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20-09-2012
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Sumário
Unidade I – MECÂNICA
1- Mecânica da partícula
Cinemática e dinâmica da partícula em movimentos a mais do que uma dimensão
• Cálculo vetorial – Operações com vetores.
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Cálculo vetorial Grandezas escalares e grandezas vetoriais
• Grandezas Escalares:
– São grandezas que ficam completamente definidas por um valor
numérico, com ou sem unidades.
• Ex: Área, Comprimento, Massa, …
• Grandezas Vetoriais:
– São grandezas que para além do valor numérico e unidade, ficam
completamente definidas se conhecermos a sua direção e o seu
sentido.
• Ex: Posição, Velocidade, Aceleração, Força, …
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Cálculo vetorial Vetores
• Um vetor representa-se:
– Analiticamente, por uma letra sobre a qual é desenhada uma seta, a.
– Graficamente, por um segmento de reta orientado, compreendendo
direção, sentido e módulo (magnitude, intensidade).
a
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Cálculo vetorial Vetores
• A direção do vetor
– é definida pela reta suporte, ou linha de ação, que é colinear com o
próprio vetor;
• O sentido
– é o que vai da origem para a extremidade do vetor;
• O módulo, intensidade ou magnitude do vetor
– é o valor numérico que mede o comprimento do segmento de reta
orientado, representando-se por ou simplesmente por a.
• Se o módulo de um vetor for igual a zero, o vetor diz-se um vetor nulo e
representa-se por 0.
a
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Cálculo vetorial Vetores
Vetores com a
mesma direção
e sentido, mas
módulos
diferentes
a
b
Vetores com o mesmo módulo, mas
direções diferentes (logo não se podem
relacionar os sentidos)
Vetores com a
mesma direção e
módulo, mas
sentidos
diferentes
(opostos)
c
d
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Cálculo vetorial Vetor ligado
Um vetor diz-se ligado e fica completamente definido desde que se
conheça a sua origem (ponto de aplicação), a sua direção, sentido e
módulo.
Vetor Ligado
a
Origem (ponto de aplicação)
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Nota: Matematicamente a origem (ponto de aplicação) não é uma característica dum vetor.
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Cálculo vetorial Vetor deslizante
Um vetor diz-se deslizante se não depender do ponto de aplicação e se
puder ser deslocado arbitrariamente sobre a sua reta suporte.
Vetor deslizante
b
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Cálculo vetorial Vetor equipolente
Um vetor diz-se equipolente em relação a outro, se tiverem em comum a
direção, o sentido e módulo.
Vetor equipolente
a
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b
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Cálculo vetorial Vetor livre
Um vetor diz-se livre se a sua origem puder ser deslocada arbitrariamente
no espaço. Estes são definidos pela direção, sentido e módulo e entre si
são equipolentes.
Vetor livre
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
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Cálculo vetorial Adição de vetores livres
Praticar adição de vetores livres
a b
a b
c = a + b
Regra do paralelogramo
a
b
c = a + b
Regra do triângulo
a
b
c = b + a
Regra do triângulo
• Adição de dois vetores
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Cálculo vetorial Multiplicação de um vetor por um escalar
• Seja k um número real e v um vetor.
w = k v
Mesma direção de v
Mesmo sentido de v se k > 0 Sentido oposto ao de v se k < 0
v
k = 2
w = k v
k = - 0,5
w = k v
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w = k v Módulo
Exemplo:
Cálculo vetorial Subtração de vetores livres
a b a b
a b
- b c = a - b
a b
- b
• Subtração de dois vetores
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Cálculo vetorial Vetor unitário
• Um vetor cujo módulo é igual à unidade chama-se vetor unitário ou
versor;
• Um vetor unitário ou versor é utilizado para indicar uma orientação
(direção) e sentido positivo no espaço.
