-__- 1 Die Nahrung I 22 I I 1 1978 1 57-74 [

Zentralinstitut fur Ernahrung in Potsdam-Rehbrllcke (Direktor: Prof. Dr. H. HAENEL), Forschungszentrum fur Molekularbiologie und Medizin, Akademie der Wissenschaften der DDR

*

Die Losung von wissenschaftlichen Aufgaben - der experimentellen Forschung

mit Hilfe der statistischen Versuchsplanung (SVP)

V. ERHARDT, B. SEPPELT und R. LANCE

An Beispielen aus der experimentellen Forschung auf dem Gebiet Nahrung und Ern&rung wird die Anwendung der statistischen Versuchsplanung - Versuchsplane I . Ordnung, Versuchs- plane 2. Ordnung sowie PLACKETT-BURMAN-Plane - gezeigt. Der Vorteil der Methoden der statistischen Versuchsplanung gegentiber den herkommlichen Methoden und einige wichtige Aspekte flir die Planung von Versuchen werden naher erlautert. Ein fur die GroDrechenanlage BESM 6 erarbeitetes Programm zur Auswertung dieser Versuchsplane wird angegeben und beschrieben.

Die Notwendigkeit der Anwendung der statistischen Versuchsplanung in der Forschung auf dem Gebiet von Nahrung und Ernahrung wird gegenwartig mehr denn je bedingt durch okononiische uberlegungen. In der Forschung wird heute nicht nur die Losung einer wissenschaftlichen Aufgabe gefordert, sondern es werden hierfur auch Limite vorgegeben, wie Zeit, Kosten, Qualitat, uberfuhrungsfragen und somit Reproduzjerbarkeit. Diesen Uberlegungen kommt die statistische Versuchsplanung entgegen, da durch sie versucht wird, mit einem Minimum von gezielt angelegten Versuchen Ergebnisse mit ausreichender Sicherheit und Genauigkeit zu bekommen. Die SVP leistet somit einen wesentlichen Beitrag zur Steigerung der Forschungs- effektivitat und Verminderung des Aufwandes in der Forschung sowie zur Modellierung und Optimierung von Forschungsergebnissen. Die SVP kann uberall dort angewendet werden, wo gleichzeitig die Wirkung mehrerer EinfluBgroBen (Faktoren) auf bestimm- te ZielgroBen ermittelt werden soll und die Bedingungen festzustellen sind, unter denen die Zielgroflen Optimal- oder Maximalwerte annehmen. In dieser multivariaten Be- trachtung besteht der Unterschied zu den herkommlichen Methoden, die immer nur die Beurteilung der EinfluBgroBen nacheinander erlauben. Auf die umfangreichen theoretischen Grundlagen, die zur Erlauterung der Methoden der SVP notig waren, wird nicht eingegangen. Diese mufl sich der interessierte Leser aus der Fachliteratur 11 -131 selbst aneignen. Hier soll vielmehr an praktischen Beispielen ein Verfahrens- weg der SVP fur Aufgaben aus der experimentellen Forschung auf dem Gebiet Nah- rung und Ernahrung gezeigt werden.

Die SVP fordert, in 3 Etappen vorzugehen. Die erste Etappe umfaflt die Wahl des Faktorenplanes und den Bereich der Datengewinnung durch den Experimentator. Die zweite Etappe ist gekennzeichnet durch den Formalismus des Erfassens und Aus- wertens der Daten. Bei der Erarbeitung eines Programms fur die Groflrechenanlage

58 ERHARDT/SEPPELT/LAKCE

Versuchsplane I . Ordnung I

BESN 61 wurden die vorhandenen Kenntnisse und Erfahrungen anderer Einrich- tungen ausgewertet und erganzt (Institut fur Enzymologie und teclinische Mikro- biologie, Berlin ; VEB Chemiekombinat Bitterfeld). Das Programm ist in 3 Sektionen unterteilt, die in der Reihenfolg&lirer Abarbeitung der Vorgehensweise der SVP bis zum optiniierten Model1 entspreclien (Schema I).

S c h e m a I

I I \-ersuchsplane ~ 2. Ordnung

- _. .- _ _ PLACKETT- 1

BURMAS-PIane ~

- Auswahl signifikanter Ein- fluUgroUcii aus ciner RIenge mijglicher EinfluUgrijOeii

Die dritte Etappe beinhaltet die Interpretation der Rechnerergebnisse und die I’Jberpriifung des Modells im Experiment durrli den Experimentator. In Abanderung des Schemas I wird an Beispielen die Anwendung der Versuchsplane I . und 2. Ord- nung sowie von PLACKETT-BURMAN-Planen dargestellt und diskutiert.

