didácticas de matemáticas

7/23/2019 didcticas de matemticas

1/22

MINISTERIO

D E E D U C A C I N

Y CIENCIA


2/22

M ETODO LOGA Y APLIC AC IONES

DE

LAS MATEMTICAS EN LA E.S.O.

MINISTERIO

DE EDUCACIN

Y CIENCIA

m i

9 SECRETARIA GENERAL

M DE EDUCACIN

iNsnturo;uff KIOB DE

FOflMACIN DEL

PROFESORADO


3/22

MINISTERIO DE EDUCACIN Y CIENCIA

SECRETARA GENERAL DE EDUCACIN

Inslituio Superior de Formacin del Profesorado

Edita:

SECRETARA UENERAL TCNICA

Subdircccin General tic Informacin y Publicaciones

NJ.P.O. :65I-04-I34-X

I.S.B.N.: 84-369-925-S

Depsilo Legal: M. S2.350-2004

Imprime: Sociedad Annima de Fotocomposicin


4/22

Coleccin:

AULAS DE VERANO

Serie:

Ciencias

METODOLOGA Y APLICACIONES

DE LAS MATEM TICAS EN LA E S O

La motivacin y el estimulo en el aprendizaje son tareas que debe asumir

el profesor y una forma de llevarlas a cabo consiste en poner de manifiesto la

utilidad de los contenidos que se imparten y la relacin con otras disciplinas.

La enseanza de las Matemticas en la E.S.O. tiene una doble funcin:

formativa e instrumental. Las Matemticas proporcionan la base necesaria

para estructurar y comprender otras ramas de la Ciencia y para profundizar

en el conocimiento y desarrollo de nuestra cultura.

Direccin editorial

del

volumen

Metodologa y aplicaciones de las

matemticas en la E.S.O: M.

a

FRANCISCA BLANCO MARTN

Coordinacin:

Mara Jos GMEZ MATE

Autores:

LVAREZ GUTIRREZ, ngel

BLANCO MA RTN, M.

a

Francisca

DE GUZMN OZMIZ, Miguel

FIOL MORA, M.

a

Luisa

PREZ GMEZ, Rafael

RECIO MUE, Toms

ROANES LOZANO, Eugenio

ROANES MACAS, Eugenio


5/22

NDICE

Geometra y Diseo

9

M.

a

Francisca Blanco Martn

Matem ticas en las Nuevas Tecnologas de la Informacin

37

ngel lvarez Gutirrez

Matem ticas y Tecnologa en la Secundaria y el Bachillerato (una

va de dos direcciones que no recorre ningn tren)

71

Toms Recio Muiz

El Pape de a V isualizacin en el Aprendizaje 89

Miguel de Guzmn Ozmiz

Los Sistemas de Com putacin Algebraica en el Curriculo de Secun-

daria 117

Eugenio Roanes Macias

Los Sistemas de Geom etra Dinmica en el Curriculum de M atem-

ticas de la ESO. y el Bachillerato

133

Eugenio Roanes Lozano

La Forma de las cosas: del Sueno a la Imaginacin

147

M.

a

Luisa Fiol Mora

Aserej o ... Construccin del Conocimiento Matemtico

183

Rafael Prez Gmez

Ediciones del Instituto Superior de Formacin del Profesorado . . 219


6/22

M.' Francisca Blanco Martn

GEOMETRA Y DISEO

M .

a

Francisca Blanco Mart n

Departamento de Matemtica Apiicada Fundamental

E.T.S. de Arquitectura

Universidad de Valladolid

1

2

3

4

5

6

7

S

INTRODUCCIN

ELECCIN DEL CUAD RADO JUSTIFICACIN

PROPORCIN EN UN RECTNGULO

RECTNGULO

4l

4.1.

Aplicacin: formatos

DIN

RECTNGULO DE PLATA

5.1.

Propiedades del nm ero de plata

5.2. "Cielo Hyperxiolgico". Dal

5.3.

Palacio de Santa Cruz de Valladolid

5.4. Ejercicios en clase a partir de un folio

CORTE SAGRADO DE UN CUADRADO

6.1.

