DESSINS D’ENFANTS Y CURVAS DE BELYI REALES CIMPA …a nivel de dessins d’enfants de género 1; luego Schneps [28] veriﬁcó que la acción es ﬁel a nivel de dessins d’enfants

DESSINS D’ENFANTSY

CURVAS DE BELYI REALES

CIMPA SCHOOLReal Algebraic Geometry

July 2014

Villa de Leyva — Colombia

Rubén A. Hidalgo

DESSINS D’ENFANTSYCURVAS DE BELYI REALES

Rubén A. Hidalgo

Departamento de Matemática, Universidad Técnica FedericoSanta María,Valparaíso, Chile.E-mail : [email protected]

Url : http://rhidalgo.mat.utfsm.cl/

Classificación matemática por tema(2000). — 14H30, 14H10, 30F10.

Palabras claves. — Dessins d’enfants, curvas de Belyi, superficies deRiemann, grupo absoluto de Galois, curvas reales, superficies de Riemannsimétricas.

Projectos Fondecyt 1110001 y UTFSM 12.13.01.

DESSINS D’ENFANTSY

CURVAS DE BELYI REALES

Rubén A. Hidalgo

vii

A Betty, Cata y Pucky

INTRODUCCIÓN

Este curso de la Escuela CIMPA “Real Algebraic Geometry" tienecomo objetivo principal presentar ciertas relaciones entre objetos combi-natorios, llamados dessins d’enfants, con aspectos analíticos (superficiesde Riemann), geometría hiperbólica, curvas algebraicas, teoría de númerosy teoría de Galois ; con particular interés en el caso real.

B. Riemann observó que toda superficie de Riemann compactaS sepuede ver como una curva algebraica compleja irreducible y suave (aunquepodemos aceptar cierto tipo de singularidades ; por ejemplonodos). Deesta manera, nos podemos preguntar cuando es posible escoger tal curvadefinida sobre el cuerpo de los números algebraicosQ ; tales tipos de cur-vas son llamadas curvas de Belyi.

En 1979, aproximadamente, Belyi [1] mostró que una superficie de Rie-mann compactaS se puede representar por una curva de Belyi si y sólo siexiste una función meromorfaβ : S Ñ pC con a lo más tres valores de ra-mificación, los cuales podemos asumir estar contenidos ent8, 0, 1u ; estasfunciones son llamadas funciones de Belyi.

Ahora, dada una función de Belyiβ : S Ñ pC, podemos considerar lapreimágen porβ del intervalor0, 1s. Si pintamos de color negro las preimá-genes de0 y de color blanco las preimágenes de1, entonces obtenemos ungrafo bipartito enS. De hecho, se tiene que cada una de las componentesconexas del complemento deβ´1pr0, 1sq es homeomorfo a un disco (es de-cir, obtenemos un mapa enS). Estos mapas bipartitos fueron llamados porGrothendieckdessins d’enfants(Esquisse d’un Programme[14]).

De manera recíproca, cada dessin d’enfant define una estructura de su-perficie de RiemannS, única módulo isomorfía, y una función de Belyiβ : S Ñ pC tal que el dessin d’enfants original se obtiene como preimágenporβ del intervalor0, 1s.

x INTRODUCCIÓN

Dessins d’enfants (sin este nombre) ya aparecían en trabajos de F. Kleinen el siglo19 para construir superficies de Riemann admitiendo ciertoscubrimientos ramificados sobre la esfera de RiemannpC.

La existencia de una función de Belyiβ : S Ñ pC de gradod es equi-valente a la existencia de un subgrupo de índiced de un grupo Fuchsianotriangular (de hecho del grupoΓp2q).

Todo lo anterior permite ver una relación natural entre objetos combina-torios simples (dessins d’enfants), objetos analíticos (funciones de Belyi)y objetos geométricos (grupos Fuchsianos).

Uno de los grupos más interesente es el grupo absoluto de GaloisGalpQQq. Este grupo es un grupo profinito ya que es el limite inversode los grupos de Galois finitosGalpKQq, es decir, este grupo codificala teoría clásica de Galois (además, la teoría de representaciones de estegrupo juega un rol importante en la demostración del Teoremade Fermatdada por Wiles). Desafortunadamente, su estructura es aún un misterio.Como es usual, uno busca acciones fieles deGalpQQq sobre objetos quetienen alguna estructura simple para poder encontrar información sobre suestructura de grupo.

Existe una acción natural deGalpQQq sobre curvas de Belyi (al ser es-tas definibles sobre cuerpos de números) ; luego, una acción de este gruposobre los dessins d’enfants. Grothendieck notó [14] que esta acción es fiela nivel de dessins d’enfants de género1 ; luego Schneps [28] verificó quela acción es fiel a nivel de dessins d’enfants de género0. González-Diezy Girondo [12, 13] se dieron cuenta que la acción también es fiel a nivelde curvas hiperelípticas de cualquier género. Usando ciertas curvas no-hiperelíticas, llamadas curvas de Fermat generalizadas, se puede verificarque la acción es también fiel sobre ellas [17].

La idea de Grothendieck fue usar esta acción sobre estos objetos com-binatorios simples para poder entender en cierta manera la estructura deGalpQQq. Para entender la acción en los dessins d’enfants es necesariobuscar invariantes que permitan decidir cuando dos dessinsd’enfants estánen la misma órbita por tal acción (y aún más, decidir si estos son isomorfoso no). Algunos invariantes son conocidos, tales como el género, los gradosen los vértices de cada color, los grupos de automorfismos. Por desgracia,estos no son suficientes como para detectar si dos dessins d’enfants son ono equivalentes.

El objetivo principal de este curso es dar una introducción ala teoría delos dessins d’enfants, intentar explicar la acción deGalpQQq sobre estosobjetos e intentar explicar el rol unificador entre superficies de Riemann,

INTRODUCCIÓN xi

teoría de Galois, teoría de números algebraicos y geometríahiperbólicaplana. Como caso particular, veremos un link con el caso de curvas realesy dessins d’enfants reales, relacionando lo anterior con elprincipal objetode estudio de esta Escuela CIMPA.

Una lista de referencias son dadas, la cual es por lejos de serexhaustiva,pero que puede ayudar al principiante en el entendimiento deeste tema.

Finalmente, quiero agradecer a Mariela Carvacho, Pilar Johnson, SaúlQuispe, Sebastián Reyes-Carocca y María Elisa Valdés por las sugerenciasy reparos en versiones preliminares de estas notas.

Rubén A. HidalgoCIMPA SCHOOLReal Algebraic GeometryJulio 2014Villa de Leyva – Colombia

TABLA DE MATERIAS

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1. Superficies de Riemann y curvas algebraicas complejas. . . . . . . 11.1. Superficies topológicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 11.2. Superficies de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 21.3. Curvas algebraicas complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 31.4. Funciones holomorfas/anti-holomorfas. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 61.5. Superficies de Riemann son curvas algebraicas. . . . . . . .. . . . . . 81.6. Fórmula de Riemann-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 121.7. Automorfimos de superficies de Riemann. . . . . . . . . . . . . . .. . . 14

2. El Teorema del Descenso de Weil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1. Cuerpos de definición de superficies de Riemann. . . . . . . .. . . . 192.2. Cuerpos de móduli de superficies de Riemann . . . . . . . . . . .. . . 192.3. El teorema del descenso de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 21

3. Superficies de Riemann Reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1. Superficies de Riemann reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 253.2. Condición necesaria y suficiente para ser superficie de Riemann

real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 253.3. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 27

4. Curvas de Belyi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1. Curvas de Belyi, funciones de Belyi y pares de Belyi . . . .. . . . 294.2. Teorema de Belyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 324.3. Equivalencia de pares de Belyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 324.4. Automorfismos de pares de Belyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 324.5. Par de Belyi regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 334.6. Pares de Belyi reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 334.7. Acción del grupo absoluto de Galois sobre pares de Belyi. . . . 34

5. Uniformización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1. Grupos Kleinianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 37

xiv TABLA DE MATERIAS

5.2. Lema de Selberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 395.3. Teoremas de uniformización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 395.4. Grupos Fuchsianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 405.5. Grupos triangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 415.6. Grupos triangulares y curvas de Belyi . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 43

6. Dessins d’enfants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1. Dessins d’enfants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 456.2. La signatura de un dessin d’enfant . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 456.3. Dessin d’enfant limpio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 466.4. Valencia de un dessin d’enfant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 476.5. Cubrimientos ramificados asociados a un dessin d’enfant . . . . . 476.6. Equivalencia de dessins d’enfants . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 486.7. Automorfismos de dessins d’enfants . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 486.8. Dessins d’enfants y pares de Belyi . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 506.9. Acción del grupo absoluto de Galois en dessins d’enfants . . . . 526.10. El grupo de monodromía de un dessin d’enfant . . . . . . . . .. . . 536.11. El grupo de automorfismos de un dessin d’enfant por medio

de permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 606.12. Uniformización de dessins d’enfants. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 626.13. Dessins d’enfants reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 636.14. Ejemplos de dessins d’enfants de género cero. . . . . . . .. . . . . . 646.15. Funciones de Belyi de género cero y dinámica racional .. . . . 69

Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

CAPÍTULO 1

SUPERFICIES DE RIEMANN Y CURVASALGEBRAICAS COMPLEJAS

1.1. Superficies topológicas

Una superficie topológicaX es un espacio topológico, conexo, Haus-dorff y segundo numerable, provisto de una colección (llamado unatlas to-pológico) de parestpUj , zjqu (llamadascartas), satisfaciendo las siguientespropiedades :

1. cadaUj Ă X es un abierto del espacio topológicoX ;

2.Ť

j Uj “ X ;

3. zj : Uj Ñ zjpUjq es un homeomorfismo entreUj y un conjuntoabiertozjpUjq Ă C.

Observemos, de la definición dada arriba, que siUi XUj ‰ H, entoncesla función de transición

zj ˝ z´1

i : zipUi X Ujq Ñ zjpUi X Ujq

es un homeomorfismo.

Ejemplo 1. — Consideremos un polígono regularP Ă R2 de 2r ě 4

lados, digamoss1,..., s2r. Consideremos dos subconjuntos disjuntos det1, ..., 2ru cada uno de cardinalidadr, digamostj1, ..., jru y tk1, ..., kru.Por cadal P t1, ..., ru consideremos una isometría EuclideanaTl tal queTjpsjlq “ skl y TjpP 0qXP 0 “ H, dondeP 0 es el interior deP . Identifique-mos los lados deP usando las transformacionesTj. El espacio obtenido re-sulta ser una superficie topológica. ¿Cuándo es esta superficie orientable ?

2 CAPÍTULO 1. SUPERFICIES DE RIEMANN Y CURVAS ALGEBRAICAS COMPLEJAS

1z β o zα

α βzz

Figura 1.1. Función de transición

1.2. Superficies de Riemann

Un atlas topológico cuyas funciones de transición son funciones analíti-cas (luego funciones biholomorfas) es llamado unatlas analítico y en talcaso decimos que la superficie topológica es unasuperficie de Riemann.

Observemos que toda superficie de Riemann es necesariamenteorien-table ; como consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Una superficie de Riemann compacta es en particular una superficiecompacta orientable ; luego, ésta es determinada por su característica deEulerχ “ 2 ´ 2g, dondeg es el género de la superficie.

1. Si g “ 0, entonces la superficie es homeomorfa a la esfera unitariaS2 “ tpx, y, zq P R3 : x2 ` y2 ` z2 “ 1u ;

2. Sig “ 1, entonces ésta es homeomorfa al toroS1 ˆ S1 ;

3. Sig ě 2, entonces es homeomorfa a la suma conexa deg toros.

Ejemplo 2. — Ejemplos de superficies de Riemann son, por ejemplo, losabiertos conexos no vacíos deC. Casos interesantes son el plano complejoC, el disco unitarioD y el semiplano superiorH. Estos son ejemplos desuperficies de Riemann no compactas.

Ejemplo 3 (La esfera de Riemann). — Considermos la compactifica-ción del planoC por un punto,pC “ CYt8u, cuya topología es la generada

1.3. CURVAS ALGEBRAICAS COMPLEJAS 3

por los abiertos usuales deC y los conjuntos de la formapC ´ Kq Y t8u,dondeK Ă C es compacto (éstos forman una base de vecindades delpunto8). El atlas

tpU1 “ C, z1pzq “ zq, pU2 “ pC ´ t8u, z2pzq “ 1zqu,tiene como función de transición a la identidad (usando las mismas cartas)o bien la transformación de la forma (usando cartas diferentes)

z P C ´ t0u ÞÑ 1z P C ´ t0ulas cuales son analíticas. La superficie de Riemann así obtenida es llamadala esfera de Riemann. Verificar quepC es homeomorfa a la esfera unitariadeR3.

Ejemplo 4. — Seaτ P H y consideremos el grupo

Gτ “ xApzq “ z ` 1, Bτ pzq “ z ` τy – Z2.

Consideremos la acción deGτ sobre el planoC. Entonces, el cocienteTτ “ CGτ define una superficie de Riemann homeomorfa al toroS1ˆS1.

1.3. Curvas algebraicas complejas

1.3.1. Curvas algebraicas afines suaves. —Consideremos una colec-ción de polinomios

P1, ..., Pn´1 P Crx1, ..., xnsy la función holomorfa

T : Cn Ñ Cn´1

T px1, ..., xnq “ pP1px1, ..., xnq, ..., Pn´1px1, ..., xnqq.

Si el puntob “ pb1, ..., bn´1q P T pCnq es un valor regular deT, entonces,por el Teorema de la Función Implícita, tenemos queC :“ T´1pbq esuna superficie de Riemann (no compacta). Decimos queC es unacurvaalgebraica suave.

Ejemplo 5 (Curvas hiperelípticas). — En este ejemplo, tomaremosn “2 y el polinomio

P px, yq “ y2 ´mź

j“1

px ´ ajq,


dondea1, ..., am P C son puntos diferentes. En este caso,b “ 0 es unavalor regular deT “ P , y se tiene que

C2 :“#

px, yq : y2 “mź

j“1

px ´ ajq+

Ă C2

es una superficie de Riemann (no compacta). Sim ě 5, entonces esta curvaes conocida como un modelo afín de unasuperficie de Riemann hiperelíp-tica de género (i)g “ pm ´ 2q2, sim es par y (ii)g “ pm ´ 1q2, sim esimpar.

Ejemplo 6 (Curvasp-gonales). — De nuevo en este ejemplo, usaremosn “ 2. Seap un número entero primo y consideremos el polinomio

P px, yq “ yp ´mź

j“1

px ´ ajqnj ,

dondea1, ..., am P C son diferentes yn1, ..., nm P t1, ..., p ´ 1u. Al igualque en el ejemplo anterior (cuandop “ 2), se tiene que la curva

Cp :“#

px, yq : yp “mź

j“1

px ´ ajqnj

+Ă C2

es una superficie de Riemann (no compacta), llamada unacurvap-gonal.

Ejemplo 7 (Curvas de Fermat). — Seak ě 1 un entero y consideremosel polinomio

P px, yq “ xk ` yk ` 1.

En este caso, la curva

Fk :“

px, yq : xk ` yk ` 1 “ 0(

Ă C2

es una superficie de Riemann (no compacta), llamada unacurva de Fermatde gradok.

Ejemplo 8 (Curvas generalizadas de Fermat). — Seank ě 1 y m ě 3

enteros y seanλ1, ..., λm´2 P C ´ t0, 1u tales queλi ‰ λj parai ‰ j. Eneste caso, consideramos los polinomios

P1px2, ..., xm`1q “ 1 ` xk2

` xk3

Pjpx2, ..., xm`1q “ λj´1 ` xk2

` xkj`2

, j “ 2, ..., m ´ 1.

1.3. CURVAS ALGEBRAICAS COMPLEJAS 5

Se puede ver que0 es valor regular deT “ pP1, ..., Pm´1q ; luego

Cpkqλ1,...,λm´2

:“

$’’’&’’’%

1 ` xk2

` xk3

“ 0

λ1 ` xk2 ` xk

4 “ 0...

