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Discovering

GeometryAn Investigative Approach

Una guía para los padres

Teacher’s Materials Project Editor: Elizabeth DeCarli

Editors: Andres Marti, Ladie Malek, Kendra Lockman

Project Administrator: Brady Golden

Contributing Writers: Larry Copes, Jennifer North Morris

Project Manager: Lori Hazzard, ICC Macmillan Inc.

Editorial Production Manager: Christine Osborne

Production Editor: Holly Rudelitsch

Production Supervisor: Ann Rothenbuhler

Production Coordinator: Jennifer Young

Text Designer: Jenny Somerville

Technical Art: ICC Macmillan Inc.

Composition, Prepress: Publishers Resource Group

Textbook Product Manager: James Ryan

Executive Editor: Casey FitzSimons

Publisher: Steven Rasmussen

© 2008 by Kendall Hunt Publishing. All rights reserved.

Permiso limitado de reproducciónEl editor otorga al profesor cuya escuela ha adoptado Discovering Geometry yquien ha recibido Discovering Geometry: An Investigative Approach, Una guía paralos padres como parte del paquete de recursos didácticos para el libro, el derechoa reproducir el material para su uso en su salón de clases. La reproducción noautorizada de Discovering Geometry: An Investigative Approach, Una guía para lospadres constituye una violación a los derechos de autor y a la ley federal.

Todas las otras marcas registradas y comerciales en este libro son propiedad desus respectivos titulares.

Kendall Hunt Publishing4050 Westmark DrivePO Box 1840Dubuque, IA 52004-1840www.kendallhunt.com

Printed in the United States of America

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 12 11 10 09 08 07 ISBN 978-1-55953-906-7

Metodología de aprendizaje de Discovering Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .v

Trabajar con su estudiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Resumen: Temas de Discovering Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xii

Capítulo 0: Arte geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Resumen del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Problema resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Ejercicios de repaso del Capítulo 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Soluciones de los ejercicios de repaso del Capítulo 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Capítulo 1: Introducción a la geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5


Problema resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Ejercicios de repaso del Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Soluciones de los ejercicios de repaso del Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Capítulo 2: El razonamiento en la geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9


Problema resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Ejercicios de repaso del Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Soluciones de los ejercicios de repaso del Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Capítulo 3: Uso de herramientas de geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Resumen del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13




Capítulo 4: Descubrimiento y prueba de las propiedades de los triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17





Capítulo 5: Descubrimiento y prueba de las propiedades de los polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21





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Contenido

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Capítulo 6: Descubrimiento y prueba de las propiedades de los círculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25





Capítulo 7: Transformaciones y teselaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29





Capítulo 8: Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33





Capítulo 9: El Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37





Capítulo 10: Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41



Ejercicios de repaso del Capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Soluciones de los ejercicios de repaso del Capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Capítulo 11: Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45





Capítulo 12: Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49





Capítulo 13: Geometría como sistema matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55





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Discovering Geometry: An Investigative Approach cubre los temas que se esperande un curso de geometría, pero el estilo de enseñanza y la experiencia deaprendizaje pueden ser distintos a lo que recuerda de los cursos de geometríade su escuela secundaria.

En el pasado, y quizás en su propia experiencia escolar, la geometría implicabamemorizar de una serie de postulados y probar una larga lista de teoremas, perono entender las propiedades de las formas o resolver problemas prácticos. Porejemplo, tal vez reconozca esta situación: Después de explicar la tarea, su maestrole presentaba un nuevo teorema, explicaba una prueba del teorema y mostrabacómo usar el teorema para resolver un problema. Después usted trabajaba solocon lápiz y papel y practicaba la resolución de problemas del mismo tipo. Detarea tenía que resolver más problemas del mismo tipo y tratar de escribir lamisma prueba relacionada con el nuevo teorema. Al día siguiente la clase repasóel mismo proceso con un nuevo teorema. En algún momento, tomó un examen.Tenía que recordar los teoremas y descifrar el teorema que usaría para cadaproblema. Si le iba bien en todas las pruebas, era “bueno para las matemáticas”.Si no le iba bien, tal vez pensaría que “simplemente no era bueno para ella”.

Muchos estudiantes no pueden prosperar en tal ambiente. Cuando el aprendizajese concentra en manipulaciones mecánicas, los estudiantes tienen unacomprensión limitada. No saben cuándo aplicar una estrategia de resolución deproblemas en particular. Al finalizar el curso de matemáticas no tienen una seriede ideas o conceptos entrelazados que forman “el panorama general”. Dudanque las matemáticas sean importantes para sus carreras y no ven lo que a otrosles gusta de ella. Aún los estudiantes que aprueban son reacios a continuarexplorando más. Algunos contraen una “fobia a las matemáticas”, miedo alas matemáticas, y evitan tomar cursos en ciencias o negocio que requieranmatemáticas. Al final, su miedo limita sus opciones de carrera y potencialde ingresos.

Pero todos los estudiantes pueden aprender matemáticas mejor, pasarla bienmientras lo hacen y al final reconocer su valor como una herramienta paraciencias, negocio y la vida cotidiana. Discovering Geometry es un programaque ayuda a que todos los estudiantes alcancen una comprensión a fondo delas matemáticas al alentarlos a investigar problemas interesantes en gruposcooperativos, usar tecnología cuando sea oportuno y practicar las habilidadesde resolución de problemas para que los problemas difíciles puedan resolverse.

Beneficio para todos los estudiantesMichael Serra, el autor de Discovering Geometry, enseñó geometría durante32 años. Por su propia experiencia docente sabe que todos los estudiantes puedentener más éxito en matemáticas. Cuando la metodología consiste en entenderconceptos y estrategias de razonamiento en vez de memorizar fórmulas yteoremas, los estudiantes que previamente habían sido identificados como conproblemas de concentración, atención y memoria, pueden ser más exitosos.Los estudiantes pasivos o reacios aprenderán a comunicarse mejor.

Decir que todos los estudiantes pueden aprender geometría no significa que sehaya diminuido el nivel del curso. De hecho, aún los estudiantes muy exitosos dematemáticas se sentirán desafiados, aprenderán más y recordarán por más tiempocon la metodología de Discovering Geometry. Esto es debido a que los conceptos ymétodos no están aislados de las aplicaciones de la vida real, de conceptos

Metodología de aprendizaje deDiscovering Geometry

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aprendidos previamente ni de la información que están aprendiendo en otrasclases. Las matemáticas que los estudiantes estudian se asemejan más a lo quenecesitan tanto los estudiantes que buscan empleo después de la secundariacomo aquellos que se preparan para asistir a la universidad.

La importancia de la comprensión a fondoEn sus propias clases de matemáticas, quizás le hayan dicho: “Sólo hágalo, nopregunte por qué”. Pero hay razones lógicas detrás de cada método y conceptomatemático y las personas que entienden estas razones tienen éxito en lasmatemáticas y al final, en la ciencia y los negocios. Discovering Geometry ayudaa que más estudiantes comprendan estas razones. Debido a que estos conceptostienen sentido para los estudiantes, los estudiantes recuerdan las metodologías(o las reinventan si se les olvidaron) y pueden aplicarlas a nuevos problemas. Parafomentar el desarrollo de este tipo de flexibilidad de comprensión, DiscoveringGeometry ofrece una metodología más visual, con ilustraciones y fotografías másclaras y frecuentes, y utiliza leyendas para guiar a los estudiantes a través de losejemplos. Discovering Geometry también reconoce la necesidad de un desarrollogradual de los conceptos matemáticos. A los estudiantes se les ayuda a ver haciadonde los dirige el texto y luego de establecido todo el trabajo preliminar sepresentan las explicaciones completas. Una vez que un tema pasa a formar partede las cosas que los estudiantes supuestamente deben saber, se repasa y recalca denuevo en momentos oportunos. Cuando los estudiantes entienden matemáticas,les resulta más divertida, les aumenta su confianza y orgullo, y al final aumenta laprobabilidad que utilicen las matemáticas en sus vidas.

Los estudiantes aprenden mejor en grupos cooperativos No se espera que los estudiantes realicen todo este aprendizaje por sí mismos.Frecuentemente los estudiantes logran una mejor comprensión de los conceptosmatemáticos en interacciones con otros individuos, utilizando un lenguajeinformal. Mejoran su forma de explicar sus pensamientos cuando piensan en vozalta y obtienen ideas de otros. Aprenden que nada malo ocurrirá si cometen unerror o si aplican un procedimiento incorrectamente, además, que el método porensayo y error es una estrategia respetada. Esto ayuda a que los estudiantestímidos o inseguros aprendan a participar.

Los estudiantes aprenden mejor con el trabajo grupal y éste les enseña habilidadesesenciales del trabajo en equipo. Cuando los estudiantes trabajan en grupos,el maestro circula y observa, plantea preguntas e interviene cuando requierenasistencia. Sirve de guía para los grupos de estudiantes, monitoreando ladiscusión, siendo ejemplo de buena comunicación y fijándose en señales queindican si los estudiantes están confundidos o bien encaminados. En sus gruposa los estudiantes se les pedirá que demuestren su comprensión tanto de formaverbal como escrita.

La investigación motivaAlgunos estudiantes aprenden mejor observando, otros escuchando, otros leyendoy otros utilizando las herramientas de geometría para ver por sí mismos comofunciona la geometría. Una explicación que tiene sentido para un estudiantepuede no tener sentido para otro. Estos diferentes “estilos de aprendizaje” estáncubiertos por las investigaciones en Discovering Geometry. En este programa, losestudiantes utilizan las herramientas de geometría —transportadores, reglas,compases, reglas no graduadas, patty paper (papel cuadrado semitransparente paracalcar) y quizás software de geometría— para aprender las propiedades de lasfiguras. Utilizan dibujos y medidas para hacer observaciones y formular hipótesiso “conjeturas”. Examinan sus conjeturas y tratan de determinar si estas conjeturasson siempre ciertas, de una manera similar a la que trabajan los científicos.

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Buscan excepciones a la regla o tratan de probar que la conjetura siempre escierta sin excepción. A medida que realizan sus investigaciones, los estudiantesmantienen un cuaderno que incluye una lista de definiciones, una lista deconjeturas y de respuestas a las investigaciones y ejercicios de tarea.

El maestro puede asignar a los estudiantes a trabajar en una investigación engrupos y luego dirigir una discusión con toda la clase. Cada estudiante desarrollasu comprensión individual y se beneficia al compartir ideas y sugerenciasplanteadas por otros. Los estudiantes aprenden que hay muchas formas deresolver los problemas. También aprenden que son responsables individualmentede describir verbalmente o por escrito lo que han aprendido.

La importancia de resolver problemas En la vida, todos necesitamos tener la habilidad de resolver nuevos problemas.Ésta es una capacidad laboral importante al igual que un recurso valioso de unacarrera: Las personas que “piensan de manera novedosa” para resolver problemasen sus trabajos ascienden más rápido y se les ve como líderes. Para ayudar apreparar a los estudiantes para que estén listos a utilizar las matemáticas en susvidas, muchos ejercicios en Discovering Geometry plantean problemas que no seles ha enseñado aún cómo resolverlos. Ellos aprenden a presentar ideas, tomaren cuenta subproblemas, abordar un problema de un modo novedoso y hacerdiagramas y modelos. De esta manera, ellos aprenden destrezas de resoluciónde problemas, en vez de aprender cómo resolver únicamente ciertos tiposparticulares de problemas.

Debido a que la mayoría de los estudiantes se interesan más en la clase si losproblemas que investigan se relacionan con la vida real, muchos de los ejerciciosde tarea tratan sobre problemas que podrían ver en sus vidas fuera de la escuela.Algunos utilizan situaciones muy conocidas y otros están orientados haciacarreras profesionales.

Los ejercicios de aplicación pueden estar relacionados a la agricultura (porejemplo, el Ejercicio 12 en la p. 451, Ejercicio 16 en la p. 468, Ejercicio 10 en la p. 564), los negocios (por ejemplo, el Ejercicio 1 en la p. 435, Ejercicio 46 en la p. 475, Ejercicio 8 en la p. 611), la construcción y el mantenimiento (por ejemplo,el Ejercicio 16 en la p. 261, Ejercicio 20 en la p. 432, Ejercicio 19 en la p. 574),la cocina (por ejemplo, el Ejercicio 13 en la p. 455, Ejercicio 22 en la p. 574,Ejercicio 24 en la p. 629), la arquitectura (por ejemplo, el Ejercicio 17 en la p. 273, Ejercicio 11 en la p. 352, Ejercicio 9 en la p. 564), la tecnología (porejemplo, el Ejercicio 3 en la p. 435, Ejercicio 21 en la p. 514, Ejercicio 4 en la p. 668) o en los deportes y la recreación (por ejemplo, el Ejercicio 18 en la p. 219,Ejercicio 15 en la p. 451, Ejercicio 5 en la p. 668).

El uso de la tecnología es muy útilLas computadoras y las calculadoras nos rodean y los estudiantes las utilizaránen sus trabajos y en algunas ocasiones con software especialmente diseñado,entonces, el utilizar estas herramientas ahora le enseña a los estudiantes destrezasque les serán útiles en el futuro. Ya sea que usted mismo conozca bien lascomputadoras o sólo tenga conocimientos básicos de la tecnología, es probableque su estudiante esté fascinado con la tecnología y que el uso de la mismamantenga su interés en la clase.

La tecnología no se utiliza como un substituto para el aprendizaje de conceptosbásicos. Cuando se utiliza correctamente, la tecnología puede lograr que lasmatemáticas sean más visuales, más lógicas y más divertidas. Más importante aúnes que las herramientas tecnológicas permiten a los estudiantes investigar muchasmás situaciones y ejemplos de las que podrían explorar con un lápiz y un papel.Cuando los estudiantes obtienen resultados rápidamente para numerososejemplos, esto les ayuda a ver patrones, formular generalizaciones y probar sus

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conclusiones. Además, esto los lleva a un entendimiento más profundo de losconceptos y un mayor deseo de explorar más a fondo y abordar problemasmás grandes.

Si el maestro de su estudiante no tiene acceso a la tecnología o no tiene accesoa suficientes computadoras, las Exploraciones Dinámicas de Geometría estándisponibles en línea en flourishkh.com. Estos dibujos interactivos pueden serutilizados por el maestro para hacer demostraciones o por el estudiante paraobtener una experiencia de aprendizaje enriquecedora y altamente visual.

El repaso es esencialLos estudiantes emplean sus nuevas destrezas regularmente con los ejercicios en eltexto para estudiantes. Cada lección tiene también ejercicios de repaso para quelos estudiantes retengan y amplíen sus conocimientos de las lecciones previas.Para más practica, es probable que el maestro de su estudiante haya recibido unacopia de Discovering Geometry: Practice Your Skills. Usted puede acceder a estashojas de trabajo en línea en flourishkh.com.

Además es importante repasar álgebra. Discovering Geometry ayuda a losestudiantes a ver la relación entre la geometría y el álgebra al integrar el repaso delas habilidades de álgebra a cada serie de ejercicios. También dedica una lecciónen cada capítulo específicamente para el repaso y la práctica de un tema clave delálgebra. Las lecciones “Usar tus destrezas de álgebra” pueden ser asignadas por elmaestro o usted puede utilizarlas con su estudiante en casa.

Finalmente, los repasos de los capítulos y repasos mixtos ayudan a los estudiantesa prepararse para los exámenes de los capítulos y de final de año. Las respuestasa estas secciones de repaso están al final del libro para que pueda ayudar a suestudiante a revisar su comprensión y determinar si hay áreas que requieranmás práctica.

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Comience por analizar cómo su estudiante utiliza el tiempo después de clases.Evalúe si hay un lugar adecuado con buena luz para hacer que las tareas sean unaactividad confortable y si las distracciones del entorno son manejables en el lugar.Su apoyo y elogio son tan importantes para el éxito de su estudiante como lasdirectrices del maestro y la calidad de los materiales de aprendizaje.

Utilice esta guía junto con el libro Discovering Geometry. Consulte las notas encada uno de los capítulos. En el texto se hacen referencias a ejemplos y ejerciciosespecíficos. Además, investigue qué recursos tiene su estudiante en la escuela y acuáles puede acceder en línea o desde la casa.