O/hiitieraiiig dirrck Versuchsplane I . Ordiazrng (lineares d9odelI)

Beispiel : Es sol1 der EinfluB von 3 Faktoren (EinfluBgroBen) auf einige physikalische Eigenschaften von Sonnenblumensaatprotein-Casein(x : 1)-Fasern (Ziel- gr6Ben) untcrsucht werden.

Eiiijlulupgro,f?e n Z ielgro/3cn

X1: NaHCO, (Katriurnhytlrogrncarbonat) Sz: NaCl (Kochsalz) X,: t (Reaktionszeit)

Yl: Festigkeit Fasern Y,: pH Fasern nach Behandlung Y,: mg ProteinlIoo nil Behantllungslosung Yd: Verbrauch mg NaHCO, in IOO ml Rehand-

Yb: Faserqualitat (Punkte) Y , : Bruchlast [p] nach Behandlung

lungslosung

Bei der Anwendung von Versuchsplanen I. Ordnung werden lineare Modellglei- chungen berechnet. Bei 3 EinfluBgrbBen haben sie folgende Gestalt:

Y 1 bo + bixi + 42x2 + b3X3 E’ =- bo + b,X, + b,X, + b3X3 + b12X1X2 + bnX1X3 + baX,Ap3

(1)

(4 Darin sind b,, b,, b,, b,,, b,, bzs die multiplen Regressionskoeffizienten; b,, b,, b, charak- terisieren die Hauptwirkungen der EinfluBgrBBen X, , X,, X , und b,,, b,, b,, die Wechsel-

Das BESM-6-Programm befindet sich im Zentralinstitut for Emahrung, Abt. Rechentechnik und Biometrie.

Statistische Versuchsplanung 59

wirkungen zwischen diesen EinfluBgroOen. \'erzichtet man auf die Bestimmung der Wechselwirkungen, benutzt man Gleichung I, sonst Gleichung 2. Um alle Koeffizien- ten in Gleichung 2 bestinimen zu kijnnen, benotigt man einen ,,vollstandigen Fak- torenplan" mit 8 I'ersuchen. Diese minimale I'ersuchsanzahl reicht aus, urn mit statistischer Sicherheit den EinfluB dreier Variabler in dem vom Experimentator festgelegten Versuchsraum zu beschreiben. Dazu sind fur jede EinfluBgroBe (XI, &, X,) zwei konstante Niveaus (auch Stufen genannt) festzulegen. Sie stellen fur jede EinfluBgroBe die auBeren Grenzen dar, innerhalb derer eine sinnvolle Versuchs- durchfiihrung garantiert sein muB. Ihre Festlegung mu8 so getroffen sein, daB in ihrem gesamten Bereich die gleiche Chance vorhanden ist, mit den anderen Einfluo- groBen in ihren angegebenen Bereichen reale Kombinationen einzugehen. Liegen keine ausreichenden Kenntnisse uber einen sinnvollen Yersuchsbereich vor, mussen Vor- versuche zur Klarung herangezogen weiden. Zum angegebenen Beispiel wurden fur die 3 EinfluBgroBen folgende Niveaus festgelegt (Tab. I).

T a b e l l e I

Niveaus fur die 3 EinfluBgroBen

unteres Niveau oberes Niveau

- I + EinfluOgroOen -~ - ~-

NaHCO,[?,j 1 0 . 2 5 0.75 NaCl [:,j 6.0 1 ;to Zeit [s; 1 30

Allgemein mussen zwei Gesichtspunkte bei der Festlegung der Niveaus beachtet werden : I. Die Differenz zwischen unterem und oberem Niveau darf nur so groB gewahlt

werden, daB Tendenzen der ZielgroBen noch klar erkannt werden konnen. 2 . Die Abstande miissen mindestens so groB gewahlt werden, daB ZielgroBenanderun-

gen an den verschiedenen Verkchspunkten groBer sind als die Summe der RIe13- und Analysenfehler aller EinfluBgroBen.