λm´2 ` xk2

` xkm`1

“ 0

,///.///-

Ă Cm

es una superficie de Riemann (no compacta), llamada unacurva generali-zada de Fermat de tipopk,mq.

1.3.2. Curvas algebraicas proyectivas suaves. —En los ejemplos decurvas anteriores hemos logrado obtener superficies de Riemann no com-pactas. Ahora veremos como construir superficies de Riemanncompactas.

Consideremos una colección de polinomios homogéneos

P1, ..., Pn´1 P Crx1, ..., xn`1s

y consideremos la función holomorfa

T : Cn`1 ´ t0u Ñ Cn´1

T px1, ..., xn`1q “ pP1px1, ..., xn`1q, ..., Pn´1px1, ..., xn`1qq.

Notemos que en este ejemplo se tiene queT p0, ..., 0q “ 0 y queT pµx1, ..., µxn`1q “ T px1, ..., xn`1q, para todoµ P C ´ t0u.

Ahora, si todo punto deT´1p0q ´ t0u P Cn`1 ´ t0u es un punto re-gular deT , entoncesS :“ T´1p0q ´ t0u Ă Cn`1 ´ t0u es una variedadcompleja de dimesión compleja2 (otra vez consecuencia del Teorema dela Función Implícita). SeaC la proyección deS en el espacio proyectivoPn “ pCn`1 ´t0uqC˚. Entonces,C resulta ser una superficie de Riemanncompacta.

Ejemplo 9 (Curvas de Fermat). — La curva proyectiva

Fk :“ trx : y : zs P P2 : xk ` yk ` zk “ 0u Ă P2

es una superficie de Riemann compacta, llamadacurva de Fermat de gradok. Esta curva es una compactificación de la curva de Fermat afínvistaanteriormente.


Ejemplo 10 (Curvas generalizadas de Fermat). — Seank ě 1 y m ě3 enteros y seanλ1, ..., λm´2 P C ´ t0, 1u tales queλi ‰ λj parai ‰ j. Lacurva proyectiva

Cpkqλ1,...,λm´2

:“

$’’’&’’’%

xk1 ` xk

2 ` xk3 “ 0

λ1xk1

` xk2

` xk4

“ 0...

λm´2xk1

` xk2

` xkm`1

“ 0

,///.///-

Ă Pm

es una superficie de Riemann compacta, llamadacurva generalizada deFermat de tipopk,mq. Esta curva es una compactificación de la curva ge-neralizada de Fermat antes vista.

1.4. Funciones holomorfas/anti-holomorfas

SeanS1 “ pX1,A1q y S2 “ pX2,A2q dos superficies de Riemann y seaf : X1 Ñ X2 una función continua.

1.4.1. Función holomorfa. — Diremos quef es unafunción holomorfa(función analítica) si en coordenadas locales esta es una función analíticaentre abiertos del plano complejo, es decir, para cada puntop P X1 existencartaspUj , zjq P Aj tales quep P U1 y fpU1q Ă U2, de manera que

z2 ˝ f ˝ z´1

1 : z1pU1q Ă C Ñ C

es analítica.

Supongamos quef es holomorfa. Siempre es posible encontrar car-tas localespU1, z1q y pU2, z2q como en la definición tales quez1ppq “z2pfppqq “ 0 y zjpUjq “ D. En este caso, la representación local

g :“ z2 ˝ f ˝ z´1

1 : D Ñ D

satisface que

gpzq “ znhpzq,dondeh es analítica enD,hp0q ‰ 0 y n ě 1 es un entero. Se puede verificarquen no depende de la elección de las cartas locales. Decimos quen es lamultiplicidad def enp y la denotaremos por el símbolomultppfq.

Cuando tenemos una función holomorfaf : S Ñ pC no-constante, seusa el términofunción meromorfa.

1.4. FUNCIONES HOLOMORFAS/ANTI-HOLOMORFAS 7

D

β o zα−1f o

αz zβ

f

p f(p)

00

D

z

Figura 1.2. Expresión local de la funciónf

1.4.2. Función anti-holomorfa. — Diremos quef es unafunción anti-holomorfa(función anti-analítica) si en coordenadas locales esta es unafunción anti-analítica entre abiertos del plano complejo,es decir, para cadapuntop P X1 existen cartaspUj , zjq P Aj tales quep P U1 y fpU1q Ă U2,de manera que

J ˝ z2 ˝ f ˝ z´1

1: z1pU1q Ă C Ñ C

es analítica, dondeJpzq “ z.

1.4.3. Isomorfismos entre superficies de Riemann. —Diremos que lassuperficies de RiemannS1 y S2 sonisomorfas (biholomórficamente equi-valentes) si existe un homeomorfismof : S1 Ñ S2 holomorfo (notar que lainversa debe ser holomorfa). Tal funciónf es llamada unbiholomorfismo.

Ejemplo 11. — Las superficies de RiemannpC y P1

C son isomorfas. Unisomorfismos es dado por el siguiente :

f : pC Ñ P1

C

fpzq “ rz : 1s, z ‰ 8

fp8q “ r1 : 0s.


1.5. Superficies de Riemann son curvas algebraicas

Hemos visto que curvas algebraicas proyectivas suaves definen super-ficies de Riemann compactas. El propósito de esta sección es ver el recí-proco, es decir, verificar que toda superficie de Riemann compacta es iso-morfa a una definida por curvas algebraicas. Para esto, primero introducire-mos los conceptos necesarios para escribir el Teorema de Riemann-Roch.Una vez introducido este teorema, procederemos a probar lo deseado.

En lo que sigue,S denotará una superficie de Riemann compacta.

1.5.1. Cuerpo de funciones meromorfas. —Denotaremos porMpSqal conjunto de las funciones meromorfasf : S Ñ pC diferentes de laconstante8. Este conjunto tiene una estructura natural de cuerpo, conte-niendo aC como subcuerpo, en particular,MpSq es un cuerpo extensióndeC. El cuerpoMpSq es llamado elcuerpo de funciones meromorfas deS. Más adelante veremos que este cuerpo es una extensión deC de gradode trascendencia1. Por ejemplo,MppCq “ Cpzq.

1.5.2. Divisores. — Un divisor de S es un elemento delZ-moduloDivpSq, generado por las colecciones finitas de puntos deS, es decir, dela forma

D “ÿ

j

mjpj ,

dondepj P S, mj P Z y sólo para un número finito de índices los enterosmj pueden ser diferentes de cero. Cuando todos los enterosmj ě 0 deci-mos que el divisor esefectivo. El grado deD es definido como al suma(finita) degpDq “ ř

j mj P Z.

Dados divisoresD1 “ řj ajpj y D2 “ ř

j bjqj, indicamos con el sím-boloD1 ě D2 el hecho queaj ě bj , para todoj. Notemos en este casoquedegpD1q ě degpD2q.

Usualmente, escribimosD “ řj mjpj como una suma finita al eliminar

aquellos términos conmj “ 0.

Si f P MpSq, entonces definimos el divisor def como

pfq “ a1p1 ` ¨ ¨ ¨ ` arpr ´ b1q1 ´ ¨ ¨ ¨ ´ bsqs,

donde :

(i) p1, ..., pr son los diferentes ceros def , aj es el orden como cero depj,

1.5. SUPERFICIES DE RIEMANN SON CURVAS ALGEBRAICAS 9

(ii) q1, ..., qs son los diferentes polos def y bj el orden como polo deqj .

Se puede verificar quedegpfq “ 0.

Similarmente, siω es una1-forma meromorfa deS, entonces le pode-mos asociar un divisor

pωq “ a1p1 ` ¨ ¨ ¨ ` arpr ´ b1q1 ´ ¨ ¨ ¨ ´ bsqs,

donde :

(i) p1, ..., pr son los ceros deω, aj el orden de cero depj,

(ii) q1, ..., qs son los polos deω y bj el orden como polo deqj .

1.5.3. Teorema de Riemann-Roch. —Dado un divisorD P DivpSq,uno puede asociarle elC-espacio vectorial

LpDq “ tf P MpSq ´ t0u : pfq ` D ě 0u Y t0u.

Teorema 1.5.1(Riemann-Roch’s theorem). —

dimpLpDqq “ degpDq ` 1 ´ g ` dimpLpK ´ Dqq,dondeK es el divisor de cualquier1-forma meromorfa deS.

Notemos del teorema de Riemann-Roch que siD es un divisor efectivo,entoncesdimpLpDqq ď 1 ` degpDq.

1.5.4. El cuerpoMpSq tiene grado de trascendencia1 sobreC. — SiDes un divisor efectivo de gradod ě g`1, entonces el Teorema de Riemann-Roch nos asegura quedimpLpDqq ě 2. En particular, esto prueba la exis-tencia de una función meromorfa no-constante enS ; por lo que vemos queMpSq tiene grado de trascendencia al menos1 sobreC.

Supongamos queMpSq tuviese grado de trascendencia al menos2 sobreC. Esto nos dice que podemos encontrar dos funciones meromorfas no-constantes deS, digamosf, g P MpSq, las cuales son algebraicamenteindependientes sobreC. En particular, cualquier colección finita de pro-ductosfagb (a, b P t1, 2...u) forman una colección algebraicamente inde-pendiente sobreC. Seanp1, ..., pr los polos def (dondepj tiene ordenaj) yseanq1, ..., qs los polos deg (dondeqj tiene ordenbj). Ahora consideremosel divisor efectivo

D “rÿ

j“1

ajpj `sÿ

j“1

bjqj .


Luego, por lo obervado antes, sid “ degpDq, entonces

dimpLpmDqq ď 1 ` degpmDq “ 1 ` md.

Si a ` b ď m, entoncesfagb P LpmDq. Como los elementosfagb sonalgebraicamente independentes sobreC, tenemos que

dimpLpmDqq ě pm ` 1qpm ` 2q2

.

Las dos desigualdades anteriores aseguran que

pm ` 1qpm ` 2q2

ď 1 ` md,

lo cual obliga a tenerm ď 2d ´ 3. Esto es una contradicción al hecho quem puede ser escogido de manera arbitraria.

Todo lo anterior es resumido en el siguiente.

Teorema 1.5.2. — SiS es una superficie de Riemann compacta, entoncessu cuerpo de funciones meromorfasMpSq es una extensión deC de tras-cendencia egual a1.

1.5.5. Superficies de Riemann como curvas algebraicas. —

Teorema 1.5.3. — SeaS una superficie de Riemann compacta. Entoncesexiste una curva proyectiva suaveC cuya superficie de Riemann es iso-morfa aS.

Demonstración. — Si S no es hiperelíptica de génerog ě 3, entoncesbasta considerar una base de1-formas holomorfas deS (el cual tiene car-dinalidadg) ; digamosw1, ..., wg. Ahora considerar la función holomorfa

H : S Ñ Pg´1

C : p ÞÑ rw1ppq : ¨ ¨ ¨ : wgppqs.

Usando el teorema de Riemann-Roch, se puede verificar queH : S ÑC “ HpSq es un isomorfismo sobre la curva proyectiva suaveC.

En el caso de curvas hiperelípticas de génerog ě 3, se puede procederde manera similar usando una base de2-formas holomorfas. En el caso decurvas de génerog “ 2, se pueden usar3-formas holomorfas. De todas ma-neras, en el caso hiperelítico, se pueden construir las curvas hiperelípticasvistas anteriormente y proyectivizarlas. Pero las curvas obtenidas tienen

1.5. SUPERFICIES DE RIEMANN SON CURVAS ALGEBRAICAS 11

puntos singulares, por lo cual hay que hacer una desingularización apro-piada.

Superficies de Riemann de génerog “ 1 se pueden describir por curvasgeneralizadas de Fermat de tipop2, 3q y la superficie de Riemann de génerog “ 0 es isomorfa aP1

C.

El Teorema 1.5.3 nos entrega una equivalencia entre las categorías desuperficies de Riemann compactas y las curvas proyectivas suaves. SiSes una superficie de Riemann compacta, podemos encontrar unacurvaproyectiva suaveC que la define como superficie de Riemann. Haciendouna proyección deC en el plano complejoP2

C, aquí podemos permitirpuntos singulares del tipo nodos, podemos ver queMpSq es isomorfo aCpxqrysxP y, dondeP px, yq P Crx, ys es un polinomio irreducible defi-niendo la curva plana proyectada. Obtenemos también una equivalenciaentre las dos categorías anteriores y la de los cuerpos que son extensionestrascendentales de grado1 sobreC.

Ejemplo 12 (toros). — Seanτ P H, Gτ “ xApzq “ z ` 1, Bτ pzq “ z `τy – Z2 y la superficie de Riemann de género uno dada porTτ “ CGτ .SeaΛ “ tn ` mτ : n,m P Zu.

La función

℘pz; τq “ 1

z2`

ÿ

ωPΛ´t0u

ˆ1

pz ´ ωq2 ´ 1

ω2

˙

es localmente uniformemente convergente enC a una función meromorfacon únicos polos en los puntos deΛ, cada uno de orden2. Esta función esllamada lafunción℘ de Weierstrass.

Esta función satisface :

℘pz ` ω; τq “ ℘pz; τq, para cadaω P Λ,

℘1pz ` ω; τq “ ℘1pz; τq, para cadaω P Λ,

℘1pz; τq “ ´2ÿ

ωPΛ

1

pz ´ ωq3 ,

p℘1pz; τqq2 “ 4 p℘pz; τqq3 ´ g2℘pz; τq ´ g3,

donde

g2 “ 60ÿ

ωPΛ

1

ω2,


g3 “ 140ÿ

ωPΛ

1

ω3.

Lo anterior permite ver un isomorfismo entreTτ ´t1 puntou y una curvaalgebraica de grado3 dada por

y2 “ 4x3 ´ g2x ´ g3.

1.6. Fórmula de Riemann-Hurwitz

Consideremos una función holomorfa no-constante

f : S1 Ñ S2

entre dos superficies de Riemann compactas. Supongamos queSj tienegénerogj.

Teorema 1.6.1. — Para cadaq P S2 se tiene que la sumaÿ

pPf´1pqq

multppfq

es independiente deq. Este número recibe el nombre de grado def ; deno-tado por el símbolodegpfq.

El resultado anterior es consecuencia de la conectividad deS2 menos losvalores de ramificación def .

Consideremos ahora una triangulación (suficientemente pequeña)T2 deS2 de manera que los valores de ramificación def estén contenidos en losvértices de tal triangulación. Denotemos porv el número de vértices , pore el número de ejes y porc el número de caras deT2.

Por la característica de Euler, obtenemos la igualdad

2 ´ 2g2 “ v ´ e ` c.

Podemos levantar porf la triangulaciónT2 para obtener una triangu-laciónT1 deS1. Se puede ver directamente que esta nueva triangulacióntienedegpfqe ejes ydegpfqc caras.

El conteo de vértices deT1 es un poco más complicado debido al hechoque hay puntos críticos allí. De todas maneras, si un vérticedeT2 no esvalor crítico def , entonces este produce por levantamiento exactamentedegpfq vértices deT1.

1.6. FÓRMULA DE RIEMANN-HURWITZ 13

Notemos, en todo caso, que

degpfq “ÿ

pPf´1pqq

multppfq “ÿ

pPf´1pqq

p1 ` pmultppfq ´ 1qq “

“ vq `ÿ

pPf´1pqq

pmultppfq ´ 1q,

dondevq es la cantidad de preimágenes deq por f (es decir, el número devértices enT1 sobreq). Luego, el número de vértices que tieneT1 es iguala

degpfqv ´ÿ

pPS1

pmultppfq ´ 1q.

Usando la característica de Euler, ahora enS1 y la triangulaciónT1, ob-tenemos que

2 ´ 2g1 “˜degpfqv ´

ÿ

pPS1

pmultppfq ´ 1q¸

´ degpfqe ` degpfqc,

de donde obtenemos la siguiente fórmula.