Su experiencia personal con las matemáticas es de gran influencia¿Tuvo usted éxito con las matemáticas cuando estuvo en la escuela? Si lasmatemáticas le resultaron difíciles, puede ser que le resulte más fácil ayudar a suestudiante, porque usted será particularmente comprensivo. Además, es probableque haya desarrollado algún entendimiento práctico de la misma desde que salióde la escuela. Lo importante es evitar transferir ideas negativas sobre lasmatemáticas. Usted tiene la oportunidad de ayudar a que su estudiante tenga unaactitud positiva hacia las matemáticas. Su mensaje deberá ser que “lasmatemáticas son importantes para todos”. Para tener éxito en nuestra sociedad,todos tenemos que reconocer cuando una situación requiere de una soluciónmatemática, reconocer de qué cantidades se trata y saber cómo buscar unasolución. Su estudiante tiene la ventaja de contar con mejores técnicas y mejoresmateriales de los que usted pudo haber tenido.

¿Qué tal si usted tiene confianza en sus destrezas matemáticas? Tendrá que tenercuidado de no dominar el aprendizaje de su estudiante. Muchas veces es muydifícil resistir a explicar una idea o dar una respuesta que usted ya entiende, peroes necesario que se contenga para que su estudiante recuerde el concepto y alfinal se convierta en un alumno independiente. Elogie todos los buenos esfuerzosde su estudiante y apoye sus intentos de explicar, cuestionar o analizar por partesun problema.

No importa si usted se siente cómodo o no con las matemáticas, puede ayudar asu estudiante a lograr las metas de la metodología de Discovering Geometry y deaprender geometría. Trate de establecer dos hábitos al trabajar con su estudiante.

Primero, sea un estudiante para su estudiante. Pídale explicaciones continuamente.Haga preguntas como si usted fuese el estudiante que intenta aprender. Por másque usted comprenda bien las ideas, es mejor preguntar “¿Por qué funciona eso?”que decir “Así es cómo se hace esto”.

Segundo, tenga curiosidad y entusiasmo. Brinde comentarios como “Nunca anteshabía visto esta idea, pero parece interesante” en vez de decir “¡Esto está fuera demi alcance!” o “Esto no es importante”. Pregunte qué ocurrió en la clase; preguntecon qué contribuyó su estudiante, si comprendió o no y tenga curiosidad sobre latarea que le dieron para hacer en casa. Al demostrar este tipo de interés le estarácomunicando que usted espera que participe activamente en la clase y que trabajeen sus tareas diariamente.

Trabajar con su estudiante

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Utilice estrategias de razonamiento probadas y fiablesAlgunas estrategias clásicas de razonamiento pueden ayudar a su estudiante,especialmente al redactar las pruebas y usted puede ayudarle a usarlos.

1. Dibuje un diagrama con rótulos y marque lo que sabe. Esto es muy útil paraproblemas de la vida real o problemas que tienen una figura geométrica ouna cuadrícula de coordenadas. Asegúrese que su estudiante sea el que trazael dibujo. Usted puede orientarlo, hacerle preguntas o darle sugerencias:“¿Que tal si trazas una línea para representar la pared?” “¿Dónde está paradala persona?” Pídale a su estudiante que rotule las partes del diagrama con lascantidades que representan distancia u otras medidas y utilice flechas paraindicar movimiento.

2. Represente una situación de forma algebraica. Cuando está tratando de buscaruna cantidad faltante, es muy útil enumerar las cantidades que sí conoce ypensar como podría encontrar la cantidad que falta. Su estudiante puedeasignar una variable (una letra) a cada cantidad —por ejemplo, utilice la Apara el área de un círculo y r para el radio. Puede utilizar estas variables paraescribir una ecuación que muestra la relación entre las cantidades y resolverel problema para averiguar la cantidad desconocida. La tabla de símbolos alfinal del glosario le puede ayudar a identificar los símbolos correctos.

3. Emplee definiciones y conjeturas previas. Su estudiante tiene una lista deconjeturas de investigaciones hechas previamente en clase, además de una listade definiciones. Repasarlas le ayudará a recordar lo que aprendió en clase y lepuede dar algunas ideas de cómo resolver los ejercicios de tarea, especialmentelas pruebas. Al preguntarle qué ocurrió en clase puede ayudar a refrescarle lamemoria al estudiante. Asuma el papel de estudiante y déjelo que le expliquede qué se trataba la clase y qué aprendió. Luego pregúntele cómo se puederelacionar eso con el problema que están tratando de resolver.

4. Analice un problema por partes. Su estudiante debería trabajar en una etapade un problema por vez. Esto hace que un problema difícil sea másmanejable. O puede resolver un problema más fácil que esté relacionado.Esto le podría ayudar a su estudiante a reconocer el proceso que recuerda yentiende. Fíjese si su estudiante le puede explicar dónde fue que se quedó“estancado” —esto le facilitará pedir ayuda después. Asegúrese de elogiar suéxito con problemas más sencillos y respuestas parciales para demostrarle suapoyo y déjele saber que tiene un cierto nivel de habilidad y logro.

5. Añada una recta auxiliar. Cuando trabaje con figuras geométricas, suestudiante puede trazar una recta auxiliar o “recta de ayuda”, si ésta le ayudaa resolver el problema. Por ejemplo, puede trazar la altitud de un trianguloperpendicular a la base. En el caso de un triangulo isósceles, la altitud a labase forma dos triángulos congruentes. Su estudiante puede utilizar lostriángulos congruentes para mostrar que ciertos segmentos y ángulos soncongruentes. O puede trazar el radio de un círculo si no está en la figura.Todos los radios de un círculo son congruentes y su estudiante puede utilizareste hecho para hacer ciertas observaciones. En algunos casos quizás le ayudetrazar una recta diagonal en un cuadrilátero para formar dos triángulos.

6. Trabaje de atrás para adelante. Comience al final de una serie de pasos y veacomo se siente trabajar hacia el comienzo. Esto es una buena manera decomenzar a desarrollar un plan para redactar una prueba, o verificar siacertó la respuesta adivinada y comprender por qué fue una buena respuesta.Adivinar y verificar es en sí una buena estrategia si le ayuda a su estudiante aacercarse más y más a la respuesta correcta en pasos consecutivos.

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Conozca y utilice otros recursosSi su estudiante continua teniendo problemas con las tareas aún después de queusted intentó ayudarle, puede guiarle en la elaboración de una lista de preguntaspara su maestro. Esta lista le ayudará al maestro a saber si el estudiante piensaque básicamente entendió la lección pero simplemente está estancado en un soloproblema o si el estudiante se siente totalmente perdido y no comprendió lalección o incluso varias de las últimas lecciones. ¿Hay conceptos en particular quesu estudiante no comprende? ¿Hay algún ejemplo en el libro que no lo puedeseguir? El ayudar a su estudiante a redactar preguntas para su maestro reducirá suansiedad o timidez al pedir ayuda. Si al final se siente incapaz de pedir ayuda,usted debe intervenir con una nota o llamada al maestro.

Su estudiante puede hacer proyectos utilizando el software The Geometer’sSketchpad Dynamic Geometry® o Fathom Dynamic DataTM. Las ediciones paraestudiantes con descuento de estos programas de software están disponibles enkeycurriculum.com. También se puede descargar desde flourishkh.com las Leccionescondensadas en inglés o español, en caso de que su estudiante haya perdido unaclase o esté trabajando con un tutor y Practice Your Skills para refuerzo adicional. Si usted tiene acceso a Internet, puede enriquecer la experiencia de su estudiantedirigiendo a su estudiante a que siga los enlaces en la Web y a ver lasExploraciones Dinámicas de Geometría disponibles para Discovering Geometry.Usted también podrá descargar las hojas de trabajo de práctica, halladas enflourishkh.com.

Si el maestro se ha registrado, usted podrá acceder a la versión en línea deDiscovering Geometry. Discovering Geometry en línea es un servicio que brinda alos estudiantes el acceso a todo el contenido del libro de texto impreso, páginapor página, en un formato fácil de usar. El libro de texto en línea tiene unglosario interactivo, un índice y enlaces directos a los recursos mencionadosanteriormente para cada capítulo.

Discovering Geometry ha sido diseñado con una metodología investigativa parahacer participar activamente a su estudiante en las matemáticas —comprensión,aprendizaje, recapitulación y aplicación de habilidades de geometría. Su estudianteprogresará en las matemáticas y tendrá una actitud positiva hacia la geometríacon un creciente sentido de responsabilidad por su propio aprendizaje, la guíaprofesional del maestro y su apoyo sincero.

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La disposición de los temas en Discovering Geometry : An Investigative Approachestá planificada cuidadosamente.

• El Capítulo 0 señala la geometría del mundo que nos rodea, luego le da a losestudiantes varias oportunidades para aprender geometría mientras crean arte. Losmaestros pueden asignar todo el capítulo, partes, o saltearlo para ahorrar tiempo.

• En el Capítulo 1, los estudiantes aprenden algunas definiciones básicas, luegopractican cómo escribir sus propias definiciones válidas. Practican utilizando untransportador para medir y dibujar ángulos.

• El Capítulo 2 trata sobre el uso de la herramienta más importante de todas —lamente. Los estudiantes aprenden tanto el razonamiento inductivo (llegar aconclusiones a partir de un patrón percibido) como el razonamiento deductivo(demostrar que algo es verdadero presentando hechos y un argumento lógico).

• En el Capítulo 3, los estudiantes aprenden a utilizar las herramientas de geometría: elcompás, la regla no graduada (una regla sin marcas) y patty paper (cuadrados de papelencerado). Al construir y comparar figuras geométricas, aprenden sus propiedades.Este conocimiento de primera mano es crucial para la comprensión de los conceptos ypara la demostración de teoremas.

• Los Capítulos 4 al 6 tratan sobre el descubrimiento de las propiedades de lospolígonos y círculos, y luego demostrar o probar que esas propiedades se cumplenpara una clase entera de formas. Los estudiantes utilizan las técnicas derazonamiento que aprendieron en el Capítulo 3, y las lecciones los ayudan aacrecentar su conocimiento de forma sistemática.

• El Capítulo 7 es otro que explora la conexión entre la geometría y el arte. Losestudiantes aprenden cómo transformar figuras —reflexiones, rotaciones ytraslaciones— y cómo se relacionan con los patrones de embaldosado.

• Los Capítulos 8 al 10 tratan sobre el área, el volumen y el Teorema de Pitágoras. Seconcentra en los cálculos y la resolución de problemas, a menudo en problemas de lavida real.

• El Capítulo 11 trata sobre la semejanza, o proporcionalidad de las figuras a escala.

• El Capítulo 12 trata sobre trigonometría, o el estudio de las medidas dentro detriángulos. Muchas escuelas secundarias enseñan trigonometría en mayor detallecomo parte del curso de precálculo, pero este capítulo sirve como introducción.Los ejercicios continúan orientados a los cálculos, la resolución de los problemas y las aplicaciones del mundo real.

• El Capítulo 13 es un capítulo de culminación opcional. Ahora que los estudiantestienen comprensión adecuada de los fundamentos de geometría, se les presentan lospostulados de la geometría y se les pide que escriban demostraciones formales de algunos de los teoremas importantes.

Resúmenes de los capítulos

En este libro se brindan resúmenes más completos de cada capítulo. El contenido delcapítulo está brevemente resumido, y las nuevas palabras importantes se encuentran enletra itálica. Se presenta un problema resumen, con sugerencias de preguntas para hacerpensar a su estudiante. El problema resumen es un problema integral que le dará a usted y a su estudiante mucho de que hablar. Las preguntas sugeridas están seguidas de ejemp-los de respuestas. Al final del material de cada capítulo se brindan ejercicios de repaso y sus soluciones.

Resumen : Temas de Discovering Geometry

Arte geométrico

C A P Í T U L O

0Resumen del contenidoEn el Capítulo 0, los estudiantes conectan las ideas geométricas con cosas que yaconocen: formas comunes (círculos, hexágonos, pentágonos), simetría por reflejoexacto (o simetría de reflexión) y rectas y ángulos. Estudian matemáticas a través delarte, lo que puede ser un contexto nuevo y motivador para ellos. Este enfoque estádiseñado para que se expandan y se conecten con la comprensión intuitiva que yaposeen sobre las formas en general. Además de repasar conceptos matemáticosconocidos, el Capítulo 0 presenta la simetría de rotación, construcciones con compásy regla no graduada y teselaciones.

El maestro de su estudiante puede seleccionar lecciones del Capítulo 0 para repasarhabilidades e ideas que esta clase necesita para una mejor comprensión. Tambiénpuede usar el Capítulo 0 como una pequeña introducción a los métodos deDiscovering Geometry para lograr una comprensión a fondo a través de lainvestigación, el trabajo grupal y el uso de herramientas de geometría, y quizássoftware. Mientras tanto, usted puede utilizar este tiempo para ayudar a establecerlos patrones de trabajo con su estudiante.

Simetría de rotaciónLa mayoría de las personas dicen que una figura es simétrica si tiene simetría porreflejo exacto —un lado es el reflejo del otro. Existen también otros tipos desimetría. El Capítulo 0 presenta la simetría de rotación. Una figura tiene simetría derotación de orden 2 si se ve igual después de haberla girado media vuelta —o sea,180 grados. Tiene simetría de orden 3 si se ve igual después de haberla girado untercio de vuelta —o sea, 120 grados, y así sucesivamente. La figura de la derecha porejemplo tiene simetría de rotación de orden 3. Todas las figuras se ven igualesdespués de girarlas 360 grados, de modo que una figura que sólo satisface esterequisito no es considerada como figura con simetría de rotación.

Los estudiantes volverán a ver simetrías de reflexión y de rotación en el contexto delas transformaciones del Capítulo 7.

TeselacionesSi puede hacer varias baldosas, todas de la misma forma y utilizarlas para cubrir unasuperficie plana, sin dejar espacios, entonces usted tiene una teselación, o patrón deembaldosado. En el Capítulo 0 los estudiantes ven unas pocas teselaciones. En elCapítulo 7, estudiarán las propiedades de las formas que se pueden utilizar en unateselación, como así también teselaciones con más de una forma.

Construcciones Los matemáticos de la Grecia antigua creían que las formas más perfectas eran loscírculos y las líneas rectas, así que se pusieron a ver qué podían hacer con un compás(para trazar círculos) y una regla no graduada (para trazar rectas). Como compás,utilizaban una cuerda con una estaca atada a uno de los extremos. La regla nograduada no tenía marcas, así que no podía utilizarse para medir. Sin embargo,descubrieron que con estas herramientas podían construir muchas formas yángulos. Todo lo que pueda dibujarse con estas herramientas se denominaconstrucción geométrica.

Aunque la mayoría de nosotros no tiene la misma idea de las formas perfectas quetenían los griegos hace 2500 años, el estudio de las construcciones geométricas esvalioso para los estudiantes. Les proporciona una noción de formas y relaciones. Estanoción es muy útil al estudiar conceptos geométricos y para el razonamiento lógico.

Discovering Geometry: Una guía para los padres 1

(continúa)

©2008 Kendall Hunt Publishing

Capítulo 0 • Arte geométrico (continuación)

Problema resumenUsted y su estudiante pueden hablar sobre este problema resumen del Capítulo 0.Es un buen problema para rever varias veces mientras avanzan en este capítulo.

¿Qué ideas de este capítulo ve en Hot Blocks, la ilustración artística que aparece en lapágina 24 y también a continuación?

Hable sobre estas preguntas con su estudiante desde el punto de vista deun estudiante:

● ¿Qué tipos de simetría tiene la ilustración?

● ¿Qué tipos de simetría tiene cada bloque?

● ¿Puedes construir uno de los bloques con una regla no graduada y un compás?

● ¿Qué hizo el artista para que cada bloque pareciera tridimensional?

● ¿Podrías construir un dibujo distinto pero similar con una regla no graduada yun compás?

● ¿Tu dibujo es más o menos elegante que éste?

● ¿Está bien hablar de elegancia en matemáticas?

Muchas de estas preguntas tienen varias respuestas válidas posibles. No importasi usted no sabe todas las respuestas. En lugar de eso, mientras hablan sobre lasrespuestas, asegúrese que su estudiante le dé buenas explicaciones de por qué unarespuesta es razonable. Por ejemplo, contestar “si” o “no” no es suficiente. Incítelo aque también haga preguntas.

