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dibujo cristalografico
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
D I B U J O
CRISTALOGRÁFICO
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 1
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA “Norte de la Universidad Peruana”
Fundada por Ley 14015 del 13 de febrero de 1962.
FACULTAD DE INGENIERÍAEscuela Académico Profesional de INGENIERÍA DE MINAS.
Asignatura: Cristalografía
Integrantes:
Cotrina Angulo Hansell Yanini. Orrillo Mendoza Roberto Carlos.
Temas:
Dibujo Cristalográfico
Docente: Ing. Manuel Oscar Zambrano Chilón
-2015-
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 2
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
ESTE TRABAJO ES DEDICADO:A Dios, quien fue el creador de todas las cosas, el que ha dado fortaleza para continuar cuando a punto de caer hemos estado.
A nuestra familia, que con su apoyo incondicional nos ayudan día a día para poder lograr nuestras metas trazadas y concluir con éxito nuestra carrera profesional.
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
A nuestro docente, Ing. Manuel Oscar Zambrano Chilón, quien nos brinda los conocimientos necesarios para aprender y ser los profesionales que el mundo requiere.
ÍNDICEPág.
Portada 02
Dedicatoria 03
Índice 04
Introducción 05
Objetivos 06
Fundamentación Teórica 07
Proyección Esférica y Gnomónica 07
Proyección Estereográfica 08
Aplicación para la Geología 15
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 4
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
Aplicación para la Cristalografía 18
Dibujo de un Cristal 19
Aplicación para el dibujo de un Cristal 23
Mediante el programa CaRIne Crystallography 3.0 23
Conclusiones 33
Bibliografía 34
DIBUJO CRISTALOGRÁFICO
I. INTRODUCCIÓN
Una proyección de un cristal es un medio de representar un cristal
tridimensional en una superficie plana bidimensional. Diferentes tipos de
proyección se usan para fines distintos, pero cada una de ellas se lleva a cabo
según reglas definidas de tal manera que la proyección tiene una relación
conocida y consta con el cristal. Los dibujos de los cristales que se presentan
en este informe se conocen como PROYECCIONES CLINOGRÁFICAS y son
de un tipo tal de perspectiva que parece una fotografía en dos dimensiones del
cristal. Este es el método mejor para representar el cristal y muchas veces es
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
superior a la fotografía. Utilizaremos todos los elementos de la ventana Stereo
Projection (proyección estereográfica), el cual pertenece a la plataforma de
CaRIne Crystallography 3.1
Nos adecuaremos a representar dos tipos de cristales: El NaCl y el CsCl
(ambos del sistema cubico), representaremos las características de las caras
como sus respectivos ángulos, representaremos sus polos, colocaremos a que
simetría pertenece cada polo, etc.
II. OBJETIVOS
Representar un cristal en una superficie bidimensional mediante
las diferentes proyecciones cristalinas.
Conocer las diferentes proyecciones estereográficas.
Obtener la respectiva representación estereográfica para un
cristal cúbico usando el programa CaRIne Crystallography 3.0.
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
III. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
1. PROYECCIÓN ESFÉRICA
Suponemos el cristal inscrito en la esfera, donde el centro geométrico del cristal coincide con el de la esfera (tres dimensiones).
Para obtenerlo elegimos como punto de vista el centro de la esfera y trazo perpendiculares a las caras prolongando hasta la superficie (desde el centro de la esfera que se alarga hasta la superficie). Mediante este punto queda representada la cara del cristal.
El punto se le llama polo, que es el punto de intersección entre la perpendicular y la esfera, y al conjunto de todos los polos de un cristal se le denomina figura polar.
Es una proyección en tres dimensiones. Vemos la relación entre las caras y estas con los elementos de simetría. Una consecuencia, es que las caras tautozonales que están en zonas iguales tendrán sus polos en un círculo máximo de la esfera. Dos caras paralelas tienen sus polos diametralmente opuestas.