Teorema 1.6.2(Fórmula de Riemann-Hurwitz). — Si f : S1 Ñ S2 esuna función holomorfa no-constante entre las superficies deRiemann com-pactasS1 y S2, dondeSj tiene génerogj, entonces

2pg1 ´ 1q ´ 2degpfqpg2 ´ 1q “ÿ

pPS1

pmultppfq ´ 1q.

Ejemplo 13 (Curvas generalizadas de Fermat). — Consideremos lasuperficie de Riemann compacta definida por la curva generalizada deFermat de tipopk,mq siguiente :

Cpkqλ1,¨¨¨ ,λm´2

:“

$’’’&’’’%

xk1

` xk2

` xk3

“ 0

λ1xk1

` xk2

` xk4

“ 0...

λm´2xk1

` xk2

` xkm`1

“ 0

,///.///-

Ă Pm.

y la función meromorfa no-constante

π : Cpkqλ1,¨¨¨ ,λm´2

Ñ pC

πprx1 : ¨ ¨ ¨ : xm`1sq “ ´ˆx2

x1

˙k

.


Esta función tiene gradokn y sus valores críticos son dado por los puntos

8, 0, 1, λ1, ..., λm´2.

Además, cada preimágen de cada uno de esos valores es un puntocríticocon multiplicidad igual ak.

De hecho, si consideramos las funcionesa1, ..., am P PGLm`1pCq,donde aj es multiplicación en la coordenadaxj por e2πik, entoncesH “ xa1, ..., amy – Zm

k es un grupo de automorfismos holomorfos deC

pkqλ1,¨¨¨ ,λm´2

y π : Cpkqλ1,¨¨¨ ,λm´2

Ñ pC resulta ser un cubriente ramificadoregular con grupo cobertorH.

Por la fórmula de Riemann-Hurwitz, obtenemos en este caso que

g “ m ´ 1

2km ´ m ` 1

2km´1 ` 1.

Por ejemplo, sik “ 2 y m “ 3, obtenemosg “ 23 ´ 23 ` 1 “ 1.

Si m “ 2, entonces estamos en presencia de una curva de Fermat degradok y su género esg “ pk ´ 1qpk ´ 2q2.

1.7. Automorfimos de superficies de Riemann

1.7.1. Automorfimos holomorfos. — Un biholomorfismof : S Ñ S,dondeS es una superficie de Riemann, es llamado unautomorfismo holo-morfo deS. La colección de todos los automorfismos de la superficie deRiemannS es un grupo bajo la composición y es denotado porAut`pSq.

1.7.2. Automorfimos anti-holomorfos. — Un homeomorfimof : S ÑS, dondeS es una superficie de Riemann, es llamado unautomorfismoanti-holomorfodeS sif es anti-holomorfa (su inversa es automáticamenteanti-holomorfa). La colección de todos los automorfismos (holomorfos yanti-holomorfos) de la superficie de RiemannS es un grupo bajo la com-posición y es denotado porAutpSq. En este caso,Aut`pSq es un subgrupode índice1 o 2.

Ejemplo 14. — Aut`ppCq – PGL2pCq. La matriz

A “„a b

c d

P PGL2pCq

1.7. AUTOMORFIMOS DE SUPERFICIES DE RIEMANN 15

actúa como la transformación de Möbius

TApzq “ az ` b

cz ` d.

Los automorfimos anti-holomorfos depC son de la forma

LApzq “ az ` b

cz ` d.

Ejemplo 15. —

Aut`pCq “ tApzq “ az ` b; a, b P C, a ‰ 0uAutpCq “ xAut`pCq, Jpzq “ zy

Ejemplo 16. — Aut`pHq – PSL2pRq. La matriz

A “„a b

c d

P PSL2pRq

actúa como la transformación de Möbius

TApzq “ az ` b

cz ` d.

AutpHq “ xAut`pHq, Epzq “ ´zy

Ejemplo 17. — Consideremos la curva de Fermat de gradok ě 3

Fk :“ trx : y : zs P P2

C : xk ` yk ` zk “ 0u.

Aut`pFkq “ xa1, a2y ¸ xb1, b2y – Z2

k ¸ S3,

dondea1rx : y : zs “ re2πikx : y : zs,a2rx : y : zs “ rx : e2πiky : zs,

b1rx : y : zs “ ry : x : zs,b2rx : y : zs “ rz : x : ys.

AutpFkq “ xAut`pFkq, Jprx : y : zs “ rx : y : zsy – Aut`pFkq ˆ Z2.


Ejemplo 18. — Consideremos la superficie de Riemann compacta defi-nida por la curva generalizada de Fermat de tipopk,mq siguiente :

Cpkqλ1,¨¨¨ ,λm´2

:“

$’’’&’’’%

xk1 ` xk

2 ` xk3 “ 0

λ1xk1

` xk2

` xk4

“ 0...

λm´2xk1

` xk2

` xkm`1

“ 0

,///.///-

Ă Pm.

Como ya hemos oberservado en el Ejemplo 13, las funcionesa1, ..., am PPGLm`1pCq, dondeaj es multiplicación en la coordenadaxj por e2πik,entoncesH “ xa1, ..., amy – Zm

k es un grupo de automorfismos holomor-fos deCpkq

λ1,¨¨¨ ,λm´2y

π : Cpkqλ1,¨¨¨ ,λm´2

Ñ pC : rx1 : ¨ ¨ ¨ : xm`1s ÞÑ ´ˆx2

x1

˙k

resulta ser un cubriente ramificado regular con grupo cobertorH.

1. Sim “ 2, entonces estamos en presencia de la curva clásica de Fer-matFk. Ya hemos visto en el Ejemplo 17 que debe haber un grupo deautomorfismos extra isomorfo aS3 de manera que el grupo total deautomorfismos holomorfos de la curvaFk esH ¸ S3.

2. Sim “ 3, entonces podemos construir un subgrupo de automorfis-mosA ă AutpCpkq

λ1q tal queH A y AH – Z2

2. En la situación

genérica, no hay mas automorfismos holomorfos.

3. Sim ě 4, entonces genéricamenteAutpCpkqλ1,¨¨¨ ,λm´2

q “ H.

Ejemplo 19. — Seanτ P H, Gτ “ xApzq “ z ` 1, Bτpzq “ z ` τy – Z2

y la superficie de Riemann de género uno dada porTτ “ CGτ .

1. Las translacionesT pzq “ z ` r, donder P C, inducen automorfis-mos holomorfos del toroTτ que no tienen puntos fijos. Todos estosautomorfismos definen un grupo isomorfo aS1 ˆ S1.

2. La transformaciónEpzq “ ´z también induce un automorfismo ho-lomorfo de orden2 sobreTτ , actuando con4 puntos fijos.

3. Cuandoτ P ti, p1 ´ i?3q2u, entoncesTτ tiene más automorfismos.

1.7. AUTOMORFIMOS DE SUPERFICIES DE RIEMANN 17

1.7.3. Teorema de Hurwitz. —

Teorema 1.7.1. — Si S es una superficie de Riemann de génerog ě 2,entoncesAutpSq es un grupo finito. De hecho,

|Aut`pSq| ď 84pg ´ 1q.

Existen infinitos valores deg ě 2 para los cuales existe una superficie deRiemann de génerog conAut`pSq de orden84pg´1q (estas superficies deRiemann son llamadascurvas de Hurwitz). El primer género donde existeuna curva de Hurwitz esg “ 3 y esta es única módulo isomorfismos ; dadapor la curva de Kleintx3y ` y3z ` z3x “ 0u Ă P2

C. El siguiente géneroadmitiendo curvas de Hurwitz esg “ 7 (curva de Fricke-Macbeath). Tam-bién se sabe que existen infinitos valores deg para los cuales no hay curvasde Hurwitz.

CAPÍTULO 2

EL TEOREMA DEL DESCENSO DE WEIL

2.1. Cuerpos de definición de superficies de Riemann

SeaS una superficie de Riemann compacta. Un subcuerpoK deC es lla-mado uncuerpo de definicióndeS si existe una curva algebraica proyec-tiva suaveC, definida por polinomios homogéneos con coeficientes enK,que es isomorfa aS como superficie de Riemann. También decimos queS

esdefiniblesobreK

2.2. Cuerpos de móduli de superficies de Riemann

Consideremos una superficie de Riemann compactaS y seaC unacurva algebraica proyectiva suave, definida por los polinomios homo-géneosP1,..., Pr, la cual define una superficie de Riemann isomorfa aS.

SeaAutpCQq, el grupo de los automorfismos de cuerpo deC.

Paraσ P AutpCQq y j “ 1, ..., r, definimos el polinomioP σj como

aquel obtenido a partir dePj al reemplazar cada uno de sus coeficientespor su imagen porσ. La curva algebraicaCσ, definida por estos nuevospolinomios homogéneosP σ

1,...,P σ

r , sigue siendo suave y define una super-ficie de Riemann compacta homeomorfa aS (pero podría no ser isomorfa).

Si consideremos el grupo

GC “ tσ P AutpCQq : Cσ – Cu,

entoces el cuerpo fijoMpSq deGC es llamado elcuerpo de móduli deS.

20 CAPÍTULO 2. EL TEOREMA DEL DESCENSO DE WEIL

Observemos en lo anterior que siC – pC, entoncesGC “ G pC . Luego, ladefinición anterior no depende de la elección deC que represente aS. Deesta manera, el cuerpo de móduli deS queda bien definido.

Teorema 2.2.1(Koizumi) . — Sea S una superficie de Riemann com-pacta. Entonces :

1. S es definible sobre una extensión finita deMpSq.2. MpSq es igual a la intersección de todos los cuerpos de definición

deS.

2.2.1. Género cero. —Por el teorema de uniformización, toda superfi-cie de Riemann de género cero es isomorfa aP1

C ; en particular, ellas sondefinidas sobre su cuerpo de móduli el cual esQ.

2.2.2. Género uno. —Toda superficie de Riemann de género uno puedeser descrita por una curva elíptica

Eλ “ ty2z “ xpx ´ zqpx ´ λzqu Ă P2

C, pλ P C ´ t0, 1uq.El cuerpo de móduli deEλ esQpjpλqq, dondej es laj-función modular

de Klein

jpλq “ 4pλ2 ´ λ ` 1q327λ2pλ ´ 1q2 .

Se sabe queEλ (soCp2qλ ) es definible sobreQpjpλqq ; de manera más

concreta,Eλ – Cp2qλ es isomorfa a

1. (sijpλq R t0, 1728u)

x2

1x2 ` x0x1x2 ´ x3

0` 36

jpλq ´ 1728x0x

2

2` 1

jpλq ´ 1728x3

2“ 0,

2. (sijpλq “ 0)x2

1x2 ` x1x2

2 ´ x3

0 “ 0,

3. (sijpλq “ 1728)

x2

1x2 ´ x3

0´ x0x

2

2“ 0.

Se puede verificar que toda superficie de Riemann de género unopuedeser descrita por una curva de Fermat generalizada de tipop2, 3q. De hecho,Eλ es isomorfa a la curva

Cp2qλ :“

"xk1

` xk2

` xk3

“ 0

λxk1

` xk2

` xk4

“ 0

*Ă P3

2.3. EL TEOREMA DEL DESCENSO DE WEIL 21

2.2.3. Género al menos dos. —Ahora, si la superficie de Riemanntiene génerog ě 2, entonces el cuerpo de móduli no es necesariamenteun cuerpo de definición. Ejemplos de esta situación fueron provistospor Earle [9], Shimura [29] y Huggins [18, 19] para el caso de superfi-cies de Riemann hiperelípticas. Para el caso de superficies de Riemannno-hiperelípticas, tales ejemplos fueron provistos por Hidalgo [16] yKontogeorgis [25].

2.3. El teorema del descenso de Weil

El siguiente teorema, llamado el teorema del descenso de Galois deWeil, nos entrega condiciones suficientes para que una curvadefinida sobreuna extensión de Galois finita de un cuerpo dado se pueda definir sobre esteúltimo.

Teorema 2.3.1(Teorema del descenso de Galois de Weil[30])SeaC una curva algebraica compleja proyectiva suave, definida sobre

un subcuerpoF deC. SeaK un subcuerpo deF de manera que la extensiónFK sea de grado finito y Galois.

Supongamos que para cadaσ P Γ “ AutpFKq existe un isomorfismofσ : C Ñ Cσ, definido sobreF, satisfaciendo, para cada parσ, τ P Γ, lacondición de compatibilidadfτσ “ f τ

σ ˝ fτ .Entonces existe una curva algebraica proyectiva suaveE, definida sobre

K, y existe un isomorfismoQ : C Ñ E, definido dobreF, de manera que,para cadaσ P Γ, se satisface queQσ ˝ fσ “ Q.

El teorema anterior puede escribirse sin tener que involucrar extensionesfinitas de Galois, pero debemos requerir que su género sea al menos dos(para tener un grupo de automorfismos finito).

Teorema 2.3.2(teorema del descenso de Weil). — SeaC una curva al-gebraica compleja proyectiva suave de génerog ě 2 y seaK un subcuerpodeC.

Supongamos que para cadaσ P Γ “ AutpCKq existe un biholomor-fismofσ : C Ñ Cσ satisfaciendo, para cada parσ, τ P Γ, la condición decompatibilidadfτσ “ f τ

σ ˝ fτ .Entonces existe una curva algebraica proyectiva suaveE, definida sobre

K, y existe un biholomorfismoQ : C Ñ E de manera que, para cadaσ P Γ, se satisface queQσ ˝ fσ “ Q.


Demonstración. — Sabemos que el cuerpo de móduli deC está contenidoenK. También sabemos queC puede definirse sobre una extensión finitade su cuerpo de móduli [24]. De esta manera, podemos suponer queC estádefinida sobre una extensión finita de GaloisL deK.

SeaL la clausura algebraica deL enC. Como cadaσ P Γ actúa comola identidad enL, este define un automorfismo deL. Luego, de la teoríaclásica de Galois, tenemos queσ actúa como un automorfismo deL.

Si τ P AutpCLq, entoncesCτ “ C y, en particular,τ P Γ andfτ PAutpCq. Además, para cadaσ P Γ vale quef τ

σ : C Ñ Cτσ “ Cσ. Comofσ ˝ f τ

σ P AutpCq, y este grupo es finito (ya queC tiene género al menosdos), podemos concluir que necesariamentefσ está definido sobreL (todaextensión finita de un cuerpo algebraicamente cerrado es trivial).

Consideremos la función

Θ : AutpCLq Ñ AutpCq

σ ÞÑ f´1

σ .

Ya que, para cadaσ P Γ el isomorfismofσ está definido sobreL, lacondiciónfητ “ f η

τ ˝fη nos asegura queΘ es un homomorfismo de grupos.

ComoAutpCq es finito, el núcleo deΘ es un subgrupo de índice finitodeAutpCLq. De esta manera, su cuerpo fijoN es una extensión finita deL. Como este último cuerpo es algebraicamente cerrado, debemos tenerN “ L. Luego, el núcleo deΘ es todoAutpCLq. Todo esto nos permiteasegurar que siτ, σ P Γ tienen la misma restricción aL, entoncesfτ “ fσ.

Ya queL es una extensión finita de Galois deK, vemos que sólo hayun número finito de curvas de la formaCτ , dondeτ P AutpCKq. Enparticular, solo un número finitas de ellas isomorfas aC. Esto último (juntocon el hecho queAutpCq es finito) nos asegura que sólo hay un númerofinito de isomorfismosfσ, paraσ P Γ. Luego, podemos agrandarL a unaextension finita de Galois deK si es necesario para asumir queC y todoslos isomorfismosfσ están definidos sobreL y que ademásfσ ‰ fτ siσ, τAutpLKq son diferentes.

2.3.1. Caso genérico. —Genéricamente, toda superficie de Riemanncompacta de génerog ě 3 no tiene automorfismos holomorfos (salvo

2.3. EL TEOREMA DEL DESCENSO DE WEIL 23

la identidad). En tal caso, el teorema del descenso de Weil nos permiteconcluir que ella se puede definir sobre su cuerpo de móduli.

