerucut. Setelah mengidentifikasi learning
obstacle langkah selanjutnya ialah menganalisisnya sebagai pertimbangan dalam
pembuatan desain bahan ajar yang sesuai dengan kebutuhan siswa. Hal ini
dilakukan agar dapat mengatasi hambatan yang dialami oleh siswa sebelumnya.
Dalam mengidentifikasi learning obstacle konsep elips, peneliti menyusun
instrumen tes yang terdiri dari enam butir soal yang mewakili seluruh konsep elips.
Instrumen tes tersebut di uji cobakan kepada siswa SMA Plus Pembangunan Jaya
kelas XI MIPA yang terdiri dari 23 siswa. Siswa yang mengikuti tes tersebut telah
mempelajari materi elips pada semester ganjil. Setelah melaksanakan tes, peneliti
melakukan wawancara kepada siswa.
Berdasarkan hasil tes instrumen tersebut, peneliti menemukan beberapa
learning obstacle yang difokuskan pada hambatan yang bersifat epistimologi
berdasarkan respon siswa setelah instrumen diberikan. Berikut ini adalah proses
pengerjaan siswa dalam menyelesaikan soal berkaitan dengan konsep elips.
Tabel 4. 1
Kodifikasi dan Persentase Hambatan Siswa pada Konsep Elips
No.S
oal
Kod
ifik
asi
Hambatan yang dialami siswa
Persentase learning
obstacle awal
/ Kode
hambatan
/ Butir
Soal
1 1A
Siswa tidak dapat membaca unsur-
unsur pada elips yang berpusat di
(0,0) maupun (h,k) di koordinat
kartesius
79,13% 79,13%
2
2A Siswa lupa dengan formula lactus
rectum 29,13%
46,30%
2B
Siswa yang keliru dalam
menggunakan persamaan elips
tegak yang berpusat di (0,0)
63,48%
3 3A Siswa yang keliru dalam
menentukan jari-jari mayor dan titik 64,78% 68,48%
35
fokus pada elips datar yang berpusat
di (h,k)
3B
Siswa keliru dalam menggunakan
persamaan elips datar yang berpusat
di (h,k)
72,17%
4
4A
Siswa yang mengalami kesulitan
mengubah persamaan bentuk umum
elips menjadi persamaan elips
sederhana
93,91%
96,09%
4B
Siswa keliru dalam menentukan titik
fokus dan titik pusat pada elips yang
berpusat di (h,k)
98,26%
5
5A
Siswa keliru dalam menentukan
jari-jari mayor dan minor pada elips
yang berpusat di (0,0)
96,52%
98,26%
5B Siswa keliru dalam menggunakan
elips yang berpusat di (0,0) 100,00%
6
6A
Siswa keliru dalam menentukan
jari-jari mayor dan minor pada elips
yang berpusat di (0,0)
84,78%
92,39%
6B
Siswa keliru dalam menentukan
jarak fokus ke titik pusat
menggunakan phytagoras
100,00%
Persentase rata-rata hambatan epistimologis siswa
pada konsep Elips 80,20%
Keterangan :
Persentase /kode hambatan siswa : 100% − (𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟
𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎 𝑥 𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑥100%)
Persentase /butir soal : rata-rata persentase hambatan tiap butir soal
Secara keseluruhan dapat dilihat dari presentase rata-rata hambatan
epistimologis siswa pada konsep elips yaitu sebesar 80,20%. Hal ini menunjukkan
bahwa masih banyak siswa yang mengalami hambatan pada konsep elips. Tentunya
hal ini perlu menjadi perhatian untuk mencari apa saja penyebab hambatan tersebut,
sehingga menjadikan sebagai dasar pertimbangan untuk mengembangkan desain
didaktis yang sesuai agar dapat mengatasi hambatan epistimologis siswa.
Berikut ini merupakan peta hambatan serta analisis hambatan siswa pada
konsep elips.
36
Gambar 4. 1
Peta Hambatan Epistimologis Siswa pada Konsep Elips
Berdasarkan data hasil identifikasi learning obstacle konsep elips yang
diujicobakan kepada beberapa subjek, hambatan epistimologis siswa terkait konsep
elips dikelompokkan sebagai berikut.
1. Definisi dan unsur-unsur elips
Pada kelompok ini, siswa mengalami hambatan atau hambatan dalam
membaca apa saja unsur-unsur dari gambar elips yang telah disajikan. Hal ini
menyebabkan siswa tidak dapat membedakan unsur-unsur yang terdapat pada
dua gambar elips yang berbeda.
2. Elips berpusat di (0,0)
Pada kelompok ini, siswa mengalami hambatan dalam menggunakan
persamaan elips di (0,0). Selain itu, siswa keliru dalam menentukan jari-jari
mayor & minor, panjang sumbu mayor & minor, lactus rectum, serta jarak
fokus ke titik pusat menggunakan phytagoras.
37
3. Elips berpusat di (h,k)
Pada kelompok ini, siswa mengalami hambatan dalam menggunakan
persamaan elips di (h,k); siswa keliru dalam mengubah persamaan bentuk
umum ke persamaan sederhana; serta siswa hambatan menentukan jari-jari
mayor & minor, titik pusat, dan titik fokus.
Sebagian besar hambatan yang dialami siswa adalah kekeliruan dalam
mengaplikasikan rumus-rumus dalam suatu masalah. Hal ini dikarenakan siswa
cenderung menghafal jenis-jenis elips beserta rumusnya, sehingga siswa bingung
dalam penggunaan rumus persamaan elips maupun unsur-unsur elips pada masalah
yang berbeda dari biasanya. Berikut ini adalah analisis hambatan siswa pada konsep
elips berdasarkan uji identifikasi learning obstacle.
a. Analisis hambatan definisi dan unsur-unsur elips
Sebagian besar siswa mengalami hambatan dalam membaca unsur-unsur elips,
hal tersebut disebabkan karena siswa cenderung menghafalkan unsur-unsur secara
umum. Hal ini juga menyebabkan siswa bingung ketika disajikan gambar yang
berbeda. Berikut ini soal nomor 1 beserta kesalahan siswa terkait unsur-unsur elips.
Soal nomor 1 :
Tuliskan perbedaan-perbedaan dari dua gambar berikut !
Soal nomor satu merupakan soal yang mencakup kemampuan siswa dalam
menganalisis unsur-unsur elips pada sebuah koordinat kartesius. Rata-rata siswa
38
yang tidak menguasai soal nomor satu sebanyak 79,13%. Siswa mengalami
hambatan ketika membaca apa saja unsur-unsur yang terdapat pada dua bentuk elips
yang berbeda. Dalam soal ini, siswa diminta untuk menuliskan unsur-unsur yang
terdapat dari dua bentuk elips yang telah disajikan. Berikut hambatan siswa dalam
menyelesaikan soal nomor 1.
Gambar 4. 2
Respon Kesulitan Siswa Membaca Unsur –Unsur Soal Nomor 1
Pada gambar 4.2, sebanyak 79,13% siswa tidak dapat membaca unsur-unsur
elips selain bentuk dan titik pusat pada kedua gambar elips tersebut. Hal ini
dikarenakan siswa cenderung menghafalkan unsur-unsur tanpa melihat bentuk elips
pada koordinat kartesius. Berdasarkan hasil wawancara salah satu perwakilan siswa
menyatakan tidak tuntas menjawab soal nomor 1, dikarenakan siswa lupa dengan
unsur –unsur elips baik yang berpusat di (0,0) maupun di (h,k). Hal ini
menunjukkan bahwa siswa hanya melakukan penghafalan dan tidak memahami
unsur-unsur elips secara utuh.
b. Analisis hambatan elips yang berpusat di (0,0)
Sebagian besar siswa mengalami hambatan pada konsep elips yang berpusat di
(0,0) baik masalah dalam bentuk gambar maupun masalah kontekstual. Hal ini
diutarakan oleh beberapa siswa yang telah diwawancarai terkait hambatan pada
konsep elips yang berpusat di (0,0). Hambatan yang dialami siswa terkait masalah
kontekstual yaitu siswa tidak dapat memahami masalah tersebut, sehingga siswa
tidak dapat menafsirkan informasi yang terdapat pada masalah tersebut. Berikut ini
39
soal nomor 2 beserta kesalahan siswa terkait menggunakan formula latus rectum
dan persamaan elips berpusat (0,0)
Soal nomor 2 :
Tentukan persamaan elips yang berpusat di titik asal O(0,0), sumbu mayor pada
sumbu y dengan panjang 4 satuan, serta panjang lactus rectum sama dengan 9/2 !
Soal nomor dua merupakan soal yang mencakup kemampuan siswa
menentukan persamaan elips jika diketahui beberapa unsur. Rata-rata siswa yang
tidak menguasai soal nomor dua sebanyak 46,30%. Siswa mengalami hambatan
ketika menentukan jari-jari minor menggunakan formula lactus rectum. Dalam soal
ini, siswa diminta untuk mencari jari-jari mayor dari panjang sumbu mayor yang
telah diketahui, lalu mencari jari-jari minor menggunakan formula lactus rectum
kemudian mensubstitusikan jari-jari mayor dan jari-jari minor ke dalam persamaan
elips. Berikut kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal nomor 2.
Gambar 4. 3
Respon Kesulitan Siswa dalam Menggunakan Formula Latus Rectum Soal
Nomor 2
Pada jawaban siswa diatas, sebanyak 29,13% siswa belum benar dalam
menentukan jari-jari minor dari formula lactus rectum. Namun, siswa benar dalam
menentukan jari-jari mayor dari panjang sumbu mayor yang telah diketahui di soal
tersebut. Siswa tersebut berpikir 2 (𝑏2
2) = 2 (
9
2), sehingga 𝑏2 = 9 → 𝑏 = 3.
Selanjutnya siswa tersebut mensubstitusikan 𝑎 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 3 kedalam persamaan
elips.
40
Gambar 4. 4
Respon Kesulitan Siswa Menggunakan Persamaan Elips Pusat (0,0) Soal
Nomor 2
Pada gambar diatas, sebanyak 63,48% siswa sudah benar dalam menentukan
jari-jari minor dan jari-jari mayor dengan menggunakan apa yang sudah diketahui
sebelumnya pada soal. Namun, siswa tersebut keliru dalam menggunakan
persamaan elips, yang seharusnya persamaan elips yang digunakan adalah 𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1. Berikut ini soal nomor 5 beserta kesalahan siswa terkait menentukan jari-
jari mayor & minor dan persamaan elips berpusat (0,0).
Soal nomor 5 :
Suatu kelengkungan tanah yang berlubang berbentuk setengah ellips dengan lebar
alas 48 meter dan tinggi 20 meter. Berapa lebar kelengkungan itu pada ketinggian
10 meter dari alas !
Soal nomor lima merupakan soal yang mencakup kemampuan siswa dalam
menyelesaikan permasalahan elips dalam kehidupan sehari-hari dengan
menggunakan unsur-unsur dan persamaan elips. Rata-rata siswa yang tidak
menguasai soal nomor lima sebanyak 98,26%. Siswa mengalami hambatan dalam
menafsirkan lebar alas 48 meter sebagai panjang sumbu mayor dan ketinggian
41
lubang tersebut 20 meter sebagai jari-jari minor. Dalam soal ini, siswa diminta
untuk mencari jari-jari alas serta jari-jari dari ketinggian lubang, lalu disubstitusikan
ke dalam persamaan elips berikut 𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1. Dengan begitu dapat diperoleh lebar
kelengkungan pada ketinggian 10 meter dengan mensubstitusikan 10 meter
kedalam bentuk persamaan elips sebelumnya. Berikut kesulitan siswa dalam
menyelesaikan soal nomor 5.
Gambar 4. 5
Respon Kesulitan Siswa Menentukan Jari-Jari Mayor dan Minor Soal
Nomor 5
Pada jawaban diatas, sebanyak 96,52% siswa tersebut tidak menyelesaikan soal
dengan cara yang semestinya. Hal ini dapat dilihat dari jawaban siswa tersebut
hanya menuliskan jawaban berdasarkan logika. Siswa tersebut membuat
kesimpulan lebar alas yang awal bagian kanan dan kirinya dikurangi 2 meter,
sehingga diperoleh 48𝑚 − 2𝑚 − 2𝑚 = 44𝑚 pada saat ketinggian 10 meter. Hal
ini mengakibatkan sebanyak 100% siswa tidak mampu menyelesaikan hingga
memsubstitusikannya ke dalam persamaan elips.Berikut ini soal nomor 6 beserta
kesalahan siswa terkait menentukan jari-jari mayor & minor dan jarak fokus ke titik
pusat menggunakan phytagoras pada elips berpusat (0,0).
Soal nomor 6 :
Di suatu kota terdapat sebuah taman bermain. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu
jalan berbentuk elips dengan panjang mayor dan minor berturut-turut 442 meter
dan 342 meter. Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur
pada masing – masing sisi taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut
!
42
Soal nomor enam merupakan soal yang mencakup kemampuan siswa dalam
menyelesaikan permasalahan elips dalam kehidupan sehari-hari dengan
menggunakan unsur-unsur elips. Rata-rata siswa yang tidak menguasai soal nomor
enam sebanyak 92,39%. Siswa mengalami hambatan dalam menafsirkan
pertanyaan yang menanyakan jarak antara air mancur yang sebenarnya mencari
panjang fokus 1 dengan fokus 2. Dalam soal ini, siswa diminta untuk mencari jarak
antar air mancur pertama ke air mancur kedua, lalu siswa diminta untuk mencari
jari-jari mayor dan minor dari panjang mayor dan minor yang telah diketahui pada
soal. Dengan begitu diperoleh jarak fokus dari titik pusat dengan menggunakan
phytagoras. Berikut kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal nomor 6.
Gambar 4. 6
Respon Kesulitan Siswa Menentukan Jari-Jari Mayor dan Minor Soal
Nomor 6
Pada jawaban siswa diatas, sebanyak 84,78%% siswa tidak menyelesaikan soal
dengan semestinya. Hal ini dapat dilihat dari jawaban siswa tersebut hanya
menyatakan jari-jari minor dan jari-jari mayor. Seluruh siswa tidak dapat
menyelesaikan permsalahan diatas hingga menenukan jarak kedua air mancur.
43
c. Analisis hambatan elips yang berpusat di (h,k)
Sebagian besar siswa mengalami hambatan yang sama dengan elips yang
berpusat di (0,0) pada konsep elips yang berpusat di (h,k) yaitu baik masalah dalam
bentuk gambar maupun masalah kontekstual. Hal ini diutarakan oleh beberapa
siswa yang telah diwawancarai terkait hambatan pada konsep elips yang berpusat
di (h,k). Hambatan yang dialami siswa terkait masalah kontekstual yaitu siswa tidak
dapat memahami masalah tersebut , sehingga siswa tidak dapat menafsirkan
informasi yang terdapat pada masalah tersebut. Berikut ini soal nomor 3 beserta
kesalahan siswa terkait menentukan jari-jari mayor & minor dan menggunakan
persamaan elips berpusat (h,k).
Soal nomor 3 :
Perhatikan gambar di bawah ini !
Soal nomor tiga merupakan soal yang mencakup kemampuan siswa
menentukan persamaan elips jika diketahui beberapa unsur dalam bentuk gambar
pada koordinat kartesius. Rata-rata siswa yang tidak menguasai soal nomor tiga
sebanyak 68,48%. Siswa mengalami hambatan ketika menentukan jari-jari minor
dan jari-jari mayor pada gambar. Dalam soal ini, siswa diminta untuk mencari jari-
jari mayor menggunakan salah satu titik puncak yang telah diketahui pada gambar
dan mencari jarak fokus dari titik pusat menggunakan salah satu titik fokus yang
telah diketahui pada gambar, kemudian mencari jari-jari minor menggunakan
rumus phytagoras lalu substitusi jari-jari minor dan mayor ke dalam persamaan
elips . Berikut kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal nomor 3.
Tentukan persamaan elips dari
gambar berikut !
44
Gambar 4. 7
Respon Kesulitan Siswa Menentukan Jari-Jari Mayor& Minor serta Titik
Fokus Soal Nomor 3
Pada jawaban siswa diatas, sebanyak 64,78% siswa sudah benar dalam
menentukan titik pusat dan 2 titik fokus berdasarkan gambar yang sudah disajikan.
Siswa tersebut menggunakan rumus jumlah jarak titik sembarang (T) pada elips
terhadap dua titik fokus sama dengan 2a untuk menentukan jari-jari mayor.
Selanjutnya, siswa tersebut mensubstitusikan titik sumbu x pada titik fokus 1 (F1)
dan titik sumbu x pada titik fokus 2 (F2) kedalam persamaan TF1 + TF2 = 2a. Hal
ini keliru, dikarenakan jarak titik T ke F1 maupun T ke F2 bukan berasal dari titik
fokus itu sendiri.
Gambar 4. 8
Respon Kesulitan Siswa Menggunakan Persamaan Elips Pusat (h,k) Soal
Nomor 3
Pada jawaban diatas, sebanyak 72,17% siswa belum benar dalam penggunaan
rumus persamaan elips yang berpusat di (h,k). Siswa tersebut tidak mengkuadratkan
(𝑥 − 𝑝) dan (𝑦 − 𝑞), sehingga persamaan elips yang benar menjadi (𝑥−𝑝)2
𝑎2+
(𝑦−𝑞)2
𝑏2= 1. Berdasarkan hasil wawancara beberapa siswa dan kesalahan diatas
dapat disimpulkan bahwa siswa tersebut tidak mengetahui cara mendapatkan jari-
jari mayor, jari- jari minor , serta titik fokus berdasarkan gambar yang telah
disajikan. Berikut ini soal nomor 4 beserta kesalahan siswa terkait menentukan titik
fokus dan titik pusat elips berpusat (h,k):
45
Soal nomor 4 :
Tentukan titik fokus dan titik pusat dari persamaan 25𝑥2 + 9𝑦2 + 100𝑥 − 36𝑦 −89 = 0!
Soal nomor empat merupakan soal yang mencakup kemampuan siswa dalam
menentukan titik fokus dan titik pusat dari bentuk umum persamaan elips. Rata-rata
siswa yang tidak menguasai soal nomor empat sebanyak 96,09%. Siswa mengalami
hambatan ketika menjabarkan bentuk umum persamaan elips menjadi persamaan
elips yang sederhana. Dalam soal ini, siswa diminta untuk menjabarkan dan
memanipulasi bentuk umum persamaan elips sehingga membentuk persamaan elips
sederhana. Dengan begitu dapat titik pusat, jari-jari mayor, jari-jari minor, dan jarak
fokus dari titik pusat, lalu untuk memperoleh titik fokus dengan menggunakan
formula titik fokus pada elips yang berpusat di (h,k). Berikut kesulitan siswa dalam
menyelesaikan soal nomor 4.
Gambar 4. 9
Respon Kesulitan Siswa Menentukan Titik fokus dan Titik Pusat Elips Pusat
(h,k) Soal Nomor 4
Pada jawaban siswa diatas, sebanyak 93,91% siswa tersebut tidak menjabarkan
persamaan bentuk umum elips, melainkan siswa tersebut langsung menyatakan jari-
jari minor dan jari-jari mayor kedalam bentuk persamaan elips sederhana. Siswa
tersebut menyatakan jari-jari minor adalah 5 yang merupakan kuadratdari
persamaan 25𝑥2 + 9𝑦2 + 100𝑥 − 36𝑦 − 89 = 0 dan jari-jari mayor adalah 3 yang
merupakan kuadrat dari persamaan 25𝑥2 + 9𝑦2 + 100𝑥 − 36𝑦 − 89 = 0. Setelah
mendapatkan jari-jari minor dan jari–jari mayor, siswa tersebut menyatakan jarak
titik fokus dari titik pusat (c) adalah 4 dengan menggunakan phytagoras. Siswa
tersebut juga mengganggap bahwa titik pusat persamaan tersebut berada pada (0,0).
Sebanyak 98,26% siswa tidak dapat menyelesaikan hingga menemukan titik pusat
dan titik fokus.
46
Berdasarkan hasil wawancara beberapa siswa, mereka tidak menjawab nomor
4 secara tuntas. Mereka menyatakan tidak terbiasa dengan soal semacam ini, karena
soal seperti ini jarang digunakan sebagai latihan di sekolah. Dalam penyampaian
guru di kelas soal semacam ini menggunakan rumus cepat dan mereka lupa apa
rumus cepatnya. Menurut penuturan guru matematika di sekolah tersebut
menyatakan bahwa beliau hanya sekilas membahas soal semacam ini. Hal ini
disebabkan waktu yang dibutuhkan untuk membahas elips secara mendetail tidak
cukup, karena materi irisan kerucut tidak hanya elips.
Berdasarkan hasil analisis kemampuan siswa dalam mengerjakan soal tentang
konsep elips pada irisan kerucut, diperoleh beberapa hambatan yang dialami oleh
siswa. Hambatan siswa (learning obstacle) pada hal ini dibagi menjadi 2 jenis, yaitu
:
a) Jenis 1 : learning obstacle terkait materi pendukung yaitu :
(1) Siswa tidak dapat membaca elips pada koordinat kartesius
(2) Siswa tidak dapat memanipulasi aljabar
b) Jenis 2 : learning obstacle terkait dengan konsep elips pada irisan kerucut yaitu;
(1) Siswa tidak dapat membaca unsur-unsur pada elips
(2) Siswa keliru dalam menggunakan persamaan elips yang berpusat di (0,0)
(3) Siswa keliru dalam menentukan jari-jari mayor, jari-jari minor, titik fokus,
panjang sumbu mayor pada elips yang berpusat di (0,0)
(4) Siswa keliru dalam menggunakan persamaan elips yang berpusat di (h,k)
(5) Siswa keliru dalam menentukan jari-jari mayor, jari-jari minor, titik fokus,
panjang sumbu mayor pada elips yang berpusat di (h,k)
(6) Siswa yang mengalami hambatan mengubah persamaan bentuk umum elips
menjadi persamaan elips sederhana
Hasil analisis hambatan - hambatan yang muncul pada respon siswa dalam
menjawab masalah elips akan dijadikan acuan prediksi respon siswa guna
menyusun antisipasi didaktis pendagogis agar dapat meminimalisasi dan
mengurangi hambatan yang dialami oleh siswa.
47
2. Repersonalisasi dan Rekontekstualisasi
Sebelum melakukan pengembangan desain didaktis peneliti melakukan
kegiatan repersonalisasi dan rekontekstualisasi terlebih dahulu. Kedua kegiatan
tersebut berguna untuk memprediksi dan mengantisipasi berbagai hambatan peserta
didik dalam mempelajari konsep matematika.
a. Repersonalisasi
Kegiatan repersonalisasi, peneliti melakukan analisis buku teks matematika
peminatan, mengkaji serta eksplorasi konteks yang digunakan dalam penelitian
guna menghubungkan konsep matematika yang akan dipelajari. Sebelum membuat
bahan ajar, guru perlu memahami konsep materi pembelajaran yang akan diajarkan.
Eksplorasi konteks dilakukan untuk menganalisis konsep elips dari beberapa
sumber yang tersedia. Bahan yang eksplorasi yang digunakan ialah buku teks
matematika peminatan yang digunakan untuk mengembangkan konsep elips.
Buku teks yang digunakan di sekolah tempat peneliti melakukan penelitian
yaitu buku matematika peminatan kelas XI penerbit I dan buku teks matematika
peminatan kelas XI penerbit II. Eksplorasi konsep dimulai dengan menganalisis
peta konsep yang disajikan oleh kedua buku tersebut. Namun, kedua buku tersebut
tidak memaparkan peta konsep materi elips secara khusus, sehingga peneliti
melakukan analisis dan didapatkan peta konsep sebagai berikut.
Gambar 4. 10
Peta Konsep Elips
Penyajian konsep elips pada kedua buku yang dijadikan sumber belajar cukup
lengkap, hanya saja peneliti menemukan kekurangan dari masing-masing kedua
buku tersebut. Hal ini akan menjadi fokus peneliti untuk mengembangkan dalam
penyajian materi elips. Ketika analisis penyajian konsep pada kedua buku tersebut
48
dilakukan, peneliti mendapatkan bahwa buku teks matematika peminatan kelas XI
pada penerbit I membahas unur-unsur elips yang berpusat di (h,k) dengan
menyajikan bentuk elips mendatar maupun tegak dengan koordinat yang cukup
jelas. Namun penyajian bentuk elips tersebut tidak dapat menuntun siswa untuk
mendapatkan konsep elips yang berpusat di (h,k).41 Berikut gambar penyajian
konsep elips yang berpusat di (h,k).
Gambar 4. 11
Sajian Konsep Elips (h,k) di Buku Matematika peminatan Penerbit I
Berdasarkan gambar di atas, siswa langsung diberikan gambar elips mendatar
atau horizontal pada sistem koordinat kartesius, lalu dilanjutkan dengan pemaparan
unsur-unsur yang terdapat pada elips yang berpusat di (h,k). Hal ini menyebabkan
siswa cenderung membedakan dari titik pusat dan bentuknya saja, tanpa harus
mengetahui terdapat konsep yang membedakan antara elips yang berpusat di (0,0)
dan elips yang berpusat di (h,k). Menurut peneliti, sajian materi pada buku penerbit
I kurang memberikan arahan untuk membedakan bentuk elips yang berpusat di
(0,0) dengan elips yang berpusat di (h,k) dari sisi konsep.
41 Nanang Priatna dan Tito Sukamto, Op.Cit.,h. 90
49
Sementara itu, penyajian konsep elips pada buku penerbit II didahului dengan
pemaparan konsep yang terjadi pada elips yang berpusat di (h,k).42 Pemaparan
konsep ini diberikan dengan tujuan agar siswa memahami konsep elips yang
berpusat di (h,k) dari dua bentuk elips yaitu elips yang berpusat di (0,0) dan elips
yang berpusat di (h,k). Namun, pada buku matematika peminatan tersebut tidak
menyajikan kedua bentuk tersebut pada sistem koordinat, melainkan hanya
menotasikan unsur-unsur yang penting saja seperti titik puncak, titik pusat, dan titik
fokus. Berikut penyajian konsep elips pada buku matematika peminatan kelas XI
penerbit II.
Gambar 4. 12
Sajian Konsep Elips (h,k) di Buku Matematika peminatan Penerbit II
Pada buku teks matematika peminatan kelas XI penerbit II, siswa dijelaskan
bahwa bentuk elips yang berpusat di (h,k) merupakan pergeseran dari bentuk elips
yang berpusat di (0,0). Hal ini menjadikan siswa memahami konsep dan unsur-
unsur elips yang berpusat di (h,k) tanpa harus menghafal. Namun, pada buku teks
ini tidak menyajikan bentuk elips menggunakan sistem koordinat kartesius. Hal
42 Wilson Simangungsong, PKS Matematika Peminatan Kelas XI SMA dan MA Kurikulum
2013, (Jakarta: Gematama,2014), h.76-77
50
tersebut menyebabkan siswa mengalami kebingungan dalam memahami unsur-
unsur elips yang berpusat di (h,k) tanpa bantuan (scaffolding). Berdasarkan hasil
analisis kedua buku teks matematika peminatan diatas, peneliti akan membahas
elips yang berpusat di (h,k) dengan menyajikan bentuk elips yang berpusat (0,0)
dan elips yang berpusat di (h,k) dengan bentuk yang sama, baik mendatar maupun
tegak pada satu sistem koordinat kartesius secara lengkap berdasarkan titik
koordinatnya. Hal tersebut akan dibahas dengan menyesuaikan teori belajar yang
digunakan pada saat penerapan desain didaktis.
b. Rekontekstualisasi
Selanjutnya, peneliti menentukan suatu alternatif proses pembelajaran
berdasarkan eksplorasi hasil analisis materi pada dua buku sumber dan hasil uji
identifikasi learning obstacle yang sudah dilakukan sebelumnya. Berdasarkan hasil
uji learning obstacle, masih lebih dari 50% siswa mengalami hambatan dalam
menyelesaikan konsep elips. Peneliti melakukan wawancara untuk lebih tepat dan
sesuai dalam menyusun desain didaktis. Hasil wawancara peneliti dengan siswa
mengungkapkan masalah konsep elips yang dianggap sulit oleh mereka ialah
membedakan unsur-unsur yang terdapat pada dua bentuk elips dengan pusat yang
berbeda. Hal ini menyebabkan siswa mengalami kekeliruan dalam menyelesaikan
masalah elips. Selain itu, siswa mengalami hambatan jika masalah yang disajikan
dalam bentuk masalah kontekstual, mereka mengungkapkan bingung mencari
informasi dari masalah tersebut. Hal ini disebabkan siswa hanya menghafal rumus
unstan untuk menyelesaikan suatu masalah. Mereka juga mengungkapkan bahwa
materi elips tidak disampaikan secara mendetail oleh gurunya, karena materi irisan
kerucut tidak hanya elips.
Guru matematika yang diwawancarai mengungkapkan bahwa kemampuan
siswa dalam menerima materi yang terlalu banyak dalam waktu yang singkat
cenderung kurang. Hal ini yang menyebabkan guru memerlukan waktu yang lebih
banyak untuk menyampaikan materi irisan kerucut ini, sehingga guru dapat
menanamkan konsep yang sesuai dan tepat pada siswa. Guru matematika
beranggapan bahwa hambatan yang dialami oleh siswa selama mempelajari konsep
elips yaitu mereka beranggapan bahwa konsep itu tidak penting dan mereka
51
cenderung memeilih menggunakan rumus instan dalam menyelesaikan suatu
masalah. Hal ini yang menyebabkan ketika siswa diberikan masalah yang berbeda,
mereka cenderung tidak akan menyelesaikannya.
Berdasarkan eksplorasi konsep yang sudah dilakukan dan hasil analisis uji
identifikasi learning obstacle, maka dihasilkan peta proses pembelajaran
sebagai berikut.
52
Ga
mb
ar
4. 13 P
eta P
rose
s P
emb
ela
jara
n K
on
sep
Eli
ps
Ber
dasa
rkan
Hie
rark
i M
ate
ri d
an
An
ali
sis
Lea
rnin
g O
bst
acl
e
53
Berdasarkan peta proses pembelajaran konsep elips yang sudah dibentuk,
konsep pertama yang akan dipelajari adalah definisi dan insur-unsur elips. Konsep
definisi dan unsur-unsur elips dimulai dengan masalah untuk menemukan bentuk
elips dari kegiatan yang terjadi pada masalah tersebut. Masalah yang diberikan
kepada siswa akan membantu untuk mendapatkan bentuk elips dari definisi elips.
Setelah itu siswa akan mempelajari unsur-unsur elips secara umum dengan bantuan
dari definisi masing-masing unsur, lalu dari definisi dan unsur-unsur yang dipelajari
siswa akan dituntun untuk menemukan jarak yang didapatkan dari posisi
berdasarkan definisi elips.
Setelah mempelajari definisi dan unsur-unsur, siswa akan diarahkan memasuki
konsep elips yang berpusat di (0,0). Pada konsep ini, peneliti menyajikan dua
gambar bentuk elips, sehingga siswa dapat membedakan bentuk elips yang berpusat
di (0,0). Selanjutnya siswa akan menotasikan unsur-unsur yang terdapat pada kedua
bentuk elips yang berpusat di (0,0), lalu siswa akan diarahkan dan dituntun untuk
menemukan persamaan elips yang berpusat di (0,0) dengan bantuan konsep
phytagoras dan persamaan elips berdasarkan definisi elips. Setelah menemukan
persamaan elips, siswa dituntun untuk menemukan formula atau rumus lactus
rectum dan eksentrisitas berdasarkan definisi dan kedua bentuk elips.
Selanjutnya siswa akan mempelajari konsep elips yang berpusat di (h,k). Pada
konsep ini, siswa akan dituntun untuk menggunakan konsep pergeseran (translasi)
untuk mengaitkan elips yang berpusat di (0,0) dan (h,k) dengan masalah
kontekstual. Setelah itu siswa dituntun untuk menotasikan masing-masing unsur
setelah adanya pergeseran, lalu siswa akan diarahkan untuk menemukan persamaan
elips yang berpusat di (h,k) dengan bantuan konsep pergeseran (translasi). Setelah
mendapatkan persamaan tersebut, siswa diminta untuk menjabarkan persamaan
tersebut dengan menggunakan konsep persamaan kuadrat agar mendapat
persamaan bentuk umum dari persamaan elips yang berpusat di (h,k).
