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4 Grundlagen der Warmelehre 22. April 2009
Die ideale Gasgleichung
Volumenausdehnung von Gasen:
• Bei konstantem Druck ist fur Gase naherungsweise
V (TC) = V (0C) · (1 + γTC) mit γ ≈ 1/273.15K
⇒ V (TC) = V ( 0C︸︷︷︸
=T (0)=273.15K
)273.15K + TC
273.15K= V (T)
T
T (0)
V (T)
T=
V (T (0))
T (0)= const.
• Bei konstantem Volumen (Gay-Lussac-Gesetz):
p(T)
T=
p(T (0))
T (0)= const.
Ideale Gasgleichung:
• pV = const.|T , p/T = const.|V , V/T = const.|p ⇒
pV
T=
p(0)V (0)
T (0)= const.
• Normalbedingungen:p(0) = 1.01325 × 105 Pa; T (0) = 0C = 273.15KV (0) = nVmol mit Vmol = 22.414 l = Molvolumenn = Stoffmenge = N/NA
• Ideale Gasgleichung:
p · V = n · R · T = N · k · TR = universelle Gaskonstante = 8.3145JK−1 mol−1
k = Boltzmannkonstante = 1.3807 × 10−23 JK−1
4 Grundlagen der Warmelehre 22. April 2009
Kinetische Gastheorie: Druck
Einfachstes Modell eines Gases: Atome/Molekule sindMassepunkte, die elastisch mit Wanden und
untereinander stoßen.
Druck auf Gefaßwand:
• Kraft wird durchImpulsubertragauf Wand erzeugt:
Fx =∆px
∆t
• In Zeit ∆terreichen alle Teilchendie Flache A, diesich im Teilvolumen∆V = vx∆t · Abefinden und in(+x)-Richung fliegen.
∆px =Nvx∆tA
V︸ ︷︷ ︸
Zahl derTeilchenin ∆V
· 1
2︸︷︷︸
jedes zweiteTeilchen fliegtnach rechts
· 2mvx︸ ︷︷ ︸
Impuls-ubertrag
pro Teilchen
⇒ p =|~F |A
=∆px
A∆t=
N
V· mv2
x → N
V· m〈v2
x〉
• Geschwindigkeitsverteilung ist isotrop mit Mittelwert
〈v2〉 = 〈v2x〉 + 〈v2
y 〉 + 〈v2z 〉 ⇒ 〈v2
x〉 = 〈v2〉/3
⇒ p · V = N · m〈v2〉3
=2
3N〈Ekin〉
∆x = v t∆ x
A
Volumen Vmit N Teilchender Masse m
zy
x
4 Grundlagen der Warmelehre 22. April 2009
Temperatur, kinetische Energie
und Freiheitsgrade
Kinetische Energie und Temperatur:
Vergleich von idealer Gasgleichung und Vorhersageder kinetischen Gastheorie:
p · V = N · k T
p · V = N · 2〈Ekin〉3
⇒ 〈Ekin〉 =
3
2k T
Die Temperatur ist ein Maß fur die kinetischeEnergie der Atome/Molekule !
Freiheitsgrade:
• Bewegung der Atome/Molekule in drei Richtungen,jede tragt im Mittel gleich viel zu 〈Ekin〉 bei:
1
2m〈v2
x〉 = 〈Ekin,x〉
=1
2m〈v2
y 〉 = 〈Ekin,y〉
=1
2m〈v2
z 〉 = 〈Ekin,z〉 =1
2k T
• Unabhangige Bewegungsmoden heißen Freiheitsgrade
• Freiheitsgrade von Atomen/Molekulen:
Bewegung Freiheitsgrade (FG)
Translation ein FG je unabh. Bewegungsrichtung
Rotation ein FG je orthogonaler Drehachse
Schwingung zwei FG pro Eigenschwingung(je ein FG fur 〈Ekin〉 und fur 〈Epot〉)
4 Grundlagen der Warmelehre 22. April 2009
Reale Gase
Modifikationen am Modell “ideales Gas”:
• Atome/Molekule haben Eigenvolumen Va
V → V − 4NVa = V − nb (n = Stoffmenge)
• Atome/Molekule ziehen sich an⇒ Oberflachenenergie⇒ Zusatzlicher Druck (Binnendruck pBi ∝ (N/V )2)
p → p + pBi = p +an2
V 2
• Modifizierte Gasgleichung:(
p +an2
V 2
)
· (V − bn) = nRT(Van-der-Waals-
Gleichung)
• Typische Werte der Van-der-Waals-Koeffizienten a, b:
He a = 0.003Nm4/mol2 b = 0.024m3/mol
H2 a = 0.025Nm4/mol2 b = 0.027m3/mol
N2 a = 0.136Nm4/mol2 b = 0.039m3/mol
p
V
<
ideales Gas
<T1 T2 T3
T3T2
T1 T1
3T
<<T1 T2 T3T2
p
V
reales Gas
AB
S
E
• Bei kleinen Temperaturen: p(V ) hat lokales Maximum
• Kompression bei konstantem T folgt Weg SABE, dabeitritt zwischen A und B Verflussigung ein
4 Grundlagen der Warmelehre 22. April 2009
Warme und Warmekapazitat
Warme als innere Energie:• Gesamte kinetische Energie in Objekt mit N
Atomen/Molekulen (AM):
Etot =f
2N k T
Diese im Objekt gespeicherte thermische Energieheißt Warme und wird mit Q bezeichnet ([Q] = J).Q kann als mechanische, elektrische, . . . Energiezu- oder abgefuhrt werden.
• Fruher wurde [Q] = kcal (Kilokalorie) verwendet:1 kcal ist die Energie, die 1 kg Wasser von 14.5C auf15.5C erwarmt.
• Energieanderung bei Temperaturanderung:
∆Q ∝ M · ∆T (M ∝ N)
Warmekapazitat:
Von einem Objekt pro Kelvin gespeicherte Warme• als Materialkonstante:
spezifische Warme = c =∆Q
M ∆T[c] = Jkg−1 K−1
molare Warme = Cm =∆Q
n∆T= Mm c
[Cm] =Jmol−1 K−1
• abhangig vom speziellen Objekt:
Warmekapazitat = C =∆Q
∆T= cM = Cmn
[C] =JK−1
4 Grundlagen der Warmelehre 22. April 2009
Mechanisches Warmeaquivalent
Umwandlung mechanischer Energie in Warme:
• Beim Drehen des wassergefullten Cu-Zylinderswird mechanische Arbeit (Reibung!) verrichtet:
W = k 2πr︸ ︷︷ ︸
=s
·|~FR|
• Anordnung ist so eingerichtet, dass Feder beimDrehen entlastet ist (~FF = 0) ⇒ |~FR| = mg
• W wird in Warme umgewandelt:
W = k 2π r mg =
MCu · cCu︸ ︷︷ ︸
vernachlassigbar
+MH2O · cH2O
∆T
⇒ Messung der spezifischen Warme von Wasser• Literaturwert: cH2O = 4.186kJ/(kgK)
⇒ 1kcal = 4.186kJ
F
FR
F
2r
F=mg
Cu
Temperatur T
k Umdrehungen
m
H O2
4 Hauptsatze der Warmelehre 29. April 2009
Der 1. Hauptsatz
Energieerhaltung:• Bei einer Zustandsanderung tauscht das betrachtete
System Energie (∆W , ∆Q) mit seiner Umgebung aus(oft ein “Warmereservoir” bei konstantem T).
• Fur die Energiebilanz gilt:
∆U = ∆Q + ∆W(1. Hauptsatz der Thermodynamik)
• Fur Gase ist ∆U = ∆Q − p∆V .• Achtung: In vielen Fallen betrachtet man
differentielle Anderungen (∆ → d).
Perpetuum mobile 1. Art:• Eine Maschine, die mehr Energie in Form von Arbeit
abgibt, als sie in Form von Warme aufnimmt, heißtPerpetuum mobile 1. Art.
• 1. Hauptsatz: Es gibt kein Perpetuum mobile 1. Artdenn sonst ware −∆W = |∆W | > ∆Q − ∆U .
Zustandsanderungen und 1. Hauptsatz:• Isochor: ∆V = 0 ⇒ ∆U = ∆Q.• Isobar: Wegen ∆(pV ) = V ∆p + p∆V ist
∆U = ∆Q − ∆(pV ) ⇒ ∆Q = ∆( U + pV︸ ︷︷ ︸
=H=Enthalpie
)
• Isotherm: ∆T = 0 ⇒ ∆U = 0 ⇒ ∆Q = p∆VArbeit bei isothermen Prozessen:
∆W = −V2∫
V1
pdV = −V2∫
V1
nRT
VpdV = −nRT ln
(V2
V1
)
4 Hauptsatze der Warmelehre 29. April 2009
2. Hauptsatz,
reversible und irreversible Prozesse
2. Hauptsatz:
Anschauliche Formulierung:
Warme fließt von selbst immer nurvom warmen zum kalten Objekt, nie umgekehrt.
Reversible und irreversible Prozesse:• Prozesse mit Warmetransport warm→kalt:
∆Q : T1 → T2 < T1
sind irreversibel, d.h. ohne Energiezufuhr von außenunumkehrbar.
• Reversible Prozesse sind umkehrbar, d.h. sie konnenin beide Richtungen ablaufen. Die Abfolge
(p1, V1, T1) → (p2, V2, T2) → (p1, V1, T1)
ist ohne Energiezufuhr von außen moglich, ohne dasssich Anfangs- und Endzustand von System undWarmereservoir unterscheiden.
WegenReibung etc.
sind allerealen Prozesse
irreversibel
Nur fur∆T = 0
(isotherm)oder ∆Q = 0(adiabatisch)
T2 Tf
T ,V T ,Vf1
geht nicht
geht
2 1f 1 f 2T >T >T oder T >T >T
Bei
spie
l
p ,V ,T1 1 p ,V ,T2 2
T T
geht beides
Bei
spie
l
4 Hauptsatze der Warmelehre 29. April 2009
Der 3. Hauptsatz
Mikroskopische Deutung der Entropie:• Statistische Mechanik und Quantenmechanik
ergeben mikroskopische Definition der Entropie(definiert auch die additive Konstante):
S = k lnWk = Boltzmann-Konstante = 1.387 × 10−23 J/K
W = Wahrscheinlichkeitsmaß
• Das Wahrscheinlichkeitsmaß W ist die Zahl der(quantenmechanischen) Realisierungsmoglichkeiteneines gegebenen Zustandes.Achtung: riesige Zahlen, typisch 10NA ∼ 101023
.
Der 3. Hauptsatz• Bei Temperatur T = 0 sind alle Atome/Molekule im
Grundzustand, d.h. sie haben keine kinetische odersonstige Energie
⇒ W = 1 ⇒ S = 0
• Generell gilt:
S(T=0) = 0 Nernst’sches Theorem,3. Hauptsatz
• Daraus folgt (ohne Beweis):
Es ist prinzipiell
unmoglich, den absoluten
Temperatur-Nullpunkt zu
erreichen.
4 Grundlagen der Warmelehre 29. April 2009
Warmekapazitat von Gasen
(V = const.)
Arbeit und Volumenanderungen:• Beispiel: Kompression
eines Gases im Kolben.Dazu ist Arbeit
∆W = F · ∆s = p · A · ∆s
= p · ∆V
notig.• Dieses Ergebnis gilt
unabhangig von derForm des Volumens.