Ejercicio en clase. Catedral de Burgos

RECTNGULO UREO

7.1. Aplicacin: Catedral de Avila

7.2. Propiedades del Nm ero de Oro

7.3. Propiedad enlazadora de ios rectngulos ureos

7.4. Interpretacin Geom trica de una obra de Dali

CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFA

I INTRODUCCIN

La relacin entre el Arte y las Matemticas se ha mostrado , a lo largo

de la Historia, como una condicin necesaria para conseguir la belleza de

cualquier manifestacin artstica.

En palabras de Wittkover "todas las civilizaciones que alcanzaron un

cierto grado de desarrollo creyeron en la existencia de un orden basado en


7/22

Metodologa y aplicaciones de las Matemticas en la E.S.O.

los nmeros, que todas ellas buscaron y establecieron una armona entre los

conceptos universales y csmicos y la vida del hombre, y que el arte daba

expresin a ese orden y armona".

En el tercer milenio antes de Cristo, arquitectos egipcios construyen

templos y pirmides utilizando un orden geomtrico y unas proporciones nu-

mricas.

En la civilizacin griega, Pitgoras (siglo vi a C.) observ que toda ar-

mona dependa de una proporcin, de una relacin numrica entre los con-

ceptos universales- M acrocosmo s- y el hombre -M icro cos m os- y el arte, en

la construccin de Templos, como enlace de ambos, dando expresin a ese

orden y armona.

Los estudios (arqueolgicos) realizados de Jay Hambridge (1979)

sobre la cultura griega, ponen d e manifiesto el uso de las proporcion es-J ly

tp = , diagonal del cuadrad o y urea respectiva me nte, tanto en arte

(vasos) como en arquitectura (el Partenn).

Por su parte Carol y Donald Watts (1986) encuentran evidencias, en

las manifestaciones artsticas de los romanos, del uso de las proporciones V2,

8 = 1 + V2, llamado nmero de plata.

La influencia matemtica de la escuela pitagrica-platnica se exten-

di por Europa a lo largo de 2,000 aos, teniendo especial relevancia en el

Renacimiento.

Podemos decir que la teora de la proporcin se ocupa del estudio de

los ritmos por conjugacin de objetos de igual forma.

El hombre, sus medidas y proporciones influyeron notablemente

como modelo, tanto en Pinlura y Escultura para representar la figura huma-

na, como en Arquitectura, a fin de crear espacios para uso del hombre. Como

ejemplos:

Vitrubio (siglo I a C.) utiliza un sistema de medida, llamado arm nico ,

cuya unidad de medida es la altura del hombre y las distintas partes del cuer-

po son consideradas como submltiplos de tal unidad.

Alberti (1404-1472) establece, en su tratado "Sobre la pintura", el sistema

de medida llamado aritmtico, en el que utiliza como unidad la medida de una

10


8/22

M.

5

F rancisca B ianco Martn

parte de cuerpo y expresa la altura de la figura humana como m ltiplo de esa

unidad. En pintura tom como mdulo ia "cabeza" y en escultura "el pie".

Los estudios de este tipo elaborados en Italia durante el Renacimiento

fueron culminados por Leonardo da Vinci (1452- 1519), quien partiendo de

Vitrubio, elabor en sus "Cuadernos" una autntica teora sobre la figura hu-

mana en reposo o en movimiento:

"Si abres las piernas hasta reducir tu altura en una decimocuarta parte, y si ex-

tiendes y levantas los brazos hasta que los dedos corazn lleguen al nivel de la

cima de la cabeza vers que el centro de los miembros extendidos se halla en el

ombligo, y que el espacio entre las piernas form ar un tringulo equiltero".

Los arquitectos de todas las pocas han pretendido lograr la belleza

sometiendo sus plantas y alzados a determinadas norm as geom tricas, deno-

minadas "normas reguladoras". La finalidad de tales normas es "concertar

todas las proporciones de una misma obra. Las proporciones resuelven el

problema de la relacin entre las partes y el todo de un edificio."