3. Pengembangan Desain Didaktis
Pengembangan desain didaktis ini didasari berdasarkan analisis learning
obstacle dan learning trajectory siswa. Dalam pengembangan desain didaktis juga
mempertimbangkan teori-teori belajar yang terkait dengan konsep elips. Hal ini
54
bertujuan untuk meminimalisir learning obstacle siswa pada konsep elips,
khususnya pada hambatan epistimologis. Peneliti mengembangkan tiga desain
didaktis konsep elips diantaranya yaitu definisi dan unsur-unsur elips, elips pusat
(0,0), dan elips pusat (h,k).
a. Desain Didaktis Definisi dan Unsur-Unsur Elips
Salah satu hambatan yang muncul adalah hambatan siswa dalam membaca
unsur-unsur elips dengan tepat. Unsur-Unsur elips yang dibahas pada desain
didaktis ini merupakan unsur-unsur elips yang terdapat di kedua titik pusat, baik
pusat (0,0) maupun (h,k). Jadi, dapat disimpulkan pada desain ini membahas
definisi masing-masing unsur secara umum. Desain ini akan berkaitan dengan
desain selanjutnya. Sebelum mempelajari unsur-unsur, siswa perlu memahami
konsep definisi elips beserta bentuk elipsnya. Sebagai apersepsi, guru menstimulasi
siswa dengan bentuk lingkaran dan siswa diajak untuk mencari apa perbedaan
mendasar yang terdapat pada lingkaran dan elips. Selanjutnya guru memberikan
situasi sebagai dasar kegiatan untuk mengenal elips. Berikut ini situasi yang
diberikan guna mengenal elips.
Gambar 4. 14
Desain Didaktis Awal Konsep Definisi dan Unsur-Unsur Elips
55
Berdasarkan desain awal diatas, guru memberikan sebuah situasi yang
menunjang siswa untuk menemukan sendiri bentuk elips. Siswa diminta untuk
menggambar bentuk elips berdasarkan petunjuk, definisi elips, dan persyaratan
yang diberikan. Selanjutnya siswa diminta untuk memposisikan 4 siswa tersebut
sesuai dengan arahan pada alat peraga yang sudah disajikan, lalu
menggambarkan bentuk yang didapatkan dari proses tersebut. Hal ini sesuai
dengan teori Van Hiele (visualisasi) dimana siswa dapat memvisualisasikan
bentuk elips dari semula berupa definisi ke dalam bentuk gambar. Konsep seperti
ini juga sesuai dengan teori Piaget (skemata) dan Van Hiele (analisis) Siswa
dapat menemukan perbedaan bentuk elips dan lingkaran berdasarkan
pengetahuan tentang lingkaran yang telah dimiliki sebelumnya dan siswa hanya
menuangkan kembali pengetahuan (skemata) yang telah dimiliknya tersebut.
Hal ini menjadikan siswa dapat memahami dan mengerti bentuk elips beserta
ciri-cirinya berdasarkan analisis dari definisi elips yang diberikan.
Gambar 4. 15
Alat Peraga Definisi Elips
Selanjutnya, siswa diminta untuk membuktikan jumlah jarak terhadap dua
titik tertentu selalu sama setelah adanya kegiatan menggambar elips
menggunakan alat peraga, hal ini sesuai dengan teori Van Hiele (deduksi
formal). Kegiatan tersebut juga sesuai dengan teori Ausubel, dimana siswa dapat
menemukan bahwa konsep elips terdapat penjumlahan jarak terhadap titik
tertentu selalu bernilai sama. Guru memberikan arahan atau bantuan
(scaffolding) bahwa titik tertentu yang dimaksudkan ialah titik fokus. Hal
tersebut sesuai dengan teori Vygotsky, dimana guru memberikan sedikit
56
bantuan, lalu memberikan kesempatan kepada siswa untuk menyelesaikan
masalah tersebut dengan kemampuannya. Berikut desain pembuktian definisi
elips.
Gambar 4. 16
Desain Didaktis Awal Konsep Definisi dan Unsur-Unsur Elips
Selanjutnya, siswa diberikan situasi 2 berupa definisi dari masing-masing
unsur pada elips. Guru juga memberikan penjelasan dari masing – masing unsur
tersebut. Setelah itu siswa diminta untuk menotasikan dari masing-masing unsur
berdasarkan gambar ke dalam tabel yang sudah disajikan. Hal ini bertunjuan agar
siswa mampu memahami masing-masing unsur dengan melihat gambar elips
yang diberikan. Sesuai dengan teori Van Hiele (visualisai), dimana siswa mampu
memvisualisasikan masing-masing unsur pada gambar. Besar kemungkinan
siswa akan mengalami kebingungan pada saat mengisi kolom jari-jari mayor dan
jari-jari minor, karena itu guru memberikan bantuan (scaffolding) mengenai
definisi jari-jari. Setelah itu guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk
menyimpulkan apa itu jari-jari mayor dan minor, hal tersebut sesaui dengan teori
Vygotsky.Berikut situasi 2 unsur-unsur elips.
57
Gambar 4. 17
Desain Didaktis Awal Konsep Definisi dan Unsur-Unsur Elips
Selanjutnya siswa diminta untuk menemukan berapa jarak yang sama dari
penjumlahan dua titik terhadap titik tertentu. Sebelum membuktikan, siswa
dihantarkan kepada sebuah gambar elips, lalu siswa diminta untuk mengisi hasil
dari 𝐴1𝐹1 dan 𝐴2𝐹2. Setelah itu siswa diminta untuk mengaitkan pembuktian
elips yang sebelumnya dengan unsur-unsur yang diberikan. Sehingga siswa
dapat membuktikan bahwa jarak yang dimaksud ialah 2𝑎. Hal ini sesuai dengan
dengan teori Piaget, dimana siswa menngunakan pengetahuan sebelumnya
mengenai pembuktian jarak dan unsur-unsur (skemata), lalu mengaitkannya
dengan unsur-unsur elips (asimilasi). Berikut desain pembuktiannya.
Gambar 4. 18
Desain Didaktis Awal Konsep Definisi dan Unsur-Unsur Elips
b. Desain Didaktis Elips Berpusat (0,0)
Pengembangan desain didaktis ini bertujuan untuk meminimalisasi hambatan
siswa dalam menentukan unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0) dan persamaan
elips yang berpusat di (0,0). Sebelum mempelajari konsep elips yang berpusat di
(0,0), siswa perlu memahami konsep definisi elips dan unsur-unsur elips secara
utuh. Guru melakukan apersepsi dengan mengajak siswa untuk me-recall
informasi dari pembuktian definisi elips daan unsur-unsur elips pada pertemuan
58
sebelumnya. Kemudian guru memberikan situasi didaktis berikut untuk
memahami bentuk-bentuk elips yang terdapat pada elips yang berpusat di (0,0).
Gambar 4. 19
Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (0,0)
Berdasarkan gambar diatas, pada situasi 3 siswa diajak untuk melihat bentuk
orbit bumi. Pada gambar diatas disajikan bentuk orbit bumi pada posisi yang
berbeda. Hal ini bertujuan agar menstimulasi siswa dengan materi elips, sehingga
siswa mengetahui bentuk dan posisi apa yang terjadi pada orbit bumi. Sesuai
dengan teori Van Hiele (visualisasi), dimana siswa mampu mengamati bentuk
serta posisi yang terjadi pada orbit bumi. Selanjutnya diberikan situasi 4, siswa
diminta untuk menitasikan masing-masing unsur ke dalam tabel yang telah
disajikan beserta bentuk elips berpusat di (0,0) mendatar dan tegak. Guru
memberikan bantuan (scaffolding)untuk mengisi kolom jarak pusat ke titik fokus
berupa segitiga siku-siku yaitu ∆𝐵1𝑂𝐹2 untuk elips mendatar dan ∆𝐹1𝑂𝐴2 untuk
elips tegak, sehingga dapat menstimulasi siswa untuk menggunakan teorema
59
phytagoras. Hal ini sesuai dengan teori Vygotsky, dimana guru menstimulasi
siswa dengan segitiga siku- siku agar mereka menggunakan teorema phytagoras
dalam penyelesaiannya. Berikut desain unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0).
Gambar 4. 20
Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (0,0)
Setelah membahas unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0), siswa diminta
untuk menemukan persamaan elips yang berpusat di (0,0) dengan bermodalkan
definisi elips pada LKS 1. Sebelum membuktikan persamaan elips, siswa diajak
untuk menemukan konsep yang digunakan untuk mencari 𝑇𝐹1 dan 𝑇𝐹2. Guru
memberikan arahan (scaffolding) berupa ∆𝑇𝑅𝐹1 dan ∆𝑇𝑅𝐹2, sehingga siswa dapat
me-recall untuk menggunakan teorema phytagoras. Hal ini sesuai dengan teori
Vygotsky dan Ausubel, dimana siswa mendapat stimulasi dari guru berupa
segitiga siku-siku agar siswa dapat menggunakan teorema phytagoras sebagai
awal untuk menemukan konsep persamaan elips yang berpusat di (0,0). Berikut
desain persamaan elips yang berpusat di (0,0).
60
Gambar 4. 21
Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (0,0)
Selanjutnya, siswa diminta untuk menemukan konsep dari dua unsur-unsur
elips yaitu latus rectum dan eksentrisitas. Peneliti menyusun untuk menemukan
kedua unsur tersebut setelah menemukan persamaan elips yang berpusat di (0,0),
hal ini karena dalam langkah-langkah menemukan formula kedua unsur
membutuhkan persamaan elips yang berpusat di (0,0) agar terstruktur. Dalam
menemukan kedua formula dari unsur-unsur elips tersebut, peneliti menstimulasi
siswa dengan definisi dari kedua unsur dan arahan untuk membentuk gambar elips
mendatar dan tegak . hal ini dimaksudkan, agar siswa dapat mengaitkan antara
definisi unsur dengan gambar yg telah dibuat oleh siswa. Hal ini sesuai dengan
teori Ausubel, dimana siswa dapat menemukan formula latus rectum dan
eksentrisitas dengan mengaitkan definisi beserta gambar yang telah mereka buat.
Berikut desain latus rectum dan eksentrisitas.
61
Gambar 4. 22
Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (0,0)
c. Desain Didaktis Elips Berpusat (h,k)
Pengembangan desain didaktis ini bertujuan untuk meminimalisasi dan
mengurangi hambatan siswa dalam menentukan unsur-unsur elips yang berpusat
di (h,k) dan persamaan elips yang berpusat di (h,k). Berdasarkan hasil
wawancara siswa untuk hambatan pada elips yang berpusat di (h,k) ialah siswa
kebingungan dalam menentukan beberapa unsur, karena terdapat beberapa unsur
pada elips yang berpusat di (h,k) berbeda dengan elips yang berpusat di (0,0).
Hal ini disebabkan titik koordinat beberapa unsur tersebut mengalami
pergeseran, sehingga peneliti bertujuan untuk meminimalisasi kesulitan tersebut.
62
Pembelajaran pada desain ini dimulai dengan pemberian situasi 5 berupa
cerita yang mengarahkan siswa tentang konsep pergeseran. Selanjutnya siswa
akan menggambar perubahan kedua elips tersebut pada sistem koordinat yang
telah disajikan, lalu siswa diminta untuk mengisi kesimpulan konsep apa yang
terjadi pada kedua elips tersebut. Hal ini sesuai dengan teori Ausubel, dimana
siswa dapat menemukan sebuah konsep yang terjadi akibat perbuhan kedua elips
tersebut. Berikut desain didaktis konsep awal elips yang berpusat di (h,k).
Gambar 4. 23
Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (h,k)
Selanjutnya, siswa akan dihadapkan oleh situasi 6 tentang unsur-unsur elips
yang berpusat di (h,k). Pada situasi ini, peneliti memyusun tabel perbedaan
antara elips yang berpusat di (0,0) dan elips yang berpusat di (h,k), baik dalam
bentuk elips mendatar maupun elips tegak. Hal ini bertujuan agar siswa
memahami perubahan titik koordinat dari beberapa unsur elips akibat terjadinya
pergeseran. Sesuai dengan teori Piaget, dimana siswa menggunakan konsep elips
yang berpusat di (0,0) (skemata) untuk menyambungkan konsep elips yang
63
berpusat di (h,k) (akomodasi). Berikut desain unsur-unsur elips yang berpusat di
(h,k).
Gambar 4. 24
Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (h,k)
ELIPS TEGAK
64
Selanjutnya, siswa diminta untuk menemukan persamaan elips yang bepusat
di (h,k). Peneliti menyusun desain didaktis ini tidak sama dengan menemukan
konsep elips yang berpusat di (0,0),tetapi peneliti menggunakan konsep
pergeseran (translasi) pada materi geometri transformasi. Hal ini bertujuan agar
membangun pemikiran siswa bahwa pada elips yang berpusat di (h,k) benar
menggunakan konsep pergeseran, sehingga siswa dapat me-recall materi
geometri transformasi khususnya translasi. Hal tersebut sesuai dengan teori
Piaget dan Ausubel, dimana siswa akan terstimulasi untuk menggunakan materi
translasi (skemata) untuk menggambungkan dengan apa yang yang diketahui
pada elips (akomodasi), sehingga siswa dapat menemukan konep baru yaitu
persamaan elips yang berpusat di (h,k). Berikut desain didaktis persamaan elips
yang berpusat di (h,k).
Gambar 4. 25
Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (h,k)
Setelah itu, guru akan mengarahkan siswa dalam proses menemukan
persamaan bentuk umum dari persamaan sederhana elips yang berpusat di (h,k).
Hasil uji learning obstacle menunjukkan bahwa mayoritas siswa tidak
memahami cara mengubah persamaan elips bentuk umum ke dalam bentuk
sederhananya. Hal ini mendorong peneliti untuk menyusun langkah demi
65
langkah cara mengubah persamaan elips bentuk umum ke dalam bentuk
sederhana. Pada desain ini siswa diminta untuk mengisi dengan arahan arahan
yang diberikan, namun guru tetep membantu mengarahkan siswa agar arahan
arahan-arahan yang diberikan di LKS bermakna. Sesuai dengan teori Vygotsky,
dimana guru memberikan bantuan dalam proses mengubah persamaan elips
bentuk umum ke dalam bentuk sederhana. Berikut desain didaktis persamaan
bentuk umum elips yang berpusat di (h,k).
Gambar 4. 26
Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (h,k)
B. Analisis Metapedadidaktik
Analisis metapedadidaktik merupakan analisis hasil observasi yang dilakukan
pada saat pengimplementasian desain didaktis. Analisis metapedadidaktik
dilakukan berdasarkan desain didaktis dan kemungkinan-kemungkinan respon
siswa yang disertai dengan antisipasinya pada proses pembelajaran. Desain
didaktis ini diimplementasikan di SMA Cenderawasih Tangerang Selatan. Desain
ini diterapkan pada siswa kelas XI MIPA yang berjumlah 31 orang. Desain ini
66
dirancang untuk empat kali pertemuan (8 x 45 menit). Berikut ini deskripsi
pengimplementasian desain didaktis pada masing-masing kegiatan :
1. Implementasi Desain Didaktis Pertemuan Pertama
Implementasi desain didaktis pertemuan pertama dilaksanakan pada
Kamis, 28 Maret 2019 pada jam pelajaran pertama dan kedua. Pembahasan
konsep pada pertemuan pertama adalah mengenai definisi elips dan unsur-
unsur elips. Pada pertemuan ini siswa diberikan dua situasi untuk memahami
definisi dan unsur-unsur elips.
Pada kegiatan apersepsi, guru membahas kembali materi lingkaran
sebagai dasar konsep pembeda antara bentuk lingkaran dan elips. Setelah itu,
siswa dikelompokkan menjadi 6 kelompok heterogen yang masing-masing
kelompok terdiri 5-6 orang. Kemudian siswa diberikan LKS 1 yaitu definisi
dan unsur-unsur elips beserta alat peraga. Kegiatan ini dimulai dengan
pemberian situasi 1 yang terdiri dari 2 penugasan. Penugasan 1 siswa
diberikan situasi terkait menggambar pola elips berdasarkan definisi formal
yang diberikan. Berikut contoh hasil jawaban siswa pada penugasan 1.
Gambar 4. 27
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 1 pada Situasi 1
67
Gambar 4. 28
Contoh Hasil Jawaban pada Alat Peraga
Berdasarkan penugasan yang sudah dilengkapi, siswa diminta untuk
memposisikan keempat anak tersebut sesuai dengan gambar pada alat peraga
yang sudah disediakan, lalu siswa diminta untuk memutarkanTobi dan Putri
dari posisi awal dan kembali lagi ke posisi awal lagi dengan memutari Fani
dan Fido. Setelah itu, siswa mulai membentuk pola elips dengan posisi yang
sesuai dengan definisi. Beberapa siswa mengalami hambatan yang
sebelumnya sudah diprediksi. Berikut ini hambatan dan antisipasi yang
dialami siswa selama pembelajaran:
Tabel 4. 2
Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 1 pada Situasi 1
Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan
Siswa tidak berhasil mendapatkan
pola elips
Guru memberikan perintah
sebelum memutarkan Tobi dan
Putri dengan menggunakan alat
peraga papan lukis elips yang
sudah disediakan, pastikan Fani
dan Fido berada pada tempat
yang sejajar dan tetap pada
posisinya.
68
Pada penugasan 1 di atas, seluruh hambatan dapat diantisipasi sesuai
dengan prediksi yang sudah dibuat sebelumnya, dimana siswa belum benar
menggunakan alat peraga. Pada penugasan 1 juga tidak muncul hambatan
baru di luar prediksi. Seluruh siswa mampu menyelesaikan penugasan 1
dengan tepat sesuai dengan respon yang diharapkan.
Setelah itu, siswa diminta untuk melengkapi penugasan 2 yang berkaitan
dengan penugasan 1. Pada penugasan 2 merupakan pembuktian definisi elips
berdasarkan pola yang yang sudah didapatkan pada penugasan 1. Berikut
contoh hasil jawaban siswa pada penugasan 2.
Gambar 4. 29
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 2 pada Situasi 1
Berdasarkan penugasan 2, siswa diminta untuk membuktikan persaman
umum elips dari definisi yang diberikan, serta mengacu pada gambar atau
jejak Tobi dan Putri di alat peraga. Setelah itu, siswa menyimbolkan sesuai
dengan petunjuk yang diketahui pada penugasan 2. Beberapa siswa
mengalami hambatan yang sebelumnya sudah diprediksi. Berikut ini
hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama pembelajaran:
Tabel 4. 3
Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 2 pada Situasi 1
No. Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan
1. Siswa salah membuat kesimpulan
yang berdasarkan definisi
Guru memberikan arahan untuk
membaca ulang definisi elips
pada cerita
2. Siswa tidak mengetahui bahwa
𝑇𝐹1 adalah jarak dari T (Tobi) ke
𝐹1 (Fani)
Guru memberikan arahan
bahwa 𝑇𝐹1 adalah jarak dari T
(Tobi) ke 𝐹1 (Fani)
69
Pada penugasan 2 di atas, seluruh hambatan dapat diantisipasi sesuai
dengan prediksi yang sudah dibuat sebelumnya, dimana siswa tidak
memperhatikan pertunjuk yang diberikan dan siswa tidak mengetahui bahwa
𝑇𝐹1 dan 𝑇𝐹2 adalah jarak. Pada penugasan 2 juga tidak muncul hambatan baru
di luar prediksi. Seluruh siswa mampu menyelesaikan penugasan 2 dengan
tepat sesuai dengan respon yang diharapkan. Dapat disimpulkan bahwa
seluruh siswa mampu menyelesaikan penugasan 1 dan penugasan 2 pada
situasi 1. Hal ini menunjukkan bahwa desain didaktis situasi 1 sudah mampu
mengatasi learning obstacle yang teridentifikasi sebelumnya.
Selanjutnya siswa diberikan situasi 2 yang terdiri dari 2 penugasan. Pada
penugasan 1 diberikan situasi dimana terdapat definisi formal dari masing-
masing unsur serta sebuah elips. Berikut contoh hasil jawaban penugasan 1
pada situasi 2.
Gambar 4. 30
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 1 pada Situasi 2
70
Berdasarkan penugasan 1, siswa diminta untuk menotasikan masing-
masing unsur elips pada tabel yang telah disajikan. Beberapa siswa
mengalami hambatan yang sebelumnya sudah diprediksi. Berikut ini
hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama pembelajaran:
Tabel 4. 4
Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 1 pada Situasi 2
Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan
Siswa tidak dapat menotasikan
jari-jari mayor dan minor
dikarenakan siswa tersebut hanya
mengetahui sumbu mayor dan
minor.
Guru memerintahkan siswa
untuk mengamati gambar elips
yang telah disajikan, serta
memberikan pertanyaan kepada
siswa “Apa pengertian jari-jari?
Jika panjang sumbu mayor
𝐴1𝐴2, maka setengah jarak
𝐴1𝐴2 adalah ....” begitu pula
dengan jari-jari minor.
Pada penugasan 1 di atas, seluruh hambatan dapat diantisipasi sesuai
dengan prediksi yang sudah dibuat sebelumnya, dimana siswa kebingungan
memahami jari-jari mayor dan jari-jari minor. Hal ini dikarenakan siswa
hanya terpaku pada unsur–unsur yang diketahui saja. Pada penugasan 1
terdapat hambatan baru diluar prediksi yaitu siswa tidak memahami maksud
dari sumbu utama dan sumbu sekawan. Lalu, diberikan antisipasi baru dengan
menjelaskan bahwa sumbu utama adalah sumbu simetri yang melalui titik
pusat dan kedua titik fokus elips, sedangkan sumbu sekawan yaitu sumbu
simetri yang tegak lurus dengan sumbu utama.
Setelah siswa memahami konsep definisi elips dan mampu menotasikan
masing-masing unsur, siswa diminta untuk melanjutkan melengkapi
penugasan 2. Pada penugasan 2 diberikan gambar sebuah elips beserta
simbol-simbol dari masing-masing unsur, lalu siswa diminta untuk
melengkapi langkah-langkah untuk membuktikan jarak yang tertera pada
71
definisi formal elips. Berikut contoh hasil jawaban penugasan 2 pada situasi
2.
Gambar 4. 31
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 2 pada Situasi 2
Berdasarkan penugasan 2, siswa diminta untuk melengkapi pembuktian
definisi elips berdasarkan unsur-unsur yang sudah diketahui sebelumnya..
Beberapa siswa mengalami hambatan yang sebelumnya sudah diprediksi.
Berikut ini hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama pembelajaran:
Tabel 4. 5
Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 2 pada Situasi 2
Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan
Siswa kesulitan mendapatkan
jarak 𝐴1𝐹1 dan 𝐴1𝐹2
Guru memberikan arahan
kepada siswa untuk mengamati
gambar elips yang telah
disajikan, untuk mendapatkan
𝐴1𝐹1 dengan cara
mengurangkan jarak 𝐴1𝑃 dan
jarak 𝐹1𝑃. Sedangkan untuk
mendapatkan 𝐴1𝐹2 dengan cara
menjumlahkan jarak 𝐴1𝐹1,
𝐹1𝑃, dan 𝑃𝐹2
Pada penugasan 2 di atas, seluruh hambatan dapat diantisipasi sesuai
dengan prediksi yang sudah dibuat sebelumnya, dimana siswa tidak
72
mengamati jarak yang dilalui 𝐴1𝐹1 dan 𝐴1𝐹2 . Pada penugasan 2 juga tidak
muncul kesulitan baru di luar prediksi, namun terdapat penambahan
keterangan pada prediksi kesulitan yang sudah dibuat sebelumnya. Seluruh
siswa mampu menyelesaikan penugasan 2 dengan tepat sesuai dengan respon
yang diharapkan.
Setelah menyelesaikan penugasan 2 pada situasi 2, siswa diminta untuk
menentukan kesimpulan terkait definisi elips dan persamaan elips
berdasarkan definisi elips pada LKS.
Gambar 4. 32
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Kesimpulan Definisi Elips dan
Persamaan Elips
Pada jawaban diatas, siswa sudah mampu menentukan definisi elips dan
persamaan elips berdasarkan definisi elips yang sudah dibuktikan pada situasi
1 dan situasi 2. Hal ini menunjukkan bahwa siswa sudah memahami konsep
definisi dan unsur-unsur elips.
Berdasarkan hasil analisis dari penugasan 1 dan 2 pada situasi 2 dapat
disimpulkan bahwa desain didaktis situasi 2 sudah mampu mengurangi
learning obstacle, walaupun terdapat beberapa perbaikan , yaitu penambahan
1 prediksi kesulitan dan antisipasinya pada penugasan 1 dan perluasan
prediksi berupa keterangan pada penugasan 2. Hal ini bertujuan agar desain
tersebut mampu meminimalisasi obstacle secara keseluruhan.
2. Implementasi Desain Didaktis Pertemuan Kedua
Implementasi desain didaktis pertemuan kedua dilaksanakan pada
Jum’at, 29 Maret 2019 pada jam pelajaran kelima dan keenam. Pembahasan
konsep pada pertemuan kedua adalah mengenai elips yang berpusat di (0,0).
Pada pertemuan ini siswa diberikan dua situasi untuk memahami elips yang
73
berpusat di (0,0). Sebelum memulai pembelajaran, guru melakukan apersepsi
berupa pembahasan definisi elips, unsur-unsur elips, serta persamaan elips
berdasarkan definsi elips pada pertemuan sebelumnya. Pada situasi 3
diberikan penugasan terkait membedakan bentuk elips pada kehidupan
sehari-hari. Berikut contoh hasil jawaban siswa pada situasi 3.
Gambar 4. 33
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa pada Situasi 3
Kegiatan pertama yang dilakukan siswa ialah menyatakan apa yang siswa
ketahui mengenai bentuk orbit bumi, membedakan kedua bentuk gambar
orbit, serta menyimpulkan kedua bentuk jika diketahui pusat orbit bumi
adalah (0,0). Pada penugasan ini, diprediksikan beberapa kesulitan dan
antisipasinya. Berikut ini hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama
proses pembelajaran:
74
Tabel 4. 6
Hambatan dan Antisipasi Hambatan pada Situasi 3
No. Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan
1. Siswa tidak dapat
membedakannya
Guru memberikan arahan
“sumbu horizontal dan
vertikal”
2. Siswa tidak dapat menyimpulkan
kedua bentuk elips tersebut
Dengan arahan sebelumnya
siswa dapat menyimpulkan
terdapat 2 bentuk elips yang
berpusat di (0,0)
Pada penugasan ini, hambatan dan antisipasi yang dilakukan sesuai
dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya, sehingga mampu diantisipasi
secara maksimal. Selain itu tidak ditemukan kesulitan baru dari siswa. Dapat
dikatakan bahwa seluruh siswa dapat menyelesaikan dengan tepat sesuai
dengan respon yang diharapkan. Hal ini menunjukkan bahwa desain didaktis
situasi 3 sudah mampu mengatasi learning obstacle yang teridentifikasi
sebelumnya.
Selanjutnya diberikan situasi 4 yang terdiri dari 3 penugasan. Penugasan
1 diberikan terkait unsur-unsur elips berpusat di (0,0) baik itu elips mendatar
maupun elips tegak, lalu siswa diminta untuk menotasikan masing-masing
unsur pada tabel. Berikut contoh hasil jawaban siswa penugasan 1 pada situasi
4.
75
Gambar 4. 34
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 1 pada Situasi 4
Berdasarkan penugasan yang sudah dilengkapi, siswa diminta untuk
menganalisis unsur-unsur elips dari dua bentuk elips yang berpusat di (0,0).
Pada penugasan ini, diprediksikan beberapa kesulitan disertai dengan
antisipasi untuk mengatasi kesulitan tersebut. Berikut hambatan yang dialami
siswa beserta antisipasinya selama proses pembelajaran:
Tabel 4. 7
Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 1 pada Situasi 4
No. Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan
1. Siswa tidak dapat menotasikan
panjang sumbu mayor dan
panjang sumbu minor
Guru menstimulasi siswa dengan
definisi mengenai jari- jari sumbu
mayor (a), jika ditanya panjang
76
sumbu mayor = a + a = 2a, begitu
pula dengan panjang sumbu minor
2. Siswa tidak dapat menotasikan
jarak titik fokus dari titik pusat
dengan menggunakan teorema
phytagoras
Guru memerintahkan siswa untuk
menarik garis dari titik ujung
sumbu minor ke titik fokus,
sehingga terlihat bentuk segitiga
siku-sikunya, begitu pula dengan
gambar yang kedua.
Elips mendatar
Elips tegak
Pada penugasan diatas, seluruh hambatan dan antisipasi yang dilakukan
sesuai dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya. Selain itu, terjadi
kesulitan diluar prediksi yaitu siswa keliru dalam menotasikan titik puncak
dan titik fokus pada kedua bentuk elips. Antisipasi yang diberikan terkait
kesulitan tersebut dengan menstimulasi siswa mengenai definisi dari titik
puncak dan titik fokus pada LKS 1, lalu memberikan bantuan (scaffolding)
bahwa dalam penulisan titik pada sistem koordinat ialah (x,y). Secara
keseluruhan, seluruh siswa mampu menyelesaikan penugasan 1 dengan
respon yang diharapkan.
77
Setelah siswa memahami unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0),
dilanjutkan dengan penugasan 2 yang terkait dengan menemukan persamaan
elips yang berpusat di (0,0). Berikut contoh hasil jawaban siswa pada
penugasan 2:
78
Gambar 4. 35
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 2 pada Situasi 4
Pada penugasan diatas, siswa diminta melengkapi untuk membuktikan
persamaan elips menggunakan definisi elips yang telah diketahui
sebelumnya. Beberapa siswa mengalami kesulitan yang sebelumnya sudah
diprediksi. Berikut hambatan yang dialami siswa beserta antisipasinya selama
proses pembelajaran:
79
Tabel 4. 8
Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 2 pada Situasi 4
No. Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan
1. Siswa tidak mengetahui konsep
apa yang digunakan untuk mencari
𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2
Guru mengarahkan siswa pada
gambar yang sudah diberikan.
Siswa diminta untuk
mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1,”apa yang
dibentuk oleh ∆𝑇𝑅𝐹1?”
2. Siswa kesulitan mendapatkan
jarak 𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2
Guru memberikan penjelasan
kepada siswa bahwa mencari
jarak 𝑇𝐹1 dan 𝑇𝐹2
menggunakan phytagoras,serta
formula phytagoras di dapat
dengan mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1 dan
∆𝑇𝑅𝐹2
3. Siswa keliru dalam menerapkan
persamaan kuadrat pada langkah
berikutnya
Guru menjelaskan secara
perlahan cara menjabarkan
persamaan kuadrat yang
dimaksud
4. Siswa tidak mengerti distributif Guru memberikan arahan
bahwa distributif itu
mengelompokkan hal yang
sama
5. Siswa tidak memahami
menggunakan teorema phytagoras
Guru mengarahkan siswa untuk
melihat lagi unsur-unsur kedua
bentuk elips yang berpusat di
(0,0)
6.
Siswa bingung cara mendapatkan
persamaan bentuk umum menjadi
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪
Guru menjelaskan yang didapat
dari langkah sebelumnya ialah
𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 𝑎2𝑏2
Dan memisalkan
80
𝐴 = 𝑏2
𝐵 = 𝑎2
𝐶 = 𝑎2𝑏2
Sehingga menjadi,
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪
Pada penugasan 2 diatas, terdapat 1 antisipasi yang tidak teratasi pada
hambatan 1 yaitu guru mengarahkan siswa untuk mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1 untuk
mendapatkan 𝑇𝐹1. Pada fakta di kelas, siswa juga tidak dapat mendapatkan
𝑇𝐹2, maka dari itu dibuatlah antisipasi baru yaitu guru mengarahkan siswa
untuk mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1 dan ∆𝑇𝑅𝐹2 untuk mendapatkan 𝑇𝐹1 dan 𝑇𝐹2. Selain
itu, terdapat 1 kesulitan dan antisipasinya yang tidak ditemukan selama proses
pembelajaran, yaitu siswa tidak mngerti distributif. Fakta di kelas, siswa
dapat memahami dan mengerti langkah-langkah dalam menemukan
persamaan elips yang berpusat di (0,0). Sedangkan kesulitan dan antisipasi
lainnya sesuai dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya. Seluruh peserta
mampu menyelesaikan penugasan 1 dengan tepat sesuai dengan respon yang
diharapkan. Setelah siswa menemukan persamaan elips yang berpusat di
(0,0), dilanjutkan dengan penugasan 3 pada pertemuan selanjutnya.