• Achtung: i.a. ist p = p(V ) und damit
∆W =
V2∫
V1
p(V )dV
Warmekapazitat cV :• Bei V = const. wird Energieanderung vollstandig in
Temperaturanderung umgesetzt (da ∆W = 0):
∆Q =f
2Nk∆T ⇒ cV =
fk
2m; CmV =
f
2R
He f = 3 (Translation)bei allen T
N2 f = 3 (Translation)bei niedrigen T
f = 5 (Transl.+Rot.)bei mittleren T
f = 7 (T+R+Schw.)bei hohen T
p, V
A
F
∆s
C /R
T
mV
He1.5
N23.5
2.5
200K 600K
4 Hauptsatze der Warmelehre 29. April 2009
Warmekapazitat von Gasen
(p = const.)
Warmezufuhr bei konstantem Druck
Wird einem Gas bei konstantem p Warme ∆Qzugefuhrt, so dehnt es sich unter Temperaturzunahmeaus und verrichtet dabei mechanische Arbeit
∫p(V )dV .
Energieerhaltung:
∆Q = CmV n∆T + p︸︷︷︸
=const.
·∆V
Berechnung von p∆V mit der idealen Gasgleichung:
pV = nRT (i)
p(V + ∆V ) = nR(T + ∆T) (ii)
p∆V = nR∆T (ii)–(i)
Damit wird
∆Q = CmV n∆T + nR∆T = (CmV + R)︸ ︷︷ ︸
=Cmp
(n∆T)
⇒ Cmp = CmV + R =f
2R + R =
f + 2
2R
Adiabatenkoeffizient
Definition: κ =Cmp
CmV=
f + 2
f= 1 +
2
f> 1
κ heißt Adiabatenkoeffizient.
4 Hauptsatze der Warmelehre 29. April 2009
Adiabaten
Zustandsanderungen mit ∆Q = 0:• Ohne Austausch von Warme kann nur innere
Energie U in mechanische Arbeit umgewandeltwerden (oder umgekehrt).
• Solche Zustandsanderungen heißen adiabatisch.• Anwendung des 1. Hauptsatzes:
∆U = ∆W
⇒ nCmV ∆T = −nRT
V∆V
⇒T2∫
T1
dT
T= − R
CmV︸ ︷︷ ︸=κ−1
V2∫
V1
dV
V
⇒ ln
(T2
T1
)
= − ln
(V2
V1
)κ−1
⇒(
T2Vκ−12
T1Vκ−11
)
= 1
• Daraus (mit T = pV/nR) folgen dieAdiabaten- bzw. Poisson’schen Gleichungen:
T · V κ−1 = const. bzw. p · V κ = const.
V
p
T
T
T1
2
3
Isothermen(p~1/V)
Adiabaten(p~1/V )κ
Wichtig z.B.bei chemischen
Reaktionen
4 Warmetransport 06. Mai 2009
Konvektion
Prinzip:• Fluides Medium
dehnt sich durchErwarmung lokal aus→ erwarmte
Stoffmenge hatkleinere Dichte
→ steigt auf undwird durch kalterenStoff ersetzt
→ Konvektionskreislauf
• Bei Konvektion ist Warmetransport an Materialtrans-port gebunden!
Beispiel: See- und Landwind• Konvektion ist extrem wichtig fur Wetterablauf,
Klima, Ozeane etc.• Beispiel: Windbildung an Kusten im warmen Klima
(z.B. Mittelmeer)
Zone lokalerErwärmung
Warme Flüssigkeitsteigt auf
Kalte Flüssigkeitsinkt ab
Seewind Landwind
steigt aufwarme Luft
strömt nachkalte Luft
Tag Nacht
kühl kühl
warm kalt
4 Warmetransport 06. Mai 2009
Warmeleitung
Prinzip:• Wird starres Medium
lokal erwarmt, breitetsich die Warme durchStoße der AM bzw.Elektronen aus.
• Dabei erfolgt keinMaterialtransport.
• Die Warmeleitung istGeometrie- undmaterialabhangig:
dQ
dt= −λA
dT
dx
• λ = Warmeleitzahl:
Material λ [W/(mK)] Kommentar
Kupfer 393 Metalle: Warmeleitung
Eisen 67 durch Leitungselektronen
Beton 2.1 Stoße der AM im
Glas 0.8 Festkorper
Wasser 0.6 Stoße der AM in Flussigkeit
Luft 0.026 Klein wegen geringer Dichte
Warmeleitungsgleichung:• Raum- und Zeitabhangigkeit der Temperatur im
allgemeinen (nicht-stationaren) Fall:
∂T
∂t=
λ
cρ
(∂2T
∂x2+
∂2T
∂y2+
∂2T
∂z2
)
• Wichtig z.B. bei Berechnung der Warmeverlustedurch Wande oder Fenster!
x
T
T1
Aufwärmvorgang
stationärerZustand
T12T >T1
T2
dx
T T+dT
dQ/dt
Querschnitt Akonstantem Stab mit
4 Warmetransport 06. Mai 2009
Warmestrahlung
Prinzip:• Warme (d.h. die kinetische Energie der AM) wird
in elektromagnetische Strahlung umgesetzt, die vonjedem Korper abgestrahlt (und absorbiert) wird.
• Die Wellenlange der Strahlung fallt mit T :Mensch, Herdplatte: infrarotGluhende Kohle, Sonne: sichtbar
• Warmetransport durch Strahlung ist nicht anVorhandensein von Materie gebunden⇒ sonst wurde keine Energie von der Sonne
zu uns kommen!
Das Stefan-Boltzmann’sche Gesetz:• Die gesamte als Warmestrahlung abgegebene
Leistung einer Flache A mit Temperatur T ist
dQ
dt= −ǫσAT 4
σ = 5.77 × 10−8 W
K4m2=
Stefan-Boltzmann-Konstante
ǫ = Emissionsgrad, 0 ≤ ǫ ≤ 1
• ǫ hangt ab von Material, Oberflachenbeschaffenheit,Farbe: umso heller/spiegelnder, desto kleiner ist ǫ.
Versuch:Messung der
StrahlungsleistungverschiedenerSeiten eines
geheizten Wurfels.
Strahlung
Wärme− Detektor
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 06. Mai 2009
Die elektrische Ladung
Elektrische Ladung ist die Quelle allerelektrischen Phanomene
Eigenschaften der elektrischen Ladung:• Es gibt positive und negative Ladungen.• Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab,
ungleichnamige ziehen sich an:
• Physikalisches Symbol und Einheit:
Ladung = Q ; [Q] = C = Coulomb
• Ladung ist in ganzzahligen Vielfachen einerElementarladung e gequantelt:
e = +1.602 × 10−19 C .
• Ladung ist stets an Teilchen gebunden:
Teilchen Ladung
Elektron Qe = −e = −1.602 × 10−19 C
Proton Qp = +e = +1.602 × 10−19 C
Neutron Qn = 0
Atomkern QKern = +Ze• In einem abgeschlossenen System ist die
Gesamtladung erhalten:
Qtot =∑
i
Qi = const.
Durch Ladungstrennung konnen auch bei Qtot = 0elektrische Phanomene erzeugt werden.
−+F12 F21
−
+
F12
F12 F21
F21
−
+
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 06. Mai 2009
Ladungstrennung und -messung
Ladungstrennung:
• Reiben verschiedenerMaterialien (Isolatoren)aneinander
→ Elektronen wandernbevorzugt zu einemMaterial
→ Ladungstrennung.
• Bandgenerator:
kontinuierlicheAufladung durchLadungstrennung.
HohlkugelMetall−Ladungs−
abgriff
+
+ + ++
+
+
+
+
+
+
+
+
−−−−−−− −
Ladungs−trennung
+
+
+
+
+
++
+
+
Band(z.B. Gummi)
−
−−
Ladungsmessung:
• Ausnutzung derAbstoßunggleichnamigerLadungen.
• Zum Beispiel inElektrometer:
Drehmoment aufZeiger steigtmit Gesamtladung.
isolierenderRahmen
Metall
Ladung Q
Q
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 06. Mai 2009
Ladungstransport und Strom
Ladungstransport:
• Ladung immer an (massebehaftete) Teilchengebunden⇒ Ladungstransport ist immer mit
Materialtransport verbunden.
• Verschiedene Transportmechanismen:
– Elektronen in elektrischem Leiter (z.B. Metall);
– Ionen in Flussigkeit (z.B. Salzlosung);
– Funken: Stromfluss entlag einem “Kanal”ionisierten Gases;
– “Ladungsloffeln”: Transport einesmakroskopischen geladenen Objekts.
Elektrischer Strom:
Ladungstransport pro Zeit durch eine gegebeneQuerschnittsflache (z.B. Drahtquerschnitt)
• Definition:
el. Strom = I = lim∆t→0
∆Q
∆t=
dQ
dt= Q
[I] = Ampere = A =C
s
• Ampere ist eine SI-Basiseinheit
– Ladungseinheit Coulomb ist davon abgeleitet.
– Definition von Ampere uber Kraftwirkungstromdurchflossener Drahte aufeinander(siehe Kap. 4.3).
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 13. Mai 2009
Das Coulomb-Gesetz
Kraft zwischen zwei Punktladungen:
~FC =1
4πǫ0· Q1Q2
r2· ~r
|~r| (Coulomb-Gesetz)
ǫ0 = Dielektrizitatskonstante
= 8.854 × 10−12 A2 s4 kg−1 m−3
• Richtungskonvention:~FC ist die Kraft auf die Ladung, zu der ~r zeigt.
• 3. Newton’sches Axiom:Die Ladungen uben entgegengesetzt gleiche Krafteaufeinander aus.
rQ1 Q2
2121 F (Q Q >0)CF (Q Q <0)C
Vergleich mit Gravitationsgesetz:
Coulomb: ~FC Gravitation: ~FG
Ladungen Q1Q2 Massen m1m2
1/4πǫ0 G
∝ 1/r2 ∝ 1/r2
anziehend oder abstoßend immer anziehend
|~FC||~FG|
=1
4πǫ0G︸ ︷︷ ︸
=1.347×1020 C2/kg2
·Q1Q2
m1m2
Z.B. Elektron und Proton (Wasserstoffatom):
|~FC||~FG|
=1.347×1020 C2/kg2· (1.6×10−19 C)2
9.1×10−31 kg︸ ︷︷ ︸
=me
· 1.67×10−27 kg︸ ︷︷ ︸
=mp
= 0.22 × 1040
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 13. Mai 2009
Das elektrische Feld
Definition:
Eine Anordnung von Ladungen erzeugt am Ort ~rdie Coulomb-Kraft ~FC auf eine Probeladung q:
~E(~r ) = elektrisches Feld =~FC(~r )
q
[E] =N
C=
kgm
As3
Feld einer Punktladung:
Eine Punktladung Q am Ort ~R erzeugt bei ~r das Feld
~E(~r ) =Q
4πǫ0· ~r − ~R
|~r − ~R|3
Feld mehrerer Ladungen:
• Bei mehreren Punktladungen Qi an den Orten ~Ri
addieren sich die Coulomb-Krafte vektoriell:
~E(~r ) =∑
i
Qi
4πǫ0· ~r − ~Ri
|~r − ~Ri|3
• Allgemeiner Fall: Ladungsdichte-Verteilung ρ(~r )
→ Ladung dQ in Volumen dxdy dz am Ort ~r :dQ = ρ(~r ) · dxdy dz
→ Gesamtladung: Qtot =∫
V d3r ρ(~r ) .
→ Elektrisches Feld:
~E(~r ) =
∫
V
d3Rρ(~R )
4πǫ0· ~r − ~R
|~r − ~R|3
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 13. Mai 2009
Feldlinien
Eigenschaften:
• Feldlinien sind an jedemPunkt parallel zumE-Feld.
• Feldlinien zeigen vonpositiven zunegativen Ladungen.
