DESKRIPTIVNE

KARAKTERISTIKE

DISTRIBUCIJA VARIJABLI

Osnove istraživanja u sportu i

fizičkom vaspitanju

Fakultet sporta i fizičkog vaspitanja Novi Sad

dr Željko Krneta

Svaka varijabla, dobijena kao rezultat

merenja nekog uzorka entiteta, ima

odgovarajuću distribuciju, raspodelu

rezultata merenja.

Svaka distribucija ima odgovarajuću

matematičku funkciju na kojoj je potrebno

odrediti neke osnovne parametre, kako bi

se dobile potrebne informacije o uzorku

entiteta u odnosu na tu varijablu.

Kada se analizira funkcija distribucije neke

varijable, njene osnovne karakteristike čine:

• mere centralne tendencije,

• mere varijabilnosti i

• mere oblika distribucije.

Ove karakteristike služe da bi se dobile

potpune informacije o distribuciji

analizirane varijable i ona adekvatno

opisala.

Potrebno je imati u vidu da li su rezultati

dobijeni na osnovu velikog ili malog uzorka

ispitanika, odnosno da li se radi o distribuciji

populacije ili o distribuciji uzorka izvučenog iz

populacije. Tada treba razlikovati pojmove

"parametar" i "statistik",

Parametar je numerička karakteristika rezultata

merenja populacije.

Statistik je numerička karakteristika merenja

izračunata na uzorku ispitanika.

Da bi se razlikovali parametri i statistici, u

terminologiji statistike koriste se grčka

slova za obeležavanje parametara, a

latinična za statistike.

Tako je za aritmetičku sredinu populacije

oznaka μ (mi) a za grupu ispitanika M (od

eng. Mean) ili AS.

Za standardnu devijaciju kao parametar

oznaka je σ (sigma), a kao statistik je s.

MERE CENTRALNE TENDENCIJE

Osnovni centralni pokazatelj distribucije

rezultata je aritmetička sredina.

Aritmetička sredina je najbolja mera

osnovnih kvantitativnih karakteristika

jedne varijable.

NXASMXN

i

i /1

Na primer, posmatrajmo sledeće vrednosti

rezultata osam ispitanika u nekom testu:

15, 20, 21, 20, 36, 15, 25, 15

Suma ovih osam vrednosti je 167, pa je

aritmetička sredina 167/8 = 20,875.

• Ako se od svih rezultata merenja

oduzme aritmetička sredina, pa se

razlike saberu, dobija se 0, odnosno

i = 1, ..., N.

Može se reći da je aritmetička

težište rezultata te varijable.

01

N

i

i XX

• Aritmetička sredina je optimalni

reprezent rezultata u analiziranoj

varijabli.

• Aritmetička sredina je veoma važan

pokazatelj normalne distribucije, koji

odgovara najvećoj frekvenciji rezultata.

• Kod normalne distribucije ona deli

krivu normalne distribucije na dva

jednaka dela. Naravno, to je moguće uz

veliki broj rezultata (podataka).

• Ako se razlike između rezultata i

aritmetičke sredine kvadriraju, onda

će njihov ukupni zbir biti najmanji

mogući.

Σ(X - AS)2 = minimalno

• U slučaju da se uzme bilo koji drugi

rezultat umesto aritmetičke sredine,

zbir će biti veći.

Pored aritmetičke sredine, nekada je

dobro imati informacije o centralnoj

vrednosti rezultata, odnosno centralnom

položaju rezultata ako se poređaju po

veličini, što se naziva - medijana.

Medijana je rezultat koji se nalazi tačno

u sredini skupa vrednosti.

Ako složimo po veličini ranije prikazanih

osam rezultata :

15, 15, 15, 20, 20, 21, 25, 36,

tada će četvrti i peti rezultat predstavljati

srednju poziciju ovog niza. Pošto oba

rezultata iznose 20, medijana je 20.

Kod neparnog broja rezultata medijana je

tačno cetralna vrednost u nizu podataka.

Kod parnog broja dva centralna rezultata,

ako nisu ista, se saberu i podele sa 2.

Mod (modalna vrednost, modus) je

najfrekventnija vrednost u

analiziranom skupu rezultata. Da bi se

odredio mod, potrebno je da se

rangiraju rezultati, a najfrekventnija

vrednost u takvom nizu predstavlja

mod. U donjem primeru to je 15.