3. Implementasi Desain Didaktis Pertemuan Ketiga
Implementasi desain didaktis pertemuan ketiga dilaksanakan pada
Kamis, 11 April 2019 pada jam pelajaran pertama dan kedua. Pembahasan
konsep pada pertemuan ketiga adalah mengenai lanjutan dari elips yang
berpusat di (0,0). Pada pertemuan ini siswa melanjutkan penugasan 3 pada
situasi 4 terkait latus rectum dan eksentrisitas. Sebelum memulai
pembelajaran, dilakukan apersepsi terlebih dahulu.
Pada kegiatan apersepsi, siswa diingatkan kembali mengenai persamaan
elips yang berpusat di (0,0) yang sudah dipelajari pada pertemuan
sebelumnya. Hal ini dikarenakan dalam proses menemukan formula tersebut
menggunakan persamaan elips yang berpusat di (0,0)Pada penugasan 3 siswa
81
diarahkan untuk menemukan formula latus rectum dan eksentrisitas. Berikut
contoh hasil jawaban siswa pada penugasan 3.
Gambar 4. 36
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 3 pada Situasi 4
82
Pada penugasan ini, siswa Siswa diminta melengkapi untuk menemukan
formula latus rectum dan eksentrisitas dari dua bentuk elips yang berbeda.
Berdasarkan gambar diatas, siswa sudah sesuai dalam melengkapi langkah-
langkah dalam menemukan formula eksentrisitas. Selanjutnya dilanjutkan
dengan pengisian langkah-langkah untuk menemukan formula eksentristas.
Gambar 4. 37
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 3 pada Situasi 4
Pada penugasan menemukan eksentrisitas diatas, terlihat bahwa kesulitan
sesuai dengan prediksi, yaitu sulit menggambarkan sesuai dengan arahan
walaupun untuk gambar kedua bentuk elips sudah benar. Terdapat beberapa
kesulitan lainnya yang dialami oleh siswa. Kesulitan tersebut diantisipasi
dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya. Berikut kesulitan dan
antisipasi yang dialami oleh siswa selama proses pembelajaran:
83
Tabel 4. 9
Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 3 pada Situasi 4
No. Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan
1. Siswa tidak dapat menggambarkan
elips mendatar dan elips tegak
sesuai perintah
Guru menuntun siswa untuk
menggambar sesuai perintah
serta definisi latus rectum
2. Siswa tidak tahu nilai x yang
dimaksud untuk elips mendatar
dan y untuk elips tegak
Guru memberikan arahan untuk
elips mendatar “ titik fokus
berada pada sumbu ? sehingga
jarak dari titik pusat ke fokus
adalah...” begitu pula dengan
mencari nilai ya pada elips
tegak
3. Siswa tidak bisa menyamakan
penyebut
Guru memerintahkan untuk
melihat penyebut apa saja yang
ada di persamaan tersebut,
samakan kedua pecahan
tersebut dengan 𝒂𝟐 pada elips
mendatar dan 𝒃𝟐 pada elips tegak
4. Siswa tidak dapat menyatakan
formula panjang lactus rectum
Guru memberikan arahan
bahwa formula lactus rectum
pada langkah sebelumnya
hanya salah satu dari jarak titik
fokus ke titik lactus rectum,
karna panjang lactus rectum
(LR) merupakan panjang dari
titik ujung LR 1 ke titik ujung
LR 2
5. Siswa tidak dapat menggambarkan
elips mendatar dan elips tegak
Guru menuntun siswa untuk
menggambar sesuai perintah
serta definisi eksentrisitas
84
sesuai perintah untuk menemukan
eksentrisitas
6. Siswa tidak dapat menotasikan
jarak dari pusat ke titik fokus dan
jari-jari sumbu mayor
Guru memberikan arahan untuk
mengamati gambar yang telah
dibuat sebelumnya yang
berdasarkan perintah
7. Siswa tidak dapat menyatakan
formula eksentristas
Guru mengarahkan untuk
membaca ulang deskripsi dari
eksentrisitas serta melihatnya
pada gambar
Pada penugasan 3 ini, terdapat satu prediksi yang tidak muncul selama
proses pembelajaran, yaitu pada kesulitan siswa yang tidak bisa menyamakan
penyebut pada pecahan. Namun, prediksi dan antisipasi yang lainnya sesuai
dengan apa yang diprediksikan sebelumnya. Keseluruhan siswa sudah
mampu menemukan formula latus rectum dan eksentritas. Hal ini
menunjukkan bahwa siswa sudah memahami konsep elips yang berpusat di
(0,0) dengan tepat sesuai dengan respon yang diharapkan. Setelah
menyelesaikan penugasan 3 pada situasi 4, siswa diminta untuk menentukan
kesimpulan terkait persamaan elips yang berpusat di (0,0) pada LKS.
Gambar 4. 38
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Kesimpulan Elips yang
Berpusat di (0,0)
Pada jawaban diatas, siswa diminta untuk menuliskan kembali
persamaan elips yang berpusat di (0,0) yang sudah ditemukan pada penugasan
85
2 di kolom kesimpulan. Dapat dilihat bahwa siswa sudah mampu menuliskan
kembali persamaan elips yang berpusat di (0,0).
Berdasarkan hasil analisis dari penugasan 1, 2, dan 3 pada situasi 4 dapat
disimpulkan bahwa desain didaktis situasi 4 sudah mampu mengurangi
learning obstacle, walaupun terdapat beberapa perbaikan yaitu penambahan
1 prediksi kesulitan beserta antisipasinya pada penugasan 1, pengurangan 2
prediksi kesulitan dan antisipasi pada penugasan 2 dan 3, serta penambahan
1 antisipasi baru pada penugasan 2. Hal ini bertujuan agar desain tersebut
mampu meminimalisasi obstacle secara keseluruhan.
4. Implementasi Desain Didaktis Pertemuan Keempat
Implementasi desain didaktis pertemuan kedua dilaksanakan pada
Jum’at, 12 April 2019 pada jam pelajaran kelima dan keenam. Pembahasan
konsep pada pertemuan kedua adalah mengenai elips yang berpusat di (h,k).
Pada pertemuan ini siswa diberikan dua situasi untuk memahami elips yang
berpusat di (h,k). sebelum memulai pembelajaran, dilakukan apersepsi
terlebih dahulu.
Pada kegiatan apersepsi, siswa diingatkan kembali mengenai unsur-unsur
elips dan persamaan elips yang berpusat di (0,0) pada pertemuan sebelumnya.
Siswa akan diberikan situasi 5 terkait konsep dasar mengenai elips yang
berpusat di (h,k). Berikut contoh hasil jawaban siswa pada situasi 5.
86
Gambar 4. 39
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Situasi 5
Kegiatan pertama yang dilakukan siswa ialah mengamati situasi berupa
cerita, lalu siswa diminta untuk menggambar denah taman posisi semula
dengan denah taman setelah dipindahkan. Siswa menggambarkan elips
tersebut pada kolom sistem koordinat yang telah diberikan.setelah itu siswa
menyimpulkan konsep apa yang terjadi pada kedua posisi denah taman
tersebut.Pada penugasan ini, diprediksikan beberapa kesulitan dan
antisipasinya. Berikut ini hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama
proses pembelajaran:
87
Tabel 4. 10
Hambatan dan Antisipasi Hambatan Situasi 5
No. Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan
1. Siswa bingung menggambarkan
posisi taman setelah dipindahkan
Guru memberikan arahan untuk
menggambarkan denah taman
tersebut sesuai dengan jarak
yang terdapat pada cerita
2. Siswa tidak mengetahui konsep
apa yang digunakan
Guru memberikan arahan
bahwa “denah taman semula
dengan denah taman setelah
dipindahkan apakah bentuk dan
ukuran masih sama? Jika sama,
maka konsep apakah yang
cocok untuk
menginterpretasikan kedua
gambar tersebut”
Pada penugasan ini, terdapat 1 antisipasi yang tidak teratasi pada
hambatan 2 yaitu guru hanya mengarahkan perubahan bentuk dan ukuran.
Pada fakta di kelas siswa masih belum memahami dengan arahan tersebut
untuk mendapatkan konsep apa yang terjadi, dengan begitu dibuatlah
antisipasi baru dengan menambahkan arahan agar siswa mengaitkan kegiatan
tersebut dengan materi geometri transformasi. Selebihnya hambatan dan
antisipasi yang dilakukan sesuai dengan prediksi yang telah dibuat
sebelumnya, sehingga mampu diantisipasi secara maksimal. Selain itu tidak
ditemukan kesulitan baru dari siswa. Dapat dikatakan bahwa seluruh siswa
dapat menyelesaikan dengan tepat sesuai dengan respon yang diharapkan.
Hal ini menunjukkan bahwa desain didaktis situasi 5 sudah mampu
mengatasi learning obstacle yang teridentifikasi sebelumnya, walaupun
terdapat perbaikan yaitu penambahan 1 antisipasi baru. Hal ini bertujuan agar
desain tersebut mampu meminimalisasi obstacle secara keseluruhan.
88
Selanjutnya diberikan situasi 6 yang terdiri dari 4 penugasan. Penugasan
1 diberikan terkait unsur-unsur elips berpusat di (h,k) baik itu elips mendatar
maupun elips tegak, lalu siswa diminta untuk menotasikan masing-masing
unsur pada tabel. Berikut contoh hasil jawaban siswa penugasan 1 pada situasi
6.
89
Gambar 4. 40
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 1 pada Situasi 6
Berdasarkan penugasan yang sudah dilengkapi, siswa diminta untuk
menganalisis unsur-unsur yang terdapat pada gambar elips yang berpusat di
(0,0) dan elips yang berpusat di (h,k) pada bentuk elips mendatar. Pada
penugasan diatas, siswa sudah mampu melengkapi titik koordinat pada elips
mendatar. Namun, terdapat kesulitan yaitu siswa keliru dalam menotasikan
panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor. Selain itu terdapat beberapa
prediksi kesulitan dan antisipasi lainnya yang telah dibuat sebelumnya.
Berikut ini hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama proses
pembelajaran:
Tabel 4. 11
Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 1 Situasi 6
No. Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan
1. Siswa tidak mengetahui cara
mendapatkan perubahan titik
ujung sumbu minor pada sumbu y
setelah adanya pergeseran dari
(0,0) menjadi (h,k)
Guru memberikan arahan “lihat
jarak dari (0,0) ke k pada sumbu
y berarti jaraknya ialah k.
Untuk mendapatkan 𝐵1, lihat
posisinya pada sumbu y maka
jaraknya melebihi k atau malah
berkurang?” begitu pula dengan
𝐵2.
2. Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
ujung sumbu mayor pada sumbu x
Guru memberikan arahan “lihat
jarak dari (0,0) ke h pada sumbu
x berarti jaraknya ialah h.
Untuk mendapatkan 𝐴1, lihat
90
setelah adanya pergeseran dari
(0,0) menjadi (h,k)
jarak titik pusat ke 𝐴1yaitu
merupakan jari-jari mayor (a),
lalu lihat posisinya pada sumbu
x maka jarak dari 𝐴1 ke k ialah
dengan mengurangkan h
dengan a. Begitu pula dengan
𝐴2
3. Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
fokus pada sumbu x setelah adanya
pergeseran dari (0,0) menjadi (h,k)
Guru memeberikan arahan
untuk mendapatkan 𝐹1, lihat
jarak titik pusat ke 𝐹1yaitu
dimisalkan (c), lalu lihat
posisinya pada sumbu x maka
jarak dari 𝐹1 ke k ialah dengan
mengurangkan h dengan c.
Begitu pula dengan 𝐹2
4. Siswa hanya mengetahui latus
rectum dan eksentrisitas hanya di
elips pusat (0,0), siswa mengira
latus rectum dan eksentrisitas di
elips pusat (h,k) berbeda
Guru memberikan arahan
bahwa “latus rectum dan
eksentrisitas hanya di elips
pusat (0,0) maupun di (h,k)
memiliki formula yang sama.
Hal itu dikarenakan akibat
pergeseran tidak merubah
bentuk si elips, begitu pula di
elips tegak”
Pada penugasan diatas, terdapat 2 antisipasi yang tidak teratasi, pertama
pada hambatan 1 yaitu guru memberikan arahan untuk mendapatkan 𝐵1
dengan cara melihat posisi sumbu y dan memberikan pertanyaan kepada
siswa jaraknya melebihi atau berkurang. Pada fakta di kelas siswa tidak
mengetahui jarak dari P ke 𝐵1, dengan begitu dibuatlah antisipasi beru yaitu
dengan menambahkan arahan jarak dari P ke 𝐵1 merupakan jari-jari sumbu
91
minor. Kedua, pada hambatan 2 yaitu guru hanya memberikan arahan untuk
mendapatkan 𝐴1. Realitanya yang terjadi siswa tidak mengetahui cara
mendapatkan 𝐴2, dengan begitu dibuatlah antisipasi baru dengan
menambahkan arahan menambahkan a untuk mendapatkan 𝐴2.Selain itu,
terjadi kesulitan diluar prediksi yaitu siswa keliru dalam menotasikan panjang
sumbu mayor dan panjang sumbu minor. Antisipasi yang diberikan terkait
kesulitan tersebut dengan mengarahkan siswa bahwa dalam menotasikan
panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor bukan titik melainkan
panjang. Guru juga menstimulasi siswa pada bahwa panjang sumbu mayor
dan panjang sumbu minor pada elips (h,k) sama dengan elips (0,0) . Namun,
pada penugasan 1 keseluruhan siswa mampu menyelesaikan dengan tepat
sesuai dengan respon yang diharapkan.
Setelah siswa memahami unsur-unsur elips mendatar yang berpusat di
(h,k), dilanjutkan dengan penugasan 2 yang terkait dengan unsur-unsur elips
tegak yang berpusat di (h,k).Berikut contoh hasil jawaban siswa pada
penugasan 2:
92
Gambar 4. 41
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 2 pada Situasi 6
93
Berdasarkan penugasan yang sudah dilengkapi, siswa diminta untuk
menganalisis unsur-unsur yang terdapat pada gambar elips yang berpusat di
(0,0) dan elips yang berpusat di (h,k) pada bentuk elips tegak. Pada penugasan
diatas, siswa sudah mampu melengkapi titik koordinat pada elips tegak.
Setelah itu, siswa diminta untuk menotasikan masing-masing unsur pada elips
tegak ke dalam tabel yang telah diberikan. Terdapat beberapa prediksi
kesulitan dan antisipasi lainnya yang telah dibuat sebelumnya. Berikut ini
hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama proses pembelajaran:
Tabel 4. 12
Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 2 Situasi 6
No. Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan
1. Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
ujung sumbu minor pada sumbu x
setelah adanya pergeseran dari
(0,0) menjadi (h,k)
Guru memberikan arahan “lihat
jarak dari 0 ke h pada sumbu x
berarti jaraknya ialah h. Untuk
mendapatkan 𝐴1, lihat jarak
dari pusat ke 𝐴1 merupakan (a)
lalu lihat posisinya pada sumbu
x maka jaraknya melebihi h
atau malah berkurang?” begitu
pula dengan 𝐴2
2. Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
ujung sumbu mayor pada sumbu y
setelah adanya pergeseran dari
(0,0) menjadi (h,k)
Guru memberikan arahan “lihat
jarak dari 0 ke k pada sumbu y
berarti jaraknya ialah k. Untuk
mendapatkan 𝐵1, lihat jarak
titik pusat ke 𝐵1yaitu
merupakan jari-jari mayor (b),
lalu lihat posisinya pada sumbu
y maka jarak dari titik pusat ke
𝐵1 ialah dengan menjumlahkan
k dengan b. Begitu pula dengan
𝐵2
94
3. Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
fokus pada sumbu y setelah adanya
pergeseran dari (0,0) menjadi (h,k)
Guru memberikan arahan untuk
mendapatkan 𝐹1, lihat jarak titik
pusat ke 𝐹1yaitu dimisalkan (c),
lalu lihat posisinya pada sumbu
y maka jarak dari titik pusat ke
𝐹1 ialah dengan menjumlahkan
k dengan b. Begitu pula dengan
𝐹2
Pada penugasan diatas, seluruh hambatan dan antisipasi yang dilakukan
sesuai dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya. Selain itu, tidak
ditemukan kesulitan diluar prediksi. Hal ini menunjukkan bahwa Seluruh
siswa mampu menyelesaikan penugasan 3 dengan tepat sesuai dengan respon
yang diharapkan.
Setelah siswa memahami unsur-unsur elips tegak yang berpusat di (h,k),
dilanjutkan dengan penugasan 3 yang terkait dengan persamaan elips yang
berpusat di (h,k).Berikut contoh hasil jawaban siswa pada penugasan 3:
95
Gambar 4. 42
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 3 pada Situasi 6
Berdasarkan penugasan yang sudah dilengkapi, siswa diminta untuk
melengkapi langkah-langkah untuk menemukan formula persamaan elips
pada pusat (h,k). Pada penugasan diatas, siswa sudah mampu melengkapi
kolom langkah-langkah dalam menemukan persamaan elips yang berpusat di
(h,k). Terdapat beberapa prediksi kesulitan dan antisipasi lainnya yang telah
dibuat sebelumnya. Berikut ini hambatan dan antisipasi yang dialami siswa
selama proses pembelajaran:
96
Tabel 4. 13
Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 3 Situasi 6
No. Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan
1. Siswa lupa dengan formula
translasi
Guru mengingatkan bahwa
konsep tranlasi, jika (x,y)
ditranslasi oleh titik (a,b), maka
(𝑥′𝑦′
) = (𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏)
2. Siswa tidak bisa mengaitkan
formula translasi dengan pusat
(h,k)
Guru mengarahkan bahwa
(𝑎, 𝑏) = (ℎ, 𝑘), lalu
substitusikan (𝑎, 𝑏) dengan
(ℎ, 𝑘)
3. Siswa tidak dapat menemukan x
dan y yang baru
Guru mengarahkan jika step
sebelumnya mensubstitusikan
(𝑎, 𝑏) dengan (ℎ, 𝑘), lalu
pindah ruaskan sumbu x dan
sumbu y
(𝑥′𝑦′
) = (𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑘
)
(𝑥′ − ℎ𝑦′ − 𝑘
) = (𝑥𝑦)
Sehingga didapatkan
𝑥 menjadi 𝑥 − ℎ, sedangkan
𝑦 menjadi 𝑦 − 𝑘
Pada penugasan diatas, seluruh hambatan dan antisipasi yang dilakukan
sesuai dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya. Selain itu, tidak
ditemukan kesulitan diluar prediksi. Hal ini menunjukkan bahwa Seluruh
siswa mampu menyelesaikan penugasan 4 dengan tepat sesuai dengan respon
yang diharapkan.
Setelah siswa memahami persamaan elips yang berpusat di (h,k),
dilanjutkan dengan penugasan 4 yang terkait mengubah persamaan
sederhana elips yang berpusat di (h,k) menjadai persamaan bentuk umum.
Berikut contoh hasil jawaban siswa pada penugasan 4:
97
Gambar 4. 43
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 4 pada Situasi 6
Berdasarkan penugasan yang sudah dilengkapi, siswa diminta untuk
melengkapi alur untuk mengubah persamaan elips sederhana di (h,k) menjadi
persamaan bentuk umum. Pada penugasan diatas, siswa sudah mampu
melengkapi langkah-langkah dalam menemukan persamaan bentuk umum
elips dari persamaan elips yang berpusat di (h,k). Terdapat beberapa prediksi
kesulitan dan antisipasi lainnya yang telah dibuat sebelumnya. Berikut ini
hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama proses pembelajaran:
98
Tabel 4. 14
Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 4 Situasi 6
Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan
Siswa keliru dalam menerapkan
persamaan kuadrat pada langkah
berikutnya
Guru menjelaskan secara
perlahan cara menjabarkan
persamaan kuadrat yang
dimaksud
Pada penugasan diatas, prediksi hambatan dan antisipasi yang dilakukan
tidak sesuai dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya. Hal ini
dikarenakan prediksi kesulitan dan antisipasi yang telah dibuat sebelumnya
tidaklah muncul pada pembelajaran di kelas. Hal ini menunjukkan bahwa
siswa sudah memahami persamaan elips yang berpusat di (h,k) dengan tepat
sesuai dengan respon yang diharapkan. Setelah menyelesaikan penugasan 4
pada situasi 6, siswa diminta untuk menentukan kesimpulan terkait
persamaan elips yang berpusat di (h,k) pada LKS.
Gambar 4. 44
Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Kesimpulan Elips yang
Berpusat di (h,k)
Pada jawaban diatas, siswa diminta untuk menuliskan kembali
persamaan elips yang berpusat di (h,k) dan persamaan bentuk umum yang
sudah ditemukan sebelumnya di kolom kesimpulan. Dapat dilihat bahwa
siswa sudah mampu menuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di
(h,k) dan persamaan bentuk umum.
Berdasarkan hasil analisis dari penugasan 1, 2, 3, dan 4 pada situasi 6
dapat disimpulkan bahwa desain didaktis situasi 6 sudah mampu mengurangi
learning obstacle, walaupun terdapat beberapa perbaikan yaitu penambahan
99
1 prediksi hambatan beserta antisipasi pada penugasan 1, pengurangan 1
prediksi hambatan dan antisipasi pada penugasan 4, serta penambahan 2
antisipasi baru pada penugasan 1. Hal ini bertujuan agar desain tersebut
mampu meminimalisasi obstacle secara keseluruhan.
Secara keseluruhan berdasarkan analisis pada situasi 1, 2, 3, 4, 5, dan 6
terdapat kemungkinan hambatan yang muncul sebesar 91,43% dari
kemungkinan hambatan yang telah diprediksikan sebelumnya. Dari 91,43%
kemungkinan hambatan yang muncul sebesar 87,5% efektif dalam
mengantisipasi kemungkinan hambatan yang ada. Hal ini dapat disimpulkan
bahwa desain didiaktis konsep elips mampu mengurangi learning obstacle.
C. Analisis Retrospektif
Analisis retrospektif merupakan tahapan peneliti melakukan analisis desain
didaktis yang sudah diimplementasikan di kelas, serta mengaitkan hasil analisis
situasi didaktis hipotesis dengan hasil analisis metapedadidaktik. Analisis ini akan
menghasilkan suatu desain didaktis empirik yang merupakan revisi dari desain
didaktis awal.
Berdasarkan hasil analisis metapedadidaktik implementasi desain didaktis I
mengenai definisi secara menyeluruh berjalan sesuai dengan prediksi awal.
Seluruh hambatan mampu diantisipasi sesuai dengan prediksi yang sudah dibuat
sebelumnya, sehingga hambatan siswa dapat teratasi. Namun, pada situasi 2,
ditemukan satu kesulitan baru yang tidak terprediksi, yaitu siswa kesulitan
memahami sumbu utama dan sumbu sekawan. Hambatan yang tidak terprediksi
tersebut dapat diatasi dengan pemberian antisipasi baru yang mampu mengatasi
hambatan siswa yang sudah dipaparkan pada analisis metapedadidaktik.
Berdasarkan kesulitan yang baru, maka desain didaktis I dimodifikasi dengan
mempertimbangkan hal-hal berikut :
1. Munculnya kesulitan baru dimana siswa kesulitan memahami sumbu utama
dan sumbu sekawan pada situasi 2 mengenai unsur-unsur elips. Hal ini
menjadi dasar untuk menambahkan petunjuk pada gambar elips agar siswa
dapat memahaminya.
100
Gambar 4. 45
Desain Didaktis Awal Definisi Elips
Gambar 4. 46
Desain Didaktis Revisi Definisi Elips
2. Memperluas prediksi hambatan dan antisipasi respon siswa agar tidak
kembali muncul kesulitan baru yang tidak terprediksi dan seluruh kesulitan
siswa dapat diatasi secara tepat.
Berdasarkan hasil analisis metapedadidaktik implementasi desain didaktis II
mengenai elips berpusat (0,0). Terdapat 15 dari 17 kemungkinan kesulitan yang
muncul, dari 15 kemungkinan kesulitan yang muncul terdapat 14 yang teratasi.
Pada desain didaktis II juga terdapat satu kesulitan baru diluar prediksi awal.
Kesulitan yang tidak terprediksi tersebut dapat diatasi dengan pemberian
antisipasi baru yang mampu mengatasi kesulitan siswa yang sudah dipaparkan
pada analisis metapedadidaktik. Selain itu, terdapat satu kesulitan beserta
antisipasi yang tidak muncul pada prediksi awal. Berdasarkan kesulitan tersebut,
desain didaktis II dimodifikasi dengan mempertimbangkan hal-hal berikut :
1. Munculnya kesulitan baru dimana siswa keliru dalam menotasikan titik
puncak dan titik fokus pada kedua bentuk elips. hal ini menjadi dasar untuk
menambahkan penjelasan tentang definisi dari kedua unsur tersebut.
101
2. Memperluas prediksi kesulitan dan antisipasi respon siswa agar tidak kembali
muncul kesulitan baru yang tidak terprediksi dan seluruh kesulitan siswa
dapat diatasi secara tepat.
Berdasarkan hasil analisis metapedadidaktik implementasi desain didaktis III
mengenai elips berpusat (h,k). Terdapat 12 dari 13 kemungkinan kesulitan yang
muncul, dari 12 kemungkinan kesulitan yang muncul terdapat 9 yang teratasi.
Secara keseluruhan kesulitan yang dialami siswa sesuai dengan prediksi yang
telah dibuat sebelumnya, namun terdapat satu kesulitan baru diluar prediksi awal.
Kesulitan yang tidak terprediksi tersebut dapat diatasi dengan pemberian
antisipasi baru yang mampu mengatasi kesulitan siswa yang sudah dipaparkan
pada analisis metapedadidaktik. Selain itu, terdapat satu kesulitan beserta
antisipasi yang tidak muncul pada prediksi awal. Berdasarkan kesulitan tersebut,
desain didaktis III dimodifikasi dengan mempertimbangkan hal-hal berikut :
A. Tidak terantisipasinya kesulitan siswa dalam menotasikan titik sumbu minor
dan titik sumbu mayor.
102
Gambar 4. 47
Desain Didaktis Awal Definisi Elips
Gambar 4. 48
Desain Didaktis Revisi Definisi Elips
B. Munculnya kesulitan baru dimana siswa keliru dalam menotasikan panjang
sumbu mayor dan panjang sumbu minor pada kedua bentuk elips. Hal ini
103
menjadi dasar untuk menambahkan penjelasan mengenai panjang sumbu
mayor dan minor pada elips yang berpusat di (0,0) dan (h,k)
C. Memperluas prediksi kesulitan dan antisipasi respon siswa agar tidak kembali
muncul kesulitan baru yang tidak terprediksi dan seluruh kesulitan siswa
dapat diatasi secara tepat.
Secara umum, kerangka pada desain didaktis awal mengalami sedikit
perubahan dengan modifikasi seperti penambahan petunjuk, pengurangan
penugasan, perluasan prediksi kesulian dan antisipasi respon siswa agar tidak
muncul kembali kesulitan yang baru, serta pengelolaan waktu pembelajaran.
Tindak lanjut dari penelitian ini adalah perbaikan desain didaktis awal agar lebih
memudahkan siswa dalam memahami konsep elips. berikut tabel rekapan
perubahan Hypothetical Learning Trajectory konsep elips.
Tabel 4. 15
HLT Awal dan HLT yang Direvisi
Hypothetical Learning Trajectory
(HLT)
Revised Learning Trajectory
(RLT)
Situasi Didaktis 1
Siswa diminta untuk memposisikan
keempat anak tersebut sesuai dengan
gambar pada alat peraga yang sudah
disediakan, lalu siswa diminta untuk
menjalankan Tobi dan Putri dari posisi
awal dan kembali lagi ke posisi awal
lagi dengan memutari Fani dan Fido
Tidak ada perubahan
Siswa diminta untuk membuktikan
persaman umum elips dari definisi
yang diberikan, serta mengacu pada
gambar atau jejak Tobi dan Putri di alat
peraga
Tidak ada perubahan
Situasi Didaktis 2
104
Siswa diminta untuk menotasikan
masing-masing unsur elips pada tabel
yang telah disajikan
Penambahan petunjuk baru pada
gambar elips yang disajikan
Siswa diminta untuk melengkapi
pembuktian definisi elips berdasarkan
unsur-unsur yang sudah diketahui
sebelumnya
Perluasan prediksi respon siswa berupa
penambahan keterangan elips
Situasi Didaktis 3
Siswa diminta untuk menyatakan apa
yang siswa ketahui mengenai bentuk
orbit bumi, membedakan kedua bentuk
gambar orbit, serta menyimpulkan
kedua bentuk jika diketahui pusat orbit
bumi adalah (0,0)
Tidak ada perubahan
Situasi Didaktis 4
Siswa diminta untuk menganalisis
unsur-unsur elips dari dua bentuk elips
yang berpusat di (0,0)
Penambahan prediksi respon siswa
berupa arahan mengenai titik puncak
dan titik fokus pada elips
Siswa diminta melengkapi untuk
membuktikan persamaan elips
menggunakan definisi elips yang telah
diketahui sebelumnya
Penambahan prediksi respon siswa
berupa arahan guru terhadap dua
segitiga untuk menemukan sebuah
konsep
Pengurangan prediksi respon berupa
sifat operasi dalam menyelesaikan
pembuktian persamaan elips beserta
antisipasinya
Siswa diminta melengkapi untuk
menemukan formula Latus Rectum dan
eksentrisitas dari dua bentuk elips yang
berbeda
Pengurangan prediksi respon berupa
operasi pecahan dalam menemukan
formula Latus Rectum beserta
antisipasinya
105
Situasi Didaktis 5
Siswa diminta untuk menggambarkan
dan menyatakan konsep denah taman
semula dengan denah taman setelah
dipindahkan, dengan syarat
menggunakan koordinat kartesius
Penambahan prediksi respon siswa
berupa arahan guru untuk mengaitkan
suatu kegiatan pada materi geometri
transformasi
Situasi Didaktis 6
Siswa diminta untuk menganalisis
unsur-unsur yang terdapat pada gambar
elips yang berpusat di (0,0) dan elips
yang berpusat di (h,k) pada bentuk
elips mendatar
Penambahan prediksi respon siswa
berupa arahan untuk mendapatkan
salah satu titik pada sebuah elips
Penambahan prediksi respon siswa
berupa arahan dalam menotasikan
panjang sumbu mayor dan sumbu
minor
Siswa diminta untuk menganalisis
unsur-unsur yang terdapat pada gambar
elips yang berpusat di (0,0) dan elips
yang berpusat di (h,k) pada bentuk
elips tegak
Tidak ada perubahan
Siswa diminta untuk melengkapi step
by step untuk menemukan formula
persamaan elips pada pusat (h,k)
Tidak ada perubahan
Siswa diminta untuk melengkapi alur
untuk mengubah persamaan elips
sederhana di (h,k) menjadi persamaan
bentuk umum
Pengurangan prediksi respon berupa
penggunaan persamaan kuadrat dalam
menemukan persamaan elips bentuk
umum beserta antisipasinya
D. Keterbatasan Penelitian
Penulis menyadari bahwa penelitian ini belum sempurna. Berbagai upaya
telah dilakukan agar penelitian ini memperoleh hasil yang optimal. Meskipun
106
demikian, masih ada beberapa faktor yang masih sulit untuk dikendalikan
sehingga hasil penelitian ini masih perlu disempurnakan. Beberapa
keterbatasan dalam penelitian ini diantaranya :
a. Penelitian ini hanya dilakukan pada pokok bahasan elips.
b. Terdapat kekeliruan dalam soal learning obstacle nomor 2 pada bagian
panjang lactus rectum sama dengan 9/2. Hal ini menyebabkan kesalahan
dalam bentuk persamaan elips tegak yang seharusnya 𝑎2 < 𝑏2 menjadi
𝑎2 > 𝑏2 (persyaratan untuk persamaan elips mendatar). Sehingga
harapannya untuk peneliti selanjutnya bisa memperbaiki kesalahan
tersebut.
c. Waktu yang digunakan peneliti dalam melakukan peneliti terbatas.
d. Desain HLT yang telah dibuat hanya terbatas pada desain LKS yang
peneliti telah buat sebelumnya.
