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Sistemas de segundo orden
Departamento de Control, División de Ingeniería EléctricaFacultad de Ingeniería UNAM
México D.F. a 11 de Septiembre de 2006
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden auna ecuación diferencial linea de segundo orden
)()()()()()(212
2
0212
2
0 trbdt
tdrbdt
trdbtcadt
tdcadt
tcda
Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:
.0,,,1 102210 bbKbapaa
Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:
)( pssK
)(sR )(sC)(sE K
p
dondees una const.que representauna ganancia.
es una const. realrepresenta al polodel sistema.
Su función de transferencia de lazo cerrado es:
KpssK
sRsC
2)(
)(
Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
KppsKpps
KsRsC
4242)()(
22
1. Reales diferentes si: Kp 4
2Kp
4
2
Kp 4
2, 2. Reales iguales si:
3. Complejos si
Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables2nK 22 np
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
22
2
2)()(
nn
n
sssRsC
forma estándar del sistema
de segundo orden.
donde es la frecuencia natural no amortiguada, se denomina atenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los parámetros y . n
Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:
(1) Caso subamortiguado : en este caso se escribe)10( )()( sRsC
donde se denomina fracuencia natural amortiguada. Si21 nd
n
))(()()( 2
dndn
njsjssR
sC
)(sRes una entrada escalón, entonces
ssssC
nn
n
)2()( 22
2
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Utilizando fracciones parciales
2222 )()(1)(
dn
n
dn
n
sss
ssC
y conociendo que
tes
sd
t
dn
n n
cos)( 22
1-L
tsenes d
t
dn
d n
22)(1-L
Se obtiene la salida en el tiempo
)0(1tan1
1)(2
12
ttsenetc d
tn
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
(2) Caso de amortiguamiento crítico :)1(
)(sC
sssC
n
n2
2
)()(
)0()1(1)( ttetc ntn
la transformada inversa arroja
en este caso se tienen dos polos reales iguales y ante un escalón es
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
ssssC
nnnn
n
)1)(1()(
22
2
t
t
n
n
e
etc
)1(22
)1(22
2
2
)1(121
)1(1211)(
en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para unaentrada escalón, es
(3) Caso sobreamortiguado :)1(
)(sC
La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario.
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
sa1
ca1
0
2.0
4.0
7.08.0
Figura. Respuesta al escalón de diferentes sistemas de segundo orden.
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden
22
2
2)(
nn
n
sssC
)10( )0(11
)( 22
ttsenetc ntn n
)1(
)0(1212
)( )1(2
)1(2
22
teetc tntn nn
para
para
)1(
)0()( 2 ttetc tn
n
Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de )(tc
para
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0 2 4 6 8 10 12-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sa1
ca1
02.0
4.0
7.0
Figura. Respuesta al impulso de diferentes sistemas de segundo orden.
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Definición de los parámetros de la respuesta transitoria
Las características de desempeño de un sistema de control se comparan basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes parámetros.
1. Tiempo de retardo
2. Tiempo de crecimiento
3. Tiempo pico
4. Sobreimpulso máximo
5. Tiempo de establecimiento
rtdt
pt
pMst
a continuación se definen…0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
c(t)
1
0st
pM
rt pt
Tiempo de retardo
, . Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez.
Sistemas de segundo orden 2.- Tiempo de crecimiento
2.- Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del 10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.
rt
El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.
1)1
(cos1)(2
rdrd
t tsentetc rn
01
cos2
rdrd tsent
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0tan1
1costancos1
cos22
rdrdrdrdrd ttttt
o bien
d
d
d
drt
11 tan,tan1
d
rd t 21tan
el tiempo de crecimiento es
d
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
3.- Tiempo pico, . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene
pt
01
)(2
pntnpd etsen
dppd
pd
tt
sosobreimpulprimereleligese
sonecuaciónestasatisfacenquevaloreslostsen
.,,3,2,,0
,0
Sistemas de segundo orden SOBREPASO
1)( pp tcM
dd
dd sene dn
2)(
1cos
ddn ee
21eM p
st
4. Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico.
pM
5.- Tiempo de establecimiento,5.- Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mínimo donde la curva de respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido, generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2% después de 4 constantes de tiempo:
444
ns Tt
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ejemplo: Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema
)34(75ss
)(sR )(sC
Desarrollo:
La función de transferencia de lazo cerrado es
753475
)()(
2
sssRsC
Se utiliza la siguiente igualdad
22
2
2 2753475
nn
n
ssss
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
se obtiene
3752 n
342 n
375n
877876.03752
34
17
A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria
segundostd
r 2849.0
86d
.499.0tan 1 radd
segundostd
p 33876.0
%315.000315.0 deM p
segundosts 23529.04
Nota: Analizar porque prs ttt
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ejemplo: De los siguientes parámetros de respuesta transitoria obtener la función de transferencia.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
c(t)
127
0
142
0.75
Desarrollo: de la gráfica
1181.0127
127142 pM segundosts 75.0Estos dosParámetrosSon suficientes
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
De st3333.544
ss t
t
De y conociendo pM
84335.7ln
pdp M
eM d
Entonces3333.584335.7d
48486.922 dn 56229.0
nn
96256.89666.1096256.89
2)( 222
2
sssssG
nn
n