Aus Tab. I ist zu ersehen, daB die EinfluBgroBen in verschiedenen MaBstaben (z. B. XI = 0,25 - 0,75 ; X , = 30 - go) und verschiedenen Dimensionen (z. B. XI: "/b; X,: s) auftreten, was sich erschwerend bei der Auswertung hinsichtlich einer guten Vergleichbarkeit der Werte und einer iibersichtlichen Darstellung der Ergeb- nisse auswirkt. Deshalb wird eine Normierung der Werte der EinfluBgrdBen, d. h. der Niveaus und damit aller moglichen Werte zwischen den Niveaus, mittels der Nullpunkttransformation vorgenommen. Die Gleichung fur die Transformation lautet :

Niveau - Nullstufe Schrittweite

x, - xi s,' = oder X (3)

Hierin bedeuten :

I. Niveau

2. Nullstufe -

3. Schrittweite

= realer Wert der EinfluDgroBen

unteres Niveau + oberes Niveau ~~ -

2

= Differenz von Nullstufe zu unterem bzw. oberem Niveau

60 ERHARDT/SEPPELT/LANCE

Tabe l l e 2

Ausgangsaerte ftir die Nullpunkttransformation

unteres Niveau oberes Niveau Nullstufe Schrittaeite EinfluDgroBen l - +

NaHCO, [%I 0,25 0.75 0,50 0,25 I 3:" I i?o 1 6:O I 3:O NaCl [%I T [SI

Die Werte der EinfluBgroBen, z. B. X , (NaCl), in Gleichung 3 eingesetzt, ergeben:

unteres Niveau :

oberes Niveau :

Auf diese Weise werden alle Originalwerte der Niveaus in die Werte -I bzw. +I

Fur X , werden die Beziehungen der Original- und transformierten Werte in der ubergefuhrt.

folgenden Darstellung nochmals veranschaulicht : X : -1 0 +I transformiert

I I I I I L U , 6,o 9,o 12,o original

Aus diesen transformierten Werten wird der Versuchsplan konstruiert. In unserem Beispiel liegen 3 EinfluBgroBen auf je 2 Niveaus vor. Kombiniert man die Niveaus der 3 EinfluOgroBen, dann erhalt man genau 2 = 8 mogliche Versuchspunkte, all- gemein bei k EinfluBgroBen und je 2 Niveaus 2k Versuchspunkte. Die Versuchspunkte werden mit den entsprechenden Kombinationen der EinfluBgroBen in einem Fak- torenplan zusammengestellt. Tab. 3 zeigt die 8 -Kombinationen in dem zugehorigen 23-Faktorenplan.

Die Versuchs-Nr. 2 (+ - -) bedeutet, daB ein Versuch durchgefuhrt werden muB, bei dem die EinfluBgroOen XI rnit 0,75%,

X , mit 6,0%, X 3 mit 30 s

Tabe l l e 3 Kombinationen eines vollstandigen 23-Faktorenplanes

\'ersuchs- 1 EinfluBgroDen, transformiert* 1 ~~ -

EinfluOgroOen, original

Nr. I x, 1 s, I x, 1 XI 1 x2 x3 ____ 6.0 6.0

I 2 , O

I 2 , O

6.0 6.0 12,o 12.0

Anstelle von - I oder + I wird nur noch - und + geschrieben.

Statistische Versuchsplanung 61

I 2

3 4 5 6 7 8

eingegangen sind. Die 8 Versuchspunkte fur 3 EinfluBgroBen lassen sich graphisch anschaulich darstellen. Sie bilden die Eckpunkte eines Wurfels, des sog. Versuchs- raumes (Abb. I).

x3 t

- 4 I + 8 5 + 7 + 3 +

-

- 2 '

- 6

4 Abb. I. Versuchsraum fur 3 EinfluOgrollen bei je 2 Niveaus (za-Faktorenplan)

An dem vorliegenden Beispiel wurde gezeigt, wie ein vollstandiger Faktorenplan fur 3 EinfluBgroBen konstruiert wird. Er heil3t ,,vollstandig", weil es moglich ist, mit ihm auch den EinfluB aller Wechselwirkungen (Gleichung 2) zwischen den Ein- flul3groBen zu bestimmen. Im angegebenen Beispiel wurde darauf verzichtet. Den vom Experimentator ausgefullten 2s-Faktorenplan zeigt Tab. 4.

