Dia Uno Consecutivo PROT 401_r0 [Modo de Compatibilidad]

1 Power System Basics r4

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CRT CRT 5/21/02 2 Tech review edits, corrected some formulas

CLS CLS 5/24/02 3 TDS review, fonts drawings and formatting changes


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El propsito de esta introduccin es brindar una revisin de los conceptos principales relacionados con los sistemas elctricos de potencia, en especial aquellos de mayor utilizacin en el campo de la proteccin de los mismos.

Es difcil encarar un estudio pormenorizado de los sistemas elctricos de potencia en tan breve perodo de tiempo, razn por la cual esta seccin pretende ser no slo una presentacin sino tambin una introduccin a las convenciones usadas a lo largo del curso.

Los conceptos que aqu se presentan pueden encontrarse en cualquier libro de texto relativo al anlisis de circuitos de corriente alterna o anlisis de sistemas elctricos

de potencia.

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CLS 6/5/02 4 B&W corrections

CLS 7/03/02 5 Corrections from markup notebook

LGP CLS 8/13/02 6 Objectives added CLS 10/14/02 7 Notes added to Per-Unit slide

CLS 11/22/02 8 Correction to slides 68, formatting

LGP CLS 2-25-03 10 Animations fixed, corrections


La corriente y la tensin de los sistemas elctricos de corriente alterna (CA) en estado estacionario, estn normalmente representadas por funciones perfectamente sinusoidales. La figura muestra un ejemplo de una seal (o funcin) sinusoidal denominada y(t), que podra ser una tensin o una corriente, que tiene un perodo de T segundos. La frecuencia f de la seal, medida en Hertz, es la recproca del perodo: f = 1/T

La expresin analtica de una funcin sinusoidal de perodo T es la siguiente:


El anlisis de los sistemas de CA lineales mediante la representacin de las tensiones y las corrientes en funcin del tiempo suele ser una tarea tediosa, complicada y sus clculos llevan un largo tiempo de elaboracin. Para la condicin en estado estacionario, la complicacin se reduce mediante el empleo de nmeros complejos. Un nmero complejo est compuesto por dos nmeros reales. Uno de ellos es la parte real y el otro es la parte imaginaria. La parte real del nmero complejo Y mostrado en la figura es a y su parte imaginaria es b. La parte imaginaria siempre est multiplicada por j, que es la raz cuadrada de -1. Un nmero complejo puede ser representado grficamente como se muestra en la figura. Para ello se utiliza un par de ejes que representan la parte real y la imaginaria del nmero. El nmero puede representarse como un vector con dos componentes. Pueden usarse las siguientes tres expresiones para representar un nmero complejo:


Un fasor es un nmero complejo utilizado para representar una tensin o una corriente en CA. La relacin entre el fasor y la seal original est dada por el siguiente desarrollo analtico:


Ntese que la magnitud Y del fasor es el valor rms de la seal sinusoidal original y(t). Ntese adems, que las partes real e imaginaria del fasor, as como tambin su magnitud y su ngulo, son CONSTANTES. Dicho en otras palabras, con esta representacin la variable t (tiempo) no aparece en los clculos.


Como cualquier nmero complejo, un fasor puede ser representado grficamente en el plano complejo.


Las operaciones con fasores se realizan de la misma manera que las de los nmeros complejos. La multiplicacin de fasores se facilita cuando stos estn en forma polar.


Tambin se pueden realizar otras operaciones con nmeros complejos, tales como la divisin y la exponenciacin, de forma relativamente sencilla. Esto no podra ser llevado a cabo tan simplemente si se utilizara la representacin de las seales en funcin del tiempo.


Los elementos lineales de los circuitos pasivos de CA estn representados por sus impedancias. La impedancia de un elemento dado de un circuito se define como el nmero complejo resultante de la divisin del fasor de la tensin aplicada por el fasor de la corriente resultante. Como en cualquier nmero complejo, la impedancia tiene una parte real y una imaginaria. La parte real se denomina RESISTENCIA (R) y la parte imaginaria se llama REACTANCIA (X). Ejemplos de impedancia son: Z = 2 + j6 Ohms Z = 2 - j30 Ohms Z = j10 Ohms (reactancia pura) Z = 2.5 Ohms (resistencia pura) Z = 0.231 + j0.685 por unidad (usando una impedancia de base dada) Z = 23.1 + j68.5 % (en por unidad por 100) La inversa de la impedancia se denomina ADMITANCIA y se designa como Y. En algunas aplicaciones en los sistemas elctricos de potencia, se usa la admitancia en lugar de la impedancia para representar los elementos pasivos. La admitancia tambin tiene una parte real y una imaginaria. La parte real se denomina CONDUCTANCIA (G) y la parte imaginaria se llama SUCEPTANCIA (B). En otras palabras:


Si bien los elementos puros no existen, es normal considerar como puros algunos elementos tales como resistencias, inductancias y capacitancias (capacitores) a fin de elaborar un modelo del circuito. Los diagramas fasoriales para estos tres elementos se muestran en la figura.

Para calcular las impedancias de los tres componentes principales de los circuitos lineales de CA, se utilizan las siguientes expresiones:


Las siguientes ecuaciones sirven para calcular la impedancia total del circuito R-L-C

serie:


El circuito R-L-C paralelo es prcticamente idntico al circuito R-L-C serie. En este caso es ms cmodo utilizar las admitancias.


As como con cualquier nmero complejo, una impedancia puede ser tambin representada en el plano complejo. En el campo de la proteccin de sistemas elctricos de potencia, el plano complejo utilizado para representar las impedancias se denomina plano R-X. En ocasiones, el diagrama resultante se llama diagrama RX.

El diagrama R-X se utiliza no slo para analizar y estudiar una simple impedancia (la cual, de hecho, es slo un punto en el plano complejo) sino tambin un conjunto de impedancias o una variacin de las mismas. Por ejemplo, la superficie del crculo de radio r con centro en el origen est representada por:


Algunas veces, es util representar areas abiertas en el plano R-X. El diagrama mostrado esirve para visualizar las posibles variaciones de la impedancia (Z=V/I) medida en una cierta ubicacion del sistema de potencia, durante condiciones normales de carga.


El circuito monofsico de CA de la figura sirve para repasar el concepto de potencia instantnea en condiciones estacionarias. Ntese que, para este caso particular, se supone que la corriente atrasa respecto a la tensin un ngulo de grados. Adems, la magnitud de cada seal est presentada como raz cuadrada de dos veces el valor eficaz. La potencia instantnea se obtiene por multiplicacin directa de las dos funciones sinusoidales que representan a la tensin y a la corriente. El resultado es una funcin con tres trminos:

1) El primer trmino es constante (no depende del tiempo t), y es igual a VIcos(((()))) 2) El segundo trmino es una sinusoide perfecta pero con una frecuencia igual a 2. La

magnitud de este trmino es proporcional al coseno del ngulo .

3) El tercer trmino es una sinusoide perfecta pero con una frecuencia igual a 2. La magnitud de este trmino es proporcional al seno del ngulo .

Se puede observar que si la impedancia del circuito fuera totalmente resistiva, la corriente y la tensin estaran en fase. Es decir que el ngulo sera igual a cero. Ntese tambin que la expresin matemtica de la potencia instantnea puede escribirse como:


La diapositiva muestra cmo la expresin matemtica de la potencia instantnea puede ser manejada para poder presentarse en una forma ms evidente. La expresin final contiene un trmino constante (VIcos()) y un trmino sinusoidal de frecuencia doble.

La potencia instantnea se muestra en la figura como la funcin sinusoidal desplazada respecto al eje horizontal en el trmino constante VIcos(), el cual a su vez est representado por la lnea de trazos. Intuitivamente puede verse que el desplazamiento constante es el promedio de la potencia entregada a la impedancia.

En la figura tambin estn representadas las seales de tensin y corriente.

El valor promedio puede determinarse integrando la expresin y tal como se esperaba, su resultado es VIcos().


La potencia promedio entregada a las inductancias y capacitancias puras es cero. Por lo expresado, las resistencias sern los nicos elementos que realmente consumirn potencia (potencia activa).