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Teorema fundamental: el ángulo diedro que forman las caras del cristal es suplementario del ángulo que forman sus polos
Para localizar un polo sobre la superficie esférica se utilizan dos valores o coordenadas, denominadas coordenadas polares Azimut (): equivale a la longitud del globo terráqueo.
Es el arco correspondiente a un meridiano como origen y el meridiano (círculo máximo que pasa por los polos Norte y Sur) correspondiente al polo. El meridiano origen es el que corresponde al plano cristalográfico frontal, es decir, el formado por los ejes y z. Se medirá hacia el sentido de las agujas del reloj, será positivo y podrá variar 180º.
Puede ser negativo en sentido contrario Distancia polar (): equivalente a la latitud geográfica y es el arco entre el punto de intersección del eje z y la esfera y el polo de la cara contado sobre su meridiano ( polo norte esférico y el polo de la cara contado sobre el meridiano) Varía entre 0 y 180º, las que están por encima de ecuador serán mayores de 90º y por debajo serán inferiores a 90º. En este caso siempre son positivos los valores.
Todos los polos situados sobre el mismo paralelo tendrán igual distancia polar y distinto azimut. Si conocemos los parámetros de una res cristalina, traslaciones y ángulos, podemos obtener cualquier coordenada polar de esa cara, normalmente el primero corresponde al azimut y luego la distancia polar. Además necesitamos los índices de Miller, notación de la cara. En la práctica medimos el ángulo entre las caras, primero calculamos el azimut () y luego la distancia polar ().
Paso de proyección esférica a proyección plana. Se utilizan dos tipos de proyección plana: gnomónica y estereográfica. Primero trasladamos los polos esféricos a un plano y para ello elegimos el plano en el que vamos a proyectar y lo denominamos polo fundamental.
Otra herramienta es el punto de vista desde el que se trazan visuales o rectas a los polos esféricos que cortarán al plano fundamental en unos puntos determinados: las proyecciones que buscamos son las proyecciones.
2. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
La proyección estereográfica es un sistema de representación
gráfico en el cual se proyecta la superficie de una esfera sobre un
plano mediante haces de rectas que pasan por un punto, o foco.
El plano de proyección es tangente a la esfera, o paralelo a éste,
y el foco es el punto de la esfera diametralmente opuesto al punto
de tangencia del plano con la esfera.
La superficie que puede representar es mayor que un hemisferio.
El rasgo más característico es que la escala aumenta a medida
que nos alejamos del centro.
En su proyección polar los meridianos son líneas rectas, y los
paralelos son círculos concéntricos. En la proyección ecuatorial
sólo son líneas rectas el ecuador y el meridiano central.
Para trabajar con la proyección estereográfica es preciso conocer,
inicialmente, una serie de términos geométricos, que nos permitan definir de
forma unívoca cada elemento, estos términos nos determinan su orientación.
RUMBO O DIRECCIÓN: Dirección que sigue la línea de intersección formada
entre el plano horizontal y el plano del estrato o estructura geológica, con
respecto al Norte o al Sur.
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
BUZAMIENTO: Es el ángulo de inclinación o ángulo diedro comprendido entre
el plano de la roca o estructura y el plano horizontal. Es la línea de máxima
pendiente de un estrato. La dirección del buzamiento siempre es perpendicular
al rumbo o dirección.
PROYECCIÓN DE UN PLANO
Se construye una esfera centrada en algún punto “O” de la traza de
afloramiento de un plano geológico inclinado. El plano y su prolongación
cortarán la esfera según un círculo máximo o círculo mayor.
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
Representación de un plano inclinado con su polo:
2) TIPOS DE REPRESENTACIONES ESTEREOGRÁFICAS
Existen diversas formas de representación de los elementos planos y lineales
en la proyección estereográfica. Todos ellos se llevan a cabo mediante el
empleo de la falsilla de Wulff que se obtiene a partir de la proyección de los
meridianos y paralelos de la esfera.