e y e x
e z
x
y
z
e y e x e z = = = 1
e y
e x
e z ^ k
j ^
i ^
=
=
=
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Cálculo vetorial Módulo de um vetor
• Num sistema de eixos ortogonal, o módulo dum vetor v
v = v e + v e + v e x y x y z z
é dado por:
v = v + v + v x y z 2 2 2
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Cálculo vetorial Representação cartesiana 2D
• Os versores das direções XX e YY designam-se, normalmente, por e e e
• Um vetor com origem em O e extremidade em P, representa-se
analiticamente por:
v = v e + v e x y x y
x y
v = v + v x y
ou ainda
y
x e y
e x
P
v x
v y v
O
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Cálculo vetorial Representação cartesiana 3D
• Um sistema cartesiano a três
dimensões é definido por três retas
orientadas e perpendiculares entre si;
• Os eixos designam-se normalmente
por eixo dos XX, eixo dos YY e eixo dos
ZZ;
• Um ponto P fica perfeitamente
definido por um conjunto ordenado do
tipo (x, y, z).
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Cálculo vetorial Adição analítica de vetores
v = v e + v e + v e x y x y z z
u = u e + u e + u e x y x y z z
• Para somar dois vetores analiticamente podemos proceder do seguinte modo:
= w e + w e + w e x y x y z z
w = v + u
= (v + u ) e + (v + u ) e + (v + u ) e x x x y y y z z z
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Cálculo vetorial Subtração analítica de vetores
v = v e + v e + v e x y x y z z
u = u e + u e + u e x y x y z z
• Para subtrair dois vetores analiticamente podemos proceder do seguinte modo:
= w e + w e + w e x y x y z z
w = v - u
= (v - u ) e + (v - u ) e + (v - u ) e x x x y y y z z z
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Cálculo vetorial Multiplicação por um escalar
v = v e + v e + v e x y x y z z
• Para multiplicar um vetor por um escalar procede-se do seguinte modo:
l = escalar
w = l v = w e + w e + w e x y x y z z
= l (v e + v e + v e ) x y x y z z
= l v e + l v e + l v e x y x y z z
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Cálculo vetorial Projeção de um vetor sobre dois eixos ortogonais
e y
x
y
e x
v
v x
v y
Chamam-se vetores projeção aos vetores vx e vy
v = vx + vy v = vx ex
vy ey +
vx = vx ex
vy = vy ey
• Consideremos um sistema de eixos ortogonal, como o da figura seguinte:
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Cálculo vetorial Produto escalar (ou interno)
• O produto escalar entre os vetores u e v é um escalar e é definido por:
Esta operação goza das seguintes propriedades:
• Comutativa:
• Distributiva em relação à adição:
u . v = u v cos (u v )
u . v = v . u
u . (v + w ) = u . v + u . w
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Cálculo vetorial Produto escalar (ou interno)
• Considerando os vetores:
Aplicando a propriedade distributiva do produto escalar em relação à
adição, bem como a definição de produto escalar, obtém-se facilmente
que:
v = v e + v e + v e x y x y z z u = u e + u e + u e x y x y z z
u . v = u v + u v + u v x x y y z z
Então as expressões que se seguem permitem determinar o produto escalar entre dois vetores:
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u . v = u v cos (u v )
u . v = u v + u v + u v x x y y z z
ex . ey = 0, …
ex . ex = 1, … Em que:
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Cálculo vetorial Produto vetorial (ou externo)
• O resultado do produto vetorial entre
dois vetores u e v é um vetor w
perpendicular ao plano por eles definido,
e cujo módulo é dado por:
• O sentido do vetor resultante do produto
vetorial é dado pela regra da mão direita
ou regra do saca rolhas.
|u x v |= u v sen (u v )
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Cálculo vetorial Produto vetorial (ou externo)
• Considerando os vetores:
v = v e + v e + v e x y x y z z u = u e + u e + u e x y x y z z
w = u x v = (u v - u v ) e + + x y z z y (u v - u v ) e y z x x z (u v - u v ) e z x y y x
|u x v |= u v sen (u v )
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u x v =
ex ey ez
ux uy uz
vx vy vz
Nota: mais tarde iremos aprender como se determina este vetor.
O módulo deste vetor pode ser calculado
pela raiz da soma das componentes ao
quadrado ou pela expressão da definição
de produto vetorial:
w = u x v As componentes analíticas do vetor são dadas por:
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TPC
• Concluir os exercícios, da APSA nº 01 – Operações com vetores, que não foram feitos na aula.
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