La potencia compleja se define como el producto entre el fasor de tensin y el complejo conjugado del fasor de corriente. La unidad de medida para la potencia compleja es el Volt-Ampere o VA.

La potencia promedio tambin se conoce como potencia activa, porque es la parte de la potencia instantnea que realmente produce trabajo o calor. La potencia activa se mide en Vatios. Otra forma de determinar la potencia activa consiste en tomar la parte real del producto entre los fasores de corriente y tensin.

La parte imaginaria de la potencia compleja se conoce como Q, potencia reactiva. Su unidad de medida es el Volt-Ampere-Reactivo o VAR.


Si es el ngulo de la impedancia y por lo tanto, el ngulo en que la corriente atrasa respecto de la tensin, entonces la potencia activa y reactiva pueden calcularse como funciones de . Se observa que, segn lo convenido, la potencia reactiva de una inductancia es positiva y la potencia reactiva de una capacitancia es negativa.


Tambin por definicin, la magnitud de la potencia compleja (el producto de las magnitudes de la tensin y la corriente, S = VI) se denomina potencia aparente. La relacin entre la potencia activa y la potencia aparente se define como el factor de potencia. Matemticamente, el factor de potencia es el coseno del ngulo , o f.p. = cos().


Es posible representar grficamente la potencia compleja en el plano complejo. La parte real es la potencia activa y la parte imaginaria es la potencia reactiva. Esto se conoce como el tringulo de potencias.


La figura muestra el circuito de un sistema trifsico sencillo. Si la fuente ideal trifsica tiene sus tensiones perfectamente equilibradas y todas las impedancias de cada fase del sistema son iguales, todas las corrientes y tensiones del sistema estarn en equilibrio perfecto.

Con el propsito de analizar las ecuaciones, la figura muestra una carga constituida por impedancias pasivas conectadas en estrella.

Cada impedancia de la carga tiene aplicada la tensin entre fase y neutro (tensin de fase).


Cada una de las impedancias de la carga se denomina impedancia de fase. La magnitud de la tensin aplicada a cada impedancia es la tensin entre fase y neutro o tensin de fase (VP ). La relacin de las tensiones entre fases con las tensiones fase-neutro pueden obtenerse de manera analtica o grfica. La tensin entre fases es igual a la tensin de fase multiplicada por el factor raz cuadrada de 3.


La magnitud de la corriente circulante por cada una de las impedancias es la corriente de lnea (IL). Para una carga conectada en Y (estrella), las corrientes de lnea son iguales a las corrientes de fase.


Para una carga conectada en tringulo, la tensin en los terminales de la carga es igual a la tensin entre fases.


Para las cargas conectadas en tringulo, la corriente de lnea es igual a la corriente de fase multiplicada por el factor raz cuadrada de 3.


Esta es la conclusin.


La potencia trifsica se obtiene sumando la potencia de cada fase. El resultado es que la potencia trifsica para un sistema trifsico equilibrado es tres veces la potencia de una de sus fases. Cuando se utilizan las tensiones entre fases y las corrientes de lnea, el factor se convierte en la raz cuadrada de 3.

Recurdese que para cargas conectadas en estrella, VP = VL/ 3 e IP = IL. Al realizar la sustitucin, la ecuacin queda afectada por 3 sobre la raz cuadrada de 3 lo cual da por resultado raz cuadrada de 3 veces la tensin de lnea y la corriente de lnea.


Una caracterstica importante en el anlisis de sistemas elctricos de potencia trifsicos es que slo se necesita analizar una fase cuando el sistema est perfectamente equilibrado pues el comportamiento de las otras dos fases es similar. La nica diferencia consiste en que las corrientes y tensiones estarn desplazadas 120 respecto a la fase analizada.


La representacin unifilar ahorra mucho espacio en los diagramas, lo cual es ms evidente para grandes sistemas elctricos de potencia.


Estos son los smbolos de los elementos ms comunes utilizados en los diagramas unifilares de los sistemas elctricos de potencia. Otros elementos son los bancos de capacitores, reactancias, modificadores de fase, motores, controles electrnicos de potencia, interruptores, etc.


Este es un ejemplo de una lnea de energa elctrica funcionando en estado estacionario. Las tensiones son las de fase a neutro y las potencias son trifsicas. Lo ms comn es presentar las tensiones en voltios entre fases (para carga normal) o en valores por unidad (o en por ciento) de una base dada.


El acoplamiento magntico entre dos circuitos energizados se denomina acoplamiento mutuo. La corriente que circula por uno de los circuitos induce una cierta tensin en el otro circuito y viceversa.

El acoplamiento mutuo est presente en todos los elementos de un sistema elctrico de potencia trifsico, complicando an ms su estudio, anlisis y cmputo.


El generador sincrnico es una mquina compleja. Los bobinados montados en su rotor, a los cuales se les inyecta corriente continua, se mueven e inducen tensiones de corriente alterna en los circuitos del estator. Ambos devanados rotrico y estatrico estn acoplados magnticamente y sus inductancias mutuas equivalentes son variables debido al movimiento de la mquina. El modelo matemtico de un generador sincrnico comn consta de al menos 10 ecuaciones diferenciales, incluyendo su control. En los clculos prcticos se utilizan modelos simplificados que brindan una aproximacin suficiente para la mayora de las aplicaciones.

El neutro del generador puede conectarse a tierra mediante distintos mtodos. En el modelo presentado en la figura, la impedancia de puesta a tierra puede adoptar distintas caractersticas segn el mtodo utilizado.


El mtodo ms comn y simple de representar un generador funcionando en estado estacionario es como el de una fuente trifsica ideal acoplada a impedancias simtricas en serie. Las fuentes internas de CA representan las tensiones inducidas, es decir el efecto del rotor. La ecuacin considera las auto-impedancias, Zs, de cada bobina del devanado estatrico y las impedancias mutuas, Zm, iguales para todos los casos (en perfecta simetra). Cuando el sistema trabaja en condiciones de equilibrio perfecto, la corriente del neutro a tierra y la tensin Vgn son cero. Aunque simple e impreciso, el modelo descrito sirve para estudios prcticos y es especialmente til para la creacin de generadores trifsicos equivalentes para representar los elementos del sistema elctrico de potencia aguas arriba de una barra dada. Esta es la versin trifsica del equivalente de Thvenin.


Las lneas areas y los cables figuran entre los elementos ms importantes de un sistema elctrico de potencia. Ellos transportan y distribuyen la energa a travs de vastas regiones geogrficas. Existe una gran variedad de configuraciones de lnea (disposicin de conductores, diseos de torre, etc.). Sin embargo, las lneas pueden ser representadas con una aproximacin aceptable mediante la utilizacin de modelos sencillos.


Las lneas y cables de gran longitud tienen acoplamiento mutuo entre sus propias fases y con las lneas y cables adyacentes. Esto complica la tarea de analizar los sistemas elctricos de potencia trifsicos, especialmente ante condiciones de desequilibrio. Para llevar a cabo el clculo se utilizan algunas tcnicas especiales como el mtodo de las componentes simtricas.


Uno de los modelos ms sencillos de lneas de transmisin consiste en el circuito que se muestra en la figura. Ambas, la impedancia inductiva en serie y la capacitancia a tierra, estn en realidad distribuidas a lo largo de la lnea. En este modelo, los parmetros se suponen concentrados para simplificar el estudio del sistema en condiciones estacionarias.


Al estudiar el cortocircuito en el sistema elctrico de potencia empleando fasores, se ignorar el efecto de la capacitancia para simplificar an ms el modelo de la lnea. Ntese la representacin del acoplamiento mutuo.


Si se despreciara el efecto del acoplamiento mutuo, el modelo de la lnea resultara demasiado impreciso. Por ello, tal simplificacin se utiliza slo para lneas extremadamente cortas.


En la figura se muestran las ecuaciones de la lnea en estado estacionario, despreciando la capacitancia y considerando el acoplamiento mutuo. En este caso, el efecto del conductor de guardia (o de proteccin o de pararrayos), puesto a tierra, no se muestra. Sin embargo, este efecto puede ser fcilmente incluido agregando una ecuacin similar de acoplamiento para cada conductor de proteccin de la lnea.