• Feldlinien beginnen undenden ausschließlicham Ort von Ladungen.(Achtung:bildliche Darstellungoft unvollstandig)
E( r )
r
+
−
Sichtbarmachung:
• Elektrisches Feld inisolierender Flussigkeit(z.B. Speiseol).
• Feld erzeugtLadungstrennung inkleinen Kornchenauf der Flussigkeit(z.B. Gries).
• Elektr. Anziehungin Feldlinienrichtung.
• Kornchen orientierensich entlang derFeldlinien.
E
Grieskörner
Coulomb−Anziehung
+ +++ ++
+++ ++
+
+
+++ ++ +
+
+
− −−− −−
−
−−−−− −
−
−−
− −−−
−
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 20. Mai 2009
Potential und Spannung
Arbeit bei Ladungsverschiebung:• Beim Verschieben einer Ladung q im elektrischen Feld
~E(~r ) entlang dem Weg C wird Arbeit geleistet:
Wel =
∫
C
~FC d~s = q
∫
C
~E d~s
• Vorzeichen: Wel > 0wenn die Arbeit vomFeld ~E geleistet wird.
• E-Feld ist konservativ⇒ Wel hangt nur vonden Endpukten desWeges C ab, aberaber nicht vom Verlauf. (0,0,0)
R
R2
1
C
Elektrostatisches Potential:• Arbeit, um eine Probeladung q vom Punkt ~r
in unendliche Entfernung von der Feldquelle zubringen:
q
∞∫
~r
~E d~s = q · Φ(~r ) = q · (elektrostatisches Potential)
• Einheit: [Φ] = J/C =kgm2
As3= Volt = V .
• Φ hangt nur von ~r ab; Konvention: Φ(∞) = 0.• Spannung:
∫
C
~E d~s = Φ(~R1) − Φ(~R2) = Spannung U
[U ] = Volt
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 20. Mai 2009
Potential einer Punktquelle
Berechnung:
• Elektrisches Feld einer Punktladung Q im Ursprungzeigt radial nach außen.
• ~E d~s = E dr und damit
Φ(~r ) = Φ(r) =Q
4πǫ0
∞∫
r
dr′
r′2
=Q
4πǫ0
[
−1
r′
]∞
r=
Q
4πǫ0 · r
(r)
r
Φ
Q>0
Q<0
R R1 2
Ux
y
z
r
ds
Q
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 20. Mai 2009
Beschleunigung im
elektrischen Feld
Potential und Energie:• Beim Durchlaufen der Spannung U andert sich die
potentielle Energie eines Teilchens mit Ladung q um
∆Epot = −q · U
• Wegen Energieerhaltung:
∆Ekin = −∆Epot = q · U
• Geladene Teilchen nehmen aus einem elektrischenFeld kinetische Energie auf, wenn sie es in der“richtigen” Richtung durchlaufen.
• Beispiele:
– Elektronenstrahl im Fernseher– Teilchenbeschleuniger
Elektronenvolt:• Spezielle Energieeinheit fur mikroskopische Objekte
(Atome, Kerne, Teilchen):
1 eV = 1Elektronenvolt = e · 1V = 1.602 × 10−19 J
• Oft verwendete Vielfache:
1 keV = 103 eV (Kiloelektronenvolt)
1MeV = 106 eV (Megelektronenvolt)
1GeV = 109 eV (Gigaelektronenvolt)
• Typische Energieskalen:
– Bindungsenergien in Atomen und Molekulen: eV;– Rontgenstrahlen: keV;– Atomkerne: MeV;– Elementarteilchen: GeV.
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 20. Mai 2009
Feld und Potential;
Elektrische Leistung
Feld und Potential:
• Das elektrische Feld kann mit Hilfe derDefinitionsgleichung des elektrostatischen Potentialsaus Φ(~r ) berechnet werden:
~E(~r ) = −gradΦ(~r ) =
(∂Φ
∂x,∂Φ
∂y,∂Φ
∂z
)
• Das Feld ~E(~r ) zeigt entgegen der Richtungder starksten Zunahme von Φ(~r ).
• Das Feld ~E(~r ) steht sekrecht auf Flachen mitΦ(~r ) = const. (Aquipotentialflachen).
Elektrische Leistung:
• Elektrische Arbeit beim Transport der Ladung ∆Quber Spannung U :
∆Wel = ∆Q · U
• Wenn dies in einer Zeit ∆t geschieht (U = const.)
Pel = lim∆t→0
∆Wel
∆t= lim
∆t→0
∆Q
∆t· U = I · U
• Beispiel:Batterie mit U = 1.5V und Gesamtladung 1Ah liefertGesamtenergie
Wel = ∆t · I · U = 3600 s · 1A · 1.5V = 5.4kJ
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 20. Mai 2009
Das Ohmsche Gesetz
Strom und Spannung:
• Legt man eine Spannung U an ein Material an, sofließt im allgemeinen ein Strom I.
• Veranschaulichung im Schaltbild:
• Fur viele Materialien (Metalle, homogene Halbleiter)gilt bei konstanter Temperatur:
I ∝ U ⇒ R =U
I= el. Widerstand = const.
[R] = V/A = Ω = Ohm
(Ohm’sches Gesetz)
+ −
I
U 0
Spannungsquelle
(el. Widerstand)Material
Strom-Spannungs-Kennlinien:
BeispielenichtlinearerFalle:
GasentladungDiodeGluhlampe
U
I
linear(Ohmsch)
U
I
nicht−linear
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 20. Mai 2009
Spezifischer Widerstand
Definition:
Der Widerstand eines Drahtes mit Lange L undQuerschnittsflache A ist
R = ρs ·L
A=
1
σ· L
Aρs = spezifischer el. Widerstand
[ρs] = Ωm
σ = spezifische el. Leitfahigkeit
[σ] = Ω−1m−1
L
A
Typische Werte (bei 20C):
Material spezifischer Widerstand [10−6 Ωm]
Kupfer Cu 0.017
Eisen Fe ∼ 0.1
Graphit ∼ 8
Teflon 1021
Hartgummi 1019 . . .1022
• Der spezifische Widerstand hangt vom Material(Leitungsmechanismus, mikroskopische Struktur)und von der Temperatur ab.
• Variiert uber fast 30 Großenordnungen!
• Der Wert von ρs in 10−6 Ωm entsprichtdem Widerstand in Ω eines Drahtes mitLange L = 1m und Querschnitt A = 1mm2.
• Fur Metalle (Leitung durch Elektronentransport) sindelektrische und Warmeleitfahigkeit proportional.
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 20. Mai 2009
T -Abhangigkeit des Widerstandes
Metalle:
• Widerstand durchStoße der Elektronenmit Gitteratomen.
• Steigt mit zunehmenderBewegung der Atome.
• Widerstand nimmtmit steigenderTemperatur zu. T
sρ
Metall
Halbleiter:
• Leitung durch Elektronen,die durch thermischeEnergie aus lokalerBindung gelost werden.
• Mit steigendem T nimmtZahl der Ladungstrager zuund Widerstand ab.
• Bei hohen T Widerstands-zunahme wie in Metall. T
sρ
Halbleiter
TRaum
Supraleiter:
• Bei einigen Materialienwird ρs = 0 bei T < Tc
(Tc: kritische Temperatur,Sprungtemperatur).
• QuantenmechanischerEffekt.
• Typisch: Tc(Hg) = 4.183K;Hochtemperatur-Supraleiter: Tc & 100K . T
sρ
Tc
Supraleiter
Tc=einige K(bei einigenStoffen bismehrere 10K)
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 20. Mai 2009
Kirchhoffsche Regeln
Knotenregel:
• Knoten = Kontaktstellemehrerer Drahteohne aktives Element
• Gesamtladung im Knotenist erhalten
⇒n∑
i=1
Ii = 0
• Vorzeichen gebenRichtung der Strome!
• Knotenregel bzw.1. Kirchhoffsche Regel
I1
I4
I3
I2
Knoten
Maschenregel:
• Masche = Leitungskreismit Spannungsquelle(n)und Widerstande(n).
• Wegintegral von ~Ed~sentlang Masche verschwindet
n∑
i=0
Ui = In∑
i=1
Ri − |U0| = 0
• Spannungen von Quelleund an Widerstandenhaben entgegengesetzteVorzeichen.
• Maschenregel bzw.2. Kirchhoffsche Regel
I
U2
R1
R2
U1
U0 I+−
5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 27. Mai 2009
Hintereinander- und
Parallelschaltung von Widerstanden
Hintereinanderschaltung:
• Mehrere Widerstande Ri (i = 1, . . . n) in einer Maschemit Spannungsquelle U0
• Maschenregel:
|U0| = I ·∑
i=1
Ri
︸ ︷︷ ︸
=Rtot• Gesamtwiderstand ist
Rtot =
n∑
i=1
Ri
Parallelschaltung:• Knotenregel:
I0 = I1 + I2
• Maschenregel:
U0 = I1R1 = I2R2
• Gesamtwiderstand:
1
Rtot
=I0
U0=
1
R1+
1
R2
• Allgemeiner Fall:
1
Rtot
=
n∑
i=1
1
Ri
U0
I0 I1I2
+− R1 R2
5 Statische elektrische Felder 27. Mai 2009
Influenz
Leiter im außeren elektrischen Feld:
• ~E-Feld verursacht Kraft auf frei beweglicheLadungstrager im Leiter.
• Ladungstrager arrangieren sich so, dass insgeseamtkeine Kraft auf sie wirkt⇒ resultierende Ladungsverteilung erzeugt ein Feld
~Einfl, das das außere Feld ~E gerade kompensiert.
• Dieser Vorgang heißt Influenz, die dabei erzeugtenLadungsverteilungen Influenzladungen.
E
E
äußeres Feld
E infl
Körperleitender
Influenzladungenan Oberfläche
positive
Influenzladungenan Oberfläche
negative
influenziertes Gegenfeld + + +++
++
+ + ++++++−
−−−−−−
−−
−−−−−−
−−
Konsequenzen:
• Im Inneren von Leitern ist das statische elektrischeFeld stets ~E = 0.
• Die Influenzladungen sammeln sich an denOberflachen des Leiters.
• An der Oberflache des Leiters steht ~E senkrecht zurOberflache (sonst gabe es eine resultierende Kraftparallel zur Oberflache auf die Ladungstrager).
5 Statische elektrische Felder 27. Mai 2009
Der Plattenkondensator
Prinzip:
• Zwei planparallele Leiterplatten im Abstand d und mitFlache A werden an eine Spannung U angeschlossen.
• An der Innenseite der Platten bilden sich entgegenge-setzt gleiche Flachenladungsdichten σ± = Q±/A aus,die bis auf Randeffekte homogen sind.
+ −U
++++++++++
−−−−−−−−−−
Flächenladungsdichte Flächenladungsdichteσ σ
d
Fläche A
x
+ −
Feld, Spannung, Ladung:
• Elektrisches Feld:
– U = const. ⇒ ~E = const. nach Aufladevorgang.
– Im Inneren des Kondensators (σ = |σ±|):~E = E+x + E−x = (σ/ǫ0)x
– Außen: ~E = 0.
• Spannung und Ladung:
U = Ed =σ
ǫ0d =
Q
ǫ0
d
A
(Q = |Q±| ist “die Ladung auf dem Kondensator”.)
5 Statische elektrische Felder 03. Juni 2009
Die Kapazitat
Aufladbare Systeme und Kapazitat:
• Fur Systeme, die bei Anlegen einer Spannung U eineLadung Q speichern konnen, gilt stets
Q ∝ U ⇒ C = Kapazitat =Q
U
[C] =C
V=
A2 s4
kgm2= F = Farad
(Einheit benannt nach Michael Faraday, 1791–1867).
