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Desigualdades o inecuaciones
lineales en una variable Prof. Caroline Rodriguez
Departamento de Matemáticas
UPR - Arecibo
Desigualdades
Una desigualdad o inecuación usa símbolos
como <,>,≤,≥ para representar la idea de
que dos cantidades NO son iguales.
Estos se leen de izquierda a derecha: ◦ 𝑎 < 𝑏 : a es menor que b,
◦ 𝑎 > 𝑏 : a es mayor que b
◦ 𝑎 ≤ 𝑏 : a es menor o igual a b
◦ 𝑎 ≥ 𝑏 : a es mayor o igual a b
Algunos ejemplos son:
Note que las primeras 3 son
ciertas y las últimas dos son
falsas.
Desigualdades algebraicas
Desigualdades algebraicas contienen una o más variables. Algunos ejemplos son:
Cuando se sustituye un valor
por la(s) variable(s) la
desigualdad algebraica se
convierte en un enunciado
numérico que es cierto o
falso.
Desigualdades o Inecuaciones
2x + 3 > 11
Si se sustituye x con el valor 5,
la inecuación lee
2(5) + 3 > 11
13 > 11
Por lo que 5 es una solución de la
desigualdad.
Este es un enunciado cierto.
Desigualdades (continuación)
Si se sustituye x con el valor 3,
la inecuación lee
2(3) + 3 > 11 que simplifica a
9 > 11
• Por lo que 3 NO es una solución de
la desigualdad.
2x + 3 > 11
Este es un enunciado falso.
Ejemplo: ¿Es solución?
¿Pertenece 5 al conjunto solución de
2x – 5 < 3x + 6 ?
?
?
Resolver una desigualdad
Resolver una desigualdad implica
encontrar TODAS sus soluciones, o sea
determinar el conjunto solución de la
desigualdad.
El conjunto solución de una desigualdad
se puede representar usando
◦ notación generadora de conjuntos
◦ una gráfica
◦ notación de intervalo
Conjunto solución de
desigualdades simples
Desigualdades lineales
Desigualdad lineal
x > -1
2x + 3 < 11
7(x + 3) ≤ 5x + 5
Desigualdad No lineal
x2 > -1
x2 – 3x + 5 ≤ -1
2(x3 – 4x) ≤ 0
2𝑥−3
𝑥+1> 3
Al igual que con las ecuaciones, hay diferentes tipos
de desigualdades. Las desigualdades lineales son
las que son de grado 1.
Propiedades de desigualdades
Sumar o restar una expresión o un
número real en ambos lados de una
desigualdad NO cambia el conjunto de
solución de la desigualdad.
Ejemplo Resuelve la desigualdad: x + 5 > 10
Solución:
Propiedades de desigualdades
Multiplicar o dividir ambos lados de una
desigualdad por un número real positivo
NO cambia el conjunto de solución de la
desigualdad.
Ejemplo Resuelve la desigualdad: 3x - 1 ≤ 11
Ejemplo Resuelve la desigualdad:
Solución:
4 – x ≥ x – 1
Propiedades de desigualdades
Al multiplicar o dividir ambos lados de la
desigualdad por un número real
negativo se invierte la desigualdad.
Resuelva la desigualdad: 3 – x < 2
Solución:
Ejemplo
Ejemplo
Resuelve la desigualdad:
Solución:
Ejemplo
Resuelve la desigualdad:
Solución: 2
75
3
2
x
Ejemplo Resuelve la desigualdad:
Solución:
4 + 7x ≥ 2x – 1
Ejemplo
Determinar el conjunto solución:
Solución:
Ejemplo
Resuelve la desigualdad:
Solución:
2(x + 3) ≥ 4(x – 2)
Ejemplo Hallar el conjunto solución de
Solución:
Ejercicios:
Resuelva las
siguientes
desigualdades
lineales. Represente el
conjunto solución en
notación de intervalo y
gráficamente.
Desigualdades compuestas En ocasiones tenemos desigualdades compuestas
como la siguiente:
2 < x + 1 < 5
Con esta notación se representan dos desigualdades:
x + 1 > 2 y x + 1 < 5
Podemos resolver cada desigualdad por separado y
luego unir las soluciones.
x + 1 > 2
x + 1 – 1 > 2 – 1
x > 1
Usamos la recta numérica para halla la intersección de
los conjuntos solución de cada desigualdad.
continua
x + 1 < 5
x + 1 – 1 < 5 – 1
x < 4
Desigualdades compuestas continuación:
x > 1 y x < 4
Usamos la recta numérica para halla la intersección de
los conjuntos solución de cada desigualdad.
El conjunto solución es: (1, 4).
Desigualdades compuestas
Podemos resolver la desigualdades compuestas de
forma simultánea, usando operaciones inversas
para dejar la variable sola en el centro y las
constantes en las partes de la derecha e izquierda.
Para esto debemos realizar las mismas operaciones,
tanto en el medio como en los dos extremos.
Ejemplo: Determina el conjunto solución de
2 < x + 1 < 5
2 – 1 < x + 1 – 1 < 5 – 1
1 < x < 4
El conjunto solución es: (1, 4).
Ejemplos:
Ejemplo 1:
2 ≤ x + 1 ≤ 5
Ejemplos:
Ejemplo 2: Determinar el conjunto solución
4 < 2x + 3 ≤ 8
Solución:
Ejemplos:
Hallar el conjunto solución de: 5 ≤ 1
2x – 3 ≤ 7
Solución:
Ejemplos:
Describir el conjunto solución en notación de
intervalo
2x < 3 < 5 + 2x
Solución:
Ejemplos:
Describir el conjunto solución de
x – 3 < 5 – 3x ≤ 7 + x
Solución:
Desigualdades de primer grado
o lineales
Práctica:
Diga si los valores a la derecha pertenecen al
conjunto solución de la desigualdad.
1) 7(x + 3) > 5x + 5 ; 4
2) -2(4x + 3) – 5x < 3x – 6 ; 2
Práctica: notación de intervalo 1. Escribe el intervalo que contiene todos los
números menores que -10.
2. Escribe el intervalo que contiene todos los
números mayores o iguales a 20.
3. Indicar si el enunciado es cierto o falso:
a)2
3∈ [0.75,∞)
b) −5 ∈ −∞,−4
c)9
4∈ (2,∞)