Las ecuaciones mostradas en la diapositiva consideran que, en las lneas reales, las auto-impedancias (Zs) son similares para todas las fases, pero las impedancias mutuas no lo son. Habr entonces algn tipo de simetra como por ejemplo, Zac=Zca, Zbc=Zcb, etc. Estas ecuaciones se conocen como las ecuaciones para una lnea no traspuesta.


Si la lnea se considera perfectamente simtrica, las impedancias mutuas son todas iguales. Esto se conoce bajo el nombre de modelo de lnea traspuesta y es muy utilizado pues la imprecisin del modelo se manifiesta slo en aplicaciones muy especficas.

La auto-impedancia (propia) tiene dos partes, resistencia y reactancia. La resistencia depende del conductor utilizado (seccin transversal, material, etc.). La reactancia depende del tipo de conductor y de la geometra de los conductores de la lnea. La impedancia mutua es reactiva pura y depende casi exclusivamente de la disposicin de los conductores y de sus caractersticas. Tambin es digna de mencionar la influencia que tienen las caractersticas del suelo y los conductores de puesta a tierra sobre las impedancias de la lnea.

Ejemplos de impedancias de lnea para un tendido de 13 kV construido con conductores ACSR 4/0 (107 mm2): Zs = 0.3272 + j1.07 Ohm/km = 0.524 + j1.721 Ohm/milla Zm = j0.636 Ohm/km = j1.018 Ohm/milla Estos valores estn considerados para una lnea perfectamente simtrica..


La figura muestra la representacin habitual de un transformador monofsico. El flujo confinado al ncleo de hierro produce el acoplamiento entre los dos bobinados. El flujo de dispersin, junto con la resistencia de los bobinados y la nolinearidad del ncleo, producen un error que se desprecia para la mayora de las aplicaciones.


La relacin de transformacin es la relacin entre las tensiones de los dos terminales del transformador.

En un transformador bien diseado, la relacin de transformacin es muy similar a la relacin entre el nmero de espiras de ambos bobinados.


Las relaciones perfectas slo pueden ser aplicadas al estudio del denominado transformador ideal. An cuando en realidad este dispositivo no existe, este modelo se utiliza como ayuda en el anlisis de modelos ms complejos dentro del estudio de los sistemas elctricos de potencia.


Las relaciones ideales descritas en la diapositiva anterior, conducen al hecho de que una impedancia conectada a un lado de un transformador ideal se refleja en el otro lado como la misma impedancia multiplicada por el cociente (o relacin) entre el nmero de espiras de los bobinados elevada al cuadrado.


La figura muestra el modelo ms utilizado de transformador monofsico. El circuito equivalente de un transformador monofsico incluye los siguientes elementos:

Un transformador ideal para representar el efecto del flujo principal. Las reactancias de dispersin para representar el flujo disperso del transformador

y otros efectos.

Las resistencias en serie para representar las prdidas hmicas en los bobinados.

La magnetizacin en paralelo, una impedancia no lineal, se utiliza para representar el comportamiento del circuito magntico (el ncleo de hierro). Para el estudio del cortocircuito, habitualmente esta rama no se considera.

Si bien existen modelos ms precisos, ste brinda una aproximacin adecuada para la mayora de las aplicaciones prcticas.


Este es el aspecto del circuito equivalente luego de despreciar la rama magnetizante. Ntese que para las dos tensiones internas e imaginarias V1x y V2y, las relaciones del transformador ideal an se mantienen. Por lo tanto, las impedancias de los bobinados pueden reflejarse en uno u otro lado segn sea la aplicacin especfica.


Cuando se utilizan valores por unidad, la potencia base debe permanecer constante. La potencia base se selecciona una vez y luego se la utiliza en el resto de los clculos.


Conclusin: Si los clculos se realizan utilizando valores por unidad, una adecuada seleccin de la potencia base har que el transformador desaparezca. Aqu radica la principal ventaja del mtodo por unidad.

La impedancia de los transformadores de potencia est normalmente grabada en su placa de caractersticas como un porcentaje (Z (pu) x 100) de la impedancia base nominal de la mquina.

Como puede verse en el circuito equivalente en valores por unidad, la impedancia del transformador puede medirse realizando un ensayo de cortocircuito en el transformador. Esto es as por lo siguiente:

Zt = V1(p.u.)/I1(p.u.) with V2 = 0 (cortocircuito)

Esto explica porqu a la impedancia del transformador se la denomina habitualmente impedancia de cortocircuito.


Este es el circuito equivalente para el transformador de la diapositiva anterior


Nota: El desfasaje se considera representado en valores por unidad. Esto se realiza en anlisis posteriores. Sin embargo, las magnitudes son las mismas en valores por unidad.


A menudo es necesario convertir una impedancia a una base diferente. Por ejemplo, si la impedancia de un transformador est referida a una base de 20 MVA, puede que sea necesario cambiarla a una base de 100 MVA para acomodarse a la base del modelo del sistema. Si la tensin de base no ser cambiada, esa porcin de la ecuacin se hace igual a 1 y puede ignorarse.


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Generalmente, los cortocircuitos producen en el sistema corrientes de gran magnitud (mayores que las corrientes normales de carga).

Los componentes del sistema elctrico (lneas areas, cables, transformadores, etc.) tienen conductores metlicos (normalmente en forma de alambres o cables) que experimentan los efectos de estas altas corrientes.


Cualquier corriente (grande o no) circulando por un conductor ocasiona un aumento de la temperatura del mismo. La energa proviene de la corriente, cuya variacin en funcin del tiempo (potencia) puede expresarse por la siguiente ecuacin:

En la ecuacin inicial, I representa el valor eficaz (rms) de la corriente.

Parte de esta energa calienta el conductor; por conveccin se transmite otra parte de la energa al ambiente. Bajo condiciones de carga normales, asumiendo que la corriente tiene un valor eficaz constante (estado estacionario), la temperatura del conductor alcanzar un equilibrio. Esto significa que la temperatura T del conductor permanece constante y toda la energa trmica suministrada por la corriente se disipa en el medio circundante.

Para este simple sistema, la temperatura del conductor en funcin del tiempo puede ser expresada de la siguiente forma:


Para un material dado y con un conjunto de parmetros ambientales especficos, la variacin de la temperatura del conductor depende casi exclusivamente de la medida (seccin) del conductor y de la intensidad de la corriente circulante (valor rms).

Expresado en una ecuacin, la relacin es la siguiente:

Los valores Te, Ti y t, dependen fundamentalmente del valor eficaz de la corriente I.


Para un conductor aislado, el aislamiento sufrir ante el incremento de la temperatura.

El aislamiento plsticocomo el normalmente usado en la mayora de los cablesresulta instantneamente daado si la temperatura supera un valor lmite denominado temperatura de dao ( Td ). Para la mayor parte de los aislamientos termoplsticos este valor es de 150C.

Nota: No confundir este valor con la temperatura mxima admisible por el cable en rgimen permanente.

Si la corriente es excesivamente alta, la temperatura en el conductor puede superar este lmite. El tiempo td necesario para que la temperatura alcance este lmite se denomina tiempo de dao.


Analtica y experimentalmente podemos demostrar que:

El tiempo de dao disminuye con el aumento de la corriente aplicada.

Hay una corriente (Imd) que provoca un equilibrio con la temperatura de dao del aislamiento. En correspondencia, el tiempo de dao para esa corriente es infinito.

La curva que se obtiene representando grficamente el tiempo de dao en relacin con la corriente aplicada se llama curva de dao.


Las grficas Tiempo / Corriente son ampliamente usadas en la proteccin de sistemas.

La curva de dao es tambin conocida como la curva de capacidad trmica o curva de dao trmico de corta duracin.

Ntese que la corriente admisible por el cable (corriente nominal) no es la misma que la corriente mnima Imd. La corriente nominal In es la corriente que provoca que el cable alcance su temperatura operativa en el estado estacionario (equilibrio). Esta temperatura de estado estacionario, es el valor que el fabricante garantiza para toda la vida til del cable.

