Z. angew. Math. Mech. Bd, 32 xr , a,5 Aprl,/3fa, lejz S z a b 6 , Die in Achsenrichtung rotatiomsymmetrisch belastete dicke Kreisplatte 145

2. be i K i i r p e r n m i t K e r b e , rnit h e t e r o g e n c r S p a n n u n g s v e r t e i l u n g : im Falle tler I~rmudungsbeanspruchung die Grofie d e r m a x i m a l c n S 2 a n n u n g s s p i t z e a,,, bzw. tler n i n s i m a l e n A n s t r e n g u n g a,,,=c, (Bild 31) u n d d i e V e r l e i l u n g d e r A n s l r e n g u n g uber tleni Querschnitt cler Ermudungs-Bruchfliiche im Sinne dcr ak-Zahl als

(Bild 24). Belastungsgrijne in vollplastischeni Zustand

Belastungsgr6ne bei rein elastischem Verhaltcn E i g e n s p a n n u n g c n , wclche sich als Folge des Spannungsabbaues im entlasteten Ver-

suchskiirper cinstellcn, sind im Erniiidungszustand fur ein bcstimmtes A/B-Verhaltnis praktisch unabhangig von den Eigcnschaflen, die vor deni l‘crsucli vorhanden waren.

Das S p a n n u n g s g c f a l l e - der Differenlialquotient &&!! bzw. - ist nur dann von

EinfluB, wenn die Ilicke der von clcr BeaTbeitung herriihrenden, kaltverfcstigten Randschicht, im Verhaltnis zur Kcrbgriil3e bzw. zu den Abmessungcn des mangebenden Qucrschnittes ins Gewicht fi i l l t oder wenn die Randschicht durch cine Sondcrbchandlung der Oberflache ihren materiallechnischen Habitus grundlegend veriindert.

Grofie K i j r p e r n i i t t i e f e n u n d s e h r s c h a r f e n K e r b e n weisen einc ganz wesent- lich tiefere Ursprungsfestigkeit (I+ auf als k lc i n e , homolog ausgebildete Versuchskorpcr, weil sich die infolge Z e r r u t t u n g i m K e r b g r u n d ausbildende , , A u s r u n d u n g “ als scharfe Kcrbe am grol3en Korper ungunstigcr auswirkt als an einem kleinen Korper.

Eine wciterc V e r s c h i i r f u n g s e h r k l e i n e r K e r b r a d i e n : bci Flufistahl von e r 0 , 5 m m und bci Aluminiumlegierungen von e r 0,l bis 0,15 mm ubt bei normalen Wcrkstoffverhaltnissen, kcinen weiteren Einflufi auf die Grofic dcr Ermudungsfestigkeit (Ursprungs- und Wechscl- f cstigke il ) aus .

I>ic H y p o t h e s e v o n C o u l o m b - M o h r b e h a l t a u c h i m F a l l e g e k e r b t e r Korpe r m i t h c‘ t c r og c‘ xi c r S p a n n u n g s ve r t e i 1 u n g i h r e Gu 1 t i g ke i t .

1) r t, i a c h s i g e G r e n z z u s t a n d e f u r s t a t is e h e n u n d E r m u d u n g s b r u c h werden auf zwciachsige zuruckgefuhrt. In dcr w i t a u s uberwiegenden Anzahl von Fallen ist der zwei- achsigc Spannungszustand mafigcbend, wodurch sich cine sehr beachlenswerte Vereinfachung crg ibt .

1st die K e r b z i f f c r ak bekannt (Bild 32) dann mussen fur cine beslimmte Werkstoff- gattung, einerlei in wclchen mangebenden Intervallen sich die Grenzkrafte - Spannungcn bzw. Anstrengungen - hcwegen, die entsprechend der Elastizitatstheorie berechneten cmr- bzw. ~ ~ , , ~ - \ V e r t e = ak-ean bczogen auf den glat ten, nicht gekerbtcn Stab, aus cntsprechenden sinn- gemanen I,aboratoriums-\’ersuchen, bekannt scin (Bild 10) wodurch sich dann fur dcn j e wci - l i g c n 1:all d e r z u g e o r d n e t e , m a f i g e b e n d c ea,-Wcrt e r m i t t e l n l a B t (Bild 19), welcher d u r c h d c n l< o n s t r u k t c u r der Bemcssung dcs Werkstuckcs selbst zugrunde zu legen ist.

