Deskriptivni Par Novo

STATISTIKA

Mirjana Stojanović

tims.M j 2010Maj, 2010.

Pojednostavljivanje složene strukture i opis samo tipičnih globalnih obeležjatipičnih globalnih obeležja.DESKRIPTIVNI PARAMETRI - Pokazatelji kojima se definišu i opisuju zakonitosti jednog statističkog skupa.p j j g g p

Centralni pCentralni p

Disperzioni p

Mere oblika distMere oblika dist

2

Grupe deskriptivnih statističkih parametaraGrupe deskriptivnih statističkih parametara

1 Mere centralne tendencije (centralni par)1. Mere centralne tendencije (centralni par)2. Mere disperzije ili varijabilnosti (disperzioni par)3. Mere oblika distribucije (distribucija frekvencija)3. Mere oblika distribucije (distribucija frekvencija)

Parametri (skupa) μ ρ ...S i i i ( k ) M SStatistici (uzorka) M S ...

3

MERE CENTRALNE TENDENCIJEMERE CENTRALNE TENDENCIJE

1 Aritmetička sredina 1. Aritmetička sredina Osnovni centralni pokazatelj distibucije frekvencija.= suma svih rezultata / broj rezultatabroj rezultata

M=∑X/N

Neke karakteristike: Zbir Neke karakteristike: Zbir svih razlika rezultata i M daje nulu, odn.

∑(X M) 0

4

∑(X–M)=0

MERE CENTRALNE TENDENCIJEMERE CENTRALNE TENDENCIJE

2 Modalna vrednost modus (Mod) dominantna 2. Modalna vrednost, modus (Mod) – dominantna vrednost, najfrekventnija vrednost u analiziranom skupu rezultata.

Klasa Interval Sredina I f

1. 21 – 27 56

2. 27 – 33 75

3. 33 – 39 48

4. 39 – 45 32

5. 45 – 51 24

5

MERE DISPERZIJE

APSOLUTNE RELATIVNE

varijaciona širina varijansa standardna

devijacija Z‐vrednosti koeficijent varijacije

6

MERE VARIJABILNOSTIMERE VARIJABILNOSTI

Kvantifikacija odstupanja svakog pojedinačnog rezultata od M.Kod normalne i simetrične distribucije disperzija je Kod normalne i simetrične distribucije disperzija je simetrična.

1. Raspon (R) – oduzimanje najmanje vrednosti od najveće.

20, 15, 21, 15, 25, 36, 20, 15

Raspon ?

R=36–15=21

7


Tabela 1.

168 176 200 178 181 184

177 156 176 175 198 171

192 178 172 190 188 173

185 188 170 181 202 164

169 180 181 176 181 190

Prva 7 9 9 10 10 10 11 11 11 12

Druga 2 4 6 8 9 11 13 14 16 17

8


2. Mera varijabiliteta – varijansa.j j

σ2 = S2 = ∑(X−M)2/N−1

Varijansa – prosečna mera kvadriranog odstupanja Varijansa – prosečna mera kvadriranog odstupanja entiteta od M analizirane statističke serije.

Ispitanik XX–M

(dev.skor)(X−M)2

122...10

9

N=10


3. Standardna devijacija (σ, S) – prosečno odstupanje od 3. Standardna devijacija (σ, S) prosečno odstupanje od prosečne vrednosti u jedinicama odgovarajuće mere.

S = √∑(X−M)2/N−1

√∑(X M)2/N

uzorak

l ijσ = √∑(X−M)2/N

1 Koeficijent varijacije (V) relativna mera homogenosti

populacija

1. Koeficijent varijacije (V) – relativna mera homogenostiskupa.

V=S/M (0–1)

10


Koeficijent varijacije (V)Koeficijent varijacije (V)Vrednosti od 0–0.25 → izrazito homogen skupVrednosti od 0.26–0.50 → prosečno homogen skupVrednosti od 0.26 0.50 prosečno homogen skupVrednosti od 0.51–0.75 → umereno heterogen skupVrednosti od preko 0.75 → izrazito heterogen skupp 75 g p

11

NORMALNA DISTRIBUCIJAuslovi nastankauslovi nastanka

Najveći broj svojstava u prirodi poseduje normalnu distribuciju ukoliko su ispunjeni uslovi:

Veliki broj rezultata (merenja);D j d i i d i š Da su sva merenja sprovedena istim metodama i u što sličnijim uslovima;Skup koji merimo mora biti homogen po svim osobinama p j g p(svojstvima, karakteristikama), osim u osobini koju merimo.

