Embed Size (px)
Citation preview
Determinan Matriks
Inverse Matriks
Persamaan Linier dengan matriks
2
Persamaan linier dapat dinyatakan dalam bentukmatriks teraugmentasi.
3x1 + 4x2 − 2x3 = 5
x1 − 5x2 + 2x3 = 7
x1 + x2 − 3x3 = 9
Matriks mempermudah perhitungan untuk banyakpersamaan.
DETERMINAN MATRIKS
3
Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memilikinilai determinan
Nilai determinan dari suatu matriks merupakansuatu skalar.
Jika nilai determinan suatu matriks sama dengannol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.(tidak mempunyai invers)
NOTASI DETERMINAN
4
Matrik yang mempunyai determinan harus matriksbujur sangkar
Misalkan matriks A merupakan sebuah matriksbujur sangkar
Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A) det(A) sering dinotasikan |A|
DETERMINAN ORDO 2X2
5
Pada matriks ordo 2x2 cara menghitung nilaideterminannya adalah :
Contoh :
2221
1211
aa
aaA 21122211)det( aaaaA
31
52A 156)det( A
2221
1211)det(
aa
aaA
31
52)det( A
DETERMINAN ORDO 3X3
6
Pada matriks ordo 3X3 cara menghitung nilaideterminannya dengan kofaktor. Ada 3 jenis :
1. minor dan kofaktor 2. ekspansi kofaktor pada baris pertama 3. ekspansi kofaktor pada kolom pertama
METODE SARRUS
7
Pada matriks 3x3 cara menghitung nilaideterminannya adalah menggunakan Metode Sarrus
Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
METODE SARRUS
8
Contoh :
Nilai Determinan dicari menggunakan metodeSarrus
det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3·0)-(2 ·-1 ·-1)
= 2 +12+0+6-0-2= 18
102
311
322
A
MINOR
9
Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalahdeterminan yang berasal dari determinan orde ke-ntadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
Dinotasikan dengan Mij
Contoh Minor dari elemen a₁₁
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A3332
2322
11aa
aaM
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
444342
343332
242322
11
aaa
aaa
aaa
M
MINOR
10
Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)
KOFAKTOR MATRIKS
11
Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskandengan
Contoh :Kofaktor dari elemen a11
2323
32
23 )1( MMc
TEOREMA LAPLACE
12
Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlahperkalian elemen-elemen dari sembarang baris ataukolom dengan kofaktor-kofaktornya
TEOREMA LAPLACE
13
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
Determinan Matriks A dengan metode ekspansikofaktor baris pertama|A|
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
131312121111
131312121111
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
TEOREMA LAPLACE
14
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor bariskedua
|A|
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor barisketiga
|A|
3231
1211
23
3331
1311
22
3332
1312
21
232322222121
232322222121
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
2221
1211
33
2321
1311
32
2322
1312
31
333332323131
333332323131
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
TEOREMA LAPLACE
15
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
Determinan Matriks A dengan metode ekspansikofaktor kolom pertama|A|
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2322
1312
31
3332
1312
21
3332
2322
11
313121211111
313121211111
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
TEOREMA LAPLACE
16
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolomkedua
|A|
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolomketiga
|A|
2321
1311
32
3331
1311
22
3331
2321
12
323222221212
323222221212
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
2221
1211
33
3231
1211
23
3231
2221
13
333323231313
333323231313
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
DET MATRIKS SEGITIGA
17
Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupasegitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A)adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
Contoh
dstaaaA 332211)det(
1296496)3(2)det( A
TRANSPOSE MATRIKS
18
Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A
dinyatakan oleh Aͭ
dan didefinisikan dengan matriks n x m
yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom
keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan
kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.
Contoh :
matriks A : berordo 2 x 3
transposenya : berordo 3 x 2
314
131A
31
13
41tA
TRANSPOSE MATRIKS
19
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
TT
TTT
TT
TTT
kAkA
ABAB
AA
BABA
).(4
).(3
).(2
).(1
TRANSPOSE MATRIKS
20
Pembuktian aturan no1 :
232322222121
131312121111
232221
131211
232221
131211
bababa
bababa
bbb
bbb
aaa
aaaBA
232221
131211
bbb
bbbB
232221
131211
aaa
aaaA
2313
2212
2111
aa
aa
aa
AT
2313
2212
2111
bb
bb
bb
BT
23231313
22221212
21211111
2313
2212
2111
2313
2212
2111
baba
baba
baba
bb
bb
bb
aa
aa
aa
BA TT
TERBUKTI
23231313
22221212
21211111
)(
baba
baba
baba
BA T
TRANSPOSE MATRIKS
21
Pembuktian aturan no 2 :
232221
131211
aaa
aaaA
2313
2212
2111
aa
aa
aa
AT
232221
131211
2313
2212
2111
)(aaa
aaa
aa
aa
aa
A
T
TT
TERBUKTI
MATRIKS SIMETRI
22
Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose
matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.
Contoh :
1. 2.
002
003
231
002
003
231
TA
A
21
12
21
12
TB
B
AAT
INVERS MATRIKS
23
Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks Byang apabila dikalikan dengan matriks A memberikansatuan I
AB = I Notasi matriks invers : Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya
akan menghasilkan matrik satuan
Jika
Maka
1A
IAA 1
dc
baA
ac
bd
bcadA
11
INVERS MATRIX
24
Langkah-langkah untuk mencari invers matriks Myang berordo 3x3 adalah :- Cari determinan dari M- Transpose matriks M sehingga menjadi- Cari adjoin matriks- Gunakan rumus
TM
))(()det(
11 MadjoinM
M
INVERS MATRIX
25
Contoh Soal :
- Cari Determinannya :det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1- Transpose matriks M
065
410
321
M
043
612
501TM
INVERS MATRIX
26
- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-minor matriksnya
- Hasilnya :
==> ==>
145
41520
51824
145
41520
51824
INVERS MATRIX
27
Hasil Adjoinnya :
Hasil akhir
145
41520
51824
145
41520
51824
1
11M
145
41520
51824
Tugas 3
28
Carilah invers dari matriks berikut :
335
652
514
