DEVRE ANALİZİNDE FOURİER TRANSFORMU Bu bölümde …Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ 6 Periyodik ama sinüzoidal olmayan kaynak, Fourier serisi

Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ

1

BÖLÜM XIII

DEVRE ANALİZİNDE FOURİER TRANSFORMU

Bu bölümde devre analizinde Fourier transformunun nasıl kullanılacağından

bahsedeceğiz. Devre analizinde Fourier tranformuna geçmeden önce Fourier

serileri hatırlatılacaktır.

Bilindiği üzere bir periyodik fonksiyon kendisini her T saniyede tekrar eden

fonksiyondur ve bu fonksiyonun aşağıdaki ilişkiyi sağlaması gerekir. ( ) ( )f t f t nT

burada , 1,2,...n ve T periyottur. Yani her hangi bir keyfi seçilmiş ot anı için:

( ) ( ) ( ) ( 2 )...o o o of t f t T f t T f t T

sağlanır.


2

Pratikte birçok elektriksel kaynak periyodik dalga formları üretir. Örneğin,

sinüzoidal bir kaynakla sürülen filtrelenmemiş doğrultucular (tam dalga

veya yarım dalga) sinüzoidal olmayan ama periyodik çıkış üretirler.

Laboratuvarlarda sıkça kullandığımız osilatörler, sinyal jeneratörleri kare

dalga, üçgen dalga veya dikdörtgen dalga periyodik işaretler üretirler.

Bir başka pratik örnek ise güç jeneratörleridir. Her ne kadar sinüzoidal

dalga üretmeleri için tasarlansalar da tam sinüzoidal işaret üretmezler.

Ayrıca, sinüzoidal olmayan periyodik fonksiyonlar elektriksel olmayan

sistemlerde de önemlidir. Mekanik titreşim, sıvı akışı, ısı akışı hepsi periyodik

fonksiyonlarla ilişkilidir. Fourier (1768-1830) bir periyodik fonksiyonun

trigonometrik seri temsilini ısı akışı için kullanmıştır. Bu seri onun ismini


3

taşımakta olup, elektrik devrelerinin periyodik uyartım sonucundaki kararlı-

durum (steady-state) cevabının bulunmasında bir başlangıç noktasıdır.

Bir periyodik ( )f t fonksiyonu için Fourier serisi;

1

( ) cos( ) sin( ) , 1,2,3...v n o n on

f t a a nw t b nw t n

olarak ifade edilir.

burada ,v na a ve nb Fourier katsayıları olup ( )f t kullanılarak hesaplanır.

2ow

T

ise ( )f t periyodik fonksiyonun temel (fundamental) frekansıdır.

ow ’ın katları, yani 2 ,3 ,4 ,...o o ow w w frekansları ( )f t ’nin harmonik

frekanslarıdır.


4

2 ow 2’inci harmonik, 3 ow 3’üncü harmonik, onw n’inci harmonik

olarak ifade edilir.

Bir periyodik fonksiyonun Fourier serisine açılabilmesi için (yani yakınsak

Fourier serisi için) aşağıda verilen Dirichlet koşullarının sağlanması gerekir.

i. ( )f t , tek-değerli (single-valued) olmalıdır.

ii. ( )f t , bir periyotta sonlu sayıda süreksizlik noktasına sahip olmalıdır.

iii. ( )f t , bir periyotta sonlu sayıda maksimum ve minimum noktalara sahip

olmalıdır.

iv. ( )o

o

t T

tf t dt

olmalıdır (mutlak integrali alınabilir).


5

Dirichlet koşulları yeter koşullardır, gerek koşullar değildir. Böylece, ( )f t

bu özellikleri taşıyorsa Fourier serisine açılabilir. ( )f t ’nin gerek koşulları

bilinmemektedir.

,v na a ve nb Fourier katsayıları bulunduktan sonra, periyodik kaynağı bir

dc kaynak ( va ) ve sinüsoidal kaynakların toplamı ( na ve nb ) olarak

ayrıştırabiliriz. Periyodik kaynağın bir doğrusal devreyi sürmesi nedeniyle

kararlı durum cevabı için süperpozisyon tekniğini kullanabiliriz. Bu

durumda her bir kaynağa karşılık gelen cevaplar toplanarak devrenin

cevabı bulunabilir. Her bir kaynak dediğimiz Fourier’in temsili

kaynaklarıdır.


6

Periyodik ama sinüzoidal olmayan kaynak, Fourier serisi ile sinüzoidal

hale getirilir. Böylece kararlı durum cevabı, fazör analizi ile kolaylıkla

bulunabilir.