En la Edad Media, segn los estudios de Bouleau de 1963, los pintores ^ H

O

utilizaban como instrumentos, para organizar un lienzo, la regla y el comps,

basado a menudo en las proporciones V2 y (p.

En el Ren acimien to, tanto en los edificios com o en los lienzos, se usan

estas proporciones, pero tambin se usaron proporciones racionales o con-

mensurables basadas en la escala musical.

A partir del siglo xvn se comienza a cuestionar la utilizacin de las

proporciones como elemento bsico en la expresin de belleza artstica.

A comienzos del siglo xx recobran importancia las proporciones

como elemento de expresin artstica; por ejemplo los cubistas utilizan las

formas geomtricas bsicas y formas basadas en la seccin urea.

A mitad del siglo XX el arquitecto modernista Le Corbuser (1887-1965) se

interesa por un sistema de proporciones para realizar una propuesta de diseo de

un mdulo arquitectnico que contemple a la vez las dimensiones humanas y la

necesidad internacional de produccin en serie. Utiliza un doble cuadrado, en el

que sita a un hombre con el brazo levantado, para determinar los puntos princi-

pales de la ocupacin del espacio, determinando tres intervalos que estn en pro-

porcin urea. Construyendo de esta forma El Modulor, que el mismo define:

'"El Modulor es un aparato de medida fundado en la estatura humana y en la

Matemtica. Un hombre con el brazo levantado da los puntos determinantes

11


9/22

Metodolog a y aplicaciones de las Matemticas en la E.S.O.

de la ocupacin del espacio, -e l pie, el plexo solar, la cabeza, la punta d e los

dedos estando levantado el brazo- tres intervalos que definen una serie de

secciones ureas de Fibona cci; y por otra parte, la Matem tica ofrece la varia-

cin ms sencilla y ms fuerte de un valor: lo simple, el doble y las dos sec-

ciones ureas."

El M odulor realiza autom t icamente la convers in metro-pie-pu lgada.

Le Corbusier elige como altura del hombre 6 pies ingleses o 183 cm.,

lo que determina la escala roja, el brazo levantado da como medida 226 cm.,

trmino de la escala azul, doble de la roja, los otros trminos de la escala

pueden construirse con rega y comps para hallar las secciones ureas.

Le Corbusier se interes por la proporcin urea debido a su capaci-

dad enlazadora y generadora derivadas de sus, propiedades aritmtico-geo-

mtricas.

*

ID

o

O)

es

226

El Modulor

El significado mstico dado por Platn y los griegos al cuadrado, el

tringulo issceles de ngulo recto, es decir la diagonal del cuadrado o el pen-

tgono ejercieron una influencia extraordinaria en el concepto de proporcin.

Las proporciones derivadas de estas formas geomtricas son de dos

tipos racionales o conm ensurables com o en el caso del cuad rado 1:1. e irra-

cionales o inconmensurables como la proporcin entre la diagonal del cua-

drado y su lado 4l, y la propo rcin entre la diagonal del pentgon o y su

lado (p = , llamado nm ero de oro.

12


10/22

Francisca Blanco Martin

2

ELECCIN DEL CUAD RADO JUSTIFICACIN

Comenzamos con el cuadrado, elemenlo geomtrico bsico en el Di-

seo, el Arte y la Arquitectura. Lo vamos a utilizar como hilo conductor para

estudiar diversos tpicos que aparecen en los programas de los distintos cur-

sos de la ESO, tanto en Matemticas como en Educacin Plstica y Visual,

con alguna referencia a la Historia de Arte. A continuacin mostramos un

cuadro con algunos tpicos, de las asignaturas anteriormente mencionadas,

que nos sirven como justificacin y motivacin d e la eleccin de este tema .

El cuadrado juega un papel fundamental en el diseo a lo largo de to-

das las pocas, no solo por s m ismo y sus propiedades, sino como generador

de otros rectngulos y parte de composiciones geomtricas muy bellas y uti-

lizadas en Arte y en Diseo.

