Design and Analysis of Algorithm - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2017/02/Slide-DAA... · Selanjutnya adalah contoh masalah yang dikenal sebagai

Design and Analysis of AlgorithmWeek 4: Kompleksitas waktu algoritma rekursif part 1

Dr. Putu Harry Gunawan1

1Department of Computational ScienceSchool of ComputingTelkom University

Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 1 / 48

Outline1 Quiz I

Quiz I2 Review3 Pendahuluan

PendahuluanDikatkan bentuk rekursif:Tujuan dibuat rekursif:Syarat bentuk rekursif:

4 Relasi Rekurens FaktorialRelasi Rekurens Faktorial

5 Relasi Rekurens Hanoi TowerRelasi Rekurens Hanoi Tower

6 Relasi Rekursi Min MaxRelasi Rekursi Min Max

7 TambahanTambahanCara coba-coba

8 ReferencesReferences

9 ExerciseExercise


Outline1 Quiz I








9 ExerciseExercise


Exercise 1

Quiz I

Kuis I dimulai selama 45 menit.


Exercise 1

Buatlah algoritma rekursif untuk menghitung faktorial!Contoh

10! = 10× 9× · · · × 2× 1 (2.1)


Exercise 2

Buatlah algoritma rekursif untuk menentukan nilai baris fibonanci ke-nContoh: Baris fibonanci ke 6

1, 1, 2, 3, 5, 8 (2.2)


Outline1 Quiz I








9 ExerciseExercise


Pendahuluan

Pada bab ini, akan dibahas mengenai menghitung waktu asismtotik untukalgoritma rekursif. Kita mulai dengan definisi-definisi algoritma rekursif:


Outline1 Quiz I








9 ExerciseExercise


Rekursif

Dikatkan bentuk rekursif:

1 suatu subrutin atau fungsi/ prosedur yang memanggil dirinya sendiri.

2 bentuk dimana pemanggilan subrutin terdapat di dalam body subrutin

3 dengan rekursi, program akan lebih mudah dilihat.


Rekursif






Rekursif






Rekursif






Outline1 Quiz I








9 ExerciseExercise


Rekursif

Tujuan dibuat rekursif:

1 menyederhanakan penulisan program

2 menggantikan bentuk iterasi


Rekursif





Rekursif





Outline1 Quiz I








9 ExerciseExercise


Rekursif

Syarat bentuk rekursif:

1 ada kondisi terminal

2 ada subroutine call yang melibatkan parameter yang nilainya menujukondisi terminal

Sehingga untuk menghitung kompleksitas bentuk rekursif, maka digunakanteknik perhitungan kompleksitas dengan relasi rekurens.


Rekursif






Rekursif






Rekursif






Outline1 Quiz I








9 ExerciseExercise


Faktorial

Perhatikan algoritma berikut:

Function Factorial(input n: integer) -> integer

Algoritma

if n=0 then return 1

else

return (n * Factorial(n-1))

endif


Faktorial

Kompleksitas waktu:

untuk kasus basis, tidak ada operasi perkalian → 0

untuk kasus rekurens, kompleksitas waktu diukur dari jumlahperkalian (1) ditambah kompleksitas wasktu untuk faktorial (n-1).


Faktorial

Sehingga relasi rekursinya dapat dibentuk menjadi:

T (n) =

{0, n = 0,

T (n − 1) + 1, n > 0.(4.1)


Faktorial

Jadi menghitung waktunya adalah

T (n) = 1 + T (n − 1)

= 1 + 1 + T (n − 2) = 2 + T (n − 2)

= 2 + 1 + T (n − 3) = 3 + T (n − 3)

= · · ·= n + T (0)

= n + 0

Jadi T (n) = n→ O(n).


Generally

Secara umum, untuk menganalisis waktu efisiensi dari algoritma rekursif:

1 Putuskan dalam parameter, yang mengindikasikan ukuran inputan.

2 Identifikasi operasi dasar algoritma

3 Cek apakah jumlah operasi dasar akan berbeda jika ukuran masukanberbeda?, kalau iya maka dapat dihitung, waktu terbaik, terburuk,dan rata-rata secara terpisah.