7

13.1 Fourier Sabitleri

Bir periyodik fonksiyonu temel periyodu üzerinde ifade ettikten sonra, Fourier

katsayılarını aşağıdaki eşitlilerle bulabiliriz:

1 ( )o

o

t T

v ta f t dt

T

2 ( )cos( )o

o

t T

k ota f t kw t dt

T

2 ( )sin( )o

o

t T

k otb f t kw t dt

T


8

Çift-fonksiyon simetrisi (even-

function):

Tek-fonksiyon simetrisi (odd-function)

( ) ( )f t f t 2

0

2 ( )T

va f t dtT

, 0,kb k

2

0

4 ( )cos( )T

k oa f t kw t dtT

( ) ( )f t f t 0va

0,ka k 2

0

4 ( )sin( )T

k ob f t kw t dtT


9

13.2 Fourier Serisinin Üstel (Eksponansiyel) Formu

( ) ojnw tn

n

f t C e

1 ( )oo

o

t T jnw tn t

C f t e dtT


10

ÖZET:

Fourier serisi, bir sistem periyodik bir sinyalle uyarılırsa, o sistemin

kararlı-durum cevabını tahmin etmek için kullanılır.

Fourier serisi, sonsuz bir seridir ve sonsuz sayıda harmonik ilişkili sinüs ve

kosinüs toplamlarından oluşur.

Fourier serisi steady-state cevabın (periyodik uyartıma karşılık)

bulunmasında analizi frekans domenine taşımamıza müsaade eder.


11

13.3 Fourier Transformu

Fourier transformu; Fourier serisinin aksine periyodik olmayan işaretlerin

frekans domeninde tanımlanmasını sağlar.

Fourier transformu, çift taraflı Laplace transformunun özel halidir.

Burada kompleks frekansın reel kısmı sıfıra kurulur.

Fourier transformu, Fourier serisinin sınırlı halidir.

( ) { ( )} ( ) jwtF w f t f t e dt

F

1( ) ( )2

jwtf t F w e dw

Fourier transformu aşağıdaki özelliklerin sağlanması gerekir.


12

i. ( )f t iyi/tam-davranan (well-behaved) bir fonksiyon olmalıdır. Not:

İyi/tam davranan fonksiyonun anlamı, ( )f t ’nin tek değerli olması ve

integralinin alındığı aralıkta sonlu bir alanı kapsamasıdır.

ii. 2

( )f t dt

iii. ( )f t ’nin süreksizlik sayısı sonlu olmalıdır.

Pratikte, Fourier transformunun (strict sense’de) olmadığı fonksiyonlar

mevcuttur. Bunlar fonksiyonlar, sabitler, ( )Ku t basamak fonksiyonu,

sinüzoidal fonksiyonlardır. Fakat bu tip fonksiyonlar, devre analizinde

önemli bir yere sahiptir. Bu yüzden bu fonksiyonlara en yakın fonksiyon

tanımlanır ve Fourier transformu alınarak limitine bakılır.


13

i. Bir Sabitin Fourier Transformu ( , ):

Bilindiği üzere bir sabite aşağıdaki gibi üstel bir fonksiyonla yaklaşılabilir.

( ) , 0tf t Ae

burada 0 ise ( )f t A ’dır. Bu sayede, mümkün olduğunca küçük bir

değeri için ( )f t fonksiyonu sabit A değeri ile temsil edilebilir.


14

( )f t fonksiyonunun Fourier Transformu: 0

0( ) t jwt t jwtF w Ae e dt Ae e dt

2 2

2( ) A A AF wjw jw w

Yukarıdaki denklemde verilen fonksiyon 0 iken 0w ’da bir dürtü

fonksiyonu üretir. Bu sonucu:

0 iken ( )F w ’nın 0w ’da sonsuza ulaştığını,

0 iken ( )F w ’nın sıfırdan farklı olduğu aralığın sıfıra ulaştığını,

( )F w ’nın altındaki alanın ’dan bağımsız olduğunu,


15

göstererek doğrulayabiliriz. ( )F w ’nın altındaki alan dürtünün gücüdür ve

aşağıdaki gibi hesaplanır.

1

12 2 2 20

01 /2tan

2 4 4 tan 2

w

A dw wdw A A Aw w

( )f t ’nin limitinde ( )f t A’ya yaklaşır. ( )F w ise, 2 ( )A w darbe

fonksiyonuna yaklaşır. Sonuç olarak A sabitinin Fourier transformu:

{ } 2 ( )A A w F


16

ii. Limit Durumunda Fourier Transformuları

a) Bir işaret fonksiyonun Fourier Transformu:

Bir işaret fonksiyonu öncelikle:

1, 0sgn( )

1, 0t

tt

olarak tanımlanır. İşaret fonksiyonu

aynı zamanda birim basamak

fonksiyonu cinsinden ise aşağıdaki gibi

tanımlanır.

sgn( ) ( ) ( )t u t u t

1+

1-0 t


17

İşaret fonksiyonun Fourier transformunu bulmak için ilk olarak limitte işaret

fonksiyonuna ulaşan bir fonksiyon tanımlarız.

0sgn( ) lim[ ( ) ( )]t tt e u t e u t

, 0 .

Yukarıda köşeli parantez içerisinde tanımlı olan fonksiyonun Fourier

transformu mevcuttur çünkü Fourier integrali yakınsamaktadır.

1+

1-0 t

( )te u te-

( )te u te- -


18

( )f t tek fonksiyon ve Fourier Transformu:

1 1{ ( )}s jw s jw

f ts s

F

2 2

1 1 2 jwjw jw w

burada 0 iken ( ) sgn( )f t t ve dolayısıyla:

2{sgn( )}tjw

F .