El cuadrado, polgono regular de cuatro lados, fue considerado por los

antiguos gemetras como smbolo del mundo comprensible, en contraposi-

cin al circulo como smbolo del mundo desconocido e incomprensible, su

circunferencia es proporcional a un nmero irracional.

El problema de la cuadratura del circulo era una forma de expresar lo

desconocido a travs de lo conocido, lo sagrado a Iravs de lo familiar.

o

1.

2."

3."

4.

M A T E M T I C A S

Construcciones elemen-

tales con regla y com ps.

Polgonos regulares.

Teorema de Tales.

Teorema de Pitgoras

Proporcionalidad

Nmeros irracionales.

Sucesiones numricas.

Progresiones aritmticas

y geom tricas.

Ecuaciones de 2." grado

Teorema de Tales

Razones trigonomtricas

EDUCACIN PLSTICA Y VISUAL

Uso de comps.

Polgonos regulares.

Cuadrados.

Las obras de arte y el diseo.

Construccin de polgonos regulares convexos y

estrellados.

Pentgono regular. Segmento ureo

La proporcin. Teorema de Tales.

Proporcin urea.

Teorema de Tales

Polgonos regulares y estrellados (ureo)

Proporcin: la proporcin urea en el arte y el diseo.

La proporcin en la figura humana

Mdulos de unidad empleados a lo largo de la Histo-

ria.

Aplicacin de la geometra plana en el mundo de

diseo.

Proporcin: Estudio de proporciones en el arte.

13


11/22

Metodologayaplicacionesde asMatemticasen aE.S.O.

La eleccindelcuadrado como h ilo conductordetales tpicos.

Construccin geomtrica

de

algunos nmeros irracionales.

Diagonal

del

cuadrado-

-Jl.

Proporcinen rectngulos. Aplicacionesen elArte.

RectnguloV2.Aplicaciones: FormatosDIN.

Rectngulo

de

plata

( 9 = 1 +-Jl).

Aplicaciones: Pintura

de

Dal.

Corte sagradode uncuadrado. O ctgono-Catedral deBurgos.

Rectngulode oro ((p = ).Aplicaciones: Catedraldevila,

Palacio Santa Cruz

de

Valladolid, Pintura

de

Dal,

El

Modulor.

Soluciones

de las

ecuaciones:x

2

= x

+ 1,

x

1

=

2x

+ 1

Sucesiones recurrentes:

o

c

SucesindeFibonacci: M

n+

-2=

n

+i+u

n

,sucesinde

Pe

w

n+

;=2iV] +i/ , ,,

^ Progres iones geomtr ica {


12/22

M.3 Francisca Blanco Martin

Si trazamos la diagonal de un rectngulo determina dos ngulos com-

plementarios,

a y

p\ con sus lados, siendo uno de ellos, por ejemplo a mayor

o igual que ir/4, la proporcin del rectngulo coincide con la tangente de ese

ngulo a.

De aqu deducimos que rectngulos con diagonales paralelas o per-

pendiculares tienen la misma proporcin.

Especial atencin vamos a dedicar a los rectngulo de proporciones

V2,9 = 1 + V2, llamado nmero de plata,w= llamado nm ero de oro,

2

2

o doble cuadrado, y V5 nmero que corresponde a la diagonal del rectngu-

lo anterior.

4. R E C T N G U L O

4%

Si partimos de un cuadrado de lado 1, aplicando del teorema de Pitgoras,

su diagonal es un nmero solucin de la ecuacin de segundo grado x

2

= 2.

Ecuacin que tendr dos soluciones, una positiva y otra negativa, esta

ltima aunque solucin de la ecuacin no es solucin del problema planteado

de calcular la diagonal de un cuadrado, que ha de ser un nmero positivo, el

nmero irracional

-J2.

Construccin del rectngulo V2 a partir de un cuadrado.

C

La diagonal del cuadrado ABCD de lado 1, aplicando el teorema de

Pitgoras. mide V2. Con centro en el vrtice A del cuadrado y radio su diago-

nal, V2, se traza un arco hasta cortar a la prolongacin del lado AB, en el

punto E. Por E se traza la perpendicular a AE hasta la interseccin con la

prolongacin del lado CD.