4 Buat relasi rekursi dengan kondisi awal yang sesuai, untuk jumlahoperasi dasar yang dijalankan.

5 Selesaikan relasi rekursi, atau paling tidak tentukan orde kenaikannya.


Outline1 Quiz I








9 ExerciseExercise


Hanoi Tower

Selanjutnya adalah contoh masalah yang dikenal sebagai the Tower ofHanoi puzzle. Dalam permainan ini, pemain diberikan tiga buah batu yangmemiliki ukuran berbeda. Batu-batu tersebut selanjutnya disusunberdasarakan ukuran, yakni ukuran terbesar berada paling bawah.

Tujuan dari permainan ini adalah, memindahkan tumpukan batu di tiang Ake B tanpa mengubah posisi batu besar paling bawah. Disediakan tiang Csebagai perantara.


Hanoi Tower

Selanjutnya adalah contoh masalah yang dikenal sebagai the Tower ofHanoi puzzle. Dalam permainan ini, pemain diberikan tiga buah batu yangmemiliki ukuran berbeda. Batu-batu tersebut selanjutnya disusunberdasarakan ukuran, yakni ukuran terbesar berada paling bawah.Tujuan dari permainan ini adalah, memindahkan tumpukan batu di tiang Ake B tanpa mengubah posisi batu besar paling bawah. Disediakan tiang Csebagai perantara.


Hanoi Tower

Figure : Solusi rekursif untuk masalah Menara Hanoi.


Hanoi Tower

Procedure Hanoi (input n, A, B, C:integer)

Algoritma

If n=1 then

Write (Pindahkan piringan dari,A,ke,B)

Else

Hanoi(n-1,A,C,B)

Writeln(Pindahkan piringan dari,A,ke,B)

Hanoi(n-1,C,B,A)

Endif


Hanoi Tower

Operasi dasar dari algoritma Hanoi adalah ’Writeln()’, sehingga denganjelas bahwa pergerakan T (n) bergantung pada n yang relasi rekursinyaberupa:

T (n) = T (n − 1) + 1 + T (n − 1) ∀n > 1 (5.1)

Dengan kondisi awal T (1) = 1, maka relasi rekursinya ditulis ulang dalambentuk:

T (n) =

{1, n = 1

2T (n − 1) + 1, n > 1(5.2)


Hanoi Tower

Maka kompleksitas waktunya dapat dihitung sebagai berikut:

T (n) = 2T (n − 1) + 1

= 2(2T (n − 2) + 1) + 1 = 22T (n − 2) + 2 + 1

= 22(2T (n − 3) + 1) + 2 + 1 = 23T (n − 3) + 22 + 2 + 1

= · · ·= 2n−2(2T (n − (n − 1)) + 1) + 2n−3 + · · ·+ 22 + 2 + 1

= 2n−2 · 2T (1) +(2n−2 + 2n−3 + · · ·+ 22 + 2 + 1

)= 2n−1 + 2n−2 + 2n−3 + · · ·+ 22 + 2 + 1

= 2n − 1

Sehingga T (n) = 2n − 1→ O(2n).


Outline1 Quiz I








9 ExerciseExercise


Min Max

Perhatikan algoritma mencari data maksimum dan minimum dari suatutabel berikut

procedure MinMaks2(input A : TabelInt, i, j : integer, output min, maks : integer)

{ Mencari nilai maksimum dan minimum di dalam tabel A

yang berukuran n elemen secara Divide and Conquer.

Masukan: tabel A yang sudah terdefinisi elemen- elemennya

Keluaran: nilai maksimum dan nilai minimum tabel

}

Deklarasi

min1, min2, maks1, maks2 : integer

if i=j then {Jika satu elemen}

min <-- A[i]

maks <-- A[i]

else


Min Max

else

if (i = j-1) then {Jika dua elemen}

if A[i] < A[j] then

maks <-- A[j]

min <-- A[i]

else

maks <-- A[i]

min <-- A[j]

endif


Min Max

else

k=(i+j) div 2 { bagidua tabel pada posisi k }

MinMaks2(A, i, k, min1, maks1)

MinMaks2(A, k+1, j, min2, maks2)

if min1 < min2 then

min <-- min1

else

min <-- min2

endif

if maks1<maks2 then

maks <-- maks2

else

maks <-- maks2

endif

endif

endif


Min Max

Dari algoritma tersebut dapat dibuat relasi rekursi sebagai berikut:

T (n) =

0, n = 1

1, n = 2

2T (n/2) + 2, n > 2

(6.1)


Min Max

Sehingga waktu asismtotiknya bisa dicari yaitu:Misal n = 2k , sehingga

T (n) = 2T (n/2) + 2

= 2(2T (n/4) + 2) + 2 = 4T (n/4) + 4 + 2

= 4(2T (n/8) + 2) + 4 + 2 = 8T (n/8) + 8 + 4 + 2

= 23T (2k/23) + 8 + 4 + 2 = 23T (2k−3) + 23 + 22 + 21, n = 2k

= · · ·= 2k−1T (2) + 2k−1 + · · ·+ 22 + 21

= 2k−1 +k−1∑i=1

2i

= 2k−1 + 2k − 2

Selanjutnya bawa ke bentuk n atau k =2 log n,


Min Max

T (n) = 2k−1 + 2k − 2

= 22 log n−1 + 2

2 log n − 2

=n

2+ n − 2

=3n

2− 2 ∈ O(n)


Outline1 Quiz I








9 ExerciseExercise


Tambahan

Untuk mengetahui kompleksitas bentuk rekursif, maka T (n) harus diubahdalam bentuk yang bukan rekursif.Bagaimana mengubah bentuk rekursif ke non rekursif ? Ada dua macamcara untuk menyelesaikan masalah ini, yaitu cara coba-coba dan denganpersamaan karakteristik :

1 Cara coba-coba (deret).

2 Metode dengan persamaan karakteristik


Outline1 Quiz I








9 ExerciseExercise


Metode Coba-Coba

Cara ini dilakukan dengan menentukan pola deret yang terbentuk (caraderet). Contoh untuk cara ini telah ditunjukkan dalam mencarikompleksitas waktu untuk beberapa bentuk rekursif sebelumnya. Cara iniagak sulit dan perlu pengalaman.

Example

Tentukan waktu rekursi berikut:

T (n) =

{a, n = 1, 2

T (n − 1) + T (n − 2) + b, n ≥ 3(7.1)


Metode Coba-Coba

Solusi dari contoh diatas dengan cara coba coba adalah sebagi berikut:

T (1) = T (2) = a

T (3) = T (2) + T (1) + b = a + a + b = 2a + b

T (4) = T (3) + T (2) + b = (2a + b) + a + b = 3a + 2b

T (5) = T (4) + T (3) + b = (3a + 2b) + (2a + b) + b = 5a + 4b

T (6) = T (5) + T (4) + b = (5a + 4b) + (3a + 2b) + b = 8a + 7b

· · ·

Sangat sulit untuk bisa diformulasikan. Sehingga harus mencari cara lainutntuk menghitung waktu algoritma. Salah satu caranya adalah denganmenggunakan metode karakteristik. Metode ini akan dijelaskan padaperetemuan selanutnya.


Outline1 Quiz I








9 ExerciseExercise


References

References1 Anany, L. (2003). Introduction to the design and analysis of

algorithms. Villanova University.


Outline1 Quiz I








9 ExerciseExercise


Exercise 1

Selesaikan relasi rekurensi berikut:

T (n) =

{0, n = 1

T (n − 1) + 5, n ≥ 2(9.1)


Exercise 2


T (n) =

{4, n = 1

3T (n − 1), n ≥ 2(9.2)


Exercise 3


T (n) =

{0, n = 0

T (n − 1) + n, n > 0(9.3)


Exercise 4


T (n) =

{1, n = 1

T (n/2) + n, n > 1(9.4)


Exercise 5


T (n) =

{1, n = 1

T (n/3) + 1, n > 1(9.5)


Exercise 6

Diberikan algoritma untuk menghitung jumlah pangkat 3 dari deret,S(n) = n3 + (n − 1)3 + · · ·+ 23 + 13.

ALGORITHM S(n)

//Input: A positive integer n

//Output: The sum of the first n cubes

if n = 1 return 1

else return S(n - 1) + n * n * n

1 Tentukan relasi rekursi dari algoritma di atas dan selesaikan.

2 Bandingkan dengan algoritma yang tidak ditulis dengan rekursif.


The end of week 4

Thank you for your attention!


Documents

Design and Analysis of Algorithm - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2017/02/Slide-DAA... · Selanjutnya adalah contoh masalah yang dikenal sebagai