Si una corriente con un valor eficaz ubicado entre la Imd y la In es aplicada sobre un componente dado, la corriente alcanzar el equilibrio ms all de la temperatura nominal de operacin pero a una temperatura menor que la de dao. En esta situacin, decimos que habr dao pero en un tiempo relativamente largo. Esto significa que el equipamiento perder aos de vida (envejecimiento acelerado).


Para corrientes relativamente grandes (del orden de 3 veces la nominal de operacin del cable) es posible obtener con suficiente aproximacin la curva de dao con la siguiente Ecuacin:

En donde C es una constante que depende del material del conductor, las propiedades del aislamiento y las variables del ambiente donde est ubicado el cable; y A es la seccin transversal en pulgadas cuadradas o mm2 del conductor.

Ntese que la siguiente es la vieja y famosa ecuacin:

[segundos]

[A 2 s]


En el caso de conductores desnudos (como en las lneas areas de distribucin), la temperatura de dao est dada por temperatura de recocido del conductor (con prdida de caractersticas mecnicas).


Hay muchos factores que afectan la forma de las curvas de dao del transformador. Ms adelante en este curso, estudiaremos estas curvas.


En este simple experimento, sacrificaremos un alambre de bajo costo para salvar a un costoso cable. Dicho de otra forma, para una cierta corriente, el alambre de bajo costo alcanza su temperatura de fusin antes que el cable de alto precio alcance su temperatura de dao. El alambre se quema para proteger al cable.

Cmo denominamos a este alambre?


Tal como hicimos con el tiempo de dao, podemos demostrar experimental y analticamente lo siguiente:

El tiempo de fusin disminuye con el aumento de la corriente aplicada.

Hay una corriente (Imm) que provoca un equilibrio con la temperatura de fusin del fusible. En correspondencia, el tiempo de fusin para esa corriente es infinito. Es muy difcil determinar experimentalmente un valor preciso para esta corriente.

La curva obtenida de la grfica que representa el tiempo de dao en funcin de la corriente aplicada se denomina curva de mnimo tiempo de fusin.

Ntese que el calibre del fusible (corriente nominal) no es igual a la corriente mnima de fusin Imm.


El resultado del experimento descrito en la pgina anterior puede representarse en una grfica tiempo/corriente.

En una primera aproximacin, podemos decir que para cada valor de intensidad de la corriente, el fusible debe fundirse antes de que el equipamiento protegido sufra algn dao.

Ms adelante en este curso, mejoraremos esta aproximacin.


El tiempo de fusin descrito en las pginas iniciales de esta seccin se refiere al tiempo inmediatamente anterior al momento en que el fusible alcanza su temperatura de fusin. Obviamente la corriente no cae a cero inmediatamente. El fusible pasa a travs de diferentes estados que desembocan en el desarrollo de un arco. La corriente desaparece cuando el arco est totalmente extinguido. En ese momento podemos decir que la falla ha sido totalmente despejada.

El tiempo transcurrido entre la ocurrencia de la falla y el despeje total de la misma se denomina tiempo total de despeje (de la falla).


De la misma forma en que procedimos con el tiempo de fusin, podemos dibujar una curva que represente el tiempo total de despeje en funcin de la corriente.

Las siguientes son las caractersticas principales de un fusible:

La curva de mnimo tiempo de fusin.

La curva de tiempo total de despeje (de la falla). La corriente mnima de fusin del fusible.

El calibre del fusible (corriente nominal) el cual no debe ser confundido con la corriente mnima de fusin.

A medida que avancemos en el curso describiremos caractersticas adicionales del fusible.


Para mejorar nuestra primera aproximacin a la proteccin de sobrecorriente, podramos decir que el tiempo total de despeje del fusible debe ser menor que el tiempo de dao del equipamiento protegido.

Ms adelante brindaremos detalles prcticos acerca de la aplicacin de fusibles.


Las grandes corrientes de cortocircuito generan importantes fuerzas mecnicas.

Las grandes fuerzas mecnicas causan deformaciones permanentes en los conductores rgidos y la destruccin de sus soportes.

El efecto puede ser muy destructivo en transformadores, motores y generadores.

Los daos ocurren de manera instantnea (en un tiempo muy corto).


El equipamiento elctrico (incluyendo la carga) tiene una Zona de Variacin Inaceptable de la Tensin (ZVIT). Esta regin o zona indica la tolerancia del equipamiento a las variaciones de tensin. El tiempo de despeje y la tensin de recuperacin del sistema deben mantenerse fuera de la ZVIT.


Con el advenimiento de los sistemas de generacin distribuida, los problemas de estabilidad electromecnica se han convertido en un aspecto a tener en cuenta dentro de modernos sistemas de distribucin.

Para no afectar la sincronizacin de los generadores y los sistemas de las empresas de energa luego de una falla, el tiempo de despeje debe ser extremadamente corto.

El lmite superior permitido de este tiempo de despeje es conocido tradicionalmente como el tiempo crtico de despeje.

Para el sencillo caso que se presenta, el tiempo de despeje (tdespeje) de los Interruptores 1 y 2 debe ser menor que las caractersticas de la mquina y que el tiempo crtico de despeje (tcrit) que el sistema impone.


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A pesar de que existen varios tipos de fallas, en esta presentacin slo se considerarn las fallas trifsicas. Los otros tipos de fallas se presentarn ms adelante.


Para comprender la naturaleza de los cortocircuitos, es ms cmodo realizar su anlisis en los terminales (bornes) de un generador simplificado. El generador simplificado puede emplearse para representar en forma equivalente, el comportamiento de casi cualquier tipo de sistema ante las condiciones de falla.

El generador simplificado consiste en una fuente trifsica de tensin con ramas en serie. Cada una de esas ramas posee una auto-impedancia y una mutua inductancia con las otras dos ramas. Para simplificar los clculos, se supone que el acoplamiento mutuo entre las fases es constante. Es decir, es el mismo entre cualesquiera de dos fases.


La diapositiva muestra las ecuaciones generales para un generador simplificado.

La tensin en el generador es igual a la suma de las cadas de tensin en el circuito. Las cadas de tensin incluyen a la corriente de fase multiplicada por su auto-impedancia y las corrientes de las otras fases multiplicadas por sus impedancias mutuas. Tambin se incluye la tensin en el terminal y la tensin en la impedancia de puesta a tierra.

Obsrvese que la ecuaciones estn relacionadas; no son independientes. Dicha relacin est dada por la impedancia mutua que existe entre las fases.


Las condiciones dadas para el cortocircuito en este entorno permiten simplificar las ecuaciones.

Como la falla es equilibrada, la suma de las corrientes de fase es igual a cero. Si la suma es cero, entonces Ib + Ic = -Ia. Debido a la ausencia de corriente de tierra, la cada de tensin a travs de la impedancia de puesta a tierra tambin es igual a cero.

Hemos definido a esta falla como ubicada en los terminales (bornes) de la mquina. Por lo tanto, Va = Vb = Vc = cero.

Cabe consignar que las fallas en los terminales (bornes) del generador no son las ms comunes; tambin se las denomina fallas cercanas.


Con la aplicacin de las condiciones del entorno, hemos simplificado las ecuaciones de forma tal que ahora la tensin del generador en cualquiera de sus fases es independiente de la corriente circulante por las otras dos. Esto significa que durante el desarrollo de un cortocircuito perfectamente equilibrado, el generador simplificado puede ser representado por un modelo an ms simple en el cual las tres fases no estn acopladas magnticamente.


Como en cualquier otra condicin de equilibrio, la falla puede ser analizada estudiando slo una de sus fases. La impedancia es la impedancia determinada con el procedimiento descrito previamente.


Los clculos simplificados suponen que la corriente es perfectamente sinusoidal (simtrica) y totalmente equilibrada. Por lo tanto, la corriente de la fase A ser igual a la corriente calculada y las corrientes de las fases B y C tambin sern iguales en magnitud a la corriente calculada pero con un desplazamiento o desfasaje de 120.

Como las tensiones estn normalmente expresadas en valor eficaz (RMS), la corriente resultante tambin lo estar.