Ejemplo de respuestas Si se ignora el sombreado, la ilustración tiene una simetría de rotación de orden 2, conuna recta de simetría vertical a través de la columna media de los bloques y una rectade simetría horizontal entre las hileras del medio de los bloques. Si se ignora elsombreado, cada bloque tiene un sistema de rotación de orden 3 y tres rectas dereflexión. Los patrones de sombreado hacen que parezca tridimensional. Los doshexágonos que forman cada bloque pueden construirse: Comenzando con círculos yusando sus radios para marcar seis arcos iguales en el círculo, los puntos se puedendeterminar puntos para dibujar hexágonos equiláteros con los cuales hacer los bloques.

Aunque la elegancia es cuestión de opinión, es aceptable hablar de elegancia encualquier disciplina. Esta ilustración podría considerarse elegante por su valorartístico o por las matemáticas que exhibe.

2 Discovering Geometry: Una guía para los padres

Hot Blocks, (1966–67), Edna Andrade© Edna Andrade, Museo de Arte de Filadelfiacomprado por el Philadelphia Foundation Fund.


Capítulo 0 • Ejercicios de repaso

Nombre Período Fecha

1. (Lección 0.1) ¿Cuáles de los siguientes dibujos tienen simetría dereflexión? Dibuja las rectas de simetría. ¿Cuáles de los dibujos tienensimetría de rotación?


2. (Lección 0.2) Nombra las herramientas básicas de geometría. ¿Para qué seusan estas herramientas?

3. (Lección 0.3) Usa tu compás para crear un dibujo de una margarita de6 pétalos. Coloréalo de manera tal que tenga simetría de reflexión perono de rotación.

4. (Lección 0.4) Usa tu regla no graduada y una copia del dibujo de tumargarita del Ejercicio 3 para hacer un hexágono regular. Úsalo parahacer un bloque de la colcha amish con diseños de bloques que apareceen la página 14.



4.1.

2. El compás se usa para hacer círculos y marcar distancias iguales y la regla no graduada se usapara dibujar líneas rectas.

3.

Paso 6Paso 5

Paso 4Paso 3

Paso 2Paso 1

Reflexión

Rotación y reflexión

Rotación

Rotación y reflexión

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 0



Introducción a la geometríaC A P Í T U L O

1Resumen del contenidoEl Capítulo 1 presenta los fundamentos y vocabulario de geometría. Aunque serefiere a muchas formas geométricas que los estudiantes ya han visto antes, hacehincapié en lo que se necesita para poder formular buenas definiciones. Muchas deestas investigaciones hacen participar a los estudiantes en el proceso de redacción dedefiniciones presentándoles ejemplos visuales de formas que pertenecen a un grupoy formas que no pertenecen al grupo, llamado los no ejemplos. Este proceso haceque los estudiantes pasen de pensar en la apariencia general de las formas haciapensar en sus partes y en las clases de formas, por ejemplo, pensar en lo que todoslos rectángulos tienen en común y qué los hace rectángulos. Esto establece las basespara entender las propiedades de la formas, un nivel superior de razonamiento quepasa a ser cada vez más importante en los capítulos posteriores.

DefinicionesUna buena definición generalmente puede formularse como “Un [término que setrata de definir] es un/a [grupo general] que [tiene alguna característica]”. Porejemplo, considere la definición de triángulo.

Un triángulo es un polígono que tiene tres lados.

Para que esta definición sea clara debemos saber el significado de los términosusados en la definición. ¿Qué significa polígono? ¿Qué significa lado de un polígono?Todos los términos usados en una definición válida deberían ya estar previamentedefinidos. Pero esto conlleva a un problema: ¿Por dónde empezamos? Debemosponernos de acuerdo de que algunos términos se entiendan sin ser definidos.Entonces se pueden usar para definir la primera definición, que a su vez se puedeusar en otras definiciones. En geometría, estos términos sin definir son puntos,recta y plano. A partir de estos términos, podemos definir otros términos, queluego se pueden usar para definir los términos triángulo y ángulo en el ejemplooriginal anterior.

Los puntos son colineares si están en la misma recta.

Un segmento de recta consiste de dos puntos (llamados extremos) y todos lospuntos comprendidos entre ellos que son colineares con los dos puntos.

Un polígono es una figura cerrada en un plano que se forma conectando segmentosextremo con extremo (llamados vértices) con cada segmento intersecandoexactamente otros dos.

Un lado de un polígono es un segmento que conecta vértices consecutivosdel polígono.

Mientras que estas definiciones tal vez no estén descritas exactamente de la mismaforma que al principio de esta sección, la mayoría se basa en la clasificación deltérmino dentro de un grupo general, luego su diferenciación del grupo de acuerdo aalgunas características.

Ángulos Además de definir ángulos, el libro habla sobre las medidas de los ángulos y les pide alos estudiantes que escriban las definiciones de distintos tipos de ángulos (recto,agudo, obtuso), así como pares especiales de ángulos (complementarios,suplementarios, opuestos por el vértice, par linear).

PolígonosEl libro define polígono y le pide a los estudiantes que escriban las definiciones detipos especiales de polígonos (equilátero, equiángulo, regular). Los estudiantes (continúa)


Capítulo 1 • Introducción a la geometría (continúa)

también definen distintos tipos de triángulos (rectángulo, agudo, obtuso, escaleno,equilátero, isósceles) y cuadriláteros (trapecio, papalote, paralelogramo, rombo,rectángulo, cuadrado).

CírculosUn círculo es la serie de todos los puntos en un plano a una distancia dada desde unpunto dado. Los estudiantes repasan algunas partes del círculo (centro, radio, arco) ydefinen otras partes (cuerda, diámetro, tangente).

Problema resumen¿Qué formas geométricas contiene cada uno de estos sólidos?

Preguntas que puede hacerle en su rol de estudiante a su estudiante:

● ¿Cómo se llama cada sólido?

● ¿Hay partes de los sólidos que están escondidas en estos dibujos?

● ¿Cómo son las partes escondidas?

● ¿Qué partes se mencionan es este capítulo?

● ¿Cuáles de esas formas están contenidas en los sólidos? ¿Las puedes colorear?

● ¿Hay alguna de esas formas que no esté contenida en los sólidos?

● ¿Puedes cambiar estos sólidos a alguno que no contenga esas formas?

● ¿Qué relaciones geométricas se mencionan en el capítulo?

● ¿Cuáles de esas relaciones tienen las formas de los sólidos?

● ¿Qué medidas se mencionan en el capítulo?

● ¿Puedes tomar alguna de esas medidas en estos sólidos?

Ejemplo de respuestasJuntas, las formas —una pirámide rectangular y un cilindro atravesado por un hoyocilíndrico— contienen segmentos, puntos colineares y coplanares (vértices) ángulosagudos y rectos, triángulos, un rectángulo y círculos concéntricos. El fondo delcilindro, el interior del hoyo cilíndrico y el triángulo de atrás en la pirámide estánescondidos y no se ven. Otros términos en el capítulo incluyen semirrecta; ángulosopuestos por el vértice, polígonos de varios tipos, incluyendo varios cuadriláteros;muchas rectas relacionadas con los círculos, incluyendo tangente y otros sólidos,incluyendo cilindros, conos y esferas. Es posible hacer alguno de esos polígonostomando una “sección” o cortando en rebanadas la pirámide.

Las relaciones mencionadas en el capítulo incluyen bisecciones, congruente,perpendicular, paralelo, rectas oblicuas y ángulos suplementarios ycomplementarios. En las figuras pareciera que: La base de la pirámide tiene aristasperpendiculares entre sí y aristas opuestas congruentes entre sí; las bases del cilindroson paralelas entre sí; y si los triángulos son equiláteros o isósceles, tienen ángulosy aristas congruentes. El dibujo tal vez no represente los verdaderos ángulos olongitudes de los lados, pero de lo contrario podría hallar la medida de cadaángulo con un transportador y la longitud de cada lado con una regla.

6 Discovering Geometry: Una guía para los padres ©2008 Kendall Hunt Publishing

(Lecciones 1.1, 1.2) Identifica lo siguiente:

1. Punto medio: _______ 2. Segmento: ______

3. Mediatriz: ______ 4. Semirrecta: ______

5. Recta: ______ 6. Ángulo: ______

7. (Lección 1.2) Marca la figura con la siguiente información:

�A � �C

AB� � BC�

BD � DC

(Lecciones 1.3, 1.5, 1.6, 1.7) Dibuja y rotula cuidadosamente cada figura.

8. Ángulos suplementarios �ABD y �DBC siendo m�ABD � 90°

9. Triángulo isósceles rectángulo 10. Círculo O con diámetro AB� y tangente CD��

11. Paralelogramo ABCD

12. (Lección 1.4) ABCDE � FGHIJ. El perímetro de ABCDE es de 36 cm.Halla estas distancias.

a. AB � _______ b. HI � ______

c. FJ � _______

13. (Lección 1.8) Halla las longitudes faltantes. Haz de cuenta que todas lasaristas son perpendiculares entre sí.

a. x � _______ b. y � ______

c. z � _______

14. (Lección 1.9) Crea un diagrama de Venn para mostrar las relaciones entrelos triángulos, triángulos isósceles y triángulos rectángulos.

8

4

6

2

yx

z

D

C H

G

F

JI

B

A

72x

4x – 3E

x � 2

A D

B

C

A

E

B

C

DF





11.

12. Como los dos pentágonos son congruentes, ED �JI � 4x – 3. Las marcas en los pentágonos muestranque BC � ED. Por lo tanto, BC � ED � 4x – 3. Elperímetro de ABCDE � (x � 2) � (4x � 3) � 7 �(4x – 3) � 2x � 36 cm. Al resolver la x, obtienes x �3 cm. Sustituye la x con el 3 y usa el hecho de que loslados correspondientes son congruentes para hallarlas longitudes de estos lados.

a. AB � 5 cm b. HI � 7 cm

c. FJ � 6 cm

13. x � 4; y � 4; z � 6

14. Aunque es posible que un triángulo sea isósceles yrectángulo, también es posible que sea uno sin ser lootro, entonces están representados por dos círculosque se superponen.

Triángulos

Triángulosisósceles

Triángulosrectángulo

D

C H

G

F

JI

B

A

72x

4x – 3E

x � 2

A

BC

D

1. E es el punto medio de AD�� porque AE�� ED�.

2. Hay varios segmentos, por ejemplo AE� o AD��.

3. EC�� es la bisectriz del ángulo porque �BEC ��CED.

4. Hay varias semirrectas, por ejemplo BF�� o EC��

5. FB��

6. Hay varios ángulos, por ejemplo �BEC o �BED.

7.

8.

9.

10.

AO

CD

B

D

CBA

A D

B

C





El razonamiento en la geometría C A P Í T U L O

2Resumen del contenidoUno de los principales propósitos de cualquier curso de geometría es el de mejorar lacapacidad de razonamiento lógico de los estudiantes. El Capítulo 2 se concentra endos tipos básicos de razonamiento: inductivo y deductivo. Los estudiantes utilizan elrazonamiento inductivo para identificar patrones visuales y numéricos y hacerpredicciones basadas en estos patrones. Luego se les presenta el uso del razonamientodeductivo para explicar por qué estos patrones son ciertos. Los estudiantes exploranlas relaciones entre las medidas de los ángulos formados por rectas transversales yparalelas, formulan conjeturas sobre estas relaciones y aprenden a utilizarargumentos lógicos para explicar por qué estas conjeturas son ciertas.

Razonamiento inductivoCada vez que congela su botella de agua, el agua se expande. Usted aprenderápidamente a no poner demasiada agua en la botella para evitar que salte la tapa ose rompa la botella. El razonamiento por el cual se llega a conclusiones a partir de laexperiencia es inductivo.

Los matemáticos utilizan el razonamiento inductivo para tratar de predecir quépuede ser cierto. Por ejemplo, si suma los números impares positivos comenzandodesde el 1, obtiene un patrón.

1 � 3 � 4

1 � 3 � 5 � 9

1 � 3 � 5 � 7 � 16

Las sumas parecen ser cuadrados perfectos: 4 � 2 � 2, 9 � 3 � 3, 16 � 4 � 4. Inclusosi usted “suma” sólo el primer número impar, 1, la suma es un cuadrado: 1 � 1. Ustedpuede concluir que la suma de cualquier cantidad de números impares positivosconsecutivos, comenzando desde el 1, es un cuadrado perfecto.

Pero el razonamiento inductivo no es infalible. Puede pasar que alguna vez que ustedponga su botella de agua en el congelador, el agua no se expanda. (Quizás elcongelador no funciona, o el agua está saborizada de alguna manera.) Por ende, losmatemáticos no están satisfechos con el razonamiento inductivo. El razonamientoinductivo sólo lleva a predicciones, o conjeturas. Una conjetura se convierte en hechomatemático, o teorema, sólo si alguien demuestra que es la conclusión de unrazonamiento deductivo.

Razonamiento deductivoEl razonamiento deductivo, también llamado demostración o prueba, es el razonar apartir de hechos demostrados, utilizando pasos lógicamente válidos para llegar a unaconclusión. Una demostración puede servir varios propósitos. Los matemáticos amenudo utilizan la demostración para verificar que una conjetura es verdadera paratodos los casos, no sólo para aquellos examinados, o para convencer a otros. Lasdemostraciones a menudo ayudan a responder a la pregunta: ¿Por qué? El uso de lademostración para explicar el por qué, es una extensión natural para los estudiantesen este punto del curso y les ayuda a profundizar su comprensión. Este capítuloresalta este propósito iluminador de la demostración o prueba.

Si usted tomó un curso de geometría, puede haberse encontrado con pruebasescritas en dos columnas: una columna con afirmaciones y una columna conjustificaciones, donde cada afirmación está justificada con una razón. Sin embargo,la mayoría de los estudiantes se sienten abrumados por este enfoque. Lo encuentrandifícil de seguir y pierden la idea general. En Discovering Geometry, las pruebas endos columnas aparecen en el Capítulo 13 con el estudio de la geometría como un

(continúa)


Capítulo 2 • El razonamiento en la geometría (continuación)

sistema matemático, punto en el cual los estudiantes se encuentran en el nivel dedesarrollo adecuado. Por ahora, se anima a los estudiantes a usar argumentosdeductivos informales escritos en forma de párrafos. En el Capítulo 4, se lesmostrarán otras formas de presentar las pruebas.

Estrategias de razonamientoLa parte más difícil del proceso de redactar un argumento deductivo es determinarla lógica subyacente del argumento y qué información incluir. Comenzando en elCapítulo 2 y continuando a lo largo de todo el libro, se enseñan estrategias derazonamiento a los estudiantes, formas de pensar que ayudan a construir unargumento deductivo. Quizá quiera hablar sobre estas formas de pensar con suestudiante. En este capítulo se presentan las primeras tres de estas estrategias derazonamiento y se presenta una estrategia más en cada capítulo subsiguiente comose indica.

● Dibuja un diagrama rotulado y marca lo que sabes.

● Representa una situación algebraicamente.

● Aplica conjeturas y definiciones previas.

● Divide un problema en partes. (Capítulo 3)

● Agrega una recta auxiliar. (Capítulo 4)

● Piensa de atrás para adelante. (Capítulo 5)

Problema resumenDibuja dos rectas transversales. ¿Qué notas acerca de los ángulos opuestos por elvértice? ¿Puedes explicar cualquier patrón que veas?


● ¿Qué significa el término ángulos opuestos por el vértice?

● ¿Qué pares de ángulos son ángulos opuestos por el vértice?

● ¿Qué conjetura puedes expresar acerca de las medidas de los ángulos opuestospor el vértice?

● La conjetura que haces, ¿aplica a todos los pares de rectas transversales que hasprobado, o puedes hallar un contraejemplo?

● ¿Piensas que tu conjetura es válida para todos los pares de rectas transversales?

● ¿Cómo demostrarías que es verdadera para todos los pares?

Ejemplos de respuestasCuando dos rectas se intersecan, forman cuatro ángulos diferentes. Dos ángulos noadyacentes formados por las rectas transversales son ángulos opuestos por el vértice.Dos rectas transversales forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Losángulos de cada par tienen medidas iguales. Explicar el por qué puede implicarhablar acerca de las líneas rectas y los diferentes pares de ángulos adyacentes, o de larotación alrededor del vértice. Puede redactar un argumento deductivo para probarque la conjetura de ángulos opuestos por el vértice sigue lógicamente a la conjeturade pares lineales, tal como se ve en la página 124.