• Beispiele:
Plattenkondensator: C =ǫ0 A
dMetallkugel, Radius r: C =4πǫ0 r
Zahlenbeispiel, Vielfache von Farad:
• Kapazitat eines Plattenkondensatorsmit d = 1mm und A = 100cm2:
C =ǫ0 A
d= 8.854 × 10−12 A2 s4
kgm3· 10m
= 8.854 × 10−11 F
• Kapazitaten sind meist winzige Bruchteile von 1F⇒ typische Einheiten:
1 pF = 10−12 F (Pikofarad)
1 nF = 10−9 F (Nanofarad)
1µF = 10−6 F (Mikrofarad)
5 Statische elektrische Felder 03. Juni 2009
Hintereinander- und
Parallelschaltung von Kapazitaten
Hintereinanderschaltung:• Maschenregel:
U0 = U1 + U2 + U3
• Alle Ladungen sindgleich:
Q1 = Q2 = Q3 = Q
• Gesamtkapazitat(allgemeiner Fall):
1
Ctot
=U0
Q=
n∑
i=1
1
Ci
U0+-
C , U
C , U
C , U
2
1 1
2
3 3
ungeladen
Parallelschaltung:• Maschenregel:
U0 = U1 = U2 = U3
• Gesamtladung:
Qtot = Q1 + Q2 + Q3
• Gesamtkapazitat(allgemeiner Fall):
Ctot =Qtot
U0
=
n∑
i=1
Ci U0
+ -
3 3
2 2
1 1C , Q
C , Q
C , Q
5 Statische elektrische Felder 03. Juni 2009
Energiedichte im elektrischen Feld
Elektrische Arbeit beim
Aufladen eines Kondensators:
• Um bei Spannung U in einem Kondensator dieLadung um ∆Q zu erhohen, ist eine Arbeit∆Wel = U · ∆Q = (Q/C) · ∆Q notwendig.
• Integration uber Gesamtladung:
Wel =
Q∫
0
Q′ dQ′
C=
Q2
2C=
1
2CU2 .
• Dieses Ergebnis gilt fur jedes aufladbare System!
Energiedichte:
• Mit C = ǫ0A/d und U = Ed(Plattenkondensator mit Flache A und Abstand d):
Wel =1
2CU2 =
ǫ0AE2d2
2d=
1
2ǫ0 Ad︸︷︷︸
=V
E2 .
• Energiedichte:
wel =Wel
V=
1
2ǫ0E
2 ; [wel] = J/m3 .
• wel ist die Energie pro Volumen, die zur Erzeugungdes Feldes (der felderzeugenden Ladungsverteilung)aufzubringen ist.
• Das Ergebnis
wel =1
2ǫ0E
2
gilt unabhangig von– der Gestalt des Feldes– der Art seiner Erzeugung.
5 Statische elektrische Felder 03. Juni 2009
Isolatoren im elektrischen Feld
Experimentelle Beobachtung:
• Bringt man bei fester Ladung Q einen Isolator in dasFeld eines Plattenkondensators, so nimmt dieSpannung am Kondensator ab:
• Die Kapazitat nimmt zu:
C =Q
U> C0 =
Q
U0
• Die Feldanderung wird durch dieDielektrizitatskonstante ǫ > 1 beschrieben:
U =U0/ǫ = E0d/ǫ
E =E0/ǫ
C =C0 · ǫ = ǫǫ0A
d
• Im Vakuum ist ǫ = 1, in Luft ǫ ≈ 1.0005⇒ Luft ist fur elektrische Felder “fast wie Vakuum”.
Q
leer:
U=UE=E
00
U U
U<UE<E0
0
Isolator:
d d
5 Statische elektrische Felder 03. Juni 2009
Polarisationsladungen
Induzierte Ladungsverschiebung:
• Im Isolator gibt es keine freien Ladungstrager, aberin jedem Atom konnen die positiven und negativenLadungen gegeneinander verschoben werden:
• Durch die Kraftwirkung des elektrischen Feldeswerden die Ladungsschwerpunkte
~r± =
∑
i Q(±)i ~ri
∑
i Q(±)i
um eine Strecke ~d in Feldrichtung getrennt.
E
−−
−−
−−
−
−
−+−
−−
−−
−− −
− +d
r =r+− r −r =d+ −
Polarisations-:
Ladungsdichte:
• Im Isolator (“Dielektrikum”)bilden sich geladeneOberflachenschichten.
• Ladungsdichte:
σpol =1
AN Ad︸︷︷︸
=V
QZ = NdQZ
N = Zahl d. Atome/Volumen
QZ = Kernladung
Polarisationsladungennegative
/A=Qpolpolσ
Polarisationsladungenpositive
/A=Qpolpolσ
neutralelektrisch
d d
−−−−−−−−−−
++++++++++
5 Statische elektrische Felder 03. Juni 2009
Polarisation, Suszeptibilitat und
Dielektrizitatskonstante
Polarisation:
• Die Polarisations-Flachenladungsdichte kann alsVektor dargestellt werden:
Polarisation = ~P = (NQZd) · E ; [P ] =As
m2.
• Im allgemeinen ist QZd ∝ E:
QZd = αE ; α = Polarisierbarkeit; [α] =Asm2
V
Feld im Dielektrikum:
• Das Vakuum-Feld wird durch die Polarisations-Ladungen reduziert:
EDiel =σ − σpol
ǫ0= EVak −
P
ǫ0
= EVak −1
ǫ0NαEDiel = EVak − χEDiel
χ = el. Suszeptibilitat =Nα
ǫ0; [χ] = 1
• Insgesamt: EDiel(1 + χ) = ǫEDiel = EVak
• Das elektrische Feld im Dielektrikum ist um1/ǫ = 1/(1 + χ) schwacher als im Vakuum.
• Die Suszeptibilitat ist direkt mit atomarenEigenschaften verknupft (materialabhangig!)
Luft, Normalbedingungen ǫ = 1.000576
Benzol ǫ = 2.3
Wasser ǫ = 81
Quarzglas ǫ = 3.75
Keramik ǫ bis ∼ 1000
5 Statische elektrische Felder 03. Juni 2009
Elektrisches Feld in Dielektrika
Elektrische Verschiebungsdichte:
Die elektrische Verschiebungsdichte ~D(~r ) beschreibtdas elektrische Feld, das von den außeren Ladungen
ρ(~r ) erzeugt wird und somit “die Ladungen imDielektrikum verschiebt”:
el. Verschiebungsdichte = ~D = ǫǫ0 ~E ; [D] =As
m2.
Elektrische Felder in Dielektrika:
• Grundregel:Das elektrische Feld ~E(~r ) wird wie im Vakuum ausden freien Ladungen (d.h. ohne Berucksichtigung derPolarisationsladungen) berechnet, aber mit derErsetzung
ǫ0 → ǫǫ0 .
• Beispiele:– Coulomb-Feld:
~E(~r ) =1
4πǫǫ0· Q
r3· ~r
– 1. Maxwellsche Gleichung:
div ~E(~r ) =1
ǫǫ0ρ(~r ) ⇒ div ~D(~r ) = ρ(~r ) .
– Energiedichte des elektrischen Feldes:
wel =1
2ǫǫ0E
2 =1
2~D · ~E
5 Statische elektrische Felder 03. Juni 2009
Elektrische Dipole
Das elektrische Dipolmoment:
• Elektrischer Dipol = Anordnung zweierungleichnamiger Ladungen gleichen Betragesin einem festen Abstand d
• Das elektrische Dipolmoment ist definiert als
~p = Q ~d ; [p] = Asm .
−Q +Q
d− +
Dipol im elektrischen Feld:• Kraft im homogenen Feld:
~Ftot = ~F+ + ~F− = 0
• Drehmoment im hom. Feld:
~M = (~r+ × ~F+) + (~r− × ~F−)
= Q ·[
(~r+ − ~r−) × ~E]
= Q · (~d × ~E) = ~p × ~E
• Potentielle Energie im homogenen Feld:
Epot = −~p · ~E = −pE cos θ
• Kraft im inhomogenen Feld (fur ~E = E(x)x):
~Ftot = ~F+ + ~F− = Q ·[
~E(~r + ~d/2) − ~E(~r − ~d/2)]
= Q ·[
2 · d
2cos θ
dE(x)
dx
]
= p cos θdE(x)
dx
E
F−
F+
r−r+
θ
r
+Q
−Q
d
+
−
6 Statische magnetische Felder 10. Juni 2009
Magnetische Phanomene
Bekannte magnetische Phanomene:
• Permanentmagnete;
• Das Erdmagnetfeld (Magnetkompass!);
• Elektromagnetismus (Erzeugungmagnetischer Kraftwirkungen durch Stromfluss).
Alle magnetischen Phanomene werden durch bewegteLadungen erzeugt!
Permanentmagnete:• Magnete haben zwei
unterschiedliche Pole,die nicht isolierbar sind.
• Ungleichartige Pole ziehensich an, gleichartigestoßen sich ab.
• Die Pole werden nachihrer Ausrichtung imErdmagnetfeld benannt:
N = Nordpol: zeigt nach Norden;S = Sudpol: zeigt nach Suden.
S N
S SN N
Sichtbarmachung von Magnetfeldern:
• Durch Probemagnet (z.B. Kompassnadel), der dieRichtung der magnetischen Kraftwirkung anzeigt.
• Durch Eisenfeilspane, die sich entlang derFeldlinien (d.h. in Richtung der magnetischenKraftwirkung) anordnen.
6 Statische magnetische Felder 10. Juni 2009
Magnetische Feldlinien
Eigenschaften:
• Magnetische Feldlinien zeigen in die Richtung, in diesich der Nordpol eines Testmagneten ausrichtet.
• Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen(auch in Permanentmagneten oder stromfuhrendenBereichen)⇒ es gibt keine magnetischen Ladungen.
−N S
I
I
Permanent-
magnet
gerader
Draht
Spule
6 Statische magnetische Felder 10. Juni 2009
Das Magnetfeld
Phanomenologisch:
Das Magnetfeld ist ein Vektorfeld ~B(~r ) mit
• Richtung, in die sich Testmagnet ausrichtet(in Richtung des Nordpols des Testmagneten).
• Starke proportional zum Drehmoment aufTestmagnet.
Definition von ~B :• Fur das Magnetfeld eines geraden
stromdurchflossenen Leitersbeobachtet man experimentell:
B ∝ I
r• Festlegung derProportionalitatskonstante:
B(r) =µ0
2π· I
r= µ0
~H(r)
µ0 = Induktionskonstante = 4π × 10−7 Vs
Am
[B] =Vs
m2= T = Tesla = 104 G[auß] (alte Einheit).
• Altere Lehrbucher: ~H = Magnetfeld.
• Wert von µ0 durch Wahl der Einheit A festgelegt.
• Typische Magnetfelder:
Erdmagnetfeld (Mittelwert) B = 2 × 10−5 T
Permanentmagnet (Eisen) B ∼ 1.5T
Supraleitende Spulen bis 7 . . .10T
(z.B. in Teilchenbeschleunigern)
I
rB
6 Statische magnetische Felder 10. Juni 2009
Das Amperesche Gesetz
Beispiel: gerader Draht
• Betrachte Wegintegral von ~Bentlang geschlossenem Weg C:
∮
C
~B d~s
• Wahle konzentrischen Kreis umDraht als Integrationsweg C:
~B ‖ d~s, | ~B | = B(r)
⇒∮
C
~B d~s = 2πrB(r) = 2πrµ0
2π· I
r= µ0I
• Das B-Feld ist nicht konservativ!