15, 15, 15, 20, 20, 21, 25, 36

U nekim distribucijama može postojati

više od jedne modalne vrednosti. Na

primer, kod bimodalne distribucije postoje

dve vrednosti koje su najfrekventnije.

Mod 1

Mod 2

Odnos tri najvažnije mere centralne

tendencije distribucije varijabli

Simetrična distribucija Asimetrična distribucija

MOD

najfrekventniji

rezultat

MEDIAN centralni

rezultat

MEAN

prosek svih

rezultata

MERE VARIJABILNOSTI

U istraživanjima u sportu i fizičkom vaspitanju

formiraju se serije podataka koje imaju

promenljive vrednosti, odnosno variraju u

većoj ili manjoj meri.

U opisu distribucije neke varijable jedna od

najvažnijih karakteristika je varijabilnost

podataka. Osnovne mere varijabilnosti su

varijansa, standardna devijacija, raspon

rezultata i koeficijent varijabilnosti.

Najjednostavnija mera varijabilnosti je varijaciona

širina ili raspon rezultata (R). Izračunava se

jednostavnim oduzimanjem minimalne vrednosti

od maksimalne vrednosti serije podataka.

Karakteriše distribuciju kontinuiranih i diskretnih

podataka i izražava se u jedinici mere.

Raspon je jednoznačna mera varijabilnosti i

izuzetno je osetljiva na ekstremne vrednosti u

seriji podataka. Kada se u seriji podataka nalazi

jedna ekstremno visoka ili niska vrednost, ona

veštački povećava varijacionu širinu i tada raspon

ne odražava realnu procenu varijabilnosti pojave

koja se analizira.

Kod normalne i simetrične distribucije, variranje

rezultata u odnosu na aritmetičku sredinu je

simetrično. To znači da podjednako variraju

vrednosti manje od aritmetičke sredine kao i one

koje su veće od te vrednosti.

Mera tog variranja, odnosno varijabiliteta, naziva

se varijansa. Izračunava na sledeći način:

Varijansa ima neke karakteristike koje su veoma

važne za razmatranje metoda za analizu

podataka.

1/2

1

22

NXXS i

N

i

1. Varijansa je prosečna mera međusobne

kvadrirane udaljenosti entiteta od

aritmetičke sredine analiziranih

rezultata.

2. Varijansa je mera raspršenja rezultata,

što je varijansa veća, to se entiteti više

razlikuju i obratno.

3. Kada bi varijansa bila 0, rezultat svakog

entiteta bi bio jednak aritmetičkoj

sredini.

Standardna devijacija je prosečno

odstupanje rezultata od aritmetičke sredine

u jedinicama odgovarajuće mere.

Standardna devijacija (σ , S) se dobija kao

kvadratni koren iz varijanse.

Varijansa se prikazuje u kvadriranim

jedinicama, što ništa ne govori većini

istraživača i ta vrednost je besmislena u

prostoru merenja te varijable, odnosno u

tom metričkom prostoru.

Pošto je varijansa kvadratna veličina, ona

ima neke osobine koje standardna

devijacija nema, a koje služe u složenijim

metodama obrade podataka. Npr. varijanse

u istom metričkom prostoru se mogu

sabirati, odnosno dobijati tzv. zajednička

varijansa.

U praksi se najčešće koriste tri mere

varijabiliteta: raspon (R), standardna

devijacija (S) i koeficijent varijabilnosti.

Koeficijent varijabilnosti je mera koja

pokazuje koliki procenat vrednosti

aritmetičke sredine iznosi standardna

devijacija.

Izračunava se jednostavnim deljenjem

vrednosti standardne devijacije sa

aritmetičkoim sredinom, pa množenjem

sa 100, čime se dobija procentna

vrednost:

𝐾𝑉 =𝑆

𝐴𝑆∗ 100

Standardna pogreška aritmetičke sredine

služi za donošenje zaključka o položaju

stvarne vrednosti aritmetičke sredine u

nekom većem uzorku, odnosno u nekoj

populaciji.