Tabe l l e 4 Ausgefiillter 9-Faktorenplan

3.3 486 3.8 7.0 3.1 4.6

3@9 9.0 4,6 17s

3,9 16.2

307 3.5

3.5 4.2

56.3 106.7 6r,4

106~7 171.4 86.6 166.7

82,3

- -

- -

+ - + - - + - + + + + + Kennzeichnung dei A ntworfgvopen Ein fluPguoPen Y,: Festigkeit Fasern -

Yi: pH Fasern nach der Behand-

XI 0.25 0.75 NaHCO, T,: mg Proteinlroo ml Behand- NaCl lungslosung T Y4: Verbrauch mg NaHCO, in

I - I + lung

x* XS

IOO ml Behandlungsldsung Y,: Faserqualitat (Punkte) Y,: Bruchlast [p] nach der Be-

handlung

NH :

I 2 3 1 .i

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Tab

alle

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Statistische Versuchsplanung 63

Auswertung (Versrcclzsplan I. Ordnung)

Tab. j zeigt den BESM-6-Ergebnisausdruck der Daten aus Tab. 4 fur die Ziel- groBe Y,. Die Ergebnisse sollen Hinweise fur ein neues Versuchsplangebiet liefern und sind daher unter diesem Gesichtspunkt zu interpretieren.

I. Folgende Regressionsfunktion wurde ermittelt :

Y1 = 27,275 - (13,350 -t 2,494) X i + (0,596 5 0,208) X , - (0,114 0,021) X; Die den Regressionskoeffizienten nachgestellten Zahlen mit dem Vorzeichen _+ sind die Streuungen dieser Koeffizienten. Die Obereinstimmung der experimentel- len mit den berechneten Werten ist gut, was sich im BestimmtheitsmaB von B = 94,35"/, bestatigt. Der nicht signifikante Anpassungsdefekt von 1,764 be- weist ein adaquates Model1 im Versuchsraum.

2. Auf der Grundlage der Regressionsfunktion wird die Linie des steilsten Anstiegs vom Minimum zum Maximum berechnet. Sie stellt eine Extrapolation aus dem Versuchsraum dar, die nicht die tatsachlichen Werte reprasentiert. Es werden nur die Richtung und der Bereich angegeben, in welchem wahrscheinlich das Extremum zu suchen ist. Abb. 2 zeigt die normierten Koordinaten entlang der Linie des steil- sten Anstiegs. Diese Darstellung kann zur Auswertung herangezogen werden.

.-\bb. 2 . Normierte Koordinaten entlang der Linie des steilsten Anstiegs

3. Die Versuchskombinationen 3 (- + -) und I (- - -) zeigen besonders hohe Y,-Werte, d. h., wenn X , und X3 jeweils mit dem unteren Niveau in die Versuche eingegangen ist. Wiedergegeben wird dieser Sachverhalt auf der Linie des steilsten Anstiegs. Den Bereich, in dem Y die Werte zwischen 19, 130 und 34,425 annimmt, wird man als neues Versuchsplangebiet wahlen, da eine weitere Extrapolation schon zu negativen X,- und X3-Werten fuhrt. Liefert der neue Versuchsplan I. Ordnung befriedigende Ergebnisse, d. h. Maximalwerte bei Linearitat, dann ist der Versuch abzubrechen. SchlieBen die statistischen Kenndaten jedoch eine lineare Beziehung aus, dann ist man in der Nahe eines Extremums. Zu dessen genauer Bestimmung wird dann ein Versuchsplan 2. Ordnung in diesem Bereich aufge- stellt, in dem schon die fur den Plan I. Ordnung ausgefuhrten Versuche verwendet werden konnen.

4. Tab. 4 zeigt den z3-Faktorenplan mit insgesamt 6 ZielgroBen. Die allgemein prak- tische Aufgabe besteht darin, die Niveaus der EinfluBgroBen so zu walilen, daB fur mehrere ZielgroBen gleichzeitig optiniale Werte angenommen werden, weslialb fur die restlichen Yz bis Y , die soeben beschriebene Auswertung vorgenommen werden muI3. Die Ergebnisse sind zu koordinieren.

64 ERHARDT/SEPPELT/LANCE

Optinaierung durclt Verstuhsplane 2 . Ordnung (nichtlineares Modell)

Beispiel: Es sol1 der EinfluB von 3 Faktoren (EinfluBgroBen) auf die Indophenol- bildung nach BERTHELOT, bestimmt werden. Als ZielgroBe wurde die Es- tinktion des Farbstoffs gewahlt.