Por otro lado, Wolfart [31] ha verificado que siSAut`pSq es de génerocero y tiene tres valores cónicos (se dice queS es casiplatónica), entoncesS se puede definir sobre su cuerpo de móduli. De hecho, esto es algo másgeneral, siSAut`pSq es de género cero y tiene una cantidad impar devalores cónicos, entoncesS se puede definir sobre su cuerpo de móduli(resultados de Dèbes-Emsalem [8]).

De esta manera, vemos que aquellas superficies de Riemann queno sepueden definir sobre su cuerpo de móduli son bastante raras deencontrar.

2.3.2. Caso hiperelíptico. — En el caso queS sea una superficie deRiemann hiperelítica, se sabe lo siguiente. Seaι : S Ñ S la involuciónhiperelíptica (la cual es única). Comoι pertenece al centro deAut`pSq,entonces podemos mirar el grupo cocienteAut`

redpSq “ Aut`pSqxιy, lla-mado elgrupo reducido de automorfismosdeS.

1. Sig “ 2 y Aut`redpSq no es trivial, entoncesS se puede definir sobre

su cuerpo de móduli (Quer-Cardona [2]).

2. Existen superficies de Riemann de génerog “ 2 conAut`redpSq tri-

vial, que no se pueden definir sobre su cuerpo de móduli (Earle[9],Shimura [29]).

3. Sig ě 3 es impar yAut`redpSq es trivial, entoncesS se puede definir

sobre su cuerpo de móduli (Lercier-Rithenzhler [27]).

4. Si g ě 3 y Aut`redpSq no es trivial ni cíclico, entoncesS se puede

definir sobre su cuerpo de móduli (Huggins [18, 19]).

5. Existen superficies de Riemann hiperelípticas de génerog ě 3 yAut`

redpSq cíclico no-trivial que no se pueden definir sobre su cuerpode móduli (Huggins [18, 19]).

Se conjetura (esto lo aprendí de J. Wolfart) que toda superficie de Rie-mann compacta se puede definir sobre un cuerpo que es extensión de gradoa lo más2 de su cuerpo de móduli. He logrado ver que esta propiedad valeen muchos casos.

Teorema 2.3.3. — SiS una superficie de Riemann tal queSAut`pSq es(i) de género a lo más2 o bién (ii) una superficie hiperelítica, entoncesS

se puede definir sobre una extensión de grado dos de su cuerpo de móduli.


En particular, esto vale vale para superficies de Riemann de génerog ď 4,superficies de Riemann hiperelípticas y superficies de Riemann de Fermatgeneralizadas.

En los ejemplos conocidos, de superficies de Riemann compactas queno se pueden definir sobre su cuerpo de móduli, se tiene que este cuerpode móduli es un subcuerpo deR, pero queR no es un cuerpo de definición(volveremos a esta situación en el próximo capítulo). En particular, en talesejemplos conocidos, la superficie se define sobre una extensión de grado2no-real.

No conozco en la literatura un ejemplo de una superficie de Riemannque tenga cuerpo de móduliQ, que este no sea cuerpo de definición, y quese pueda definir sobreQp

?2q. Al parecer, junto a S. Quispe hemos logrado

construir ejemplos explícitos de superficies de Riemann (tanto hiperelípti-cas como no-hiperelípticas) que están definidas sobreQp

?2q, cuyo cuerpo

de móduli esQ, pero que no se pueden definir sobreQ.

CAPÍTULO 3

SUPERFICIES DE RIEMANN REALES

3.1. Superficies de Riemann reales

Hemos ya visto que una superficie de Riemann compactaS puede serdescrita por una curva algebraica proyectiva suaveC Ă Pn

C. La curvaCes definida por una colección finita de polinomios homogéneoscon coe-ficientes enC. La curvaC no es única y es posible encontrar otras talescurvas definiendoS.

Diremos queS es unasuperficie de Riemann real (superficie de Rie-mann simétrica) si es posible encontrar una curvaC de manera que lospolinomios que la definen tengan coeficientes enR.

3.2. Condición necesaria y suficiente para ser superficie de Riemannreal

3.2.1. Una condición necesaria. —Supongamos que la superficie deRiemann compactaS es real, es decir, existe una curva algebraica proyec-tiva suaveC Ă Pn

C, definida como los ceros comunes de los polinomioshomogéneos

P1, ..., Pn´1 P Rrz0 : ¨ ¨ ¨ : zns.

Consideremos la conjugación

J : PnC Ñ Pn

C

rz0 : ¨ ¨ ¨ : zns ÞÑ rz0 : ¨ ¨ ¨ : zns.

Esta funciónJ deja invarianteC y define (por restricción a ella) un auto-morfismo anti-holomorfo de orden2. Es decir,S admite un automorfismoanti-holomorfo de orden2 (llamada unasimetríadeS). Hemos concluidola siguiente condición necesaria.

26 CAPÍTULO 3. SUPERFICIES DE RIEMANN REALES

Proposición 3.2.1. — Toda superficie de Riemann real admite una sime-tría.

3.2.2. La condición necesaria anterior es suficiente. —Supongamosahora que tenemos una superficie de Riemann compactaS que admite unasimetría, es decir, un automorfismos anti-holomorfo de orden 2, digamosτ : S Ñ S.

En el caso no-hiperelíptico, se puede encontrar una base de diferencialesholomorfas deS, digamosω1,...,ωg, que es invariante bajo la acción deτ(en el sentido que al hacer un pull-back de cualquiera de ellas obtenemosla conjugada de alguna de ellas). Al considerar la incrustación holomorfa

φ : S Ñ φpSq “ C Ă Pg´1

C

p ÞÑ rω1ppq : ¨ ¨ ¨ : ωgppqsla simetríaτ define una simetría deC, la cual se puede asumir tener laforma

R : C Ñ C

rz0 : ¨ ¨ ¨ : zns ÞÑ rR0pz0, ..., znq : ¨ ¨ ¨ : Rnpz0, ..., znqsdondeR0, ..., Rn P Crz0, ..., zns son polinomios homogéneos del mismogrado.

En el caso queS es hiperelíptica, la situación anterior también funcionausando diferenciales holomorfas de mayor orden.

Supongamos que la curva algebraica proyectiva suaveC Ă PnC, está

definida como los ceros comunes de los polinomios homogéneos

P1, ..., Pn´1 P Crz0 : ¨ ¨ ¨ : zns,que define aS (es decir, como superficies de Riemann son isomorfas).

SeaC Ă PnC la curva definida por los polinomios

P 1, ..., P n´1 P Crz0 : ¨ ¨ ¨ : zns,dondeP j se obtiene del polinomioPj al reemplazar sus coeficientes porsus conjugados complejos. Se puede verificar queC es suave, luego defineuna nueva superficie de Riemann compacta, digamosS.

La conjugaciónJ antes definida satisface queJpCq “ C y, además,

J : C Ñ C

3.3. EJEMPLOS 27

resulta un isomorfismo anti-holomorfo entre superficies de Riemann.Luego,

F :“ J ˝ R : C Ñ C

resulta ser un isomorfismo holomorfo.

F “ J ˝ F ˝ J “ R ˝ J es la función obtenida deF al reemplazar cadauno de sus coeficientes por su complejo conjugado.

Notemos que

F : C Ñ C

es un isomorfismo holomorfo y que

F ˝ F “ I.

El Teorema del descenso de Weil asegura que existe una curva alge-braica proyectiva suaveD Ă Pm

C , definida por polinomios homogéneoscon coeficientes reales, que es isomorfa aC.

En resumen :

Teorema 3.2.2. — SeaS una superficie de Riemann compacta. Entonceslas siguientes propiedades son equivalentes.

1. S es simétrica.

2. S es una superficie de Riemann real.

3.3. Ejemplos

Ejemplo 20. — La esfera de RiemannpC admite muchas simetrías ; porejemplo,T pzq “ z (la cual tiene puntos fijos) yLpzq “ ´1z (la cual notiene puntos fijos). Como esta superficie es isomorfa aP1

C, vemos que esreal.

Ejemplo 21. — Seaτ P H, y consideremos el toroSτ “ CGτ , dondeGτ está generado por las translacionesApzq “ z ` 1 y Bτ pzq “ z ` τ . Sise tiene que|τ | “ 1 o bienRepτq P t0, 12u, entonces se puede verificarqueSτ es simétrica. De manera más general,Sτ es simétrica si y sólo siτse puede llevar porPSL2pZq ă Aut`pHq a unτ como arriba.

28 CAPÍTULO 3. SUPERFICIES DE RIEMANN REALES

Ejemplo 22. — La curva de Fermat de gradok,

Fk :“ xk ` yk ` zk “ 0

(Ă P2

C

es simétrica. Una simetría es dada por la restricción de la conjugación

J : P2

C Ñ P2

C

rx : y : zs ÞÑ rx : y : zs

Ejemplo 23. — La curva generalizada de Fermat de tipopk, 3q

Cpkqλ :“

"xk1

` xk2

` xk3

“ 0

λxk1 ` xk

2 ` xk4 “ 0

*Ă P3

C

dondeλ P C ´ t0, 1u es simétrica si y sólo si

jpλq “ pλ2 ´ λ ` 1q3λ2pλ ´ 1q2 P R.

Ejemplos de tales valores deλ son :

1. λ P R ´ t0, 1u.

2. |λ| “ 1, λ ‰ 1.

3. λ “ 1 ` ai

2, a P R.

CAPÍTULO 4

CURVAS DE BELYI

4.1. Curvas de Belyi, funciones de Belyi y pares de Belyi

Una superficie de Riemann compactaS es llamada unacurva de Belyisi existe una función meromorfa no-constante

β : S Ñ pCcuyos valores de ramificación están contenidos ent8, 0, 1u.

La funciónβ anterior es llamada unafunción de Belyiy el parpS, βq esllamado unpar de Belyi. El género deS es también llamado el género delpar de BelyipS, βq.

Ejemplo 24 (Esfera de Riemann). — La esfera de RiemannpC es unacurva de Belyi. Por ejemplo,βpzq “ z es una función de Belyi (la cualno tiene valores de ramificación).

Otras funciones de Belyi parapC, son por ejemplo,

1. βpzq “ zn, donden P t2, 3, ...u. En estos casos, los únicos valores deramificación son0 y 8.

2. βpzq “ 4zp1´ zq. Esta función de Belyi tiene como valores de rami-ficación a1 y 8.

3. Los siguientes ejemplos provienen de lospolinomios de TchebyshevTnpzq, n “ 1, 2, ..., definidos como

T1pzq “ z

T2pzq “ 2z2 ´ 1

Tn`1pzq “ 2zTnpzq ´ Tn´1pzq, n ě 2.

30 CAPÍTULO 4. CURVAS DE BELYI

El polinomio de TchebyshevTn tiene gradon y satisface las si-guientes propiedades :

Tnpcospθqq “ cospnθqTn : r´1, 1s Ñ r´1, 1s

Tn tiene sus ceros (todos simples) en los puntos

cos

ˆp2k ´ 1qπ2n

˙, k “ 1, .., n,

entre dos ceros consecutivos deTn hay un cero doble deTn ´ 1 o uncero doble deTn ` 1, y

Tnp´1q, Tnp1q P t´1, 1u.

Vemos queT1 y T2 son funciones de Belyi, peroTn no lo es paran ‰ 3. De todas maneras,βnpzq “ T 2

npzq sí resulta ser una funciónde Belyi.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Figura 4.1. Gráficas deT3pzq “ 4z3 ´ 3z y T4pzq “ 8z4 ´

8z2 ` 1

Ejemplo 25 (Curvas de Fermat). — La curva de Fermat

Fk :“ txk ` yk ` zk “ 0u Ă P2

C

es una curva de Belyi. Una función de Belyi es dada, por ejemplo,

βprx : y : zsq “ ´ýx

¯k

la cual tiene como valores de ramificación a8, 0 y 1 (cada uno de ordenk).

Ejemplo 26. — SeaH ă PSL2pCq un grupo no-trivial finito de transfor-maciones de Möbius. Sea sabe que debemos tener alguna de las siguientesposibilidades :

4.1. CURVAS DE BELYI, FUNCIONES DE BELYI Y PARES DE BELYI 31

1. H – Zn (grupo cíclico de ordenn) ; en cuyo casoOpn,nq “ pCH esla esfera de Riemann con dos puntos cónicos de ordenn.

2. H – Dn (grupo dihedral de orden2n) ; en cuyo casoOp2,2,nq “ pCHes la esfera de Riemann con tres puntos cónicos de ordenes2, 2 y n.

3. H – A4 (grupo alternante de orden12) ; en cuyo casoOp2,3,3q “pCH es la esfera de Riemann con tres puntos cónicos de ordenes2, 3y 3.

4. H – A5 (grupo alternante de orden60) ; en cuyo casoOp2,3,5q “pCH es la esfera de Riemann con tres puntos cónicos de ordenes2, 3y 5.

5. H – S4 (grupo simétrico de orden24) ; en cuyo casoOp2,3,4q “ pCHes la esfera de Riemann con tres puntos cónicos de ordenes2, 3 y 4.

En cada uno de los casos posible, podemos encontrar una función racio-nalβH : pC Ñ pC de grado|H | tal queβHphpzqq “ βHpzq, para cadaz P pCy cadah P H, de manera que sus valores de ramificación estén contenidosen el conjuntot8, 0, 1u (luego una función de Belyi parapC).

Ahora, supongamos que tenemos una superficie de RiemannS y unafunción meromorfa no-constantef : S Ñ pC, de manera que sus valoresde ramificación estén contenidos en el conjunto de los puntosfijos de loselementos no-triviales deH. Entonces,β “ βH ˝ f resulta ser una funciónde Belyi deS, en particular, queS es una curva de Belyi.

Ejemplo 27 (Un caso particular del ejemplo anterior)Consideremos la superficie de Riemann (de género1) asociada a la curva

generalizada de Fermat

Cp2q´1 :“

"x21

` x22

` x23

“ 0

´xk1

` x22

` x24

“ 0

*Ă P3

C.

Tenemos la función meromorfa

f : Cp2q´1 Ñ pC

fprx1 : x2 : x3 : x4sq “ ´ˆx2

x1

˙2

.

Los valores de ramificación deF son dados por8, 0, 1 y ´1.


En este ejemplo tomamosH “ xhpzq “ ´zy – Z2 y βHpzq “ z2.Entonces,

βprx1 : x2 : x3 : x4sq “ βH ˝ fprx1 : x2 : x3 : x4sq “ˆx2

x1

˙4

es una función de Belyi paraCp2q´1

.

4.2. Teorema de Belyi

Como consecuencia del teorema del descenso de Weil, se puedeobteneruna caracterización algebraica de las curvas de Belyi.

Teorema 4.2.1(Teorema de Belyi, 1980). — Sea S una superficie deRiemann compacta. Entonces las siguientes son equivalentes.

1. S es una curva de Belyi.

2. S es definible sobreQ.

La implicancia (1) hacia (2) es consecuencia del teorema deldescensode Weil. Para ver la otra dirección, Belyi construye de manera explícita unafunción de Belyi.

4.3. Equivalencia de pares de Belyi

Una consecuencia directa del teorema de Belyi es el siguiente. SipS, βqes un par de Belyi, entonces podemos encontrar un par de BelyipC, βCq,dondeC es una curva algebraica proyectiva suave definida sobreQ (y βC

es una función racional tambien definida sobreQ) y un biholomorfismof : S Ñ C tal queβC ˝ f “ β.

Diremos que dos pares de Belyi,pS1, β1q y pS2, β2q, sonisomorfos(de-notado esto con el símbolopS1, β1q – pS2, β2q) si existe un biholomor-fismof : S1 Ñ S2 tal queβ2 ˝ f “ β1.

4.4. Automorfismos de pares de Belyi

Consideremos un par de BelyipS, βq.

Un automorfismo holomorfode pS, βq es un automorfismo holomorfof : S Ñ S tal queβ “ β ˝ f .

4.6. PARES DE BELYI REALES 33

Un automorfimos anti-holomorfode pS, βq es un automorfismo anti-holomorfoh : S Ñ S tal queβ ˝ h “ J ˝ β, dondeJpzq “ z.