Izračunava se određeni stepen pouzdanosti

u populaciji iz koje su ispitanici izvučeni:

.N

S

NSxx

Ako se pretpostavi da je aritmetička sredina

neke varijable dobijena tako što sadrži

aritmetičke sredine mnogo grupa od npr. 100

ispitanika. Aritmetička sredina za jednu

grupu ispitanika ne mora da je ista i za

drugu, treću, ..., n-tu grupu ispitanika.

Pitanje je koja je u stvari prava aritmetička

sredina.

Prava aritmetička sredina nije u jednoj tački,

nego oscilira oko zajedničke aritmetičke

sredine.

Ako se želi sigurnost od 95% da izračunata

aritmetička sredina pada u raspon oko zajedničke

aritmetičke sredine, treba dobijenu standardnu

pogrešku aritmetičke sredine pomnožiti sa

odgovarajućim koeficijentom za taj nivo

pouzdanosti:

Tek tada se može utvrditi da aritmetička sredina,

uz 95% sigurnosti, za bilo koji uzork iz iste

populacije pada u raspon AS ± DX koji se naziva

interval poverenja .

DXx 96,1

Ta procena zavisi od broja ispitanika u

uzorku i varijanse. Što je varijabilitet

ispitanika veći, tj. što se oni više

međusobno razlikuju, manja je

pouzdanost s kojom se određuje

aritmetička sredina.

Ako je broj ispitanika veći, raspon je

manji, pa bi aritmetička sredina bila

tačnije procenjena.

Kada se izračunavaju vrednosti

pokazatelja distribucije neke varijable, to

su samo procene stvarnih vrednosti tih

pokazatelja u populaciji.

Sve ove vrednosti (aritmetička sredina,

varijansa, standardna devijacija,

standardna pogreška aritmetičke sredine)

su deskriptivni pokazatelji jedne

varijable i ta oblast statistike se naziva

deskriptivna statistika.

Deskriptivnom statistikom se mogu samo

opisivati fenomeni i njihove relacije, što

nije dovoljno za većinu istraživanja u

sportu i fizičkom vaspitanju.

Dobijeni rezultati primenom deskriptivne

statistike koriste se samo kao osnovni

podaci za pravu naučnu obradu i analizu.

POGLED NA NORMALNU

DISTRIBUCIJU

MERE OBLIKA DISTRIBUCIJE

Za istraživanja u sportu i fizičkom vaspitanju

važani su i pokazatelji oblika distribucije,

odnosno stepen odstupanja uočene distribucije

od normalne.

Najznačajnije su dve mere oblika distribucije :

• Skjunis (Skewness) – mera asimetrije

distribucije i

• Kurtosis – mera homogenosti distribucije.

Asimetričnost distribucije se procenjuje na osnovu

koeficijenta Skewness. On predstavlja odnos aritmetičke

sredine, moda distribucije i standardne devijacije, i može

imati pozitivnu ili negativnu vrednost. Taj odnos se

određuje kao :

gde je M - aritmetička sredina

Mo - modalna vrednost

S - standardna devijacija

Kada je distribucija simetrična skjunis ima vrednost 0.

Smatra se da je vrednost skjunisa do ±0,5 dobra,

vrednost do ± 1,0 prihvatljiva, dok vrednost veća od ± 1

ukazuje na značajnu asimetriju distribucije.

Grafički prikaz simetričnosti

distribucije varijabli

Homogenost distribucije se procenjuje na

osnovu koeficijenta kurtosis.

U grafičkom prikazu distribucije putem

histograma homogenost se procenjuje na osnovu

zaobljenosti krive distribucije, odnosno na

osnovu oblika vrha krive.

Kada je vrednost kurtozisa 3 (odnosno 0 ako se izražava sa

korekcijom kao u programu SPSS), radi se o normalnoj

distribuciji ili Mezokurtičnoj distribuciji (primer c na

slici).

Ako je njegova vrednost pozitivna, radi se o

Leptokurtičnoj distribuciji (primer a na slici), koja se

karaktriše izraženim vrhom krive. Leptokurtična

distribucija ukazuje na izraženo grupisanje rezultata oko

aritmetičke sredine, odnosno povećanu homogenost

distribucije rezultata.

Kada je vrednost kurtosisa negativna, distribucija se naziva

Platikurtična distribucija (primer b na slici) i karakteriše

se spljoštenim vrhom krive distribucije. Ovakva

distribucija ukazuje na povećanu disperziju rezultata,

odnosno smanjenu homogenost distribucije.