I
rC
Bds
Das Amperesche Gesetz:
• Allgemein gilt:Das Wegintegral von ~B entlang eines geschlossenenWeges C ist gleich µ0IA, wobei IA der Strom ist, derdurch die von C begrenzte Flache A fließt:
∮
C
~B d~s = µ0IA (Amperesche Gesetz)
• Das Amperesche Gesetz bestimmt das Magnetfeld ~Bfur eine gegebene Anordnung von Stromen eindeutig.
• Achtung: Gilt so nur fur statische Felder.
6 Statische magnetische Felder 10. Juni 2009
Die Stromdichte
Ladungstragergeschwindigkeit
und Stromdichte:
• Betrachte kleines Volumen ∆V von Ladungstragern,die sich mit Geschwindigkeit ~v bewegen.
• Gesamtladung in ∆V (Ladung q pro Ladungstrager):
∆Q = nq · ∆V = nq · v∆t · ∆A
• Strom, der durch die Bewegung von ∆V erzeugtwird:
∆I =∆Q
∆t= nqv · ∆A
• Die Stromdichte ~ ist der Strom pro durchflossenerFlache:
~ =∆I
∆A= nq~v; [j] =
A
m2
. .. . ... .
.....
....
.....
.. .... . .
.
.
.
.
.. . . . .. ... .
. .. . . ...
... .
.
. .. . .... .. .. . ..
.. ....
...
....... . .....
. .
. . .... . ..
...
...
.
v dt
v
Ladungsträgerdichte n dA
Amperesches Gesetz mit Stromdichte:∮
C
~B d~s = µ0
∫
A
~ d ~A
(A ist die vom Integrationsweg Ceingeschlossene Flache)
6 Statische magnetische Felder 10. Juni 2009
Spezielle Magnetfelder
C
L
I
r
B
R
I
Weg C
2R
2r
I I
R
2RB
Spule:
(N Windungen)∮
C
~Bd~s = LB
IA = NI
⇒B = µ0NI
L
Draht mit homogenem Stromfluss:
∮
C
~Bd~s = 2πB(r)r
IA =
I r2
R2 r ≤ R
I r ≥ R
B(r) =
µ02π I r
R2 r ≤ R
µ02π I 1
r r ≥ R
Helmholtz-Spulenpaar:
Naherungsweise homogenesMagnetfeld
B =µ0I
(5/4)3/2R
6 Statische magnetische Felder 10. Juni 2009
Die Lorentz-Kraft
Kraft auf bewegte Ladung:• Bewegte Ladungen z.B. in
– stromfuhrenden Leitern;– Teilchenstrahlen
(z.B. Fadenstrahlrohr).
• Experimenteller Befund:Im Magnetfeld ~B wirkt Kraft ~FL,die senkrecht auf ~v und ~B steht:
Lorentz-Kraft = ~FL = q · (~v × ~B )
• Achtung:– Rechte-Hand-Regel ⇒ Richtung von ~FL.– Vorzeichen der Teilchenladung q beachten!
B (in Zeichenebenehinein)
q>0 v
FL
Teilchenbahn im Magnetfeld:
• Da ~FL ⊥ ~v ist, bewegtsich geladenes Teilchen
– auf Kreisbahn,wenn ~v0 ⊥ ~B ist;
– auf Spiralbahnandernfalls.
• Lorentz-Kraft =Zentrifugalkraft:
qvB =mv2
R
⇒ R =mv
qB=
p
qB• Erlaubt Bestimmung vom q/m, z.B. im
Fadenstrahlrohr.
• p = RqB stimmt auch fur relativistische Teilchen!
FL
v0
2RFz
q<0
B (in Zeichenebenehinein)
6 Statische magnetische Felder 10. Juni 2009
Kraft auf stromdurchflossene Leiter
Beispiel: gerades Leiterstuck• Betrachte Strom I in
Leiterstuck mit Lange Lund Querschnittsflache Aim Magnetfeld ~B.
I = A = nqvA .
• Lorentz-Kraft auf eineLadung q:
~FL = q · (~v × ~B )
• Gesamt-Lorentz-Kraft aufalle Ladungstrager (mittlereGeschwindigkeit ~v):
~FL = n V︸︷︷︸=LA
·q · (~v × ~B ) = I L · (v︸ ︷︷ ︸
=~L
× ~B ) = I · (~L × ~B)
FL
I
B (in Zeichenebenehinein)
L
Kraft zwischen zwei Stromen:• Zwei parallele Leiterstucke mit
Stromen I1, I2 im Abstand d.
• Magnetfeld von Strom I1am Ort von I2:
B1 =µ0
2πdI1
• Kraft auf Leiter 2:
FL = I2L2B1 =µ0L2
2πdI1I2
⇒ FL
L2
=µ0
2πdI1I2
• Diese Kraft wird zur Festlegung derStromstarkeeinheit Ampere verwendet.
d
I I
L L
1 2
1 2
6 Statische magnetische Felder 17. Juni 2009
Hall-Effekt
Strom durch Leiter im Magnetfeld:
• Ladungstrager werden durch Lorentz-Kraft abge-lenkt.
• Durch die Ladungstrennung baut sich ein elektrischesFeld auf (Hall-Feld ~EH).
• Im Gleichgewichtszustand kompensieren sichmagnetische und elektrische Krafte⇒ Konstante Spannung UH senkrecht zu Strom
und Magnetfeld.
B
d
b UH
I
q
FL
q>0
EH
q
Berechnung der Hall-Spannung:
• Strom und Geschwindigkeit:
I = jA = nqv · bd ⇒ v =I
nqbd• Kraftegleichgewicht:
FL = qvB = FH = qEH = qUH
b⇒ UH = vBb
• Hall-Spannung:
UH =IB
nqd• Anwendung z.B. zur Magnetfeldmessung und zur
Bestimmung von qn.
6 Statische magnetische Felder 17. Juni 2009
Stromschleife =
Magnetischer Dipol
Leiterschleife in Magnetfeld:• Einfachste Konfiguration:
rechteckige Schleife, Strom I,Seite a ⊥ ~B,Winkel θ zwischenSeite b und ~B.
• Krafte und Drehmomente:
– Seiten b: ~F2 + ~F4 = 0,resultierendesDrehmoment = 0.
– Seiten a: ~F1 + ~F3 = 0,resultierendes Drehmoment
| ~D | =(
|~F1 | − |~F3 |)
· b
2cos θ = BI a · b
︸︷︷︸=A
cos θ︸ ︷︷ ︸
=sin θ′
.
• Das magnetische Moment ~µist ein Vektor mit Betrag AI, der senkrecht auf derFlache A steht. Die Richtung von ~µ folgt aus derStromrichtung und der rechte-Hand-Regel.
• Insgesamt: Drehmomentauf magnetisches Moment
~D = ~µ × ~B .
Das Magnetfeld versucht,den Dipol in Feldrichtungauszurichten.
• Wie beim elektrischen Dipolmoment: Epot = −~µ · ~B.
θ
B
a
bI
θ
F4
F1
F2
F3
’
0o
θ
Epot
θ90o o180
−90o o0 90o
’
’−90o
6 Statische magnetische Felder 17. Juni 2009
Beispiele magnetischer Dipole
Atomare magnetische Dipolmomente:
• Einfaches Modell:Elektron (Ladung −e, Masse me)auf Kreisbahn um Kern.
• Drehimpuls: L = mevr = n~
(QM: Drehimpuls ist gequantelt).
• Magnetisches Moment:
µ = I · A =ev
2πr· πr2 =
1
2evr
• Insgesamt: µ =e~
2m︸︷︷︸=µB
·n
• Das Bohrsche Magneton µB ist die naturliche Einheitatomarer magnetischer Momente.
L
q=−em=me
r
Drehspulgalvanometer:
• Prinzip:StromdurchflosseneSpule im Feld einesMagneten;
• MechanischeRuckstellkraft, z.B.durch Spiralfeder;
• Ausschlagproportionalzum Strom I. I
N S
I
6 Statische magnetische Felder 17. Juni 2009
Die Magnetisierung
Materie im Magnetfeld:
Bringt man Materie in ein Magnetfeld ~B,so andert es sich:
~BVak → ~BMat = µ ~BVak
µ = relative Permeabilitat; [µ] = 1
Magnetisierung:
• Definition:
Magnetisierung = ~M =1
V
∑
V
~µi
[ ~M] =Am2
m3=
A
m
analog zur Definition der elektrischen Polarisationals “elektrische Dipoldichte”!
• In vakuumgefullter Spule:
B = µ0nI
L= µ0
nIA
AL
= µ0µtot
V⇒ B = µ0M = µ0 H︸︷︷︸
magn. Erregung
• Fur allgemeine Felder mit Materie gilt:
~BMat = µ0
(
~H + ~M)
= ~BVak + µ0~M ;
dabei ist ~BVak = µ0~H das von den außeren Stromen
erzeugte Feld.
M
L
A
n Windungenmit Strom I
6 Statische magnetische Felder 24. Juni 2009
Magnetische Suszeptibilitat,
Magnetismusarten
Magnetische Suszeptibilitat:
• Im allgemeinen ist ~M ∝ ~H:
~M = χm~H
χm = magnetische Suszeptibilitat
[χm] = 1
• Damit wird:
~BMat = µ0
(
~H + ~M)
= µ0 (1 + χm)︸ ︷︷ ︸
=µ
~H = µ0µ ~H = µ ~B
Dia-, Para- und Ferromagnetismus:
Je nach Richtung und Starke von ~M unterscheidet mandrei Arten von Magnetismus:
Bezeichnung Suszeptibilitat Permeabilitat
Diamagnetismus χm < 0, |χm| ≪ 1 µ < 1
Paramagnetismus χm > 0, |χm| ≪ 1 µ > 1
Ferromagnetismus χm > 0, |χm| ≫ 1 µ ≫ 1
F
BI
M
BI
FDiamagnet
M
Paramagnet
6 Statische magnetische Felder 24. Juni 2009
Diamagnetismus
• Diamagnetische Materialien bestehen ausAtomen/Molekulen ohne permanentesmagnetisches Dipolmoment.
• Beim Einschalten desMagnetfeldes ~B werdenatomare Ringstromeinduziert (s. Kap. 4.4),die dem außerenMagnetfeld entgegenwirken.
• ~M und ~B sindantiparallel ⇒ χm < 0
• Im allgemeinen ist|χm| ≪ 1 und Temperatur-unabhangig.
Ausnahme:Supraleiter unterhalb der Sprungtemperatur TC habenχm = −1, d.h. das Feld wird vollstandig aus demMaterial verdrangt (Meißner-Ochsenfeld-Effekt).
induzierte atomareRingströme
OberflächenstromResultierender
Magnetfeld
Zeichenebene)(senkrecht zu
Diamagnetische Materialien:
• Typische Werte von χm
(mit Atomgewicht multipliziert):
Material χm · Mm [mol−1]
Helium He − 1.9 × 10−9
Wasserstoff H2 − 4.0 × 10−9
Stickstoff N2 −12 × 10−9
Wasser H2O −13 × 10−9
Gold Au −28 × 10−9
• Alle Edelgase sind diamagnetisch.
6 Statische magnetische Felder 24. Juni 2009
Paramagnetismus
• Paramagnetische Materialienbestehen aus Atomen/Molekulenmit permanentem magnetischenDipolmoment.
• Ohne außeres Magnetfeld sinddie Dipole wegen der thermischenBewegung ungeordnet, d.h. habenisotrope Richtungsverteilung.
• Im Magnetfeld richten sichdie Dipole teilweisein Feldrichtung aus.
• In diesem Fall sind ~M und ~B parallel ⇒ χm > 0.