Denotaremos porAutpS, βq al grupo de todos los automorfimos (holo-morfos y anti-holomorfos) del par de BelyipS, βq y porAut`pS, βq a susubgrupo de los automorfismos holomorfos.

Ejemplo 28. — SeaS “ pC y βpzq “ z3. EntoncespS, βq es un par deBelyi. Podemos ver que

fpzq “ e2πi3z P Aut`pS, βq

hpzq “ z P AutpS, βq ´ Aut`pS, βq.De hecho, se puede verificar que

Z3 – xfy “ Aut`pS, βq

S3 – xf, hy “ AutpS, βq.

4.5. Par de Belyi regular

Un par de BelyipS, βq es llamadoregular si el grado deβ coincide conel orden deAut`pS, βq ; en otras palabras, la funciónβ es un cubrienteramificado regular dado por la acción del grupoAut`pS, βq.

Del ejemplo anterior, podemos ver queppC, βpzq “ z3q es un par deBelyi regular. Otros ejemplos de tal tipo son los dados anteriormente en elEjemplo 26 usandoH ă PSL2pCq finito y βH .

4.6. Pares de Belyi reales

Diremos que un par de BelyipS, βq esreal si existe una simetría deS,digamosR : S Ñ S, de manera queβ ˝ R “ J ˝ β, donceJpzq “ z.

Luego, por lo visto anteriormente,S es definible sobreR. Por otro lado,por el teorema de Belyi,S también es definible sobreQ.

Un resultado debido a Köck-Singerman [22] y Koeck-Lau [23], aseguraque es posible definirS sobreR X Q.


4.7. Acción del grupo absoluto de Galois sobre pares de Belyi

Consideremos un par de BelyipS, βq. Sabemos, por el teorema de Belyi,que pS, βq es isomorfa un par de BelyipC, βCq, dondeC es una curvaalgebraica proyectiva suave yβC es una función racional, ambas definidassobreQ.

Supongamos queC está definida por los polinomios homogéneosP1, ..., Pr, con coeficientes enQ, y queβC “ P Q, dondeP y Q sonpolinomios homogéneos del mismo grado, también definidos sobreQ.

Si σ P GalpQQq, entonces podemos considerar los nuevos polinomioshomogéneos,P σ

1 ,...,P σr , P σ y Qσ. SeaCσ la curva algebraica proyectiva

suave definida porP σ1

,...,P σr y seaβσ “ P σQσ. Entonces,pCσ, βσ

Cq esotro par de Belyi, del mismo género quepC, βq, pero que podrían no serisomorfos.

El cuerpo fijo del grupoGpC,βq “ tσ P GalpQQq : pCσ, βσq – pC, βques llamado elcuerpo de móduli del par de BelyipC, βq. Esta definición nodepende de la elección depC, βq y luego esto permite definir, sin ambigüe-dad, el cuerpo de móduli del par de BelyipS, βq.

El proceso anterior permite definir de manera natural una acción delgrupo absoluto de GaloisGalpQQq sobre el espacio de clases de equiva-lencia de isomorfía de pares de Belyi de un género dado.

Ejemplo 29 (Curva de Fermat). — Consideremos el par de BelyipFk, βq, donde

Fk :“ txk ` yk ` zk “ 0u Ă P2

C

βprx : y : zsq “ ´ýx

¯k

.

En este caso, comoFk y β están definidas sobreQ, tenemos que, la clasedel par de BelyipFk, βq es un punto fijo para cadaσ P GalpQQq.

Teorema 4.7.1. — La acción del grupo absoluto de GaloisGalpQQqsobre el espacio de clases de equivalencia de isomorfía de pares de Be-lyi de un género dado es fiel.

Para el caso de pares de Belyi de génerog “ 1, lo anterior fue observadopor Grothendieck. Parag “ 0, esto fue verificado por Schneps [28]. Para

4.7. ACCIÓN DEL GRUPO ABSOLUTO DE GALOIS SOBRE PARES DE BELYI 35

g ě 2, esto fue observado por González-Diez y Girondo (para el casohiperelíptico) [13]. En el caso no-hiperelíptico esto es observado en [17].

CAPÍTULO 5

UNIFORMIZACIÓN

5.1. Grupos Kleinianos

Otra manera de construir superficies de Riemann es por medio de gru-pos Kleinianos, es decir, subgrupos discretos del grupoM – PSL2pCq deautomorfismos holomorfos de la esfera de RiemannpC.

Hay una biyección natural entreM y PSL2pCq dada por

Θ : PSL2pCq Ñ M

donde, si

A “„a b

c d

P PSL2pCq

entonces

ΘpAqpzq “ az ` b

cz ` d.

Diremos que un grupoG ă PGL2pCq actúa discontinuamentesobre elpuntoz P pC si :

1. elG-estabilizador dez

Gz “ tA P G : Apzq “ zues finito, y

2. existe una vecindad abiertaU dez tal que

ApUq X U “ H, A P G ´ Gz.

La región de discontinuidadde un grupoG ă PSL2pCq es el conjuntoabiertoΩ Ă pC (el cual puede ser o no vacío) consistiendo de todos lospuntos sobre los cualesG actúa discontinuamente.

38 CAPÍTULO 5. UNIFORMIZACIÓN

Teorema 5.1.1. — Si G ă PGL2pCq tiene región de discontinuidad novacía, entoncesG es un grupo Kleiniano.

Ejemplo 30 (Grupos Kleinianos con región de discontinuidadvacía)El grupoPSL2pZrisq es un grupo Kleiniano con región de discontinui-

dad vacía.

Teorema 5.1.2. — SeaG ă PGL2pCq un grupo Kleiniano con región dediscontinuidadΩ ‰ H. Sea∆ una colección de componentes conexas deΩ que forma una órbita bajo la acción deG. Si cada punto de∆ tieneG-estabilizador trivial, entonces∆G es una superficie de Riemann.

Ejemplo 31 (Grupos abelianos de rango2). — SeaG “ xApzq “ z `1, Bpzq “ z ` τy – Z2, dondeτ P H. La región de discontinuidad deGesC. Es claro que todo punto deC es sólo estabilizado por la identidad enG. De esta manera, el teorema anterior nos dice queCG es una superficiede Riemann (de génerog “ 1).

Ejemplo 32 (Grupos cíclicos infinitos). — Seaλ P C tal que |λ| Rt0, 1u. ConsideremosG “ xApzq “ λzy – Z. En este caso, la región dediscontinuidad deG esC ´ t0u y cada punto allí tieneG-estabilizadortrivial. Se tiene quepC ´ t0uqG es una superficie de Riemann (de génerog “ 1).

Ejemplo 33 (Grupos cíclicos finitos). — Sean ě 2 un entero y conside-remosG “ xApzq “ e2πinzy – Zn. En este caso, la región de disconti-nuidad deG espC y cada punto enC´ t0u tieneG-estabilizador trivial. Setiene quepC´t0uqG es una superficie de Riemann no compacta isomorfaaC ´ t0u. El cocientepCG es un orbifold de género cero con dos puntoscónicos, ambos de ordenn.

Ejemplo 34 (Grupos finitos). — SeaG un grupo finito deM y no cíclico(luego, dihedral o alternanteA4,A5 o simétricoS4). En este caso, la regiónde discontinuidad deG espC. Se tiene quepCG es un orbifold de génerocero con tres puntos cónicos.

5.3. TEOREMAS DE UNIFORMIZACIÓN 39

5.2. Lema de Selberg

Recordemos el siguiente resultado que nos permite asegurarla existen-cia de ciertos subgrupos de índice finito de grupos finitamente generadosde matrices (nuestro caso).

Teorema 5.2.1(Lema de Selberg). — Todo subgrupo de matrices que esfinitamente generado tiene un subgrupo de índice finito que esnormal ysin torsión.

Una consecuencia bonita del Lema de Selberg es el siguiente.SiG es ungrupo infinito de matrices que es finitamente generado, entoncesG debetener un elemento de orden infinito.

5.3. Teoremas de uniformización

Teorema 5.3.1(Klein, Koebe, Poincaré). — Toda superficie de Riemannsimplemente conexa es isomorfa a una (y sólo una) de las siguientes :

pC, C, H.

Una consecuencia directa del Teorema de uniformización es el siguiente.

Teorema 5.3.2. — SeaS una superficie de Riemann. EntoncesS es iso-morfa a una superficie de Riemann de la formarSG, donderS P tpC,C,Hu,G ă Aut`prSq es un grupo Kleiniano que actúa discontinuamente enrS yel G-estabilizador de cada punto derS es trivial.

5.3.1. CasorS “ pC. — Como toda transformación de Möbius actúa conpuntos fijos, el único grupoG que satisface las condiciones del Teorema5.3.2 es el trivialG “ tIu y en consecuenciaS es isomorfa apC.


5.3.2. CasorS “ C. — Como

Aut`pC “ tApzq “ az ` b; a, b P C, a ‰ 0uy toda transformación del tipoApzq “ az ` b, cona ‰ 0, 1 tiene puntosfijos enC, un grupoG como en el Teorema 5.3.2 debe satisfacer que

G ă tT pzq “ z ` b; b P Cu.

Por otro lado, la discretitud deG obliga a tener sólo tres posibilidades :

1. G ´ tIu.

2. G “ xApzq “ z ` by – Z ; (b ‰ 0).

3. G “ xApzq “ z ` b, Bpzq “ z ` cy – Z2 ; (b, c sonR-linealmenteindependientes).

En el caso 1., tenemos queS es isomorfa aC.

En el caso 2., tenemos queS es isomorfa aC˚ “ C ´ t0u.

En el caso 3., tenemos queS es una superficie de Riemann de género1.

5.3.3. CasorS “ H. — De lo anterior, observamos que para toda super-ficie de RiemannS que no es isomorfa apC o C o C˚ o a un toro, se tieneque en el Teorema 5.3.2 vale querS “ H. En este caso decimos queS esuna superficie de Riemannhiperbólica.

5.4. Grupos Fuchsianos

Un grupo Fuchsianoes un grupo Kleiniano que deja invariante el semi-plano superior

H “ tz P C : Impzq ą 0u,es decir, un subgrupo discreto deAut`pHq.

Teorema 5.4.1. — SeaG ă Aut`pHq. Entonces,G es discreto si y sólosi actúa discontinuamente sobreH.

El resultado anterior nos dice que siG es un grupo Fuchsiano para elcual todo punto deH tieneG-estabilizador trivial, entoncesHG es unasuperficie de Riemann hiperbólica.

5.5. GRUPOS TRIANGULARES 41

EnH podemos considerar la métrica hiperbólica

ds “ |dz|Impzq .

La estructura geométricapH, dsq es llamado elplano hiperbólico.

Teorema 5.4.2. —

IsompH, dsq “ AutpHq

Las líneas rectas en el plano hiperbólico, llamadasrectas o líneas hi-perbólicas, son de dos tipos (ver Figura 5.1) :

1. semi-rectas euclideanas perpendiculares al bordeR.

2. semi-círculos euclideanos perpendiculares al bordeR.

IH

Figura 5.1. Rectas hiperbólicas

Una manera de construir grupos Fuchsianos es considerar un polígonogeodésicoP Ă H e identificar pares de sus lados usando algunas isome-trías (con algunas restricciones técnicas). El grupoG generado por talesisometrías resulta ser un grupo Fuchsiano (el polígonoP es unpolígonofundamental paraG). Este hecho es conocido comoteorema del polígonode Poincaré. En la próxima sección veremos un ejemplo usando triángulos.

5.5. Grupos triangulares

Consideremos un triángulo geodésico∆pa, b, cq, cuyos ángulos son dela forma

π

a,π

b,π

c


dondea, b, c P t2, 3, ...u Y t8u y tal que

1

a` 1

b` 1

că 1.

Figura 5.2. Triágulos geodésicos

Seaσk la reflexión en el lado opuesto al vértice de ánguloπk, dondek P ta, b, cu, y pGpa, b, cq el grupo generado por la reflexionesσa, σb y σc.Entonces,pGpa, b, cq resulta ser un grupo discontinuo enH (que contieneisometrías que revierten la orientación), donde el triángulo ∆pa, b, cq es unpolígono fundamental, y tiene una presentación de la forma :

pGpa, b, cq “ xσa, σb, σc : σ2

a “ σ2

b “ σ2

c “ pσcσaqb “ pσbσaqc “ pσcσbqa “ 1y.

SeaGpa, b, cq el subgrupo de índice2 de pGpa, b, cq que consiste de aquel-las isometrías que preservan la orientación. Así,Gpa, b, cq es un grupoFuchsiano y, si tomamos

γ1 “ σcσb, γ2 “ σaσc,

entoncesGpa, b, cq “ xγ1, γ2 : γa

1“ γb

2“ pγ2γ1qc “ 1y.

Un polígono fundamental paraGpa, b, cq es dado por la unión de∆pa, b, cq Y σcp∆pa, b, cqq (Ver Figura 5.3).

a

γ

γ

1

2 σ

σ

σ

c

b

Figura 5.3. Polígono fundamental paraGpa, b, cq

El espacio cocienteH pGpa, b, cq es una copia de∆pa, b, cq y el espaciococienteOpa, b, cq “ HGpa, b, cq es una esfera con tres puntos cónicos,de ordenesa, b y c (un punto cónico de orden8 es una pinchadura, esdecir, no está presente). Este cocienteOpa, b, cq es llamada unaorbifold

5.6. GRUPOS TRIANGULARES Y CURVAS DE BELYI 43

de Riemann de signaturap0; a, b, cq. Este orbifold tiene como superficiede Riemann subyacente la dada por la esfera de Riemann menos aquellospuntos cónicos con orden8.

5.5.1. Γp2q : el caso pa, b, cq “ p8,8,8q. — Como caso particular,supongamosa “ b “ c “ 8. En este caso, podemos poner como∆p8,8,8q al triángulo geodésico cuyos vértices son0, 1 y 8 (ver Figura5.4).

10

Figura 5.4. ∆p8,8,8q

En este caso

Gp8,8,8q “ Γp2q “ xγ1, γ2y – Z ˚ Z,

γ1pzq “ z ` 2, γ2pzq “ z

1 ´ 2z,

Op8,8,8q “ C ´ t0, 1u.

5.6. Grupos triangulares y curvas de Belyi

Consideremos un subgrupoK, de índice finito, de un grupo triangularGpa, b, cq, dondea, b, c P t2, 3, ...u Y t8u y

1

a` 1

b` 1

că 1.

Si K no tiene torsión, entoncesS “ HK resulta ser una superficie deRiemann (compacta si y sólo sia, b, c P t2, 3, ...u). En el caso que algunode los valoresa, b, c sea8, S resulta ser el complemento de un númerofinito de puntos de una superficie de Riemann compacta (la cuales únicamódulo isomorfismos).

Para lo que sigue, sólo necesitamos asumir queK tiene índice finitoNenGpa, b, cq (peroK puede tener torsión). La orbifold de RiemannHKtiene una estructura natural de superficie de Riemann (compacta si ninguno


de los valoresa, b o c es igual a8). En este caso, tenemos una funciónmeromorfa no-constante natural (de gradoN)

β : HK Ñ HGpa, b, cq Ă pC,la cual resulta ser, por la construcción, una función de Belyi (considerandola superficies de Riemann compacta asociada).

Por ejemplo, al considerarΓp2q “ Gp8,8,8q en lo anterior (luegoKno tiene torsión), tenemos queHK es el complemento de una colecciónfinita de puntos de una superficie de RiemannS, la cual resulta ser unacurva de Belyi.

Ahora, supongamos que tenemos un par de BelyipS, βq. SeaS0 “ S ´β´1pt8, 0, 1uq y consideremos la función holomorfa (no-ramificada)β0 :

S0 Ñ C ´ t0, 1u. Por el teorema de uniformización, existe un subgrupoK of Γp2q (de índice igual al grado deβ) tal que, módulo isomorfismos,S0 “ HK y β es inducido por la inclusión deK enΓp2q.

Todos los argumentos anteriores permiten obtener los siguientes teore-mas ; mayores detalles pueden encontrarse, por ejemplo, en [20].

