Upload
vincentizzagreba
View
272
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Diferencijalni racun 2 dio
Citation preview
Sadraj:Sadraj:Sadraj:Sadraj:
Diferencijalni ra un (nastavak) Derivacije vieg reda Priblino ra unanje pomo u diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog ra una LHospitalovo pravilo
Derivacije vieg redaDerivacije vieg redaDerivacije vieg redaDerivacije vieg reda
Derivacija funkcije f je opet funkcija, i moe biti derivabilna. U tom sl uaju derivacija funkcije f' se oznaava kao f" i zove druga derivacija funkcije f. Derivacija funkcije f" se zove trea derivacija funkcije f, itd. Ove derivacije: druga, tre a, ... se zovu derivacije vieg reda. Obino se
oznaavaju s f", f'" , vf , ali i ovako: f(4), f(5), f(6), Dakle, op enito, k-ta derivacija f(k) je prva derivacija od f(k-1).
PPPPrimjer:rimjer:rimjer:rimjer: Dokazati da za funkciju xBxAy sincos ++++==== , gdje su A i B bilo koje konstante, vrijedi yy ==== .
RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje:::: .coscos,cossin yxBxAyxBxAy ========++++====
Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Nai f(5), ako je 421)( xxxf ==== .
Rjeenje:Rjeenje:Rjeenje:Rjeenje:
.0
,24,24)(,122)(,42)()5(
)4(23
====
================
f
fxxfxxfxxxf
Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Nai brzinu i akceleraciju materijalne to ke koja se giba po pravcu
prema zakonu gibanja (((( ))))tets 3110)( ==== . RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje:::: Brzina v(t) je derivacija puta po vremenu, a akceleracija a(t) je
derivacija brzine po vremenu. Dakle, (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) ,30310110)()( 333 ttt eeetstv ================ (((( )))) (((( ))))(((( )))) .9033030)()( 333 ttt eeetvta ================
Diferencijal funkcijeDiferencijal funkcijeDiferencijal funkcijeDiferencijal funkcije
Pojam diferencijala je izrazito vaan u diferencijalno m raunu funkcija vie varijabli, dok kod funkcija jedne varijable ima net o manju vanost. Pojam derivacije funkcije vezan je za pojam promjene funkci je. U dokazu teorema o deriviranju sloene funkcije primjenili smo formulu:
xxxxfxfxxf ++++====++++ )()()()( , gdje je 0)(lim0
====
xx
,
koja slijedi odmah iz definicije derivacije: x
xfxxfxf
x ++++====
)()(lim)(
0.
Neka je to ka x uvr ena, a vrijednost x varijabilna. Prirast funkcije moe se predo iti kao zbroj dvaju lanova, xxf )( i xx )( , pri emu je drugi lan mali u odnosu na prvi lan za mali prirast argumenta x (jer 0)( x ). Prvi lan xxf )( zove se diferencijal funkcije f u toki x i oznaava se s df(x)(x). Prema tome, diferencijal u vrstoj to ki x je linearna funkcija u varijabli x, definirana s
xxfxxdf ==== )())((
to esto piemo skra eno
odnosno, ako to uskladimo s oznakom dx
xdfxf
)()( ==== ,
Obino kaemo da je diferencijal linearni dio promjene funkcije, to je jasno iz
xxxxfxfxxf ++++====++++ )()()()(
ali emo to objasniti i geometrijski. U
trokutu TSS je )(xftgSTSS ========
. Dakle,
xxfSS ==== )( , tj. diferencijal ra una promjenu vrijednosti ordinate po tangentina krivulju u to ki x 0.
xxfxdf ==== )()(
dxxfxdf ==== )()(
PPPPrimjer:rimjer:rimjer:rimjer: Nai diferencijal funkcije xxf sinln)( ==== .
RjRjRjRjeenjeeenjeeenjeeenje: : : : (((( )))) .sin2
cos2
1cos
sin1
sinln)(xx
xx
xx
xxf ============
Prema tome: .sin2
cos)( dx
xxx
xdf ====
Budu i da je u formuli za diferencijal bitan dio derivacij a, svojstva diferencijala su analogna svojstvima derivacija. Tako imamo:
1. d(u v) = du dv,
2. d(u v) = v du + u dv,
3. 2v
dvuduvvu
d====
,
4. d(u(v)) = (u(v)) dv.