DIAGRAMA DE CÍRCULOS MÁXIMOS O DIAGRAMA BETA:
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
Únicamente se utiliza para la representación de elementos planos. Se obtiene
por proyección sobre el plano ecuatorial, del círculo máximo de la superficie
plana considerada. Este círculo máximo representa la intersección del plano
con la esfera. Se muestra el diagrama de círculos máximos correspondiente al
estudio de un macizo rocoso.
a. Diagrama de círculos máximos (beta).
b. Diagrama de polos (pi).
DIAGRAMA DE POLOS O DIAGRAMA PICuando las medidas a representar en el diagrama son muy numerosas, la
representación mediante círculos máximos puede dificultar la lectura de los
resultados en la falsilla, por lo que se suele recurrir a los diagramas de polos o
diagramas pi.
En este tipo de diagramas se representan únicamente los polos de los planos o
rectas, es decir la intersección de la recta con la esfera en el caso de
elementos lineales o la intersección de la normal al plano con la esfera si se
trata de elementos planos.
Diagrama de densidad de polos
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
La proyección estereográfica de un determinado elemento de la naturaleza,
nunca es tan exacta como la de líneas y planos teóricos, ya que presentan
irregularidades puntuales, falta de ajuste con la geometría ideal, en muchos
casos, y posibles errores de precisión. Esto hace que se produzcan
dispersiones que, dependiendo de su magnitud, pueden o no facilitar
la interpretación de un polo o un círculo máximo. De ser así y producirse una
gran dispersión de datos, será preciso recurrir a un análisis estadístico de una
muestra grande de datos con el fin de determinar la dirección y buzamiento
predominantes.
Este análisis estadístico no se puede realizar mediante la proyección
estereográfica ya que se producirá una gran concentración de puntos en la
parte central del diagrama . Para realizar este análisis se recurre a la
proyección equireal, empleando la falsilla de Schmidt, que nos permite el
recuento directo de los polos, calcular su valor estadístico por unidad de
superficie y determinar las direcciones y buzamiento predominantes.
a. En proyección equiareal.
b. En proyección estereográfica (equiangular).
Falsillas estereográficasSon como un transportador de ángulos en 2D que sirven para representar las
orientaciones de los planos y líneas de las respectivas proyecciones
ciclográficas.
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Hay diferentes tipos de falsillas:
A. Falsillas equiareal (Schmidt): geología estructural. Conserva las áreas
pero no los ángulos.
B. Falsillas equiangular (Wulf): cristalografía. Conserva los ángulos pero no
las áreas.
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
APLICACIÓNES:GEOLOGÍA ESTRUCTURAL
La proyección estereográfica proporciona una herramienta fundamental en el
campo de la ingeniería geológica. Su principal interés estriba en el hecho de
que con ella podemos representar orientaciones (dirección) e inclinación
(buzamiento o inmersión) preferentes de elementos que en la naturaleza no se
presentan con desarrollos geométricos perfectos, como es el caso de un
estrato, donde el plano de techo y de muro presentan irregularidades puntuales
aunque con una tendencia general. Además este tipo de representación
permite medir los ángulos de forma directa.
Entre sus aplicaciones más importantes se encuentra el reconocimiento de
juegos de diaclasas en un afloramiento rocoso, la determinación de la dirección
y el buzamiento de un estrato, la determinación del tipo de rotura en un
movimiento de ladera, etc., Generalmente el desarrollo de los elementos no es
perfecto como ocurre por ejemplo con las diaclasas.
Cuando el elemento a medir es un plano, el ángulo de inclinación recibe en
geología el nombre de buzamiento (dip), mientras que cuando se trata de una
recta la inclinación recibe el nombre de inmersión (plunge).