Teorema 5.6.1. — Existe una biyección natural entre las clases de equi-valencia de los pares de Belyi y las clases de conjugación de los subgruposde índice finito deΓp2q.

Más aún, sipS, βq is un par de Belyi y

a “ lcmtdegpvq : v P S, βpvq “ 0ub “ lcmtdegpvq : v P S, βpvq “ 1uc “ lcmtdegpvq : v P S, βpvq “ 8u

satisfacen quea´1 ` b´1 ` c´1 ă 1, entonces existe un subgrupoK delgrupo triangular FuchsianoGpa, b, cq (de índice igual al grado deβ) tal quela estructura de superficie de Riemann del orbifoldHK es (isomorfa a)Sy β es equivalente a la proyección natural dada por la inclusióndeK enGpa, b, cq.

La situación anterior es similar si reemplazamosH por pC (respectiva-mente,C) si a´1 ` b´1 ` c´1 ą 1 (respectivamente,a´1 ` b´1 ` c´1 “ 1).

Teorema 5.6.2. — Existe una biyección natural entre las clases de equi-valencia de los pares de Belyi, cona, b y c como antes, y las clases deconjugación de los subgrupos de índice finito deGpa, b, cq.

CAPÍTULO 6

DESSINS D’ENFANTS

6.1. Dessins d’enfants

Un dessin d’enfant de génerog es un parpX,Dq, dondeX es unasuperficie compacta orientable de génerog y D Ă X es un grafo bipartito(vértices están coloreados en blanco y negro y vértices adyacente tienencoloración diferente) tal que cada componente conexa deX ´ D (llamadaunacara) es un polígono.

Si n es el número de vértices negros,b es el número de vértices blancos,e es el número de ejes yf el número de caras, entonces la fórmula de Eulerdice que

2 ´ 2g “ n ` b ´ e ` f.

6.2. La signatura de un dessin d’enfant

Si pX,Dq es un dessin d’enfant de génerog, entonces cada vértice tieneasociado un grado (como vértice de un grafo) y cada cara tieneasociado ungrado : la mitad de ejes que hay en su frontera (ejes interiores son contadosdos veces).

La signatura o tipo del dessin d’enfantpX,Dq es la tuplapg; r, s, tq,dondeg es el género deX, r es el mínimo común múltiplo de los gradosde los vértices negros,s es el mínimo común múltiplo de los grados delos vértices blancos yt es el mínimo común múltiplo de los grados de lascaras.

46 CAPÍTULO 6. DESSINS D’ENFANTS

Figura 6.1. Un par de dessins d’enfants de génerog “ 0

Ejemplo 35. — Ambos dessins d’enfants en la Figura 6.1 tienen signaturap0; 4, 6, 10q. Observe que no existe ningún homeomorfismo (que preserveo revierta la orientación) que lleve el grafo de la izquierdaal de la derecha.

6.3. Dessin d’enfant limpio

Un dessin d’enfant con signatura de la formapg; r, 2, tq es llamadolim-pio (clean).

Ejemplo 36. — Dado un mapaM Ă X sobre una superficie compactaorientable, podemos pintar sus vértices con color negro. Encada eje esco-gemos un punto en el interior, el cual pintamos de blanco. De esta maneraconstruimos un dessin d’enfant limpio.

6.5. CUBRIMIENTOS RAMIFICADOS ASOCIADOS A UN DESSIN D’ENFANT 47

6.4. Valencia de un dessin d’enfant

Otra tupla que podemos asociar a un dessin d’enfantpX,Dq de génerog es lavalencia

ValpX,Dq “ pa1, ..., aα; b1, ..., bβ; c1, ..., cγq,donde

1. α es el número de vértices negros ;

2. β es el número de vértices blancos ;

3. γ es el número de caras ;

4. 1 ď a1 ď a2 ď ¨ ¨ ¨ ď aα son los grados de los vértices negros ;

5. 1 ď b1 ď b2 ď ¨ ¨ ¨ ď bβ son los grados de los vértices blancos ;

6. 1 ď c1 ď c2 ď ¨ ¨ ¨ ď cγ son los grados de las caras.

Es claro que debemos tener las identidades :

a1 ` ¨ ¨ ¨ ` aα “ b1 ` ¨ ¨ ¨ ` bβ “ c1 ` ¨ ¨ ¨ ` cγ “ e

y, en particular, por la fórmula de Euler,

2 ´ 2g “ α ` β ` γ ´ pa1 ` ¨ ¨ ¨ ` aαq.

Ejemplo 37. — Los dos dessins d’enfants mostrados en la Figura 6.1 tie-nen la misma valencia :

p1, 1, 1, 1, 1, 1, 4; 2, 2, 3, 3; 10q.

6.5. Cubrimientos ramificados asociados a un dessin d’enfant

Consideremos un dessin d’enfantpX,Dq y por cada cara escojamos unpunto interior (los cuales pintaremos de color rojo). Una vez hecha tal elec-ción, podemos construir una función continua sobreyectivaQ : X Ñ pC, degrado igual al número de ejes, que envía los vértices negros a0, los vérticesblancos a1, los puntos rojos a8, los ejes al intervalop0, 1q, de manera queQ, restricta al complemento de los vértices negros, blancos ypuntos rojos,resulta ser un cubrimiento. Decimos queQ es un cubrimiento ramificadoasociado al dessin d’enfantpX,Dq.

El cubrimiento ramificado asociado al dessin d’enfantpX,Dq no esúnico, pero dos de ellos son homotópicos relativo los vértices del grafo.


6.6. Equivalencia de dessins d’enfants

Diremos que dos dessins d’enfantspX1, D1q y pX2, D2q sonisomorfossi existe un homeomorfismo que preserva la orientaciónh : X1 Ñ X2 demanera queh induce un isomorfismo entre los grafosD1 andD2 que envíavértices negros a vértices negros y vértices blancos a vértices blancos. De-cimos que tal homeomorfismoh es unisomorfismoentre los dessins d’en-fants.

Observemos que siQ1 : X1 Ñ pC es un cubrimiento ramificado asociadoa pX1, D1q, entoncesQ2 “ Q1 ˝ h´1 : X2 Ñ pC es cubrimiento ramificadoasociado apX2, D2q.

Observación 6.6.1. — Dessins d’enfants isomorfos siempre tienen lamisma signatura y la misma valencia. Pero, como lo muestran los dosdessins d’enfants mostrados en la Figura 6.1, que no son isomorfos, tienenla misma signatura y valencia.

6.7. Automorfismos de dessins d’enfants

6.7.1. Un automorfismo del dessin d’enfantpX,Dq es un homeomor-fismo (que puede revertir o no la orientación)h : X Ñ X de manera queh induce un automorfimo del grafoD preservando el color de los vértices.

Notemos que un automorfismo que preserva la orientación es unisomor-fismo depX,Dq consigo mismo.

6.7.2. Denotaremos porAutpX,Dq al grupo de automorfismos ofpX,Dqy porAut`pX,Dq su subgrupo de automorfismos que preservan la orienta-ción. Se tiene que esos grupos son iguales o bienAut`pX,Dq tiene índice2 enAutpX,Dq.

Ejemplo 38. — El dessin d’enfantpX,Dq, dondeX es la esfera yD esel grafo bipartito mostrado en el Ejemplo 28, tieneAutpX,Dq – S3 yAut`pX,Dq – Z3.

Ejemplo 39. — Los dessins d’enfants mostrados en la Figura 6.1 tienengrupos de automorfismos diferentes. Por ejemplo, el que aparece en la iz-quierda admite un automorfismo de orden2 que preserva la orientación

6.7. AUTOMORFISMOS DE DESSINS D’ENFANTS 49

(dado por una rotación en180o en el vértice negro central) y también unautomorfismo de orden2 que revierte la orientación (dado por reflexiónen cualquiera de las dos rectas que pasan por el vértice negrocentral ycontiene ejes). Este grupo de automorfismos es isomorfo aZ2

2. El dessind’enfant de la derecha sólo tiene un automorfismo de orden2 que reviertela orientación (dado al reflejar de una recta diagonal que pasa por el vérticenegro central). Su grupo de automorfismos es isomorfo aZ2.

6.7.3. Si Q1, Q2 : X Ñ pC son cubrimientos ramificados asociados aldessin d’enfantpX,Dq, entonces existe un automorfimoh P AutpX,Dqtal queQ2 “ Q1 ˝ h y h homotópico a la identidad relativo a los vérticesdeD.

6.7.4. Observemos, por la definición, que un dessin d’enfant tiene infini-tos automorfismos ; podemos modificar cada uno de ellos de manera ho-motópica (relativa los vértices) al interior de caras.

Ahora procederemos a construir grupos finitos. Para esto, procedemos afijar un cubrimiento ramificado asociado al dessin d’enfantpX,Dq, diga-mosQ : X Ñ pC.

Sih P Aut`pX,Dq (respectivamente, sih P AutpX,DqÁut`pX,Dq),entonces (salvo una deformación homotópica deh relativa los vértices deD), podemos asumir queQ ˝ h “ Q (respectivamente,Q ˝ h “ J ˝ Q,dondeJpzq “ z). Esto determina de manera única esta deformaciónh.Definimos

Aut`pX,D,Qq “ th P Aut`pX,Dq : Q ˝ h “ Qu

y AutpX,D,Qq por

AutpX,D,QqÁut`pX,D,Qq “ th P AutpX,DqÁut`pX,Dq : J˝Q˝h “ Qu

Estos nuevos grupos de automorfismos son grupos finitos.

Proposición 6.7.1. — Si Q1 y Q2 son cubrimientos ramificados aso-ciados al mismo dessin d’enfant, entonces existe un isomorfismoθ : AutpX,D,Q1q Ñ AutpX,D,Q2q de manera que este restringea un isomorfismoθ : Aut`pX,D,Q1q Ñ Aut`pX,D,Q2q.


Demonstración. — Observemos que hay un homeomorfismo que pre-serva la orientaciónh : X Ñ X tal queQ2 “ Q1 ˝ h (ademásh eshomotópico a la identidad relativo los vértices deD).

6.8. Dessins d’enfants y pares de Belyi

6.8.1. Asociando pares de Belyi a un dessin d’enfant. —SeapX,Dqun dessin d’enfant y seaQ : X Ñ pC un cubrimiento ramificado asociadoa éste.

Podemos levantar la estructura de superficie de Riemann depC por Qpara así obtener una estructura de superficie de RiemannS enX de maneraqueQ : S Ñ pC es meromorfa. De esta manera, hemos obtenido un par deBelyi pS,Qq, dondeD se obtiene como preimágen porQ del intervalor0, 1s (las preimágenes de0 son los vértices negros y las preimágenes de1

son los vértices blancos).

Sabemos queQ no es único y la estructura de superficie de RiemannS construida depende deQ. Pero sabemos queQ es único módulo ho-motopía relativo los vértices deD. Luego, las estructuras de superficiesde Riemann son isomorfas (el biholomorfismo es dado por un homeomor-fismoU : X Ñ X que preserva la orientación y que es homotópico a laidentidad relativo a los vértices deD).

Supongamos quepX1, D1q y pX2, D2q son dessins d’enfants isomorfos,Q1 : X1 Ñ pC y Q2 : X2 Ñ pC son cubrimientos ramificados asocia-dos. Al proceder como arriba, para estos dos dessins d’enfants, obtenemosestructuras de superficies de RiemannS1 y S2 inducidas porQ1 andQ2,respectivamente, sobreX1 y X2. Como los dessins d’enfants son isomor-fos, existe un homeomorfismo que preserva la orientaciónh : X1 Ñ X2 talqueQ2 ˝ h “ Q1. Entoncesh : S1 Ñ S2 es biholomorfismo y obtenemosque los pares de BelyipS1, Q1q y pS2, Q2q son isomorfos.

6.8.2. Asociando un dessin d’enfant a un par de Belyi. —Si partimoscon un par de BelyipS, βq, entonces tenemos determinado un dessin d’en-fant pX,Dq, dondeX es la superficie topológica deS y D esβ´1pr0, 1sq(las preimágenes de0 son los vértices negros y las preimágenes de1 sonlos vértices blancos).

6.8. DESSINS D’ENFANTS Y PARES DE BELYI 51

Es claro que si partimos de dos pares de Belyi isomorfos, entonces loscorrespondientes dessins d’enfants son isomorfos.

Ejemplo 40. — El par de BelyippC, βpzq “ z3q determina el dessin d’en-fant mostrado en la Figura 6.2.

z Ñ z3

Figura 6.2. Dessin d’enfant parappC, βpzq “ z3q

Ejemplo 41. — El par de BelyippC, βpzq “ 4z3p1 ´ z3qq determina eldessin d’enfant mostrado en la Figura 6.3.

z Ñ 4z3p1 ´ z3q

Figura 6.3. Dessin d’enfant parappC, βpzq “ 4z3p1 ´ z3qq

Observación 6.8.1. — 1. Dado un par de BelyipS, βq podríamos ha-ber construido otros dessins d’enfants tomando las preimágenes der1,`8s o r´8, 0s. Estos dos nuevos dessins d’enfants correspon-den al dessin d’enfant asociado a los pares de BelyipS, 1p1 ´ βqq ypS, pβ ´ 1qβq usandor0, 1s.

2. Otro dessin d’enfant que podemos construir a partir depS, βq esusandopS, 4βp1 ´ βqq. Esto corresponde a tomar el dessin d’enfantasociado apS, βq y pintar todos sus vértices del mismo color negro(es decir, los que antes eran blancos ahora pasan a ser negros) ytomar de cada eje un punto medio el cual pintamos como vértiveblanco.


3. Otro dessin d’enfant es usar el par de BelyipS, 4βpβ ` 1q2q. Estocorresponde a agregar los puntos medios de caras (los polos de β)como vértices negros y agregar ejes de estos nuevos vérticesa losvértices blancos que viven en el borde de la cara que les contiene.

6.8.3. Equivalencia entre pares de Belyi y dessins d’enfants. — Loanterior nos da el siguiente resultado.

Teorema 6.8.2. — El proceso descrito anteriormente define una equiva-lencia entre clases de isomorfía de pares de Belyi y clases deisomorfíade dessins d’enfants. En particular, hay una equivalencia entre clases deisomorfía de dessins d’enfants y clases de conjugación de subgrupos deíndice finito deΓp2q.

6.9. Acción del grupo absoluto de Galois en dessins d’enfants

El Teorema 6.8.2 nos da una equivalencia entre clases de equivalencia dedessins d’enfants y clases de equivalencia de pares de Belyi. Vimos, por elTeorema de Belyi, que tenemos una acción natural (fiel) del grupo absolutode GaloisGalpQQq sobre los pares de Belyi ; luego, tenemos una acciónfiel sobre los dessins d’enfants. Grothendieck usó esta ideapara poder es-tudiar la estructura deGalpQQq desde un punto de vista combinatorio(esto es lo que son los dessins d’enfants).

Dado un dessin d’enfantpX,Dq y σ P GalpQQq, denotemos por elsímbolopX,Dqσ al dessin d’enfant (la clase) obtenido por la acción antesdescrita del grupo absoluto de Galois.

Preguntas naturales son, por ejemplo :

1. ¿Cómo saber si dos dessins d’enfants son equivalentes porla accióndeGalpQQq ?

2. ¿Cómo determinarpX,Dqσ en términos deσ y pX,Dq ?

Algunos invariantes bajo la acción del grupoGalpQQq son las si-guientes.

1. pX,Dq y pX,Dqσ tienen la misma cantidad de vértices negros, devértices blancos y caras y sus respectivos grados.

6.10. EL GRUPO DE MONODROMÍA DE UN DESSIN D’ENFANT 53

2. pX,Dq y pX,Dqσ tienen la misma signatura y valencia.

3. AutpX,Dq “ AutppX,Dqσq.

6.10. El grupo de monodromía de un dessin d’enfant

Consideremos un dessin d’enfantpX,Dq de génerog, con e ejes,n0

vértices negros,n1 vértices blancos yf caras.