E in fIupgropen Zielgrape

Xl: Temperatur X,: Phenol X, : Chloramin-T-Konzentration

Yl: Extinktion

Vorversuche ergaben die Notwendigkeit des Ansatzes eines Versuchsplanes 2 . Ord- nung. Im Gebiet des Optimums wird es erforderlich, eine Regressionsfunktion 2 . Gra- des als Abbild des funktionalen Zusammenhanges zwischen EinfluBgroBen und Ziel- groBe zu wahlen. Bezogen auf 0. g. Beispiel (3 EinfluBgroBen), hat die Regressions- funktion folgende Gestalt :

Y = b, + b1X; + b2XZ + b3X3 + b11.X: + b&Y; + b,X: + bpJ1A-2 + b13JL;x3

+ b,X’,-& (4) In Erweiterung von Gleichung 2 charakterisieren die Regressionskoeffizienten b,,,

b,,, b, in Gleichung 4 die Krummung der Antwortflache. Fur die Berechnung der Koeffizienten b,, b, . .. der quadratischen Modellgleichung 4 ist ein Versuchsplan mit mehr als z Niveaus pro EinfluBgroBe notwendig, da die Anzahl der Versuche groBer sein muB als die Anzahl der Koeffizienten aus Gleichung 4. Diese Forderung erfullt der drehbare, zentral zusammengesetzte Versuchsplan nach BOX und HUNTER. Bei diesen Planen werden fur EinfluBgroI3en 5 Niveaus festgelegt, um die Optimalitats- kriterien zu erfullen. Die Anzahl der Versuche bei 3 EinfluL3groDen wird dabei auf zo reduziert, wahrend sie bei einem 33-Plan 27 betragen wiirden. Bei 4 EinfluBgroBen reduziert sich die Anzalil sogar von 81 auf 31 Versuche. In den BOX-HvNTER-Planen werden die zk-Faktorenplane durch 2 * k Achsenversuche und Zentrumsversuche er- ganzt. In Tab. 6 wird die notwendige Gesamtversuchsanzahl fur 3 bis S EinfluB- groBen angegeben.

Bei den Achsenversuchen wird das Niveau einer Einflul3groBe auf den normierten Wert +a oder -a festgelegt, wahrend die anderen Faktoren den Wert Null haben.

T a b e l l e 6 . Gesamtversuche in Abhangigkeit der EinfluDgroOen

- .-

Anzahl der EinfluBgroBen 1 k 1 3 1 4 1 5 I 6 I 7 1 8

Anzahl dar Eckpunktversuche Anzahl der Zentrumsversuche Anzahl der Achsenversuche

Anzahl der Regressionskoeffizien- 1 ten fur Regressionsfunktion i n 1 10 1 15 I 21 I 28 1 36 1 45

a -41s BERTHELOT-Reaktion bezeichnet man die Bildung des blauen Indophenolfarbstoffes Bus Ammoniak, Phenol und einem Oxydationsmittel (hier Chloramin T).

Statistische Versuchsplanung 65

k a hangt von der Anzahl der EinfIuBgroBen ab und wird bei drehbaren Planen a = 2 7 bestimmt. Abb. 3 zeigt den Versuchsraum fur 3 EinfluBgroBen auf je 5 Niveaus. Tab. 7 enthalt die fur das Beispiel festgelegten 5 Niveaus.

b Abb. 3. Zeiitral zusarnmengesetzter Plan for 3 EinfluBgroBen

x x x Eckpunktversuche o Zentrumsversuche 0 oo Achsenversuche a Achsenabstand

T a b e l l e 7 Niveaus for die 3 EinfluOgroBen

.__. _ _ - . ___ ~~~

1 -a 1 - 1 1 0 / + r I + a

Sl ["Cl I 6 3 , ~ 70.0 80,o I 90,o 1 9 6 8 Xz [%I 0.32 3'0 ' 3.68

3,68 x3 [%I ::: I ::: I 3.0

- I ; I : unteres bzw. oberes Niveau 0: Nullstufe X,: Phenolkonzentration

X,: Teniyeratur

X,: Chloramin-T- Konzentration +a: 1.68 (I t . Tab. 6)

a a

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1.87

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2G

68 ERHARDT/SEPPELT/LANCE

In Tab. 8 sind die fur k =.3 notwendigen 20 \'ersuchskombinationen zusanimen- gestellt, die in willkiiflicher Reihenfolge (nach dem Zufallsprinzip) abgearbeitet wer- den mussen.