12

NORMALNA DISTRIBUCIJAoblik i karakteristikeoblik i karakteristike

određena je sa dva parametra: srednja vrednost ( M ) i određena je sa dva parametra: srednja vrednost ( M ) i standardna devijacija ( s )unimodalna jeunimodalna jesimetrična je s obzirom na srednjuvrednost ( M ).( )Krivulja s desne strane od M je slika u ogledalu krivulje sa leve strane od M (“zvonasti oblik”)vrednosti aritmetičke sredine, medijane i moda su iste.

13

NORMALNA DISTRIBUCIJApromena oblika zavisno od veličinepromena oblika zavisno od veličine

st. devijacije i aritm. sredine

Ukoliko standardna devijacija (s) ostaje nepromenjena, povećavanjem srednje vrijednosti (M) dolazi do horizontalnog pomeranja krivulje horizontalnog pomeranja krivulje ___________. Smanjivanje srednje vrednosti (M) “pomera” krivulju horizontalno .__________Smanjenje standardne devijacije (s) dovodi do _____ i __________ krivulje, a povećanje standardne devijacije (s) do _______ i _______ krivulje.

14

NORMALNA DISTRIBUCIJApromena oblika u zavisnosti odpromena oblika u zavisnosti od

veličine st.devijacije i aritm.sredine

15

NORMALNA DISTRIBUCIJAraspored i položaj pojedinih jedin.skuparaspored i položaj pojedinih jedin.skupa

Unutar normalne distribucije nalazi se uvek isti postotak Unutar normalne distribucije nalazi se uvek isti postotak jedinica statističkog skupa, a udaljenost pojedine jedinice od aritmetičke sredine izračunava se u jedinicama standardnedevijacije;devijacije;

1. Unutar granica (M – 1s) i (M + 1s) nalazi se 68,3 % od svihrezultata;

2. Unutar granica (M - 2 s) i (M + 2 s) nalazi se 95,4 % od svih rezultata - raspon 95% rezultata; “reference range “

3 U t i (M 3 ) i (M + 3 ) l i 99 7 % d ih 3. Unutar granica (M - 3 s) i (M + 3 s) nalazi se 99,7 % od svih rezultata.

M=50,75 σ=13,89

16

NORMALNA DISTRIBUCIJAraspored i položaj pojedinih jedinicaraspored i položaj pojedinih jedinica

skupa

17

NORMALNA DISTRIBUCIJApraktična primenapraktična primena

Normalna distribucija je osnova za izračunavanje Normalna distribucija je osnova za izračunavanje verovatnosti određenog rezulatata u nizu merenja.VEROVATNOST ODREĐENOG REZULTATA (uz pretpostavku normalne distribucije)Zasniva se na:

STANDARDIZOVANOM ODSTUPANJU ( z )TABLICI KOJA POKAZUJE POVRŠINU ISPOD NORMALNE KRIVULJE ZA ODREĐENO STANDARDIZOVANO KRIVULJE ZA ODREĐENO STANDARDIZOVANO ODSTUPANJE ( z )

18

Tablica površine ispod normalne krivuljenormalne krivuljeP = površina standardne normalne raspodelne krivulje od normalne raspodelne krivulje od zadate vrednosti X do kraja krivulje. Površina cele krivulje = 1

19

Primer:Primer:

Prosečna masa turista koji su u poseti Wellness centru iznosi 70 kg, a standardna devijacija 10 kg .

Utvrdite:S k j ij j lj j i i čij j 1. Sa kojom proporcijom se pojavljuju turisti čija je masa veća od 80 kg?