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 15
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
DETERMINACIÓN DE FAMILIA DE DIACLASAS
Para la determinación de los juegos de diaclasas o discontinuidades que
afectan a un macizo rocoso suelen elaborarse diagramas pi de los planos de
discontinuidad. Cuando la dispersión es muy pequeña, fácilmente podemos
determinar los juegos que afectan al macizo situándonos sobre la zona de
máxima densidad de puntos. Sin embargo, esto no siempre es así, ya que
generalmente la dispersión es grande, debiendo recurrir a métodos
estadísticos que nos permitan establecer las zonas de máxima
concentración de polos. Preparado el diagrama de polos se procede a
contar su densidad, para lo cual suele ser conveniente, tal y como ya se ha
comentado con anterioridad, el uso de la representación equiareal que
permite un tratamiento estadístico de los datos
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 16
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE ROTURAS EN ROCA
En el estudio de taludes excavados en macizos rocosos suele ser muy útil la
determinación de las discontinuidades existentes para su posterior
representación estereográfica junto con la representación del propio talud.
Observando las orientaciones de los juegos de discontinuidades y del talud
puede llegarse a deducir mediante un análisis sencillo cual será el tipo de
rotura predominante.
Además, la proyección estereográfica nos permitirá en algunos de estos
casos obtener las magnitudes angulares necesarias para el cálculo del factor
de seguridad del talud.
DETERMINACIÓN DEL EJE Y DEL PLANO AXIAL DE UN PLIEGUE
El eje de un pliegue (figura 10.a) puede calcularse con ayuda de la
proyección
Estereográfica con tan sólo tomar una serie de medidas de orientaciones de
los flancos del pliegue (figura 10.b). Representando los polos de estas
orientaciones, bastará con trazar el plano que contenga estas direcciones y
que corresponderá a un plano normal al eje del pliegue cuyo rumbo e
inmersión vendrán dados por el polo del citado plan.
La superficie de charnela plana es paralela al plano axial, al igual que el eje
del pliegue será paralelo al plano axial, por lo que trazando en el
estereograma una dirección equivalente a la medida en el campo para la
superficie de charnela y haciendo que él contenga al eje (P) habremos
obtenido un plano paralelo a la charnela y que contenga el eje, es decir
habremos obtenido el plano axial con su correspondiente buzamiento y
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 17
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
dirección.
OTRAS APLICACIONES EN GEOLOGÍA ESTRUCTURAL
El empleo de la representación estereográfica en geología estructural es
innumerable. Los ejemplos mostrados no son más que una pequeña
demostración del potencial de la proyección estereográfica para la
resolución de problemas de geología estructural.
CRISTALOGRAFÍA
La principal utilidad de la proyección estereográfica en cristalografía estriba
en el hecho de que si representamos gráficamente las caras de los cristales
podremos determinar la simetría del cristal y por tanto la clase cristalina a la
que pertenece.
Además, la proyección estereográfica, al ser una proyección conforme
permite la medida directa de los ángulos cristalinos, ya que se mantiene su
verdadera magnitud tras la proyección.
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
DIBUJO DE UN CRISTAL
REPRESENTACION O DIBUJO ESFÉRICOPara este tipo de representación, se realiza en la plataforma de una esfera,
donde se procede a colocar al cristal en el centro de la esfera. Posteriormente
se traza una línea perpendicular a cada cara del cristal. La intersección de la
línea con la superficie de la esfera forma un punto denominado “POLO”. Donde
cada cara es un punto (polo), además diremos que la representación es
tridimensional
FIGURA 1: PROYECCION ESFERICA
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
FIGURA 2: REPRESENTACION DE LAS CARAS DE UN CRISTAL EN UNA P.E.
REPRESENTACION O DIBUJO ESTEREOGRÁFICOPara poder representar las caras y diversos elementos de simetría de un
cristal; lo más adecuado seria trabajar con esta proyección, ya que nos da a
entender con más facilidad la ubicación de cada elemento, además nos busca
reducir a una superficie plana (dos dimensiones).
FIGURA 3: REPRESENTACION ESTEREOGRAFICA
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 20
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
Además entendemos que esta proyección necesita como base, un punto el
cual notamos en la figura 3, se encuentra en la base de la esfera. Con este
punto de referencia se trazan líneas, todas dirigidas a este punto, respecto de
los polos.