107
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian terkait dengan desain didaktis pada konsep
elips yang telah dilakukan serta pembahasannya, maka diperoleh beberapa
kesimpulan sebai berikut :
1. Learning obstacle yang terkait dengan konsep elips pada irisan kerucut,
yaitu :
a. Siswa tidak dapat membaca unsur-unsur pada elips
b. Siswa keliru dalam menggunakan persamaan elips yang berpusat di
(0,0)
c. Siswa keliru dalam menentukan jari-jari mayor, jari-jari minor, titik
fokus, panjang sumbu mayor pada elips yang berpusat di (0,0)
d. Siswa keliru dalam menggunakan persamaan elips yang berpusat di
(h,k)
e. Siswa keliru dalam menentukan jari-jari mayor, jari-jari minor, titik
fokus, panjang sumbu mayor pada elips yang berpusat di (h,k)
f. Siswa yang mengalami kesulitan mengubah persamaan bentuk umum
elips menjadi persamaan elips sederhana
2. Desain didaktis awal dikembangkan berdasarkan hasil analisis learning
obstacle dengan memperhatikan hypothetical learning trajectory siswa.
Desain didaktis konsep elips terdiri dari tiga kegiatan pembelajaran sebagai
berikut :
a. Desain Didaktis definisi dan unsur-unsur elips yang dikembangkan
untuk mengatasi kesulitan siswa dalam membaca apa saja unsur-unsur
pada gambar elips.
b. Desain Didaktis elips berpusat di (0,0) yang dikembangkan untuk
mengatasi kesulitan siswa dalam menentukan unsur-unsur elips pada
elips (0,0) dan kesulitan siswa dalam menggunakan persamaan elips di
(0,0).
108
c. Desain Didaktis elips berpusat di (h,k) yang dikembangkan untuk
mengatasi kesulitan dalam menentukan unsur-unsur elips pada elips
(h,k) dan kesulitan siswa dalam menggunakan persamaan elips di (h,k).
3. Respon siswa pada penerapan desain didaktis konsep elips secara
keseluruhan berdasarkan analisis pada situasi 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 terdapat
kemungkinan kesulitan yang muncul sebesar 91,43% dari kemungkinan
kesulitan yang telah diprediksikan sebelumnya. Dari 91,43% kemungkinan
kesulitan yang muncul sebesar 87,5% efektif dalam mengantisipasi
kemungkinan kesulitan yang ada. Hal ini dapat disimpulkan bahwa desain
didiaktis konsep elips mampu mengurangi learning obstacle.
4. Desain didaktis revisi yang dilakukan pada desain didaktis awal yaitu
penambahan dan pengurangan petunjuk pada penugasan, perluasan prediksi
respon dan antisipasi respon, serta pengelolaan waktu pada pembelajaran.
B. Saran
Berdasarkan hasil penelitian dan kesimpulan yang diperoleh, peneliti
memberikan beberapa saran terkait desain didaktis pada pembelajaran konsep
elips, yaitu :
1. Bagi guru dapat menjadikan desain didaktis konsep elips sebagai alternatif
desain yang dapat diimplementasikan pada pembelajaran elips, agar
mendapatkan hasil yang lebih optimal dalam pembelajaran elips
disarankan untuk mempertimbangkan waktu yang tersedia dalam
menggunakan desain didaktis konsep elips.
2. Bagi sekolah dengan adanya penelitian ini dapat menjadi acuan dalam
meningkatkan dan memperbaiki kualitas pembelajaran di sekolah, serta
dapat menyarankan guru mata pelajaran matematika peminatan untuk
menggunakan desain didaktis konsep elips sebagai alternatif desain
pembelajaran.
3. Bagi peneliti selanjutnya disarankan sebelum membuat desain didaktis,
sebaiknya dilakukan uji learning obstacle yang didahului dengan tahap
repersonalisasi konsep elips untuk mengidentifikasi kesulitan awal yang
109
akan dialami oleh siswa. Pada saat menyusun LKS, sebaiknya
mempertimbangkan waktu agar waktu pembelajaran dapat berjalan secara
optimal, agar peneliti dapat memastikan seluruh kesulitan yang dialami
siswa dapat teratasi dengan baik. Desain didaktis konsep elips yang
disusun dapat terus dikembangkan dengan perbaikan dan penelitian, baik
dari sisi kesulitan siswa, konsep, bahan ajar, maupun perluasan prediksi
respon siswa untuk memperoleh desain pembelajaran yang lebih optimal.
110
DAFTAR PUSTAKA
Abdussakir. Pembelajaran Geometri Sesuai Teori Van Hiele,Jurnal Madrasah.
Vol.11 No.1. 2009
Brosseau, Guy.Theory of Didactical Situation in Mathematic.Drodrecht: Kluwer
Academic Publisher.1997
Cendekia Wardani, Tsena,dkk. Desain Bahan Ajar Berbasis Komunikasi
Matematis Pada Materi Elips kelas XI. [online] https://osf.io/sd748 diakeses
pada tanggal 12 November 2018
Charitas, Rully. Design Research (Teori dan Implementasinya : Suatu
Pengantar).Depok: Rajawali Pers,2017
Christian Widya Eka Winarto, Alexander dan Tri Nova Hasti
Yunianta.Pengembangan Mobile Learning Matematika Sebagai Suplemen
Belajar SMA Kelas XI.Histogram: Jurnal Pendidikan Matematika. Vol.2
No.1. 2018
H.Schunk, Dale. Learning Theories An Educational Perspective (Teori-Teori
Pembelajaran :Perspektif Pendidikan ). Yogyakarta:Pustaka Pelajar.2012
Kresna Annizar, Edya dan Didi Suryadi. Desain Didaktis Pada Konsep Luas
Daerah Trapesium Untuk Kelas V Sekolah Dasar.EduHumaniora: Jurnal
Pendidikan Dasar.Vol.8.No.1.ISSN: 2085-1243. 2016
Malihatud Darojah, Dewi dan Suparman. Analisis Kebutuhan Desain
Pembelajaran Irisan Kerucut Menggunakan Pendekatan Pendidikan
Matematika Realistik Indonesia.Prosiding Seminar Nasional Matematika
dan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo.2018
National Council of Teacher of Mathematic (NCTM), Executive Summary
Principles and Standards for School Mathematics,2002 p 3
111
Negoro, ST dan B.Harahap. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: PT. Ghalia
Indonesia.2003
Otoni Harefa, Amin. Penerapan Teori Pembelajaran Ausubel dalam
Pembelajaran.Majalah Ilmiah Warta Dharmawangsa Edisi 3.ISSN: 1829-
7463. 2013
Permata Sari, Putri. Analisis Kasus Rendahnya Prestasi Belajar Matematika Siswa
Pada Materi Irisan Kerucut dan Solusi Pemecahannya di Kelas XI IA
SMAIT Nur Hidayah. Prosiding KNPMP I Universitas Sebelas Maret.2016
Priatna, Nanang dan Tito Sukamto. Buku Siswa Aktif dan Kreatif Belajar
Matematika untuk Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah kelas XI
Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam.Jakarta: Raja Garfindo Persada.2016
Sarosa, Samiaji. Penelitian Kualitatif Dasar – Dasar. Jakarta : PT INDEKS. 2017
Setiawati, Euis. Hambatan Epistemologi (Epistimological Obstacle) dalam
Persamaan Kuadrat Pada Siswa Madrasah Aliyah. Proceeding
International Seminar and the Fourth National Conference on Mathematics
Education.ISBN: 978-979-16353-7-0.2011
Simangungsong, Wilson.PKS Matematika Peminatan Kelas XI SMA dan MA
Kurikulum 2013. Jakarta: Gematama.2014
Siregar, Evelin dan Hartini Nara. Teori Belajar dan Pembelajaran. Bogor : Ghalia
Indonesia. Cet ke-2, Oktober 2010
Wardhani, Sri. Analisis SI dan SKL Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs untuk
Optimalisasi Pencapaian Tujuan. Yogyakarta: PPPPTK.2008
Sulistiyanti, Herry,dkk.Pengembangan Desain Didaktis Irisan Kerucut untuk
Memfasilitasi Disposisi Matematis Siswa.Jurnal Pendidikan Matematika
Universitas Lampung. Vol.4. No.28.2016
112
Suratno, Tatang. Didaktik dan Didactical Design Research. Dalam D.Suryadi, E.
Mulyana, T.Suratno, D.A.K. Dewi, dan S.Y.Maudy (Eds.) Monograf
Didactical Design Research.Bandung : Rizqi Press, 2016
Suryadi, Didi. Menciptakan Proses Belajar Aktif:Kajian dari Sudut Pandang Teori
Belajar dan Didaktik. Makalah Seminar Nasional Pendidikan Matematika
UNP.2010
-----------------.Didactical Design Research (DDR) Dalam Pengembangan
Pembelajran Matematika.Seminar UNNES.2013
Unaenah, Een. Analisis Learning Obstacle Konsep Geometri Pada Mahasiswa
Semester 1 Program Studi Pendidikan Dosen Sekolah Dasar. Prosiding
Seminar Nasional Pendidikan FKIP UNTIRTA. ISBN: 978-602-19411-2-
6.2017
Wilis Dahar, Ratna. Teori-Teori Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: Erlangga.2011
113
Lampiran 1
KISI-KISI SOAL IDENTIFIKASI LEARNING OBSTACLE
ELIPS
Kompetensi Dasar Indikator Soal Prediksi Hambatan Epistimologis Uraian Soal No
Soal
3.3
Menganalisis konsep
dan membuktikan
sifat-sifat elips dan
menerapkannya
dalam pembuktian
dan menyelesaikan
masalah matematika
dan bidang ilmu lain.
3.5
Menganalisis data
terkait unsur-unsur
Menentukan perbedaan
unsur – unsur elips, jika
diketahui 2 gambar
yang berbeda
Siswa mengira bahwa perbedaan
dari dua gambar tersebut terletak di
bentuk gambarnya
Siswa keliru dalam menentukan
sumbu mayor dan sumbu minor
Siswa sulit menentukan titik
puncak dan titik fokus, karena
siswa hanya sebatas menghafal
Tuliskan perbedaan-perbedaan dari dua gambar
berikut!
1
114
elips dan
menggambar
kurvanya serta
mengidentifikasi
sifat-sifatnya.
4.3
Mengolah data dan
membuat model
matematika berupa
persamaan elips dari
suatu masalah nyata
dan melakukan
manipulasi aljabar
dalam
menyelesaikan
masalah
4.5
Menentukan persamaan
elips dengan pusat
(0,0), jika diketahui
beberapa unsur
Siswa keliru dalam mencari titik
ujung sumbu mayor, karena siswa
mengira panjang 4 itu adalah titik
ujung sumbu mayor
Siswa keliru dalam menentukan
titik ujung sumbu minor melalui
formula lactus rectum
Tentukan persamaan elips yang berpusat di titik asal
O(0,0), sumbu mayor pada sumbu y dengan panjang 4
satuan, serta panjang lactus rectum sama dengan 9/2 !
2
Menentukan persamaan
elips berpusat di (h,k),
jika diketahui beberapa
unsur
Siswa keliru dalam menggunakan
formula titik puncak dan titik fokus
Siswa tidak dapat menentukan titik
ujung sumbu minor
Siswa keliru dalam menggunakan
formula persamaan elips yang
berpusat di (h,k)
Perhatikan gambar di bawah ini !
3
Menentukan beberapa
unsur, jika diketahui
persamaan elips dalam
bentuk baku
Siswa keliru dalam menggunakan
formula titik pusat dalam
persamaan elips bentuk baku
Tentukan titik fokus dan titik pusat dari persamaan
25𝑥2 + 9𝑦2 + 100𝑥 − 36𝑦 − 89 = 0!
4
Tentukan persamaan
elips dari gambar
berikut !
115
Menyajikan objek-
objek nyata sebagai
gambaran model
elips dan merancang
masalah serta
menyelesaikannya
dengan menerapkan
konsep dan sifat-
sifat elips
Siswa tidak mengubah persamaan
bentuk baku ke bentuk persamaan
elips (h,k)
Siswa sulit memanipulasi bentuk
persamaan kuadrat
Menyelesaikan masalah
menggunakan unsur –
unsur dan persamaan
elips
Siswa sulit dalam menggunakan
formula persamaan elips
Siswa keliru dalam menentukan
panjang sumbu mayor dan minor
Suatu kelengkungan tanah yang berlubang berbentuk
setengah elips dengan lebar alas 48 meter dan tinggi 20
meter. Berapa lebar kelengkungan itu pada ketinggian
10 meter dari alas !
5
Menyelesaikan masalah
menggunakan unsur –
unsur dan persamaan
elips
siswa keliru dalam menafsirkan
panjang sumbu mayor dan minor,
karena siswa mengira bahwa yang
diketahui di soal adalah titik ujung
Di suatu kota terdapat sebuah taman bermain. Taman
tersebut dikelilingi oleh suatu jalan berbentuk elips
dengan panjang mayor dan minor berturut-turut 442
meter dan 342 meter. Apabila pengelola taman tersebut
6
116
sumbu mayor dan titik ujung
sumbu minor
siswa tidak menggunakan
phytagoras dalam mencari titk
fokus
siswa mengira bahwa titik fokus
adalah jarak antar titik fokus
ingin membangun air mancur pada masing – masing sisi
taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur
tersebut !
117
Lampiran 2
PENYELESAIAN SOAL IDENTIFIKASI LEARNING OBSTACLE
ELIPS
No Butir Pertanyaan Penyelesaian Skor Skor
Maks
1. Tuliskan perbedaan-perbedaan dari dua
gambar berikut!
Titik Pusat (0,0)
Titik Pusat (h,k)
Titik Fokus (-c,0) dan (c,0)
Titik Fokus (h,k-c) dan (h,k+c)
Titik Puncak (-a,0) dan (a,0)
Titik Puncak (h,k-b) dan (h,k+b)
Panjang sumbu mayor 2a
Panjang sumbu mayor 2b
Panjang sumbu minor 2a
Panjang sumbu minor 2b
10 10
2. Tentukan persamaan elips yang
berpusat di titik asal O(0,0), sumbu
mayor pada sumbu y dengan panjang 4
satuan, serta panjang lactus rectum
sama dengan 9/2 !
Pusat (0,0), sumbu mayor pada
sumbu y = elips tegak
Panjang sumbu mayor = 4 2b
= 4 b = 2
Lactus rectum = 9
2
2𝑏2
𝑎=
9
2
2.4
𝑎=
9
2
8
𝑎=
9
2
𝑎 =16
9
𝑎2 =256
81
10
15
Maka persamaan elipsnya
adalah
x2
a2+
y2
b2= 1
x2
256
81
+y2
4= 1
81x2
256+
y2
4= 1
5
118
3. Perhatikan gambar di bawah ini !
Tentukan persamaan elips dari gambar
berikut
Titik pusat (4,-2) (h,k)
Titik puncak (9,-2) (h±a,k)
Titik fokus (0,-2) (h±c,k)
ℎ ± 𝑎 = 9
4 ± 𝑎 = 9
𝑎 = ±5
𝑎 = 5
𝑎2 = 25
Maka :
b2 = a2 − c2
b2 = 25 − 16
b2 = 9
10
15
Jadi persamaan elips adalah :
(x−4)2
25+
(y+2)2
9= 1
5
4. Tentukan titik fokus dan titik pusat
dari persamaan 25𝑥2 + 9𝑦2 + 100𝑥 −
36𝑦 − 89 = 0!
Persamaan elips 25x2 + 9y2 +
100x − 36y − 89 = 0
Mencari titik fokus dengan cara
mengubah persamaan elips ke
dalam bentuk (x−h)2
a2 +(y−k)2
b2 = 1
25x2 + 9y2 + 100x − 36y −
89 = 0
25x2 + 100x + 9y2 − 36y −
89 = 0
25(x2 + 4x) + 9(y2 − 4y) −
89 = 0
25(x2 + 4x + 4) − 25.4 +
9(y2 − 4y + 4) − 9.4 − 89 = 0
25(x + 2)2 + 9(y − 2)2 −
225 = 0
25(x + 2)2 + 9(y − 2)2 = 225
10 20
119
(x+2)2
9+
(y−2)2
25= 1
(x+2)2
32+
(y−2)2
52= 1
Maka, titik pusat (-2,2)
karena a < b maka elips
lonjong tegak dan c2 = 25 − 9
c = 4
Maka titik fokus (h, k −
c), (h, k + c) (−2,2 −
4), (−2,2 + 4)
(−2, −2), (−2,6)
10
5. Suatu kelengkungan tanah yang
berlubang berbentuk setengah elips
dengan lebar alas 48 meter dan tinggi
20 meter. Berapa lebar kelengkungan
itu pada ketinggian 10 meter dari alas !
Gambar diatas memperlihatkan
sketsa lengkungan dan sumbu-
sumbu koordinat dapat dipilih
sedemikian hingga sumbu-x
terletak pada alas dan titik asal
adalah titik tengah alas. Maka
sumbu utama ellips terletak
sepanjang sumbu-x, pusatnya di
titik asal, a = ½ 48 = 24, b = 20.
10
20
Persamaan ellips berbentuk :
≫ x2
576+
y2
400= 1
Pada ketinggian 10 meter, berarti
untuk nilai y = 10 akan diperoleh
x yang menyatakan lebar
setengah lengkungan pada
ketinggian 10 meter. Jadi :
≫ x2
576+
102
400= 1
sehingga diperoleh :
x2 = 432 , x = 12√3
Dengan demikian pada
ketinggian 10 meter dari alas,
lebar kelengkungan adalah AB =
24 √3 meter.
10
120
6. Di suatu kota terdapat sebuah taman
bermain. Taman tersebut dikelilingi
oleh suatu jalan berbentuk elips dengan
panjang mayor dan minor berturut-turut
442 meter dan 342 meter. Apabila
pengelola taman tersebut ingin
membangun air mancur pada masing –
masing sisi taman tersebut, tentukan
jarak antara air mancur tersebut !
Panjang sumbu mayor
2a = 442
a = 221
Panjang sumbu mayor
2b = 342
b = 171
10
20
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑐2 = 2212 − 1712
𝑐2 = 48.841- 29.241
𝑐2 = 19.600
𝑐 = 140
Jadi,jarak antara kedua air
mancur tersebut adalah 2 (140) =
280 meter
10
121
Lampiran 3
PANDUAN WAWANCARA IDENTIFIKASI LEARNING OBSTACLE
ELIPS
Kisi-kisi atau pedoman wawancara guru dan peserta didik adalah sebagai berikut :
Sumber Deskripsi Wawancara No.Item
Guru
Matematika
Kendala guru saat mengajar di kelas 1
Aktivitas peserta didik pada saat pembelajaran 2
Pengalaman guru kesulitan peserta didik pada konsep elips 3
Sumber belajar yang digunakan untuk mempelajari konsep
elips
4
Metode dan media yang guru gunakan saat mengajarkan
konsep elips kepada siswa
5
Cara mengatasi kesulitan siswa pada konsep elips 6
Peserta Didik Pendapat peserta didik terhadap soal tes yang diberikan
(mudah, sedang, sulit) berikut alasan
1
Kesulitan peserta didik saat menyelesaikan soal tes
identifikasi learning obstacle serta penyebabnya
2
Konsep dan cara apa aja yang digunakan peserta didik saat
menyelesaikan soal tes identifikasi learning obstacle
3
Kejelasan guru saat menyajikan konsep elips kepada peserta
didik
4
122
DAFTAR PERTANYAAN
Guru Matematika
1. Bagaimana kendala bapak/ibu saat mengajar konsep elips di kelas?
2. Bagaimana aktivitas peserta didik pada saat pembelajaran?
3. Menurut pengalaman bapak/ibu saat mengajarkan materi elips, kesulitan
apa saja yang dialami siswa saat belajar konsep berikut :
a. Persamaan elips pada pusat (0,0)
b. Persamaan elips pada pusat (h,k)
4. Sumber belajar apa saja yang digunakan untuk mempelajari konsep elips di
kelas?
5. Metode dan media apa aja yang bapak/ibu gunakan saat mengajarkan
konsep elips?
6. Menurut bapak/ibu bagaimana cara mengatasi kesulitan siswa pada konsep
elips?
Peserta Didik
1. Bagaimana pendapatmu mengenai soal tes yang telah diberikan tadi?
Apakah mudah, sedang, atau sulit? Apa alasannya?
2. Kesulitan apa yang kamu alami saat belajar konsep berikut :
a. Persamaan elips pada pusat (0,0)
b. Persamaan elips pada pusat (h,k)
3. Konsep apa saja yang kamu gunakan saat menyelesaikan setiap soal yang
telah diberikan tadi?
4. Menurutmu bagaimana cara guru memaparkan konsep elips saat
pembelajaran di kelas? Apakah kamu memahami dan mengerti apa yang
sudah dipaparkan oleh gurumu tentang konsep elips? Bila belum, konsep
apa yang belum jelas?
123
Lampiran 4
DESAIN PEMBELAJARAN I
Kompetensi Dasar :
3.4 Menganalisis konsep dan membuktikan sifat-sifat elips dan menerapkannya dalam pembuktian dan menyelesaikan masalah
matematika dan bidang ilmu lain.
3.5 Menganalisis data terkait unsur-unsur elips dan menggambar kurvanya serta mengidentifikasi sifat-sifatnya.
Indikator :
3.3.1 Siswa dapat mendeskripsikan definisi elips.
3.3.2 Siswa dapat membuktikan persamaan umum elips.
3.5.1 Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips.
Situasi Didaktis Penugasan Prediksi Respon Antisipasi Didaktis
Pendagogis
Situasi 1:
Pada siang hari yang sangat
terik berkumpulah Tobi, Fani,
Putri, dan Fido di tanah
lapang. Hari itu mereka
mendapatkan tugas dari Bu
Sinta untuk mengamati
bentuk-bentuk elips yang
berada di sekitar dan
Siswa diminta untuk
memposisikan keempat anak
tersebut sesuai dengan
gambar pada alat peraga yang
sudah disediakan, lalu siswa
diminta untuk memutarkan
Tobi dan Putri dari posisi awal
dan kembali lagi ke posisi
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat membuat pola
elips dari jejak Tobi dan Putri.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak berhasil
mendapatkan pola elips.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru memberikan pernyataan
sebelum memutarkan Tobi
dan Putri dengan
124
menggambarnya di buku
gambar. Bu Sinta memberikan
arahan kepada mereka bahwa
elips itu adalah “kedudukan
titik-titik yang jumlah
jaraknya terhadap dua titik
tertentu selalu sama.” Namun
mereka belum memahaminya
bagaimana menggambar elips
berdasarkan pengertian
seperti arahan Bu Sinta.
Mereka berinisiatif untuk
mencoba menggambar di
tanah lapang seperti berikut
(gambar 1) dengan
menggunakan tali. Mereka
memegang tali dengan syarat
Fani dan Fido tetap pada
posisinya sedangkan Tobi dan
Putri memutari Fani dan Fido.
awal lagi dengan memutari
Fani dan Fido.
menggunakan alat peraga
papan lukis elips yang sudah
disediakan, pastikan Fani dan
Fido berada pada tempat yang
sejajar dan tetap pada
posisinya.
Siswa diminta untuk
membuktikan persaman
umum elips dari definisi yang
diberikan, serta mengacu pada
gambar atau jejak Tobi dan
Putri di alat peraga.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat membuat
kesimpulan bahwa definisi
elips adalah
𝑇𝐹1 + 𝑇𝐹2 = 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2
Kemungkinan kesulitan :
Siswa salah membuat
kesimpulan yang berdasarkan
definisi.
Siswa tidak mengetahui
bahwa 𝑇𝐹1 adalah jarak dari
T (Tobi) ke 𝐹1 (Fani).
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru memberikan arahan
untuk membaca ulang
definisi elips pada cerita.
Guru memberikan arahan
bahwa 𝑇𝐹1 adalah jarak dari
T (Tobi) ke 𝐹1 (Fani).
Situasi 2:
Diberikan deskripsi dari
masing-masing unsur elips,
Siswa diminta untuk
menotasikan masing-masing
unsur elips pada tabel yang
telah disajikan.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat menotasikan
semua unsur-unsur yang
diminta.
125
serta disajikan sebuah gambar
elips.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak dapat
menotasikan jari-jari mayor
dan minor dikarenakan siswa
tersebut hanya mengetahui
sumbu mayor dan minor.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru memerintahkan siswa
untuk mengamati
gambar,serta memberikan
pertanyaan kepada siswa
“Apa pengertian jari-jari? Jika
panjang sumbu mayor
𝐴1𝐴2, maka setengah jarak
𝐴1𝐴2 adalah ....” begitu pula
dengan jari-jari minor.
Siswa diminta untuk
melengkapi pembuktian
definisi elips berdasarkan
unsur-unsur yang sudah
diketahui sebelumnya.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat melengkapi
pembuktian definisi elips
dengan benar sehingga
didapat 𝑇𝐹1 + 𝑇𝐹2 = 2𝑎.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa kesulitan mendapatkan
jarak 𝐴1𝐹1 dan 𝐴1𝐹2.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru memberikan arahan
kepada siswa untuk
mengamati gambar elips yang
telah disajikan, untuk
126
mendapatkan 𝐴1𝐹1 dengan
cara mengurangkan jarak 𝐴1𝑃
dan jarak 𝐹1𝑃. Sedangkan
untuk mendapatkan 𝐴1𝐹2
dengan cara menjumlahkan
jarak 𝐴1𝐹1, 𝐹1𝑃, dan 𝑃𝐹2.
127
DESAIN PEMBELAJARAN II
Kompetensi Dasar :
3.5 Menganalisis data terkait unsur-unsur elips dan menggambar kurvanya serta mengidentifikasi sifat-sifatnya
4.3 Mengolah data dan membuat model matematika berupa persamaan elips dari suatu masalah nyata dan melakukan manipulasi
aljabar dalam menyelesaikan masalah
4.4 Menyajikan objek-objek nyata sebagai gambaran model elips dan merancang masalah serta menyelesaikannya dengan
menerapkan konsep dan sifat-sifat elips
Indikator :
3.5.2 Siswa dapat menentukan unsur-unsur yang terdapat pada elips yang berpusat di (0,0)
3.5.3 Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (0,0)
4.3.1 Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi persamaan bentuk umum
4.4.1 Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan elips yang berpusat di (0,0)
Situasi Didaktis Penugasan Prediksi Respon Antisipasi Didaktis Pendagogis
Situasi 3:
Diberikan dua buah gambar
orbit bumi dan pengertian dari
orbit bumi.”Orbit secara
umum dikatakan sebagai
lintasan (jalur) benda
mengelilingi benda lain. Orbit
elips adalah orbit yang
membentuk jalur lingkaran
lonjong. Orbit ini biasanya
Siswa diminta untuk
menyatakan apa yang siswa
ketahui mengenai bentuk
orbit bumi, membedakan
kedua bentuk gambar orbit,
serta menyimpulkan kedua
bentuk jika diketahui pusat
orbit bumi adalah (0,0).
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat mengetahui
bahwa orbit bumi ialah elips.
Siswa dapat membedakan
bahwa gambar orbit pertama
berbentuk elips mendatar
(horizontal) dan gambar
128
merupakan orbit yang
dilintasi oleh satelit-satelit.”
kedua bentuk elips tegak
(vertikal).
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak dapat
membedakannya.
Siswa tidak dapat
menyimpulkan kedua
bentuk elips tersebut.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru memberikan arahan “sumbu
horizontal dan vertikal”.
Dengan arahan sebelumnya siswa
dapat menyimpulkan terdapat 2
bentuk elips yang berpusat di
(0,0).
Situasi 4:
Disajikan dua gambar bentuk
elips untuk menganalisis
unsur-unsur serta gambar
elips unruk menentukan
persamaan elips.
Siswa diminta untuk
menganalisis unsur-unsur
elips dari dua bentuk elips
yang berpusat di (0,0).
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat menotasikan
semua unsur-unsur yang
diminta.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak dapat
menotasikan panjang sumbu
mayor dan panjang sumbu
minor.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru menstimulasi siswa dengan
LKS 1 mengenai jari- jari sumbu
mayor (a), jika ditanya panjang
sumbu mayor = a + a = 2a, begitu
pula dengan panjang sumbu minor
129
Siswa tidak dapat
menotasikan jarak titik fokus
dari titik pusat dengan
menggunakan teorema
phytagoras.
Guru memerintahkan siswa untuk
menarik garis dari titik ujung
sumbu minor ke titik fokus,
sehingga terlihat bentuk segitiga
siku-sikunya, begitu pula dengan
gambar yang kedua.
Elips mendatar
Elips tegak
130
Siswa diminta melengkapi
untuk membuktikan
persamaan elips
menggunakan definisi elips
yang telah diketahui
sebelumnya.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat melengkapi
pembuktian definisi elips
dengan benar sehingga
didapat persamaan sederhana 𝒙𝟐
𝒂𝟐 +
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
dan persamaan bentuk
umumnya
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak mengetahui
konsep apa yang digunakan
untuk mencari 𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2.
Siswa kesulitan mendapatkan
jarak 𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru mengarahkan siswa pada
gambar yang sudah diberikan.
Siswa diminta untuk mengamati
∆𝑇𝑅𝐹1,”apa yang dibentuk oleh
∆𝑇𝑅𝐹1?”.
Guru memberikan penjelasan
kepada siswa bahwa mencari jarak
𝑇𝐹1 dan 𝑇𝐹2 menggunakan
phytagoras, serta formula
phytagoras di dapat dengan
mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1 dan ∆𝑇𝑅𝐹2.
131
Siswa keliru dalam
menerapkan persamaan
kuadrat pada langkah
berikutnya.
Siswa tidak mengerti
distributif.
Siswa tidak memahami
menggunakan teorema
phytagoras.
Siswa bingung cara
mendapatkan persamaan
bentuk umum menjadi
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪
Guru menjelaskan secara perlahan
cara menjabarkan persamaan
kuadrat yang dimaksud.
Guru memberikan arahan bahwa
distributif itu mengelompokkan
hal yang sama.
Guru mengarahkan siswa untuk
melihat lagi unsur-unsur kedua
bentuk elips yang berpusat di
(0,0).
Guru menjelaskan yang didapat
dari langkah sebelumnya ialah
𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 𝑎2𝑏2
Dan memisalkan
𝐴 = 𝑏2
𝐵 = 𝑎2
𝐶 = 𝑎2𝑏2
Sehingga menjadi,
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪
Siswa diminta melengkapi
untuk menemukan formula
Latus Rectum dan
eksentrisitas dari dua bentuk
elips yang berbeda
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat
menggambarkan elips
mendatar dan elips tegak
sesuai perintah.
132
Siswa dapat mengisi lengkap
alur untuk menemukan
formula latus rectum dari
kedua elips tersebut.
Siswa dapat menyatakan
formula panjang latus
rectum.
Siswa dapat menggambarkan
elips mendatar dan elips
tegak sesuai perintah untuk
menemukan eksentrisitas.
Siswa dapat melengkapi
untuk menemukan formula
eksentrisitas berdasarkan
definisi.
Siswa dapat menyatakan
formula eksentristas.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak dapat
menggambarkan elips
mendatar dan elips tegak
sesuai perintah.
Siswa tidak tahu nilai x yang
dimaksud untuk elips
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru menuntun siswa untuk
menggambar sesuai perintah serta
definisi latus rectum.
guru memberikan arahan untuk
elips mendatar “ titik fokus berada
133
mendatar dan y untuk elips
tegak.
Siswa tidak bisa
menyamakan penyebut.
Siswa tidak dapat
menyatakan formula panjang
lactus rectum.
Siswa tidak dapat
menggambarkan elips
mendatar dan elips tegak
sesuai perintah untuk
menemukan eksentrisitas.
Siswa tidak dapat
menotasikan jarak dari pusat
pada sumbu ? sehingga jarak dari
titik pusat ke fokus adalah...”
begitu pula dengan mencari nilai
ya pada elips tegak.
guru memerintahkan untuk
melihat penyebut apa saja yang
ada di persamaan tersebut,
samakan kedua pecahan tersebut
dengan 𝒂𝟐 pada elips mendatar dan
𝒃𝟐 pada elips tegak.
guru memberikan arahan bahwa
formula lactus rectum pada
langkah sebelumnya hanya salah
satu dari jarak titik fokus ke titik
lactus rectum, karna panjang
lactus rectum (LR) merupakan
panjang dari titik ujung LR 1 ke
titik ujung LR 2.
Guru menuntun siswa untuk
menggambar sesuai perintah serta
definisi eksentrisitas.