1. (Lección 2.1) Usa la regla dada para generar los próximos cinco términosde la secuencia.

2, 5, 9, 14, . . . , �n(n

2� 3)� , . . .

2. (Lecciones 2.2, 2.3, 2.4) Halla la regla para el número de círculos en lafigura número n y úsala para hallar el número de círculos en la figuranúmero 20. ¿Estás usando razonamiento inductivo o deductivo paracontestar esta pregunta?

3. (Lecciones 2.5, 2.6) Halla la medida de cada ángulo con letra. ¿La recta les paralela a la m? Explica tu razonamiento.

4. (Lección 2.6) Las rectas l y m son paralelas entre sí. Halla x.

ml

4x40 � 3x

55�

126�

c

a

bm

l


Número de figura 1 2 3 4 . . . n . . . 20

Número de círculos 1 6 11 16 . . . . . .




3. a � 55° según la conjetura de los ángulos opuestospor el vértice.

b � 126° según la conjetura de los ángulos opuestospor el vértice.

c = 54º según la conjetura del par linear.

Si las rectas l y m fueran paralelas, entonces c seríaigual a 55° según la conjetura de los ángulos corre-spondientes. Sin embargo, c � 54° como se indicó anteriormente, entonces l y m no son paralelas.

4. 40 � 3x � 4x � 180 Conjetura de los ángulos corre-spondientes y conjetura del parlinear.

40 � 7x � 180 Combina términos similares.

7x � 140 Resta 40 de ambos lados.

x � 20 Divide ambos lados entre 7.

1. 20, 27, 35, 44, 54

Los primeros cuatro términos provienen de sustituir an por 1, 2, 3 y 4 en la regla dada. Sustituye n por 5, 6,7, 8 y 9 para hallar los siguientes cinco términos. Veral final de la página.

2. 5n � 4 (ó 5(n � 1) � 1, que es equivalente); 96;razonamiento inductivo

Primero busca la diferencia entre los términos. Eneste caso sumamos cinco a cada término para llegar al término siguiente.

�5 �5 �5

Como la diferencia entre los términos consecutivos essiempre cinco, la regla es 5n � “algo”. Supongamosque c sea el “algo” desconocido, entonces la regla es5n � c. Para hallar c, reemplaza la n en la regla por unnúmero del término. Por ejemplo intenta n � 3 y quela expresión sea igual a 11, el número de círculos en latercera figura.

5(3) � c � 11

15 � c � 11

c � �4

Por lo tanto la regla es 5n � 4. Para averiguar cuántoscírculos hay en la figura número 20, sustituye n por20 en la regla.

5(20) � 4 � 96


n 5 6 7 8 9

�n(n

2� 3)� �

5(52� 3)� � 20 �

6(62� 3)� � 27 �

7(72� 3)� � 35 �

8(82� 3)� � 44 �

9(92� 3)� � 54

Número de figura 1 2 3 4 . . .

Número de circulos 1 6 11 16 . . .

1.




Uso de herramientas de geometría C A P Í T U L O

3A estas alturas del curso usted podría pensar en cómo está interactuando con suestudiante. Por ejemplo, ¿está usted siendo un estudiante para su estudiante? ¿Estáformulando preguntas y dejando que su estudiante explique? ¿Está explicando losuficientemente poco, como para que su estudiante se vuelva un aprendiz y pensadorindependiente? ¿Responde a preguntas que su estudiante no le ha preguntado?Decirle demasiado al estudiante puede ser una pérdida de tiempo, porque puede noentender; esto puede llevarle a sentirse abrumado. Se puede lograr una comprensióna fondo cuando usted deja que su estudiante le explique el concepto o habilidad austed y a otros.

Resumen del contenidoEn el Capítulo 3, los estudiantes usan construcciones hechas por sus propias manospara desarrollar un sentido intuitivo de las propiedades de las formas. Esto permiteun modo distinto de comprender cómo las partes de una figura están relacionadascon el todo. Los estudiantes aprenden a duplicar segmentos y ángulos, luego trabajancon rectas perpendiculares y paralelas, bisectrices de ángulos y segmentos, y rectasconcurrentes. Un concepto subyacente es la determinación: ¿Qué propiedadesdeterminan la forma de una figura? O sea, ¿qué propiedades son necesarias, para queestas propiedades definan una y sólo una forma? La idea de determinación esabordada a través de construcciones geométricas.

Construcciones geométricasLos estudiantes aprenden a duplicar segmentos y ángulos, a bisecar segmentos yángulos, y a construir rectas perpendiculares y paralelas. Además de aprender lasclásicas construcciones con compás y regla no graduada, los estudiantes aprenden autilizar patty paper, pequeños cuadrados de papel encerado generalmente utilizadospara separar las hamburguesas, como una herramienta singular para construccionesgeométricas. Usted puede pensar en las construcciones geométricas como un juego:Intente dibujar una figura, tal como un cuadrado, utilizando solamente un compás yuna regla no graduada y sin mediciones. Las soluciones pueden aplicarse aproblemas de la vida real, tal como trazar los cimientos para un edificio, pero latecnología moderna ofrece métodos más simples. Trate de ayudar a que suestudiante disfrute del juego. Por más de 2500 años, este juego les ha dado a losestudiantes comprensión práctica de las propiedades que determinan la forma deuna figura. Una comprensión de la determinación será especialmente útil en elestudio de la congruencia de triángulos en el Capítulo 4.

(continúa)


Capítulo 3 • Uso de herramientas de geometría (continuación)

Problema resumenDibuja tres segmentos de recta en una hoja de papel utilizando sólo las herramientasde construcción (regla no graduada sin marcas y compás), y duplícalos paraconstruir un triángulo, si es posible. Si tienes éxito, construye varios triángulos.Luego construye lo que sepas construir sobre los lados y ángulos del triángulo.¿Qué patrones ves? ¿Qué conjeturas puedes hacer? ¿Puedes justificar por qué esasconjeturas pueden ser ciertas?


● ¿Es realmente posible construir un triángulo con copias de estos segmentosde recta sin tomar ninguna medida?

● ¿Alguna vez es imposible construir un triángulo a partir de tressegmentos dados?

● ¿Qué sucede cuando construyes varios triángulos utilizando los mismos tressegmentos? ¿Tres segmentos determinan un triángulo?

● ¿Qué sucede si construyes la mediatriz de cada lado del triángulo?

● ¿Qué sucede si construyes la bisectriz de cada ángulo del triángulo?

● ¿Qué sucede si marcas el punto medio de cada lado del triángulo y unes cadapunto medio con otros puntos?

● ¿Qué más puedes construir sobre este triángulo, y qué otros patrones ves?

Ejemplos de respuestas para el problema resumen del Capítulo 3Siempre y cuando la suma de cualquier par de rectas sea mayor que la tercera, sepuede construir un triángulo. El construir varios triángulos a partir de los mismostres segmentos siempre conduce al mismo triángulo (aunque puede ser un reflejoexacto). Entonces, siempre y cuando se pueda construir un triángulo, éste estádeterminado. Una vez que se tienen tres segmentos que se pueden duplicar paraformar un triángulo, su estudiante puede usar las copias del triángulo mientrasexplora. La mediatriz de cada lado puede construirse sobre una copia del triánguloy las bisectrices de los ángulos sobre otra. Los estudiantes hallarán puntos deconcurrencia, en los cuales se intersecan tres rectas. También hallarán una relaciónentre las dos partes de un segmento determinado por el punto de concurrenciade las medianas, y relaciones entre algunos de estos puntos de concurrencia sirealizan la exploración de la recta de Euler al final del capítulo. Su estudiante puedeexplorar otras relaciones.


1. (Lecciones 3.1, 3.2) Duplica AB� y halla su mediatriz.

2. (Lecciones 3.2, 3.3) Identifica las partes de �ABC:

a. Mediana: ______

b. Altitud: ______

c. Segmento medio: ______

3. (Lecciones 3.1, 3.4) Duplica �DEF y construye la bisectriz del ángulo.

4. (Lecciones 3.5, 3.6) Construye un trapecio isósceles.

5. (Lección 3.7) Nombra cada centro.

a. b.

c. d.

EF

D

D

A

EC

F G

B

A B





Bisectriz de ángulo:

4.

5. a. Ortocentro (intersección de altitudes)

b. Centroides (intersección de medianas)

c. Circuncentro (intersección de mediatrices)

d. Incentro (intersección de bisectrices de ángulos)

D

A B

C

A B

C

A B

C

EF

D

1. Duplicación:

Mediatriz

2. Mediana � AE� porque conecta el vértice con elpunto medio.

Altitud � AD�� porque es el segmento perpendi-cular desde un vértice a la recta que contieneel lado opuesto.

Segmento medio � FG� porque conecta los puntosmedios de dos lados.

3. Duplicación:

G

Paso 5

G

Paso 4

E

D

FPaso 3

G

Paso 2

E

D

FPaso 1

BA

Paso 3C D

Paso 2A B

Paso 1C





Descubrimiento y prueba de laspropiedades de los triángulos

C A P Í T U L O

4Resumen del contenidoEn el Capítulo 4, los estudiantes exploran las propiedades de los triángulos y lascondiciones que garantizan que dos triángulos sean congruentes. Al principio losestudiantes hacen conjeturas sobre la suma de los ángulos internos y externos, laspropiedades de los triángulos isósceles y las relaciones de desigualdad entre los ladosy los ángulos de los triángulos. Luego exploran las características necesarias paradeterminar la congruencia de dos triángulos, y finalmente, aprenden a usar esto parademostrar sus conjeturas.

Relaciones de los ángulos en los triángulosLos estudiantes experimentan, buscan patrones y hacen conjeturas sobre las partesde los triángulos. Estas conjeturas clave resultan de sus investigaciones:

● La suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180°.

● Dos ángulos de un triángulo son congruentes si y sólo si dos lados del triánguloson congruentes.

● La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos internos que no son adyacentes a este ángulo externo.

Congruencia de triángulosLa idea de congruencia sirve como puente entre las propiedades de un triángulo enparticular y las propiedades compartidas por dos o más triángulos. En cierto sentido,la congruencia se trata de determinación. Conocer los tres ángulos y los tres ladosciertamente determina un triángulo. En otras palabras, si usted dibuja un segundotriángulo con todos los lados y ángulos congruentes con aquellos en el primertriángulo, el segundo triángulo será congruente con el primero. Esencialmente seráel mismo triángulo. Entonces, conocer tres ángulos y tres lados garantiza el tamaño yla forma del triángulo, y todos lostriángulos que comparten eseconjunto de medidas tienengarantizada la congruencia entre sí.Pero, ¿un triangulo es determinadopor menos de seis piezas deinformación? Por ejemplo, ¿essuficiente conocer tres ángulos paradeterminar un triángulo? ¿Essuficiente conocer dos lados y unángulo? De la misma manera,¿cómo puede decir si dos triángulosson congruentes? ¿Son congruentessi sus tres ángulos tienen lasmismas medidas? O, ¿si dos lados yun ángulo son iguales? Este librodenomina a estas conjeturas mediosrápidos de congruencia. Estosmedios rápidos que son suficientespara garantizar la congruenciaestán listados a la derecha.

Tres pares de lados congruentes

Lado-Lado-Lado (SSS)

Ángulo-Lado-Ángulo (ASA)

Lado-Ángulo-Lado (SAS)

Lado-Ángulo-Ángulo (SAA)

Dos pares de lados congruentes y un par de ángulos congruentes (ángulos entre los pares de lados)

Dos pares de ángulos congruentes y un par de lados congruentes (lados que están entre los pares de ángulos)

Dos pares de ángulos congruentes y un par de lados congruentes (lados que no están entre los pares de ángulos)

(continúa)


Capítulo 4 • Descubrimiento y prueba de las propiedades de los triángulos (continuación)

PruebaUna razón importante para desarrollar medios rápidos de congruencia paratriángulos es demostrar otras propiedades de las figuras geométricas. El Capítulo 4expone dos formatos para presentar las pruebas que se utilizarán en lo que queda delcurso. La prueba de párrafo, expuesta al principio del capítulo, es un argumentodeductivo que utiliza oraciones escritas para respaldar sus afirmaciones con razones.La prueba de organigrama, expuesta cerca del final del capítulo, ubica afirmacionesen casilleros conectados por flechas para mostrar el flujo de la lógica, presentando lasrazones lógicas debajo de cada casillero. En las últimas tres lecciones del capítulo, losestudiantes aplican medios rápidos de congruencia de triángulos usando estosformatos de prueba para demostrar las propiedades de los triángulos quedescubrieron a lo largo del capítulo.

Problema resumenSuponga que conoce la longitud de la altitud desde la base de un triángulo isósceles yla medida de un ángulo entre la base y otro de los lados. ¿Esta información essuficiente para determinar un triángulo o existen diferentes triángulos posibles?Preguntas que puede hacerle en su rol de estudiante a su estudiante:

● ¿Te ayuda el dibujar altitudes y ángulos particulares, y tratar de formar más deun triángulo con las propiedades dadas?

● ¿Crees que es posible hacer más de un triángulo? ¿Por qué?

● ¿Puedes usar la conjetura de la suma angular en triángulos para ayudar aexplicar por qué?

● ¿Puedes usar la conjetura del triángulo isósceles para ayudar a explicar por qué?

● ¿Puedes usar medios rápidos de congruencia para ayudar a explicar por qué?

● ¿Puedes usar la conjetura de la bisectriz del ángulo del vértice para ayudar aexplicar por qué?

● ¿Qué sucede si el triángulo no es isósceles?

Ejemplos de respuestas Hacer y rotular un diagrama es una buena técnica para ayudar a pensar acerca de unproblema. En este caso, el dibujar le mostrará que sólo hay un triángulo posible conuna altitud de la longitud específica que usted dibujó y con el ángulo que dibujóentre la base del triángulo y otro de sus lados. Para explicar por qué, su estudianteutilizará varias conjeturas. Aquí se presenta una explicación, pero pídale a suestudiante que le dé otras explicaciones.

Como conoce uno de los ángulos de la base, también conoce el otro por la conjetura del triángulo isósceles. La altitud del triángulo isósceles lo divide en dos triángulosrectángulos ya que la altitud se define como perpendicular a la base. Ambos triángulosrectángulos tienen dos ángulos y un lado (en realidad, dos si consideramos la altitudcompartida) iguales. Según la conjetura de congruencia SAA, tales triángulos soncongruentes. Por ende, si construye un nuevo triángulo isósceles con la misma altitud yángulo de la base dados, estará compuesto de dos de los mismos triángulos rectánguloscongruentes, entonces está determinado.

Otras explicaciones podrían utilizar la conjetura de la bisectriz del ángulo del vérticejunto con cualquiera de los medios rápidos de congruencia para ayudar a explicarpor qué las dos mitades del triángulo isósceles son congruentes.

Note que estos argumentos fallan cuando se aplican a un triángulo que no esisósceles. El segundo “ángulo de la base” del triángulo no necesariamente escongruente con el primero. Para ver esto, pídale a su estudiante que dibuje algunostriángulos no congruentes que tengan una altitud dada y un ángulo dado entre labase y uno de los lados. En el diagrama de la derecha, si se le da �A, AB�, y la altitudAD��, puede colocar el punto C en cualquier lugar a lo largo de AD�� si el triángulo noes isósceles.


A D

B

C


(Lecciones 4.1, 4.2) Para los Ejercicios 1 y 2, halla las medidas faltantes.

1. Calcula la medida de cada ángulo con letra y explica cómo la hallaste.

2. El perímetro de �ABC es de 36 pulg.

BC � —?

AB � —?

m�C � —?

(Lección 4.3) Para los Ejercicios 3 y 4, ordena las tres medidas desconocidas en ordende mayor a menor.

3. 4.

(Lecciones 4.4, 4.5) Para los Ejercicios 5 y 6, decide si los triángulos son congruentes.Si lo son, nombra el medio rápido de congruencia que usaste.

5. 6.

7. (Lecciones 4.6, 4.7) Crea una prueba de 8. (Lección 4.8) Escribe una prueba de organigrama para demostrar que AB�� CB�. párrafo para mostrar que AB�� CB�.

CB

A

D

A

D

B

C

3

3

7

7

AB

CD

d

f e

5

64

c

b

a

115� 20�

C

75�

15 in.