El mtodo normalmente usado para determinar las corrientes y tensiones del sistema para un cortocircuito trifsico en cualquier punto de la red, deriva del teorema de Thvenin.

El primer paso es encontrar el circuito equivalente Thvenin. El equivalente de Thvenin es simplemente un generador trifsico tal como el anteriormente descrito. El segundo paso es usar las ecuaciones para el generador simplificado para poder determinar la corriente de falla. Finalmente, pueden utilizarse las tcnicas de resolucin de redes para calcular las tensiones y las corrientes a lo largo de la red.

Puede demostrarse que, para una condicin trifsica equilibrada, a cada fase de cada elemento de la red se le puede aplicar un modelo constituido por una simple impedancia. Esto significa que las corrientes y las tensiones pueden calcularse para una sola fase. La solucin fasorial resultante deber ser desfasada 120 para obtener los resultados correspondientes a las otras fases. En otras palabras, el problema se reduce a calcular la falla como ocurrida en una clsica red de CA monofsica.


El equivalente Thvenin aplicado a una fase es realmente el equivalente de un generador trifsico que utiliza el modelo simplificado anteriormente mostrado.


En este ejemplo, todos los elementos de impedancia se presentan en valores por unidad.


El equivalente Thvenin se encuentra mediante simples combinaciones de impedancias en serie y en paralelo.


En este punto, se asume que la falla es una falla franca sobre los terminales (bornes) de la mquina. Vale decir que la resistencia de la falla ha sido igualada a cero. Sin embargo, es sencillo considerar el efecto de la resistencia de la falla. Para esta consideracin, simplemente se agrega la misma a la impedancia del equivalente Thvenin antes de calcular la corriente de falla.


Dentro del sistema, las lneas areas son los elementos ms expuestos y la mayora de las fallas ocurren en las lneas areas de transmisin y distribucin. Es muy importante saber cmo calcular y analizar el sistema ante las condiciones de falla en la lnea a fin de disear en forma adecuada el sistema de proteccin.

En la figura se presentan dos casos: el primero es una falla en una lnea radial y el segundo es una falla en una lnea de transmisin que forma parte de un sistema en anillo.


Para la lnea radial, si no se considera el efecto de la carga (una suposicin usual), la lnea es un circuito serie muy sencillo de calcular. El circuito consta de una impedancia de fuente equivalente conectada en serie con la impedancia de la lnea.

Si definimos a m como la impedancia por unidad hasta la falla, entonces la impedancia equivalente del tramo ser m veces la impedancia total de la lnea. Para calcular m, se divide la distancia hasta la falla por la longitud total de la lnea.


Si la lnea no es radial, harn falta dos fuentes equivalentes, una para cada extremo de la lnea. La corriente total de falla, I, se calcula resolviendo el circuito equivalente resultante. La contribucin de cada extremo de la lnea se calcula mediante el empleo de los divisores de corriente u otras tcnicas para anlisis de redes.


En las diapositivas anteriores, un nmero, ZL, ha sido empleado para simbolizar la impedancia de la lnea. Sabemos que las lneas son en realidad tres conductores magnticamente acoplados. Luego, se mostrar cmo relacionar ZL a la auto y mutua impedancia original de la lnea para el caso particular de la lnea simtrica o traspuesta.


Comenzamos con las ecuaciones de la lnea e incluimos las condiciones del entorno, tal como se hizo para el caso del generador. Por razones de simplicidad, slo se muestra la ecuacin de la fase A. Las ecuaciones para las fases B y C son similares; la diferencia est en la ubicacin de la auto-impedancia dentro de la ecuacin.

Tal como en las ecuaciones del generador, las ecuaciones de la lnea para una fase guardan dependencia con las otras fases. Sin embargo, luego de aplicar las condiciones del entorno, las ecuaciones se independizarn.

Ntese que todas las impedancias son las impedancias de la lnea completa expresadas en ohms multiplicadas por la distancia unitaria hasta la falla (m).


Para una falla trifsica equilibrada, una lnea simtrica puede ser representada mediante una lnea con fases desacopladas de impedancia ZL.

La lnea de transmisin est entonces representada por tres lneas de impedancia ZL, completamente desacopladas. As es como se simplifican los clculos para los cortocircuitos trifsicos.


Cmo cambian las tensiones y las corrientes en los extremos de la lnea durante un cortocircuito trifsico?


Durante el desarrollo de una falla trifsica, las magnitudes de la corriente de fase aumentan mientras que las de la tensin disminuyen. Si la falla es perfectamente equilibrada, los valores de falla permanecen desfasados en 120.

Durante la operacin normal, las corrientes atrasarn o adelantarn respecto a las tensiones segn el ngulo del factor de potencia. Durante la falla, las corrientes atrasarn respecto a las tensiones segn el ngulo caracterstico de la lnea en falla. Este ngulo caracterstico es el ngulo asociado con el fasor de la impedancia ZL. Para el caso mostrado arriba, el ngulo caracterstico es 90, o sea una lnea puramente reactiva.


La grfica muestra el perfil de la tensin para una falla franca trifsica. Como se puede ver, la tensin en el punto de falla es cero pero se incrementa hasta alcanzar su pleno valor en la fuente.


Hasta este punto, la corriente de falla calculada ha sido tratada como si fuera un fenmeno en estado estacionario. Hay un perodo de tiempo, luego de iniciada la falla, en el que la corriente de falla en estado estacionario no representa a la corriente de falla real. Examinaremos esta porcin transitoria de la corriente de falla.

El anlisis circuital nos ensea que la tensin de la fuente es igual a la cada de tensin del circuito cerrado. Para una resistencia, la cada de tensin es igual a la resistencia multiplicada por la corriente. Para una inductancia, la cada de tensin es igual a la inductancia multiplicada por la derivada de la corriente respecto al tiempo.

La ecuacin puede ser arreglada y resuelta para la corriente de falla, i(t). La ecuacin diferencial puede resolverse suponiendo que no circulaba corriente antes de la ocurrencia de la falla.


La solucin indica que la corriente de falla tiene una parte sinusoidal (componente de CA) y una parte que se amortigua en forma exponencial (componente de CC). La magnitud, los ngulos de fase y la constante de tiempo dependen de los parmetros del circuito (resistencia e inductancia). La magnitud del desplazamiento est determinada por el ngulo de la tensin en el momento de la insercin de la falla. La constante de tiempo o tasa de amortiguacin o de decaimiento (nos indica la velocidad con la que desaparece el perodo transitorio), est determinada por la relacin R/L del circuito.


La forma de la onda de la corriente de falla muestra una asimetra luego de la ocurrencia de la falla. Esta asimetra se debe a la componente de CC de la corriente de falla. Su efecto desaparece a medida que desaparece su desplazamiento respecto al eje del tiempo. El tiempo que tarda en desaparecer dicho desplazamiento depende de la constante de tiempo del circuito. Esta constante de tiempo est directamente relacionada a la relacin R/L del circuito.


La constante de tiempo determina el tiempo necesario para que el desplazamiento (o corrimiento) desaparezca. Si la relacin X/R aumenta, la constante de tiempo tambin lo hace, lo cual resulta en un desplazamiento con menor velocidad de decaimiento. La teora de circuitos nos ensea que har falta un tiempo de unas cinco constantes de tiempo para que una seal llegue a un nivel tal de amortiguacin que pueda considerrsela como en estado estacionario. No obstante, luego de 1 constante de tiempo, el desplazamiento tendr el 37% de su valor inicial; con 2 constantes de tiempo su valor ser aproximadamente el 14% del inicial; y al cabo de 3 constantes de tiempo su valor ser de tan slo el 5 % del inicial.


El valor rms (o eficaz) de una corriente dada, es la magnitud de una corriente de CC equivalente que producir el mismo trabajo que la corriente original de CA. Para el caso de un circuito R-L, el valor rms de la corriente es igual al valor rms de la corriente simtrica multiplicada por un factor que depende de la constante de tiempo y, obviamente, del tiempo mismo. Esta expresin ha sido usada durante aos para especificar la capacidad de interrupcin de los interruptores de potencia.