15


13/22


Los lados del rectngulo AEFD miden 1 y V2, respectivamente, sien-

do su proporcin v2 .

Una propiedad interesante de este rectngulo, es que si le dividimo s en

2 rectngulos iguales, trazando la recta que une los puntos medios de los la-

dos mayores AE y DF, estos 2 rectngulos tienen por lados - y 1, su pro-

porcin es V2. Se puede com probar que una diagonal del AEF D y una diago-

nal del rectngulo mitad son perpendiculares.

Este proceso de divisin puede seguirse indefinidamente, obtenindo-

se una sucesin decreciente de rectngulos con la misma propo rcin V2.

Puede comprobarse como ejercicio que un folio, realmente un Dina4,

es un rectngulo con proporcin V2, y efectuar unas cuantas divisiones del

mismo para obtener rectngulos menores con la misma proporcin.

Como ejemplos de utilizacin del rectngulo V2 podemos ver en Pin-

tura el cuadro de Dal "Cielo Hyperaxiologico", en Arquitectura el edificio

renacentista del Palacio de Santa Cruz de Valladolid, y en la vida cotidiana

los formatos DIN. Este rectngulo y el cuadrado fueron utilizados con fre-

cuencia en la arquitectura bizantina y romnica.

En primer lugar veremos los formatos DIN y despus de construir un

nuevo rectngulo muy ligado a este, llamado rectngulo de plata, veremos la

utilizacin de ambos en las obras de arte mencionadas.

4.1. Aplicacin: formatos D IN

La subdivisin del rectngulo v2, en sucesivas mitades, conservando

la misma proporcin, sugiri a Porstman la normalizacin de los formatos

DIN, norm as adoptadas p or diversos pases para la unificacin de los tama-

os, tolerancias, etc.

A partir de un rectngulo ABCD de medidas a = 841 mm. y b = 1.189 mm.,

de rea aproximadamente 1 metro cuadrado y proporcin b/a =1,4137,aproxi-

madamente v 2 . se obtiene el formato AO, los sucesivos formatos DIN se obtie-

nen dividiendo por la mitad sucesivamente el lado mayor del rectngulo corres-

pondiente, as:

A l ,

es el rectngulo ABFE, de lados 594 mm., 841 mm.

A2,

es el rectngulo GFCH, de lados 420 mm., 594 mm.

16


14/22

D

H

M.* Francisca Blanco Martin

c

K N

M

L 6

B

A3,

es el rectngulo DHIJ, de lados 297 mm., 420 mm

A 4,es el rectngulo ELKJ, de lados 21 Omm., 297m m., este formato

es el que llamamos folio.

A5,

es el rectngulo, de lados I48mm., 210mm.

A6,

es el rectngulo, de lados 105mm, 148mm.

r

Un resultado similar obtenemos si a partir de un rectngulo

-Jl,

dupli-

camos el lado menor (rectngulo reciproco extemo).

La construccin anterior podamos haberla comenzado con el formato

A6,

y duplicando el lado menor sucesivamente llegar al formato AO.

5.

RECTNGULO DE PLA TA

Una forma de "alarg ar" el rectngulo V 2, para es t i l izar las fachadas de

edific ios , es e l rec tngulo de p la ta , de proporc in 9 = 1 + V2, que se obt iene

del rectngulo V2, aadindole un cuadrado.