Priblino raunanje pomou diferencijalaPriblino raunanje pomou diferencijalaPriblino raunanje pomou diferencijalaPriblino raunanje pomou diferencijala
Diferencijal moemo koristiti za priblino ra unanje. Ako je dx mali, onda se prirast po tangenti malo razlikuje od prirasta funkcije (vidi sliku). Tako imamo:
xxfxf )()( 0 , tj. xxfxfxxf ++++ )()()( 000 .
Odavde slijedi formula
xxfxfxxf ++++++++ )()()( 000 ,
kojase zove formula konanog prirasta.
PPPPrimjer:rimjer:rimjer:rimjer: Neka je 325)( 3 ++++==== xxxf . Izraunaj priblino f(2.01).
RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje: : : : Stavimo x 0 =2, x = 0.01. Imamo:
(((( )))) (((( )))).58.3901.05839)01.2(,
.58215325)2(,3932225)2(
;01.0)2()2()()()()01.02()01.2(
22
233
000
====++++========
++++========++++====
++++====++++++++====++++====
========
fDakle
xxxff
ffxxfxfxxfff
xx
Pogledajmo koliko smo pogrijeili ovim priblinim r aunom. Stvarna vrijednost
funkcije iznosi 39.583, pa je pogreka 0.003.
Raunanje potencije: Ako je f(x) = x n, onda imamo:
.)( 1000 xnxxxxnnn ++++++++
PPPPrimjer:rimjer:rimjer:rimjer: Izraunaj priblino 1.01 2.
RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje: : : : Stavimo f(x) = x 2, x0 =1, x = 0.01. Imamo f (x) = 2x, pa je:
.02.101.021121)01.01(01.1 222 ====++++====++++++++==== x Stvarna vrijednost je 1.0201, pa je pogreka 0.0001.
Raunanje korijena: Ako je n x==== f(x) , onda imamo:
.)(1
000 n n
nn
xn
xxxx
++++++++
PPPPrimjer:rimjer:rimjer:rimjer: Izraunaj priblino 26 .
RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje: : : : Stavimo f(x) = x , x0 =25, x = 1. Imamo x
x2
1)(f ==== , pa je:
.1.51101
52521
2512526 ====++++====++++++++==== x Stvarna vrijednost je priblino
5.0990195, pa je pogreka 0.001.
Osnovni teoremi diferencijalnog raunaOsnovni teoremi diferencijalnog raunaOsnovni teoremi diferencijalnog raunaOsnovni teoremi diferencijalnog rauna
U prethodnom poglavlju smo nau ili derivirati. Sada nas zanima primjena diferencijalnog ra una za funkcije jedne varijable. Jedna od primjena je ispitivanje toka zadane funkcije. Da bismo mogli na crtati graf funkcije potrebne su nam neke tvrdnje koje veu pojam derivacije zada ne funkcije i ponaanje njezinog grafa. Upravo su osnovni teoremi diferenci jalnog ra una ta poveznica iz koje i itavamo, izravno ili neizravno, kako se ponaa zada na funkcija.
Najprije emo definirati pojam lokalnog ekstrema.
Ekstremi funkcije .
Neka je f : S R funkcija definirana na bilo kojem zadanom neprazno m skupu S R. Za toku a S kaemo da je a toka maksimuma od f ako za sve x S vrijedi
f(x) f(a).
Ako za sve x S vrijedi f(x) f(a), onda kaemo da je a toka minimuma od f.
U prvom slu ju piemo da je {{{{ }}}}Sxxfaf ==== :)(max)( , ili kra e )(max)( xfafSx
==== .
Taj broj je maksimum funkcije na skupu S. U drugom slu aju piemo )(min)( xfaf
Sx ==== . Taj broj je minimum funkcije na skupu S.
Sve toke maksimuma i minimuma funkcije f zovemo ekstremima funkcije f.
Ako u gornjoj funkciji vrijedi stroga nejednakost uz dodatni uvjet x a, onda govorimo o to ki strogog maksimuma ili minimuma , ili o strogom ekstremu .
Lokalni ekstremi .