• Der Grad der Ausrichtung hangt von der Temperaturab:
~M = N |~µ |〈~µ · ~B〉3kT
· B ⇒ χm =µ0 | ~M || ~B |
=µ0Nµ2
3kT
(N = Atome/Volumen,µ = magnetisches Moment eines Atoms)
B=0
B
Paramagnetische Materialien:
Material χm · Mm [mol−1] (T = 0C)
Aluminium Al 16.5 × 10−9
Sauerstoff O2 3450 × 10−9
Eisencarbonat Fe CO3 11300 × 10−9
• Paramagnetismus ist meist starker alsDiamagnetismus.
• Auch fur paramagnetische Materialien tritt zusatzlichDiamagnetismus auf!
6 Statische magnetische Felder 24. Juni 2009
Ferromagnetismus
• Ferromagnetische Materialien bestehen ausAtomen/Molekulen mit permanentenmagnetischen Dipolmomenten.
• Diese Dipole beeinflussen sich uber ihr Magnetfeldgegenseitig und richten sich bevorzugt parallelzueinander aus.
• Kleine außere Felder erzeugen große Magnetisierung,die zum Teil erhalten bleibt, wenn das außere Feldabgeschaltet wird.
Hysterese:
• Die Magnetisierung hangt vom angelegten Feld~B0 = µ0
~H ∝ I ab und von der Vorgeschichte.
• Bei zyklischer Variation von H zwischen ±Bmax ergibtsich Hystereseschleife.
• Remanenz = verbleibende Magnetisierung bei H = 0.
• Koerzitivkraft =Gegenfeldstarke, bei der wieder M = 0 wird.
B0= Hµ0
M
Bmax
Hystereseschleife
Koerzitivkraft B
Bmax−
K
Remanenz MR
Neukurve
6 Statische magnetische Felder 24. Juni 2009
Weißsche Bezirke
Mikroskopische Ordnung:• In Bereichen der Ausdehnung
10µm–1mm richten sich dieatomaren Dipole parallel aus(Weißsche Bezirke).
• Diese lokale Ausrichtungbleibt auch ohne außeres Feldbestehen.
• Die Orientierung von ~Mi inden einzelnen Bezirken istohne außeres Feld und ohneRemanenz isotrop.
• Im außeren Magnetfeldrichten sich die atomarenDipole in einem Bezirkkollektiv aus.⇒ Die Magnetisierung
steigt in kleinen Sprungenan (Barkhausen-Sprunge).
~100 mµ
B
M
0
SprüngeBarkhausen−
Horbarmachen der Barkhausen-Sprunge:
• Plotzliche Anderungder Magnetisierungerzeugt Spannungssignalin Induktionsschleifeum Magneten.(Siehe Kap. 4.4).
• Diese Signalekonnen perLautsprecherhorbar gemachtwerden.
SN Fe
6 Statische magnetische Felder 24. Juni 2009
Curie-Temperatur,
einige Ferromagnte
Curie-Temperatur:
• Oberhalb einer bestimmten, materialabhangigenTemperatur werden Ferromagnete beim Erwarmenschlagartig paramagnetisch.
• Diese Temperatur heißt Curie-Temperatur TC.
• Erklarung:Die mittlerekinetische Energiewird großer als diepotentielle Energieder Dipol-Dipol-Wechselwirkung.
• Oberhalb von TC ist
χm ∝ 1
T − TC
T−TC
TC T
mχfe
rrom
agne
tisch
paramagnetisch
~ 1
Ferromagnetische Materialien:
Material Permeabilitat TC [K]
Eisen Fe 500–10000 1043
Nickel Ni 627
Kobalt Co 80–200 1385
Gadolinium Gd 293
Erbium Er 20
Mumetall (Ni+Cu+Co) 100000
• Es gibt weitere ferromagnetische seltene Erden.
• Verschiedene Legierungen haben hohe relativePermeabilitat.
7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 24. Juni 2009
Das Faradaysche Induktionsgesetz
Experimentelle Beobachtung:
An den Enden einer Leiterschleifewird eine elektrische Spannung Uind
induziert, wenn sich dermagnetische Fluss durch dievon der Leiterschleifeumschlossene Flache A andert:
∮
A
~B d ~A 6= const.
⇔ Uind 6= 0Uind
BA
Faradaysches Induktionsgesetz:
Uind = − d
dt
∮
A
~B d ~A = −dΦm
dt
• Vorzeichen:“Richtung der Messung von Uind”→ Umlaufsinn um Leiterschleife→ Richtung von d ~A nach
der rechte-Hand-Regel.
• Flussanderung dΦm/dt kann verursacht werden von
– Anderung von ~B (z.B. Einschalten von Magnet);– Anderung von A (z.B. Verformung der Schleife);
– Anderung von ∢( ~B, ~A) (z.B. Drehung).
• Wegintegral∮
~E d~s = Uind
Wegintegral uber geschlossenenen Weg ist ungleichNull! Zeitabhangige ~E-Felder sind nicht konservativ.
indU >0+−
C
A
7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 24. Juni 2009
Induktionsbeispiele
Rotierende Leiterschleife:
• Bei konstanterWinkelgeschw. ω:
Φm = AB cosφ
= AB cos(ωt + φ0)
• Induktionsspannung:
Uind = −dΦm
dt= −AB [−ω sin(ωt + φ0)]
= ABω sin(ωt + φ0)
(Wechselspannung)
• Prinzip des Generators.
BφA
Uind
ω
Spule mit Induktionsschleife:
• Magnetischer Flussin Spule mitN Windungen:
Φm = AB
= πR2 · µ0N
L· I(t)
• Spannung inInduktionsschleife(eine Windung):
Uind = −dΦm
dt= −µ0πR2N
L· dI(t)
dt
A
L
2R
Uind
Strom I(t)N Windungen,
7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 24. Juni 2009
Selbstinduktion, Einschaltvorgang
Selbstinduktion:
• Beim Einschalten des Stroms in einer Spule(Lange ℓ, N Windungen) induziert dieFlussanderung in der Spule eine Spannung Uind
in der Spule selbst.
• In N Windungen ist Uind N mal so groß wie in einereinzelnen Induktionsschleife:
Uind = −NdΦm
dt= −µ0AN2
ℓ· dI(t)
dt
• Eine induzierte Spannung tritt bei Stromanderungenin allen stromfuhrenden Anordnungen auf, mit
Uind = −L · dI(t)
dt
L = Induktivitat; [L] =Vs
A= Henry = H
• Selbstinduktivitat einer Spule: L =µ0AN2
ℓ.
Einschaltvorgang:
• Stromkreis mit L, R und U0:
U0 = RI − Uind = RI + LdI
dt
• DG fur I(t) mit Losung
I(t) =U0
R
(
1 − e−(R/L)t)
• Zeitkonstante desStromanstiegs: τ = L/R
LU0
Uo/R R
S
t
τ
I I0=
0.63I0
7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009
Die Lenzsche Regel
Vorzeichen von Induktionsspannungen:
Das negative Vorzeichen im Induktionsgesetz hat einegenerelle Konsequenz fur alle Induktionseffekte:
Die durch Induktion bewirkten
Spannungen, Strome und Felder
wirken stets dem die Induktion
verursachenden Vorgang entgegen.
Beispiel:
• Permanentmagnet bewegt sich auf Spule zu.
• Durch die Anderung des magnetischen Flusseswird in der Spule eine Spannung Uind induziert,durch die ein Strom Iind erzeugt wird.
• Der Strom erzeugt ein Magnetfeld ~Bind.Lenzsche Regel: ~Bind wirkt der Flusszunahmein der Spule entgegen, ist also dem Feld desPermanentmagneten entgegengerichtet.
• Es resultiert eine abstoßende Kraft zwischen Spuleund Magnet.
Iind
Bind
v
F
7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009
Ausschaltvorgang
Abkoppeln der Spannungsversorgung
von einem Stromkreis mit Induktivitat:
• Vor Offnen des Schalters S(lange nach Einschalten):
I1 = U0/R1
IL = U0/RL = I0
• Nach Offnen des Schalters S:
0 = RI − Uind = RI + LdI
dt
(mit R = R1 + RL).
• DG fur I(t) mit Losung
I(t) = I0 · e−(R/L)t
• Die Induktion bewirkt einenStrom, der das Magnetfeldin der Induktivitataufrechtzuerhalten versucht.
• Induktionsspannung an L:
Uind = −LdI
dt= U0
R1 + RL
RLe−(R/L)t .
Falls R1 ≫ RL ist, wird Uind ≫ U0
• Praktische Konsequenzen:– Bei Ausschaltvorgangen entstehen u.U. hohe
Spannungsspitzen, die elektrische/elektronischeGerate beschadigen konnen.
– Diese Spannungsspitzen werden z.B. zum Zundender Gasentladung in Leuchtstoffrohrenverwendet.
1
L
LI L,RR
I I0=
t
Uo/R
U0
S
7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009
Energieinhalt des Magnetfeldes
Energie des Magnetfeldes:
• Der Strom I(t) nach dem Ausschalten erzeugt imWiderstand R = R1 + RL Joulesche Warme, diegleich der im Magnetfeld gespeicherten Energie ist:
Wm = R
∞∫
0
I2(t) dt = RI20
[
− L
2Re−(2R/L)t
]∞
0
=1
2I20L
• Fur eine Spule (Querschnitt A, Lange ℓ) ist diemagnetische Energiedichte
wm =Wm
V=
1
2I20 µ0N
2A
ℓ︸ ︷︷ ︸
=L
1
Aℓ︸︷︷︸
=1/V
=1
2µ0I
20
N2
ℓ2
Mit B0 = µ0I0N/ℓ wird
wm =1
2µ0
B20
Zusammenfassung
elektromagnetischer Energien:
Wel =1
2CQ2 Wm =
1
2LI2
welm =
1
2
[
ǫ0E2 +1
µ0B2]
ohne Materie
1
2[ED + BH] mit Materie
7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009
Generator und Elektromotor
Funktionsprinzip
Rotierende Leiterschleife bzw. Spule im außerenMagnetfeld:
Kontinuierliche Drehung des Motors erfordertUmpolen des Stroms oder des Magnetfeldes.
Generator:
Mechanischer Antrieb↓
Rotation↓
Induzierte Spannung↓
Elektrische Leistung
Elektromotor:
Angelegte Spannung↓
Strom in Spule↓
Drehmoment auf Spule↓
Mechanische Leistung
Wechsel-
strom-
motor:
Dreht sich mitFrequenz derangelegtenWechsel-spannung.
U=
S
N
ωU0sin( t)
B
ω
7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009
Gleichspannungsmotor und
Gleichspannungsgenerator
Funktionsprinzip:• Umpolen der
Stromrichtung inder Drehspule(Rotator) durchsegmentierteSchleifkontaktean der Drehwelle(Kommutator).
• Funktioniertunabhangigvon Drehfrequenz.
• Elektromotor: Betrieb mit Gleichspannung.
• Generator: Liefert Spannung mit festem Vorzeichen.
Kohlestifte
+ −
U
IsolatorKontakte zurDrehspule
Technische Verbesserungen:
• Verwendung von N Spulen,deren Drehwinkel umπ/N gegeneinanderversetzt sind:
– Erfordert meherereKommutatoren odermehr Segmente aneinem Kommutator.
– Generator: GlattereAusgangsspannung.
– Elektromotor:runderer Lauf.