Guru memberikan arahan untuk
mengamati gambar yang telah
134
ke titik fokus dan jari-jari
sumbu mayor.
Siswa tidak dapat
menyatakan formula
eksentristas.
dibuat sebelumnya yang
berdasarkan perintah.
Guru mengarahkan untuk
membaca ulang deskripsi dari
eksentrisitas serta melihatnya
pada gambar.
135
DESAIN PEMBELAJARAN III
Kompetensi Dasar :
3.6 Menganalisis data terkait unsur-unsur elips dan menggambar kurvanya serta mengidentifikasi sifat-sifatnya
4.5 Mengolah data dan membuat model matematika berupa persamaan elips dari suatu masalah nyata dan melakukan manipulasi
aljabar dalam menyelesaikan masalah
4.6 Menyajikan objek-objek nyata sebagai gambaran model elips dan merancang masalah serta menyelesaikannya dengan
menerapkan konsep dan sifat-sifat elips
Indikator :
3.5.6 Siswa dapat menganalisis unsur-unsur yang terdapat pada elips yang berpusat di (h,k)
3.5.7 Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (h,k)
4.3.3 Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi persamaan bentuk umum
4.4.3 Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan elips yang berpusat di (h,k)
Situasi Didaktis Penugasan Prediksi Respon Antisipasi Didaktis
Pendagogis
Situasi 5:
Di suatu perkampuangan di
daerah Cibiru terdapat sebuah
taman bermain yang terletak
di sebelah Balai Desa Cibiru,
yang biasa di kenal sebagai
taman “Kampung Cibiru”.
Taman tersebut ketika
Siswa diminta untuk
menggambarkan dan
menyatakan konsep denah
taman semula dengan taman
setelah dipindahkan, dengan
syarat menggunakan
koordinat kartesius.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat menggambarkan
denah taman semula dengan
denah taman setelah
dipindahkan dan siswa dapat
menjawab menggunakan
konsep translasi atau
136
diamati dari atas seperti
membentuk elips. Taman
“Kampung Cibiru” biasa
digunakan warga sekitar
sebagai taman bermain anak-
anak mereka ketika waktu
siang dan sore hari. Pada
suatu hari, taman bermain
tersebut akan dipindahkan,
dikarenakan adanya
pelebaran bangunan Balai
Desa Cibiru. Taman tersebut
akan dipindahkan ke tempat
yang tidak jauh dari tempat
semula dengan pusat
berjarak (100 m,230m) dari
tempat semula. Jika tempat
taman yang awal berpusat
(0,0).
pergeseran berdasarkan
gambar yang telah dibuat.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa bingung
menggambarkan posisi taman
setelah dipindahkan.
Siswa tidak mengetahui
konsep apa yang digunakan.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru memberikan arahan
untuk menggambarkan
denah taman tersebut sesuai
dengan jarak yang terdapat
pada cerita.
Guru memberikan arahan
bahwa “denah taman semula
dengan denah taman setelah
dipindahkan apakah bentuk
dan ukuran masih sama? Jika
sama, maka konsep apakah
yang cocok untuk
menginterpretasikan kedua
gambar tersebut”.
Situasi 6:
Diberikan dua gambar elips
yang masing – masing terdiri
dari gambar elips yang
berpusat di (0,0) dan elips
Siswa diminta untuk
menganalisis unsur-unsur
yang terdapat pada gambar
elips yang berpusat di (0,0)
dan elips yang berpusat di
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat melengkapi
koordinat pada gambar dan
menotsikan unsur-unsur
dengan benar.
137
yang berpusat di (h,k) pada
setiap bentuk elips.
(h,k) pada bentuk elips
mendatar.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak mengetahui cara
mendapatkan perubahan titik
ujung sumbu minor pada
sumbu y setelah adanya
pergeseran dari (0,0) menjadi
(h,k).
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
ujung sumbu mayor pada
sumbu x setelah adanya
pergeseran dari (0,0) menjadi
(h,k).
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
fokus pada sumbu x setelah
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru memberikan arahan
“lihat jarak dari 0 ke k pada
sumbu y berarti jaraknya
ialah k. Untuk mendapatkan
𝐵1, lihat posisinya pada
sumbu y maka jaraknya
melebihi k atau malah
berkurang?” begitu pula
dengan 𝐵2.
Guru memberikan arahan
“lihat jarak dari 0 ke h pada
sumbu x berarti jaraknya
ialah h. Untuk mendapatkan
𝐴1, lihat jarak titik pusat ke
𝐴1yaitu merupakan jari-jari
mayor (a), lalu lihat posisinya
pada sumbu x maka jarak dari
𝐴1 ke k ialah dengan
mengurangkan h dengan a.
Begitu pula dengan 𝐴2.
Guru memeberikan arahan
untuk mendapatkan 𝐹1, lihat
138
adanya pergeseran dari (0,0)
menjadi (h,k).
Siswa hanya mengetahui
latus rectum dan eksentrisitas
hanya di elips pusat (0,0),
siswa mengira latus rectum
dan eksentrisitas di elips
pusat (h,k) berbeda.
jarak titik pusat ke 𝐹1yaitu
dimisalkan (c), lalu lihat
posisinya pada sumbu x maka
jarak dari 𝐹1 ke k ialah
dengan mengurangkan h
dengan c. Begitu pula dengan
𝐹2.
Guru memberikan arahan
bahwa “latus rectum dan
eksentrisitas hanya di elips
pusat (0,0) maupun di (h,k)
memiliki formula yang sama.
Hal itu dikarenakan akibat
pergeseran tidak merubah
bentuk si elips, begitu pula di
elips tegak”.
Siswa diminta untuk
menganalisis unsur-unsur
yang terdapat pada gambar
elips yang berpusat di (0,0)
dan elips yang berpusat di
(h,k) pada bentuk elips tegak.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat melengkapi
koordinat pada gambar dan
menotsikan unsur-unsur
dengan benar.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru memberikan arahan
“lihat jarak dari 0 ke h pada
139
ujung sumbu minor pada
sumbu x setelah adanya
pergeseran dari (0,0) menjadi
(h,k).
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
ujung sumbu mayor pada
sumbu y setelah adanya
pergeseran dari (0,0) menjadi
(h,k).
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
fokus pada sumbu y setelah
adanya pergeseran dari (0,0)
menjadi (h,k).
sumbu x berarti jaraknya
ialah h. Untuk mendapatkan
𝐴1, lihat jarak dari pusat ke
𝐴1 merupakan (a) lalu lihat
posisinya pada sumbu x maka
jaraknya melebihi h atau
malah berkurang?” begitu
pula dengan 𝐴2.
Guru memberikan arahan
“lihat jarak dari 0 ke k pada
sumbu y berarti jaraknya
ialah k. Untuk mendapatkan
𝐵1, lihat jarak titik pusat ke
𝐵1yaitu merupakan jari-jari
mayor (b), lalu lihat posisinya
pada sumbu y maka jarak dari
titik pusat ke 𝐵1 ialah dengan
menjumlahkan k dengan b.
Begitu pula dengan 𝐵2.
Guru memberikan arahan
untuk mendapatkan 𝐹1, lihat
jarak titik pusat ke 𝐹1yaitu
dimisalkan (c), lalu lihat
posisinya pada sumbu y maka
140
jarak dari titik pusat ke 𝐹1
ialah dengan menjumlahkan
k dengan b. Begitu pula
dengan 𝐹2.
Siswa diminta untuk
melengkapi step by step untuk
menemukan formula
persamaan elips pada pusat
(h,k).
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat melengkapi
setiap langkah untuk
menemukan formula
persamaan elips pada pusat
(h,k).
Kemungkinan kesulitan :
Siswa lupa dengan formula
translasi.
Siswa tidak bisa mengaitkan
formula translasi dengan
pusat (h,k).
Siswa tidak dapat
menemukan x dan y yang
baru.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru mengingatkan bahwa
konsep tranlasi, jika (x,y)
ditranslasi oleh titik (a,b),
maka (𝑥′𝑦′
) = (𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏).
Guru mengarahkan bahwa
(𝑎, 𝑏) = (ℎ, 𝑘), lalu
substitusikan (𝑎, 𝑏) dengan
(ℎ, 𝑘).
Guru mengarahkan jika step
sebelumnya
mensubstitusikan (𝑎, 𝑏)
dengan (ℎ, 𝑘), lalu pindah
141
ruaskan sumbu x dan sumbu
y
(𝑥′𝑦′
) = (𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑘
)
(𝑥′ − ℎ𝑦′ − 𝑘
) = (𝑥𝑦)
Sehingga didapatkan
𝑥 menjadi 𝑥 − ℎ, sedangkan
𝑦 menjadi 𝑦 − 𝑘.
Siswa diminta untuk
melengkapi alur untuk
mengubah persamaan elips
sederhana di (h,k) menjadi
persamaan bentuk umum.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat melengkapi alur
untuk mengubah persamaan
elips sederhana di (h,k)
menjadi persamaan bentuk
umum.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa keliru dalam
menerapkan persamaan
kuadrat pada langkah
berikutnya.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru menjelaskan secara
perlahan cara menjabarkan
persamaan kuadrat yang
dimaksud.
142
Lampiran 5
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP I)
Nama Sekola : SMA Cendrawasih
Mata Pelajaran : Matematika Peminatan
Kelas/Semester : XI/ Genap
Materi Pokok : Irisan Kerucut (Elips)
Alokasi Waktu : 2 x 45 menit
A. Kompetensi Inti
KI 3 (Pengetahuan) :
Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasi pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural, dan metakognitif pada tingkat teknis, spesifik, detail, dan
kompleks dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora
dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait
fenomena dan kejadian pada bidang kerja yang spesifik untuk memecahkan
masalah.
KI 4 (Keterampilan) :
Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait
dengan pengembangan diri yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan
mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
B. Kompetensi Dasar
3.3 Menganalisis konsep dan membuktikan sifat-sifat elips dan menerapkannya
dalam pembuktian dan menyelesaikan masalah matematika dan bidang ilmu lain
3.5 Menganalisis data terkait unsur-unsur elips dan menggambar kurvanya serta
mengidentifikasi sifat-sifatnya
C. Indikator
3.3.1 Mendeskripsikan definisi elips
143
3.3.2 Membuktikan persamaan umum elips
3.5.1 Menganalisis unsur-unsur elips
D. Tujuan Pembelajaran
Siswa dapat mendeskripsikan definisi elips
Siswa dapat membuktikan persamaan umum elips
Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips
E. Materi Pembelajaran
Definisi elips
Unsur-unsur elips
F. Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan Guru memberikan salam pembuka dan berdoa
sebelum memulai pembelajaran
Guru mengkondisikan keadaan kelas
Guru memeriksa kehadiran
Guru menyampaikan tujuan dan manfaat
pembelajaran yang akan dicapai
Guru mengaitkan materi lingkaran dengan materi
elips
Guru membentuk kelompok kecil yang terdiri dari
5 siswa yang heterogen
10 menit
Kegiatan Inti Guru memberikan pengantar melalui slide power
point materi definisi dan unsur-unsur elips
Guru membagikan LKS kepada masing-masing
kelompok
Siswa diminta untuk mengamati situasi 1 pada
LKS
Siswa berdiskusi mengenai menggambar pola elips
dengan ketentuan yang sudah diberikan
Siswa membuktikan persamaan umum elips pada
sebuah model matematika dari pola yang digambar
sebelumnya
Siswa diminta untuk membaca dan mengamati
deskripsi dari masing-masing unsur elips pada
gambar yang sudah disajikan
75 menit
144
Guru memberikan penjelasan sekilas mengenai
unsur-unsur elips
Siswa berdiskusi untuk menganalisis unsur-unsur
elips pada gambar dengan menotasikan unsur-
unsur tersebut pada tabel yang telah diberikan
Siswa diminta untuk membuktikan persamaan
umum elips berdasarkan unsur-unsur elips
Siswa berdiskusi untuk memberikan kesimpulan
tentang definisi dan persamaan umum elips
Guru berkeliling untuk mengamati setiap
kelompok
Guru menunjuk masing-masing perwakilan
kelompok untuk mempresentasikan jawaban
kelompoknya di depan kelas
Guru mempersilahkan siswa untuk bertanya
Kegiatan
Akhir
Guru bersama siswa menyimpulkan mengenai
definisi dan unsur-unsur elips
Guru meminta siswa untuk mempelajari materi
elips yang berpusat di (0,0)
Guru bersama-sama dengan siswa mengakhiri
pelajaran dengan doa
Guru menutup pembelajaran dengan mengucapkan
salam
5 menit
G. Alat/ Media/ Sumber Pembelajaran
Media : papan lukis elips, LCD, Notebook, spidol, papan tulis.
Sumber Belajar : Nanang Priatna dan Tito Sukamto,Buku Siswa Aktif dan
Kreatif Belajar Matematika untuk Sekolah Menengah
Atas/Madrasah Aliyah kelas XI Peminatan dan Ilmu-Ilmu
Alam,(Jakarta: Raja Garfindo Persada,2016), LKS.
H. Penilaian Hasil belajar
No. Aspek yang Dinilai Teknik
Penilaian Waktu Penilaian
1. Sikap
a. Tanggung jawab dalam
menyelesaikan tugas dan
Observasi
Selama kegiatan
pembelajaran
145
menjawab pertanyaan yang
diberikan
b. Disiplin dalam proses
pembelajaran
c. Kritis dan kreatif dalam
mengajukan dan menjawab
pertanyaan
d. Rasa ingin tahu dalam
memahami materi maupun
saat menyelesaikan tugas
Penilaian
diri
2. Pengetahuan
a. Membuktikan persamaan
umum elips dari definisi
elips
b. Menganalisis unsur-unsur
elips
Penugasan/
LKS
Pada saat pembelajaran
berlangsung
3. Keterampilan
a. Menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan
dengan definisi elips dan
unsur-unsur elips
b. Memaparkan hasil didepan
kelas
Penilaian
untuk kerja
Saat proses
pembelajaran/ presentasi
I. Instrumen Pengamatan Sikap
Rasa ingin tahu
a. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba atau bertanya
atau acuh tak acuh (tidak mau tahu) dalam proses pembelajaran.
b. Baik jika sudah ada untuk mencoba atau bertanya dalam proses pembelajaran
tetapi masih belom konsisten.
146
c. Sangat baik jika adanya usaha untuk mecoba atau bertanya dalam proses
pembelajaran secara terus menerus dan konsisten.
Indikator perkembangan sikap tanggung jawab
a. Kurang baik jika sama sekali tidak mau mengerjakan
b. Baik jika sudah ada usaha mengerjakan tugas namun belum konsisten
c. Sangat baik jika sudah mengambil peran dalam mengerjakan tugas dan
konsisten.
Berikan tanda centang (√ ) pada kolom berikut sesuai hasil pengamatan.
No
. Nama
Rasa Ingin Tahu Tanggung Jawab
KB B SB KB B SB
1.
2.
3.
Catatan :
KB = Kurang Baik, B = Baik, SB = Sangat Baik
Kunci jawaban dan Pedoman Penskoran
No. Kunci jawaban Skor
1.
15
a. 𝐵1𝐹1 + 𝐵1𝐹2 = 2𝑎
10 + 10 = 2.10
20 = 20 (terbukti)
15
147
b. panjang sumbu mayor = panjang 𝐴1𝐴2 = 2a = 2.10 = 20 10
c. panjang sumbu minor = panjang 𝐵1𝐵2 = 2b = 2.8 = 16 10
2.
15
Titik 𝐵1 = (0,3) dan Titik 𝐵2 = (0, −3) 5
TOTAL 80
148
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP II)
Nama Sekola : SMA Cendrawasih
Mata Pelajaran : Matematika Peminatan
Kelas/Semester : XI/ Genap
Materi Pokok : Irisan Kerucut (Elips)
Alokasi Waktu : 2 x 45 menit
J. Kompetensi Inti
KI 3 (Pengetahuan) :
Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasi pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural, dan metakognitif pada tingkat teknis, spesifik, detail, dan
kompleks dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora
dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait
fenomena dan kejadian pada bidang kerja yang spesifik untuk memecahkan
masalah.
KI 4 (Keterampilan) :
Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait
dengan pengembangan diri yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan
mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
K. Kompetensi Dasar
3.5 Menganalisis data terkait unsur-unsur elips dan menggambar kurvanya serta
mengidentifikasi sifat-sifatnya
4.3 Mengolah data dan membuat model matematika berupa persamaan elips dari
suatu masalah nyata dan melakukan manipulasi aljabar dalam menyelesaikan
masalah
4.4 Menyajikan objek-objek nyata sebagai gambaran model elips dan merancang
masalah serta menyelesaikannya dengan menerapkan konsep dan sifat-sifat elips
149
L. Indikator
3.5.2 Menentukan unsur-unsur yang terdapat pada elips yang berpusat di (0,0)
3.5.3 Membuktikan persamaan elips yang berpusat di (0,0)
4.3.1 Mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi persamaan bentuk
umum
4.4.1 Menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan elips yang berpusat di
(0,0)
M. Tujuan Pembelajaran
Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0)
Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (0,0)
Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi pers.bentuk
umum
Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan elips yang berpusat
di (0,0)
N. Materi Pembelajaran
Unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0)
Persamaan bentuk elips yang berpusat di (0,0)
O. Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan Guru memberikan salam pembuka dan berdoa
sebelum memulai pembelajaran
Guru mengkondisikan keadaan kelas
Guru memeriksa kehadiran
Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang
akan dicapai
Guru mereview definisi elips
Guru membentuk kelompok kecil yang terdiri dari
5 siswa yang heterogen
10 menit
Kegiatan Inti Guru memberikan pengantar melalui slide power
point materi elips berpusat (0,0)
Guru membagikan LKS kepada masing-masing
kelompok
75 menit
150
Siswa diminta untuk mengamati situasi 3 pada
LKS
Siswa berdiskusi mengenai orbit bumi yang
berkaitan dengan elips
Siswa diminta untuk menuliskan argumennya
mengenai perbedaan bentuk dari kedua gambar
yang telah disajikan pada LKS
Siswa diminta untuk memberikan kesimpulan
bentuk elips yang berpusat di (0,0)
Siswa berdiskusi untuk menganalisis unsur-unsur
elips pada kedua gambar dengan menotasikan
unsur-unsur tersebut pada tabel yang telah
diberikan
Siswa diminta membuktikan untuk mendapat
persamaan elips berdasarkan definisi elips serta
unsur-unsur elips
Siswa berdiskusi untuk mencari formula latus
rectum dan eksentrisitas pada kedua bentuk elips
Siswa diminta untuk menuliskan kembali
persamaan elips yang berpusat di (0,0)
Siswa diminta menuliskan kembali unsur-unsur
elips yang berpusat di (0,0) dalam bentuk tabel
Guru berkeliling untuk mengamati setiap
kelompok
Guru menunjuk masing-masing perwakilan
kelompok untuk mempresentasikan jawaban
kelompoknya di depan kelas
Guru mempersilahkan siswa untuk bertanya
Kegiatan
Akhir
Guru bersama siswa menyimpulkan mengenai
unsur-unsur dan persamaan yang terdapat pada
elips yang berpusat di (0,0)
Guru meminta siswa untuk mempelajari materi
elips yang berpusat di (h,k)
Guru bersama-sama dengan siswa mengakhiri
pelajaran dengan doa
Guru menutup pembelajaran dengan mengucapkan
salam
5 menit
151
P. Alat/ Media/ Sumber Pembelajaran
Media : papan lukis elips, LCD, Notebook, spidol, papan tulis.
Sumber Belajar : Nanang Priatna dan Tito Sukamto,Buku Siswa Aktif dan
Kreatif Belajar Matematika untuk Sekolah Menengah
Atas/Madrasah Aliyah kelas XI Peminatan dan Ilmu-Ilmu
Alam,(Jakarta: Raja Garfindo Persada,2016), LKS.
Q. Penilaian Hasil belajar
No. Aspek yang Dinilai Teknik
Penilaian Waktu Penilaian
1. Sikap
e. Tanggung jawab dalam
menyelesaikan tugas dan
menjawab pertanyaan yang
diberikan
f. Disiplin dalam proses
pembelajaran
g. Kritis dan kreatif dalam
mengajukan dan menjawab
pertanyaan
h. Rasa ingin tahu dalam
memahami materi maupun
saat menyelesaikan tugas
Observasi
Penilaian
diri
Selama kegiatan
pembelajaran
2. Pengetahuan
c. Membuktikan persamaan
elips yang berpusat di (0,0)
dari definisi elips
d. Menganalisis unsur-unsur
elips
Penugasan/
LKS
Pada saat pembelajaran
berlangsung
3. Keterampilan
152
c. Menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan
dengan elips yang berpusat
di (0,0) dan unsur-unsur
elips
d. Memaparkan hasil didepan
kelas
Penilaian
untuk kerja
Saat proses
pembelajaran/ presentasi
R. Instrumen Pengamatan Sikap
Rasa ingin tahu
d. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba atau bertanya
atau acuh tak acuh (tidak mau tahu) dalam proses pembelajaran.
e. Baik jika sudah ada untuk mencoba atau bertanya dalam proses pembelajaran
tetapi masih belom konsisten.
f. Sangat baik jika adanya usaha untuk mecoba atau bertanya dalam proses
pembelajaran secara terus menerus dan konsisten.
Indikator perkembangan sikap tanggung jawab
d. Kurang baik jika sama sekali tidak mau mengerjakan
e. Baik jika sudah ada usaha mengerjakan tugas namun belum konsisten
f. Sangat baik jika sudah mengambil peran dalam mengerjakan tugas dan
konsisten.
Berikan tanda centang (√ ) pada kolom berikut sesuai hasil pengamatan.
No
. Nama
Rasa Ingin Tahu Tanggung Jawab
KB B SB KB B SB
1.
2.
3.
Catatan :
KB = Kurang Baik, B = Baik, SB = Sangat Baik
153
Kunci jawaban dan Pedoman Penskoran
No. Kunci jawaban Skor
1. a. 𝑥2
169+
𝑦2
144= 1
𝑥2
132 +𝑦2
122 = 1
𝑎 = 13 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 12 , serta a > b elips mendatar
Panjang sumbu mayor = 2.13 = 26
Panjang sumbu minor = 2.12 = 24
Titik fokus
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 maka, titik fokus (-5,0) dan (5,0)
𝑐2 = 132 − 122
𝑐2 = 25
𝑐 = 5
Latus Rectum= 2𝑏2
𝑎= 2
122
13=
288
13
Eksentrisitas = 𝑐
𝑎=
5
13
25
b. 25𝑥2 + 16𝑦2 = 400 (kedua ruas dibagi 400)
𝑥2
16+
𝑦2
25= 1
𝑥2
42 +𝑦2
52 = 1
𝑎 = 4 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 5 , serta a < b elips tegak
Panjang sumbu mayor = 2.4 = 8
Panjang sumbu minor = 2.5 = 10
Titik fokus
𝑐2 = 𝑏2 − 𝑎2 maka, titik fokus (-5,0) dan (5,0)
𝑐2 = 52 − 42
𝑐2 = 9
𝑐 = 3
Latus Rectum= 2𝑎2
𝑏= 2
42
5=
32
5
Eksentrisitas = 𝑐
𝑏=
3
5
25
2. Titik fokus (c,0) = (1,0) c = 1
Titik ujung sumbu minor (0,b) = (0, 2) b = 2 20
154
Dengan menggunakan phytagoras
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑎2 = 12 + 22
𝑎2 = 5
𝑎 = √5
Sehingga, 𝑥2
(√5)2 +
𝑦2
22 = 1 𝑥2
5+
𝑦2
4= 1
3. Panjang mayor = 338 m jari-jari mayor (a) =338
2= 169 𝑚
Panjang minor = 240 m jari-jari minor (b) =240
2= 120 𝑚
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑐2 = 1692 − 1202
𝑐2 = 28561 − 14400
𝑐2 = 14161
𝑐 = 119
Maka, jarak kedua air mancur tersebut 2.119 = 238 𝑚
30
TOTAL 100
155
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP III)
Nama Sekola : SMA Cendrawasih
Mata Pelajaran : Matematika Peminatan
Kelas/Semester : XI/ Genap
Materi Pokok : Irisan Kerucut (Elips)
Alokasi Waktu : 2 x 45 menit
S. Kompetensi Inti
KI 3 (Pengetahuan) :
Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasi pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural, dan metakognitif pada tingkat teknis, spesifik, detail, dan
kompleks dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora
dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait
fenomena dan kejadian pada bidang kerja yang spesifik untuk memecahkan
masalah.
KI 4 (Keterampilan) :
Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait
dengan pengembangan diri yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan
mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
T. Kompetensi Dasar
3.6 Menganalisis data terkait unsur-unsur elips dan menggambar kurvanya serta
mengidentifikasi sifat-sifatnya
4.5 Mengolah data dan membuat model matematika berupa persamaan elips dari
suatu masalah nyata dan melakukan manipulasi aljabar dalam menyelesaikan
masalah
4.6 Menyajikan objek-objek nyata sebagai gambaran model elips dan merancang
masalah serta menyelesaikannya dengan menerapkan konsep dan sifat-sifat elips
156
U. Indikator
3.5.6 Siswa dapat menganalisis unsur-unsur yang terdapat pada elips yang
berpusat di (h,k)
3.5.7 Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (h,k)
4.3.3 Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi
persamaan bentuk umum
4.4.3 Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan elips
yang berpusat di (h,k)
V. Tujuan Pembelajaran
Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips yang berpusat di (h,k)
Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (h,k)
Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi pers.bentuk
umum
Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan elips yang berpusat
di (h,k)
W. Materi Pembelajaran
Unsur-unsur elips yang berpusat di (h,k)
Persamaan bentuk elips yang berpusat di (h,k)
X. Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan Guru memberikan salam pembuka dan berdoa
sebelum memulai pembelajaran
Guru mengkondisikan keadaan kelas
Guru memeriksa kehadiran
Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang
akan dicapai
Guru mereview materi elips berpusat (0,0)
Guru membentuk kelompok kecil yang terdiri dari
5 siswa yang heterogen
10 menit
Kegiatan Inti Guru memberikan pengantar melalui slide power
point materi elips berpusat (h,k) 75 menit
157
Guru membagikan LKS kepada masing-masing
kelompok
Siswa diminta untuk mengamati situasi 5 pada
LKS
Siswa berdiskusi mengenai denah taman semula
dan denah taman setelah dipindahkan
Siswa berdiskusi tentang konsep apa yang
digunakan pada saat pemindahan taman
Siswa berdiskusi untuk menganalisis unsur-unsur
elips mendatar dengan pusat (0,0) dengan elips
mendatar setelah terjadi pergeseran menjadi (h,k)
Siswa diminta menotasikan unsur-unsur tersebut
pada tabel yang telah diberikan
Siswa berdiskusi untuk menganalisis unsur-unsur
elips tegak dengan pusat (0,0) dengan elips tegak
setelah terjadi pergeseran menjadi (h,k)
Siswa diminta menotasikan unsur-unsur tersebut
pada tabel yang telah diberikan
Siswa diminta membuktikan untuk mendapat
persamaan elips (h,k) berdasarkan persamaan elips
(0,0) menggunakan konsep translasi
Siswa diminta untuk mencari persamaan bentuk
umum berdasarkan persamaan elips (h,k) yang
sudah ditemukan sebelumnya
Siswa diminta untuk menuliskan kembali
persamaan elips yang berpusat di (h,k)
Siswa diminta untuk menuliskan kembali
persamaan bentuk umum elips yang berpusat di
(h,k)
Guru berkeliling untuk mengamati setiap
kelompok
Guru menunjuk masing-masing perwakilan
kelompok untuk mempresentasikan jawaban
kelompoknya di depan kelas
Guru mempersilahkan siswa untuk bertanya
Kegiatan
Akhir
Guru bersama siswa menyimpulkan mengenai
unsur-unsur dan persamaan yang terdapat pada
elips yang berpusat di (h,k)
5 menit
158
Guru meminta siswa untuk mengulang materi dari
definisi elips hingga persamaan yang berpusat di
(h,k)
Guru bersama-sama dengan siswa mengakhiri
pelajaran dengan doa
Guru menutup pembelajaran dengan mengucapkan
salam
Y. Alat/ Media/ Sumber Pembelajaran
Media : papan lukis elips, LCD, Notebook, spidol, papan tulis.
Sumber Belajar : Nanang Priatna dan Tito Sukamto,Buku Siswa Aktif dan
Kreatif Belajar Matematika untuk Sekolah Menengah
Atas/Madrasah Aliyah kelas XI Peminatan dan Ilmu-Ilmu
Alam,(Jakarta: Raja Garfindo Persada,2016), LKS.
Z. Penilaian Hasil belajar
No. Aspek yang Dinilai Teknik
Penilaian Waktu Penilaian
1. Sikap
i. Tanggung jawab dalam
menyelesaikan tugas dan
menjawab pertanyaan yang
diberikan
j. Disiplin dalam proses
pembelajaran
k. Kritis dan kreatif dalam
mengajukan dan menjawab
pertanyaan
l. Rasa ingin tahu dalam
memahami materi maupun
saat menyelesaikan tugas
Observasi
Penilaian
diri
Selama kegiatan
pembelajaran
2. Pengetahuan
159
e. Membuktikan persamaan
elips yang berpusat di (h,k)
dari definisi elips
f. Menganalisis unsur-unsur
elips (h,k) dengan
membandingkan dengan
elips (0,0)
Penugasan/
LKS
Pada saat pembelajaran
berlangsung
3. Keterampilan
e. Menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan
dengan elips yang berpusat
di (h,k) dan unsur-unsur
elips
f. Memaparkan hasil didepan
kelas
Penilaian
untuk kerja
Saat proses
pembelajaran/ presentasi
AA. Instrumen Pengamatan Sikap
Rasa ingin tahu
g. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba atau bertanya
atau acuh tak acuh (tidak mau tahu) dalam proses pembelajaran.
h. Baik jika sudah ada untuk mencoba atau bertanya dalam proses pembelajaran
tetapi masih belom konsisten.
i. Sangat baik jika adanya usaha untuk mecoba atau bertanya dalam proses
pembelajaran secara terus menerus dan konsisten.
Indikator perkembangan sikap tanggung jawab
g. Kurang baik jika sama sekali tidak mau mengerjakan
h. Baik jika sudah ada usaha mengerjakan tugas namun belum konsisten
i. Sangat baik jika sudah mengambil peran dalam mengerjakan tugas dan
konsisten.
Berikan tanda centang (√ ) pada kolom berikut sesuai hasil pengamatan.
160
No
. Nama
Rasa Ingin Tahu Tanggung Jawab
KB B SB KB B SB
1.
2.
3.
Catatan :
KB = Kurang Baik, B = Baik, SB = Sangat Baik
Kunci jawaban dan Pedoman Penskoran
No. Kunci jawaban Skor
1. 25𝑥2 + 9𝑦2 + 50𝑥 + 72𝑦 − 56 = 0
Sehingga,
( 𝑥 + 1 )2
9+
( 𝑦 + 4 )2
25= 1
30
2. Titik pusat (4,-2) (h,k)
Titik puncak (9,-2) (h±a,k)
Titik fokus (0,-2) (h±c,k)
ℎ ± 𝑎 = 9
4 ± 𝑎 = 9
𝑎 = ±5
𝑎 = 5
𝑎2 = 25
Maka :
b2 = a2 − c2
b2 = 25 − 16
b2 = 9
40
𝐴 = 25
𝑏2 = 25
𝑏 = 5
ℎ ± 𝑐 = 0
4 ± 𝑐 = 0
𝑐 = ±4
𝑐 = 4
𝑐2 = 16
𝐵 = 9
𝑎2 = 9
𝑎 = 3
𝐶 = 50
−2ℎ𝑏2 = 50
−50ℎ = 50
ℎ = −1
𝐷 = 72
−2𝑘𝑎2 = 72
−18𝑘 = 72
𝑘 = −4
161
Jadi persamaan elips adalah : (x−4)2
25+
(y+2)2
9= 1
3.
Maka, 𝑒 =𝑐
𝑎=
17,50
18.09= 0,9259 𝐴𝑈
30
TOTAL 100
𝑝𝑗 . 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 36,18
2𝑎 = 36,18
𝑎 = 18,09
𝑝𝑗. 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟 = 9,12
2𝑏 = 9,12
𝑏 = 4,56
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑐2 = 18,092 − 4,562
𝑐2 = 18,092 − 4,562
𝑐2 = 306,4545
𝑐 = 17,50
162
Gambarkan apa yang terjadi jika Tobi dan Putri memutari Fani dan Fido!