Trabajemos con el ejemplo : Solucin:

tau = 0.0159 s

ISYM = 13098 A

IRMS = 14619 A


La grfica muestra un pico de corriente de unos 30 kA. La asimetra dura unos 30 ms.

El simple modelo R-L utilizado para calcular la corriente de falla transitoria puede ser empleado para calcular con cierto grado de aproximacin la localizacin de fallas alejadas de los generadores. De todos modos, las ecuaciones presentadas para el anlisis del transitorio no tienen la suficiente precisin para ello.


Cuando tiene lugar un cortocircuito en los terminales de un generador sincrnico, la forma de la onda de corriente no es la misma que la de un simple generador con tan solo elementos R-L.

El generador sincrnico es una mquina muy compleja cuyo comportamiento durante el rgimen transitorio de un cortocircuito requiere de una solucin compuesta por ms de diez ecuaciones diferenciales.


En la prctica, la corriente de cortocircuito de los generadores se mide, y se utiliza un modelo relativamente simple para su representacin. Esta corriente de cortocircuito no slo tiene varias constantes de tiempo y desplazamiento debido a la componente de CC sino tambin algunos componentes de doble frecuencia.


El primer paso para acercarse a la corriente del generador consiste en extraer la componente simtrica de la corriente de cortocircuito medida.


El segundo paso consiste en aproximar los componentes separados para las diferentes constantes de tiempo de la corriente de cortocircuito medida.


Reactancia subtransitoria, transitoria y sincrnica son trminos normalmente utilizados dentro de los sistemas de potencia.

Valores Tipicos:

Xd ~ 0.10 p.u.

Xd ~ 0.18 p.u.

Xd ~ 1.00 p.u. Ntese que Id, Id, yId son magnitudes tipo fasor; en realidad las definiciones para estos trminos son tomadas de los valores instantneos.


La diapositiva muestra el aporte que los diferentes elementos realizan a la corriente de cortocircuito.

Ntese que la contribucin de los motores de induccin tiene una duracin menor a dos ciclos.


Technical papers supporting this section:

6066.pdf, Introduction to Symmetrical Components, Stanley E. Zocholl

6090.pdf, Symmetrical Components: Line Transposition, Stanley E. Zocholl

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6 Rev table added

CLS 7 Black and white corrected

CLS 6/7/02 8 Equation errors corrected

Cls 6/10/02

9 B&W, equation errors from OGE markups

CLS 6/11/02

10 B&W

CLS 7/15/02

11 Markups from June 02 course

LGP CLS 8/13/02

13 Objectives added, markups from PROT 407 Pullman June notebook


En un sistema trifsico perfectamente equilibrado, las tres corrientes son de igual magnitud y estn desfasadas 120. Se conviene en que los fasores giran en sentido contrario al de las agujas del reloj, es decir que la secuencia natural, directa, o positiva es a-b-c.

a = 1 120o es un til nmero complejo que se utiliza en el anlisis de los sistemas trifsicos.


Por convencin, los fasores giran en sentido contrario al de las agujas del reloj. Por secuencia se entiende el orden en el que los fasores aparecen cuando pasan por un punto de observacin fijo. Ntese la diferencia existente entre los sistemas de secuencia positiva y negativa.


Cualquier conjunto trifsico de corrientes (o tensiones) desequilibradas puede ser descompuesto en tres juegos de corrientes (o tensiones) con las siguientes caractersticas:

Un juego trifsico EQUILIBRADO con secuencia de rotacin POSITIVA (por convencin a-b-c)

Un juego trifsico EQUILIBRADO con secuencia de rotacin NEGATIVA (a-c-b) Un juego trifsico con sus tres corrientes en fase. Este juego se denomina de

secuencia CERO (tambin llamada HOMOPOLAR).


Estas son las relaciones bsicas entre los diferentes fasores en cada una de las secuencias. Pueden formar un conjunto homogneo gracias al empleo del nmero a.


Si sumamos las tres secuencias, encontraremos las cantidades desequilibradas originales. Las relaciones utilizando a = 1 120o pueden ser usadas para escribir las tres corrientes del sistema original solamente como funciones de los componentes a de fase.

Finalmente, eliminamos el subndice a de las expresiones, pues realmente podemos usar la referencia de fase a.


Las ecuaciones de las componentes simtricas pueden utilizarse tanto para las corrientes como para las tensiones.


Resolviendo las componentes simtricas, las ecuaciones nos darn ahora las corrientes de secuencia en funcin de las corrientes de fase.


Las ecuaciones de la corriente pueden escribirse de manera ms compacta en forma de matriz. A la matriz A tambin se la suele llamar matriz de transformacin de las componentes simtricas.


Y fcilmente se obtiene la transformacin inversa.


Este es un ejemplo de los fasores vistos y capturados por un rel durante una falla. Parece como si la falla se hubiera desarrollado entre las fases B y C.

Calculemos las componentes simtricas para esta falla.


Esta es la ecuacin para la secuencia cero de la tensin. Ntese que si no hubisemos dividido por tres, hubiramos obtenido el conocido trmino 3V0 que leemos al conectar los transformadores de tensin en tringulo abierto para obtener la suma de las tres tensiones. El diagrama nos muestra grficamente al fasor excepto la multiplicacin por 1/3.

Calculemos la tensin de secuencia cero.


Esta es la ecuacin para la secuencia positiva de la tensin. Ntese que la tensin de la fase B est avanzada 120 y la tensin de la fase C est avanzada 240 y los resultados se suman. El diagrama nos muestra grficamente al fasor excepto la multiplicacin por 1/3.

Calculemos la tensin de secuencia positiva.


Esta es la ecuacin para la secuencia negativa de la tensin. Ntese que la tensin de la fase B est avanzada 240 y la tensin de la fase C est avanzada 120 y los resultados se suman. El diagrama nos muestra grficamente al fasor excepto la multiplicacin por 1/3.

Calculemos la tensin de secuencia negativa.


Aqu estn los resultados de los clculos previos. Ntese que la tensin de secuencia cero es cero. Podamos esperar esto en una falla bifsica sin puesta a tierra. Obsrvese que las tensiones de secuencia positiva y negativa estn aproximadamente en fase


Ahora calculemos las componentes de secuencia para las corrientes. El proceso es idntico que para las tensiones.

Calculemos la corriente de secuencia cero.


Calculemos la corriente de secuencia positiva.


Calculemos la corriente de secuencia negativa.


He aqu los resultados de los clculos previos. Ntese que la corriente de secuencia cero es casi cero. Podamos esperar esto en una falla bifsica sin puesta a tierra. Obsrvese que las tensiones de secuencia positiva y negativa estn desfasadas aproximadamente 180.


Cada componente elctrico trifsico posee una impedancia de secuencia positiva, una de secuencia negativa y una de secuencia cero.

Para obtener la red de secuencia positiva se cortocircuita uno de los terminales del equipamiento (cuando se necesite), se aplica una fuente de tensin de secuencia positiva, se miden las tres corrientes y finalmente se determina la impedancia como la relacin V/I para cada fase.


Para obtener la red de secuencia negativa se cortocircuita uno de los terminales del equipamiento (cuando se necesite), se aplica una fuente de tensin de secuencia negativa , se miden las tres corrientes y finalmente se determina la impedancia como la relacin V/I para cada fase.


Para obtener la red de secuencia cero se cortocircuita uno de los terminales del equipamiento (cuando se necesite), se aplica una fuente de tensin de secuencia cero, se miden las tres corrientes y finalmente se determina la impedancia como la relacin V/I para cada fase.


Esta figura muestra las ecuaciones de fase originales para una lnea de transmisin perfectamente simtrica. Ntese el acoplamiento magntico entre las fases.


Para encontrar la impedancia de secuencia positiva de la lnea, se utiliza el procedimiento descrito anteriormente.

Para obtener la red de secuencia positiva se cortocircuita uno de los terminales del equipamiento (cuando se necesite), se aplica una fuente de tensin de secuencia positiva, se miden las tres corrientes y finalmente se determina la impedancia como la relacin V/I para cada fase.


El resultado nos brinda el valor de la impedancia de secuencia positiva como una funcin de la auto y mutua impedancia de la lnea.