• Rotator mit Eisenkern
B1 2
3
Spulen
Drehachse
t
U
1 2
1+2
Beispiel: N=2
7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 08. Juli 2009
Wechselstrom und -spannung
Wechselstrom bzw. Wechselspannung hat eine
harmonisch oszillierende Zeitabhangigkeit, z.B.:
U(t) = U0 cos(ωt)
U0 = Amplitude
ω = Kreisfrequenz
=2π
T= 2πν
T = Periodendauer
ν =1
T= Frequenz
t
U
U0
T
−U0
0
Wechselstrom durch Widerstand R:
U(t) = U0 cos(ωt)
I(t) =U(t)
R=
U0
R︸︷︷︸=I0
cos(ωt)
P (t) = Leistung = U(t) · I(t)= U0I0 cos2(ωt) ≥ 0
• Mittlere Leistung 〈P 〉 =1
T
T∫
0
P (t) dt =1
2U0I0.
• Effektive Spannung, effektiver Strom:
Ueff =U0√2
, Ieff =I0√2
⇒ 〈P 〉 = Ueff · Ieff .
• Netzspannung (D): Ueff = 230V, ν = 50Hz .
U~
R
I~
7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 08. Juli 2009
Wechselstromkreise mit C oder L
Wechselstrom durch
Kapazitat C:
U(t) = U0 cos(ωt) =Q
C
I(t) =dQ
dt= −CU0ω︸ ︷︷ ︸
=I0
sin(ωt)
P (t) = Leistung = U(t) · I(t)= −U0I0 cos(ωt) sin(ωt)
• Strom und Spannung um +90 phasenverschoben(Spannung eilt voraus).
• Mittlere Leistung: 〈P 〉 = 0.
• “Wechselstromwiderstand” U0/I0 = 1/ωC nimmt mitsteigendem ω ab.
t
U~
I~
C
I
U
Wechselstrom durch
Induktivitat L:
U(t) = U0 cos(ωt) = LdI
dt
I(t) =U0
L
∫
cos(ωt)
=U0
ωL︸︷︷︸=I0
sin(ωt)
• Strom und Spannung um −90 phasenverschoben(Strom eilt voraus).
• Mittlere Leistung: 〈P 〉 = 0.
• “Wechselstromwiderstand” U0/I0 = ωL nimmt mitsteigendem ω zu.
t
U~
I~
L
U
I
7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 08. Juli 2009
Wechselstromkreis mit L, C und R
Wechselstrom durch L, C und R:
U(t) =U0 cos(ωt)
=RI + LI +Q
C;
I(t) =I0 cos(ωt − φ) ;
U(t) = − U0ω sin(ωt)
=RI + LI +I
C
= − RI0ω sin(ωt − φ) −[
LI0ω2 − 1
CI0
]
cos(ωt − φ) ;
• Beitrage von L, C und R zur Gesamtspannung habenPhasenverschiebungen von 90 relativ zueinander.
U~
C
I~R L
Zeigerdiagramm:
• Darstellung derU(t)–Beitrage mitHilfe von Vektoren(“Zeigern”), die mit ωin der (x, y)-Ebenerotieren, so dassProjektion aufx-Achse U(t) ergibt.
• Lange der Zeiger: U/I0.
• Summenzeiger Z; |Z| = Impedanz; [Z] = Ω.
• R zeigt nach rechts (phasengleich mit I)⇒ Z ergibt Phasenverschiebung von U(t) und I(t).
I0 =U0
|Z|=
U0√
R2 +(ωL − 1
ωC
)2; tanφ =
ωL − 1ωC
R.
x
y
R
Z
L
1/ Cω
ω
φL−1/ Cωω
ω
7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 08. Juli 2009
Der Schwingkreis
Stromkreis mit C, L und R
ohne treibende Spannung:
• Schalter S in Stellung 1:Aufladen von C.
• Umschalten auf Stellung 2:C entladt sich, Strom I.
LI + RI +I
C= 0
• Diese Differentialgleichung ist mathematischaquivalent zur Differentialgleichung fur einegedampfte Schwingung: mx + kx + Dx = 0(k = Reibungskoeffizient, D = Federkonstante).
• Losungen wie bei mechanischer Schwingung mit denErsetzungen m → L, k → R, D → 1/C:
– Gedampfte Schwingung (R2 < 4L/C):
Sonderfall: Ungedampfte Schwingung fur R = 0.
– Aperiodischer Grenzfall (R2 = 4L/C)
– Kriechfall (R2 > 4L/C)
• Bei Anregung mit Spannung U(t) = U0 cos(ωt) bildensich erzwungene Schwingungen aus (Resonanz beiωR = 1/
√LC).
+−
S1
2
CI~U
R
L
t
I(t)
I(t) = I0 cos(ωt) · exp(− R2L
t)
ω =√
1LC
− R2
4L2
7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 08. Juli 2009
Der Tesla-Transformator
Funktionsprinzip:
Transformator mit großen Windungsverhaltnis N2/N1,der durch hochfrequente Stromstoße angeregt wird.
U C Ua
F windungenN Primär−
N Sekundärwindungen2
1
i
Erklarung:
• Der Kondensator C wird mit Ui (Gleichspannung,niederfrequente Wechselspannung) aufgeladen.
• Ubersteigt die Spannungan der Funkenstrecke Feinen bestimmten Wert,wird C uber einen Funkenentladen. Dieser Vorgangwiederholt sich zyklisch.
• Dabei fließt ein hoher Strom,der in sehr kurzer Zeit abklingt.
• Große Flussanderung dΦm/dt ⇒ Ausgangsspannungbis zu Ua = O(100kV), besonders wenn die Frequenz1/T der Auf/Entladezyklen im Primarkreis auf dieSekundarkreis-Resonanzfrequenz abgestimmt ist.
• Medizinische Anwendung: Deposition vonJoulescher Warme in tieferenGewebeschichten (Diathermiestrome).
t
QC
Aufladen
Entladen
~1ms
T
8 Elektromagnetische Wellen 15. Juli 2009
Wellenlange, Wellenzahl,
Lichtgeschwindigkeit
Harmonische Welle:
• Das ~E-Feld
– macht harmonische Schwingung ∝ sin[ωt + φ(~r)]an jedem Punkt im Raum;
– variiert bei festem t sinusformig entlang z
• Wellenfronten = Orte gleicher Phase:Ebenen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung z
E
t=T/4
t=0
Wellenlänge λ
z
c
Lichtgeschwindigkeit:
• Frequenz ν, Schwingungsperiode T : ν = ω2π
= 1T
• Wellenzahl k, Wellenlange λ: k = 2πλ• Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellenfronten:
c =λ
T= νλ =
ωλ
2π=
ω
k• Vergleich mit k2 = ǫ0µ0ω2 ergibt:
c = Lichtgeschwindigkeit =1
√ǫ0µ0
= 2.998 × 108 m/s
• In Materie: cMat = cVak/√
ǫµ (ν-abhangig).
8 Elektromagnetische Wellen 15. Juli 2009
Spektrum
elektromagnetischer Wellen
Die Frequenz ν und die Wellenlange λ = c/νelektromagnetischer Wellen variieren uber einen riesigen
Bereich (bekannt: mehr als 24 Großenordnungen)
Energie [eV]Photon−
Frequenz [Hz]
langwellenUltra−
Radiowellen
1
1010
108
106
104
102
10−2
10−4
10−6
10−8
10−10
10−16
10−14
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
104
106
1024
1022
1020
1018
1016
1014
1012
1
1010
108
106
104
102
1
102
108
Mikrowellen
Infrarot
Sichtbar
Ultraviolett
Röntgen−
Gamma−strahlung
strahlung
rot
390
492
780
blau
violett
455
grün
gelb
orange622
592
577
[m]Wellenlänge
λ [nm]
λSichtbares Licht:
Die Energie elektromagnetischer Wellen ist gequantelt:E = hν = 6.626 × 10−34 J/s · ν.
Hohe E: elm. Strahlung hat teilchenartigen Charakter.
8 Elektromagnetische Wellen 15. Juli 2009
Hertzscher Dipol (I)
Stehende Wellen in offenem Schwingkreis:
• Harmonisch oszillierende Strome und Spannungen ineinem offenen Schwingkreis (Metallstab) entsprechenstehender Welle:
• Stabenden:Knoten von I, Bauche von U
Stabmitte:Bauch von I, Knoten von U .
• Resonanzbedingung:
λDipol = 2L ⇒ ωR =2πcDipol
λDipol
=π
L· c√
ǫµ
Achtung: ǫµ ist frequenzabhangig, z.B. ist fur Wasserǫ(ν = 0) = 81, aber ǫ(Licht) ≈ 2.
Imax
t=T/4
0
0
t=T/2
−
+
I=0 Imax
t=3T/4
0
0
L
I(t)
U(t)
t=0
−
+
I=0
Abgestrahlte Welle:
• Der oszillierende Strom im Dipol erzeugt eineelektromagnetische Welle mit Wellenlange
λ =2πc
ωR= 2L
√ǫµ
• Lange einer Sendeantenne ist L = O(λ)⇒ hohe Sendemasten fur λ = 1 . . .104 m (Radio).
8 Elektromagnetische Wellen 15. Juli 2009
Hertzscher Dipol (II)
Abgestrahlte Leistung:
〈Pem〉 =p2ω4 sin2 θ
32π2ǫ0c3r2
• 〈Pem〉 ∝ 1/r2
Gesamte Strahlungsleistung unabhangig vomAbstand vom Sender ⇒ Strahlung tragt Energie weg.
• 〈Pem〉 ∝ sin2 θ
Maximale Intensitat senkrecht zum Dipol,keine Abstrahlung in Dipol-Richtung.
• 〈Pem〉 ∝ ω4
Intensitat nimmt mit ω4 ∝ 1/λ4 zu(erklart z.B. die blaue Himmelsfarbe).
θ
Her
tz−D
ipol
r
Beobachter
θ 2 θ( )
(max. Dipolmoment p)
I( )~sin
θ
Dipol
Empfangscharakteristik:
〈Pempf〉 ∝ 〈PSender〉 · sin2 α
∝(sin θ sinα
r
)2
Sender
θ Empfänger
αr
8 Elektromagnetische Wellen 15. Juli 2009
Polarisation
Schwingungsrichtung des ~E-Vektors:Polarisation bezeichnet bestimmte Konfigurationen der
Schwingungsebene des ~E-Vektors senkrecht zurAusbreitungsrichtung der Welle
• Lineare Polarisation:~E-Vektor schwingt in einer festen Ebene,~B-Vektor schwingt in der dazu orthogonalen Ebene.Beispiel: Welle von einem Hertzschen Dipol.
• Zirkulare Polarisation:~E- und ~B “rotieren” um die Ausbreitungsrichtung
• Uberlagerung (Superposition) von Wellen kannPolarisation andern, z.B.:– linear + linear → zirkular;– links-zirkular + rechts-zirkular → linear.
E E
cB t=0,t=T/2
(B, t=3T/4)
(B, t=T/2)(B, t=0)
(B, t=T/4)
t=0
t=T/4
t=T/2
t=3T/4
zirkular polarisiertlinear polarisiert
t=T/4
t=3T/4
t=3T/4t=T/4
Erzeugung und Nachweis von Polarisation:• Metallgitter absorbiert
Welle, wenn ~E parallelzu Gitterstaben ist.
• Bei ∢( ~E,Gitter) = φkommt E sinφ durch⇒I ∝ sin2 φ.
Sender
φE E
9 Geometrische Optik 15. Juli 2009
Lichtstrahlen und Brechungsindex
Lichtstrahlen:
• Lichstrahlen sindAusschnitte ausebenen Lichtwellen,die sich gebundeltund parallel ausbreiten.
• Dies ist eine idealisierteAnnahme, die nur furStrahldurchmesser ≫ λ naherungsweise richtig ist.
• Beispiele:Laser-Strahl, Lochblende und Linse hinter Lampe
• Eigenschaften:– Lichtstrahlen breiten sich im homogenen Medium
geradlinig aus.– Die Wege von Lichtstrahlen sind umkehrbar.