19

b) Birim Basamak Fourier Transformu:

Birim basamak fonksiyonunun Fourier dönüşümünü bulmak için birim

basamak fonksiyonun öncelikle aşağıdaki gibi ifade edilmesi gerekir.

1 1( ) ( )2 2

u t sgn t

Sonuç olarak { } 2 ( )A A w F ve 2{sgn( )}tjw

F olduğu için

1 1{ ( )} { } { sgn( )}2 2

u t t F F F

1{ ( )} ( )u t wjw

F


20

c) Bir Kosinüs Fonksiyonun Fourier Transformu:

cos( )ow t ’nin Fourier transformunu bulmak için önce aşağıdaki tanımlamayı

yaparız.

{ } 2 ( )ojw toe w w F

daha sonra ise cos( )ow t ’nin Fourier transformunu aşağıdaki gibi buluruz.

1{cos( )} { } { }2

o ojw t jw tow t e e F F F

1 2 ( ) 2 ( )2 o ow w w w

( ) ( )o ow w w w


21

13.4 Laplace Transformundan Fourier Transformunu Bulmak

( )F s ’in bütün kutupları s-düzleminin sol tarafında ise Fourier integrali

yakınsar. Eğer sağ tarafta veya jw ekseninde kutup varsa 2( )f t dt

olur.

i) Eğer ( ) 0, 0f t t ise; s jw ile FT alınır.

{ ( )} { ( )}s jwf t f t F L

ii) Eğer ( ) 0, 0f t t ise; s jw ile FT alınır.

{ ( )} { ( )}s jwf t f t F L

iii) Eğer ( )f t tek fonksiyon ise;

{ ( )} { ( )} { ( )}s jw s jwf t f t f t F L L

Eğer ( )f t çift fonksiyon ise; { ( )} { ( )} { ( )}s jw s jwf t f t f t F L L


22

Örnek:

( )gi t ( )oi t1W3W

1H

( ) 20sgn( )gi t t A ise; ( )oi t ifadesini bulunuz.

Cevap:

2 40( ) 20sgn( ) 20gI w tjw jw

F

1( )4

o

g

IH wI jw


23

40 1( ) ( ) ( )4o gI w I w H w

jw jw

1 240( )(4 ) 4o

K KI wjw jw jw jw

1 240 4010, 104 4

K K

10 10( )4oI w

jw jw

1 4( ) ( ) 5sgn( ) 10 ( )to oi t I w t e u t F


24

5

5-

0 t410 te-

5sgn( )t

10-

5sgn( )t

oi

( )oi t


25

Örnek: Bir önceki örnekte kaynak ( ) 50cos(3 )gi t t A olması durumunda ( )oi t

’yi FT kullanarak bulunuz.

Cevap:

( ) 50 ( 3) ( 3)gi w w w

1( )4

H wjw

( 3) ( 3)( ) 504o

w wI wjw

1 50 ( 3) ( 3)( ) ( )2 4

jwto o

w wi t I w e dwjw

F


26

3 3

254 3 4 3

j t j te ej j

3 36.87 3 36.87

255 5

j t j j t je e e e

5 2cos(3 36.87 )t

( ) 10cos(3 36.87 )oi t t

Not: Fazör analizi ile de çözülerek sonuç doğrulanabilir.


27

13.5 Parseval Teoremi

Parseval teorem sonlu enerjisi olan zaman domenine ilişkin enerji ile

fonksiyonun frekans domenine ilişkin Fourier transformu arasındaki ilişkiyi

belirler. Yani zaman domenindeki sonlu enerji, frekans domenindeki karşılığı

arasındaki ilişkiyi tanımlar. ( )f t ’nin 1’luk bir direnç üzerinden geçen bir

akım veya üzerine düşen bir gerilim olarak düşünürsek;

Bu ( )f t ’ye ilişkin enerji;

21 ( )W f t dt

olur.

Parseval Teoremi bunu Fourier Transformu ile;

22 1( ) ( )2

f t dt F w dw


28

ilişkilendirir. Yani her iki domende de enerji (her iki integral olmak şartı ile)

hesaplanabilir.

Örnek: 40’luk bir dirençten geçen akım 220 ( )ti e u t A ise

0 2 3 /w rad sn frekans bandına ilişkin harcanan enerji oranı (40

üzerinde) nedir?

Cevap:

40’da harcanan toplam enerji

440 40 400 tW e dt

4

0

16000 40004

te J


29

Parseval teoremi ile doğrularsak;

20( )2

F wjw

2

20( )4

F ww

140 20

0

40 400 16000 1 tan2 4 2 2

wW dww

8000 40002

J

0 2 3 /w rad sn


30

2 32 3 1

40 200

40 400 16000 1 tan2 4 2 2

dw wWw

8000 80003 3

J

8000 3100 66.67%4000


31

Kaynak

J. W. Nilsson and S. Riedel, Electric Circuits, Pearson Prentice Hall.

Documents

DEVRE ANALİZİNDE FOURİER TRANSFORMU Bu bölümde …Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ 6 Periyodik ama sinüzoidal olmayan kaynak, Fourier serisi