Neka je I otvoreni interval u R i f : I R bilo koja funkcija. Za to ku a I kaemo da je toka lokalnog maksimuma od f ako postoji otvoreni interval O(a) koji sadri a, takav da restrikcija f O(a) ima maksimum u to ki a. Slino se definira i toka lokalnog minimuma od f.
Toke lokalnog maksimuma i minimuma funkcije f : I R zovemo tokama lokalnih ekstremima funkcije f. Odgovaraju e toke na grafu funkcije zovemo tako er lokalnim ekstremima .
Sljede i teorem kae da je u svakoj to ki lokalnog ekstrema funkcije tangenta na njen graf vodoravna, tj. paralelna s x-osi. Ta je tvrdnja geometrijski skoro o evidna.
Teorem 1. (Fermatov teorem) Neka je I otvoreni interval u R i neka je f : I R diferencijabilna funkcija. Ako je a I toka lokalnog ekstrema od f, onda je
f'(a) = 0.
Dokaz: Neka je a I toka lokalnog ekstrema, npr. to ka lokalnog maksimuma. Onda je f(x) f(a) za sve x O(a). Dakle, za sve x O(a) takve da je xa vrijedi
0)()(
axafxf
,
jer je nazivnik pozitivan. Zbog diferencijabilnosti od f u to ki a, u obje gornje nejednakosti moemo ra unati limes kada x a (s lijeva u prvoj nejednakosti, s desna u drugoj). Dobivamo f'(a) 0 i f'(a) 0, dakle f'(a) = 0. Q.E.D.
Stacionarne toke .
Za diferencijabilnu funkciju f : I R toke koje su rjeenja jednadbe
f'(x) = 0
zovu se stacionarne toke od f.
Naziv "stacionarna (tj. nepokretna) to ka" je vrlo zoran: ako zamislimo graf funkcije kao vrstu podlogu, onda e mala kuglica poloena na graf mirovati jedino u onim tokama gdje je tangenta vodoravna, tj. u tokama na grafu koje odgovaraju stacionarnim to kama. U svim ostalim tokama kuglica e se otkotrljati.
Drugim rije ima, Fermatov teorem kae da su sve to ke lokalnih ekstrema stacionarne to ke. Ovaj jednostavan, ali vrlo vaan teorem, povezu je geometriju grafa funkcije s algebrom (nalaenje nul -toaka derivacije).
Kritine toke .
Neto iri pojam od stacionarne to ke (to su to ke u kojima je derivacija jednaka nuli, tj. tangenta na graf je vodoravna) je pojam kritine toke funkcije. To su one to ke u kojima je derivacija jednaka nuli ili ne posto ji. Za diferencijabilne funkcije su kriti ne toke isto to i stacionarne.
Teorem 2. (Rolleov teorem) Neka je f :[a,b] R neprekinuta funkcija, diferencijabilna na (a,b). Ako je f(a) = f(b), onda postoji to ka c (a,b) takva da je
f'(c) = 0.
Dokaz: Ako je f konstantna funkcija, onda je f'(x)=0 za sve x (a,b), pa tvrdnja vrijedi. Ako f nije konstantna funkcija, onda u barem jednoj to ki c (a,b) funkcija ima lokalni ekstrem (minimum ili maksimum) razli it od f(a) (u suprotnom bi f bila konstantna). Kako je f diferencijabilna, prema Fermatovom teoremu dobivamo f'(c)=0. Q.E.D.
Teorem 3. (Lagrangeov teorem o srednjoj
vrijednosti) Neka je f :[a,b] R neprekinuta funkcija, diferencijabilna na (a,b). Onda postoji toka c (a,b) takva da je
f(b) f(a) = f'(c) (b a).
Slika: Postoji tangenta koja je
paralelna sa sekantom
Dokaz: Definirajmo pomo nu funkciju F(x) = f(x) - x. Odaberimo konstantu tako da bude F(a) = F(b). Dakle: f(a) - a = f(b) - b, pa slijedi da je
abafbf
==== )()( . Ovako definirana funkcija F(x) ispunjava sve uvjete Rolleovog
teorema, pa slijedi da postoji c (a,b) takav da vrijedi F'(c)=0. Kako je F' (x) =
f'(x) - , slijedi da je f'(c) - =0, tj. ab
afbfcf
======== )()()( . Tvrdnja je dokazana.