De esta manera al intersectarse con el plano ecuatorial de la representación
esférica, suponen una serie de puntos, los cuales son la representación
estereográfica de los llamados “POLOS”
FIGURA 4: VISTA DE UNA PROYECCION ESTEREOGRAFICA
Sin embargo hemos dicho que la medida de los ángulos de cada cara de un
cristal, es crucial para imaginarnos al cristal en forma real; lo más conveniente
ahora es utilizar “La ned de wuff” o “Red estereográfica”; con esto
podremos saber la medida y la graficación de los ángulos entre las caras (ya
que un polo era la proyección perpendicular de un polo)
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 21
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
FIGURA 5: REPRESENTACION DE UNA NED WUFF
De esta manera se pueden representar los elementos de simetría y averiguar
los ángulos respectivos, sin ningún inconveniente; ya que sabemos además
que la red de wuff tiene una dimensión de 2° por 2° en cada celda. A
continuación veremos la representación de los elementos de simetría de un
cristal.
FIGURA 6: REPRESENTACION DE UN CRISTAL EN UNA RED DE WUFF
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
APLICACIÓN USANDO EL PROGRAMA
CaRIne Crystallography 3.0
1) PROCEDIMIENTO:
Cargamos el programa el programa CaRIne Crystallography 3.1 y abrimos la
celda del cloruro de sodio ya realizada, como muestra los pasos de las figuras .
Ventana de Carine 3.0. Comando open cell.
Ventana del comando Abrir.
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 23
Hacemos clic en donde señalan las
flechas
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
Ventana Celda unitaria del NaCl.
Luego de haber abierto la celda y haberle dado algunos efectos como muestran
las figuras 8 y 9 procedemos a buscar en la barra de herramientas la pestaña
Calcul para luego realizar la actividad que requerimos.
Seleccionando el Comando View. Ventanas Graphics y pasos.
FIGURA 7: CELDA CRISTALOGRAFICA DEL NaCl
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
Seleccionar el comando Stereo Projection del menú Specials para
desplegar la ventana de funciones, como se muestra en la Figura 5.3.
FIGURA 8: VENTANA DE FUNCIONES STEREO PROJECTION
Hacer clic izquierdo en la opción Parameters y el software le mostrará la
ventana Stereographics Projection, donde podrá definir las direcciones,
los polos y las trazas de la proyección.
FIGURA 8: VENTANA STEREO PROJECTION
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 25
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
A continuación presionamos en el botón Poles y en el botón Traces, y
en Directions para definir el rango de direcciones u, v, w (h, k, l) que
desea considerar. Hacer clic en OK.
Definidas las direcciones, los polos y las trazas en la ventana
Stereographics Projection Prefs hacer clic en OK.
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
FIGURA 9: VENTANA STEREO PROJECTION DEFINIDA
“No es necesario definir la sección de direcciones; ya que sabemos que para cada plano tiene sus índices de Bravais, y estos son los mismos para las direcciones; como también sabemos que la representación de la cara de un cristal es perpendicular a dicha cara, la dirección toma la mima dirección y por ende tendrán la misma proyección estereográfica”
Seleccionar el comando Stereo Projection del menú Specials y elegir la opción Creation para visualizar la proyección estereográfica creada.
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 27
Click
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
FIGURA 10: PROYECCION ESTEREOGRAFICA DEL NaCl
En la proyección estereográfica, con la ayuda del cursor, definimos los
valores de Ө y φ para representar las coordenadas de la posición de los
polos de la proyección. Esta característica de la proyección
estereográfica se encuentra en la parte inferior izquierda de la ventana.