Aaiswerturcg (Versuchsflan 2. Ordniing)

I. I'olgende Regressionsfunktion wurde ermittelt : Tab. 9 zeigt teilweise den BESM-6-Ergebnisausdruck der Daten von Tab. 8.

y, = - 8,757 + (0,223 k 0,049) A ~ I - (0,001 k 0) ~v; - (0,479 t 0,345) X,

2.

3.

- (0,103 +. 0,030) X-: + (0,554 k 0,124 X , - (0,135 + (0,014 0,004) XIS,

0,030) Xi +

I n der Funktion sind nur die fur das Modell signifikanten Koeffizienten vorhanden. Das BestinimtheitsmaB B = 94,267; zeigt eine gute Ubereinstimmung von experi- mentellen und bereclineten Daten. Der Anpassungsdefekt von 0,114 beweist ein adaquates Modell im Versuchsraum. Ausgehend von der Regressionsfunktion mit den normierten Koeffizienten, wird die Kammlinienanalyse nach HOERL durchgefuhrt. Als Ergebnis der Kammlinien- analyse werden die Extremwerte (U'erte am Maximum und Minimum) in] Ver- suchsraum berechnet und wie in Tab. 10 ausgegeben.

labclle 10

Wcrtc am Maximum und Minimum _ _ _ _ _ _

Extrcmwertc MAX MIN I I

Radius Y-Wert

XI s2 s,

1,6815 2,0917

normiert original 1.1769 97.7693 1,2003 3,2003 0.0403 2.0403

1,7073 0.7265

normiert original - 1,7038 62.9623 0,0703 2,0703

-0,0835 1,9165

Danach wird z. B. das Maximum Y = 2,0917 im Versuchsraum erreiclit, wenn die EinfluBgroBen A',, X,, X-, die angegebenen Werte annehmen. Die bereclineten Werte entlang der Kammlinie geben dem Experimentator mehr Hinweise uber das Verhalten der EinfluBgroBen im Versuchsraum. Sie werden in Form von Kur- ven gedruckt (Abb. 4 bis 7). In Abb. 4 werden aus der Regressionsgleichung fur bestimmte Werte der EinfluB- grooen berechnete Y-Werte dargestellt. Dabei bedeutet Y (XI), daB XI vom unte- ren zum oberen Niveau variiert und X2 und X3 konstant mit den Werten am Maxi- mum (X, = 3,2003%; &, = 2,0403s) eingesetzt werden. Fur X , = -2 (-2 ist der normierte Wert und bedeutet 60 "C) liest man in Abb. 4 den Wcrt Y 0,60 nb. Diese Variationsmoglichkeiten fur alle Variablen einzeln konnen fur praktische Aussagen von groller Bedeutung sein, da man daraus neue Versuchskombinationen ableiten kann. Abb. 5 zeigt die Kammlinie i n Abhangigkeit von jeder EinfluBgroBe. Zwischen dem Minimum und Maximum konnen fur jeden Y-Wert die Stufen fur die 3 Ein- flul3groDen abgelesen werden, z. B. fur Y = I,ZO erhalt man die normierten Werte

Statistische Versuchsplanung

Y t

69

I c -3 -2 -I 0 I 2 3

1' Abb. 4. Funktion am Masimum

4 726-5 20917 MIN k

I L 1

-08 -04 0 44 Q8 12 ('s 20 Y

Abb. 5. Kammlinienkoordinaten Y = Y(xu, ) ... y(x3) RMOX

V,, (4 72651

1 , , , !\Mi" , ~

Q4 Q8 12 l6 I 20 L4 28 ,Q (z

Abb. 6. Kammlinie Y = Y(R)

70

t

. -2 - I I 1 3 1 I . *

42 Q6 /I 1 b8 22 26 R 168 a

Abb. 7. Kammlinienkoordinatcn X,(R) ... X,(R) in Abhangigkeit vom Radius des Yersuchsraumes

X 1- - - 0 , g ; A-z = -0 ,3 ; = -0,08. So kann fur gunstige A7i-Kombinationen der entsprechende Y-Wert und umgekehrt vorausgesagt werden. In Abb. 6 wird die Abhangigkeit der Kammlinie Y (in Richtung zum Maximum und Minimum) vom Radius R des Versuchsraumes dargestellt. Liegt das absolute Maximum (bzw. Minimum) au5erhalb des Versuchsraumes, wird es an der Grenze mit dem maximalen Radius R,,, angenommen. Als R,,, wird der groBte Wert von a und fkgenornmen. Das Verhalten der EinfluBgroBen entlang der Kammlinie in Abhangigkeit vom Radius in dem Versuchsraum ist in Abb. 7 veranschaulicht.