Das P h a n o m e n d e r E r s c h a p f u n g a n d e r F l i e B g r e n z e , d e r E r s c h o p f u n g ( lurch s t a t i s c h e n B r u c h a l s a u c h d e r E r s c h o p f u n g d u r c h E r m u d u n g wirddurchdie T h e o r i e v o n C o u l o m b - h l o h r v o n e i n e m e i n h e i t l i c h e n G e d a n k e n e r f a f i t .

3 k =

d l d l

0

Eingegangen am 23. April 195.1.

Die in Achsenrichtung rotationssvmmetrisch belastete dicke Kreisplatte auf nachvgiebiger und auf starrer Unterlage

Von Isttdn Szabo’ in Berlin I m Anschlup a n friihere Unlersuchungen wird das Problem der in Achsenrichtung rotationssymmelrisch

lielasteten dicken Kreisplatte a u j die Falle nachgiebiger btw. slarrer Lagerung ausgedehnl. Fur die an der Beriihrungsseile ai~jtretenden Schuhkrafle wird das C o u 1 o m b sche Reibungsgeselz angenommen. Fur die eingespasnte Plntte gelingt es, exakle Losungen anzugeben, wahrend f u r die a m Mantel krafte/reien Platte (jreie Lagerung) iiaherungslosungen in2 Sinne des de S a i n 1 - V e n a n t schen Prinzips gegeben wrden .

I n continuation of precious invrstigationn, the problem of t h e thick circular plnte under rolationally- symmetrical strain acting in axial direction is extended to the case that the plate is bedded elaslically or rigidly. The Coulonib friction law i s assumed for the sheming forces acting at the aurfaces i n contact. I n the case of clamped borders, it i s poasible t o give exact solutions, while, for free borders, approximative solutions are given, by u8e of s a i n 1 - v e n a 71 L’s principle.

En continuation d’incestigations antkrieures le problhme de la plaque circulaire kpaisse, chargke dans la direction de l’axe symnaBtriquemenl a la rolalion, est Blendu 8ur les dLplacemen1 klaslique e l rigide. Qua fit aux forces poussant du c 6 t B de contact, on suppose qu’elles agissent selon la loi de friction de Coloumb. Pour la plaque p i n c k il esl possible d’ indiquer des solutions exactes, tandis que pour les borde de la plaque ddpourvus de forces (placement libre) des solutions approximalives eon1 donndes selon le principe de Sainl- I‘en ant.

10

2.angew. Math. Mech' Bd, 32 Nr, 4,6 Anr,,,%, ,952 146 Szab6 , Die in Acheenrichtung rotationasymme!risch belastete dicke Kreisplatte

B npOJOnHceHH'? npeAbIAyLL(MX HCCnC'aOBaHUfi np06nOhla TO.?CTOn Kpyl'OBOfi nJI&CTUHbl, BpaLI@- TenbHo-cmhieTpwmo Harpysreermofi B oreBoxi IIarrpaB.neHmr, pacnpocTpaHneTca Iia cnysafi IIOfiAafOlQefiCH, HJIH X e XCemKOfi OnOpLd. 4.1R CK%JILIBalO4CIX J'CkLlHfi, Ba3HCiK&lO4HX Hit CTOpOHe COIIpHKOCHOBeHHff, IIpHHffT 311KOH TpeHEiff E;Y.lOH&, TOWIMC ~ELIleHIW hlOryT 6nTb IlafiAeHhl 3amaTOfi njlaCTnHtJ; H a CJIyqafi mc nnaCTIfH6I C CB060AHOn OT CH.n 6OKOBOfi nOBepXHOCTbI0, Aamcrr nps6nmfce~~ne peruemia B cnmcne npimqrrna Ceu-BeHaHa.

1. Einleitung In zwei friiheren Arbeilen habe ich das Problem der rotationssymmetrisch belasteten

dicken Kreisplatte auf clastischcr Untcrlage ohne Beriicksichtigung drs IIigcngewichtes behan- deltl). Diesen Untersuchungcn lagen die Ho o kc schcn Gesetze zugrundc, wahrend A. Mef f e r t dasselbe Problem fur eine nachgiebige und vollkommcn glattc Unterlagc gclijst liatte ". Unler ,,nachgiebig" wird liier im Anschlul3 an K. M a r g u e r r e 7 eine solche Unterlage vcrstanden, bei der an Stelle des Hookeschen Gesetzes die Xnnahmc getroffcn wird, dall die Verschie- bung dem cirtlichen Normaldruck proportional sei.