Consideremos un cubrimiento ramificadoQ : X Ñ pC asociado apX,Dq. Ahora podemos mirar el grupo de monodromía asociado aQ,un subgrupo transitivo del grupo de permutacionesSe generado por doselementos. Observemos que cambiarQ por otro cubrimiento ramificadoasociado apX,Dq no cambia la clase de conjugación enSe del grupode monodromía. Este grupo de monodromía (su clase de conjugación) sepuede construir como sigue.

Enumeremos los ejes deD con números ent1, 2, ..., eu, de manera queejes diferentes tienen diferente enumeración (ver Figura 6.4).

12

3

e “ 3

Figura 6.4. Una enumeración de ejes deD

A cada vértice negro le asociamos un ciclo, de longitud iguala su grado,usando las enumeraciones de los ejes adyacentes a tal vértice siguiendo laorientación positiva enX. Por ejemplo, en la Figura 6.4 sólo tenemos unvértice negro y tiene como ciclo asociado ap1, 2, 3q P S3.

Con el proceso anterior, obtenemosn0 ciclos disjuntos, uno por cadavértice negro y de longitud igual al grado de éste. Definimos la permuta-ciónσ P Se siendo el producto de todos tales ciclos.

Podemos ahora proceder de la misma manera para los vértices blancospara obtener una permutaciónτ P Se, siendo el producto den1 ciclosdisjuntos.


El grupoGpX,Dq “ xσ, τy ă Se es llamado elgrupo de monodromíadepX,Dq.

Ejemplo 42. — En el dessin d’enfant de la Figura 6.4 tenemos que

σ “ p1, 2, 3q, τ “ p1qp2qp3qGppC, Dq “ xp1, 2, 3qy – Z3.

Otra enumeración de los ejes deD determina una permutaciónη P Se

de manera que, sipσ y pτ son las permutaciones obtenidas con esta nuevaenumeración, entoncespσ “ ηση´1 y pτ “ ητη´1. Este hecho lo resumimosen la siguiente.

Proposición 6.10.1. — Otra enumeración de los lados deD determinauna permutaciónη P Se de manera queηση´1 y ητη´1 son las permu-taciones correspondientes a los vértices negros y blancos,de manera res-pectiva. En otras palabras, el grupo de monodromía se determina, móduloconjugación, por el dessin d’enfant.

Proposición 6.10.2. — El grupo de monodromía es un subgrupo transi-tivo deSe generado por dos elementos.

Demonstración. — Ya sabemos que el grupo de monodromía es generadoporσ y τ (una vez que hemos fijado una enumeración de los ejes deD).

La conectividad del grafoD nos asegura que dados dos ejes diferentes,digamose1 y e2 deD, entonces existe una colección finita de ejes, digamosq1,..., qn, de manera queq1 “ e1, qn “ e2 y los ejesqj´1 y qj tienen unvértice en común. Ahora, por la definición, podemos usar una potenciade σ o τ (dependiendo del color del vértice común entreqj´1 y qj) queenvía la enumeración deqj´1 a la enumeración del ejeqj. Luego, podemosconstruir una permutación enGpX,Dq que lleva la enumeración del ejee1en la dee2 (ver Figura 6.5).

Proposición 6.10.3. — La permutaciónτσ (usaremos la multiplicaciónde izquierda a derecha) es producto def ciclos disjuntos, cada ciclo cor-responde a cada cara depX,Dq y la longitud de un ciclo es igual al gradode la cara correspondiente y los números apareciendo en esteciclo son los


σa

τ b

σb

τd

σe

Figura 6.5. a, b, c, d, e enteros apropiados

números dados a los lados de la cara yendo desde un vértice negro a unoblanco en la orientación negativa de la cara.

Ejemplo 43. — Consideremos el dessin d’enfant de género cero mo-strado en la Figura 6.6. Con la enumeración mostrada, tenemos que

σ “ p1, 2, 5qp3, 4q, τ “ p1qp2, 3qp4, 5qτσ “ p1, 2, 4qp3, 5q.

3 2

4 5

1

Figura 6.6. Un dessin d’enfant de génerog “ 0

Observación 6.10.4. — Las ideas anteriores de usar permutaciones pare-cen haber sido ya utilizadas por Hamilton en lo que ahora llamamos ciclosHamiltonianos.

Observemos que el orden deσ (respectivamente, deτ y τσ) es el mí-nimo común múltiplo de las longitudes de sus ciclos (disjuntos). Luego,obtenemos la siguiente.

Proposición 6.10.5. — SeaG “ xσ, τy grupo de monodromía del dessind’enfantpX,Dq de génerog. Entonces el orden|σ| deσ, el orden|τ | deτy el orden de|τσ| deτσ son, respectivamente,

|σ| “ lcmtdegpvq : v vértice negrou


|τ | “ lcmtdegpvq : v vértice blancou|τσ| “ lcmtdegpfq : f carau

La signatura depX,Dq espg; |σ|, |τ |, |τσ|q y

2 ´ 2g “ |σ| ` |τ | ´ e ` |τσ|dondee es el número de ejes.

Observación 6.10.6. — Como el grupo de monodromíaG “ xσ, τy ă Se

actúa de manera transitiva en el conjuntot1, ..., eu, tenemos una biyecciónnatural entret1, 2, ..., eu y las clasesG1zG, dondeG1 es elG-estabilizadorde1. La acción deG sobre los ejes es equivalente a la acción

G ˆ G1zG Ñ G1zGpη,G1ρq ÞÑ G1ρη.

Observación 6.10.7. — Los grupos de monodromía de los dessins d’en-fants son subgrupos transitivos generados por dos elementos del grupo depermutacionesSe. En general, tales subgrupos sonAe (su subgrupo alter-nante) ySe. Hay casos, donde hay más de tales subgrupos. Los próximostres ejemplos son de este tipo.

Ejemplo 44. — Consideremos el dessin d’enfant mostrado en la Figura6.7 y la enumeración de ejes allí mostrada. En este caso

σ “ p1, 2, 3qp4, 6, 5qp7qp8qτ “ p1, 2qp3, 4qp5, 7qp6, 8qτσ “ p1, 3, 6, 8, 5, 7, 4qp2q

Usando el programa computacional GAP podemos verificar que

xσ, τy – PSLp3, 2q – PSLp2, 7q pgrupo simple de orden 168q.


σ “ p1, 2, 3qp4, 7, 5qp6qp9, 8, 10qp11qp12qτ “ p1, 2qp3, 4qp5, 6qp7, 8qp9, 11qp10, 12qτσ “ p1, 3, 7, 10, 12, 9, 11, 8, 5, 6, 4qp2q


3

4

12

6 5

8 7



xσ, τy – M12 (Grupo de Mathieu de orden95040).

12

3

4

7

8

10 9

12 11

5 6



σ “ p1qp2, 5, 8qp3qp4, 7, 6qp9, 10, 11qp12, 14, 13qp15qp16, 18, 17qp20qp21, 19, 22qp23qp24qτ “ p1, 2qp3, 4qp5, 6qp7, 10qp8, 9qp11, 12qp13, 15qp14, 16qp17, 19qp18, 20qp21, 23qp22, 24qτσ “ p1, 5, 4, 3, 7, 11, 14, 18, 20, 17, 22, 24, 21, 23, 19, 16, 13, 15, 12, 9, 2qp6, 8, 10q



xσ, τy – M24 (Grupo de Mathieu de orden244823040).

1324 56

87

910

11

12

1314

1516

1718

1920

2122

24 23


El siguiente resultado nos asegura que la clase de isomorfíade un dessind’enfant es determinado por su (clase de conjugación) grupode mono-dromía.

Teorema 6.10.8. — Seanxσ1, τ1y y xσ2, τ2y grupos de monodromía dedessins d’enfantspX1, D1q y pX2, D2q, respectivamente. Entonces, los si-guientes son equivalentes.

1. pX1, D1q y pX2, D2q son isomorfos.

2. Existe una permutaciónη P Se (dondee es el número de ejes) talque

σ2 “ ησ1η´1, τ2 “ ητ1η

´1.


Demonstración. — Veamos que (1) implica (2). Consideremos un homeo-morfismo que preserva la orientaciónh : X1 Ñ X2 y que induce un iso-morfismo entre los dos dessins d’enfants dados. Ahora, dada una enume-ración de los lados deD1 (la que nos da lugar la monodromíaxσ1, τ1y parapX1, D1q, podemos transportarla porh para obtener una enumeración delos lados deD2. Con esta enumeración obtenemos el mismo grupo de mo-nodromía anterior. Ya hemos visto que con otra enumeración de los ladosdeD2 obtenemos una permutaciónη de manera que la monodromía con lanueva enumeración es de la formaxσ2 “ ησ1η

´1, τ2 “ ητ1η´1y.

Ahora veamos que (2) implica (1). En realidad, veremos un hecho másfuerte que el que necesitamos ; que todo subgrupo transitivogenerado pordos elementos es el grupo de monodromía de un dessin d’enfant. Para esto,partamos con un tal grupo transitivoG “ xσ, τy ă Se.

Por cada ciclopτσqj de τσ construimos un polígonoPj con tantos la-dos como el doble de la longitud del ciclo correspondiente. Enumeramoslos lados dePj de manera cíclica (siguiendo la orientación negativa delpolígono) en forma alternada usando los números en tal ciclo. Los vérticesdePj son coloreados con blanco y negro, alternadamente, de manera decada vértice negro está al comienzo de cada lado enumerado (siguiendo laorientación negativa). Ahora, usandoσ, podemos enumerar los siguienteslados dePj .

Procedemos a identificar todos estos polígonos por sus ladosde igualenumeración para obtener el dessin d’enfant deseado.

En el siguiente ejemplo indicamos la construcción hecha en la segundaparte de la demostración anterior.

Ejemplo 47. — Seaxσ “ p1, 2, 5qp3, 4q, τ “ p1qp2, 3qp4, 5qy “ S5. Eneste caso,

τσ “ p1, 2, 4qp3, 5q,luego debemos considerar dos polígonos,P1 y P2, dondeP1 tiene6 lados yP2 tiene4 lados (ver parte superior de la Figura 6.10). Ahora, en azul estánlas enumeraciones que damos a cada uno de los lados de los polígonosusando los ciclos deτσ. En rojo están aquellos que nos obligaσ. Note-mos que hay dos lados consecutivos del polígono de6 lados con le mismonúmero1 ; esto dice que tendremos un lado interior. Usando el hecho que


2 ´ 2g “ 5 ´ 5 ` 2 “ 2, obtenemos que el dessin d’enfant es de génerocero mostrado en la parte inferior de la Figura 6.10.

2

4

3 5σ

σ

14

15

23

σσ σ

3

4

5

1 2

Figura 6.10. Los dos polígonos y sus lados

Una consecuencia directa del teorema anterior es el siguiente (parte delo cual ya habíamos visto).

Teorema 6.10.9. — Existe una equivalencia natural entre las siguientes.

1. Clases de isomorfía de dessins d’enfants.

2. Clases de isomorfía de pares de Belyi.

3. Clases de conjugación de subgrupos transitivos con dos generadoresde grupos de permutaciones.

4. Clases de conjugación de subgrupos de índice finito deΓp2q.

6.11. El grupo de automorfismos de un dessin d’enfant por medio depermutaciones

Consideremos un dessin d’enfantpX,Dq y su grupo de automorfismosAutpX,Dq.

6.11. EL GRUPO DE AUTOMORFISMOS DE UN DESSIN D’ENFANT POR MEDIO DE PERMUTACIONES61

Hemos ya observado que el grupoAutpX,Dq es un grupo infinito (puesestamos dejando libre deformaciones homotópicas). Pero esto lo podemosarreglar escogiendo un cubrimiento ramificado asociadoQ : X Ñ pC yconsiderar el subgrupo finitoAutpX,D,Qq.

Hagamos una enumeración de lose ejes deD y construyamos su grupode monodromíaG “ xσ, τy ă Se.

Si f P Aut`pX,Dq, entonces (comof preserva la orientación y envíavértices negros en vértices negros),f define una permutaciónθpfq P Se

tal queθpfqσ “ σθpfq, θpfqτ “ τθpfq,

es decir,θpfq P ZpGq (centralizador deG enSe). De manera recíproca, sitenemosη P ZpGq, entonces (procediendo de manera similar como hemosvisto como reconstruir el dessin d’enfant a partir deG) se puede construirf P Aut`pX,Dq de manera queθpfq “ η.

Si f P AutpX,Dq Áut`pX,Dq, entonces (comof revierte la orienta-ción y envía vértices negros en vértices negros)f define una permutaciónθpfq P Se tal que

θpfqσ “ σ´1θpfq, θpfqτ´1 “ τθpfq.De manera recíproca, si tenemosη P Se tal que

ησ “ σ´1η, ητ´1 “ τη,

entonces vemos queητση´1 “ τ´1σ´1, la cual permuta la mitad de loslados de cada cara de manera cíclica (similar a lo que hacíaτσ, pero ahorasiguiendo la orientación positiva de cada cara). Esto nos permite construirun elementof P AutpX,Dq de manera queθpfq “ η.

Notemos queθ resulta ser un homomorfismo de grupos yθpAutpX,Dqq “θpAutpX,D,Qqq.

Ejemplo 48. — Consideremos el dessin d’enfant de género cero como semuestra en la Figura 6.11. Allí se muestra un automorfismof de orden2.Con la enumeración dada, tenemos

σ “ p1, 2, 3qp4, 5qp6, 7q, τ “ p1qp2, 4, 7qp3qp5, 6qτσ “ p1, 2, 5, 7, 3qp4, 6q

η “ θpfq “ p1, 3qp2qp4, 7qp5, 6qLa permutaciónη tiene orden2 y satisface las identidades

ηση “ σ1, ητη “ τ´1.


3

122

7 6

4 5

f

Figura 6.11. Un dessin d’enfant de género zero

6.12. Uniformización de dessins d’enfants

SeapX,Dq un dessin d’enfant, de signaturapg; r, s, tq, y seaQ : X Ñ pCun cubrimiento ramificado asociado.

Consideremos el grupo triangular

Gpr, s, tq “ xx, y : xr “ ys “ pyxqt “ 1yy el homomorfismo de monodromía

ΘpX,Dq : Gpr, s, tq Ñ GpX,Dqdefinido por la regla

ΘpX,Dqpxq “ σ, ΘpX,Dqpyq “ τ,

y tomemos

Γj “ Θ´1

pX,DqpGpX,Dqpjqq, GpX,Dqpjq “ tη P GpX,Dq : ηpjq “ ju.

Sea

U “

$&%

H2, if r´1 ` s´1 ` t´1 ă 1

C, if r´1 ` s´1 ` t´1 “ 1pC, if r´1 ` s´1 ` t´1 ą 1

El grupo Gpr, s, tq es un grupo Kleiniano de isometrías deU yUGpr, s, tq la esfera de RiemannpC con tres puntos cónicos, que po-demos asumir sean0, 1 y 8, cuyos ordenes sonr, s y t, respectivamente.

Consideremos un cubriente holomorfo ramificadoπGpr,s,tq : Gpr, s, tq ÑpC, cuyo grupo deck esGpr, s, tq, cuyos valores de ramificación son0 (deordenr), 1 (de ordens) y 8 (de ordent).

La orbifold de RiemannUΓj tiene una estructura de superficie de Rie-mannSj , topologicamente equivalente aX.

6.13. DESSINS D’ENFANTS REALES 63

Denotemos porπΓj: U Ñ UΓj el cubrimiento holomorfo ramificado

regular con grupo deckΓj.

Tenemos entonces un cubrimiento ramificadoβj : UΓj Ñ pC de maneraqueπGpr,s,tq “ βj ˝ πΓj

.

El parpSj, βjq es un par de Belyi cuyo dessin d’enfant (obtenido comopreimágen del intervalor0, 1s) es isomorfo apX,Dq.

6.13. Dessins d’enfants reales

Un dessin d’enfantpX,Dq es llamado undessin d’enfant real siexiste un cubrimiento ramificado asociadoQ : X Ñ pC admitiendoT P AutpX,D,Qq ´ Aut`pX,D,Qq, T 2 “ I. Decimos queT es unasimetría depX,Dq.