A B

b

a

c 110�





3. c � b � a c es opuesto al ángulo más grande y a es opuesto al ángulo más pequeño.

4. f � d � e f es opuesto al ángulo más grande ye es opuesto al ángulo más pequeño.

5. Sí, �ABC � �CDA según SAS.

6. Sí, los triángulos son congruentes según SSS.

7. Ver al final de la página.

8. Se nos da que AD�� CD�� y �ADB � �CDB.BD�� BD� porque es el mismo segmento, entonces �ABD � �CBD según SAS. Por lo tanto, AB�� CB�según CPCTC (las partes correspondientes de trián-gulos congruentes son congruentes).

1. c � 70° Suplemento de 110°.

a � b Conjetura del triángulo isósceles.

a � b � 70° � 180° Conjetura de la suma angular en

triángulos.

a � a � 70° � 180° Sustitución.

2a � 70° � 180° Combina términos similares.

2a � 110° Resta.

a � 55° División.

b � 55° Sustitución.

2. BC � 15 pulg Definición de un triángulo isósceles.

AB � 15 � 15 � 36 Perímetro.

30 � AB � 36 Suma.

AB � 6 pulg Resta.

m�B � 75° Conjetura del triánguloisósceles.

75° � 75° � m�C � 180° Conjetura de las suma

angular en triángulos.

150° � m�C � 180° Suma.

m�C � 30° Resta.


�ADB � �CDB�ADB y �CDBson ángulos rectos Todos los ángulos

rectos son congruentes.Definición deperpendicular

Dados

�ADB � �CDB AB � CB

Conjetura decongruencia SAS

Mismo segmento

CPCTC

BD � BD

Dados

AC � BD

AD � CD

7.



Descubrimiento y prueba de laspropiedades de los polígonos

C A P Í T U L O

5Resumen del contenidoEl Capítulo 5 extiende las exploraciones de las propiedades de los triángulos delcapítulo anterior para examinar propiedades compartidas por todos los polígonos.Los estudiantes comienzan investigando las sumas de los ángulos internos y externosde cualquier polígono. El capítulo luego se concentra en los cuadriláteros, que sonpolígonos de cuatro lados. Los estudiantes exploran las relaciones entre los lados,ángulos y diagonales de distintos cuadriláteros especiales, incluyendo la familia delos paralelogramos.

PolígonosEl capítulo comienza con conjeturas sobre los polígonos en general. Los estudiantesexperimentan para formar conjeturas acerca de la suma de los ángulos de cualquierpolígono y la suma de los ángulos externos de cualquier polígono. Escriben unaprueba de párrafo para la primera conjetura, contando con la conjetura de la sumaangular en triángulos del Capítulo 4.

CuadriláterosEl libro toma en cuanta las propiedades de tres categorías de cuadriláteros, como se ve en el diagrama: papalotes,trapecios y paralelogramos.

Los estudiantes exploran dos tipos de paralelogramos, rombos yrectángulos, así como los cuadrados, que son a la vez rombos yrectángulos. Los estudiantes descubren las propiedades de todos los tipos de cuadriláteros, incluyendo cómo se relacionan sus diagonales. En el caso de los trapecios, los estudiantes investigan los segmentos medios, a los cuales relacionan con los segmentosmedios de los triángulos.

Las propiedades de varios cuadriláteros pueden verse a partir de susimetría. Un papalote tiene simetría de reflexión a través de la diagonalentre sus ángulos del vértice; un trapecio isósceles tiene simetría dereflexión a través de la recta que pasa por los puntos medios de los lados paralelos; y un paralelogramo tiene simetría de rotación de orden 2 con respecto al punto en el cual se intersecan sus diagonales. Estas simetrías puedenayudar a explicar por qué ciertos pares de segmentos o ángulos son congruentes o perpendiculares.

Problema resumenHaga una copia del diagrama que se encuentra aquí arriba, pero con casillerosgrandes. Escriba en cada casillero las propiedades de ese tipo de figuras a medida quelas encuentra en el libro.


● Si agregas un casillero arriba del diagrama para polígonos en general, ¿quépropiedades puedes poner dentro de ese casillero?

● ¿Qué otro tipo de polígonos podrían ir en un diagrama expandido?

● ¿Dónde se podrían agregar los trapecios isósceles en tu diagrama?

● ¿Dónde se podrían agregar los dardos en tu diagrama?

● ¿Qué propiedades se te ocurren que aún no estén en tu diagrama?

● ¿Notas algún tipo de patrón sobre las propiedades que comparten los diferentestipos de polígonos?

Cuadriláteros

TrapecioPapalote

Paralelogramo

Cuadrado

RectánguloRombo


(continúa)



Capítulo 5 • Descubrimiento y prueba de las propiedades de los polígonos (continuación)

Ejemplos de respuestas

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.La suma de los ángulos internos es de 360º.

Cuadrilátero

La suma de los ángulos externos es de 360°.Un polígono de n lados tiene diagonales

y la suma de sus ángulos internos es de180� (n � 2).

Polígono

n(n � 3)________2

PapaloteUn papalote tiene exactamente dos distintos pares de lados congruentes. Los ángulos no del vértice

son congruentes. Las diagonales son perpendiculares. La diagonal entre los ángulos del

vértice biseca a la otra diagonal. Tiene exactamente una recta de simetría.

TrapecioUn trapecio tiene exactamente un par de lados

paralelos. Dos pares de ángulos adyacentes son suplementarios.

Trapecio isóscelesUn trapecio isósceles tiene dos pares de ángulos congruentes y al menos dos lados congruentes.

Sus diagonales son congruentes. Tiene una recta de simetría.

ParalelogramoLos lados opuestos de un

paralelogramo son congruentes y paralelos. Los ángulos opuestos son congruentes. Los ángulos adyacentes son suplementarios. Las diagonales se

bisecan entre sí.

RomboUn rombo posee todas las características de un paralelogramo. Cuatro lados son

congruentes. Las diagonales son perpendiculares. Tiene dos rectas de

simetría y simetría de rotación de orden 2.

RectánguloUn rectángulo posee todas las

características de un paralelogramo. Los ángulos son todos ángulos rectos. Tiene

dos rectas de simetría.

CuadradoUn cuadrado posee todas las

características de un rombo y de un rectángulo. Tiene cuatro rectas de

simetría. Tiene simetría de rotación de orden 4.

Dibujar los casilleros en la forma del polígono cuyas propiedades contienen puedehacer que el diagrama sea más interesante.


1. (Lecciones 5.1, 5.2) Halla la suma de las medidas de los ángulos internosde un 14-ágono regular. Luego halla la suma de los ángulos externos.

(Lecciones 5.1, 5.2, 5.4) Para los Ejercicios 2 y 3, halla las medidas marcadascon una letra en cada figura.

2.

3. Dado que C�D� � A�F�,�

BE � ?—.

m�ABE � ?—.

m�CDF � ?—.

4. (Lección 5.3) Dado el papalote ABCD,halla las medidas faltantes.

5. (Lección 5.5) El perímetro del paralelogramoABCD es de 46 pulg. Halla las longitudes de sus lados.

6. (Lecciones 5.6, 5.7) Dibuja un diagrama y escribe una prueba de párrafo para mostrarque las diagonales de un rectángulo son congruentes.

A B

CD

x � 4

3x – 1

B

CA

c

a

D

b

60�

10 cm

D C

F A

BE 75� 70�

32 cm

15 cm

a

b

c





1. Ángulos internos:

Suma de los ángulos internos � 180 (n � 2)� 180 (14 � 2) � 2160°

Ángulos externos � 360° para todos los polígonos

2. Para el hexágono:

La suma de los ángulos internos � 180 (n � 2)� 180 (6 � 2) � 720°

Cada ángulo � �72

60°� � 120°

a � 120°

b � 60° Par linear.

c � 60° Suma del triángulo.

3. BE � �15 �

232

� � 23.5 cm Segmento medio.

m�ABE � 110° Par linear.

m�CDF � 105° Ángulos suplementarios.

4. a � 90° Las diagonales de un papalote son

perpendiculares.

b � 10 cm Definición de papalote.

c � 30° Suma del triángulo.



5. 2(3x � 1) � 2(x � 4) � 46 Los lados opuestos

de un

paralelogramo

son congruentes.

6x � 2 � 2x � 8 � 46 Propiedad

distributiva.

8x � 6 � 46 Combina términos

similares.

8x � 40 Resta.

x � 5 División.

AB � 3(5) � 1 � 14 pulg Sustitución.

AD � 5 � 4 � 9 pulg Sustitución.

6. Ejemplo de respuesta:

Por definición, todos los ángulos de un rectánguloson congruentes, entonces �ABC � �DCB. Un rectángulo, como cualquier paralelogramo, tienelados opuestos congruentes, entonces AB�� DC��.Como es el mismo segmento, BC�� BC�. Entonces�ABC � �DCB según SAS, y AC�� DB� segúnCPCTC. Por lo tanto, las diagonales de un rectánguloson congruentes.

A B

CD



Descubrimiento y prueba de laspropiedades de los círculos

C A P Í T U L O

6Resumen del contenidoEn el Capítulo 6, los estudiantes continúan ampliando su comprensión de lageometría a medida que exploran las propiedades de los círculos. Algunas de estaspropiedades están asociadas a segmentos de recta relacionados con círculos; otraspropiedades están asociadas a arcos y ángulos. Un círculo se define como unconjunto de puntos equidistantes de un punto fijo, su centro.

Segmentos de recta relacionados con círculosLos segmentos de recta más conocidos relacionados con un círculo son suradio y su diámetro. De hecho, la palabra radio puede referirse tanto alsegmento de recta entre un punto sobre el círculo y su centro, como a lalongitud de dicho segmento. Igualmente, diámetro se refiere a un segmento de recta que tiene sus extremos sobre el círculo y que pasa por el centro, o a la longitud de dicho segmento.

El diámetro es un caso especial, porque es la cuerda más larga de un círculo;una cuerda es un segmento de recta cuyos extremos están sobre el círculo.Otro segmento de recta asociado con los círculos es un segmento tangente, quetoca al círculo en un solo punto y está sobre la recta tangente, que también tocaal círculo en un solo punto y es perpendicular al radio en este punto. Losestudiantes aprendieron acerca de estos segmentos en el Capítulo 1, y la Lección 6.1brinda un repaso rápido.

Arcos y ángulosUna parte del círculo en sí mismo es un arco. Si une cada extremo del arco con elcentro del círculo, forma el ángulo central que corta el arco. La medida de un arcopuede expresarse en grados —la cantidad de grados del ángulo central del arco. Estecapítulo explora varias relaciones de este tipo entre arcos, ángulos y segmentos. Losestudiantes también escribirán pruebas de párrafo y de organigrama para confirmarla universalidad de dichas relaciones.

La medida de un arco también puede expresarse como longitud. La longitud de unarco se calcula utilizando la circunferencia total, o distancia alrededor del círculo. Elnúmero � se define como la circunferencia de cualquier círculo dividido entre eldiámetro de dicho círculo; o, la circunferencia es � veces el diámetro. Por ejemplo, siun arco es �

14� del círculo completo, entonces su ángulo central mide �

14� de 360°, y su

longitud es de �14� de la circunferencia del círculo.

Problema resumenDibuje un diagrama del ángulo central que corte una cuerda de un círculo y su arco,como se ve en la ilustración.

Desplace los puntos A, B y C a distintas ubicaciones para ilustrar las ideas del capítulo.


● ¿Qué conceptos se ilustran en el dibujo original?

● ¿Cómo podrías desplazar cada uno de los puntos A, B y C para mostrar unángulo inscrito?

● ¿Cómo podrías desplazar cada uno de los puntos A, B y C para mostrarsegmentos tangentes?

(continúa)

Radio

Diámetro

Cuerda

Tangente

A

C

B



Capítulo 6 • Descubrimiento y prueba de las propiedades de los círculos (continuación)

● ¿Cómo podrías desplazar cada uno de los puntos A, B y C para mostrar unángulo inscrito en un semicírculo?

● ¿Cómo podrías desplazar cada uno de los puntos A, B y C para mostrar rectasparalelas que corten arcos congruentes?

Ejemplos de respuestas El dibujo original muestra un ángulo central, un sector, una cuerda y un arco. Si elcentro, C, se desplaza para que esté sobre el círculo, se forma un ángulo inscrito.

Si C se desplaza al exterior del círculo, y A y B se desplazan de modo que AC� y BC�sean tangentes, entonces esos segmentos son congruentes. O, la cuerda del diagrama original podría rotarse sobre uno de sus extremos hasta formar unsegmento tangente.

Si C se desplaza de modo que AC� sea el diámetro y B permanezca sobre el círculo,�ABC es un ángulo recto inscrito en un círculo.

Debería agregar otro punto y colocar a C sobre el círculo para mostrar dos cuerdas.Las cuerdas paralelas cortan arcos iguales si son equidistantes al centro.

Por supuesto que hay muchas otras respuestas posibles. Pídale a su estudiante a que piense en varias formas en que A, B y C pueden desplazarse para ilustrar losmismos conceptos.

AC

B


1. (Lección 6.1) Dada la tangente AB��, halla m�OAB, m�AOB,y m�ABO.

2. (Lecciones 6.2, 6.3) Halla las longitudes o medidas desconocidas.

3. (Lección 6.3) �ABC es un triángulo equilátero: Halla mAB�.

4. (Lección 6.4) Escribe una prueba de párrafo para probar lo siguiente:

Dado: Círculo A con los diámetros EC� y BD�.

Demuestra: ED� � BC�

5. (Lecciones 6.5, 6.7) Dado que la circunferencia del círculo A es24� pulg, halla el radio del círculo y la longitud de BDC�.

6. (Lecciones 6.1, 6.3) AB�� y BC�� son tangentes al círculo mostrado.AC�� ED��. Halla a y b.

C

B

D

E

A

15 m

a

b100�

140�

C

A

B120�

D

B

C

D

AE

A

BC

ac d

b10 cm

130�

A B

C

O

310�





4. Los diámetros CE� y BD� en el círculo A intersecanpara formar águlos congruentes opuestos por el vér-tice, entonces m�BAC � m�DAE. La medida de unarco es igual a la medida de su ángulo central. Por lotanto, mBC� � mED� porque las medidas de sus ángu-los centrales son iguales.

5. C � 2�r � 24� pulg; por lo tanto, r � 12 pulg.

mBDC� � 360° � 120° � 240°

La longitud de BDC� � �23

46

00� (24�) � 16� pulg.

6. mCD� � mAE� � a Las secantes paralelascortan los arcos congruentes.

100° � a � a � 140° � 360° 360° en un círculo.

a � 60° Resolver.

b � 15 m Los segmentos tangentes del mismopunto son congruentes.

1. m�AOB � 90° La tangente es per-pendicular al radio.

mAC� � 360° � 310° � 50° 360° en un círculo.

m�AOC � mAC� � 50° El ángulo central esigual a la medida delarco.

50° � 90° � m�ABO � 180° Suma angular entriángulos.

m�ABO � 40° Resta.

2. b � 90° El diámetro es perpendicular a lacuerda.

d � 10 cm El diámetro perpen-dicular a la cuerdabiseca la cuerda.

c � 180° � 130° � 50° 180° en un semicírculo.

a � �12�(130°) Ángulos inscritos.

m�a � 65° División.

3. AB � BC � AC Triángulo equilátero.

mAB� � mBC� � mAC� Los arcos congru-entes de las cuerdascongruentes.

mAB� � mBC� � mAC� � 360° 360° en un círculo.

mAB� � mAB� � mAB� � 360° Sustitución.

3mAB� � 360° Combina los térmi-nos semejantes.

mAB� � 120° División.





Transformaciones y teselacionesC A P Í T U L O

7Resumen del contenidoPensar en ideas desde diferentes perspectivas puede llevar a una comprensión másprofunda. Por ejemplo, las transformaciones geométricas pueden ayudar a losestudiantes a profundizar su comprensión de congruencia y simetría.

Puede pensar en una transformación geométrica como un cambio regular a unafigura en el plano. Por ejemplo, una figura puede deslizarse 5 hacia la derecha. O,una figura puede agrandarse al doble de su tamaño original.

El Capítulo 7 se concentra en transformaciones que no cambian el tamaño ni laforma de las figuras. Estas transformaciones se denominan isometrías. Lasexpansiones y contracciones denominadas dilataciones, se estudian en el Capítulo 11.

