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Introducción TeóricaTransformación Wavelet y análisis MultirresoluciónDescomposición Wavelet Discreta Multirresolución
Próximos pasos
Descomposición Wavelet Discreta sobre FPGAImplementación con filtros FIR recursivos
Andrés L. Di Donato1
[email protected] de Procesamiento Digital
Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Buenos Aires
15-08-13 / Simposio Argentino de Sistemas Embebidos
Andrés L. Di Donato Wavelet sobre FPGA
Introducción TeóricaTransformación Wavelet y análisis MultirresoluciónDescomposición Wavelet Discreta Multirresolución
Próximos pasos
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1 Introducción TeóricaEfectos del muestreoAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
2 Transformación Wavelet y análisis MultirresoluciónAnálisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
3 Descomposición Wavelet Discreta MultirresoluciónConceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
4 Próximos pasos
Andrés L. Di Donato Wavelet sobre FPGA
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Próximos pasos
El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
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1 Introducción TeóricaEfectos del muestreoAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
2 Transformación Wavelet y análisis MultirresoluciónAnálisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
3 Descomposición Wavelet Discreta MultirresoluciónConceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
4 Próximos pasos
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Próximos pasos
El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Teorema del muestro IImplicancias en la resolución temporal.
RT = 1/Fs (1)
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Teorema del muestro I.I
La Resolución temporal está condicionada por lafrecuencia de muestreo.El teorema de Nyquist únicamente plantea una condiciónde mínima para poder recuperar la señal original sin errorempleando un filtro pasabajos ideal.Muchas aplicaciones requieren una resolución temporalmuy superior a la frecuencia de Nyquist.Una frecuencia de muestreo alta mejora la resoluciónespectral.
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Teorema del muestro IIImplicancias en la resolución espectral.
Resp = Fs/N (2)
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Teorema del muestro II. IImplicancias en la resolución espectral.
La Resolución espectral está condicionada por lamemoria disponible y la frecuencia de muestreo. Siconsideramos que se toman N muestras cada Tssegundos, concluimos que la Resolución espectralmejora cuando aumenta el tiempo deadquisición total.Una frecuencia de muestreo alta empeora la resoluciónespectral.
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Teorema del muestreo IIIRelación de compromiso.
El producto entre resolución espectral y temporal esconstante.Afinar la ventana aplicada mejora la resolución temporal,pero equivale a acotar el tiempo de adquisición y por lotanto empeora la resolución espectral. La única alternativaes una relación de compromiso.
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
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1 Introducción TeóricaEfectos del muestreoAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
2 Transformación Wavelet y análisis MultirresoluciónAnálisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
3 Descomposición Wavelet Discreta MultirresoluciónConceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
4 Próximos pasos
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Análisis de Fourier en señales No-EstacionariasImplicancias en la resolución temporal/frecuencial.
F(ω) =
∫ ∞−∞
f(t) eiωt dt (3)
La Transformación de Fourier no contiene informacióntemporal.Se puede evidenciar la existencia de ciertas componentesen el tiempo, pero no su localización.
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Señales no estacionariasAnálisis de Fourier para una señal no estacinaria en frecuencia.
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Señales no estacionarias II
Observamos que las componentes frecuenciales nopermanecen durante toda la duración de la señal, sino queestán perfectamente localizadas en el tiempo.La Transformada de Fourier informa sobre su existencia,pero nada nos dice acerca de su localización temporal.
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Localización temporal - Uso de la STFTShort Time Fourier Transform para una señal no estacionaria en frecuencia.
F(ω,τ) =
∫ ∞−∞
f(t)ω(t−τ) e−iωt dt (4)
Una posibilidad consiste en particionar en aplicar unaventana a la señal, desplazando esta ventana en eltiempo, y calcular la transformada de Fourier en cada casointervalo.Esto introduce en el análisis de Fourier una tercer variable:el tiempo.La señal pasa a estar representada en tres dimensiones:tiempo, frecuencia y amplitud.
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Limitaciones de la STFT
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
STFT - Gráficos tiempo-frecuencia
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Limitaciones de la STFTImplicancias en la resolución temporal/frecuencial.
El producto entre resolución espectral y temporal siguesiendo constante.Afinar la ventana aplicada mejora la resolución temporal,pero equivale a acotar el tiempo de adquisición y por lotanto empeora la resolución espectral. Se cae nuevamenteen una relación de compromiso.
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
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1 Introducción TeóricaEfectos del muestreoAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
2 Transformación Wavelet y análisis MultirresoluciónAnálisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
3 Descomposición Wavelet Discreta MultirresoluciónConceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
4 Próximos pasos
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Próximos pasos
El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Limitaciones del análisis de Fourier
A modo de resumen, son dos los inconvenientes que sebuscan mejorar. . .