Das Ziel der folgcnden Ausfuhrungen ist es, das Problcm der nachgiebig bzw. starr gelager- ten Platte unter Beriicksichtigung einer rauhcn Untcrlage einem ahnlichcn Abschlull wie bei der elastischen Unterlage l) zuzufiihrcn. Ilic Berucksichtigung der Oberflachenrauhigkeit sol1 in cler Weise gcschehen, dall die Schubspannung an dcr Plattenunterseite im Sinne des Coulomb- schen Gesetzes dem ubcrtragenen Norrnaldruck proportional geselzt wird, wobei dcr Propor- tionalitatsfaktor die Haftreibungszahl po isl.

Einige Resultate einer, dicser bald folgendcn Arheil vorwegnehmend, wird zum Schlull noch die exakte Beriicksiclitigung dcs Eigengcwichtes angedeutet.

2. Problomstollung Einc Kreisplatte von dem Halbmcsser u, der Hohe h, dcm Schubmodul G und der P o i s s o n -

schcn Zahl Y ruhe auf einer nachgiebigcn Unlcrlage von der Bettungszahl K und werde durcli den achsensymmetrischen Druck f ( r ) belastct (Bild 1) . Die Randbedingungen lauten wie folgt :

z(2, Q ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . (I) , z(0, r ) = 0

' (a), (T,(O, r ) = - j ( r , . . . . . . . . . . . . . . (31, a,(h, r ) = - K . [ ( h , r ) . . . . . . . . . . . (4).

. . . . . . . . . . . . . . .

r I

Blld 1. Dle achsensymmetrlsch belastete dicke Kreisplatte nu? nachglebiger (bzw. starrer) Unterlage

(Fur eine starre Unterlage ist diesc Randbedingung

[ ( h , r ) = 0 .

z (k r ) = po 0, (h, r ) a,(z, u) = 0 . . .

zu ersetzen.)

l ) 1ng.-Arch. XTX (1951), S. 128 und XIX (19513, S. 342. a) A. Meffer t : Dim. T. U. Berlin 1951.

1ng.-Arch. I V (1933), S. 341.

durch die Forderung . . . . . . . . . . . . .

* (4a)

. (519 . . . . . . . . . . . . . . (6).

. . . . . . . . . . . . .

Z angew Math Mech. 11(1 32 sr, 4 / 5 AprlI,ai 1952 S z a b 6 . Die in Achsenrichtung rotationssgmmetrisch belastete dicke Kreisplatte 147

Die Forderungen (4) und (5) bedeuten, da13 zwischen Platte und rjnterlage stctigrr Kontakt besleht, was in Wirklichkeit solange dcr Fall ist, wie a,(h, r)<O (Druckspannung) is t ; wie man vorzugehen hal, wenn Zugspannungen auftreten, wird uns spater noch beschaftigen. Die Rand- bedingung (6) bezieht sich auf die in Bild 1 dargestellte freie gelagrrte Platte; fur cine am Rande ( r=a) fest eingespannte Platte ist sie durch

zu ersetzrn.

scliicbung C bzw. e bekanntlich folgendermaflen ausdriicken :

. . . . . . . . . . . . . . . . @(&a) = 0 P a )

Die Spannungen uz, a,, at und z (Bild 1) lassen sich dureh die Vertikal- bzw. Radialver-

uZ=2G"ji+ ay v2G); Y E

. . . Y E

wobei & = a t -+-+ ae ~ e

az ar r

Aus (7), (8) und den Glcichgewichtsbedingungen

. . . . . . . . . . .

bedcutet.

aa, u - u a t au, a t t

ar r as ' az - + - ' - - ' + - = O * - + , , + ; = o . . . . .

rrgrben sich fur dic Verschiebungen die Differentialgleich~ngen~) aE (1--3,v)A[+ - - = O ; AdC=O . az

a 2 a2 1 a wobei A = - + ar2 + den Laplaceschen Operalor bedeutet.

a22 ar

. .