Usando la herramienta Ster. Proj. que se muestra en la parte de la
Figura 10, usted podrá asignar otros polos con el mouse en las
intersecciones de las trazas que se encuentren libres. Además de ciertas
características importantes que te da dicho comando. Además que
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(1,1,1)
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(1,0,0)
(1,0,-1)
(1,-1,1)
(1,-1,0)
(1,-1,-1)
(0,1,1)
(0,-1,-1)
(0,1,0)(0,-1,0)
(0,-1,1)
(0,1,-1)
(0,0,1)
(0,0,-1)
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
existe una ventana acoplable con todas las principales funciones de este
comando.
FIGURA 11: COMANDO SPECIALS (STEREO. PROJECTION.)
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 29
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
Ahora lo que realizaremos es la utilización de cada función de este
comando. Primero seleccionamos el comando, ? Angle with mouse para
determinar, con la ayuda del cursor del transportador, los valores
ángulos entre de los polos en la proyección estereográfica (ángulos
entre planos). Para esto debemos hacer clic en dos puntos o polos
estereográficos para que pueda medir el ángulo entre ellos.
FIGURA 11: COMANDO SPECIALS (STEREO. PROJECTION.)
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(1,1,1)
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(1,0,0)
(1,0,-1)
(1,-1,1)
(1,-1,0)
(1,-1,-1)
(0,1,1)
(0,-1,-1)
(0,1,0)(0,-1,0)
(0,-1,1)
(0,1,-1)
(0,0,1)
(0,0,-1)
Click
Click
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
Para el segundo paso procederemos a asignar polos nuevos alrededor
de las trazas de la proyección estereográfica, para ser más preciso en
las intersecciones de las trazas. Para este caso el software aplicara la
ley de periodicidad de los polos y con el comando, ? Pole with mouse de la función Stereo Projection del menú Specials podremos crear
nuevos polos en la proyección estereográfica.
POR LA LEY DE PERIODICIDAD TENEMOS:
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(1,1,1)
(1,1,0)
(1,1,-1)
(1,0,1)
(1,0,0)
(1,0,-1)
(1,-1,1)
(1,-1,0)
(1,-1,-1)
(0,1,1)
(0,-1,-1)
(0,1,0)(0,-1,0)
(0,-1,1)
(0,1,-1)
(0,0,1)
(0,0,-1)
(1,-1,2)
(1,-2,1)
POLO 1
POLO 2
(h1 , k1 ,l1 )+(h2 , k2 ,l2)=(h3 , k3 , l3 )
POLO 1=(1 ,0 ,1 )+(0 ,−1 ,1)=(1,−1,2 )
POLO 2=(1 ,−1 ,0 )+(0 ,−1 ,1)= (1,−1,2 )
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
Continuando con las funciones del comando STEREOGRAPHICS PROJECTION, tenemos a la función, ? Trace from 1 Pole, lo que
realiza esta función es adicionar o quitar una traza correspondiente a un
polo de la proyección estereográfica (eje de zona). Es decir que
quitamos o adicionamos una línea donde se ubicarían todos los puntos
del eje de zona (punto que seleccionamos).
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 32
Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
IV. CONCLUSIONES:
Para la primera conclusión diremos que la las proyecciones
estereográficas están, representadas todos los polos de la proyección
esférica, y esta proyección estereográfica solo toma aquellos polos que
se encuentran en la parte superior de la esfera (la proyección
estereográfica divide a la esfera en dos partes), por ende los polos de
las caras de la parte inferior no saldrán según la definición vista al inicio
para poder crear los polos de la proyección estereográfica.
Y por último gracias a este informe corroboramos algunas fórmulas
aplicadas en la teoría, como la Ley de la periodicidad o La relación entre
índices de planos y direcciones.
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Cristalografía - Dibujo Cristalográfico
V. Bibliografía
Manual de Mineralogía de Dana, Cornelius S. Hurlbut, Jr. Segunda
Edición, pág 35 – 43.
CRISTALOGRAFÍA – Garay
Principios de Cristalografía, E Flint. Editorial Paz, pág 96- 102. (ley
de zonas)
BELL F.G., (1992). Engineering Geology, Ed. Blackwell Science
Inc, Cambridge, EE.UU.
Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 34