Anwendung VOn PLACKETT-BURMAN-PlUnen

PLACKETT-BVRMAN-Plane sind spezielle Teilfaktorplane, bei denen $2 - I Variable mit n Versuchen untersucht werden konnen. Man benutzt sie, um von einer groBen Anzahl von EinfluBgroBen die signifikanten Gro5en auszusieben, mit denen dann weitere Versuche durchgefulirt und die Art des Einflusses mit Hilfe eines Versuchs- planes I. oder 2. Ordnung bestimmt werden. Die Versuchsstrategie ist hier ahnlich wie bei den schon beschriebenen Versuchsplanen. Auch hier ist der erste wichtige Schritt die Festlegung der Niveaus fur die einzelnen Variablen.

Die Wahl des Versuchsplanes wird bestimmt durch die Anzahl der zu untersuchen- den Variablen. Es konnen Plane fur n = 8, 12, 16, 20 bis IOO Versuche verwendet werden. Fur I Z = 8, 12, 16, 20 ist in Tab. XI die erste Zeile der Versuchsplanmatrix angegeben.

T a b e l l e 1 1 Ausgangszeilen fur die PLACKETT-BURMAN-VerSuChSplanInatrix:

erste Zeile des Versuchsplanes ftir n Versuche _____ n I - -.- - __

20 I + + - - + + + + - + - + - - - - + + - 12 + + - + + + - - - + - 16 I + + + - + - - + + + + - + - + + - - + - - -

Statistische Versuchsplanung 71

Aus der ersten Zeile wird der ganze Plan gebildet, indem diese (n - 2)-ma1 um je eine Stelle nach links zyklisch verschoben und zuletzt eine Zeile rnit Minuszeichen hinzugefugt wird. In der praktischen Anwendung ist es giinstig, wenn man mit n Versuchen nicht n - I Variable untersucht, sondern nur n - 2 oder n - 3, um die Varianz der zu berechnenden Effekte bestimmen und dann einen Signifikanztest aus- fuhren zu konnen. Man nimmt also in den Versuchplan 2 oder 3 Scheinvariable auf.

Unter Effekt versteht man den EinfluB einer unabhangigen Variablen auf die abhangige ZielgroBe. Er wird berechnet aus der Differenz des Mittelwertes der Ziel- groBe bei den Versuchen auf dem oberen Niveau der unabhangigen Variablen und dem Mittelwert der ZielgroBe bei den Versuchen auf dem unteren Niveau. Fur die Scheinvariablen wird in gleicher Weise ein ,,Effekt" (ESchein) und daraus die Varianz der Effekte berechnet.

,Z G c h e i n

Zahl der Scheinvariablen vEffekte =

Der Standardfehler der Effekte ergibt sich aus der Quadratwurzel von VEftekt. Zur Signifikanzpriifung eines Effektes wird der t-Wert bestimmt durch

Effekt S t andardf ehler t =

Mit diesem Test konnen die signifikanten EinfluBgroBen ausgesiebt werden. Wenn der PLACKETT-BURMAN-Plan gesattigt ist, d. h., mit n Versuchen mussen n - I Variable untersucht werden, verwendet man zur Berechnung der Varianz den klein- sten Effekt.

Dieses Verfahren ist nur dazu geeignet, einen groben Uberblick uber das Verhalten bestimmter EinfluBgroBen auf eine ZielgroBe in dem durch die Niveaus festgelegten Bereich zu erhalten. Jeder Effekt ist rnit einer Menge von Wechselwirkungseffekten vermengt, so daB rnit der Feststellung der Signifikanz noch nicht bewiesen ist, daB die zugehorige Variable allein den signifikanten EinfluB hat oder nur in Wechselwirkung mit anderen EinfluBgroDen. Urn das zu klaren, mussen weitere Versuche durchge- fuhrt und Versuchsplane aufgestellt werden, bei denen auch die Wechselwirkungen. untersucht werden und die Vermengung der einzelnen Effekte reduziert ist.

Es kann sich auch herausstellen, daB fur Scheinvariable ein signifikanter Effekt berechnet wurde. Das deutet darauf hin, daB Wechselwirkungen von wirklichen Variablen, die rnit der Scheinvariablen vermengt sind, signifikant sind oder die Ver- suchsstreuung zu groB ist.