IsometríasHay tres tipos principales de isometrías: traslaciones, reflexiones y rotaciones.

Las traslaciones son simplemente deslizamientos. Los estudiantes utilizantraslaciones cuando hablan sobre teselaciones, donde una única figura es trasladada(deslizada) repetidamente en distintas direcciones para cubrir el plano sin espaciosvacíos ni superposiciones.

Las reflexiones voltean una forma a través de una recta para formar una imagenespecular. Si existe una recta a través de la cual una forma puede reflejarse paraestar exactamente sobre la original, entonces la figura tiene simetría de reflexión,como los estudiantes vieron en el Capítulo 0. Las reflexiones pueden usarse paradiseñar figuras capaces de cubrir el plano con una teselación. También puedenutilizarse para ayudar a hallar el camino más corto desde un objeto a una recta yde allí a otro objeto.

Las rotaciones rotan un objeto alrededor de un punto. Si existe un puntoalrededor del cual una forma puede rotarse en algún ángulo (menor de 360º) parallegar exactamente a la misma forma, entonces la figura tiene simetría de rotación(también presentada en el Capítulo 0). Las rotaciones también pueden usarse enel diseño de teselaciones.

Las isometrías le dan al estudiante una nueva forma de pensar acerca de lascongruencias. Dos figuras son congruentes si una puede ser transformada en laotra usando una isometría.

Composición de isometrías Una transformación seguida de otra es una composición de dichas transformaciones.Este capítulo toma en consideración las composiciones de dos reflexiones: lasreflexiones a lo largo de rectas paralelas (resultando en una traslación) y lasreflexiones a lo largo de rectas no paralelas (resultando en una rotación). En elcontexto de las teselaciones, este capítulo también examina las reflexiones dedeslizamiento, que son composiciones de una traslación y una reflexión.

(continúa)

Este patrón de baldosastiene simetría de rotaciónde orden 5 y simetría de

reflexión de orden 5.



Chapter 7 • Transformaciones y teselaciones (continuación)

Problema resumenHaga que su estudiante calque esta teselación en papel de calcar o papel encerado.Pregúntele cómo ilustra los conceptos en consideración.


● ¿Qué isometrías podrían utilizarse para convertir una parte de la figura en otra?

● ¿Cuál es la cuadrícula subyacente de esta teselación?

● ¿Podría hacerse esta teselación sólo con traslaciones?

● ¿Qué tipos de simetría tiene la figura completa?

Ejemplos de respuestas La teselación, basada en una cuadrícula de cuadriláteros de cuatro por cuatro, ilustramuchas transformaciones. Cada una de las figuras oscuras puede ser trasladada paracubrir una figura oscura que esté a dos filas o columnas de distancia. O, puede serrotada 180° para cubrir una figura clara de la misma fila. Para cubrir una figura clarade una fila adyacente, la figura oscura debe ser reflejada verticalmente, luegotrasladada. (Las tres transformaciones descritas también son ciertas para cada una delas figuras claras.) Cualquier bloque de cuatro figuras que se tocan en un puntopuede ser trasladado para cubrir todo el plano.


1. (Lección 7.1) Refleja la figura a través de PQ�� y rótala 180° alrededor delpunto M. ¿Tu respuesta cambia si primero la rotaras y luego la reflejaras?

2. (Lección 7.2) Traslada �ABC usando la regla (x, y) → (x � 3, y � 1).

3. (Lección 7.3) Nombra la rotación simple que puede reemplazar lacomposición de estas dos rotaciones alrededor el mismo centro derotación: 36° y 120°.

4. (Lección 7.1) ¿Qué letra mayúscula tienen simetría horizontal pero no vertical?

5. (Lección 7.1) ¿Qué letras mayúsculas tienen simetría horizontal, vertical yde rotación?

x

y

4

3

–4

4

1

2

–1

–2

–2 2

A

B

C

Q

M

P





2.

3. 36° � 120° � 156°

4. B, C, D, E, K

5. H, I, O, X

x

y

4

3

–4

4

1

2

–1

–2

–2 2

A

B

C

1. Reflexión:

Rotación:

No, la respuesta final es la misma.

Q

M

P

Q

M

P





Área C A P Í T U L O

8Resumen del contenidoSu estudiante puede ya haber visto fórmulas para las áreas de figuras geométricasestándares. Si es así, pregúntele el significado de esas fórmulas. Algunas preguntasapropiadas podrían ser, “¿Qué significa área?” y “¿Esta fórmula es aún válida si lafigura es rotada hasta tener una base distinta?”. Concéntrese en el hecho de que elárea se mide por el número de unidades cuadradas que llenarían una región.

Áreas de polígonosAlgunos estudiantes no poseen un concepto importante con respecto al área:Cuando una figura se recorta y sus partes se reacomodan, la figura resultante tiene lamisma área que la original. Con este concepto, los estudiantes entienden por qué lasfórmulas de área para paralelogramos, triángulos y trapecios pueden hallarseutilizando la fórmula del área de un rectángulo, y cómo las áreas de otras figurasplanas pueden hallarse utilizando áreas de triángulos.

Áreas de círculos y partes de círculosLos matemáticos de antaño descubrieron que la relación entre la circunferencia y eldiámetro es la misma para todo círculo, un numero que ahora llamamos �. Lo queno fue descubierto hasta más tarde es que el mismo número aparece en la fórmuladel área de una región encerrada por un círculo. Discovering Geometry muestraformas de conectar las ideas de circunferencia y de área para que las fórmulas seanmás comprensibles. Los estudiantes también aprenden a hallar las áreas de las partesde uno de los círculos a continuación relacionándolo estas formas con los círculos ylos triángulos.

Área superficialEl área superficial de un sólido se refiere al área de la superficie, que en realidad es dedos dimensiones. La superficie de un sólido a menudo está compuesta de formasestándares; para hallar la superficie, sus estudiantes hallarán la suma de las áreas deestas formas.

Algunos sólidos tienen una o dos bases cuyas áreas deben ser incluidas en la suma.También se incluyen las áreas de los lados (o caras laterales), que en este libro sonprincipalmente rectángulos o triángulos. La cara lateral de un cilindro, cuando seaplana, es un rectángulo. La cara lateral de un cono, cuando se aplana, es un sectorde un círculo. El área superficial de una esfera se toma en consideración en elCapítulo 10.

Cara lateral

Bases Base

Cara lateral

Corona circularSegmento de un círculoSector de un círculo

(continúa)



Chapter 8 • Área (continued)

Problema resumen¿Cuál es el área superficial de esta escultura de piedra? Cada una de las basesparalelas comenzó como un círculo. La mitad de cada círculo se dejó intacta.La otra mitad se cortó tres veces, dejando tres lados de un hexágono regular.


● ¿Puedes hallar el área de partes de la figura?

● ¿Cómo se relaciona un hexágono regular con el círculo en el cual está inscrito?

● ¿Cómo se relaciona el radio del círculo con la longitud de uno de los lados rectos?

● Como desafío extra, piensa qué sucedería si se recortara más piedra de laescultura hasta que vaya gradualmente desde la base inferior hasta el punto delcentro de lo que es actualmente la base superior. ¿Cuál sería el área superficial?

Ejemplos de respuestas Calcular el área superficial implica identificar todas las superficies, luegosistemáticamente calcular y sumar sus áreas. Pídale a su estudiante que seasistemático y organizado. Cuando hagan los cálculos, los estudiantes deben revisar sutrabajo. También ayuda el estimar la respuesta primero para asegurarse de que no secometan grandes errores.

Cada base consiste de un semicírculo y la mitad de un hexágono regular. Como se

muestra en el diagrama a la derecha, el medio hexágono se puede dividir en tres

triángulos equiláteros congruentes, de modo que el radio del semicírculo es de 8

pulg. El área del semicírculo es de �12��r2 � �

12��(8)2 � 32� pulg2. El área de cada

triángulo equilátero es �12�(8)�4�3�� 16�3� pulg2, entonces el área del medio

hexágono es 48�3� pulg2. El área de cada base es entonces 48�3� � 32� pulg2.

Cada una de las caras laterales rectangulares tiene un área de 8 � 18 � 144 pulg2.Si se recortara la cara lateral curva y se aplanara, formaría un rectángulo de 18 pulgde altura. El ancho de ese rectángulo será la mitad de la circunferencia del círculo,ó �

12� � 2�r � �

12� � 2�(8)� 8� pulg. El área de esta cara lateral, entonces, es 18 � 8� �

144� pulg2.

Entonces las caras de la escultura tienen estas áreas en pulgadas cuadradas:

● 2 bases: 48�3� � 32� pulg2

● 3 caras laterales rectangulares: 144 pulg2

● 1 cara lateral curva: 144� pulg2

El área superficial total es 2(48�3� � 32�� 3(144) � 144� � 96�3� � 208� �432, o cerca de 1252 pulg2.

Si la base superior de la escultura fuera tallada hasta un punto, la superficie curva se

convertiría en medio cono y el resto en media pirámide hexagonal. Puede usar esta

pregunta para motivar el estudio del Teorema de Pitágoras del Capítulo 9. Un

estudiante que recuerde este teorema de un curso previo, puede calcular la altura

oblicua del cono como �82 � 1�82� � �388� y la altura oblicua de las caras laterales

de la media pirámide es ��4�3��2 � 18�2� � �372�. El área superficial de un cono

es �r l � �r 2 � �(8)��388�� (8)2. La mitad del cono tendría la mitad del área

superficial o 4��388� � 32�. Las caras laterales de la media pirámide tendrían un

área de �12�bh � �

12�(8)��372��, ó 4�372�. La base de abajo seguiría teniendo un área de

48�3� � 32�. Entonces, el área total de la figura sería 4��388� � 32� �

3�4�372�� 48�3� � 32�, que es aproximadamente 763 pulg2.

8 pulg

8 pulg

8 pulg

4 3 pulg�

18 pulg

8 pulg

4 3 pulg�


1. (Lección 8.1) Halla el área del cuadrilátero ABCD con los vértices (1, 2),(4, 2), (�1, �2), (2, �2).

2. (Lecciones 8.2, 8.4) Halla el área de cada figura.

a. Papalote ABCD b. Triángulo c. Hexágono regular

3. (Lecciones 8.1, 8.2, 8.3) Shahin quiere alfombrar los pisos en susala y su cuarto. Si la alfombra, bajoalfombra e instalación cuestan$30 por yarda cuadrada, ¿cuánto costará?

4. (Lecciones 8.5, 8.6) Halla el área de la región sombreada. Deja lasrespuestas en términos de �.

5. (Lección 8.7) Halla el área superficial de esta pirámide cuadrada.

8 pulg

8 pulg

9 pulg

5 cm

120�

20 pulg

10 3 pulg�4 cm

20 cm

15 cm

9 cm

B D

A

C

2.5 cm

7 cm

3 cm




10 pies

10 pies

15 pies

20 pies

Cuarto

Sala


3. Cuarto (trapecio): A � �12�h�b1 � b2� �

�12� � 10(10 � 20) � 150 pies2

Sala (rectángulo): A � bh � (15)(20) � 300 pies2

Área total � 150 � 300 � 450 pies2

Para hallar el área en yardas cuadradas:

450 pies2 � �13

yfdt� �2

� 450 pies2 � �19

yfdt2

2

� � 50 yd2

Costo total � 50 yd2 � �$y3d

02� � $1500.00

4. r � 5 cm

La medida del ángulo del sector � 360° � 120° � 240°

Área de un sector � �234600� � �r2 � �

234600� � �(5)2 � �

503�

� cm2

5. A � 4��12�bh� � b2

A � 4��12� � 8 � 9� � 82 � 208 pulg2

1. Después de graficar lospuntos, descubrimos que elcuadrilátero es un paralel-ogramo cuya base es igual a3 unidades y altura igual a4 unidades. Halla el área:

A � bh

A � (3)(4)

A � 12 unidades cuadradas

2. a. A � �12�d1d2

A � �12�(10)(5) � 25 cm2

b. A � �12�bh

A � �12�(19)(9) � 85.5 cm2

c. A � �12�aP

P � 6 � 20 � 120 pulg

A � �12��10�3��(120) � 1039 pulg2



x

y

44

3

–4

2

4

–4 9 pies23 pies



El Teorema de PitágorasC A P Í T U L O

9Resumen del contenidoUno de los teoremas más recordados de la geometría es el Teorema de Pitágoras.Este capítulo comienza revisando el Teorema de Pitágoras y luego tomando enconsideración su recíproco. Luego examina los medios rápidos en el caso detriángulos especiales. Finalmente, el Teorema de Pitágoras se utiliza para calculardistancias en el plano de coordenadas, haciendo posible escribir una ecuación de un círculo.

El Teorema de Pitágoras y su recíprocoMucha gente identifica el Teorema de Pitágoras como a 2 + b 2 � c 2, sin recordar quérepresentan a, b y c. El teorema en realidad dice que si a, b y c son las longitudes delos lados de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es de longitud c, entonces a 2 + b 2 � c 2.

El recíproco del Teorema de Pitágoras también es verdadero: Si a, b y c son laslongitudes de los lados de un triángulo, y si a 2 � b 2 � c 2, entonces el triángulo es untriángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud c.

Aplicaciones a triángulosDiscovering Geometry ilustra cómo aplicar el Teorema de Pitágoras para resolverproblemas del mundo real. También aplica el teorema para hallar los lados relativos de dos triángulos rectángulos especiales: el triángulo de 45°-45°-90°, que es la mitad de un cuadrado; y el triángulo de 30°-60°-90°, que es la mitad de untriángulo equilátero.

Aplicaciones a círculos De álgebra, los estudiantes saben cómo escribir ecuaciones para representar rectas yparábolas. Junto con las conjeturas del Capítulo 6, el Teorema de Pitágoras puede serutilizado para desarrollar ecuaciones de círculos. La reformulación del Teorema dePitágoras en geometría de coordenadas es la fórmula de distancia, que dice cómoencontrar la distancia entre dos puntos cuyas coordenadas se conocen. De estafórmula, el libro deriva la ecuación de un círculo.

y

d

y2

y1

x1 x2x

(x1, y1)

d 2 � (x2 � x1) 2 � (y2 � y1) 2

(x2, y2)

(continúa)



Capítulo 9 • El Teorema de Pitágoras (continuación)

Problema resumen¿Por qué la ecuación general de un círculo es (x � h)2 � (y � k)2 � r 2 ?


● ¿Qué números representan h, k y r?

● ¿Qué puntos satisfacen la ecuación si h y k son ambos 0?

● ¿Qué puedes decir acerca de la distancia desde cualquier punto sobre un círculohasta el centro?

● ¿Cómo se compara esta ecuación con la fórmula de la distancia?

● ¿Por qué la suma de los cuadrados de la izquierda es igual al cuadrado de la derecha?

Ejemplos de respuestas Sugiérale a su estudiante que relacione esta ecuación con la fórmula de la distanciaque se muestra más arriba. Mirando el diagrama, imagine que el punto �x 1, y 1� es elcentro de un círculo, y que todos los puntos del círculo están a una distancia d delmismo. Si vuelve a nombrar el centro (h, k) y la distancia r, puede ver que el círculoson todos los puntos (x, y) que están a dicha distancia de (h, k).

Si el centro está en el punto (0, 0), todos los puntos que satisfacen la ecuación están auna distancia r del origen —esto es, todos están en un círculo centrado en el origende radio r.

La ecuación de ese círculo es x 2 � y 2 � r 2, que es el Teorema de Pitágoras. Intentehacer que su estudiante use un compás para dibujar un círculo centrado en el origencon cierto radio (por ejemplo, 5 ó 10), y luego pídale que identifique algunos puntossobre ese círculo y los reemplace en la ecuación.


Redondea las soluciones al décimo de unidad más cercano.

1. (Lección 9.1) Halla cada longitud faltante.

2. (Lección 9.2) Un triángulo cuyos lados miden 3 pies, 4 pies y 5 pies ¿es untriángulo rectángulo? Justifica tu respuesta.

3. (Lecciones 9.3, 9.4) Si un televisor de 40 pulg tiene una diagonal igual a40 pulg, como se muestra aquí. Halla las dimensiones del televisor.

4. (Lección 9.5) Halla la ecuación del círculo con los extremos del diámetro(–2, 2) y (4, 2).