• Beschreibung der Ausbreitung von Lichtstrahlen inder geometrischen Optik.
c
d»λ
Der Brechnungsindex:
Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht in Medium:
cMedium =cVakuum√
ǫµ=
cVakuum
n
n = Brechungsindex = n(ν) ; [n] = 1
Brechungsindices einiger Materialien
(λ = 589nm):
Luft (20 C, Normaldruck) 1.00028
Wasser 1.333
Quarzglas 1.458
Diamant 2.417
9 Geometrische Optik 22. Juli 2009
Das Brechungsgesetz
Brechung und Reflexion:• An einer Grenzflache
zwischen zwei Medien mitBrechungsindices n1 undn2 spaltet sich eineinfallender Strahl auf:
[E] Einfallender Strahl
[R] Reflektierter Strahl
[B] Gebrochener Strahl
• Einfalls-, Reflexions- undBrechungswinkel werdenbzgl. der Flachennormalengemessen.
n1
n2
E R
B
α α’
β
Das Snelliussche Brechungsgesetz:• Die einlaufende
Wellenfront legtWeg x1 zuruck,wahrend diegebrocheneWellenfrontx2 durchlauft:
x1 =c
n1
∆t = L sinα
x2 =c
n2∆t = L sin β
⇒ sinα
sin β=
n2
n1
• Der Strahl wird im dichteren Medium zur Normalehin gebrochen, im dunneren Medium davon weg.
α
αβ
β
L
x2
x1n
n1
2
9 Geometrische Optik 22. Juli 2009
Reflexion und Totalreflexion
Das Reflexionsgesetz:• Einfallender und
reflektierter Strahlhaben gleicheAusbreitungs-geschwindigkeit.
• Die DreieckeABD und BADsind kongruent:
α = α′
Einfallswinkel =Ausfallswinkel
α
αα
α
x1
’
’
n
n1
2
C D
A B
Totalreflexion:• Bei Auftreffen auf
optisch dunneresMedium (n2 < n1):
sinα =n2
n1sinβ
<n2
n1< 1
• Fur Einfallswinkel
sinα > n2/n1 = sinαT
gibt es keinengebrochenen Strahl.
• In diesem Fall erfolgt Totalreflexion, d.h. die gesamteIntensitat des Strahls wird reflektiert.
• Anwendung:Z.B. Lichtleitung in Glasfasern.
β α
γ n1>n2
n2
α < αβ = αγ > αT
TT
9 Geometrische Optik 22. Juli 2009
Spiegel und Bildentstehung
Reflexion an ebenem Spiegel:
• Jeder von einem Punkt Pausgehende Lichtstrahlwird entsprechend demReflexionsgesetzreflektiert.
• Fur Betrachter vor demSpiegel kommen die Strahlenscheinbar von einemgemeinsamen Punkt P ′
hinter dem Spiegel.
Spiegel
P P’
Bildentstehung:• Prinzip:
Wenn sich alle voneinem Punkt einesGegenstandes Gausgehenden Strahlenin einem anderen Punkttreffen, entsteht dortein vom Betrachtergesehenes Bild Bdes Gegenstandes.
• Bei einem Spiegel istdieses Bild
– aufrecht;
– virtuell, d.h. die Lichtstrahlen erreichen den Ortdes Bildes nicht;
– genauso groß wie der Gegenstand.
Spiegel
G B
9 Geometrische Optik 22. Juli 2009
Der spharische Hohlspiegel
Brennpunkt und Brennweite:• Brennpunkt:
Punkt F , in denachsenparalleleStrahlen fokussiertwerden.
• Brennweite:Abstand F – Spiegel
f = R
(
1 − 1
2cosα
)
• Paraxiale Naherung:Achsennahe Strahlen (h ≪ f, R) ⇒ f ≈ R/2
h
α
αα
R
Spiegel
M F
f
R
S
Abbildungsgleichung:
• Vergleich ahnlicherDreiecke:DCF mit DC’S1
AA’F mit FES2
B
b − f=
B + G
bG
g − f=
B
f
• Daraus folgt dieAbbildungsgleichung(paraxiale Naherung):
1
f=
1
b+
1
g
C
C’S1
A
S2E
D
A’
G
g
B
b
Spiegelf
F
9 Geometrische Optik 22. Juli 2009
Dunne Linsen
Rotationssymmetrische Korper aus durchsichtigemMaterial (Glas, Kunststoff) mit spharischen oder
ebenen Oberflachen.
Vorzeichenkonvention fur Krummungsradien:R > 0 fur konvexe Oberflachen;R < 0 fur konkave Oberflachen
(in Lichtrichtung gesehen).
R1
R1>0
R2<0
>0R2<0
R2<01R =
bikonvex(Sammellinse)
bikonkav(Zerstreuungslinse)
plan−konvexLicht
8
Brennpunkt und Brennweite:• Paraxiale Strahlen werden von
Linsen in einen Brennpunkt Ffokussiert.
• Aus Brechnungsgesetz undGeometrie der spharischenOberflachen:
f = Brennweite
=1
n − 1· R1R2
R2 − R1
[fur R1 = −R2:f = (R/2)/(n − 1)]
• Dunne Linsen: Linsendicke D ≪ f .
• Fur dunne Linsen ist die Brennweite fur beideDurchstrahlungsrichtungen gleich.
F
Linsen−ebene
f
D
9 Geometrische Optik 22. Juli 2009
Abbildungen durch dunne Linsen
Sammellinse, g > f :
• Abbildungskonstruktion: wo treffen sich Strahlen, dievon einem Punkt des Gegenstandes ausgehen?
• Reelles Bild: Strahlen treffen sich wirklich;Virtuelles Bild: Fortsetzungen der Strahlen jenseits
der Linsenebene treffen sich.
• Aus Vergleich der Dreiecke ADF2 mit L1OF2
und CEF1 mit L2L1C (wie beim Hohlspiegel):
G
g − f=
B
f;
B
b − f=
B + G
b⇒ 1
f=
1
g+
1
b.
F
Linsen−ebene
F
G
B
g f
b
L1
L2
O
A
E
C
D2
1
reelles,kopfstehendes
Bild
Sammellinse, g < f :
g > 0, f > 0, b < 0
Zerstreuungslinse:
g > 0, f < 0, b < 0
F
Linsen−ebene
F
G
g
B
−b
f
2
1
virtuelles, aufrechtes Bild (B>G)
F
Linsen−ebene
F
1G
2
B
−b
−f
g
virtuelles,aufrechtesBild (B<G)
9 Geometrische Optik 22. Juli 2009
Abbildungsmaßstab, Linsensysteme
Abbildungsmaßstab:
• Vorzeichenkonvention:G > 0B > 0, wenn das Bild kopfstehend ist.
• Lateralvergroßerung:
M = −B
G=
f
f − g=
< 0 wenn g > f
> 0 wenn g < f
= ∞ wenn g = f
Linsensysteme:
• Prinzip der Abbildungskonstruktion:Das Bild der ersten Linse bildet den Gegenstand derzweiten Linse (egal ob reell oder virtuell).
• Gegenstandsweite des Systems: g = g1;Bildweite des Systems: b = b2
1
b+
1
g=
1
f=
1
f1+
1
f2− L
f1f2
L≪f1,f2≈ 1
f1+
1
f2
• Die inverse Brennweite nennt man Brechkraft:
D∗ = 1/f ; [D∗] = m−1 = Dioptrie = dpt .
F
FF F
B1 21
G
g1
b1
12 11B22
g2
f1
f1
ff
2
2
b2
L
9 Geometrische Optik 22. Juli 2009
Abbildungsfehler
Abbildungsfehler: Effekte, die dazu fuhren, dass dasBild eines Gegenstandes unscharf oder verzerrt ist.
1. Chromatische Abberation:Die Frequenzabhangigkeitdes Brechnungsindexes(Dispersion) fuhrt zuunterschiedlichenBrennweiten fur Lichtunterschiedlicher Farbe.⇒ Bild ist nur fur einenschmalen Farbbereich scharf.
2. Sparische Abberation:Achsenferne Strahlenwerden nicht in Brennpunktfokussiert (Verletzung derparaxialen Naherung).⇒ Außere Bildbereicheunscharf.
3. Koma:Schrag einfallendes Lichtwird von verschiedenenBereichen der Linse aufverschiedene Punktefokussiert.⇒ Bild wird unscharf,wenn Linse schrag steht.
4. Astigmatismus:Unterschiedliche Fokalebenen der horizontalen undvertikalen Querschnitte von Lichtkegeln.⇒ Stabchenformige Verzeichnung.
5. Bildfeldwolbung, VerzeichnungScharfes Bild entsteht auf einer gekrummten Flache,bei Abbildung in Ebene entsteht Verzerrung.
Linsen−ebene
fb
frLinsen−ebene
∆fLinsen−ebene
9 Geometrische Optik 22. Juli 2009
Das Auge
Das Auge - ein optisches Instrument:
• Linse: fokussiert desLicht auf die Netzhaut,kann durch Muskelnverformt und damit in derBrennweite verandertwerden. Bei paralleleinfallendem Licht (g = ∞)ist das Auge entspannt.
• Iris: verstellbareLochblende (Pupille).
• Netzhaut: Bildflache.22mm
Linse
körperGlas−
Netzhaut
(Blende)Iris
Sehwinkel und deutliche Sehweite:
• Ein Objekt wird umsogroßer wahrgenommen,desto großer der Winkel ǫ0zwischen den Randstrahlendes Objekts ist.
• Bei Abstand s zwischen Augeund Objekt ist tan(ǫ0/2) = G/2s.
• Maximales ǫ0 bei entspanntem Auge furdeutliche Sehweite s0 ≈ 25cm(darunter kann das Auge nicht scharf stellen).
• Mit tan(ǫ0/2) ≈ ǫ0/2 wird ǫ0 = G/s0
ε
s=g
G0
Seh-
fehler
Weitsichtigkeit,Korrektur durch Zerstreuungslinse
Kurzsichtigkeit,Korrektur durch Sammellinse
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Die Lupe, Winkelvergroßerung
Die Lupe:
• Kurzbrennweitige Sammellinse,wird optimal so gehalten, dass das Objekt in derBrennebene liegt (g = f) und der AbstandLupe–Auge ebenfalls f ist:
• In dieser Anordnung erreicht paralleles Licht das Auge(Auge ist entspannt).
• Sehwinkel: ǫ ≈ G/f
ff
G
ε
Winkelvergroßerung:
• Die Vergroßerung V optischer Instrumente wird alsVerhaltnis des Sehwinkels mit und ohne Instrumentgemessen:
V =Sehwinkel ǫ mit Instrument
Sehwinkel ǫ0 mit bloßem Auge bei s0
• Fur die Lupe erhalt man:
V =ǫ
ǫ0=
G
f
s0
G=
s0
f
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Mikroskop und Teleskop
Mikroskop:
• Zwei kurzbrennweitige Sammellinsen,Bild von Linse 1 in Brennebene von Linse 2:
• Sehwinkel: ǫ ≈ tan ǫ = B1/f2 = Gb1/(gf2)
• Winkelvergroßerung:
V =ǫ
ǫ0=
s0b1
gf2=
s0(L − f2)
gf2≈ s0(L − f2)
f1f2
F
FF F
b1
12
21
f2 f2
L=b
11
f1
f1
G 22
B1
g
1+f2
OkularObjektiv
ε
Teleskop:
ǫ ≈ B
f2;
ǫ0 ≈ B
f1
V =ǫ
ǫ0=
f1
f2
.
FFF 21
f2 f2
11
b1
22
B1
L=f
1f ,OkularObjektiv
ε
+f21
ε0