. . . (7), .

. . . (8) -

. . . (9)

. f (lo),

3. Losung. fur die am Rande eingespannte Platte Nach meiner ersten Mitteilung5) sind die der Forderung (1) genugenden Losungen

z h

C = 2 [ p k e ~ k z + QkeIkz- ___-.- ( p k e - . 4 Z + - qkeLkZ)] Jo(ilkr) + ~ z + R . . (II) , k -- 1 'L(1- 2 v)

(12). &~ 'kz + [- Qk + - -

2( 1-2 v) &

2 (1 - 2v) Z - ( p k i 'kz- q k e i k z ) J J , ( l k r )

Hierbei bedeuten Jo(Akr) und J,(Akr) die Besselschen Funktionen erstcr Art, Ak den nach J , ( fka )=O definierten Eigenwert; PI; , Qk, p k , qk , A und B noch freie Konstanten. (Bezeichnen wir also die unendlich vielen und positiven Nullstellen von Jl ( t ) mit t k , so sind die durch

Ak = - gegeben.) tk

Am (2) fliel3t mit (7), (11) und (12) U

1-v (Pk + Qk) & -t m; (px,-qpk)=O . . . . . . . . . . (13),

wghrend die Randbedingung (3) auf ahnlichem U'ege zu

Pk J . ~ + Q~ i.) . J, (ik r ) + A ___- = - j ( r ) ~ k= 1 1-2v l -v 1 .

fuhrt . Multiplizieren wir diese Gleichung mit r d r bzw. rJo(A,,r)dr ( n = 1, 2, .. .) und integrieren von r=O bis r=a, so ergibt sich wegrn

fur k + n

Jo(Aka) fur k = n 0

. (14)

0

* 1 - 2 Y A = - f f ( r ) r d r . . . . . . . . . . . (1 - v) u*o

4) A . N & d a i : Elastische Platten, S. 310. 6 ) Ing.-Arch. XIX (1961), S. 128.

10'

148

bzw.

S z ab6, Die in Acheenrichtung rotationsspnmetrisch belastete dicke Kreisplatte Bd, 3 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ $ ~ $ f ~ , $ i

Setzt man die aus (13) und (15) berechnetcn P, und Qk in (11) und (12), so erhalt man:

Nach hiulliplikation mit r d r bzw. r J , (1, r ) d r und Integration zwischen r = O und r= a er- halten wir

bzw.

Aus der Randbedingung (5) ergibt sicli init (16) und (17):

I - Gin ilkh) + ck coi Akh] ~ , i i l ~ r ) , 1

RIultiplizieren wir diese Glcichung mit TJ,(A,~ r )d r bzw. rdr und integrieren zwischen r=O und r= a, so bekommen wir :

2 [ p k (;lk i~ e 'k + Gin Ak ?A) + qk ( lk h eLA ' + Gin Ak h) - 2 (1 - 2v) ck Gin L k h] Jo (AT1 r ) J1 (Ak r ) dr

= [p, ,(~, ,he ')L~- Ginil,, h)-qp,,(~,,hei~lh- Ginil,,/L) + 2(1-2v)cI ,~o~il ,h1

bzw.

. o k- 1

J2 illi a) 2

O ( - (22),

a (22a). 2 [pk ( ~ ~ h - ' k * + Gin Ak h) + qk (lbk h e 'k + Gin ilk h)

k - 1

- 2 c,( 1 - 2 Y) Gin Akh] J rJ,(Ak r ) dr = p0 az( 1 - v) A 0

Z.angew. Math. Mech. Bd, y2 rr, 4,5 Apr,,,'U8, 1952 S z a b 6 . Die in Achsenrichtung rotationssymmetriech belasstete dirke Kreisplatte 149

Setzen wir nun aus (20) qn. in (22) bzw. (22a) ein, so bekommen wir offenbar ein unendliches Gleichungssystem fur die Koeffizienten pk in folgender Gestalt :

&'(A,,) = 2(1-2v)(-Ai.,h + GinA,,h-- K GinA,,h[(l-v)eAflhGEinA,,h]) (25a), A,, G

bk = ITJ , (&r) d r . . . . . . . . . . . . . . (25C). 0

Das Integral fur a k n 1aBt sich zwar mit Hilfe der bekannten Formel fur Produkte von Bcsse Ifunktionens) auf eine unendliche Reihe zuriickfuhren, die aber schlecht konvergiert, so daB man das Integral bequemer mit der Simpsonschen Reiel bestimmt. Auch bk wird man auf diese Weise bestimmen.