S i a un rec t ngu lo v2 , de lados 1 y V2, le a adi m os un cua drad o de

lado I , ob te nem os un r ec tn gu lo de p roporc i n 3 = 1 + V 2 , nm ero de

pla ta .

a

en

o


15/22

Metodologa

y aplicaciones de las Matemticas en la ESO

5. / . Propiedades del nmero de plata

El nmero de plata $ satisface la ecuacin de segundo grado:

x

2

- 2v - I = 0,

ecuacin que tiene dos soluciones reales:

3 = 1+V2y 9' = 1 -V2,

la solucin positiva de la ecuacin es el nmero de plata.

dades:

Las soluciones de una ecuacin de segundo grado tienen las propie-

2) 9 + 9' = 2y99 ' = -l = > 3 ' = - 3 ' = V2-

3) 3

2

- 29 = 1 => 9(9 - 2) = I=>3 ' = 3 - 2

2 = 9

Si la ecuacin 1) la multiplicamos por las correspondientes potencias

de 3, tenemos:

o

cu

es

9"*

1

= 29" + 9"-

1

9'

+l

- 23" = 3""

1

Estas relaciones son vlidas para todo exponente entero, cuando n es

negativo podemos comprobarlo multiplicando sucesivamente la ltima ecua-

cin de 3) por las correspondientes potencias negativas de 3.

9 = 2+9" '

1 = 23"' + 3"

2

9-

1

=29-

2

+9-

3

1-29-' =9"

2

9-1 _ 29-== 9-3

9-(-n =23-" +9- 9-iN-u -29"" = 9-"+n

Lasucesin {9"}. progresin geomtrica de razn 9, es una sucesin

recurrente

que satisface la relacin ,

r

-i = 2

(

+

u,,.\,

llamada sucesin de

Pell.

Sucesin que tiene la propiedad lim

J

^

=

3 .

18


16/22

M. Francisca Blanco Martn

Observar que si a V2 le sumamos 1, se tiene el nmero de plata 9 = I + -V2

y que si a V2 le restamos I, se tiene el inverso del nmero de plata

J}"

1

= V2 - I.

Construccin geomtrica de un rectngulo en proporcin el nmero de plata

A continuacin veremos los rectngulos que aparecen en la pintura de

Dal "Cielo hypcrxiologico" y en la tachada del Palacio de Santa Cruz de

Valladolid. o

c

5.2. "Cielo Hyperxiologico". Dal

E

o

I

Veam os una interpretacin geom trica de este cuadro de Dal, en e si-

guiente esquema

19


17/22

cu

E

o

a

es

Metodologa y aplicaciones de las M atemticas en la E.S.O.

D F N

H

u

R

K

P ^ \

S

\

M

G B

El rectngulo A BCD es un rectngulo de lados a= 31 y b =4 3, de pro-

porcin aproximada V2, b = V2 a. La recta MN divide al lado mayor en dos

partes iguales, obtenindose otros dos rectngulos AMND y MNCB iguales

de lados a' = 21.5 = (V2/2J a y b' = 31 = a y proporcin V2.

EBCF y AGHD son los cuadrados mayores contenidos en el rectngu-

lo original, de lados a = 31 cm.

AM KL y NC QP son cuadrados de lados a' = 21.5 = (V2/2) a, el mayo r

posible, contenidos en cada uno de tos dos rectngulos en que se ha dividido

el rectngulo original, distinguidos en la pintura por su color verde.

El rectngulo AMND est formado por el cuadrado AMKL y el rec-

tngulo LKND que es un rectngulo de lados a" = a-(V2/2)a y (V2/2)a, sien-

do su proporcin:

4l

=

9-1

2-72 ~ t-9 -

el nmero de plata.

Anlogamente el rectngulo MBCN est compuesto por el cuadrado

CN PQ y el rectngulo M PQB que es un rectngulo de lados (1 - V2/2) a, y

(V2/2) a, de proporcin 9, de color azul en la pintura.

20


18/22

M. Francisca Blanco Martin

RSTU es un rectngulo de lados RU y RS proporcionales respectiva-

mente a (1 ) = V 2 - l = S~

l

y a I - 8 ', en consecuencia su

2 2

(

2

l - 9 " '

2

proporcin es

_ _ r

. Este ltimo rectngulo, de color marrn,

resulta ser concntrico y de la misma proporcin que el rectngulo inicial,

observar que las diagonales de estos dos rectngulos coinciden.

Este rectngulo central RSTU en la pintura aparece como enlace, so-

brcpucsto a los dos cuadrados verdes, de lados proporcionales a y los dos

rectngulos LtCND y MBQP de proporcin el nmero de plata 9.

