DIBUJANDO LA CATENARIA EN AutoCAD

Una vez hemos situado los apoyos sobre el Plano Topográfico y hemos definido con

ello la traza de la Línea Eléctrica, hemos obtenido el Perfil Longitudinal de dicha traza,

hemos colocado sobre el perfil los apoyos, y obtenido el Parámetro de la catenaria para

cada vano, se nos plantea el problema de dibujar en AutoCAD el tendido sobre el Perfil

Longitudinal.

Lo que intentaremos hacer es obtener puntos secuenciales de nuestra catenaria en

cuestion, aproximándola a una parábola y uniremos posteriormente todos los puntos

obtenidos mediante polilíneas. Evidentemente esto solo tendrá sentido si

implementamos la solución del problema mediante un pequeño algoritmo en AutoLISP.

El problema se resuelve como sigue :

1. Tratamiento teórico del problema. :

Para resolver la figura sabemos que :

y_a = x2/2P (cuando x = -x) => y_a = (-x)

2/2P = x

2/2P

y_a = x2/2P

y_b = x2/2P (cuando x = L-x) => y_b = (L-x)

2/2P = (L

2 + x

2 –

2Lx)/2P

y_b = (L2 + x

2 – 2Lx)/2P

El desnivel AZ = (y_b – y_a) = (L2 + x

2 – 2Lx)/2P - x

2/2P = (L

2

– 2Lx)/2P

de donde si AZ = (L2 – 2Lx)/2P => x = (L/2 - AZP/L)

x = (L/2 - AZP/L)

Si tomamos como origen de coordenadas el punto A (x_a, y_a) entonces las

coordenadas del vértice de la parábola vendrán dadas por :

x_v = x_a + (L/2 - AZP/L)

y_v = y_a – ((L/2 - AZP/L)2)/2P

Para calcular un punto que pertenezca a la parábola debemos tener en cuenta que las

coordenadas del vértice deberían ser (0,0) ya que según la ecuación de la parábola

y=x2/2P para x=0 (vértice) => y=0 (ver figura). Como hemos redefinido el origen sobre

el punto A , entonces :

x_i = (x_a + Ax) => y_i = y_v + (x_i – x_v)2/2P

-> x_i lo tomaremos como un punto desplazado un incremento Ax

del punto A (x_a, y_a).

-> A y_i le debemos sumar y_v, ya que al desplazar el origen

y_v no será 0.

-> A demás debemos restar de x_i, x_v porque el verdadero valor

de x debemos contarlo

a partir del vértice (x=0).

Por lo que :

x_i – x_v = (x_a + Ax) – (x_a + (L/2 - AZP/L)) = (Ax + (L/2 -

AZP/L))

Recordemos que para x=0 tenemos justo este valor (L/2 - AZP/L), (ver figura). De

forma que para un punto cualquiera que pertenezca a la parábola se ha de cumplir que :

x_i = (x_a + Ax) (*)

y_i = y_v + (x_i – x_v)2/2P

(*) Si queremos que el punto esté entre los dos apoyos se ha de cumplir que Ax < L.

Bien, ahora debemos tener en cuenta que los datos de partida que utilizaremos para

calcular la catenaria los obtendremos de un Perfil Longitudinal sobre el que habremos

colocado los apoyos. Es usual que estos Perfiles estén a escala (normalmente EH 1:2000

y EV 1:500), por lo que definiremos :

eh = EH/1000

ev = EV/1000

De forma que si EH = 1:2000, EV = 1:500 => eh = 2 y ev = 0.5.

Los únicos datos de partida que necesitaremos para dibujar la catenaria (aproximada a

una parábola) serán : (x_a, y_a) , (x_b, y_b) y el parámetro, todos ellos conocidos.