Beispiel: In einem PLACKETT-BURMAN-Plan (n = 12) sollen 9 Variable des KJELDAHL- Aufschlusses bezuglich ihres Einflusses auf die Wiederfiridung von Stick- stoff aus Modellsubstanzen (ZielgroBen) getestet werden. Tab. 12 zeigt die PLACKETT-BURMAN-Versuchsmatrix (n = 12) mit den ZielgroBen Yl... Y, nebst Legenden.

.4 zLszPertung (PLACKETT-BURMAN-Phn)

Tab. 13 zeigt den BESM-6-Ergebnisausdrck der Daten aus Tab. 12 fur die Ziel- grol3e Yl. I. AuBer den Effekten werden die nach Gleichung 6 berechneten t-Werte ausgegeben.

Die Werte in Zeile TI sind berechnet auf der Grundlage des kleinsten Effektes, die

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Statistische Versuchsplanung

Effekte TI 1,OO -5.35 -3,05 -1.60 3,000 3.55 T* 0,7j -4.01 - 2 . 2 9 - 1 . 2 0 2.25 -2.66 7.3 10.70 -3.75 !-2,I+ I -1 ,12 2.10 1-2.49

0,667 -3,5671-2,033 -1,067 2,000 -2,367

73

2.267 -5,567 -1,567 -1,067 2.700

3,40 -8.35 -2,35 -1~60 4.05 2.55 -6.26 -1.76 - 1 . 2 0 3.04 2.38 -5.85 -1,65 - 1 . 1 2 2,84

der Zeile T2 auf der Grundlage der 2 kleinsten Effekte usw. Dadurch verandert sicli zwar der Absolutbetrag der T-Werte, ihre Rangfolge bleibt erhalten. In Tab. 14 ist fur .die ZielgroBe Yl die Rangfolge der Wertigkeit der EinfluO- grol3en mit ihrer statistischen Sicherheit angegeben. Diese Bewertung mu13 fur alle Yj vorgenommen werden. Diejenigen X i , die in der hlehrzahl die hohere Wertigkeit (vordere Rangzahlen) erhalten, sind als wichtige EinfluDfaktoren zu erklaren und in Versuchsplanen I. und 2. Ordnung weiter zu testen.

Tabel le 14 Rangfolge der Wertigkeit der EinfluDgroDen Xi fur XY,

Rangfolge I1 Statistische Sicherheit 0;

S u ni m a r y

V. ERHARDT, B. SEPPELT and R. LAKE: The solution of scientific tasks of experimental research by means of statistical trial planning

Examples from experimental research in the field of diet and nutrition serve to illustrate the application of statistical trial planning: trial plans of first order, trial plans of second order and PLACKETT-BURMAN plans. The advantages of the methods of statistical trial planning over current methods and certain important aspects of trial planning are detailed. A program for the BESM 6 large-scale computer (that is intended for evaluating these trial plans) is presented and described.

L i t e r a t u r

[I] SCHEFFLER, E., Einfuhrung in die Praxis der statistischen Versuchsplanung. VEB Deutscher

[ 2 ] SCHEFFLER, E., Mitt. Blatt Chemische Gesellschaft der DDR 18, 121-129 (1971). Verlag ftir Grundstoffindustrie, Leipzig 1974.

74 ERHARDT/SEPPELT/LANGE

[3] BR~UNICER. S., K. RIEDEL u. K. SIEGLER, Chem. Techn. 27, 712-714 (1975). [4] DURESCH, R., EinfPhrung in die statistische Versuchsplanung (Lehrbrief), Bitterfeld 1974. [5] Box, G. E.. u. K. B. WILSOX, J. Royal Statist. SOC. Ser. B., London 13, 1-43 (1951). [6] Box, G. E., u. J. S. HUNTER, Ann. Math. Statist., Baltimor 28, 195--241 (1957). [7] SACHS, L., Angewandte Statistik, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New Tork 1973. [S] .4utorenkollektiv, Biometrische Versuchsplanung, VEB Deutscher Landn-irtschaftsverlag,

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Dr. V. ERHARDT. B. SEPPELT und R. LANCE, Zentralinstitut fur ErnBhrung. DDR-1505 Bergholz- Rehbrilcke, Arthur-Scheunert-Allee I 14- 116

Eingegangen ;. 6. 1977