5.3. Palacio de Santa Cruz de VaadoU d

En la fachada principal del Palacio de Santa Cruz de Valladolid po-

demos observar que tanto el pao central como el pao de la izquierda es-

tn enmarcados en un rectngulo de plata. El pao de la derecha podemos

considerarlo enmarcado en un cuadrado de lado 1 y un rectngu lo en pro-

porcin tp. es decir de proporcin I + (p = (p

2

, como indica la figura si-

guiente.

o

cu

OJ

E

o

o

I

En la seccin longitudinal podemos observar que el cuerpo de la bi-

blioteca incluyendo los muros y el forjado del techo (izquierda de la figura)

forman un rectngulo en proporcin V2. Si aadimos el desvn sobre la bi-

blioteca con su forjado del techo, se tiene un rectngulo ureo.

21


19/22

Metodologa y aplicaciones de las Matemticas en la E.S.O-

5.4. Ejercicios en clase a partir de un folio

Se toman dos folios DIN A4.

1) Cada folio es un rectngulo que tiene proporcin

-Jl.

Se dobla el rectngulo por una esquina, vrtice del rectngulo,

hasta hacer coincidir el lado menor sobre el lado mayor, de esta

forma obtenemos un cuadrado, el mayor posible contenido en el

rectngulo, el doblez nos marca la diagonal del cuadrado, que me-

dir V2, si tomamos como unidad de medida el lado del cuadrado

(lado menor del folio). Si llevamos esta diagonal sobre el lado

mayor del olro folio, observamos que coinciden, en consecuencia

el folio es un rectngulo V2.

2) Cada folio est formado por un cuadrado y un rectngulo de plata.

Volviendo al primer folio, en el que hemos marcado el cuadrado,

si le cortamos nos queda un nuevo rectngulo cuyos lados miden

-fl - 1 = 9

1

y I, es decir un rectngulo en proporcin el nmero

de plata 9 = 1 +-J2.En consecuencia si a un rectngulo de propor-

cin-Jl, le restamos un cuadrado obtenemos un rectngulo de plata.

3) La tira de papel o rectngulo de proporcin 9, de lados V2 - 1 = 9 "'

y I, que obtuvimos en el ejercicio anterior, la doblamos por cada uno

de los extremos, hasta conseguir sendos cuadrados de lado el lado

menor del rectngulo, es decir V2 - 1 = 9 ' y los cortamos, obtene-

mos un nuevo rectngulo de lados1-29"

1

= 9"

2

, y 9

, cuya propor-

cin es 9.

Si a la tira de papel, rectngulo 9 de lados 9"' y 1, le quitam os solo un

cuad rado , en lugar de dos, el rectngulo obtenido tiene lados 9"' y 1 - 3~ ', y

l 9 i

r-

=

9(1-9"')

= 9-1 = v2 .u proporcin es

22


20/22

M.

s

Francisca Blanco Martin

Este proceso podemos seguirle indefinidamente, a partir de un rectn-

gulo de proporcin V2, si le restamos un cuadrado, rectngulo de proporcin

1, obtenemos otro rectngulo de proporcin 9, si a partir de un rectngulo de

proporcin 9, le restamos un cuadrado, obtenemos otro rectngulo de pro-

porcin V2.

Si a un rectngulo de proporcin 9 le restamos dos cuadrados, rectn-

gulos de proporcin I, obtenemos otro rectngulo de proporcin 9. los lados

de los sucesivos rectngulos de plata pertenecen a la sucesin decreciente

Sucesin cuyos trminos estn en progresin geomtrica, de razn

1 9 9

+ 9

9 ', menor que 1, cuya suma vale ^ 9 " -

=o

1 - 9 - ' 9 - 1

De forma anloga podemos obtener una sucesin creciente de rectn-

gulos de plata. Si a un rectngulo V2 le aadimos un cuadrado obtenemos un

rectngulo de proporcin 9 = 1 + V2, el nmero de plata.