Para encontrar la impedancia de secuencia negativa de la lnea, se utiliza el procedimiento descrito anteriormente.

Para obtener la red de secuencia negativa se cortocircuita uno de los terminales del equipamiento (cuando se necesite), se aplica una fuente de tensin de secuencia negativa , se miden las tres corrientes y finalmente se determina la impedancia como la relacin V/I para cada fase.


El resultado nos brinda el valor de la impedancia de secuencia negativa como una funcin de la auto y mutua impedancia de la lnea. Es el mismo procedimiento que con la secuencia positiva.


Para encontrar la impedancia de secuencia cero de la lnea, se utiliza el procedimiento descrito anteriormente.

Para obtener la red de secuencia cero se cortocircuita uno de los terminales del equipamiento (cuando se necesite), se aplica una fuente de tensin de secuencia cero, se miden las tres corrientes y finalmente se determina la impedancia como la relacin V/I para cada fase.


El resultado nos brinda el valor de la impedancia de secuencia cero como una funcin de la auto y mutua impedancia de la lnea. Siempre es mayor que el valor de secuencia positiva porque estamos sumando dos veces la mutua impedancia a la auto-impedancia en lugar de restar la mutua impedancia de la auto-impedancia.


Los resultados obtenidos en las diapositivas anteriores sugieren que la lnea puede ser representada por tres circuitos que no estn magnticamente acoplados. Los tres circuitos se denominan redes de secuencia positiva, negativa y cero.

Puede sealarse que para lneas no simtricas el circuito puede poseer algo de acoplamiento, pero este efecto es habitualmente despreciado en la mayora de la aplicaciones prcticas.


Esta figura muestra la representacin de un generador simplificado, ampliamente utilizada no solamente para modelar generadores reales sino tambin como fuente equivalente en los sistemas elctricos de potencia interconectados.

El procedimiento descrito anteriormente puede ser aplicado para encontrar las tres redes de secuencia para este equipamiento.


Las tres redes de secuencia del generador simplificado se presentan en la figura. Obsrvese lo siguiente:

1. No hay acoplamiento magntico.

2. Hay una fuente en la red de secuencia positiva. Esta fuente es la fuente original (natural) de secuencia positiva presente en el modelo trifsico.

3. No hay fuentes en las redes de secuencia negativa ni cero, tal como se esperaba, pues se supone que el generador solamente produce tensiones de secuencia positiva.

4. La impedancia de la puesta a tierra del neutro aparece en la red de secuencia cero. Esto se debe al hecho de que, a la inversa de lo que ocurre en los ensayos de secuencia positiva y negativa, en el ensayo de secuencia cero hay una corriente circulando a travs de esta impedancia.


La figura muestra el diagrama simplificado de un transformador de conexin estrella-estrella..


Luego de realizar los ensayos de cortocircuito para las diferentes secuencias tal como se indic anteriormente, las redes de secuencia resultantes de un transformador estrella-estrella tienen el aspecto que se muestra en esta figura. Las impedancias que aparecen son las de cortocircuito del transformador en valores por unidad, tal como se obtienen del ensayo normal de cortocircuito de un transformador.


La figura muestra el diagrama simplificado de un transformador de conexin tringulo-estrella..


De la misma forma como se hizo para el otro equipamiento, la figura muestra las redes de secuencia resultantes de un transformador tringulo-estrella. Las impedancias que aparecen son las de cortocircuito del transformador en valores por unidad, tal como se obtienen del ensayo normal de cortocircuito de un transformador.

Obsrvese que la red de secuencia cero tiene una conexin especial. Esto se explica en la prxima diapositiva.


Un juego de tres corrientes monofsicas (corrientes de secuencia cero) no puede circular por un circuito que se cierra en un tringulo (delta). En el caso de un transformador con corrientes de secuencia cero circulando del lado estrella, la corriente se refleja del otro lado pero circula dentro del tringulo tal como lo seala la figura.


Este es un ejemplo de un sistema radial.


Estas son las tres redes para el sistema mostrado en la diapositiva inicial. Ntese la conexin del transformador tringulo-estrella.r.


En este otro ejemplo tenemos una lnea con dos fuentes equivalentes en estrella con centro puesto a tierra sobre ambos extremos.


Para ilustrar la aplicacin bsica de las componentes simtricas utilizadas en el anlisis de fallas desequilibradas, se usar el modelo del generador equivalente. Estudiaremos el caso de cuatro diferentes cortocircuitos en los terminales del generador.


La falla trifsica es hacia adelante. Las condiciones del entorno de la falla son introducidas a las ecuaciones del generador original. El resultado determina que no hay corrientes de secuencia negativa ni cero y que la red de secuencia positiva responde a la simple ecuacin E=Z1I1.


Los resultados obtenidos en la diapositiva anterior sugieren que las redes de secuencia del generador deben ser conectadas tal como se indica en esta diapositiva.

Para este caso particular, la corriente de falla de la fase a, es igual a la corriente de secuencia positiva.


Esta es la falla entre la fase b y la c.

Nuevamente, se introducen las condiciones del entorno de la falla en las ecuaciones del generador original. El resultado indica que all no hay corriente de secuencia cero y que las redes de secuencia positiva y negativa responden a una ecuacin que sugiere que ambas deben estar en paralelo.


Los resultados obtenidos en la diapositiva anterior sugieren que las redes de secuencia del generador deben ser conectadas tal como se indica en esta diapositiva.

La corriente de falla se encuentra aplicando las ecuaciones originales de las componentes simtricas.

Ntese que la tensin de la falla es 1,73 veces mayor que la tensin de secuencia positiva.

Adems, se ve que cuando Z1 = Z2 (lo cual es muy frecuente), la magnitud de la corriente de falla es 86,7% la magnitud de la corriente de falla trifsica.


Esta es la representacin fasorial de las corrientes de secuencia para una falla entre b y c.


La suma fasorial muestra grficamente el resultado.


Este es el caso de una falla franca a tierra de la Fase A.

Luego de introducir las condiciones de la falla en las ecuaciones del generador original, el resultado indica que hay corrientes de secuencia positiva, negativa y cero y que son iguales en magnitud y fase.


El resultado para esta falla particular es que las redes de secuencia estn conectadas en serie. La corriente de falla, obtenida mediante la transformacin de la componente simtrica, es tres veces la corriente de secuencia.

Ntese la presencia de la impedancia de puesta a tierra del neutro. Esta impedancia limita la corriente de falla.


As es como aparecen los fasores de corriente durante una falla unipolar a tierra.


El anlisis para el cortocircuito bifsico a tierra es similar al realizado para los otros tres casos.


La conexin de la red incluye a la secuencia cero.


Este es un ejemplo de una falla unipolar a tierra en el extremo de una lnea radial.


Las redes de secuencia mostradas anteriormente estn conectadas en serie, tal como se muestra en la figura.

La corriente de falla es 3 veces I0, e I0 = E / sum(Z) Donde sum(Z) = es la sumatoria de todas las impedancias del circuito.


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LGP CRT

5/20/02 1 Original Author Replacing old Fault Analysis sections Reviewed comments in word doc

LGP 5/22/02 2 LGP revision

CLS CLS 5/28/02 3 Technical, TDS revisions

CLS 7/16/02 4 Correction from markup notebook

LGP CLS 8/13/02 5 Add Objectives CLS CRT 8/25/02 6 Correction Generator symbols in

circles pgs 38,39

LGP CLS 12/02/02 7 Mathcad graph pg

EB CLS 2-11-03 8 Convert to white

LGP CLS 2-25-03 8 Animations, etc. fixed


La falla ms comn en las lneas areas de los sistemas elctricos de potencia es la ocasionada por las sobretensiones inducidas de origen atmosfrico, en las que la cadena de aisladores no puede resistir el esfuerzo dielctrico y se produce su contorneo. En la mayor parte de los casos, esta falla desaparece una vez despejada por lo que la maniobra de recierre (re-enganche) tiene una alta probabilidad de xito.


La impedancia de puesta a tierra del neutro limita la corriente de falla a tierra.