Q.E.D.
Teorem je geometrijski skoro o evidan. Naime, ako povu emo sekantu kroz toke na grafu funkcije f koje odgovaraju x=a i x=b, onda postoji tangenta n a f u nekoj to ki c (a,b) koja je paralelna sekanti, tj.
abafbf
cf==== )()()( .
Korolar 1. Neka je I otvoreni interval u R....
(a) Neka je funkcija f : I R diferencijabilna . Ako je f'(x) = 0 za sve x I, onda je funkcija f konstantna.
(b) Neka su f i g : I R dvije diferencijabilne funkcije . Ako je f'(x) = g'(x) za sve x I, onda se funkcije razlikuju za konstantu, tj. f(x) = g(x) + C.
Dokaz: (a) Neka su a, b I proizvoljno odabrani . Prema Lagrangeovu teoremu postoji c (a,b) tako da je
0)(0))(()()( ============ ababcfafbf .
Dakle je f(a) = f(b). Dakle, f je konstantna funkcija.
(b) Definirajmo pomo nu funkciju F(x) = f(x) g(x) . Imamo F'(x) = f'(x) g'(x) = 0 za sve x I. Funkcija F zadovoljava pretpostavke tvrdnje (a), pa slijedi da je F(x) = C za sve x I, tj. f(x) = g(x) + C. Q.E.D.
Derivacija i monotonost .
Sljede i korolar je vaan za nalaenje intervala monotonos ti zadane funkcije, tj. intervala u kojima je funkcija rastu a ili padaju a. Ako je derivacija u nekom intervalu pozitivna, onda je na njemu funkcija stro go rastu a. Ako je derivacija u nekom intervalu negativna, onda je na njemu funkc ija strogo padaju a. Sa slike (geometrijski) je tvrdnja skoro o evidna.
Korolar 2. Neka je I otvoreni interval u R....
(a) Ako je f'(x) > 0 na I, onda je funkcija strogo rastu a.
(b) Ako je f'(x) < 0 na I, onda je funkcija strogo padaju a.
Dokaz: (a) Neka je f'(x) > 0 na I. Odaberimo bilo koje x 1 i x 2 I tako da je x 1 < x2. Prema Lagrangeovu teoremu postoji c (x1,x2) tako da je
0))(()()( 1212 >>>>==== xxcfxfxf ,
Dakle je f(x 1) < f(x 2).
Tvrdnja (b) se dokazuje na isti na in. Q.E.D.
Obrat tvrdnji iz Korolara 2 ne vrijedi. Primjerice , funkcija 3)( xxf ==== strogo raste na cijelom R, ali nije 0)( >>>> xf . Naime 0)0( ====f .
Sljede i teorem e nam omogu iti dokaz LHospitalova pravila, koje predstavlja vano sredstvo u ra unanju raznih limesa.
Teorem 4. (Cauchyjev teorem o srednjoj vrijednosti) Neka su zadane dvije funkcije f,g :[a,b] R koje su neprekinute na a,b] i diferencijabilne na (a,b). Predpostavimo da je g'(x) 0 za sve x (a,b). Onda postoji c (a,b) tako da vrijedi
)()(
)()()()(
cgcf
agbgafbf
====
.
Dokaz: Dokaz je vrlo sli an dokazu Lagrangeova teorema. Definirajmo pomo nu funkciju F(x) = f(x) - g(x). Odaberimo konstantu tako da bude F(a)
= F(b). Dakle: f(a) - g(a) = f(b) - g(b) , pa slijedi da je )()()()(
agbgafbf
==== (ne moe
biti g(a) = g(b) , jer bi ina e po Rolleovom teoremu primijenjenom na funkciju g postojao c (a,b) takav da je g'(c)=0 , to je nemogu e). Ovako definirana funkcija F(x) ispunjava sve uvjete Rolleovog teorema, pa slijedi da postoji c (a,b) takav da vrijedi F'(c)=0. Kako je F' (x) = f'(x) - g'(x) , slijedi da je f'(c) -
g'(c) =0 , tj. )(')(
cgcf ==== . Tvrdnja je dokazana. Q.E.D.