Si a un recngulo de plata de lados I y 9, le sumam os po r el lado ma-

yor dos cuadrados de lado 9, obtenemos un nuevo rectngulo 9, sus lados

miden 9 y 20 + 1 = 9

2

. Este proceso puede seguirse indefinidamente, obte-

niendo una sucesin creciente de rectngulos de plata, cuyos lados pertene-

cen a la sucesin {9"}.

\

- \

\

Construccin geomtrica de rectngulos de plata y V2

6. CORTE SAGRADO DE UN CUADRADO

Como referencia histrica, tenemos los restos del antiguo puerto ro-

mano de Ostia que se encuentran prximos a la desembocadura del rio Tiber.

Watss esiudi el sistema de proporciones del Jardn de las Casas de Ostia,

observando que es el trazado sobre un cuadrado de Corte Sagrado.

E

o

23


21/22


D C EP

B

A partir de un cuadrado ABCD de lado 1, se trazan los cuatro arcos de

Circunferencia siguientes, con centro en cada vrtice del cuadrado y radio la

mitad de la longitud de la diagonal, es decir

-4211.

Estos arcos determinan en los lados del cuadrado los siguiente puntos

A', A", B ', B", C , C", D', D".

Los segmentos AA', AA", BB\ BB", CC, CC", DD', DD", tienen to-

dos la misma longitud igual a V2/2.

Los segmentos AD', A"D, AB", BA\ BC", CB', CD", DC', tienen la

misma longitud igual a 1 - V2/2.

En consecuencia los segmentos D'A", B"A', C"B\ C'D", tienen la

misma longitud igual a V2/2

(1 - V2/2) = V2 - 1 = 9 -' , longitud que coinci-

de con el lado del cuadrado (interior) abcd llamado Corte Sagrado del cua-

drado inicial.

Los vrtices del cuadrado a y b estn determinados por los puntos de

interseccin de la recta que pasa por D'y C" con las diagonales del cuadrado

ABCD y los vrtices c y d estn determinados por los puntos de interseccin

de la recta que pasa por A"y B' con las diagonales del cuadrado ABCD.

Los segmentos A " C , D'B ", A'C ", B'D" tienen la misma longitud igual

72(1 - V2~/2)

;

= V2(l - yJl/2) = Jl ~ = 9 '

D e

d

on

d

e

podem os concluir

24


22/22

M,* Francisca Blanco Martin

concluir que B"A'C"B'D"C'A"D', es un octgono regular de lado 9"

1

inscri-

to en el cuadrado de lado 1, siendo la proporcin de sus lados, 8.

El proceso puede continuarse haciendo el corte Sagrado del cuadrado

abcd, de lado 9-~\ y obteniendo el octgono regular asociado cuyo lado ser

&-

2

, etc.

Se tienen dos sucesiones decrecientes, una de cuadrados y otra de

octgonos, concntricos respectivamente, cuyos lados estn en la suce-

sin {&~"n=i> siendo la relacin en tre dos trm inos consec utivo s de la suce-

sin el nmero de plata 9.

6.1. Ejercicio en clase

Si seguimos con el ejercicio del folio, 5.3, de cortar el mayor cuadrado

posible y colocamos el rectngulo correspondiente a la tira de papel sobrante

del cuadrado (o rectngulo de proporcin &) de lados v 2 - 1 = {}-' y I, sobre

la diagonal de dicho cuadrado, de tal manera que esta sea eje de simetra del

rectngulo, y recortamos los tringulos sobrantes obtenemos el octgono re-

gular inscrito en el cuadrado.

o

a

O

El octgono regular ha sido ampliamente utilizado en Arquitectura,

principalmente en las pocas bizantinas, rabes y romnicas, para el trazado

de iglesias, cpulas y torres, por ejemplo en la Catedral de Burgos.

CIMBORRJO DE CRUCERO

CATEDRAL DE BURGOS

CPULA

CATEDRAL DE BURGOS

Observamos un cuadrado y su corte sagrado, dos

ocigenos, y dos rectngulos de planta sobre las

diagonales del cuadrado inicial

E

o

O

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