5. (Lección 9.6) Halla el área de la región sombreada.

45° 4 m

30�

40 pulg

a

6 cm

b

19 cm





4. Si se usa el diámetro dado, el centro está en (1, 2) y el radio es 3. Incorpora estos valores en la ecuación de círculo.

(x � 1)2 � (y � 2)2 � 9

5. El triángulo es 45°-45°-90°, entonces el diámetro es4�2� m.

r � �12��4�2�� 2�2� m

Área del semicírculo � �12� area del círculo � �

12��r 2 �

�12��2�2��

2� �

12��(4 � 2) � 4� m2

Área del triángulo � �12�bh � �

12�(4)(4) � 8 m2

Área de la región sombreada � área del semicírculo � área del triángulo � 4� � 8 � 4.6 m 2

1. a � 6 cm Segmentos congruentes.

62 � b2 � 192 Teorema de Pitágoras.

36 � b2 � 361

b2 � 325

b � 18.0 cm

2. Si los lados con longitudes 3, 4 y 5 forman un triángulorectángulo, el Teorema de Pitágoras debería ser unaafirmación verdadera:

32 � 42 � 52

25 � 25

Entonces, es un triángulo rectángulo.

3. Usa la conjetura de la suma angular de un triángulopara hallar el otro ángulo de un triángulo rectángulo.El triángulo es 30°-60°-90°, entonces puedes usar elmedio rápido.

a � �12�(40) � 20 pulg

b � a�3� � 20�3� � 34.6 pulg

a

b

60�

30�

40 pulg





Volumen C A P Í T U L O

10Resumen del contenidoEn geometría, la palabra sólido se refiere a la cáscara de una figura tridimensional,sin incluir su interior. Los sólidos pueden clasificarse de muchas formas en base a suforma. Los cinco sólidos regulares tienen caras que son polígonos regularescongruentes y ángulos que son todos congruentes.

Dodecaedro regular(12 caras)

Hexaedro regular(6 caras)

Icosaedro regular(20 caras)

Octaedro regular(8 caras)

Tetraedro regular(4 caras)

(continúa)

Así como el área se mide como el número de unidades cuadradas que llenancompletamente una región, el volumen se mide como el número de unidadescúbicas que llenan completamente un espacio. Pueden ser pulgadas cúbicas (pulg3),centímetros cúbicos (cm3) u otras unidades de volumen.

Este capítulo contiene fórmulas del volumen de bastantes sólidos. Su estudiantedebería ser capaz de reconocer estas fórmulas a través de la visualización y unabuena comprensión del volumen, y utilizarlas para resolver problemas prácticos.

Prismas y cilindrosMuchos sólidos comunes, como cajas de cartón, tienen por lo menos un par de carasparalelas y, generalmente, congruentes. Si estas caras son polígonos y estánconectadas por lados que son paralelogramos, el sólido se denomina prisma. Si lascaras son círculos unidos por un solo lado, el sólido es un cilindro. En ambos casos,las caras paralelas se denominan bases.

Para ayudar a su estudiante a pensar sobre el volumen de un prisma o un cilindro,podría sugerirle que imagine el prisma sobre una mesa con una de las bases haciaabajo. Luego que cubra la base inferior con una capa de cubos. Algunos cubosdeberán cortarse para caber dentro del sólido. De todos modos, cada uno de estoscubos brinda una unidad cuadrada sobre la base, entonces el número de estos cuboses el área de la base. Si coloca otra capa de cubos encima de la primera, y luego otracapa sobre ésta, y así sucesivamente, puede llenar el prisma. El volumen —el númerode cubos en todo el espacio— es igual al número de cubos sobre la base multiplicadopor el número de capas. O sea, el volumen es el área de la base multiplicada por laaltura del sólido.

Pirámides y conosSuponga que tiene una pirámide o un cono. El sólido tiene una base y se vaestrechando hacia un punto. Si la base es un polígono, el sólido puntiagudo es unapirámide. Si la base es un círculo el sólido puntiagudo es un cono. Si lo apoya sobresu base, cada capa será más pequeña que la capa inferior. Es interesante comparar elvolumen de un sólido puntiagudo con el volumen de un prisma o cilindro con lamisma base. De modo sorprendente, la relación entre sus volúmenes es siempre de 1 a 3. Entonces el volumen de un sólido puntiagudo es �

13� del volumen del prisma

o cilindro con la misma base y altura.


Chapter 10 • Volumen (continuación)

Esferas Discovering Geometry pide a los estudiantes que hallenel volumen de una esfera (en realidad un hemisferio)midiendo la cantidad de agua que contendríacomparada con un cilindro del mismo radio y altura.Para ayudar a su estudiante a recordar esta fórmula,puede usar una comparación distinta: Pregúntele quérelación hay entre el volumen de un hemisferio y el volumen de un cono con lamisma base y altura. Claramente, el hemisferio tiene mayor volumen. Resulta ser queel hemisferio tiene el doble de volumen. Si la esfera tiene radio r, entonces el área dela base (del cono y del hemisferio) es �r 2. La altura del hemisferio y el cono tambiénes r, entonces el volumen del cono es �

13�(�r 2)(r), o �

13��r 3, de modo que el volumen del

hemisferio es �23��r 3. El volumen de la esfera es, entonces, el doble de esta cantidad, o

sea �43� πr 3.

Para ayudar a recordar la fórmula para el área superficial de una esfera, puedesugerir que su estudiante imagine un pedazo de papel recortado como un círculoque corresponda con la base del hemisferio. Este papel no será suficiente para cubrirtodo el hemisferio. Interesantemente, sin embargo, cubriría exactamente la mitad delmismo. Entonces el área superficial de la esfera es 4 veces el área de dicho círculo. Osea, el área superficial es 4�r 2.

Problema resumenUn helado en una heladería tiene forma de cono con un hemisferio en la partesuperior. El cono tiene 22 cm de altura. El diámetro del hemisferio es de 13 cm.El helado viene envasado apretado en una caja con forma de prisma con basescuadradas. ¿Cuáles son los volúmenes de la caja y del helado?


● ¿Cuáles son las dimensiones (longitud, ancho y altura) de la caja de envase?

● ¿Cuál es el volumen de la caja de envase?

● ¿Cuál sería el volumen de la caja de envase si fuera sustituida por un cilindro?

● ¿Cuál es el volumen del cono?

● ¿Cuál es el volumen del hemisferio?

Ejemplos de respuestas Supongamos que el helado está envasado perfectamente vertical. (Si el productoestuviera envasado inclinado para que la punta del cono encaje en una esquina, unacaja levemente más pequeña podría ser posible). Las dimensiones de la base de la cajade envase deben ser iguales al diámetro del hemisferio, o 13 cm. El hemisferio tieneradio 6.5 cm, entonces la altura de la caja de envase es de 28.5 cm. Entonces elvolumen de la caja de envase es 13 � 13 � 28.5, ó 4816.5 cm3. Si la caja de envase fueraen cambio un cilindro, las bases serían círculos de radio 6.5 cm, entonces sus áreasserían �(6.5)2, y el volumen de la caja sería �(6.5)2(28.5), o sea aproximadamente3783 cm3.

El cono tiene un área de base de �(6.5)2 y altura de 22, entonces su volumen

es �13��(6.5)2(22), o aproximadamente 973.4 cm3. La hemisferio tiene volumen

�12� ��

43��(6.5)3�, lo cual es aproximadamente 575.2 cm3. Entonces el volumen del helado

es aproximadamente 1549 cm3.


Centro

HemisferioCono

r

Radio

r



1. (Lecciones 10.1, 10.2) Usa el prima triangular para contestar lo siguiente:

a. Nombra las bases del prisma.

b. ¿Cuál es el área de una base?

c. ¿Cuál es la altura del prisma?

d. Halla el volumen.

2. (Lecciones 10.2, 10.3) Halla el volumen de cada sólido.

a. Pirámide rectangular b. Cono c. Esfera

3. (Lecciones 10.3, 10.4) Un bebedero cilíndrico semicircular tieneun diámetro de 3 pies y una longitud de 5 pies. Si 1 pie cúbicode agua tiene aproximadamente 7.5 galones, ¿qué capacidadtiene el bebedero en galones?

4. (Lección 10.5) Arrojas una piedra dentro de un cilindro con un radio de 3 pulg, haciendo subir el nivel del agua 1 pulg. ¿Qué volumen tiene la piedra?

5. (Lección 10.7) Halla el volumen y área superficial de este hemisferio.10 pulg

5 m3 cm

1 cm

19 m

12 m20 m

3 m

6 cm

12 cm5 cm

A C

FD

B

E

3 pies

5 pies

3 pulg




3. r � �12�(3) � 1.5 pies

V � BH, donde la base es un semicírculo y H es lalongitud del bebedero

V � ��12��r 2�H

V � �12��(1.5)2(5) � 17.7 pies3

17.7 pies3 � � 133 gal

4. La nueva “rebanada” de agua tiene la forma de uncilindro con un radio de 3 y una altura de 1. El volumen de este cilindro es � �r 2H � �(3)2(1) �9� � 28.3 pulg3.

5. El volumen del hemisferio � �12� del volumen de

la esfera

V � �12� ��

43��r 3�

V � �12� ��

43��(10)3� � 2094.4 pulg3

El área superficial del hemisferio � �12� del área super-

ficial de la esfera � área de la base

SA � �12�(4�r 2) � �r 2

SA � �12�[4�(10)2] � �(10)2 � 300� � 942.5 pulg2

7.5 gal}1 ft3

1. a. �ABC y �DEF son las bases.

b. A � �12�bh

A � �12�(6)(5) � 15 cm2

c. H � 12 cm

d. V � BH (B � área de la base; H � altura del prisma)

V � (15)(12) � 180 cm3

2. a. V � �13�BH

B � (3)(19) � 57 m2

H � 12 m

V � �13�(57)(12) � 228 m3

b. V � �13�BH

V � �13�(�r 2)H

V � �13��(1)2(3) � � � 3.1 cm3

c. V � �43��r 3

V � �43��(5)3 � �

5030�� 523.6 m3



1 pies3



SemejanzaC A P Í T U L O

11Resumen del contenidoUno de los tipos de pensamiento más importantes en las matemáticas es elrazonamiento proporcional —aplicar lo que sabemos de una figura a figuras másgrandes o más pequeñas. En el Capítulo 11 los estudiantes tienen la oportunidad depracticar este tipo de pensamiento aplicándolo a figuras semejantes —figuras queson agrandamientos (estiramientos) o reducciones (encogimientos) entre sí. Unatransformación que estira o encoge a una figura por el mismo factor en todasdirecciones es una dilatación, y el factor se denomina factor de escala.

Polígonos semejantesEn el uso diario, “semejante” significa parecido en algunas maneras. Pero engeometría, semejante significa exactamente la misma forma (pero no necesariamenteel mismo tamaño). Dos polígonos son semejantes si sus ángulos correspondientesson congruentes y las longitudes de los lados correspondientes tienen todas la mismarazón. Esta razón se denomina el factor de escala. Las razones de las longitudes deotras partes correspondientes de triángulos semejantes son iguales al factor de escala.El libro se concentra en triángulos semejantes y —tal como con la congruencia—halla medios rápidos para determinar semejanza. Estos medios rápidos puedenaplicarse para calcular longitudes que no pueden medirse directamente, tal como laaltura de un mástil de bandera.

Rectas paralelasSi se dibujan rectas entre dos lados de un triángulo y son paralelas al tercer lado,entonces cada recta crea un nuevo triángulo semejante al original. Entonces, estasrectas dividen proporcionalmente los dos lados que cortan.

Área y volumen Algunos de los resultados más importantes y sorprendentes implican las relacionesentre las áreas o volúmenes de figuras semejantes. Suponga que duplica la longitud yel ancho de un rectángulo para formar un rectángulo más grande. Podría esperarque el área sea el doble, pero de hecho es el cuádruple, o aumenta con un factor 4.

Si cualquier figura bidimensional se dilatada con un factor de escala r, entonces suárea se multiplica por r2. Igualmente, si una figura tridimensional se dilatada con unfactor de escala r, entonces su volumen se multiplica por r3. (Las áreas superficialesde sus caras, que son bidimensionales, se multiplican por r2.) Por ejemplo, si unaesfera se agranda con un factor 1.5 (su radio se multiplica por 1.5), entonces suvolumen se multiplica por 1.53 � 3.375, y su área superficial se multiplica por 1.52 � 2.25.

(continúa)


Problema resumenDibuje un pentágono en papel cuadriculado, tal como en la Lección 11.1,Investigación 2. Elija cualquier constante como su factor de escala. Multiplique lascoordenadas de cada vértice por esa constante para ubicar los vértices de un nuevopentágono. ¿Cómo se comparan los dos pentágonos?


● ¿Son semejantes los pentágonos?

● ¿De cuántas formas puedes demostrar que son semejantes?

● ¿Cómo se compara el área del nuevo pentágono con el área del original?

● ¿Qué factores de escala utilizarías para agrandar el pentágono original? ¿Qué factores de escala utilizarías para hacer un pentágono más pequeño?

Ejemplos de respuestas Para verificar la semejanza, debemos demostrar que los lados correspondientes sonproporcionales y que los ángulos correspondientes son congruentes. Su estudiantepuede verificar que los lados son proporcionales ya sea midiendo las longitudes delos lados correspondientes y escribiendo sus razones o dibujando segmentos desde elorigen a los vértices y aplicando la conjetura ampliada de paralelismo/proporcionalidad (hallando cinco pares de triángulos semejantes). Puede verificar lacongruencia de los ángulos correspondientes midiéndolos o aplicando el mediorápido de semejanza SSS a triángulos en los que puede dividirse el pentágono. Unavez que se conoce el factor de escala, puede elevarse al cuadrado para determinar larazón entre las áreas. Los factores de escala mayores que 1 agrandarán la figura,mientras que los factores de escala menores que 1 reducirán el tamaño.


Capítulo 11 • Semejanza (continuación)


Redondea tus soluciones al décimo de unidad más cercano a menos que seindique lo contrario.

1. (Lección 11.1) ABCD � FGHI. Halla a y b.

2. (Leccion 11.2) ¿Qué medio rápido de semejanza se puede usar parademostrar que �ABC � �EBD? Halla a y b.

3. (Lección 11.3) Rafael tiene 1.8 m de altura y proyecta una sombra de 0.5 m. Si a la misma hora un árbol cercano proyecta una sombra de 1.5 m, ¿qué altura tiene el árbol?

4. (Lección 11.4) Halla x.

5. (Lección 11.5) ABCD � EFGH.

Área de ABCD � 15 cm2

Área de EFGH � ?

6. (Lección 11.6) Prisma triangular pequeño � prisma triangular grande

Volumen del prisma pequeño � 48 pulg3

Volumen del prisma grande � ?

7. (Lección 11.7) EB � CD. Halla a.

23

16

12

E

A

Ba

CD

11

6

3

B C

A D

7

F G

E H

15

4 9

x

38�111�

A aB

C

D

E

4.5

97.5

13.53b

B

13 m

55�

110�

18 mA D

C

G

7a

bF I

H





4. La bisectriz del ángulo divide el lado opuesto en seg-mentos que son proporcionales a los otros dos ladosdel triángulo. Fija una proporción y resuelve.

�1x5� � �

49�

x � 6.7 cm

5. Cuando dos figuras son semejantes, la razón de susáreas es el cuadrado del factor de escala.

�AEH

D� � �

37� El factor de escala

es la razón de los lados correspondientes.

⎯ÁÁ

rreeaa

dd

ee

AEF

BGC

HD⎯ � ��

37��2

� �499� La razón de las

áreas es el

cuadrado del factor

de escala.

�1x5� � �4

99� Sustituye los

valores.

x � 81.7 cm2 Resuelve para x.

6. Factor de escala � �161� Halla el factor de

escala.

�VV

s

la

m

rg

a

e

ll

p

p

r

r

i

i

s

s

m

m� � ��1

61��

3La razón de losvolúmenes es igualal cubo del factorde escala.

�4x8� � �1

231361� Sustituye los

valores.

x � 295.8 in3 Resuelve para x.

7. Por la proporcionalidad de las paralelas, los lados correspondientes son proporcionales.

�AA

CB� � �D

EBC�

�121�2

a� � �12

63� Sustituye los

valores.

12 � 23 � 16(12 � a) Multiplica amboslados por 23 (12 � a).