Da die durch (17) gegebene Verschiebung e = e ( z , T ) wegen J,(j2ka)=O der Bedingung (6a) genugt, ist damit das Problem der am Rande eingespannten Platte gelost. Der u. U. notwen- digen Forderung der vertikalen Unverschiebbarkeit der Stelle z=h, r=a, kann man in der \Veise gerecht werden, dal3 man in (16) C= [ ( z , T ) durch C(z, r ) - C(h, u) ersetzt.

Uber die nahcrungsweise Auflosung des unendlichen Gleichungssystems (23) und der weiteren ahnlichen - in dieser Mitteilung noch .auftretenden - Gleichungen 1aBt sich dasselbe wie in meiner zweiten Mitteilung') aussagen : Die dort angefuhrten Gedanken lassen sich East \Vort fur Wort auf dic hie; behandelten Probleme iibertragen, so daB ihre Wiederholung uber- fliissig erscheint.

4. Losung fiir die freigelagerte Platte Fur die Erfullung der fur diesen Fall geforderten Randbedingung (6) bleibt nach Auflosung

des Glcichungssystems (23) keine Moglichkeit mehr, da samiliche Konstanten durch die vor- angehenden Randbedingungen (1) bis (5) festgelegt sind.

Der noch nicht erfullten Randbcdingung (6) kann man im Sinne des d e S a i n t - V e n a n t - schcn Prinzips folgendermaBen geniigen :

Fur r=a erhalten wir aus (16) und (17) eine mittlere Radialspannung

und ein Radialmoment

8) Siehe z. B. W a t s o n : Theory of Bessel Functions, S. 148. 7) Ing.-Arch. XIX (1951), S. 1.

Z. angew. =lath. Mcch. 150 Szab6, Die in Achsenrichtung rotationesymmetrisch helastete dicke Kreisplatte Bd. 32 Nr. 4,5 1952

Nun konnen wir dcr Fordcrung der Kraftefreiheit des Plattenmantels bcziiglich der Resultieren- den so gerecht werden, daI3 wir den Plaltenmantel durch -3, auf Druck bzw. Zug, und durch das Kraftepaar - FaR auf reine Biegung helasten. Die zu dicsen Bclastungen gehorigcn Ver- schicbungen sind bekannt*) : Zu -a,:

-(1- v) a, P I = 3 - G ( l + v ) r '

Die entsprechenden Spannungen ergchcn sich nach (7) zu :

(29).

Aus den letzlen Gleichungen ersehen wir, daI3 von unseren aus den Randbedingungen flieI3enden Gleichungen lediglich die aus (18) hervorgehcndcn Glcichungcn (19) urid (20) entsprechend der zusatzlichen Belastung zu modifizieren sind.

An Stelle von (18) t r i t t jetzt die Glcichung

Multiplizieren N i r diese Gleichung mit rJo(12,Lr)dr und integrieren zwischen Null und a, so hc- kommen wir wegen

' (31).

Dcnken wirliier aus (27) Gin eingesetzt, so stcllt (31) fur ?b=1,2,3 ... ein unendliches, lineares Gleichungssystem fur die Koeffizienten p , und qk dar: Sie konncn aus den Systernen (22), (22a) und (31) berechnet werden.

Multiplizieren wir (30) mil r d r , so liefert jetzt die Integration:

womil nach Auflosung der Gleichungssysteme (22), (22a) und (31) und Einsetzen in a, und fin die Konstante B gefunden ist:

6 R [ Y h 2 + (1 --) a2] . . . . (32). .__ 2(1-~)G v a, IL (1-2v)Ii 2(1 -t v) G' 2(1+ v) 6 1 1 3 +h]

~

Damit ist auch dieses Problem gclost.

1ng.-Arch. XIX (1951), S. 136.