Jika :
Elips
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat mendeskripsikan definisi elips
Siswa dapat membuktikan persamaan umum elips
Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips
Nama Anggota Kelompok :
1. .............................. 2. .............................. 3. ............................ 4. .......................... 5. ...................
Pada siang hari yang sangat terik berkumpulah Tobi, Fani, Putri, dan
Fido di tanah lapang. Hari itu mereka mendapatkan tugas dari Bu
Sinta untuk mengamati bentuk-bentuk elips yang berada di sekitar dan
menggambarnya di buku gambar. Bu Sinta memberikan arahan
kepada mereka bahwa elips itu adalah “kedudukan titik-titik yang
jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.” Namun
mereka belum memahaminya bagaimana menggambar elips
berdasarkan pengertian seperti arahan Bu Sinta. Mereka berinisiatif
untuk mencoba menggambar di tanah lapang seperti berikut (gambar
1) dengan menggunakan tali. Mereka memegang tali dengan syarat
Fani dan Fido tetap pada posisinya sedangkan Tobi dan Putri
memutari Fani dan Fido.
Definisi
SITUASI 1
Gambarkan berdasarkan alat peraga yang sudah
disediakan
Lampiran 6
163
Tobi dan Putri sebagai Titik Sebarang (T dan P)
Fani dan Fido sebagai Titik Fokus 1 dan Titik Fokus 2 (F1 dan F2)
Unsur – Unsur elips :
1) Titik Pusat adalah titik potong sumbu utama
dan sumbu sekawan elips.
2) Titik Puncak adalah titik ujung yang berada
pada sumbu utama.
3) Sumbu Mayor adalah sumbu simetri yang
melalui titik pusat dan kedua titik fokus elips.
4) Sumbu Minor adalah sumbu simetri yang tegak
lurus dengan sumbu utama dan melalui titik
pusat elips.
5) Latus Rectum adalah panjang ruas garis yang
melalui titik fokus elips dan tegak lurus dengan
sumbu utama.
Maka terbukti menurut definisi elips adalah 𝑻𝑭𝟏 + ⋯ = ⋯ + 𝑷𝑭𝟐
Berdasarkan deskripsi diatas tentukan unsur-unsur berikut dengan memperhatikan gambar diatas!
Unsur-Unsur Notasi
Titik Pusat
Titik Fokus
Titik Puncak
Sumbu Mayor
Sumbu Minor
Jari-Jari Mayor
Jari-Jari Minor
Latus Rectum
SITUASI 2
164
Setelah kita mengetahui unsur-unsur yang terdapat pada elips, maka sekarang kita mengaitkan definisi
elips sebelumnya dengan unsur-unsur tersebut !
LATIHAN !
1. Jika diketahui 𝐴1(-10,0), 𝐴2(10,0), 𝐴1𝐹1𝑑𝑎𝑛 𝐹2𝐴2 berjarak 4, dan 𝐵1(8,0).
a) Buktikan 𝐵1𝐹1 + 𝐵1𝐹2 = 2𝑎 !
b) Tentukan panjang sumbu mayor ?
c) Tentukan panjang sumbu minor ?
2. Jika diketahui gambar berikut
Diketahui titik pusat berada di (0,0)
Jika jarak 𝐵1𝐹2 = 5 dan 𝑃𝐹2 = 4. Tentukan
titik 𝐵1 dan 𝐵2 ?
Apakah definisi elips ?
Tuliskan kembali persamaan elips berdasarkan definisi ?
𝑻𝑭𝟏 + 𝑻𝑭𝟐 = 𝑷𝑭𝟏 + 𝑷𝑭𝟐
𝑻𝑭𝟏 + 𝑻𝑭𝟐 = 𝑨𝟏𝑭𝟏 + 𝑨𝟏𝑭𝟐
= (… −. … ) + (… +. … )
= ⋯ + ⋯
= ⋯
165
Amatilah gambar-gambar orbit bumi berikut ini !
lips berpusat
(0,0)
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0)
Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (0,0)
Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi pers.bentuk umum
Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan elips yang berpusat di (0,0)
Nama Anggota Kelompok :
1. .............................. 2. .............................. 3. ............................ 4. .......................... 5. ...................
SITUASI 3
Orbit secara umum dikatakan sebagai lintasan (jalur) benda mengelilingi benda lain. Orbit elips
adalah orbit yang membentuk jalur lingkaran lonjong. Orbit ini biasanya merupakan orbit yang
dilintasi oleh satelit-satelit.
Tuliskan mengenai bentuk kedua gambar orbit bumi pada gambar diatas ?
Gambar 1
Gambar 2
166
Berdasarkan gambar diatas tentukan unsur-unsur dari kedua bentuk elips tersebut!
Unsur-Unsur Elips Mendatar Elips Tegak
Sifat a > b a < b
Titik Pusat
Titik Puncak
Titik Fokus
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Jarak pusat ke titik
fokus
(menggunakan
teorema phytagoras)
Apa yang membedakan dari kedua gambar orbit bumi tersebut?
Jika matahari berada di salah satu titik fokus dan pusat dari orbit bumi berada di (0,0) maka pada elips
yang berpusat di (0,0) terdapat dua bentuk elips yaitu ................................................. dan
...................................................
UNSUR – UNSUR ELIPS BERPUSAT DI (0,0)
ELIPS MENDATAR ELIPS TEGAK
SITUASI 4
167
K
Dengan menggunakan definisi elips yang sebelumnya,
𝑻𝑭𝟏 + 𝑻𝑭𝟐 = 𝟐𝒂
√ … 2 + . . .2+ √ … 2 + . . .2 = 2𝑎
√( … + . . . ) 2 +. . .2+ √ ( … − . . . ) 2 +. . .2 = 2𝑎
Kedua ruas dikurangi √( 𝒄 − 𝒙) 𝟐 + 𝒚𝟐
√( … + . . . ) 2 +. . .2 = 2𝑎 − √ ( 𝑐 − 𝑥) 2 + 𝑦2
Kuadratkan kedua ruas
(√( … + . . . ) 2 +. . .2 )2
= (2𝑎 − √ ( … − . . . ) 2 +. . .2 )2
Jabarkan ! ingat (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
( … + . . . ) 2 +. . .2 = ⋯ − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2+ ( ( … − . . . ) 2 +. . .2 )
… +. . . +. . . +𝑦2 = ⋯ − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2 +. . . − . . . +. . . +𝑦2
… 𝑥𝑐 = ⋯ − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2
Ingat! distributif
… 𝑥𝑐 =. . . (… − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2 )
Kedua ruas dikalikan 𝟏
𝟒
… = … −. . . √ ( … − . . . )2 +. . .2
Kedua ruas dikurangi 𝒂𝟐
… − . . . = −. . . √ ( … − . . . )2 +. . .2
PERSAMAAN ELIPS BERPUSAT DI (0,0)
Bagaimana formula 𝑻𝑭𝟏 𝑑𝑎𝑛 𝑻𝑭𝟐
berdasarkan gambar disamping?
Konsep apa yang kamu gunakan
untuk mencari 𝑻𝑭𝟏 𝑑𝑎𝑛 𝑻𝑭𝟐 ?
168
Kuadratkan kedua ruas
(… − . . . )2 = (−. . . √ ( … − . . . )2 +. . .2 )2
𝑥2𝑐2+ . . . − . . . =. . . ( ( … − . . . )2 +. . .2 )
𝑥2𝑐2+ . . . − . . . =. . . (𝑐2−. . . +. . . +. . .2 )
𝑥2𝑐2+ . . . − . . . = 𝑎2𝑐2− . . . + 𝑥2𝑎2 + …
Kedua ruas dikurangi 𝒂𝟒
𝑥2𝑐2− . . . = 𝑎2𝑐2− . . . + 𝑥2𝑎2 + … − …
Kedua ruas dikurangi (−𝟐𝒂𝟐𝒄𝒙 + 𝒙𝟐𝒂𝟐 + 𝒂𝟐𝒚𝟐)
𝑥2𝑐2 − … + . . . − 𝑥2𝑎2− . . . = −𝑎4 + 𝑎2𝑐2
𝑥2𝑐2 − 𝑥2𝑎2 − . . . = −𝑎4 + 𝑎2𝑐2
𝑥2(𝑐2 − 𝑎2) − . . . = −𝑎4 + 𝑎2𝑐2
Kedua ruas dikalikan (-1)
𝑥2(𝑎2 − 𝑐2)+ . . . = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2
𝑥2(𝑎2 − 𝑐2)+ . . . = 𝑎2(. . . − . . . )
Ingat! 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
𝑥2(𝑎2 − (. . . − . . . ))+ . . . = 𝑎2(. . . − (. . . − . . . ))
𝑥2 . . . + . . . = 𝑎2. ..
Kedua ruas dikalikan 1
𝑎2𝑏2
𝒙𝟐
… +
…
… = 𝟏
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪
dengan
𝑨 = …
𝑩 = …
𝑪 = …
Bentuk Pers.Elips sederhana
Bentuk Umum Pers.Elips
169
Latus Rectum adalah segmen garis yang dibatasi elips, melalui titik fokus dan tegak lurus
dengan sumbu mayor.
Elips Mendatar Elips Tegak
Berdasarkan gambar diatas, maka nilai
𝒙 = . … 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 = . …
Dengan menggunakan persamaan elips, maka
didapat sebagai berikut :
𝒙𝟐
𝒂𝟐 +
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
Substitusi salah satu nilai x
…𝟐
𝒂𝟐 +
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
Kedua ruas dikurangi (𝒄𝟐
𝒂𝟐)
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏 −
…𝟐
𝒂𝟐
𝒚𝟐
𝒃𝟐 =
…𝟐 − …𝟐
𝒂𝟐
Menggunakan teorema phytagoras
𝒚𝟐
𝒃𝟐 =
…𝟐
𝒂𝟐
Berdasarkan gambar diatas, maka nilai
𝒚 = . … 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒚 = . …
Dengan menggunakan persamaan elips, maka
didapat sebagai berikut :
𝒙𝟐
𝒂𝟐 +
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
Substitusi salah satu nilai y
𝒙𝟐
𝒂𝟐 +
…𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
Kedua ruas dikurangi (𝒄𝟐
𝒃𝟐)
𝒙𝟐
𝒂𝟐 = 𝟏 −
…𝟐
𝒃𝟐
𝒙𝟐
𝒂𝟐 =
…𝟐 − …𝟐
𝒃𝟐
Menggunakan teorema phytagoras
𝒙𝟐
𝒂𝟐 =
…𝟐
𝒃𝟐
LATUS RECTUM DAN EKSENTRISITAS
Gambarkan elips mendatar dengan titik fokus:
𝐹1(−𝑐, 0) 𝑑𝑎𝑛 𝐹2(𝑐, 0) beserta latus rectum
berdasarkan definisi.
Gambarkan elips tegak dengan titik fokus:
𝐹1(−𝑐, 0) 𝑑𝑎𝑛 𝐹2(𝑐, 0) beserta latus rectum
berdasarkan definisi.
LATUS RECTUM
170
dikali silang
𝒚𝟐 =. . .
𝒂𝟐
Akarkan kedua ruas
𝒚 = ±. . .
…
dikali silang
𝒙𝟐 =. . .
𝒃𝟐
Akarkan kedua ruas
𝒙 = ±. . .
…
Maka panjang Latus Rectum adalah
Maka panjang Latus Rectum adalah
Eksentrisitas adalah perbandingan jarak dari titik pusat ke titik fokus dengan jari-jari
sumbu mayor.
Elips Mendatar Elips Tegak
Berdasarkan gambar diatas,
jarak dari titik pusat ke titik fokus
𝑶𝑭𝟏 = … = …
Jari-jari sumbu mayor
𝑶𝑽𝟏 = … = …
Berdasarkan gambar diatas,
jarak dari titik pusat ke titik fokus
… = … = …
Jari-jari sumbu mayor
… = … = …
Berdasarkan definisi maka,
𝒆 =…
…
Berdasarkan definisi maka,
𝒆 =…
…
Tuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di (0,0)?
Gambarkan elips mendatar dengan titik pusat O,
titik fokus 𝐹1 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 , dan titik puncak 𝑉1 𝑑𝑎𝑛 𝑉2
Gambarkan elips tegak dengan titik pusat O, titik
fokus 𝐹1 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 , dan titik puncak 𝑉1 𝑑𝑎𝑛 𝑉2
EKSENTRISITAS
171
LATIHAN !
1. Tentukan panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, titik fokus, latus rectum, dan
eksentrisitas dari persamaan berikut :
a) 𝑥2
169+
𝑦2
144= 1
b) 25𝑥2 + 16𝑦2 = 400
2. Tentukan persamaan elips mendatar jika diketahui titik fokus (1,0) dan titik ujung sumbu
minor (0,2)!
3. Di suatu kota terdapat sebuah taman bermain. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu jalan
berbentuk elips dengan panjang mayor dan minor berturut-turut 338 meter dan 240 meter.
Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur pada masing – masing sisi
taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut !
172
lips
berpusat (h,k)
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips yang berpusat di (h,k)
Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (h,k)
Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi pers.bentuk umum
Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan elips yang berpusat di (h,k)
Nama Anggota Kelompok :
1. .............................. 2. .............................. 3. ............................ 4. .......................... 5. ...................
SITUASI 5
Gambarkan denah taman semula dengan denah taman setelah dipindahkan! (Gunakan Koordinat Kartesius)
Di suatu perkampuangan di daerah Cibiru terdapat
sebuah taman bermain yang terletak di sebelah Balai
Desa Cibiru, yang biasa di kenal sebagai taman
“Kampung Cibiru”. Taman tersebut ketika diamati dari
atas seperti membentuk elips. Taman “Kampung Cibiru”
biasa digunakan warga sekitar sebagai taman bermain
anak-anak mereka ketika waktu siang dan sore hari.
Pada suatu hari, taman bermain tersebut akan
dipindahkan, dikarenakan adanya pelebaran bangunan
Balai Desa Cibiru. Taman tersebut akan dipindahkan ke
tempat yang tidak jauh dari tempat semula dengan
pusat berjarak (230 m,100m) dari tempat semula. Jika
tempat taman yang semula berpusat (0,0).
173
Berdasarkan gambar diatas tentukan unsur-unsur dari kedua bentuk elips tersebut!
Unsur-Unsur Pusat (0,0) Pusat (h,k)
Sifat a > b a > b
Titik Pusat
Titik Puncak
Titik Fokus
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Titik sumbu mayor
Titik sumbu minor
UNSUR – UNSUR ELIPS BERPUSAT DI (h,k)
SITUASI 6
Konsep apa yang digunakan terkait pada denah taman yang semula dan denah taman setelah dipindahkan ?
ELIPS MENDATAR
174
Jarak pusat ke titik
fokus
(menggunakan
teorema phytagoras)
Latus Rectum
Eksentrisitas
Berdasarkan gambar diatas tentukan unsur-unsur dari kedua bentuk elips tersebut!
Unsur-Unsur Pusat (0,0) Pusat (h,k)
Sifat a < b a < b
Titik Pusat
ELIPS TEGAK
175
Titik Puncak
Titik Fokus
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Titik sumbu mayor
Titik sumbu minor
Jarak pusat ke titik
fokus
(menggunakan
teorema phytagoras)
Latus Rectum
Eksentrisitas
PERSAMAAN ELIPS BERPUSAT DI (h,k)
Tuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di (0,0) !
Tuliskan formula translasi (pergeseran)!
Kaitkan formula translasi dengan pusat (h,k)!
1
2
3
Carilah titik x dan y yang baru berdasarkan formula diatas !
4
176
Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di (0,0),maka
tentukan persamaan elips yang berpusat di (h,k) !
5
Mengubah Persamaan Elips Sederhana Menjadi Persamaan Bentuk Umum
Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di (h,k),
( … − … )𝟐
…+
( … − … )𝟐
…= 𝟏
Kalikan kedua ruas dengan 𝒂𝟐𝒃𝟐
… 2( … − … )𝟐 + … 2( … − … )𝟐 = 𝑎2𝑏2
Jabarkan ! ingat (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
… 2( … − … + … ) + … 2( … − … + … ) = 𝑎2𝑏2
Jabarkan !
… − … + … + … − … + … = 𝑎2𝑏2
Kedua ruas dikurangi 𝒂𝟐𝒃𝟐
… − … + … + … − … + … − 𝑎2𝑏2 = 0
Urutkan dari pangkat yang tertinggi
… 𝑥2 + … 𝑦2 − … 𝑥 − … 𝑦 + ( … + … − … ) = 0
Jika dimisalkan A = koefisien 𝒙𝟐, B = koefisien 𝒚𝟐, C = koefisien 𝒙,
D = koefisien 𝒚, dan E = konstanta
𝐴 = ............
𝐵 = ............
𝐶 = ............
𝐷 = ............
𝐸 = ............
Sehingga didapat persamaan bentuk umum elips yang berpusat di (h,k),
177
LATIHAN !
1. Diketahui elips yang persamaannya sebgai berikut :
25𝑥2 + 9𝑦2 + 50𝑥 + 72𝑦 − 56 = 0. Ubahlah persamaan tersebut ke dalam bentuk
( 𝑥 − ℎ )2
𝑎2+
( 𝑦 − 𝑘 )2
𝑏2= 1
2. Perhatikan gambar di bawah ini !
3. Sebuah orbit komet Halley memiliki ukuran panjang sebesar 36,18 AU dan lebar 9,12
AU. Tentukan
eksentrisitas dari
orbit komet Halley ?
Tuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di (h,k)?
Tuliskan kembali persamaan elips bentuk umum yang berpusat di (h,k)?
Tentukan persamaan elips dari
gambar berikut !
178
Lampiran 7
LEMBAR OBSERVASI METAPEDADIDAKTIK
PERTEMUAN KE-1
Hari, tanggal : Kamis, 28 Maret 2019
Situasi 1
No. Penugasan
Kemungkinan
Kesulitan
Ada/
Tidak
Antisipasi Didaktis
Pendagogis
Teratasi
/ Tidak Solusi
1. Siswa diminta untuk
memposisikan keempat anak
tersebut sesuai dengan
gambar pada alat peraga
yang sudah disediakan, lalu
siswa diminta untuk
memutarkan Tobi dan Putri
dari posisi awal dan kembali
lagi ke posisi awal lagi
dengan memutari Fani dan
Fido
Siswa tidak
berhasil
mendapatkan pola
elips
Ada Guru memberikan pernyataan
sebelum memutarkan Tobi dan
Putri dengan menggunakan
alat peraga papan lukis elips
yang sudah disediakan,
pastikan Fani dan Fido berada
pada tempat yang sejajar dan
tetap pada posisinya.
Teratasi -
Kesulitan Baru :
-
Kesulitan Baru :
-
Kesulitan Baru :
-
2. Siswa diminta untuk
membuktikan persaman
umum elips dari definisi
yang diberikan, serta
mengacu pada gambar atau
jejak Tobi dan Putri di alat
peraga
Kesulitan 1:
Siswa salah
membuat
kesimpulan yang
berdasarkan
definisi
Ada Kesulitan 1:
Guru memberikan arahan
untuk membaca ulang definisi
elips pada cerita
Teratasi -
179
Kesulitan II :
Siswa tidak
mengetahui
bahwa 𝑇𝐹1
adalah jarak dari
T (Tobi) ke 𝐹1
(Fani)
Ada Kesulitan 2 :
Guru memberikan arahan
bahwa 𝑇𝐹1 adalah jarak dari T
(Tobi) ke 𝐹1 (Fani)
Teratasi
Kesulitan Baru :
-
Kesulitan Baru :
-
Kesulitan Baru :
-
Situasi 2
1. Siswa diminta untuk
menotasikan masing-masing
unsur elips pada tabel yang
telah disajikan
Siswa tidak dapat
menotasikan jari-
jari mayor dan
minor
dikarenakan siswa
tersebut hanya
mengetahui
sumbu mayor dan
minor.
Ada Guru memerintahkan siswa
untuk mengamati gambar elips
yang telah disajikan ,serta
memberikan pertanyaan
kepada siswa “Apa pengertian
jari-jari? Jika panjang sumbu
mayor 𝐴1𝐴2, maka setengah
jarak 𝐴1𝐴2 adalah ....” begitu
pula dengan jari-jari minor.
Teratasi -
Kesulitan Baru :
Siswa tidak
memahami sumbu
utama dan sumbu
sekawan
Kesulitan Baru :
Guru menjelaskan bahwa
sumbu utama adalah sumbu
simetri yang melalui titik pusat
dan kedua titik fokus elips,
sedangkan sumbu sekawan
Kesulitan Baru :
180
yaitu sumbu simetri yang tegak
lurus dengan sumbu utama
2. Siswa diminta untuk
melengkapi pembuktian
definisi elips berdasarkan
unsur-unsur yang sudah
diketahui sebelumnya.
Siswa kesulitan
mendapatkan
jarak 𝐴1𝐹1 dan
𝐴1𝐹2
Ada Guru memberikan arahan
kepada siswa untuk
mengamati gambar elips yang
telah disajikan, untuk
mendapatkan 𝐴1𝐹1 dengan
cara mengurangkan jarak 𝐴1𝑃
dan jarak 𝐹1𝑃. Sedangkan
untuk mendapatkan 𝐴1𝐹2
dengan cara menjumlahkan
jarak 𝐴1𝐹1, 𝐹1𝑃, dan 𝑃𝐹2
Teratasi
Kesulitan Baru :
-
Kesulitan Baru :
-
Kesulitan Baru :
-
181
LEMBAR OBSERVASI METAPEDADIDAKTIK
PERTEMUAN KE-2
Hari, tanggal : Jum’at, 29 Maret 2019
Situasi 3
No. Penugasan
Kemungkinan
Kesulitan
Ada/
Tidak Antisipasi Didaktis Pendagogis
Teratasi
/ Tidak Solusi
1. Siswa diminta untuk
menyatakan apa yang
siswa ketahui mengenai
bentuk orbit bumi,
membedakan kedua bentuk
gambar orbit, serta
menyimpulkan kedua
bentuk jika diketahui pusat
orbit bumi adalah (0,0)
Kesulitan I :
Siswa tidak dapat
membedakannya
Ada Kesulitan II :
Guru memberikan arahan “sumbu
horizontal dan vertikal”
Teratasi
Kesulitan II :
Siswa tidak dapat
menyimpulkan kedua
bentuk elips tersebut
Ada Kesulitan II :
Dengan arahan sebelumnya siswa
dapat menyimpulkan terdapat 2
bentuk elips yang berpusat di (0,0)
Teratasi
Kesulitan baru :
-
Kesulitan baru :
-
Kesulitan baru :
-
Situasi 4
1. Siswa diminta untuk
menganalisis unsur-unsur
elips dari dua bentuk elips
yang berpusat di (0,0)
Kesulitan I :
Siswa tidak dapat
menotasikan panjang
sumbu mayor dan
panjang sumbu minor
Ada Kesulitan I :
Guru menstimulasi siswa dengan
definisi mengenai jari- jari sumbu
mayor (a), jika ditanya panjang
sumbu mayor = a + a = 2a, begitu
pula dengan panjang sumbu minor
Teratasi
Kesulitan II : Ada Kesulitan II : Teratasi
182
Siswa tidak dapat
menotasikan jarak titik
fokus dari titik pusat
dengan menggunakan
teorema phytagoras
Guru memerintahkan siswa untuk
menarik garis dari titik ujung
sumbu minor ke titik fokus,
sehingga terlihat bentuk segitiga
siku-sikunya, begitu pula dengan
gambar yang kedua.
Elips mendatar
Elips tegak
Kesulitan baru :
Siswa keliru dalam
menotasikan titik puncak
Kesulitan baru :
Guru menstimulasi siswa tentang
pengertian dari titik puncak dan
Kesulitan baru :
183
dan titik fokus pada
kedua bentuk elips
titik fokus pada LKS 1, lalu guru
menjelaskan bahwa sumbu utama
ialah sumbu terpanjang dan titik
puncak terletak pada titik-titik
ujung sumbu utama
2. Siswa diminta melengkapi
untuk membuktikan
persamaan elips
menggunakan definisi elips
yang telah diketahui
sebelumnya
Kesulitan I :
Siswa tidak mengetahui
konsep apa yang
digunakan untuk mencari
𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2
Ada Kesulitan I :
Guru mengarahkan siswa pada
gambar yang sudah diberikan.
Siswa diminta untuk mengamati
∆𝑇𝑅𝐹1,”apa yang dibentuk oleh
∆𝑇𝑅𝐹1?”
Tidak
Teratasi
Guru mengarahkan siswa
pada gambar yang sudah
diberikan. Siswa diminta
untuk mengamati
∆𝑇𝑅𝐹1,”apa yang dibentuk
oleh ∆𝑇𝑅𝐹1?”, begitu pula
dengan ∆𝑇𝑅𝐹2, ,”apa yang
dibentuk oleh ∆𝑇𝑅𝐹2?”.
Kesulitan II :
Siswa kesulitan
mendapatkan jarak
𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2
Ada Kesulitan II :
Guru memberikan penjelasan
kepada siswa bahwa mencari jarak
𝑇𝐹1 dan 𝑇𝐹2 menggunakan
phytagoras,serta formula
phytagoras di dapat dengan
mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1 dan ∆𝑇𝑅𝐹2
Teratasi
Kesulitan III :
Siswa keliru dalam
menerapkan persamaan
kuadrat pada langkah
berikutnya
Ada Kesulitan III :
Guru menjelaskan secara perlahan
cara menjabarkan persamaan
kuadrat yang dimaksud
Teratasi
184
Kesulitan IV :
Siswa tidak mengerti
distributif
Tidak
ada
Kesulitan IV :
Guru memberikan arahan bahwa
distributif itu mengelompokkan hal
yang sama
-
Kesulitan V :
Siswa tidak memahami
menggunakan teorema
phytagoras
Ada Kesulitan V :
Guru mengarahkan siswa untuk
melihat lagi unsur-unsur kedua
bentuk elips yang berpusat di (0,0)
Teratasi
Kesulitan VI :
Siswa bingung cara
mendapatkan persamaan
bentuk umum menjadi
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪
Ada Kesulitan VI :
Guru menjelaskan yang didapat
dari langkah sebelumnya ialah
𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 𝑎2𝑏2
Dan memisalkan
𝐴 = 𝑏2
𝐵 = 𝑎2
𝐶 = 𝑎2𝑏2
Sehingga menjadi,
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪
Teratasi
Kesulitan baru :
-
Kesulitan baru :
-
Kesulitan baru :
-
185
LEMBAR OBSERVASI METAPEDADIDAKTIK
PERTEMUAN KE-3
Hari, tanggal : Kamis, 11 April 2019
Situasi 4
No. Penugasan
Kemungkinan
Kesulitan
Ada/
Tidak Antisipasi Didaktis Pendagogis
Teratasi
/ Tidak Solusi
3. Siswa diminta melengkapi
untuk menemukan formula
Latus Rectum dan
eksentrisitas dari dua
bentuk elips yang berbeda
Kesulitan I :
Siswa tidak dapat
menggambarkan elips
mendatar dan elips tegak
sesuai perintah
Ada Kesulitan I :
Guru menuntun siswa untuk
menggambar sesuai perintah serta
definisi latus rectum
Teratasi
Kesulitan II :
Siswa tidak tahu nilai x
yang dimaksud untuk
elips mendatar dan y
untuk elips tegak
Ada Kesulitan II :
Guru memberikan arahan untuk
elips mendatar “ titik fokus berada
pada sumbu ? sehingga jarak dari
titik pusat ke fokus adalah...”
begitu pula dengan mencari nilai ya
pada elips tegak
Teratasi
Kesulitan III :
Siswa tidak bisa
menyamakan penyebut
Tidak
ada
Kesulitan III :
Guru memerintahkan untuk
melihat penyebut apa saja yang ada
di persamaan tersebut, samakan
kedua pecahan tersebut dengan 𝒂𝟐
pada elips mendatar dan 𝒃𝟐 pada elips
tegak
-
186
Kesulitan IV :
Siswa tidak dapat
menyatakan formula
panjang lactus rectum
Ada Kesulitan IV :
Guru memberikan arahan bahwa
formula lactus rectum pada
langkah sebelumnya hanya salah
satu dari jarak titik fokus ke titik
lactus rectum, karna panjang lactus
rectum (LR) merupakan panjang
dari titik ujung LR 1 ke titik ujung
LR 2
Teratasi
Kesulitan V :
Siswa tidak dapat
menggambarkan elips
mendatar dan elips tegak
sesuai perintah untuk
menemukan eksentrisitas
Ada Kesulitan V :
Guru menuntun siswa untuk
menggambar sesuai perintah serta
definisi eksentrisitas
Teratasi
Kesulitan VI :
Siswa tidak dapat
menotasikan jarak dari
pusat ke titik fokus dan
jari-jari sumbu mayor
Ada Kesulitan VI :
Guru memberikan arahan untuk
mengamati gambar yang telah
dibuat sebelumnya yang
berdasarkan perintah
Teratasi
Kesulitan VII :
Siswa tidak dapat
menyatakan formula
eksentristas
Ada Kesulitan VII :
Guru mengarahkan untuk
membaca ulang deskripsi dari
eksentrisitas serta melihatnya pada
gambar
Teratasi
187
Kesulitan baru :
-
Kesulitan baru :
-
Kesulitan baru :
-
188
LEMBAR OBSERVASI METAPEDADIDAKTIK
PERTEMUAN KE-4
Hari, tanggal : Jum’at, 12 April 2019
Situasi 5
No. Penugasan
Kemungkinan
Kesulitan
Ada/
Tidak
Antisipasi Didaktis
Pendagogis
Teratasi
/ Tidak Solusi
1. Siswa diminta untuk
menggambarkan dan
menyatakan konsep
denah taman semula
dengan denah taman
setelah dipindahkan,
dengan syarat
menggunakan koordinat
kartesius
Siswa bingung
menggambarkan posisi
taman setelah
dipindahkan
Ada Guru memberikan arahan untuk
menggambarkan denah taman
tersebut sesuai dengan jarak
yang terdapat pada cerita
Teratasi
Siswa tidak mengetahui
konsep apa yang
digunakan
Ada Guru memberikan arahan
bahwa “denah taman semula
dengan denah taman setelah
dipindahkan apakah bentuk dan
ukuran masih sama? Jika sama,
maka konsep apakah yang
cocok untuk
menginterpretasikan kedua
gambar tersebut”
Tidak
Teratasi
Guru memberikan
arahan bahwa “denah
taman semula dengan
denah taman setelah
dipindahkan apakah
bentuk dan ukuran
masih sama? Jika sama,
maka konsep apakah
yang cocok untuk
menginterpretasikan
kedua gambar
tersebut”,lalu guru
mengaitkan dengan
materi geometri
transformasi
189
Kesulitan baru :
Kesulitan baru :
Kesulitan baru :
Situasi 6
1. Siswa diminta untuk
menganalisis unsur-
unsur yang terdapat
pada gambar elips yang
berpusat di (0,0) dan
elips yang berpusat di
(h,k) pada bentuk elips
mendatar
Kesulitan I :
Siswa tidak mengetahui
cara mendapatkan
perubahan titik ujung
sumbu minor pada
sumbu y setelah adanya
pergeseran dari (0,0)
menjadi (h,k)
Ada Kesulitan I :
Guru memberikan arahan “lihat
jarak dari (0,0) ke k pada sumbu
y berarti jaraknya ialah k. Untuk
mendapatkan 𝐵1, lihat
posisinya pada sumbu y maka
jaraknya melebihi k atau malah
berkurang?” begitu pula dengan
𝐵2.
Tidak
Teratasi
Guru memberikan
arahan “lihat jarak dari
(0,0) ke k pada sumbu y
berarti jaraknya ialah k.
Untuk mendapatkan 𝐵1,
jarak P ke 𝐵1 merupakan
jari-jari sumbu minor,
maka jarak P ke 𝐵1 ialah
b, lalu lihat posisinya
pada sumbu y maka
jaraknya melebihi k atau
malah berkurang?”
begitu pula dengan 𝐵2.