2 Koliki je udeo (broj) turista čija se masa nalazi između 2. Koliki je udeo (broj) turista čija se masa nalazi između 70 i 80 kg?

N 250 X 80 M 70 10N=250; X1=80 ; M=70; s=10.

Z = ?

20

21

*

* http://members.shaw.ca/delajara/IQBasics.html 22


2. Standardizovano odstupanje (Z‐vrednost) – određuje položaj pojedinih rezultata u grupi.po o aj pojed e u tata u g up .

Z=(X–M)/S

X1=156 cm M=180 Z1=?X2=202 cm S=10.51 Z2=?

Maksimalne teoretske vrednosti opsega normalne distribucije koje opisuju većinu masovnih pojava, distribucije koje opisuju većinu masovnih pojava, kreću se između −3 i 3.Omogućava direktno upoređivanje podataka iz

t d ih t ti ičkih ij

23

potpuno raznorodnih statisičkih serija.

PROVERA DA LI DISTRIBUCIJA KONKRETNIH PODATAKAKONKRETNIH PODATAKAODGOVARA NORMALNOJ DISTRIBUCIJI

JE POČETNI KORAK SVAKE STATISTIČKE OBRADE !!!

Postupci provere:1. Subjektivnoj

Histogram

2. Testovimere asimetrije i zaobljenostiKolmogorov-Smirnov test

24

MERE OBLIKA DISTRIBUCIJEMERE OBLIKA DISTRIBUCIJE

Za procenu odstupanja od idealne krive normalnog rasporeda (procena normaliteta) koriste se 2 mere:

1. Skjunis (mera asimetrije) (engl. skewness – nagnutost, zakrivljenost) izakrivljenost) i

2. Kurtozis (mera homogenosti) (engl. curtosis).

Međusobni položaj M i Mo definišu asimetričnost distribucije.

SkjunisSkjunis –– nagnutost nagnutost NEGATIVNO ASIMETRIČNA → Mo

POZITIVNO ASIMETRIČNA → Mo

Sk (MSk (M M )/SM )/S ili Sk ∑ZSk ∑Z33/N/N

zona većih rezultatazona manjih rezultata

25

Sk=(MSk=(M‐‐Mo)/SMo)/S ili Sk=∑ZSk=∑Z33/N/N

ZZSkSk=Sk/S=Sk/Ssk sk (S(Ssksk=√6/N) =√6/N) (od ‐2 do +2)

MERE OBLIKA DISTRIBUCIJEMERE OBLIKA DISTRIBUCIJE

Kurtozis Kurtozis ‐‐ zaobljenost vrhazaobljenost vrhajjZavisi od varijabiliteta empirijskih rezultata u statističkoj seriji.Mera homogenostiMera homogenostiModeli krive prema kurtozisu:

1 Mezokurtična (0) / Gausova kriva normalnog rasporeda1. Mezokurtična (0) / Gausova kriva normalnog rasporeda2. Platikurtična (–) / rezultati su izrazito heterogeni3 Leptokurtična (+) / rezultati su izrazito homogeni3. Leptokurtična (+) / rezultati su izrazito homogeni

Ku=∑ZKu=∑Z44/N /N –– 3.03.0ZZKuKu=Ku/S=Ku/SKu Ku (S(SKuKu=√24/N) =√24/N) (od ‐2 do +2)

26

Standardna Standardna greška greška aritmetičke sredinearitmetičke sredine

Položaj stvarne vrednosti M u nekom većem uzorkuPoložaj stvarne vrednosti M u nekom većem uzorku.SM= S/√N

U k ( *)→ ij bl ( *)→ it tičk di ( *)→Uzorak (n*) → varijabla (n*) → aritmetička sredina (n*) →→ slučajna varijabla.

Distribucija uzoraka (sampling distribution) aritmetičkeDistribucija uzoraka (sampling distribution) aritmetičke sredine

d d šk i ičk di i iStandardna greška aritmetičke sredine zavisi:1. od varijabiliteta pojave koja se tretira i2 od veličine uzorka

27

2. od veličine uzorka.

28

Hvala na pažnji ☺

29

Documents

Deskriptivni Par Novo