Z. angew. Mnth. Mcch. Bd, 3?. Nr, a,5 S z a b 6 , Die in Arhsenrichtung rotationrtsymmetrisch belastete dicke Kreisplatte 151 ____

6. Dio Kreisplatte auf starrer Unterlage Die Randbedingung (4a) liefcrt aus (16):

hlit rdr bzw. rJo(A,, r )dr multipliziert und intcgriert, erhalten wir

bzw. B = - A h . . . . . . . . . . . . . . . . (34)

(Selbstverstandlich hatte uns eine andcre Uberlegung beziiglich des Bestehens von (33) zu dem gleichen Resultat gefuhrt .)

Denken wir aus (35) pk in (32) u. (22a) eingefiilirt, so crhalten wir ein lineares unendliches Gleichungssystem fur die pk , womit -da (6a) erfiillt ist -fur die eingespannte Platte das Problem gclost ist.

Fur die frci gelagerte Platte ist auch in diesem Falle die Losung nur im Sinne des d e S a i n t - \ 'enantschen Prinzips herzuleiten: Wir belasten die Platte am Rande wieder durch -3, und - ?iiR (wobei u, und mR durch (26) und (27) gegeben sind) und haben aus der Randbedingung (4a) mil den aus (28) entnommenen Verschiebungen Cl und C2 an Stelle von (33) die Gleichung

hlit dieser Gleichung verfahren wir genau so wie mit (30): Mit rJo(Anr) bzw. rdr multipliziert und integriert, erhalten wir

bzw. 3 ?& [ Y h 2 + (1.- .)a7 B = - A h - - - - -. . . . . . . . . (38). vZ,h

2(l+ Y ) G 2 ( I+ Y ) Gh3 Nach Einsctzen von GR in (37) bekonimen wir zusammen mit (22) u. (22a) das zur Ermitt- lung von p E und q k notwendige Gleichungssystem. Die Glcicliung (38) liefert dann den Wert von B.

6. Eine Bemerkung fur den Fall, dsS zwischen Platte und Unterlage ein ,,Abheben" stattfindet

Die hergcleitetcn Losungcn haben zur Voraussetzung, dal3 zwischen Platte und Unterlage stetiger Konlakt besteht, was in der Wirklichkeit offenbar nur solange der Fall ist, wie zwischen ihnen Druckkrafte hcrrschen. Dies wird bei den in der Praxis vorkommendcn Belastungsfallen meistens der Fall sein, um so mchr, da ein ,,Abheben" bei schweren Platten schon durch das Eigengewicht verhinde-rt wird. (Eine Berucksichligung des Eigengewichtes der Platte kann in erster Naherung dadurch geschehen, dafl man das Eigengewicht als gleichmaflige Last zu f ( r ) addiert; cine cxakte Behandlung erfolgt in der nachsten Ziffer.)

Ergibl nun die Rechnung, dal3 zwischen Platte und Unterlage Zugkrafte auftreten, so kann man auf iterativem Wegc folgendermaflen zu ciner der Wirklichkeit entsprechenden Losung komrncn : Neben den anderen Handbedingungen werden innerhalb des Druckbereiches fur z= h die vorangchend errechneten Spannungen (mit geeigneten Erganzungcn zur Wahrung des

152 S z a b 6, Die in Achsenrichtung rotationssgmmetriach belastete dicke Kreisplatte Bd.

Gleichgewichtes) vorgeschriebcn und dann aus den Verschicbungen : an dcr-Stclle z= h geman u,=-KC die neuen Druckspannungcn uz errcclinet, die fdr z=h wieder der Platte vorgeschrie- hen wcrden, usw. Auf dicsc Weisc kann mgn nach einigen Schrillen zu eincr guten Nahcrungs- losung kornmcn. Man u i r d frcilich von dicscr muh5arncn hlcthode kauni Gebrauch machen, da man in der Praxis solchc \‘orausselzungen schafft, dalJ ein Abhebcn geradc nicht stattfindet,

7. Die Beriieksichtigung des Eigengewichtes Ilic exakle Bcrucksichtigung tler l’Ilasscnltrnftc, in1 Gcgen$alz zu dcr in der vorigcn Ziffer

eruaahnlcn nahcrungsweiscn, ist be1 dicken, insbesondere F u n d a r n c n l p l a l ~ r ~ i von Bedeutung. (So ist z. B. bci einem Scliornsleinfundainent tlas Eigcngcwichl tlcr Fundamenlplatlc von der GroI3enordnung der aufzunehmcnden Last.) \Vie dies gcschehcn kann, sol1 hier kurz angcdcutet werdcn.