Problemas en la localización temporal de componentesespectrales.Relación de compromiso entre Resolución espectral ytemporal.
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El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Limitaciones del análisis de Fourier
A modo de resumen, son dos los inconvenientes que sebuscan mejorar. . .
Problemas en la localización temporal de componentesespectrales.Relación de compromiso entre Resolución espectral ytemporal.
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Próximos pasos
El muestreo y la resolución temporal/espectralAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
Limitaciones del análisis de Fourier
A modo de resumen, son dos los inconvenientes que sebuscan mejorar. . .
Problemas en la localización temporal de componentesespectrales.Relación de compromiso entre Resolución espectral ytemporal.
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Análisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
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1 Introducción TeóricaEfectos del muestreoAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
2 Transformación Wavelet y análisis MultirresoluciónAnálisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
3 Descomposición Wavelet Discreta MultirresoluciónConceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
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Análisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
Conceptos del análisis multirresolución
Busca compatibilizar resolución temporal y espectralsimultáneamente.El concepto esencial es análizar la misma señal paradiferentes resoluciones temporales/espectrales.Para las frecuencias altas, es crucial mantener una buenaresolución temporal, pues las componentes de altasfrecuencia suelen ser impulsivas y por lo tanto aparecendurante intervalos de tiempos breves.Para las frecuencias bajas, es crucial mantener una buenaresolución espectral, pues para una cierta resoluciónespectral (valor absoluto) el error relativo es muy grandesobre las bajas frecuencias. A la vez, la localizacióntemporal de las componentes de baja frecuencia es masdifusa, y no es necesaria tanta precisión.
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Análisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
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2 Transformación Wavelet y análisis MultirresoluciónAnálisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
3 Descomposición Wavelet Discreta MultirresoluciónConceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
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Análisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
Transformación Wavelet Continua - Definición formal
C(τ,s) =
∫ ∞−∞
f(t)Ψ∗τ,s(t) dt (5)
A la señal original, se le aplica una ventana llamadaWavelet madre.La Wavelet madre se desplaza en el tiempoLa Wavelet madre sufre además un cambio de escala:concepto análogo a la inversa de la frecuencia. (Bajafrecuencia, alta escala y viceversa).
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Análisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
Wavelet madre
Ψ∗τ,s(t) =1√|s|
Ψ( t−τs ) (6)
La Wavelet madre Ψ es una función matemática quecumple con ciertos requisitosLa Wavelet madre sufre además un cambio de escala:concepto análogo a la inversa de la frecuencia. (Bajafrecuencia, alta escala y viceversa).
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Análisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
Wavelets madre más comunes
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Análisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
Variación de escala
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Análisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
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1 Introducción TeóricaEfectos del muestreoAnálisis de señales no estacionarias en frecuenciaResumen de las limitaciones del análisis de Fourier
2 Transformación Wavelet y análisis MultirresoluciónAnálisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
3 Descomposición Wavelet Discreta MultirresoluciónConceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
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Análisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
Definición de la Transformación Wavelet Discreta
Definición formal:
C[j , k ] =∑nεZ
f [n]Ψj,k [n] (7)
Puede pensarse como una discretización de latransformación Wavelet contínuaLa transformación pasa a calcularse como una sumatoriaLa expresión anterior corresponde a la llamadaDescomposición Wavelet. El proceso de volver a obtenerla señal original a partir de los valores transformados sedenomina Reconstrucción WaveletEl desplazamiento de la Wavelet no se realiza en formacontinua, sino muestra a muestra.
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Análisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
Cambio de escala
La escala de la Wavelet no evoluciona en forma contínuasino en pasos discretosEs común que la escala evolucione duplicando el anchode la ventana. Se llama a esto escala diádica.
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
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2 Transformación Wavelet y análisis MultirresoluciónAnálisis multirresoluciónTransformación Wavelet ContinuaTransformación Wavelet Discreta
3 Descomposición Wavelet Discreta MultirresoluciónConceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Descomposición Wavelet Discreta Multirresolución
yHP [k ] =∑
n
x [n] · g[2k − n]yLP [k ] =∑
n
x [n] · h[2k − n] (8)
Permite realizar la descomposición en forma eficiente paraun sistema digital, permitiendo también su reconstrucción.El algoritmo se basa en dos aspectos fundamentales:
La separación de la señal en dos bandas de frecuencia:"baja frecuencia" o coeficiente y "alta frecuencia" detalleempleando filtros digitales pasabajos y pasaaltos de mediabanda respectivamente.El análisis para diferentes frecuencias de muestreo,empleando diezmado de muestras.