Kesulitan II :
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan
titik ujung sumbu mayor
pada sumbu x setelah
adanya pergeseran dari
(0,0) menjadi (h,k)
Ada Kesulitan II :
Guru memberikan arahan “lihat
jarak dari (0,0) ke h pada sumbu
x berarti jaraknya ialah h. Untuk
mendapatkan 𝐴1, lihat jarak
titik pusat ke 𝐴1yaitu
merupakan jari-jari mayor (a),
lalu lihat posisinya pada sumbu
x maka jarak dari 𝐴1 ke k ialah
dengan mengurangkan h
Tidak
Teratasi
Guru memberikan
arahan “lihat jarak dari
(0,0) ke h pada sumbu x
berarti jaraknya ialah h.
Untuk mendapatkan 𝐴1,
lihat jarak titik pusat ke
𝐴1yaitu merupakan jari-
jari mayor (a), lalu lihat
posisinya pada sumbu x
maka jarak dari 𝐴1 ke k
ialah dengan
190
dengan a. Begitu pula dengan
𝐴2
mengurangkan h dengan
a. Begitu pula dengan 𝐴2
didapatkan dengan
menambahkan a
Kesulitan III :
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan
titik fokus pada sumbu x
setelah adanya
pergeseran dari (0,0)
menjadi (h,k)
Ada Kesulitan III :
Guru memeberikan arahan
untuk mendapatkan 𝐹1, lihat
jarak titik pusat ke 𝐹1yaitu
dimisalkan (c), lalu lihat
posisinya pada sumbu x maka
jarak dari 𝐹1 ke k ialah dengan
mengurangkan h dengan c.
Begitu pula dengan 𝐹2
Teratasi
Kesulitan IV :
Siswa hanya
mengetahui latus
rectum dan eksentrisitas
hanya di elips pusat
(0,0), siswa mengira
latus rectum dan
eksentrisitas di elips
pusat (h,k) berbeda
Ada Kesulitan IV :
Guru memberikan arahan
bahwa “latus rectum dan
eksentrisitas hanya di elips
pusat (0,0) maupun di (h,k)
memiliki formula yang sama.
Hal itu dikarenakan akibat
pergeseran tidak merubah
bentuk si elips, begitu pula di
elips tegak”
Teratasi
Kesulitan baru :
Siswa keliru dalam
menotasikan panjang
sumbu mayor dan
sumbu minor
Kesulitan baru :
Guru mengarahkan dalam
menotasikan panjang sumbu
mayor dan sumbu minor pada
elips (h,k) sama dengan
Kesulitan baru :
191
panjang sumbu mayor dan
sumbu minor pada elips (0,0)
2. Siswa diminta untuk
menganalisis unsur-
unsur yang terdapat
pada gambar elips yang
berpusat di (0,0) dan
elips yang berpusat di
(h,k) pada bentuk elips
tegak
Kesulitan I :
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan
perubahan titik ujung
sumbu minor pada
sumbu x setelah adanya
pergeseran dari (0,0)
menjadi (h,k)
Ada Kesulitan I :
Guru memberikan arahan
“lihat jarak dari 0 ke h pada
sumbu x berarti jaraknya ialah
h. Untuk mendapatkan 𝐴1, lihat
jarak dari pusat ke 𝐴1
merupakan (a) lalu lihat
posisinya pada sumbu x maka
jaraknya melebihi h atau malah
berkurang?” begitu pula
dengan 𝐴2
Teratasi
Kesulitan II :
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan
perubahan titik ujung
sumbu mayor pada
sumbu y setelah adanya
pergeseran dari (0,0)
menjadi (h,k)
Ada Kesulitan II :
Guru memberikan arahan
“lihat jarak dari 0 ke k pada
sumbu y berarti jaraknya ialah
k. Untuk mendapatkan 𝐵1, lihat
jarak titik pusat ke 𝐵1yaitu
merupakan jari-jari mayor (b),
lalu lihat posisinya pada sumbu
y maka jarak dari titik pusat ke
𝐵1 ialah dengan
menjumlahkan k dengan b.
Begitu pula dengan 𝐵2
Teratasi
Kesulitan III :
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan
Ada Kesulitan III :
Guru memberikan arahan
untuk mendapatkan 𝐹1, lihat
Teratasi
192
perubahan titik fokus
pada sumbu y setelah
adanya pergeseran dari
(0,0) menjadi (h,k)
jarak titik pusat ke 𝐹1yaitu
dimisalkan (c), lalu lihat
posisinya pada sumbu y maka
jarak dari titik pusat ke 𝐹1 ialah
dengan menjumlahkan k
dengan b. Begitu pula dengan
𝐹2
Kesulitan baru :
Kesulitan baru :
Kesulitan baru :
3. Siswa diminta untuk
melengkapi step by step
untuk menemukan
formula persamaan elips
pada pusat (h,k)
Kesulitan I :
Siswa lupa dengan
formula translasi
Ada Kesulitan I :
Guru mengingatkan bahwa
konsep tranlasi, jika (x,y)
ditranslasi oleh titik (a,b), maka
(𝑥′𝑦′
) = (𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏)
Teratasi
Kesulitan II :
Siswa tidak bisa
mengaitkan formula
translasi dengan pusat
(h,k)
Ada Kesulitan II :
Guru mengarahkan bahwa
(𝑎, 𝑏) = (ℎ, 𝑘), lalu
substitusikan (𝑎, 𝑏) dengan
(ℎ, 𝑘)
Teratasi
Kesulitan III :
Siswa tidak dapat
menemukan x dan y
yang baru
Ada Kesulitan III :
Guru mengarahkan jika step
sebelumnya mensubstitusikan
(𝑎, 𝑏) dengan (ℎ, 𝑘), lalu
pindah ruaskan sumbu x dan
sumbu y
Teratasi
193
(𝑥′𝑦′
) = (𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑘
)
(𝑥′ − ℎ𝑦′ − 𝑘
) = (𝑥𝑦)
Sehingga didapatkan
𝑥 menjadi 𝑥 − ℎ, sedangkan
𝑦 menjadi 𝑦 − 𝑘
Kesulitan baru :
Kesulitan baru :
Kesulitan baru :
4. Siswa diminta untuk
melengkapi alur untuk
mengubah persamaan
elips sederhana di (h,k)
menjadi persamaan
bentuk umum
Siswa keliru dalam
menerapkan persamaan
kuadrat pada langkah
berikutnya
Tidak
Ada
Guru menjelaskan secara
perlahan cara menjabarkan
persamaan kuadrat yang
dimaksud
-
Kesulitan baru :
Kesulitan baru :
Kesulitan baru :
194
Lampiran 8
REKAPTULASI LEMBAR OBSERVASI METAPEDADIDAKTIK
Desain Didaktis Situasi
Kemungkinan
Kesulitan
Antisipasi Didaktis
Pendagogis Kesulitan Baru
Ada Tidak Ada Teratasi Tidak Teratasi
Desain Didaktis
1
Situasi 1 3 - 3 - -
Situasi 2 2 - 2 - 1
Desain Didaktis
2
Situasi 3 2 - 2 - -
Situasi 4 13 2 12 1 1
Desain Didaktis
3
Situasi 5 2 - 1 1 -
Situasi 6 10 1 8 2 1
TOTAL 32 3 28 4 3
Persentase 91,43% 8,57% 87,5% 12,5%
195
Lampiran 9
DESAIN PEMBELAJARAN I (REVISI)
Kompetensi Dasar :
3.5 Menganalisis konsep dan membuktikan sifat-sifat elips dan menerapkannya dalam pembuktian dan menyelesaikan masalah
matematika dan bidang ilmu lain.
3.6 Menganalisis data terkait unsur-unsur elips dan menggambar kurvanya serta mengidentifikasi sifat-sifatnya.
Indikator :
3.3.3 Siswa dapat mendeskripsikan definisi elips.
3.3.4 Siswa dapat membuktikan persamaan umum elips.
3.5.2 Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips.
Situasi Didaktis Penugasan Prediksi Respon Antisipasi Didaktis
Pendagogis
Situasi 1:
Pada siang hari yang sangat
terik berkumpulah Tobi, Fani,
Putri, dan Fido di tanah
lapang. Hari itu mereka
mendapatkan tugas dari Bu
Sinta untuk mengamati
bentuk-bentuk elips yang
berada di sekitar dan
menggambarnya di buku
gambar. Bu Sinta memberikan
Siswa diminta untuk
memposisikan keempat anak
tersebut sesuai dengan
gambar pada alat peraga yang
sudah disediakan, lalu siswa
diminta untuk memutarkan
Tobi dan Putri dari posisi awal
dan kembali lagi ke posisi
awal lagi dengan memutari
Fani dan Fido.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat membuat pola
elips dari jejak Tobi dan Putri.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak berhasil
mendapatkan pola elips.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru memberikan pernyataan
sebelum memutarkan Tobi
dan Putri dengan
menggunakan alat peraga
papan lukis elips yang sudah
196
arahan kepada mereka bahwa
elips itu adalah “kedudukan
titik-titik yang jumlah
jaraknya terhadap dua titik
tertentu selalu sama.” Namun
mereka belum memahaminya
bagaimana menggambar elips
berdasarkan pengertian
seperti arahan Bu Sinta.
Mereka berinisiatif untuk
mencoba menggambar di
tanah lapang seperti berikut
(gambar 1) dengan
menggunakan tali. Mereka
memegang tali dengan syarat
Fani dan Fido tetap pada
posisinya sedangkan Tobi dan
Putri memutari Fani dan Fido.
disediakan, pastikan Fani dan
Fido berada pada tempat yang
sejajar dan tetap pada
posisinya.
Siswa diminta untuk
membuktikan persaman
umum elips dari definisi yang
diberikan, serta mengacu pada
gambar atau jejak Tobi dan
Putri di alat peraga.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat membuat
kesimpulan bahwa definisi
elips adalah
𝑇𝐹1 + 𝑇𝐹2 = 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2
Kemungkinan kesulitan :
Siswa salah membuat
kesimpulan yang berdasarkan
definisi.
Siswa tidak mengetahui
bahwa 𝑇𝐹1 adalah jarak dari
T (Tobi) ke 𝐹1 (Fani).
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru memberikan arahan
untuk membaca ulang
definisi elips pada cerita.
Guru memberikan arahan
bahwa 𝑇𝐹1 adalah jarak dari
T (Tobi) ke 𝐹1 (Fani).
Situasi 2:
Diberikan deskripsi dari
masing-masing unsur elips,
serta disajikan sebuah gambar
elips.
Siswa diminta untuk
menotasikan masing-masing
unsur elips pada tabel yang
telah disajikan.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat menotasikan
semua unsur-unsur yang
diminta.
Kemungkinan kesulitan :
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
197
Siswa tidak dapat
menotasikan jari-jari mayor
dan minor dikarenakan siswa
tersebut hanya mengetahui
sumbu mayor dan minor.
Siswa tidak memahami
sumbu utama dan sumbu
sekawan.
Guru memerintahkan siswa
untuk mengamati
gambar,serta memberikan
pertanyaan kepada siswa
“Apa pengertian jari-jari?
Jika panjang sumbu mayor
𝐴1𝐴2, maka setengah jarak
𝐴1𝐴2 adalah ....” begitu pula
dengan jari-jari minor.
Guru menjelaskan bahwa
sumbu utama adalah sumbu
simetri yang melalui titik
pusat dan kedua titik fokus
elips, sedangkan sumbu
sekawan yaitu sumbu simetri
yang tegak lurus dengan
sumbu utama.
Siswa diminta untuk
melengkapi pembuktian
definisi elips berdasarkan
unsur-unsur yang sudah
diketahui sebelumnya.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat melengkapi
pembuktian definisi elips
dengan benar sehingga
didapat 𝑇𝐹1 + 𝑇𝐹2 = 2𝑎.
Kemungkinan kesulitan :
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
198
Siswa kesulitan mendapatkan
jarak 𝐴1𝐹1 dan 𝐴1𝐹2 pada
elips yang telah disajikan.
Guru memberikan arahan
kepada siswa untuk
mengamati gambar elips yang
telah disajikan, untuk
mendapatkan 𝐴1𝐹1 dengan
cara mengurangkan jarak 𝐴1𝑃
dan jarak 𝐹1𝑃. Sedangkan
untuk mendapatkan 𝐴1𝐹2
dengan cara menjumlahkan
jarak 𝐴1𝐹1, 𝐹1𝑃, dan 𝑃𝐹2.
199
DESAIN PEMBELAJARAN II (REVISI)
Kompetensi Dasar :
3.7 Menganalisis data terkait unsur-unsur elips dan menggambar kurvanya serta mengidentifikasi sifat-sifatnya
4.7 Mengolah data dan membuat model matematika berupa persamaan elips dari suatu masalah nyata dan melakukan manipulasi
aljabar dalam menyelesaikan masalah
4.8 Menyajikan objek-objek nyata sebagai gambaran model elips dan merancang masalah serta menyelesaikannya dengan
menerapkan konsep dan sifat-sifat elips
Indikator :
3.5.4 Siswa dapat menentukan unsur-unsur yang terdapat pada elips yang berpusat di (0,0)
3.5.5 Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (0,0)
4.3.2 Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi persamaan bentuk umum
4.4.2 Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan elips yang berpusat di (0,0)
Situasi Didaktis Penugasan Prediksi Respon Antisipasi Didaktis Pendagogis
Situasi 3:
Diberikan dua buah gambar
orbit bumi dan pengertian dari
orbit bumi.”Orbit secara
umum dikatakan sebagai
lintasan (jalur) benda
mengelilingi benda lain. Orbit
elips adalah orbit yang
membentuk jalur lingkaran
lonjong. Orbit ini biasanya
Siswa diminta untuk
menyatakan apa yang siswa
ketahui mengenai bentuk
orbit bumi, membedakan
kedua bentuk gambar orbit,
serta menyimpulkan kedua
bentuk jika diketahui pusat
orbit bumi adalah (0,0).
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat mengetahui
bahwa orbit bumi ialah elips.
Siswa dapat membedakan
bahwa gambar orbit pertama
berbentuk elips mendatar
(horizontal) dan gambar
200
merupakan orbit yang
dilintasi oleh satelit-satelit.”
kedua bentuk elips tegak
(vertikal).
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak dapat
membedakannya.
Siswa tidak dapat
menyimpulkan kedua
bentuk elips tersebut.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru memberikan arahan “sumbu
horizontal dan vertikal”.
Dengan arahan sebelumnya siswa
dapat menyimpulkan terdapat 2
bentuk elips yang berpusat di
(0,0).
Situasi 4:
Disajikan dua gambar bentuk
elips untuk menganalisis
unsur-unsur serta gambar
elips unruk menentukan
persamaan elips.
Siswa diminta untuk
menganalisis unsur-unsur
elips dari dua bentuk elips
yang berpusat di (0,0).
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat menotasikan
semua unsur-unsur yang
diminta.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak dapat
menotasikan panjang sumbu
mayor dan panjang sumbu
minor.
Siswa tidak dapat
menotasikan jarak titik fokus
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru menstimulasi siswa dengan
LKS 1 mengenai jari- jari sumbu
mayor (a), jika ditanya panjang
sumbu mayor = a + a = 2a, begitu
pula dengan panjang sumbu
minor.
Guru memerintahkan siswa untuk
menarik garis dari titik ujung
201
dari titik pusat dengan
menggunakan teorema
phytagoras.
Siswa keliru dalam
menotasikan titik puncak dan
sumbu minor ke titik fokus,
sehingga terlihat bentuk segitiga
siku-sikunya, begitu pula dengan
gambar yang kedua.
Elips mendatar
Elips tegak
Guru menstimulasi siswa tentang
pengertian dari titik puncak dan
titik fokus pada LKS 1, lalu guru
202
titik fokus pada kedua bentuk
elips.
menjelaskan bahwa sumbu utama
ialah sumbu terpanjang dan titik
puncak terletak pada titik-titik
ujung sumbu utama.
Siswa diminta melengkapi
untuk membuktikan
persamaan elips
menggunakan definisi elips
yang telah diketahui
sebelumnya.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat melengkapi
pembuktian definisi elips
dengan benar sehingga
didapat persamaan sederhana 𝒙𝟐
𝒂𝟐 +
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
dan persamaan bentuk
umumnya
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak mengetahui
konsep apa yang digunakan
untuk mencari 𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2.
Siswa kesulitan mendapatkan
jarak 𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru mengarahkan siswa pada
gambar yang sudah diberikan.
Siswa diminta untuk mengamati
∆𝑇𝑅𝐹1,”apa yang dibentuk oleh
∆𝑇𝑅𝐹1?”, begitu pula dengan
∆𝑇𝑅𝐹2, ,”apa yang dibentuk oleh
∆𝑇𝑅𝐹2?”.
Guru memberikan penjelasan
kepada siswa bahwa mencari jarak
203
Siswa keliru dalam
menerapkan persamaan
kuadrat pada langkah
berikutnya.
Siswa tidak memahami
menggunakan teorema
phytagoras.
Siswa bingung cara
mendapatkan persamaan
bentuk umum menjadi
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪
𝑇𝐹1 dan 𝑇𝐹2 menggunakan
phytagoras, serta formula
phytagoras di dapat dengan
mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1 dan ∆𝑇𝑅𝐹2.
Guru menjelaskan secara perlahan
cara menjabarkan persamaan
kuadrat yang dimaksud.
Guru mengarahkan siswa untuk
melihat lagi unsur-unsur kedua
bentuk elips yang berpusat di
(0,0).
Guru menjelaskan yang didapat
dari langkah sebelumnya ialah
𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 𝑎2𝑏2
Dan memisalkan
𝐴 = 𝑏2
𝐵 = 𝑎2
𝐶 = 𝑎2𝑏2
Sehingga menjadi,
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪
Siswa diminta melengkapi
untuk menemukan formula
Latus Rectum dan
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat
menggambarkan elips
204
eksentrisitas dari dua bentuk
elips yang berbeda
mendatar dan elips tegak
sesuai perintah.
Siswa dapat mengisi lengkap
alur untuk menemukan
formula latus rectum dari
kedua elips tersebut.
Siswa dapat menyatakan
formula panjang latus
rectum.
Siswa dapat menggambarkan
elips mendatar dan elips
tegak sesuai perintah untuk
menemukan eksentrisitas.
Siswa dapat melengkapi
untuk menemukan formula
eksentrisitas berdasarkan
definisi.
Siswa dapat menyatakan
formula eksentristas.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak dapat
menggambarkan elips
mendatar dan elips tegak
sesuai perintah.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru menuntun siswa untuk
menggambar sesuai perintah serta
definisi latus rectum.
205
Siswa tidak tahu nilai x yang
dimaksud untuk elips
mendatar dan y untuk elips
tegak.
Siswa tidak dapat
menyatakan formula panjang
lactus rectum.
Siswa tidak dapat
menggambarkan elips
mendatar dan elips tegak
sesuai perintah untuk
menemukan eksentrisitas.
Siswa tidak dapat
menotasikan jarak dari pusat
ke titik fokus dan jari-jari
sumbu mayor.
Guru memberikan arahan untuk
elips mendatar “ titik fokus berada
pada sumbu ? sehingga jarak dari
titik pusat ke fokus adalah...”
begitu pula dengan mencari nilai
ya pada elips tegak.
Guru memberikan arahan bahwa
formula lactus rectum pada
langkah sebelumnya hanya salah
satu dari jarak titik fokus ke titik
lactus rectum, karna panjang
lactus rectum (LR) merupakan
panjang dari titik ujung LR 1 ke
titik ujung LR 2.
Guru menuntun siswa untuk
menggambar sesuai perintah serta
definisi eksentrisitas.
Guru memberikan arahan untuk
mengamati gambar yang telah
dibuat sebelumnya yang
berdasarkan perintah.
Guru mengarahkan untuk
membaca ulang deskripsi dari
206
Siswa tidak dapat
menyatakan formula
eksentristas.
eksentrisitas serta melihatnya
pada gambar.
207
DESAIN PEMBELAJARAN III (REVISI)
Kompetensi Dasar :
3.8 Menganalisis data terkait unsur-unsur elips dan menggambar kurvanya serta mengidentifikasi sifat-sifatnya
4.9 Mengolah data dan membuat model matematika berupa persamaan elips dari suatu masalah nyata dan melakukan manipulasi
aljabar dalam menyelesaikan masalah
4.10 Menyajikan objek-objek nyata sebagai gambaran model elips dan merancang masalah serta menyelesaikannya dengan
menerapkan konsep dan sifat-sifat elips
Indikator :
3.5.8 Siswa dapat menganalisis unsur-unsur yang terdapat pada elips yang berpusat di (h,k)
3.5.9 Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (h,k)
4.3.4 Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi persamaan bentuk umum
4.4.4 Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan elips yang berpusat di (h,k)
Situasi Didaktis Penugasan Prediksi Respon Antisipasi Didaktis
Pendagogis
Situasi 5:
Di suatu perkampuangan di
daerah Cibiru terdapat sebuah
taman bermain yang terletak
di sebelah Balai Desa Cibiru,
yang biasa di kenal sebagai
taman “Kampung Cibiru”.
Taman tersebut ketika
Siswa diminta untuk
menggambarkan dan
menyatakan konsep denah
taman semula dengan taman
setelah dipindahkan, dengan
syarat menggunakan
koordinat kartesius.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat menggambarkan
denah taman semula dengan
denah taman setelah
dipindahkan dan siswa dapat
menjawab menggunakan
konsep translasi atau
208
diamati dari atas seperti
membentuk elips. Taman
“Kampung Cibiru” biasa
digunakan warga sekitar
sebagai taman bermain anak-
anak mereka ketika waktu
siang dan sore hari. Pada
suatu hari, taman bermain
tersebut akan dipindahkan,
dikarenakan adanya
pelebaran bangunan Balai
Desa Cibiru. Taman tersebut
akan dipindahkan ke tempat
yang tidak jauh dari tempat
semula dengan pusat
berjarak (100 m,230m) dari
tempat semula. Jika tempat
taman yang awal berpusat
(0,0).
pergeseran berdasarkan
gambar yang telah dibuat.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa bingung
menggambarkan posisi taman
setelah dipindahkan.
Siswa tidak mengetahui
konsep apa yang digunakan.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru memberikan arahan
untuk menggambarkan
denah taman tersebut sesuai
dengan jarak yang terdapat
pada cerita.
Guru memberikan arahan
bahwa “denah taman semula
dengan denah taman setelah
dipindahkan apakah bentuk
dan ukuran masih sama? Jika
sama, maka konsep apakah
yang cocok untuk
menginterpretasikan kedua
gambar tersebut”,lalu guru
mengaitkan dengan materi
geometri transformasi.
Situasi 6:
Diberikan dua gambar elips
yang masing – masing terdiri
dari gambar elips yang
berpusat di (0,0) dan elips
Siswa diminta untuk
menganalisis unsur-unsur
yang terdapat pada gambar
elips yang berpusat di (0,0)
dan elips yang berpusat di
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat melengkapi
koordinat pada gambar dan
menotsikan unsur-unsur
dengan benar.
Kemungkinan kesulitan :
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
209
yang berpusat di (h,k) pada
setiap bentuk elips.
(h,k) pada bentuk elips
mendatar.
Siswa tidak mengetahui cara
mendapatkan perubahan titik
ujung sumbu minor pada
sumbu y setelah adanya
pergeseran dari (0,0) menjadi
(h,k).
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
ujung sumbu mayor pada
sumbu x setelah adanya
pergeseran dari (0,0) menjadi
(h,k).
Guru memberikan arahan
“lihat jarak dari (0,0) ke k
pada sumbu y berarti
jaraknya ialah k. Untuk
mendapatkan 𝐵1, jarak P ke
𝐵1 merupakan jari-jari sumbu
minor, maka jarak P ke 𝐵1
ialah b, lalu lihat posisinya
pada sumbu y maka jaraknya
melebihi k atau malah
berkurang?” begitu pula
dengan 𝐵2.
Guru memberikan arahan
“lihat jarak dari (0,0) ke h
pada sumbu x berarti
jaraknya ialah h. Untuk
mendapatkan 𝐴1, lihat jarak
titik pusat ke 𝐴1yaitu
merupakan jari-jari mayor
(a), lalu lihat posisinya pada
sumbu x maka jarak dari 𝐴1
ke k ialah dengan
mengurangkan h dengan a.
Begitu pula dengan 𝐴2
210
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
fokus pada sumbu x setelah
adanya pergeseran dari (0,0)
menjadi (h,k).
Siswa hanya mengetahui
latus rectum dan eksentrisitas
hanya di elips pusat (0,0),
siswa mengira latus rectum
dan eksentrisitas di elips
pusat (h,k) berbeda.
Siswa keliru dalam
menotasikan panjang sumbu
mayor dan sumbu minor.
didapatkan dengan
menambahkan a.
Guru memeberikan arahan
untuk mendapatkan 𝐹1, lihat
jarak titik pusat ke 𝐹1yaitu
dimisalkan (c), lalu lihat
posisinya pada sumbu x maka
jarak dari 𝐹1 ke k ialah
dengan mengurangkan h
dengan c. Begitu pula dengan
𝐹2.
Guru memberikan arahan
bahwa “latus rectum dan
eksentrisitas hanya di elips
pusat (0,0) maupun di (h,k)
memiliki formula yang sama.
Hal itu dikarenakan akibat
pergeseran tidak merubah
bentuk si elips, begitu pula di
elips tegak”.
Guru mengarahkan dalam
menotasikan panjang sumbu
mayor dan sumbu minor pada
elips (h,k) sama dengan
211
panjang sumbu mayor dan
sumbu minor pada elips (0,0).
Siswa diminta untuk
menganalisis unsur-unsur
yang terdapat pada gambar
elips yang berpusat di (0,0)
dan elips yang berpusat di
(h,k) pada bentuk elips tegak.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat melengkapi
koordinat pada gambar dan
menotsikan unsur-unsur
dengan benar.
Kemungkinan kesulitan :
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
ujung sumbu minor pada
sumbu x setelah adanya
pergeseran dari (0,0) menjadi
(h,k).
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
ujung sumbu mayor pada
sumbu y setelah adanya
pergeseran dari (0,0) menjadi
(h,k).
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru memberikan arahan
“lihat jarak dari 0 ke h pada
sumbu x berarti jaraknya
ialah h. Untuk mendapatkan
𝐴1, lihat jarak dari pusat ke
𝐴1 merupakan (a) lalu lihat
posisinya pada sumbu x maka
jaraknya melebihi h atau
malah berkurang?” begitu
pula dengan 𝐴2.
Guru memberikan arahan
“lihat jarak dari 0 ke k pada
sumbu y berarti jaraknya
ialah k. Untuk mendapatkan
𝐵1, lihat jarak titik pusat ke
𝐵1yaitu merupakan jari-jari
mayor (b), lalu lihat posisinya
212
Siswa tidak mengetahui
mendapatkan perubahan titik
fokus pada sumbu y setelah
adanya pergeseran dari (0,0)
menjadi (h,k).
pada sumbu y maka jarak dari
titik pusat ke 𝐵1 ialah dengan
menjumlahkan k dengan b.
Begitu pula dengan 𝐵2.
Guru memberikan arahan
untuk mendapatkan 𝐹1, lihat
jarak titik pusat ke 𝐹1yaitu
dimisalkan (c), lalu lihat
posisinya pada sumbu y maka
jarak dari titik pusat ke 𝐹1
ialah dengan menjumlahkan
k dengan b. Begitu pula
dengan 𝐹2.
Siswa diminta untuk
melengkapi step by step untuk
menemukan formula
persamaan elips pada pusat
(h,k).
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat melengkapi
setiap langkah untuk
menemukan formula
persamaan elips pada pusat
(h,k).
Kemungkinan kesulitan :
Siswa lupa dengan formula
translasi.
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
Guru mengingatkan bahwa
konsep tranlasi, jika (x,y)
ditranslasi oleh titik (a,b),
maka (𝑥′𝑦′
) = (𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏).
213
Siswa tidak bisa mengaitkan
formula translasi dengan
pusat (h,k).
Siswa tidak dapat
menemukan x dan y yang
baru.
Guru mengarahkan bahwa
(𝑎, 𝑏) = (ℎ, 𝑘), lalu
substitusikan (𝑎, 𝑏) dengan
(ℎ, 𝑘).
Guru mengarahkan jika step
sebelumnya
mensubstitusikan (𝑎, 𝑏)
dengan (ℎ, 𝑘), lalu pindah
ruaskan sumbu x dan sumbu
y
(𝑥′𝑦′
) = (𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑘
)
(𝑥′ − ℎ𝑦′ − 𝑘
) = (𝑥𝑦)
Sehingga didapatkan
𝑥 menjadi 𝑥 − ℎ, sedangkan
𝑦 menjadi 𝑦 − 𝑘.
Siswa diminta untuk
melengkapi alur untuk
mengubah persamaan elips
sederhana di (h,k) menjadi
persamaan bentuk umum.
Respon yang diharapkan :
Siswa dapat melengkapi alur
untuk mengubah persamaan
elips sederhana di (h,k)
menjadi persamaan bentuk
umum.
Kemungkinan kesulitan :
Antisipasi kemungkinan
kesulitan :
214
Gambarkan apa yang terjadi jika Tobi dan Putri memutari Fani dan Fido!
Jika :
Elips
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat mendeskripsikan definisi elips
Siswa dapat membuktikan persamaan umum elips
Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips
Nama Anggota Kelompok :
1. .............................. 2. .............................. 3. ............................ 4. .......................... 5. ...................
Pada siang hari yang sangat terik berkumpulah Tobi, Fani, Putri, dan
Fido di tanah lapang. Hari itu mereka mendapatkan tugas dari Bu
Sinta untuk mengamati bentuk-bentuk elips yang berada di sekitar dan
menggambarnya di buku gambar. Bu Sinta memberikan arahan
kepada mereka bahwa elips itu adalah “kedudukan titik-titik yang
jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.” Namun
mereka belum memahaminya bagaimana menggambar elips
berdasarkan pengertian seperti arahan Bu Sinta. Mereka berinisiatif
untuk mencoba menggambar di tanah lapang seperti berikut (gambar
1) dengan menggunakan tali. Mereka memegang tali dengan syarat
Fani dan Fido tetap pada posisinya sedangkan Tobi dan Putri
memutari Fani dan Fido.
Definisi
SITUASI 1
Gambarkan berdasarkan alat peraga yang sudah
disediakan
Lampiran 10
215
Tobi dan Putri sebagai Titik Sebarang (T dan P)
Fani dan Fido sebagai Titik Fokus 1 dan Titik Fokus 2 (F1 dan F2)
Unsur – Unsur elips :
1) Titik Pusat adalah titik potong sumbu utama dan
sumbu sekawan elips.
2) Titik Puncak adalah titik ujung yang berada
pada sumbu utama.
3) Sumbu Mayor adalah sumbu simetri yang
melalui titik pusat dan kedua titik fokus elips.
4) Sumbu Minor adalah sumbu simetri yang tegak
lurus dengan sumbu utama dan melalui titik pusat
elips.
5) Latus Rectum adalah panjang ruas garis yang
melalui titik fokus elips dan tegak lurus dengan
sumbu utama.
Setelah kita mengetahui unsur-unsur yang terdapat pada elips, maka sekarang kita mengaitkan definisi
elips sebelumnya dengan unsur-unsur tersebut !
Maka terbukti menurut definisi elips adalah 𝑻𝑭𝟏 + ⋯ = ⋯ + 𝑷𝑭𝟐
Berdasarkan deskripsi diatas tentukan unsur-unsur berikut dengan memperhatikan gambar diatas!
Unsur-Unsur Notasi
Titik Pusat
Titik Fokus
Titik Puncak
Sumbu Mayor
Sumbu Minor
Jari-Jari Mayor
Jari-Jari Minor
Latus Rectum
𝑻𝑭𝟏 + 𝑻𝑭𝟐 = 𝑷𝑭𝟏 + 𝑷𝑭𝟐
𝑻𝑭𝟏 + 𝑻𝑭𝟐 = 𝑨𝟏𝑭𝟏 + 𝑨𝟏𝑭𝟐
= (… −. … ) + (… +. … )
= ⋯ + ⋯
= ⋯
SITUASI 2
216
LATIHAN !
3. Jika diketahui 𝐴1(-10,0), 𝐴2(10,0), 𝐴1𝐹1𝑑𝑎𝑛 𝐹2𝐴2 berjarak 4, dan 𝐵1(8,0).
d) Buktikan 𝐵1𝐹1 + 𝐵1𝐹2 = 2𝑎 !
e) Tentukan panjang sumbu mayor ?
f) Tentukan panjang sumbu minor ?