Bezcichnet y das spczifischc Gewicht dcs homogcncn Plattcnmaterials, so sind die Iliffc- rentialglcichungcn (9) durch

hervorgehen. In cincr ciicser bald folgendcn hlitteilung, wt.lche die achsensymmetriscli belastcte dicke

Kreisplatlc aiif claslischcr Unlerlagc und 1wi antleren Slulzungcn nnler 13crucksichligung des Eigengewichtes aosfiilirlich behanctclt, wirtl gczcigt, da13 die dcn L)iffercntialfileichungen (40) genugcnden und die I<antlbcdingung(~n ( 1 ) bis (3) lxfrirdigcndcn Liisungcn durc h

(1 arge s t e 1 It we rdc 11. Mi t die se n Ve rs c h ic 1111 ng s f ii n kl ione n we rd e n nun zunac hs t die Rand be tl in- gungen (4) und (5) crfullt.

Ails (4) und (5) ercebrn sich die an Slellc von (18) untl (21) lrclendcn Bcziehungen

Kleine Mitteilungen 153 Z. augea . Math. Mech. Bd. 92 Nr. 416 Aprll’Xai 1052

hlit diesen Glcichungen vcrfahrt man genau so wie mit (18) und (21), d.h. man multipliziert sic mit r d r bzw. rJ0(&r)dr und integriert zwischcn Null und a, wodurch man B und die Koeffi- zicnlcn ohne Erfiillung von (6) crmitteln kann. Der l e t z t e s Fordcrung wird man auch hier im Sinne dcs dc S a i n t - V c n a n t s c h e n Prinzips gerecht. Die Ausfiihrung im Einzclnen bedeutet prinzipicll uni so wniger ncue Schwicrigkeiten, da (26) und (27) ungeandert bleuen; aus diesem Grundt vcrzichtcn wir hier auf nahcre Einzelheiten.

Fur die eingespannte Platte ist in (41) das letzte Polynom zweiten Grades, d. 11.

Y T-GTiqGj

durch (1 - 2 v ) y z 2 - - 4 G ( l - v )

zu ersetzen, wahrend in (42) das letzle mit z r behaftete Glied zu streichen ist; diese Verschie- bungsfunktionen erfiillen dann auch die Randbedingung (6 a). Die sonstigen Rechnungen ver- laufen wie geradc angedeutet wurde. Eingegangen am 16. Juli 1951.

KLE I N E MITTE I LU N GEN Runge-Kutta-Verfahren unter Verwendung hoherer Ableitungen.

I n neuerer Zeit hat man bei der numerischen Inte- gration gewohnlicher Differentialgleichungen die Ge- nauigkeit dadurch gesteigert, daB man auDer der mit. der Differentialgleichung gegebenen Ableitung, z. B. y’ =/ (x, y ) im Falle der Gleichung 1. Ordnung, noch die durch Weiterdifferenzieren gebildete niichst hohere Ableitung, z.B. y” = f’(z, y ) = g(z, y) , oder noch weitere Ableitungen zur numerisrhen Rechnung heran- zieht. Bei den Interpolationsverfahren fiihrt dies u. a. auf sog. Hermitesche Interpola.tionsformeln, die sich durch hohe Genauigkeit auszeichnenl).

Es liegt nnhe, den Gedanken der Verwendung hoherer Ableitungen auch auf andere Integrations- verfahren auszudehnen, insbesondere auf das R u n g e - Kutta-Verfahren, dassich fur daspraktischeRechncn trotz einigerh’achteile immer wieder als hochst brauch- bar erwiescn hat. Ein besonders einfacher Weg der Beriick~iclitigung lioherer Ableitungen besteht hier darin, da13 man die weiterdifferenzierte Gleichung als Differentialgleichung hoherer Ordnung auffa13t und sie mit den enbprechenden verallgemeinerten R u n g e - Kut ta -Formeln fur Gleichungen n-ter Ordnung - unter Beachtung einiger hier anfallender Besonder- heiten - bchandelt2). Beim Ubergang auf Glei- chungen hoherer Ordnung findet hier, wie man wein, im nllgemeinen fine CknauigkeitssteigeIung statt,, so- bald namlich die neue Gleichung von 3. oder hoherer Ordnung wird. Bcim Ubergang von der 1. zur 2. Ord- nung bleibt hingegen die Genauigkeit, unverandert, niimlich von drr Ordnung h4, wcnn h die Schrittweite bedeutet. I m Falle einer Differentialgleichung 1 . Ord- nung y‘ = f (z ,y) wird also bei einmaligem U’eiter- differenzieren auf y” = f’(z,y) = g(z, y ) auf den1 hier behandelten Wege die Genauigkeit durch Ein- beziehen der Ableitung f’ noch nicht erhohts). Dafur aber ergibt sich hierbei eine besonders einschneidende Rechnungsvereinfachung, so da13 auch in diesem Falle unscr Vorgehen vorteilhaft ist.