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Bloque fundamental
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Filtros digitales empleados
Se trata de filtros de media banda (frecuencia de corteubicada en la mitad de la frecuencia de Nyquist.El análisis para diferentes frecuencias de muestreo,empleando diezmado de muestras. Se utilizará una escaladiádica implementando un diezmado por dos.El retardo de grupo que introducen es constante, puntoimportante para no distorsionar la morfología de la señalen el tiempo.Por lo anterior, el kernel de implementación tiene simetríapar respecto al centro.Los filtros se originan a partir de la Wavelet Madre elegida.
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Niveles de descomposición
La banda de baja frecuencia puede volver adescomponerse, generando así nuevos niveles dedescomposición. El diezmado limita la cantidad de nivelesmáxima.
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Implicancias del diezmado
El diezmado por dos implica bajar a la mitad la frecuenciade muestreoLo anterior mejora la resolución espectral, reduciendo laincertidumbre en frecuencia.La resolución temporal es óptima en alta frecuencia,mientras que la resolución espectral es óptima en bajafrecuencia.El diezmado por dos limita el número máximo de nivelesde descomposiciónLa información de la señal queda definida por los detallesy el último coeficiente.
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Escala diádica
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Materiales
Realizado sobre un kit Digilent Atlys - Xilinx Spartan 6Se utiliza un banco de filtros como bloque básico
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Wavelet utilizada
Se elige la Wavelet de Meyer.
Los filtros se obtienen utilizando la toolbox de Wavelets deMATLAB:
[low,high]=wfilters(‘dmey’, ‘d’);
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Aritmética elegida
Se trabajó con aritmética de punto fijo.Cuantizando la respuesta con 16 bits, observamos que labanda detenida se mantiene por debajo de los 80dB.
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Librería FPHDL
Para implementar la aritmética de punto fijo se utilizó lalibrería Fixed Point HDL.Esta librería define los tipos de datos sfixed (signedfixed point) y ufixed (unsigned fixed point) útiles para lasoperaciones de aritmética de saturación.
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Implementación de los filtros FIR
Como se mencionó anteriormente, los filtros derivados dela Wavelet madre tienen simetría par respecto de sucoeficiente central.La simetría permite utilizar una estructura derivada de laDF1, que permite reducir a la mitad la cantidad demultiplicadores utilizados.Si la longitud del filtro es impar, el valor central no se sumacon ningún otro.
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Implementación de los filtros FIR - Topologías
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Implementación de los multiplicadores
Los multiplicadores se generaron a partir de IP cores deXilinxSe utilizaron multiplicadores a coeficientes constantes,pues no se requiere variar el kernel.Si la longitud del filtro es impar, el valor central no se sumacon ningún otro.En esta implementación para realizar el diezmadosolamente se "descartan" las muestras que no importan,inhibiendo el clock de la etapa siguiente.
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Interfaz de comunicación
La comunicación se realiza empleando la interfaz deprogramación USB 2.0 del kitLa misma se reconfigura para que el dispositivo sea vistopor un host como un dispositivo que acepta transferenciade tipo bulk.Luego de que el kit es reenumerado por el host, es posibleenviar y recibir datos de él desde el host a través del busUSB.En esta implementación para realizar el diezmadosolamente se "descartan" las muestras que no importan,inhibiendo el clock de la etapa siguiente.
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Diagrama en bloques
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Transitorios del filtro
La decisión sobre qué acción tomar sobre los transitoriosde entrada y salida del filtro depende de cada aplicaciónen particular.En este caso se optó por descartar el transitorio deentrada y salida.
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Velocidad
La velocidad máxima teórica lograda con esta síntesisalcanzaría los 60MHz/byte, es decir 30MSa/segLa comunicación USB 2.0 limita esta velocidad
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Ocupación de la FPGA
El factor crítico de la implementación es la cantidad deLook up tables (LUT’s) utilizadasLa ocupación obtenida fue del 19%
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Conceptos generalesImplementación sobre FPGAResultados obtenidos
Señales de prueba
La validación de los resultados se realizó comparando losresultados con una simulación MATLABEl error obtenido se mantuvo dentro de lo esperable parala precisión aritmética elegida.
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Próximos pasos
Aplicación
Prueba sobre imágenes satelitales.Se busca analizar el régimen de lluvias a partir de lavariación del nivel de agua registrado en imágenessatelitales de lagunas.La descomposición permitirá obtener conclusiones acercade las variaciones diarias, estacionales e interanuales delrégimen de lluvias de la región.
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Próximos pasos
Mejoras
Implementación polifásica del filtro para el diezmado pordos.Analizar otras topologías de filtros más eficientes.Evaluar alternativas de la interfaz de comunicación.
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