La corriente de falla para sistemas con neutro aislado tiene una magnitud igual a la corriente capacitiva producida al conectar una de las fases a tierra. Para los sistemas subterrneos de media tensin, estas corrientes son de alrededor de entre 5 y 15 Amperes, segn sea la tensin del sistema y sus caractersticas


La corriente de falla de sistemas rgidamente puestos a tierra puede ser muy grande. La magnitud de la corriente depende de la impedancia de la falla y de las caractersticas del retorno (por tierra) del sistema.


El rango de corriente de falla de los sistemas con puesta a tierra del neutro de baja impedancia es de varios cientos de Amperes.


Para los sistemas con puesta a tierra de alta impedancia, la magnitud de la corriente es similar a la de las corrientes capacitivas.


El objetivo de la puesta a tierra a travs de una bobina Petersen es hacer que la corriente sea cero en una falla unipolar a tierra..


Mtodo para calcular los cortocircuitos desequilibrados:

1. Determinar el punto (nodo o barra) del sistema donde ser simulado el cortocircuito. 2. Encontrar las redes de secuencia (positiva, negativa, y cero) del sistema. 3. Encontrar el equivalente Thvenin en dicho punto. El equivalente trifsico Thvenin es

un generador simplificado que posee redes de secuencia positiva, negativa y cero.

4. Conectar las redes de secuencia segn sea el tipo de falla y calcular la secuencia de la corriente de falla.

5. Utilizando las tcnicas de resolucin de redes, calcular las tensiones y corrientes de secuencia a lo largo del sistema y luego, mediante la transformacin de las componentes simtricas, encontrar las cantidades por fase.


Las redes de secuencia del generador trifsico equivalente se usan luego para calcular las corrientes de falla.


El procedimiento ser ilustrado resolviendo un ejemplo numrico. La sencilla red de subtransmisin (69 kV) de la figura, alimenta una subestacin de distribucin (13,8 kV) a travs de dos transformadores en paralelo. Se presenta una falla unipolar a tierra muy cercana a la barra de distribucin (13,8 kV). Debemos conocer lo siguiente:

a. Las corrientes de falla en el punto de falla

b. Las corrientes en uno de los interruptores de 69 kV (indicado en la figura) En este ejemplo, se supone que conocemos todas las impedancias de secuencia de los elementos en valores por unidad.


El equivalente Thvenin se encuentra mediante simples combinaciones de impedancias en serie y en paralelo. El estudiante debe trabajar con este ejemplo y encontrar las corrientes y las tensiones en todos los puntos importantes del sistema.

Ntese que se ha supuesto que ambos generadores estn a 1,0 p.u. (cero grados), con lo cual el problema se simplifica. Para clculos ms precisos, las tensiones reales de la barra deben ser consideradas al buscar la tensin de Thvenin.


El mismo procedimiento se realiza sobre la red de secuencia negativa. Este caso no involucra ninguna fuente de tensin. Por qu?


La corriente de secuencia cero tiene en cuenta la conexin Tringulo-Estrella de los transformadores elevadores en las plantas de generacin de energa.


Para una falla unipolar a tierra, las redes de secuencia estn conectadas en serie. Encontrar la corriente de secuencia en el punto de falla es fcil de comprender.


Mediante las ecuaciones de las componentes simtricas, encontramos la corriente de falla de la fase

Ia = I1 + I2 + I0 = 3I1


Mediante la utilizacin de la clsica teora de circuitos encontramos las corrientes de secuencia en cada una de las ramas del sistema. En este caso es muy efectivo el uso de los divisores de corriente.


La tcnica de los divisores de corriente se aplica para encontrar la corriente de secuencia positiva en una de las ramas de la red. Se hace lo mismo para las redes de secuencia negativa y cero.


Ntese que las corrientes de las tres secuencias halladas con la tcnica de los divisores de corriente, corresponden a las corrientes de secuencia en la ubicacin deseada del sistema.


Una vez conocidas las corrientes de secuencia, se utilizan las ecuaciones de las componentes simtricas para encontrar las corrientes de fase en la ubicacin deseada.

Estas corrientes estn en por unidad y deben estar en Amperes.

La corriente de base se encuentra para el nivel de tensin de 69 kV.


Finalmente, se multiplica por la corriente de base para encontrar las corrientes deseadas en Amperes.

Puede llevarse a cabo un proceso muy similar para encontrar las tensiones en cualquier ubicacin dada de la red.


Tal como se mencion anteriormente, las lneas areas de transmisin son los elementos ms expuestos del sistema elctrico de potencia. Por lo tanto, las fallas normalmente ocurren sobre ellas.


El circuito equivalente de dos fuentes es normalmente utilizado para analizar las fallas en lneas. El aporte del sistema a la falla se representa mediante un simple (desconectado) circuito equivalente de dos fuentes cuya aplicacin simplifica el clculo sin afectar en gran medida al concepto. Sin embargo, cuando se requiere un anlisis ms preciso de las fallas, este equivalente puede no brindar buenos resultados.


Durante una falla trifsica, las magnitudes de la corriente de las tres fases se incrementan y las magnitudes de las tres tensiones disminuyen. Si la falla es perfectamente equilibrada, las cantidades de falla permanecen a 120 grados entre S.


A la izquierda de la diapositiva se pueden ver las tensiones y las corrientes de fase para una falla unipolar a tierra; a la derecha las tensiones y las corrientes para una falla bifsica.


La diapositiva muestra las tensiones y corrientes de fase para una falla bifsica a tierra.

En la aplicacin de rels de proteccin, es muy importante conocer el comportamiento de las tensiones y las corrientes para diferentes condiciones de falla.

Estas cantidades ingresan por las entradas de los rels y son medidas por los mismos; stos deben tomar decisiones en base a esas cantidades medidas o vistas.


Analicemos las grficas para las fallas indicadas.


Esta diapositiva y la siguiente muestran como se comportan las corrientes y las tensiones en la subestacin durante una falla de una fase a tierra. De estas figuras se puede determinar que la falla fue unipolar a tierra. El anlisis detallado de los transitorios de falla est fuera del alcance de esta seccin del curso, pero la grfica se presenta para dar una idea acerca de la evolucin en cada instante de las cantidades de fase durante el desarrollo de la falla.


Ntese que las componentes de alta frecuencia estn presentes no solamente en la fase en falla sino tambin en las fases sanas.


Las redes de secuencia deben ser conectadas en serie.

Ntese lo siguiente:

1.Las corrientes de secuencia positiva, negativa y cero en el punto de falla son iguales. Estas corrientes pueden ser fcilmente determinadas resolviendo el sencillo circuito de la figura.

2.Las corrientes de secuencia negativa y cero del rel, pueden determinarse mediante la simple aplicacin del divisor de corriente a las redes de secuencia correspondientes. Por ejemplo, para la corriente de secuencia cero, obtenemos: I0 = ( Zy/(Zx + Zy)) IF0 = (AejT) IF0.; donde Zx es la impedancia total del lado del rel (S) y Zy es la impedancia total del otro lado (R). El nmero complejo AejT es el factor divisor de corriente. 3.La corriente de secuencia positiva del rel puede ser calculada utilizando la frmula del divisor de corriente si las corrientes de pre-falla son de baja magnitud. Por otra parte, considerando las diferencias entre ES y ER, tan slo se necesita una sencilla solucin de red para la red de secuencia positiva.

4.La polaridad de cada una de las tensiones de secuencia se toma en referencia a sus correspondientes neutros (N1, N2, N0). 5.Este anlisis de la red de secuencia es vlido slo para aquellos casos en que es aceptable la utilizacin del equivalente de dos fuentes tal como fue empleado aqu.


Las fallas serie son las siguientes:

Una fase abierta

Dos fases abiertas

Fallas por inversin de fase


La conexin de la red de secuencia que se muestra no es comn.


Analicemos el ejemplo presentado en la figura. Ntense las conexiones del transformador.


Las conexiones de red de secuencia no comunes consideran los devanados tringulo del transformador del otro lado de la falla.

Si uno de los transformadores tiene una conexin tringulo del lado de la falla, la corriente de secuencia cero no estar presente.


Otra conexin de red no comn.

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