’) W. Q u a d ? , Qrundsiltzllchea zur uurnerinrlien Integratlon von ~i~wohnliclirn Dlffercntialglelchunpen. Z. angew Matll. Ycch 30 (18.;0), 276-278.

1 1 R Z u r n i h h l R u u e e - I C o t t a - V r r f a h r e n ziir nurnerlachrn rllt&yatioi v i i ~ n ’ i f f e r r n ~ ~ s l ~ l r l r h u n g ~ n n - t c r Ordnung. Z . a n g w . Mnth. Mwh. 28 (IUR), 173-182. - Vgl. such L. C o I l a t z , Ni l - uieri*cllc Brhandloug vou Dlfferentialgl~irllungrII. S. 28-40. Brr- llii-0iittin~rn-llridr.lherg 1951.

J ) Die Pragr, ohauehindiesern Fslledurch elnenochallgcnlcinrr gehalttme R u n g e - K u t t a - V o r s c l l r i f t sich dle Qenauigkelt stei- ern h o t , blribt offrn. Elnlge Verrruche in dleaer Riclltung w r - liefen uegativ.

. Gegeben sei allgemein cine Differentialgleichung wter Ordnung von der Form

von der wir annehmen, da5 f geniigend oft nach den unabhiingigen Veriinderlichen differcnzierbar sei. Durch p-maliges Weiterdifferenzieren entsteht daraus die Differentialgleichung (n + p)-ter Ordnung

y(”+p)=/ (p) (x , y, y’, ..., y(n-1))

cine Gleichung, die in jedem Falle unabhiingig ist von der zweithochsten Ableitung yfn+p--l). Dafiir aber vereinfacht sich, wie man wei5, die R u n g e - K u t t a . Rechnung von vier auf drei Zeilen a n den drei Argu- mentstellen

yfn) = f (2, y, y’, . . ., yfn-1)) . . . . . . . * ( I ) ,

= g ( x , y, y’, . .., y(n-1)) . * . (2),

21 = 2 0 , X I I = 20 + hJ2, $111 = XO + h , denen die entsprechenden Werte

yi, y l , . * .> yy-’) (i =z I, 11,1111 . . . . . * (3) , sov-ie die hiervon abhangigen Funktionswerte

hl‘ + P - k i = gi ---, -

(n + ?))a

hn+P g ( x i , yi, yl , . . Y~-*))F+X (i = I , IZ, I I I )

zugehoren. AuBer diesen drei Funktionswerten ki benotigt man noch am Sehrittanfang x =xo, also a n der Stelle I, die p Funktionsaerte

(4).

y ( n ) z f , y f n + ~ ) =f’, ..,, yfn+p--l) =f(p--I) 1

(5), die hier nicht, wie beim normalen R u n g e - K u t t a - Verfahren (n + p)-ter Ordnung als Anfangswerte vor- liegen bzw. sich narh einer R u n g e - K u t t a -Vorschrift aus den Daten des vorangegangenen Schrittes er- rcchnen, sondern als Funktionswerte zu den gegebenen Anfangswerten xo, y o , . . ., yo(n--l) zu berechnensind. An den Stellen II, III werden sie nicht benotigt.

Sind die drei k-M’erte kI, kII, k I I I ermittelt, SO er- rechnet man aus ihnen nach dcr allgcmeinen R u n g e - K u t t a -Vorschrift die Mittelwerte

k, k’, . . ., kfn-1)

undausihnendiegesuchtcnEndwertey,, y;, . .., yy-’)