LHospitalovo praviloLHospitalovo praviloLHospitalovo praviloLHospitalovo pravilo
LHospitalovo pravilo slui za ra unanje limesa kvocijenta dviju funkcija u
sluaju kada kvocijent ima neodre eni oblik 00
ili
. Ostali neodre eni oblici
( 1,,0,0, 00 ) izraunavaju se svo enjem na neki od ova dva oblika.
U teoremima emo koristiti oznaku R = {-} R {}.
Teorem 5. (LHospitalovo pravilo 00) Neka su f i g diferencijabilne funkcije
na S = (a, x 0) (x0,b) i g'(x) 0 na S. Ako vrijedi 0)(lim)(lim00
========
xgxfxxxx
i postoji Rxgxf
xx
)()(
lim0
, onda je
)()(
lim)()(
lim00 xg
xfxgxf
xxxx
====
.
Dokaz: Dokaz emo prvo provesti za limes sdesna. Promatrajmo funk cije f i g na intervalu (x 0 , x0+h) za neki mali h>0. Ako definiramo f(x 0) = g(x 0) = 0, tada funkcije postaju neprekinute na [x 0, x0+h]. Sada primijenimo Cauchyjev teorem na intervalu [x 0, x] za neki x (x0, x0+h). Prema ovom teoremu postoji to ka c
(x0,x) takva da je )()(
)()(
cgcf
xgxf
==== . U ovoj jednakosti pustimo da 0xx , tada i
0xc . Iz pretpostavke teorema postoji limes desne stran e, pa tada postoji i
limes lijeve strane i oni su jednaki. Dakle, )()(
lim)()(
lim00 xg
xfxgxf
xxxx
====++++++++
.
Analogno razmatranje moemo provesti za limes slije va (na intervalu (x 0-h,x 0)).
Dakle, vrijedi i)()(
lim)()(
lim00 xg
xfxgxf
xxxx
====
. Kako postoji )()(
lim0 xg
xfxx
to su limes
slijeva i sdesna jednaki, pa slijedi tvrdnja teorem a. Q.E.D.
Prethodnim teoremom nije obuhva en slu aj kada x ili x -. Pokazuje se da teorem vrijedi i u tom slu aju:
Korolar 3. Neka su f i g diferencijabilne funkcije na intervalu I = (a, ) i g'(x) 0
na I. Ako vrijedi 0)(lim)(lim ========
xgxfxx
i postoji Rxgxf
x
)()(
lim , onda je
)()(
lim)()(
limxgxf
xgxf
xx
====
.
Dokaz: Uvedimo supstituciju u
x1==== i vidimo da funkcije )1(
uf i )
1(u
g
zadovoljavaju pretpostavke Teorema 5 na nekom inter valu c1
u 0
Primjeri:
1) Izraunajmo ve poznati limes x
xx
sinlim
0 pomo u LHospitalovog pravila:
11
coslim
)()(sin
lim00sin
lim000
========
====
====
xx
xx
xxxx
.
2) Izraunajmo limes xx
xtgxx
sin
lim0
:
.2)cos1(lim1cos
)cos1()cos1(
cos
1lim
1cos
1cos
1
lim00
sinlim
0
20
2
00
====++++====++++====
====
====
xx
xx
xxx
xxxtgx
x
xxx
3) Izraunajmo limes x
xx
x sin
1cos
lim
2
0:
.0011
coslimsin
limsin
1cos
lim00
2
0============
xx
xx
xx
x
xxx
Limes smo izra unali koriste i 111
sin1
limsin
lim00
============
xxx
xxx
, te
11
cos)1( xx
xx 1lim1
coslim)1(lim000
xx
xxxxx
01
coslim0
==== x
xx
.
U ovom slu aju ne moemo koristiti LHospitalovo pravilo. Zais ta, ako je
xxxf
1cos)( 2==== , xxg sin)( ==== , onda je
xxx
x
xgxf
xx cos
1sin
1cos2
lim)()(
lim00
++++====
,
a taj limes ne postoji jer ne postoji limes xx1
sinlim0
. Prema tome za
xx
x
x sin
1cos
lim
2
0 ne moemo koristiti LHospitalovo pravilo, jer nis u zadovoljeni
uvjeti Teorema 5.
LHospitalovo pravilo moemo primijeniti i nekolik o puta uzastopno raunaju i neki limes. Jedino je vano da kod svake primjene imamo zadovoljene uvjete pod kojima smijemo koristiti to pravilo.