Con estos datos obtendremos :

L = (x_b – x_a) * eh

AZ = (y_b – y_a) * ev

Es importante respetar la nomenclatura de forma que el punto A debe quedar al

izquierda del punto B.

x_v = (x_a + (L/2 - AZP/L) * (1/eh))

y_v = (y_a – (((L/2 - AZP/L)2)/2P) * (1/ev))

De la misma forma nos queda que para cualquier punto que pertenezca a la parábola :

x_i = (x_a + Ax * (1/eh))

Para calcular la coordenada y_i, debemos partir de los valores de x_i sin escalas :

x_i’ = (x_a + Ax)

Y necesitamos las coordenadas del vértice también sin escalas :

x_vr = (x_a + (L/2 - AZP/L))

Entonces y_i será (esta vez si aplicamos la escala al valor obtenido) :

y_i = (y_v + ((x_i’ – x_vr)2/2P) * (1/ev))

2. Tratamiento práctico del problema.

Después de la explicación teórica, procedemos al “modus operandi” de cómo obtener

los puntos secuenciales de una parábola a partir de los valores pinchados sobre el Perfil

Longitudinal, en AutoCAD.

1. Obtenemos las coordenadas de los puntos A y B del Perfil Longitudinal, los puntos

de amarre del conductor :

A = (x_a, y_a)

B = (x_b, y_b)

2. Tomamos los valores de las escalas de trabajo :

eh = EH/1000

ev = EV/1000

3. Calculamos L y AZ :

L = (x_b – x_a) * eh

AZ = (y_b – y_a) * ev

4. Fijamos el Parámetro que deseamos para la catenaria :

P = Tense / Carga (Parámetro de la catenaria)

5. Calculamos x_vr e y_v como sigue :

x_vr = (x_a + (L/2 - AZP/L))

y_v = (y_a – (((L/2 - AZP/L)2)/2P) * (1/ev))

6. Fijamos el número de puntos secuenciales que queremos calcular (a mayor número,

mayor precisión) :

n = número de puntos secuenciales (cuerdas).

7. Tomaremos AL = L/n.

AL = L/n

8. Comenzaremos la secuencia con i = 1, y :

Ax = i * AL

9. Calcularemos y_i como sigue :

x_i’ = x_a + Ax

y_i = (y_v + ((x_i’ – x_vr)2/2P) * (1/ev))

10. Y finalmente x_i lo calculamos como :

x_i = x_a + Ax * (1/eh)

11. Incrementamos el valor de i en uno y volvemos al paso 8 hasta que i=n :

i = i + 1

y volver al paso 8 si i < n (o Ax < L)

12. Con todo esto disponemos de una tabla de n pares de puntos (x_i, y_i) con los que

podremos dibujar la catenaria aproximada a una parábola. Esta aproximación comete un

error menor del 1.00 % con lo que será válida para la mayoría de los casos.

Hay que tener presente que si por alguna razón nos interesan las coordenadas del

vértice, éstas no simpre quedarán dentro del vano. Dependiendo del parámetro éstas

podrán caer fuera del vano.

NOMENCLATURA. :

A (x_a, y_a) = Coordenadas del punto situado más a la

izquierda.

Pertenecen al amarre del Apoyo A.

B (x_b, y_b) = Coordenadas del punto situado más a la

derecha.

Pertenecen al amarre del Apoyo B (ver

figura).

P = Parámetro de la catenaria.

Equivale al Tense partido por la carga.

(P=T/C).

Recordemos que la carga será la suma del Peso

Propio

del conductor más las posibles cargas

adicionales a

que se vea sometido éste (hielo, viento,

etc).

AZ = Desnivel entre los amarres de los soportes

(y_b – y_a).

L = Longitud plana del vano (x_b – x_a).

x_v,y_v = Coordenadas del vértice de la parábola (sobre

AutoCAD).

x_vr = Coordenada x real del vértice sin escalar.

Sin aplicar la escala de deformación del

Perfil.

x_i, y_i = Coordenadas del punto secuencial (i) de la

parábola.

x_i’ = Coordenada x del punto secuencial sin

escalar.

eh, ev = Factor de escala horizontal y vertical (del

Perfil Longitudinal).

n = nº de puntos secuenciales de la parábola.

Evidentemente es un número entero.

AL=L/n = Incremento de longitud unitario para el

cálculo de los puntos

secuenciales.

Ax = Incremento de x.

También definido como i * AL.

Incremento n-secuencial de x para el cálculo

de los puntos

secuenciales.

i = n-secuencia.

Rutina en AutoLISP.

En el directorio Bonus de TopoLGCAD 2.0 encontrará la rutina.

Este artículo es libre y se puede distribuir siempre que se cite la fuente original.

David Esquinas - 2004 -