276 � 192 � 16a Distribuye.

a � 5.25 Resuelve para a.

1. Como los cuadriláteros son semejantes, los ánguloscorrespondientes son congruentes.

Entonces, a � m�G � m�B � 110°.

Como los dos cuadriláteros son semejantes, podemosfijar una proporción para hallar la longitud faltante.

�173� � �

1b8�

13b � 18 � 7 Multiplica ambos lados por 7; multiplicaambos lados por b.

b � 9.7 m Resuelve para b.

2. Dos pares de lados correspondientes son propor-cionales ��

143..55

� � �93�� y sus ángulos incluidos son con-

gruentes (ángulos opuestos por el vértice m�ABC y�EBD), entonces los triángulos son semejantes por laconjetura de semejanza SAS. Para hallar a, usa la con-jetura de la suma angular en triángulos para hallar�ABC: 180° � 38° � 111° � 31°. Como �ABC ��EBD, a � m�EBD � 31°. Para hallar b, resuelvela proporción.

�39

� � �7b.5�

9b � 7.5 � 3 Multiplica ambos lados por 3; multiplicaambos lados por b.

b � 2.5 cm Resuelve para b.

3. Como los rayos del sol entran con un mismo ángulo auna hora del día en particular, todas las personas uobjetos y sus sombras forman triángulos rectángulossemejantes. Entonces, la altura de Rafael y la longitudde su sombra son proporcionales a la altura del árboly la longitud de su sombra.

�10

.

.85� � �1

x.5�

x � 5.4 Multiplica ambos lados por 1.5.

El árbol tiene 5.4 m de altura.

1.5 m

1.8 m

0.5 m

x



Vprisma pequeño

Vprisma grande



TrigonometríaC A P Í T U L O

12Resumen del contenidoSi dos triángulos son semejantes, entonces sus lados correspondientes tienen lamisma razón de longitudes. Digamos �a

a�� b

b��. Pero las razones de las longitudes de

lados correspondientes de cada triángulo también son iguales: �ab� � �

ab��.

Ahora si dos triángulos rectángulos tienen un segundo ángulo congruente (ademásde sus ángulos rectos), entonces sus terceros ángulos también serán congruentes(por la conjetura de la suma angular en triángulos), de modo que los triángulosserán semejantes (por AAA). Por ende, las razones de las longitudes de los ladoscorrespondientes de cada triángulo también son iguales. En otras palabras, todos lostriángulos rectángulos con una cierta medida de ángulo agudo, digamos 35°, sonsemejantes entre sí. Entonces, las varias razones de las longitudes de los lados estánasociadas con cualquier ángulo agudo, y éstas son las mismas para todos lostriángulos rectángulos que contienen este ángulo.

Razones trigonométricas El estudio de las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos se denominatrigonometría. La razón entre las longitudes de dos lados en un triángulo rectángulose denomina razón trigonométrica. Las tres razones más comúnmente utilizadas —seno, coseno y tangente— son el foco de este capítulo. El seno (abreviado sin) de unángulo es la razón entre la longitud del cateto opuesto y la hipotenusa. Por ejemploel seno de 30° es �

12�. Esto significa que en cualquier triángulo rectángulo con

un ángulo de 30°, el cateto opuesto al ángulo de 30° tiene �12� de la longitud de la

hipotenusa. El coseno (abreviado cos) de un ángulo es la razón entre el catetoadyacente y la hipotenusa. La tangente (abreviada tan) es la razón entre el catetoopuesto y el cateto adyacente. Las razones trigonométricas para diversas medidas deángulos pueden buscarse en una tabla trigonométrica. También pueden hallarseutilizando una calculadora con teclas de sin, cos y tan. Por ejemplo, sin 30° dará 0.5siempre y cuando la calculadora este en la modalidad de grados. Algunos problemasrequieren el inverso del seno, coseno o tangente —se conoce la razón de laslongitudes y se necesita el ángulo. El inverso también puede hallarse utilizando unacalculadora. Por ejemplo, sin�1 0.5 � 30.

Este capítulo se concentra principalmente en triángulos rectángulos, pero cualquiertriángulo siempre puede dividirse en dos triángulos rectángulos. Entonces, latrigonometría también nos ayuda a comprender otros tipos de triángulos y brindamedios rápidos para trabajar con triángulos no-rectángulos de igual manera. La Leyde los senos, la Ley de los cosenos y la conjetura del área SAS son válidas para todoslos triángulos.

aa�

b�b35� 35�

(continúa)



Problema resumen¿Cómo puede hallar el área de una parcela de tierra triangular cuyos lados tienen 5 km, 8 km y 9 km?


● ¿Qué sabes acerca del las áreas de los triángulos?

● ¿Qué necesitarías saber para aplicar la fórmula que usa la base y la altitud?

● ¿Cómo podrías determinar esas cantidades?

Ejemplos de respuestas Su estudiante puede haber visto o no la fórmula de Herón en la exploración defórmulas de área alternativas del Capítulo 8. Esta fórmula da cerca de 19.9 km2.Probablemente, los estudiantes pensarán en la fórmula estándar del área de untriángulo, A � �

12�bh. Sin embargo la altura debe medirse perpendicularmente a la

base. Cualquier lado puede servir de base; para hallar la altitud con respecto a eselado, los estudiantes necesitan un ángulo. Pueden utilizar la Ley de los cosenos paraencontrar un ángulo en un extremo de la base elegida. Luego pueden aplicar laconjetura del área de un triángulo SAS para hallar el área. Por ejemplo, si la baseelegida es el lado de longitud 9 km, entonces el ángulo x entre ese lado y el lado delongitud 8 km, puede hallarse utilizando la Ley de los cosenos:

52 � 92 � 82 � 2(9)(8)cos x Sustituya los valores en la Ley de los Cosenos.

�25 �

�81144

� 64�� cos x Resuelva para cos x.

x � cos�1 ��56�� Use el coseno inverso para hallar x.

x � 33.6°

El seno de este ángulo es la razón entre la altitud y el lado de longitud 8 km. Laaltitud es entonces 8 veces el seno de este ángulo, o aproximadamente 4.42 km. Elárea es 0.5(4.42)(9), aproximadamente 19.9 km2.

Capítulo 12 • Trigonometría (continuación)


1. (Lecciones 12.1, 12.2) Halla la medida faltante redondeándola al décimode unidad más cercano.

a. b.

2. (Lecciones 12.3, 12.4) Halla las longitudes faltantes al centímetro más cercano.

a. b.

3. (Lección 12.5) Radha está piloteando su avión con la inclinación que semuestra. Su velocidad es de 125 mi/h. Hay viento de costado de 15 mi/h.¿Cuál es la velocidad resultante T ?

65�

15

125

15�

52 cm 48 cm

y

40�

95�32 cm x

y

x22 cm

20 cm

y

x

62�12 cm





3. La diagonal del paralelogramo es la velocidad resultante. Puedes usar la Ley de los cosenos, peronecesitas saber por lo menos la medida de un ánguloen el triángulo sombreado. Como el diagrama es un paralelogramo, los ángulos adyacentes son suplementarios.

Por lo tanto, 65° � x � 180, entonces x � 115°. Ahorapuedes usar la Ley de los cosenos para hallar r.

r 2 � 152 � 1252 � 2(15)(125)cos 115°

r 2 � 17,434.8

r � 132 mi/h

65�

15

125

x

r

1. a. tan 62° � �1x2�

x � 12 tan 62°

x � 22.6 cm

cos 62° � �1y2�

y cos 62° � 12

y � �co1s262°�

y � 25.6 cm

b. tanx � �22

02�

tanx � 0.909

x � tan�1 (0.909)

x � 42.3°

y � 180° � 90° � x

y � 47.7°

2. a. Según la conjetura de la suma angular en triángulos,el ángulo faltante es de 45°.

Ley de los senos:

�sin

3245°� � �

sinx40°�

x sin45° � 32 sin40°

x � �32

sisnin45

4°0°

�

x � 29.1 cm

b. Ley de los cosenos

y 2 � 522 � 482 � 2(52)(48)cos15°

y 2 � 186.1

y � 13.6 cm





Geometría como sistemamatemático

C A P Í T U L O

13Resumen del contenidoHabiendo experimentado todos los conceptos de un curso estándar de geometría, losestudiantes están listos para examinar el marco de trabajo del conocimientogeométrico que han aprendido. Los estudiantes ahora repasan y profundizan sucomprensión de aquellos conceptos, demostrando algunas de las conjeturas másimportantes en el contexto de un sistema lógico, comenzando con las premisas de la geometría.

Premisas y teoremas Un sistema deductivo completo debe comenzar con algunas suposiciones que esténclaramente enunciadas e, idealmente, sean tan obvias que no necesiten serdefendidas. El Capítulo 13 comienza exponiendo sus suposiciones: propiedades de laaritmética e igualdad, postulados de la geometría y una definición de congruenciapara ángulos y segmentos de recta. Estas suposiciones básicas se denominanpremisas. Todo lo demás se basa en estas premisas.

Luego, los estudiantes desarrollan demostraciones de sus conjeturas relativas atriángulos, cuadriláteros, círculos, semejanza y geometría de coordenadas. Una vezque se ha probado una conjetura, se denomina teorema. Cada paso de una pruebadebe ser respaldada por una premisa o un teorema previamente probado.

Desarrollo de una pruebaEl desarrollo de una prueba es más arte que ciencia. Los matemáticos no se sientan yescriben de una vez una prueba de principio a fin, de modo que dígale a suestudiante que no espere hacerlo. Las pruebas requieren de pensamiento ycreatividad. Generalmente, el estudiante comenzará escribiendo lo que está dado y loque se pretende demostrar —el principio y el final de la prueba. Luego, quizáutilizando diagramas, el estudiante volverá a expresar la primera y última afirmaciónde varias maneras, buscando una idea de cómo llegar de uno al otro lógicamente.Puede recordarle sobre las estrategias de razonamiento que pueden ayudar aplanificar una prueba:

● Dibuje un diagrama rotulado y marque lo que sabe

● Represente una situación algebraicamente

● Aplique conjeturas y definiciones previas

● Divida al problema en partes

● Agregue una recta auxiliar

● Piense de atrás para adelante

Preguntas que puede hacer a su estudiante: “¿Qué puedes concluir con lasafirmaciones dadas?” y “¿Qué hace falta para probar la última afirmación?” Viendolas conexiones, el estudiante puede desarrollar un plan, quizás expresado medianteorganigramas. Hay varias maneras de expresar el plan, y su estudiante podrá utilizarmás de una. Luego puede escribir la prueba, teniendo cuidado de revisar elrazonamiento. Una buena manera de cuidar los detalles es escribir una prueba dedos columnas, con afirmaciones en la primera columna y los motivos en la segunda.Su estudiante podría encontrar lagunas en su razonamiento y tener que volver a laetapa de planificación.

Si no parece haber ninguna manera de probar la afirmación, puede sugerir elrazonamiento indirecto, en el cual el estudiante demuestra que la negación delteorema es falsa. De allí se deduce que el teorema debe ser verdadero.

(continúa)



Problema resumenDibuje un diagrama que dé un árbol genealógico para todos los teoremas detriángulos que aparecen en los ejercicios de la Lección 13.3. Incluya postulados yteoremas, pero no definiciones ni propiedades.


● ¿Puedes ampliar árbol de la página 707?

● ¿Qué representan las flechas en palabras?

Ejemplos de respuestas Un árbol genealógico muestra cómo los teoremas se respaldan unos a otros. Unteorema puede depender de varios teoremas, cada uno de los cuales depende deotros teoremas y así sucesivamente, hasta llegar a los postulados de la geometría. Laparte superior del árbol genealógico debería tener todos los postulados, y todas lasflechas deberían fluir desde allí hacia abajo. Los diagramas pueden resultar bastantecomplejos. No se preocupe demasiado por la prolijidad o cuán completo esté; elobjetivo es ver cómo se puede ampliar la estructura mientras se repasan losteoremas. Aquí está el árbol completo.

PostuladoSAS

Teorema VA

Teorema deltriángulo isósceles

Teorema delas mediatrices

Teorema AIA

Teorema de lasuma angularen triángulos

Teorema deltercer ángulo

Teorema decongruencia SAA

Teorema de labisectriz de ángulo

Teorema de medianasde lados congruentes

Teorema de coincidenciade mediatrices

Teorema de bisectriz deángulo de lados congruentes

Teorema de altitud delados congruentes

Recíproco del Teorema dela mediatriz

Teorema de congruenciade la bisectriz de ángulo

Recíproco del Teoremadel triangulo isósceles

PostuladoASA

PostuladoCA

Postulado delas paralelas

Postulado delpar lineal

PostuladoSSS

Postulado de la sumade los ángulos

Recíproco del Teoremade la bisectriz de ángulo

Capítulo 13 • Geometría como sistema matemático (continuación)


1. (Lección 13.1) Nombra la propiedad que respalda cada afirmación:

a. Si AB� � CD�� y CD�� EF�, entonces AB� � EF�.

b. Si AB� � CD��, entonces AB � CD.

2. (Lecciones 13.2, 13.3) En la Lección 13.2, Ejemplo B, el Teorema de lasuma angular en triángulos se prueba con una prueba de organigrama.Vuelve a escribir esta prueba usando una prueba de dos columnas.

Dado: �1, �2 y �3 son los tres ángulos de �ABC

Demuestra: m�1 + m�2 + m�3 � 180°

3. (Lecciones 13.2, 13.4) Responde las siguientes preguntas para elenunciado, “Las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes”.

a. Tarea 1: Identifica lo dado y lo que debes demostrar.

b. Tarea 2: Dibuja y rotula un diagrama para ilustrar la información dada.

c. Tarea 3: Vuelve a formular lo dado y lo que debes demostrar entérminos de tu diagrama.

4. (Lección 13.6) Escribe una prueba para el Teorema de arcos congruentescon secantes paralelas: Las rectas paralelas cortan arcos congruentessobre un círculo.

5. (Lección 13.7) Escribe una prueba para el Teorema de las altitudescorrespondientes: Si dos triángulos son semejantes, entonces las altitudescorrespondientes son proporcionales a los lados correspondientes.






1. a. Propiedad transitiva

b. Definición de congruencia

2.

3. a. Dado: Trapecio isósceles

Demuestra: Las diagonales son congruentes

b.

c. Dado: AB�� DC��; AD�� BC�

Demuestra: AC�� DB�

4.

Dado: AB�� DC��

Demuestra: AD� � BC�

AC

D

B

A D

CB

KC

B

A

42 5

3

1

Afirmación Motivo

�1, �2 y �3 de �ABC Dado

Construye KC�� AB� Postulado de paralelo

�1 � �4; �3 � �5 Teorema de ángulos alternos internos

m�1 � m�4; m�3 � m�5 Definición de congruencia

m�4 � m�2 � m�KCB Postulado de suma angular

�KCB and �5 son suplementarios Postulado de par linear

m�KCB � m�5 � 180° Definición de suplementario

m�4 � m�2 + m�5 � 180° Propiedad de sustitución de igualdades

m�1 � m�2 � m�3 � 180° Propiedad de sustitución de igualdades

Afirmación Motivo

AB�� DC�� Dado

Construye AC� Postulado de rectas

�DCA � �BAC Teorema de ángulos alternos internos

m�DCA � m�BAC Definición de congruencia

�12�m�BAC � �

12�m�DCA Propiedad de la multiplicación de igualdades

mAD� � �12�m�DCA Teorema de ángulos inscritos

mBC� � �12�m�BAC Teorema de ángulos inscritos

mAAD�� mBC� Propiedad de sustitución de igualdades

AD� � BC� Definición de congruencia




5.

Dado: �CBD � �JKL; Altitudes CP� y JR�

Demuestra: �CJR

P� � �

CJK

B�

C

J

K LR

B DP

Afirmación Motivo

�CBD � �JKL; Altitudes CP� y JR� Dado

CP�� BD��; JR�� KL�� Definición de altitud

�CPB y �JRK son ángulos rectos Definición de perpendicular

�CPB � �JRK Teorema de ángulos rectos son congruentes

�CBD � �JKL Los ángulos correspondientes de triángulossemejantes son congruentes

�CBP � �JKR Postulado de semejanza AA

�CJR

P� � �

CJK

B� Los lados correspondientes de triángulos

semejantes son proporcionales


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