Primjer: Izraunajmo 30sin
limx
xxx
:
61
6cos
lim00
6sin
lim00
3
cos1lim
00sin
lim002030
========
========
========
====
xxx
x
x
x
xxxxxx
.
Teorem 6. (LHospitalovo pravilo ) Neka su f i g diferencijabilne funkcije
na S = (a, x 0) (x0,b) i g'(x) 0 na S. Ako vrijedi ========
)(lim)(lim00
xgxfxxxx
i postoji Rxgxf
xx
)()(
lim0
, onda je
)()(
lim)()(
lim00 xg
xfxgxf
xxxx
====
.
Dokaz se opet provodi primijenom Cauchyjevog teorem a. Izostavit emo ga.
Napomena: Teorem 6 vrijedi kada jedna ili obje funkcije tee u , atakoer vrijedi kada x ili x .
Primjeri:
1) Izraunajmo 3lim x
e x
x ++++ i 3lim x
e x
x :
========
========
========
====
++++++++++++++++ 6lim
6lim
3limlim 23
x
x
x
x
x
x
x
x
ex
e
x
e
x
e,
====
0lim 3x
ex
x, pa ga raunamo direktno 0lim
1limlim 33 ========
x
xx
x
xe
xx
e.
2) 01
1
limln
lim ========
====
x
xx
xx.
Neodreeni oblici 1,,0,,0 00 mogu se izra unavati tako er koristiti
LHospitalovo pravilo, ali se prije toga moraju sve sti na oblik 00
ili
. Pokazat
emo to na primjerima.
Neodreeni oblik 0 . imamo u slu aju kada ra unamo limes umnoka funkcija, pri emu jedna funkcija tei u beskona no (), a druga u nulu. Tada jedan faktor umnoka zapiemo kao razlomak s nazivnikom recipro no.
Primjeri:
1) (((( )))) 0lim1
1
lim1
lnlim0lnlim
02
000========
====
============
x
x
x
x
xxx
xxxx.
Uoimo da smo mogli xxx
lnlim0
svesti na oblik 00
pisati
x
xxx
ln1
ln ==== , ali
bismo imali neto kompliciraniji ra un.
2) (((( )))) 11
111
lim00
1
11ln
lim01
1lnlim
2
2====
++++====
====
++++========
++++
x
xx
x
xx
xxxx
.
Neodreeni oblik . imamo u slu aju kada ra unamo limes razlike funkcija, pri emu svaka funkcija tei u beskona no. Tada razliku funkcija piemo tako da u obliku
)()(1
)(1
)(1
)(11
)(11
)()(
xgxf
xfxg
xgxf
xgxf
======== kada limes svodimo na oblik 00
. Slino
ga moemo svesti na oblik
ili prvo na oblik 0 , pa zatim na prethodna dva
oblika.
Primjeri:
1)
(((( ))))
.11
lim
11
1
lim00
12
arctglim
2arctglim
2
2
2
2
====++++
====
++++====
====
========
x
x
x
x
x
xxxx
x
xxx
2) (((( ))))
====++++
====
============
++++++++++++ 0
0cossin
1coslim
00
sinsin
limsin
11lim
000 xxxx
xxxx
xx xxx
0sincos2
sinlim
0====
====
++++ xxxx
x.
Neodreene oblike 1,,0 00 svodimo na ve spomenute oblike piu i
)(ln)(lim)(ln)()( lim)(lim xfxgxfxgxg eexf ======== kada x x0 ili x ili x .
Primjeri:
1) (((( )))) 1limlim 011
limln
limln1
01
========================
eeeexx
xx
xx
xx
x
xx .
2) Koriste i ranije odre en limes 11
1lnlim ====
++++ x
xx
imamo
(((( )))) eex
xx
x
x
x============
++++
++++
11ln
lim11
1lim .
3) (((( )))) 1lim0lim 0lnsinlimlnsin0
0sin
00 ====================
eeex
xxxx
x
x
xx ,
jer imamo
.0cossinsin
lim
cossin
lim
sin
cos
1
lim
sin1
lnlimlnsinlim
0
2
02
000
========
========
========
xx
xx
xxx
x
xx
x
xxx
x
xxxx