4. Jika diketahui gambar berikut
Diketahui titik pusat berada di (0,0)
Jika jarak 𝐵1𝐹2 = 5 dan 𝑃𝐹2 = 4.
Tentukan titik 𝐵1 dan 𝐵2 ?
Apakah definisi elips ?
Tuliskan kembali persamaan elips berdasarkan definisi ?
217
Amatilah gambar-gambar orbit bumi berikut ini !
lips berpusat
(0,0)
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0)
Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (0,0)
Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi pers.bentuk umum
Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan elips yang berpusat di (0,0)
Nama Anggota Kelompok :
1. .............................. 2. .............................. 3. ............................ 4. .......................... 5. ...................
SITUASI 3
Orbit secara umum dikatakan sebagai lintasan (jalur) benda mengelilingi benda lain. Orbit elips
adalah orbit yang membentuk jalur lingkaran lonjong. Orbit ini biasanya merupakan orbit yang
dilintasi oleh satelit-satelit.
Tuliskan mengenai bentuk kedua gambar orbit bumi pada gambar diatas ?
Gambar 1
Gambar 2
218
Berdasarkan gambar diatas tentukan unsur-unsur dari kedua bentuk elips tersebut!
Unsur-Unsur Elips Mendatar Elips Tegak
Sifat a > b a < b
Titik Pusat
Titik Puncak
Titik Fokus
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Jarak pusat ke titik
fokus
(menggunakan
teorema phytagoras)
Apa yang membedakan dari kedua gambar orbit bumi tersebut?
Jika matahari berada di salah satu titik fokus dan pusat dari orbit bumi berada di (0,0) maka pada elips
yang berpusat di (0,0) terdapat dua bentuk elips yaitu ................................................. dan
...................................................
UNSUR – UNSUR ELIPS BERPUSAT DI (0,0)
ELIPS MENDATAR ELIPS TEGAK
SITUASI 4
219
K
Dengan menggunakan definisi elips yang sebelumnya,
𝑻𝑭𝟏 + 𝑻𝑭𝟐 = 𝟐𝒂
√ … 2 + . . .2+ √ … 2 + . . .2 = 2𝑎
√ ( … + . . . ) 2 +. . .2+ √ ( … − . . . ) 2 +. . .2 = 2𝑎
Kedua ruas dikurangi √ ( 𝒄 − 𝒙) 𝟐 + 𝒚𝟐
√ ( … + . . . ) 2 +. . .2 = 2𝑎 − √ ( 𝑐 − 𝑥) 2 + 𝑦2
Kuadratkan kedua ruas
(√ ( … + . . . ) 2 +. . .2 )2
= (2𝑎 − √ ( … − . . . ) 2 +. . .2 )2
Jabarkan ! ingat (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
( … + . . . ) 2 +. . .2 = ⋯ − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2+ ( ( … − . . . ) 2 +. . .2 )
… +. . . +. . . +𝑦2 = ⋯ − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2 +. . . − . . . +. . . +𝑦2
… 𝑥𝑐 = ⋯ − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2
Ingat! distributif
… 𝑥𝑐 =. . . (… − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2 )
Kedua ruas dikalikan 𝟏
𝟒
… = … −. . . √ ( … − . . . )2 +. . .2
Kedua ruas dikurangi 𝒂𝟐
… − . . . = −. . . √ ( … − . . . )2 +. . .2
PERSAMAAN ELIPS BERPUSAT DI (0,0)
Bagaimana formula 𝑻𝑭𝟏 𝑑𝑎𝑛 𝑻𝑭𝟐
berdasarkan gambar disamping?
Konsep apa yang kamu gunakan
untuk mencari 𝑻𝑭𝟏 𝑑𝑎𝑛 𝑻𝑭𝟐 ?
220
Kuadratkan kedua ruas
(… − . . . )2 = (−. . . √ ( … − . . . )2 +. . .2 )2
𝑥2𝑐2+ . . . − . . . =. . . ( ( … − . . . )2 +. . .2 )
𝑥2𝑐2+ . . . − . . . =. . . (𝑐2−. . . +. . . +. . .2 )
𝑥2𝑐2+ . . . − . . . = 𝑎2𝑐2− . . . + 𝑥2𝑎2 + …
Kedua ruas dikurangi 𝒂𝟒
𝑥2𝑐2− . . . = 𝑎2𝑐2− . . . + 𝑥2𝑎2 + … − …
Kedua ruas dikurangi (−𝟐𝒂𝟐𝒄𝒙 + 𝒙𝟐𝒂𝟐 + 𝒂𝟐𝒚𝟐)
𝑥2𝑐2 − … + . . . − 𝑥2𝑎2− . . . = −𝑎4 + 𝑎2𝑐2
𝑥2𝑐2 − 𝑥2𝑎2 − . . . = −𝑎4 + 𝑎2𝑐2
𝑥2(𝑐2 − 𝑎2) − . . . = −𝑎4 + 𝑎2𝑐2
Kedua ruas dikalikan (-1)
𝑥2(𝑎2 − 𝑐2)+ . . . = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2
𝑥2(𝑎2 − 𝑐2)+ . . . = 𝑎2(. . . − . . . )
Ingat! 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
𝑥2(𝑎2 − (. . . − . . . ))+ . . . = 𝑎2(. . . − (. . . − . . . ))
𝑥2 . . . + . . . = 𝑎2. ..
Kedua ruas dikalikan 1
𝑎2𝑏2
𝒙𝟐
… +
…
… = 𝟏
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪
dengan
𝑨 = …
𝑩 = …
𝑪 = …
Bentuk Pers.Elips sederhana
Bentuk Umum Pers.Elips
221
Latus Rectum adalah segmen garis yang dibatasi elips, melalui titik fokus dan tegak lurus
dengan sumbu mayor.
Elips Mendatar Elips Tegak
Berdasarkan gambar diatas, maka nilai
𝒙 = . … 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 = . …
Dengan menggunakan persamaan elips, maka
didapat sebagai berikut :
𝒙𝟐
𝒂𝟐 +
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
Substitusi salah satu nilai x
…𝟐
𝒂𝟐 +
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
Kedua ruas dikurangi (𝒄𝟐
𝒂𝟐)
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏 −
…𝟐
𝒂𝟐
𝒚𝟐
𝒃𝟐 =
…𝟐 − …𝟐
𝒂𝟐
Menggunakan teorema phytagoras
𝒚𝟐
𝒃𝟐 =
…𝟐
𝒂𝟐
dikali silang
Berdasarkan gambar diatas, maka nilai
𝒚 = . … 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒚 = . …
Dengan menggunakan persamaan elips, maka
didapat sebagai berikut :
𝒙𝟐
𝒂𝟐 +
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
Substitusi salah satu nilai y
𝒙𝟐
𝒂𝟐 +
…𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
Kedua ruas dikurangi (𝒄𝟐
𝒃𝟐)
𝒙𝟐
𝒂𝟐 = 𝟏 −
…𝟐
𝒃𝟐
𝒙𝟐
𝒂𝟐 =
…𝟐 − …𝟐
𝒃𝟐
Menggunakan teorema phytagoras
𝒙𝟐
𝒂𝟐 =
…𝟐
𝒃𝟐
dikali silang
LATUS RECTUM DAN EKSENTRISITAS
Gambarkan elips mendatar dengan titik fokus:
𝐹1(−𝑐, 0) 𝑑𝑎𝑛 𝐹2(𝑐, 0) beserta latus rectum
berdasarkan definisi.
Gambarkan elips tegak dengan titik fokus:
𝐹1(−𝑐, 0) 𝑑𝑎𝑛 𝐹2(𝑐, 0) beserta latus rectum
berdasarkan definisi.
LATUS RECTUM
222
𝒚𝟐 =. . .
𝒂𝟐
Akarkan kedua ruas
𝒚 = ±. . .
…
𝒙𝟐 =. . .
𝒃𝟐
Akarkan kedua ruas
𝒙 = ±. . .
…
Maka panjang Latus Rectum adalah
Maka panjang Latus Rectum adalah
Eksentrisitas adalah perbandingan jarak dari titik pusat ke titik fokus dengan jari-jari
sumbu mayor.
Elips Mendatar Elips Tegak
Berdasarkan gambar diatas,
jarak dari titik pusat ke titik fokus
𝑶𝑭𝟏 = … = …
Jari-jari sumbu mayor
𝑶𝑽𝟏 = … = …
Berdasarkan gambar diatas,
jarak dari titik pusat ke titik fokus
… = … = …
Jari-jari sumbu mayor
… = … = …
Berdasarkan definisi maka,
𝒆 =…
…
Berdasarkan definisi maka,
𝒆 =…
…
Tuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di (0,0)?
Gambarkan elips mendatar dengan titik pusat O,
titik fokus 𝐹1 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 , dan titik puncak 𝑉1 𝑑𝑎𝑛 𝑉2
Gambarkan elips tegak dengan titik pusat O, titik
fokus 𝐹1 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 , dan titik puncak 𝑉1 𝑑𝑎𝑛 𝑉2
EKSENTRISITAS
223
LATIHAN !
1. Tentukan panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, titik fokus, latus rectum, dan
eksentrisitas dari persamaan berikut :
c) 𝑥2
169+
𝑦2
144= 1
d) 25𝑥2 + 16𝑦2 = 400
2. Tentukan persamaan elips mendatar jika diketahui titik fokus (1,0) dan titik ujung sumbu
minor (0,2)!
3. Di suatu kota terdapat sebuah taman bermain. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu jalan
berbentuk elips dengan panjang mayor dan minor berturut-turut 338 meter dan 240 meter.
Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur pada masing – masing sisi
taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut !
224
lips
berpusat (h,k)
Tujuan Pembelajaran :
Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips yang berpusat di (h,k)
Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (h,k)
Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi pers.bentuk umum
Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan elips yang berpusat di (h,k)
Nama Anggota Kelompok :
1. .............................. 2. .............................. 3. ............................ 4. .......................... 5. ...................
SITUASI 5
Gambarkan denah taman semula dengan denah taman setelah dipindahkan! (Gunakan Koordinat Kartesius)
Di suatu perkampuangan di daerah Cibiru terdapat
sebuah taman bermain yang terletak di sebelah Balai
Desa Cibiru, yang biasa di kenal sebagai taman
“Kampung Cibiru”. Taman tersebut ketika diamati dari
atas seperti membentuk elips. Taman “Kampung Cibiru”
biasa digunakan warga sekitar sebagai taman bermain
anak-anak mereka ketika waktu siang dan sore hari.
Pada suatu hari, taman bermain tersebut akan
dipindahkan, dikarenakan adanya pelebaran bangunan
Balai Desa Cibiru. Taman tersebut akan dipindahkan ke
tempat yang tidak jauh dari tempat semula dengan
pusat berjarak (230 m,100m) dari tempat semula. Jika
tempat taman yang semula berpusat (0,0).
x
y
50
100
100 50 150 200 250 300 0
225
Berdasarkan gambar diatas tentukan unsur-unsur dari kedua bentuk elips tersebut!
Unsur-Unsur Pusat (0,0) Pusat (h,k)
Sifat a > b a > b
Titik Pusat
Titik Puncak
Titik Fokus
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Titik ujung sumbu
mayor
UNSUR – UNSUR ELIPS BERPUSAT DI (h,k)
SITUASI 6
Konsep apa yang digunakan terkait pada denah taman yang semula dan denah taman setelah dipindahkan ?
ELIPS MENDATAR
226
Titik ujung sumbu
minor
Jarak pusat ke titik
fokus
(menggunakan
teorema phytagoras)
Latus Rectum
Eksentrisitas
Berdasarkan gambar diatas tentukan unsur-unsur dari kedua bentuk elips tersebut!
Unsur-Unsur Pusat (0,0) Pusat (h,k)
ELIPS TEGAK
227
Sifat a < b a < b
Titik Pusat
Titik Puncak
Titik Fokus
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Jarak pusat ke titik
fokus
(menggunakan
teorema phytagoras)
Latus Rectum
Eksentrisitas
PERSAMAAN ELIPS BERPUSAT DI (h,k)
Tuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di (0,0) !
Tuliskan formula translasi (pergeseran)!
Kaitkan formula translasi dengan pusat (h,k)!
1
2
3
Carilah titik x dan y yang baru berdasarkan formula diatas !
4
228
Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di (0,0),maka
tentukan persamaan elips yang berpusat di (h,k) !
5
Mengubah Persamaan Elips Sederhana Menjadi Persamaan Bentuk Umum
Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di (h,k),
( … − … )𝟐
…+
( … − … )𝟐
…= 𝟏
Kalikan kedua ruas dengan 𝒂𝟐𝒃𝟐
… 2( … − … )𝟐 + … 2( … − … )𝟐 = 𝑎2𝑏2
Jabarkan ! ingat (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
… 2( … − … + … ) + … 2( … − … + … ) = 𝑎2𝑏2
Jabarkan !
… − … + … + … − … + … = 𝑎2𝑏2
Kedua ruas dikurangi 𝒂𝟐𝒃𝟐
… − … + … + … − … + … − 𝑎2𝑏2 = 0
Urutkan dari pangkat yang tertinggi
… 𝑥2 + … 𝑦2 − … 𝑥 − … 𝑦 + ( … + … − … ) = 0
Jika dimisalkan A = koefisien 𝒙𝟐, B = koefisien 𝒚𝟐, C = koefisien 𝒙,
D = koefisien 𝒚, dan E = konstanta
𝐴 = ............
𝐵 = ............
𝐶 = ............
𝐷 = ............
𝐸 = ............
Sehingga didapat persamaan bentuk umum elips yang berpusat di (h,k),
229
LATIHAN !
1. Diketahui elips yang persamaannya sebgai berikut :
25𝑥2 + 9𝑦2 + 50𝑥 + 72𝑦 − 56 = 0. Ubahlah persamaan tersebut ke dalam bentuk
( 𝑥 − ℎ )2
𝑎2+
( 𝑦 − 𝑘 )2
𝑏2= 1
2. Perhatikan gambar di bawah ini !
3. Sebuah orbit komet Halley memiliki ukuran panjang sebesar 36,18 AU dan lebar 9,12
AU. Tentukan
eksentrisitas dari orbit
komet Halley ?
Tuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di (h,k)?
Tuliskan kembali persamaan elips bentuk umum yang berpusat di (h,k)?
Tentukan persamaan elips dari
gambar berikut !
230
Lampiran 11
REKAPTULASI PENSKORAN LEARNING OBSTACLE KONSEP ELIPS
Responden
No. Soal Skor
Resp 1 2 3 4 5 6
A A B A B A B A B A B
R1 2 10 3 0 0 0 0 0 0 0 0 15
R2 2 10 3 2 0 0 0 0 0 0 0 17
R3 2 10 3 0 0 0 0 0 0 0 0 15
R4 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9
R5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
R6 2 5 0 2 0 0 0 0 0 0 0 9
R7 2 10 3 0 0 0 0 0 0 0 0 15
R8 2 5 2 10 5 2 0 2 0 10 0 38
R9 2 10 3 0 0 0 0 0 0 0 0 15
R10 2 10 3 2 0 0 2 0 0 0 0 19
R11 2 5 2 10 5 0 0 0 0 0 0 24
R12 2 10 2 2 0 2 0 0 0 0 0 18
R13 2 4 2 8 2 2 0 0 0 0 0 20
R14 2 5 0 10 5 2 0 0 0 0 0 24
R15 2 5 0 10 5 2 0 0 0 0 0 24
R16 2 4 3 10 5 0 2 2 0 10 0 38
R17 2 10 3 0 0 0 0 0 0 0 0 15
R18 4 10 3 2 0 2 0 0 0 0 0 21
R19 2 5 0 0 0 2 0 0 0 0 0 9
R20 2 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 9
R21 2 10 3 3 0 0 0 2 0 5 0 25
R22 2 5 0 0 0 0 0 2 0 0 0 9
R23 2 5 2 10 5 0 0 0 0 10 0 34
Total Skor 48 163 42 81 32 14 4 8 0 35 0
231
Skor maks
tiap
hambatan
10 10 5 10 5 10 10 10 10 10 10
%
Menguasai 20,87% 70,87% 36,52% 35,22% 27,83% 6,09% 1,74% 3,48% 0% 15,22% 0%
%
Tidak
Menguasai
79,13% 29,13% 63,48% 64,78% 72,17% 93,91% 98,26% 96,52% 100,00% 84,78% 100,00%
80,20%
%
Tidak
Menguasai
per nomor
79,13% 46,30% 68,48% 96,09% 98,26% 92,39%
232
Tabel Kriteria Penskoran Konsep Elips
No.
Soal Indikator Soal
Klasifikasi Jawaban Siswa
Tidak
Menjawab
Jawaban
Salah atau
Kurang Tepat
Menjawab
dengan Tepat
1 Menentukan perbedaan unsur – unsur elips,
jika diketahui 2 gambar yang berbeda
Skor = 0
0 < Skor < 10 Skor = 10
2 Menentukan persamaan elips dengan pusat
(0,0), jika diketahui beberapa unsur 0 < Skor < 15 Skor = 15
3 Menentukan persamaan elips berpusat di
(h,k), jika diketahui beberapa unsur
4 Menentukan beberapa unsur, jika diketahui
persamaan elips dalam bentuk baku
0 < Skor < 20 Skor = 20 5 Menyelesaikan masalah menggunakan unsur
– unsur dan persamaan elips
6 Menyelesaikan masalah menggunakan unsur
– unsur dan persamaan elips
233
Lampiran 12
HASIL WAWANCARA SISWA
Nama : Bailey Reshad F
Peneliti : bagaimana pendapatmu dengan soal yang tadi ? apakah mudah,
sedang, atau sulit?
Siswa : sedang sih, soalnya sebenernya bisa cuma gara-gara udah agak
lama dari semester satu harus inget-inget lagi liat catetan
Peneliti : kesulitan apa yang kamu alami saat belajar konsep elips yang
pusatnya (0,0) ?
Siswa : hhmm apa yaa, sama halnya lebih gampang daripada yang (h,k)
Peneliti : yang pusatnya (h,k) kenapa sulit ?
Siswa : nyari titik fokus sama puncaknya jadi harus dikurang-kurangin
dulu sama (h,k)nya itu
Peneliti : kan yang pusatnya di (h,k) ada pergeseran, jadi kamu sulitnya
disitu?
Siswa : iya kak
Peneliti : sebenarnya kamu di materi ini hanya sebatas menghafal atau sudah
memahami ?
Siswa : paham si sebenernya, tapi suka keliru aja
Peneliti : konsep apa saja yang digunakan saat menyelesaikan setiap soal
yang tadi diberikan ? pakai konsep atau materi prasyarat apa untuk
menyelesaikan soal tadi selain rumus-rumus elips itu sendiri ?
Siswa : grafik kayaknya ka, saya susah membaca grafik dimana titik
puncaknya
Peneliti : menurutmu bagaimana cara guru memaparkan materi elips saat di
kelas ?
Siswa : dapat dimengerti si kak
Peneliti : namun apakah kamu memahami apa yang sudah dipaparkan ?
Siswa : paham kak, tapi gurunya jelasinnya terlalu cepet, jadi kadang kita
suka dibikin tertekan karna kita belajar bukan cuma elips aja. Kita
juga belajar lingkaran, parabola, hiperbola, terkadang suka kebalik
balik
234
Peneliti : kamu lebih suka belajar menggunakan media atau tidak ?
Siswa : media lebih seru kak, kan kayak tadi disoal ada setengah elips,
mending sebelumnya kita diperlihatkan realnya seperti apa, biar
kita paham
Peneliti : kita lanjut yaa, untuk pertanyaan mengenai soal yang kamu
kerjakan. Untuk yang no 1 gimana ? kamu mengerjakan disini
hanya menyebutkan titik pusatnya saja. Sebenernya kalian tahu
unsur-unsur selain ini tapi kamu ngga tulis atau kamu tahu hanya
itu saja?
Siswa : tahu itu doang kak
Peneliti : apakah karna pergeseran yang pusatnya di (h,k) kamu belum
paham jadi isinya itu aja?
Siswa : nah iya kak aku ngga paham
Peneliti : lanjut gimana kalo soal nomor dua? Kamu menganggap sumbu
mayornya 2a atau 2b?
Siswa : 2a kak, jadi 2a sama dengan 4, terus a sama dengan 2
Peneliti : lalu b sama dengan 3 darimana ?
Siswa : dari persamaan lactus rectum, aku pecah kan a-nya udah ketahuan
2, terus yang b kuadratnya pikir aja, berapa yang dikuadratkan
hasilnya 9, gitu kak
Peneliti : jadi 2 yang di lactus rectum kamu kemanakan ?
Siswa : oh iya kak saya salah, seharusnya langsung aja b kuadratnya 9/2,
aku cuma nebak aja kak
Peneliti : kalo nomor 3 ? gimana kamu ngerjainnya ?
Siswa : ini kan nentuin persamaan, aku liatnya kalo ini pusatnya ngga di
(0,0), jadi liat dulu grafiknya pusatnya ada di (4,-2) sisanya untuk
nyari a dan b nya liat grafiknya lagi. Ini kan 9 paling ujung jadi kan
titik puncak terus masukin rumus aja (p+a,q) (p-a,q), p-nya kan tadi
4 terus q-nya -2, terus 4+a = 9 jadi a =5, terus buat nyari c tinggal
masukin (p+c,q)(p-c,q) jadi 4+c =8 jadi c = 4. Kalo nyari b-nya
tinggal masukin b2 = a2-c2 dapet b =3, terus masukin rumus elips
deh kak
235
Peneliti : oke kita lanjut, untuk nomor 4 bagaimana ?
Siswa : sebenernya aku nggak ngerti dan waktunya kaya udah mau habis,
jadi aku langsung mikir akar 25 sama 9 itu 5 dan 3 , yaudah deh
aku masukin ke rumusnya yang awal, terus aku nebak kalo
pusatnya di (0,0)
Peneliti : sebenernya kamu tahu kalo ini persamaan bentuk umumnya elips?
Siswa : kita ngga pernah diajarin yang kaya gini kak,cuma rumus yang
biasa
Peneliti : oke, lanjut ya nomor 5 ? kenapa jawabannya 44 ?
Siswa : soalnya aku ngga tahu caranya gimana, aku liat aja kiri kanan
kurangnya kecil oh yaudah berarti kurangin aja 2 m kanan kiri, jadi
44 deh kak
Peneliti : ohh oke kita lanjut nomor 6, gimana kamu mendapatkan a = 221
dan b = 171 ?
Siswa : soalnya aku ngga tau tadi yang dicari apa tapi sekarang aku tau ini
(nunjuk air mancur) titik fokus terus cari jarak dari air mancur 1 ke
2. Kalo a sama b udah keliatan kak karna di soal bilang panjang
sumbu mayor dan minor jadi a=221 terus b = 171
Peneliti : tapi kamu sebenernya bisa tidak menafsirkan apa mau soal ?
Siswa : tadi si ngga kak, tapi sekarang jadi tahu
Peneliti : yaudah,sekian ya terima kasih sudah diizinkan untuk wawancara
Siswa : iya kak sama -sama
Nama : Mohammed Antar Pilarrodina
Peneliti : bagaimana pendapatmu dengan soal yang tadi ? apakah mudah,
sedang, atau sulit?
Siswa : sulit
Peneliti : sulitnya kenapa ?
Siswa : sulitnya gara-gara nggak bisa materi yang ini, terus suka bingung
aja dengerin penjelasan dari gurunya
Peneliti : kesulitan apa yang kamu alami saat belajar konsep elips yang
pusatnya (0,0) ?
236
Siswa : kalo yang di (0,0) suka kebalik tegak sama yang mendatar
Peneliti : lalu kesulitan apa yang kamu alami jika pusatnya di (h,k) ?
Siswa : kalo yang di (h,k) suka lupa ngurangin titik pada fokus dan
puncaknya
Peneliti : sebenarnya kamu di materi ini hanya sebatas menghafal atau sudah
memahami ?
Siswa : hafal, saya lebih menghafal rumus dan suka latihan-latihan jadinya
ngerti
Peneliti : konsep apa saja yang digunakan saat menyelesaikan setiap soal
yang tadi diberikan ? pakai konsep atau materi prasyarat apa untuk
menyelesaikan soal tadi selain rumus-rumus elips itu sendiri ?
Siswa : membaca grafik kayaknya kak buat nyelesaiin soal nomor satu,
kadang cuma nebak-nebak aja kak
Peneliti : menurutmu bagaimana cara guru memaparkan materi elips saat di
kelas ?
Siswa : bisa dimengerti kok kak
Peneliti : namun apakah kamu memahami apa yang sudah dipaparkan ?
Siswa : paham ngerti kak, kalo belajar jadi makin ngerti. Terus gurunya
juga ngajarinnya kecepetan. Soalnya kita belajar ngga Cuma elips
aja kak
Peneliti : kamu lebih suka belajar menggunakan media atau tidak ?
Siswa : pake media kak, contoh soal yang tadi kak mending kita dikasih
tau wujud aslinya kayak gimana, biar kita juga lebih paham
Peneliti : kita lanjut yaa, untuk pertanyaan mengenai soal yang kamu
kerjakan. Untuk yang no 1 gimana ? kamu mengerjakan disini
hanya menyebutkan titik pusatnya saja. Sebenernya kalian tahu
unsur-unsur selain ini tapi kamu ngga tulis atau kamu tahu hanya
itu saja?
Siswa : yang aku paham itu doang kak
Peneliti : apakah karna pergeseran yang pusatnya di (h,k) kamu belum
paham jadi isinya itu aja?
Siswa : belum paham kak, belum pernah gunain di soal yang kayak gitu
237
Peneliti : lanjut gimana kalo soal nomor dua? Kamu menganggap sumbu
mayornya 2a atau 2b?
Siswa : 2a kak, jadi a-nya sama dengan 2
Peneliti : lalu b sama dengan 3 darimana ?
Siswa : dari persamaan lactus rectum kak, aku mikirnya berapa kalo
diakuadratkan hasilnya 9, jadi b sama dengan 3 kak
Peneliti : kamu memperhatikan rumusnya ngga kalo ada 2 disana?
Siswa : oh iya, aku tadi nebak kaya gitu aja kak
Peneliti : kalo nomor 3 ? gimana kamu ngerjainnya ? atau apa yang kamu
liat dari gambar ini ?
Siswa : aku liatnya kalo ini pusatnya tidak di (0,0) tapi di (p,q) soalnya kita
bukan pake (h,k). Pusatnya ada di (4,-2) abis itu cari a sama b-nya
pake rumus (p+a,q) (p-a,q), p-nya kan tadi 4 terus q-nya -2, terus
4+a = 9 jadi a =5. Kalo cari yang c-nya masukin (p+c,q)(p-c,q) jadi
4+c =8 jadi c = 4. Terus pake phytagoras dapet b=3. Abis itu
masukin ke rumus kak
Peneliti : oke, selanjutnya nomor 4 gimana kamu ngerjainnya?
Siswa : sebenernya aku nggak ngerti maksudnya, jadi aku langsung
nembak akar 25 sama 9 itu 5 dan 3 , yaudah deh aku masukin ke
rumusnya yang awal, terus aku mikir kalo pusatnya di (0,0)
Peneliti : sebenernya kamu tahu kalo ini persamaan bentuk umumnya elips?
Siswa : kita ngga pernah diajarin yang kaya gini kak,cuma rumus yang
biasa aja, mau mikir keburu habis waktunya kak
Peneliti : ohh oke, kita lanjut nomor 5 ? kenapa jawabannya 44 ?
Siswa : ngga tau kak, ngga ada ide lagi buat ngerjain jadi aku kurangin aja
kanan kiri 2m jadi 44 kak, aku liatnya kanan kiri juga sama
Peneliti : ohh oke kita lanjut nomor 6, gimana kamu mendapatkan a = 221
dan b = 171 ?
Siswa : yang aku tau kalo a sama b udah keliatan kak karna di soal panjang
sumbu mayor dan minor jadi a=221 terus b = 171, aku ngga ngerti
kak sebenernya nyari apa, tapi pas aku baca lagi sekarang aku
paham kak yang dicari jarak titik fokus 1 ke fokus 2 kak
238
Peneliti : tapi kamu sebenernya bisa tidak menafsirkan apa yang diinginkan
soal ini ?
Siswa : tadi ngga kepikiran kak soalnya waktunya habis jadi jawabnya itu
aja deh
Peneliti : yaudah,sekian ya terima kasih sudah diizinkan untuk wawancara
Siswa : iya kak sama -sama
239
HASIL WAWANCARA GURU
Peneliti : bagaimana kendala ibu saat mengajar elips di kelas ?
Guru : kendalanya si dari segi media ya soalnya kan elips ini adalah
sebuah kerucut yang diiris, jadi siswa bisa menerka kalo diiris
miring jadi elips kalo datar jadi lingkaran dan seterusnya, nah
sedangkan disini saya belum mempunyai media pembelajaran itu
untuk diperlihatkan ke anak-anak saya, jadi saya mengatasinya
waktu itu saya beri kelompok, nah setiap kelompok saya suruh buat
kerucut,terus setiap kelompok juga saya suruh mengirisnya datar,
miring, lurus, lalu apa yang dia lihat dari itu semua bentuk apa yang
mereka punya setelah tadi diiris. Nah baru lah anak-anak bisa
melihat perbedaanya. Itu si kendalanya di media
Peneliti : lalu bagaimana aktivitas peserta didik pada saat pembelajaran?
Guru : aktivitasnya si masih konvensianal yaa masih liat sayaa aja dan
masih terpaku dengan penjelasan saya aja
Peneliti : namun di kelas cenderung aktif kah atau cenderung pasif ?
Guru : aktif si, mereka nanya emang apa bedanya elipsnya mendatar atau
yang tegak itu kan rumusnya beda kan ya. Nah disitu mereka ngerti
perbedaanya seperti itu, atau ngerti kalo ada yang pusatnya di (h,k),
yaa pertanyaanya cukup banyak yang mereka lontarkan
Peneliti : terus menurut pengalaman ibu saat mengajarkan materi elips
kesulitannya dimana aja? Kalau di persamaan elips (0,0) ?
Guru : kalo yang (0,0) si selama saya ngajar ngga ada yaa kesulitannya
karna masih dalam bentuk dasarnya
Peneliti : kalau yang pusatnya di (h,k) bagaimana bu ?
Guru : nah ini karena nanti fokusnya kan ada perbedaan jadi berpengaruh,
atau ada pergeseran. Nah disitu biasanya kadang-kadang mereka
masih kurang teliti dia ngga digeser jadi tetep sama kaya di (0,0)
Peneliti : ibu menggunakan persamaan elips untuk yang tegak 𝑥2
𝑏2 +𝑦2
𝑎2 = 1
atau 𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1 ?
Guru : saya pakai 𝑥2
𝑏2+
𝑦2
𝑎2= 1 karna menganggap sumbu mayor adalah 2a
240
Peneliti : oke lalu ibu menggunakan sumber belajar apa saja bu ?
Guru : selain buku saya liat-liat di internet,youtube juga sangat membantu,
referensi buku si yang paling banyak
Peneliti : buku apa saja ya bu ?
Guru : bukunya penerbit grasindo, erlangga, pks juga ada
Peneliti : berarti ibu lebih dari satu buku referensinya, kalau siswa buku
pegangannya apa ya bu ?
Guru : yang merah yang penerbit grasindo
Peneliti : ibu saat mengajar menggunakan metode dan media apa saja ya bu?
Guru : kalo media dalam bentuk ppt ya, kalo metodenya kadang saya buat
kooperatif buat kelompok, kadang saya ceramah langsung kaya
gitu
Peneliti : kalo menurut ibu cara mengatasi kesulitan siswa pada materi elips
itu bagaimana bu ?
Guru : yaa cara mengatasinya si lebih liat realnya bentuknya lalu mereka
aplikasikan dengan rumusnya , lalu mereka mengerti dengan cepat
perbedaanya baik itu yang tegak ataupun yang mendatar
Peneliti : ibu pada materi ini menjelaskan perbedaan antara pusat yang (0,0)
dan (h,k) dengan menggunakan koordinat kartesius tidak bu ?
Guru : iya saya pakai itu jadi saya menggambarkan kalo (0,0) disini ketika
bergeser pusatnya jadi disini, seperti itu
Peneliti : baik ibu, terimakasih banyak saya sudah diizinkan wawancara
Guru : iya sama sama
241
Lampiran 13
DOKUMENTASI PENELITIAN
242
Lampiran 14
243
Lampiran 15
244
Lampiran 16
245
Lampiran 17