Proposición 6.13.1. — La definición anterior no depende del cubrimientoramificado asociado.

Demonstración. — Supongamos que tenemos otro cubrimiento ramifi-cadoQ1 : X Ñ pQ asociado apX,Dq. Sabemos que existe un homeo-morfismoh : X Ñ X (homotópico a la identidad relativo los vérticesdeD) tal queQ “ Q1 ˝ h. Luego,T1 “ h ˝ T ˝ h´1 : X Ñ X es unhomeomorfismo que revierte la orientación, de orden2 tal que

Q1 ˝ T1 “ Q1 ˝ h ˝ T ˝ h´1 “ Q ˝ T ˝ h´1 “ J ˝ Q ˝ h´1 “ J ˝ Q1,

es decir,T1 P AutpX,D,Q1q ´ Aut`pX,D,Q1q, T 21

“ I.

Supongamos quepX,Dq es un dessin d’enfant real, con simetríaT (res-pecto al cubrimiento ramificado asociadoQ). Recordemos que, al levantarla estructura de superficie de Riemann depC a X, por medio deQ, obte-nemos una estructura de superficie de RiemannS tal queQ : S Ñ pC esuna función de Belyi ypS,Qq es un par de Belyi, luego, definible sobreQ.Además, la simetríaT define una simetría deS, es decir un automorfismoanti-holomorfo deS de orden2. Luego, el par de BelyipS,Qq es tambiéndefinible sobreR.


Teorema 6.13.2(Köck-Singerman [22] and Köck-Lau [23])SeapX,Dq un dessin d’enfant real. Entonces, existe un par de Belyi

pS, βq equivalente apX,Dq dondeS y β están definidas simultáneamentesobreR X Q.

Es claro que el recíproco al resultado anterior es válido. Consideremosun par de BelyipS, βq, definido sobreRXQ. TomandoJpzq “ z y pJprz0 :¨ ¨ ¨ : znsq “ rz0 : ¨ ¨ ¨ : zns, entoncespJpSq “ S y J ˝ β “ β ˝ pJ . Enparticular, el dessin d’enfant definido porpS, βq es real.

Pregunta 1. — ¿Cómo saber si un dessin d’enfant dado es real ?

Para intentar dar una respuesta a la pregunta anterior, procedemos de lasiguiente manera. Fijamos un cubrimiento ramificado asociado al dessind’enfantpX,Dq, digamosQ : X Ñ pC. Hacemos una enumeración de losejes deD y consideramos el respectivo grupo de monodromíaxσ, τy ă Se,dondee es el número de ejes deD.

Sabemos que cada elementoF P AutpX,D,Qq ´ Aut`pX,D,Qq in-duce una permutaciónηF P Se tal que

ηFση´1

F “ σ´1, ηF τη´1

F “ τ´1.

También sabemos que cada permutaciónη P Se tal queηση´1 “ σ´1

andητη´1 “ τ´1 proviene de algúnF P AutpX,D,QqÁut`pX,D,Qq.

Lo anterior permite dar la siguiente respuesta a nuestra pregunta anterior.

Teorema 6.13.3. — Un dessin d’enfantpX,Dq es real si sólo si existeη P Se de orden2 tal queηση “ σ´1, ητη “ τ´1.

6.14. Ejemplos de dessins d’enfants de género cero

En esta sección veremos algunos ejemplos de dessins d’enfants de gé-nero cero. En este caso, la valencia de un tal dessin d’enfantppC, Dq es dela forma

pa1, ..., aα; b1, ..., bβ; c1, ..., cγqdonde

1. α es el número de vértices negros ;

2. β es el número de vértices blancos ;

6.14. EJEMPLOS DE DESSINS D’ENFANTS DE GÉNERO CERO 65

3. γ es el número de caras ;

4. 1 ď a1 ď a2 ď ¨ ¨ ¨ ď aα son los grados de los vértices negros ;

5. 1 ď b1 ď b2 ď ¨ ¨ ¨ ď bβ son los grados de los vértices blancos ;

6. 1 ď c1 ď c2 ď ¨ ¨ ¨ ď cγ son los grados de las caras ;

de manera que

a1 ` ¨ ¨ ¨ ` aα “ b1 ` ¨ ¨ ¨ ` bβ “ c1 ` ¨ ¨ ¨ ` cγ “ e,

2 “ α ` β ` γ ´ pa1 ` ¨ ¨ ¨ ` aαq.

Sabemos que existe una función de Belyiβ : pC Ñ pC de maneraque el dessin d’enfantpX,Dq es isomorfo al dessin d’enfant definido porβ´1pr0, 1sq. En este caso,β es una función racional. Si :

1. p1,..., pα son los ceros deβ (dondepj corresponde al vértice negrocon gradoaj) ;

2. q1,...,qβ son los ceros deβ´1 (dondeqj corresponde al vértice blancocon gradobj) ; y

3. t1,..., tγ son los polos deβ (dondetj corresponde a la cara con gradocj) ;

entonces

βpzq “ kpz ´ p1qa1 ¨ ¨ ¨ pz ´ pαqaαpz ´ t1qc1 ¨ ¨ ¨ pz ´ tγqcγ

βpzq ´ 1 “ µpz ´ q1qb1 ¨ ¨ ¨ pz ´ qβqbβpz ´ t1qc1 ¨ ¨ ¨ pz ´ tγqcγ

dondek, µ P C ´ t0u.

Si T es una transformación de Möbius, entoncesβ ˝ T también nosentrega una función de Belyi asociada al mismo dessin d’enfant. Esto nospermite asumir algunos de los puntospj, qj y tj ser8, 0 y 1. Luego, en vezde considerar lasα ` β ` γ ` 2 parámetros involucrados, sólo tendríamosα ` β ` γ ´ 1 a encontrar.

En general, el cálculo explícito deβ es computacionalmente muy pe-sado. En esta sección veremos algunos ejemplos para el caso de dessinsd’enfants de género cero.

Ejemplo 49. — Módulo isomorfía, sólo hay un dessin d’enfant con va-lenciap4; 1, 1, 1, 1; 4q ; es la mostrada en la Figura 6.12. En particular, estedessin d’enfant es punto fijo de cadaσ P GalpQQq, es decir, es defi-nible sobreQ. Queremos encontrar una función racionalβ : pC Ñ pC tal


queβ´1pr0, 1sq sea tal dessin d’enfant. Como hemos dicho antes, podemosasumir que el vértice negro es0, que la única pre-imagen de8 es8 (haysólo una cara) y que uno de los vértices blancos es1. Denotemos los otrostres vértices blancos comoa, b y c (a determinar). De esta manera

βpzq “ kz4,

βpzq ´ 1 “ µpz ´ 1qpz ´ aqpz ´ bqpz ´ cq.

Usando las igualdades anteriores, podemos ver quek “ µ y tomandoz “ 1 quek “ 1, es decir,βpzq “ z4 ; en particular,a “ i, b “ ´1 yc “ í.

a

c

1b

Figura 6.12. Dessin d’enfant de género zero y valenciap4; 1, 1, 1, 1; 4q

Ejemplo 50. — Módulo isomorfía, sólo hay un dessin d’enfant con va-lenciap1, 1, 4; 1, 1, 2, 2; 6q ; es la mostrada en la Figura 6.13. En particular,este dessin d’enfant es punto fijo de cadaσ P GalpQQq, es decir, es de-finible sobreQ. Queremos encontrar una función racionalβ : pC Ñ pC talqueβ´1pr0, 1sq sea tal dessin d’enfant. Podemos asumir que dos vérticesnegros son0 y 1 (ver Figura 6.13). El otro vértice negro esa y los vérticesblancos sonb, c, d y e, y que la única pre-imagen de8 es8 (hay sólo unacara). De esta manera

βpzq “ kz4pz ´ 1qpz ´ aq,βpzq ´ 1 “ µpz ´ bq2pz ´ cq2pz ´ dqpz ´ eq.

Usando las igualdades anteriores, podemos ver quek “ µ.

Tenemos además6 ecuaciones en las6 incógnitask, a, b, c, d y e. Unade esas ecuaciones es

1 ` a ´ 2b ´ 2c ´ d ´ e “ 0.

6.14. EJEMPLOS DE DESSINS D’ENFANTS DE GÉNERO CERO 67

Las otras ecuaciones quedan un poco más complicadas. Ya en este ejem-plo podemos ver lo pesado que puede ser buscarβ de manera explícita.

a

0

1

e

d

cb

Figura 6.13. Dessin d’enfant de género zero y valenciap1, 1, 4; 1, 1, 2, 2; 6q

Ejemplo 51. — Usando la valenciap1, 1, 1, 2, 3, 8; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4; 16qobtenemos el dessin d’enfant mostrado en la Figura 6.14. En este caso, elintentar calcular explícitamenteβ es muy complicado ! !

Figura 6.14. Dessin d’enfant con valenciap1, 1, 1, 2, 3, 8; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4; 16q

Ejemplo 52. — Consideremos el dessin d’enfant de género zero y valen-cia p3; 1, 2; 1, 2q como se muestra en la Figura 6.15. En este caso, parabuscarβ, podemos asumir que un vértice blanco es1, los vértices de cen-tro de cara son0 y 8, el vértice negro esa y el otro vértice blanco esb. Eneste caso

βpzq “ kpz ´ aq3z

βpzq ´ 1 “ µpz ´ 1qpz ´ bq2z

.


Igualando las anteriores nos dan queµ “ k y

kpz ´ 1qpz ´ bq2 “ ´1 ` kpz ´ aq3.

Igualando coeficientes obtenemos que

k “ 64

27, b “ ´1

8, a “ 1

4

es decir,

βpzq “ p4z ´ 1q327z

,

de donde vemos directamente que este dessin d’enfant es definible sobreQ.

ˆ0

1a

b

Figura 6.15. Dessin d’enfant de género zero y valenciap3; 1, 2; 1, 2q

Ejemplo 53. — Módulo isomorfía, sólo hay dos dessins d’enfants con va-lenciap1, 1, 4; 1, 1, 2, 2; 6q como se muestran en la Figura 6.16.

En el caso del dessin d’enfantD1, tenemos que su grupo de monodromía(con el enumerado dado) esG1 “ xσ1, τ1y ă S5, donde

σ1 “ p1, 2, 3, 4qp5qp6q, τ1 “ p1, 5qp3, 6qp2qp4qde donde se puede ver que|G1| “ 48.


σ2 “ p1, 2, 3, 4qp5qp6q, τ2 “ p1, 5qp2, 6qp3qp4qde donde se puede ver que|G2| “ 120, es decir,G2 “ S5.

En particular, vemos queD1 yD2 no pueden estar en la misma órbita porla acción deGalpQQq, es decir, ambos dessins d’enfants son definiblessobreQ.

Ejemplo 54. — Módulo isomorfía, sólo hay dos dessins d’enfants con va-lenciap1, 22. . ., 1, 4; 5, 5, 5, 6, 6; 27q como se muestran en la Figura 6.17.

6.15. FUNCIONES DE BELYI DE GÉNERO CERO Y DINÁMICA RACIONAL 69

3

2

64

1 5

D1

3

6

2

41 5

D2

Figura 6.16. Dessins d’enfants de género zero y valenciap1, 1, 4; 1, 1, 2, 2; 6q

En el caso del dessin d’enfantD1, tenemos que su grupo de monodromía(con una enumeración adecuada) esG1 “ xσ1, τ1y ă S5, donde

σ1 “ p1, 2, 3, 4, 5q,τ1 “ p1, 6, 7, 8, 9qp2, 10, 11, 12, 13, 14qp3, 15, 16, 17, 18qp4, 19, 20, 21, 22qde donde se puede ver queG1 “ A27.


σ2 “ p1, 2, 3, 4, 5q,τ2 “ p1, 6, 7, 8, 9qp2, 10, 11, 12, 13qp3, 14, 15, 16, 17, 18q

p4, 19, 20, 21, 22, 23qp5, 24, 25, 26, 27qde donde se puede ver queG2 “ A27.

Se sabe que estos dos dessins d’enfants no están en la misma órbita porel grupoGalpQQq ; luego cada uno de ellos es definible sobreQ.

6.15. Funciones de Belyi de género cero y dinámica racional

Consideremos una función racionalR : pC Ñ pC. La órbita de un puntoz P pC es dada por

tz, Rpzq, R2pzq, ...u.

El conjunto de FatoudeR es el abiertoF pRq Ă pC donde la familia deiteradas deR es normal ; su complemento,JpRq, es elconjunto de JuliadeR.

La función racionalR es llamadacaótica si JpRq “ pC.


D1

D2

Figura 6.17. Dessins d’enfants de género zero y valenciap1, 22. . ., 1, 4; 5, 5, 5, 6, 6; 27q

Un puntoz P pC es llamado unpunto periódicodeR si existe un enteron ě 1 tal queRnpzq “ z (en caso quen se puede escoger como1, entoncesz es llamado unpunto fijodeR). Diremos quez es unpunto pre-periódicodeR si existe un enteron ě 1 tal queRnpzq es periódico.

Teorema 6.15.1(Sullivan). — Una función racionalR, de gradod ě 2,es caótica si sus puntos críticos son pre-periódicos, pero no periódicos.

6.15. FUNCIONES DE BELYI DE GÉNERO CERO Y DINÁMICA RACIONAL 71

Un ejemplo de tal tipo de funciones racionales fue dada por Sullivan,esta es

Rpzq “ˆz ´ 2

z

˙2

,

cuyos puntos críticos son0 y 2. En este caso

0RÞÑ 8 RÞÑ 1

R

ý

2RÞÑ 0

RÞÑ 8 RÞÑ 1R

ý

Notemos queR es una función de Belyi asociado al dessin d’enfantmostrado en la Figura 6.18 que tiene la propiedad que sus valores críticos8, 0 y 1 son vértices (blancos y/o negros) y centros de cara (polos).

1 2 8

ˆ0

Figura 6.18. Dessin d’enfant de género zero y valenciap2; 1, 1; 2q

Otros ejemplos de funciones caóticas se pueden construir usando dessinsd’enfants de género0. Para hacer esto, consideramos funciones de Belyiβ : pC Ñ pC con la propiedad que

tβp8q, βp0q, βp1qu “ t8, 0, 1u.

Este tipo de funciones de Belyi son llamadasfunciones de Belyi diná-micas. Con esta propiedad, tenemos que cada iterada deβ sigue siendo unafunción de Belyi.

Seaβ entonces una función de Belyi dinámica. Esto lo podemos iden-tificar en el dessin d’enfant diciendo que los puntos8, 0 y 1 están conte-nidos en los vértices (negros y blancos) y centros de caras. Recordemosque (pre-componiendo con una transformación de Móbius) esto siemprelo podemos asumir.

Ahora, como los puntos críticos de la función de Belyi son aquellosvértices negros y blancos y centros de cara, que tengan gradoal menos2,podemos ver en el dessin d’enfant la condición que los puntoscríticos seanpre-periódicos y no periódicos.


Por ejemplo, supongamos que que tenemos un dessin d’enfant de génerocero donde hay dos vértices blancosv1 y v2, ambos de grado1. Entonces,si colocamosv1 “ 1, v2 “ 8 y un centro de cara siendo0, vemos que1 y8 no son puntos críticos (pero0 si lo puede ser). En tal caso, tenemos :

1. siv‚ es un vértice negro, entonces su órbita es de la forma

v‚βÞÑ 0

βÞÑ 8 βÞÑ 1β

ý

2. siv˝ es un vértice blanco, entonces su órbita es de la forma

v˝βÞÑ 1

β

ý

3. siv‹ es un centro de cara, entonces su órbita es de la forma

v‹βÞÑ 8 βÞÑ 1

β

ý

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Documents

DESSINS D’ENFANTS Y CURVAS DE BELYI REALES CIMPA …a nivel de dessins d’enfants de género 1; luego Schneps [28] veriﬁcó que la acción es ﬁel a nivel de dessins d’enfants