diferensial eksak

8/18/2019 diferensial eksak

1/7


2/7

. aktor ntegral

ika persamaan diferensial : / !x,y# dx + 0 !x,y# & 1 tidak eksak atau , maka

untuk menyelesaikan PD tersebut dikalikan terlebih dahulu dengan suatu faktor

tertentu sedemikian sehingga PD menjadi eksak.

%ontoh

2entukan persamaan berikut eksak atau tidak

*y dx + x dy & 1

awab

/ !x,y# &*y 0 !x,y# & x PD tidak eksak karena

& * & $

ika PD tersebut dikalikan dengan x maka akan didapat

x!*y# dx + x!x# dy & 1

*xy dx + x dy & 1

& *x & *x PD eksak karena

PD di atas menjadi eksak setelah dikalikan dengan x, x inilah yang disebut

dengan faktor integral yang kita singkat dengan 3 !x,y#,

3/ + 30 & 1 akan eksak jika dan hanya jika

Dari persamaan diatas harga 3 dapat ditentukan dan memberikan tiga ma4amkasus 5 kemungkinan yaitu:

a#. jika 3 hanya fungsi dari x saja atau 3 & f!x#, maka

dikali dengan

6arena 3&f!x# saja, maka namakan: h!x#& sehingga

ln 3 &

ln 3 & ln

3&

b#. jika 3 hanya fungsi dari y saja atau 3& g!y#, maka

dikalikan

6arena 3&g!y# saja, maka namakan: h!y#& sehingga

ln 3 &

ln 3 & ln

3&

4#. jika 3 & k!7# dengan 7 & l!x,y#, maka


3/7

%atatan:

$. ika /!x,y#dx + 0!x,y#dy & 1 homogen dan /x + 0y 1, maka fa4tor integralnya

3 &

*. ika /dx - 0dy & y f!x,y# dx - x g!x,y#dy & 1 dan f!x,y# g!x,y# maka fa4tor

integralnya 3 &

). PD !py dx + 8x dy# + xm yn !ry dx + sx dy# & 1 mempunyai faktor integral 3

& xh yk jika: dan

%ontoh $

Selesaikan !x* + y* + x#dx + xy dy & 1

2etapi,

3/ dx + 30 dy & 1x!x* + y* + x# dx + x!xy# dy & 1

x) + xy* + x* dx + x*y dy & 1

4ek keeksakannya

persamaan ini eksak

x) dx + x* dx + !xy* dx + x*y dy# & 1

d ! & 1

d

)x + x) + 9x* y* & 4

%ontoh * : Selesaikan !*xy ey + *xy) + y# dx + !x* y ey x* y* )x# dy & 1

& 'xy)ey + *xy ey + 9xy* + $

*xyey *xy* )

2etapi, - 'xy)ey + 'xy* +

/aka

3/ dx + 30 dy & 1

Di4ek keeksakannya

/aka ambil f!x,y# &

&

&


4/7

;atihan

Dalam latihan $


5/7

$. *xy dx & !x* + y*# dy

kita dapat ubah bentuknya menjadi

*xy dx !x* + y*# dy & 1

untuk men4ari apakah derajatnya sama, maka kita anggap P!x,y# & *xy dan

@!x,y# & -!x*+y*# , kita hitung dahulu untuk

P!x,y# & *xy

P!ax,ay# & * !ax# !ay# C- kita ubah x menjadi ax dan y menjadi ay

P!ax,ay# & a* *xy C kalikan a . a menjadi a*

P!ax,ay# & a* P!x,y#

maka dengan melihat pangkat dari a, diketahui bahwa P!x,y# berderajat *,

6emudian kita hitung untuk @!x,y#

@!x,y# & -!x* + y*#

@!ax,ay# & -!!ax#* +!ay#*# C- kita ubah x menjadi ax dan y menjadi ay

@!ax,ay# & -! a*x* + a*y*#

@!ax,ay# & a* !x* + y*# C kita keluarkan a* dari penjumlahan

@!ax,ay# & a* @!x,y#

maka dengan melihat pangkat dari a, diketahui bahwa @!x,y# juga berderajat *.

/aka dapat disimpulkan bahwa persamaan di?erensial *xy dx & !x*+y*# dymerupakan persamaan di?erensial homogen.


6/7

*. !x + y# dy & !*x -)y# dx

kita ubah bentuknya menjadi

!*x )y# dx !x + y # dy & 1

untuk men4arinya sama seperti nomor $, kita anggp bahwa P!x,y# & *x )y dan

@!x,y# & x+y. 6ita hitung dahulu untuk P!x,y#

P!x,y# & *x )y

P!ax,ay# & *!ax# )!ay#

P!ax, ay# & *ax )ay

P!ax,ay# & a !*x )y#

P!ax,ay# & a P!x,y#

dengan melihat nilai pangkat a. /aka dapat disimpulkan bahwa derajat untuk

P!x,y# adalah $. lalu kita hitung juga @!x,y#

@!x,y# & x + y

@!ax,ay# & ax + ay

@!ax,ay# & a !x+y#

@!ax,ay# & a @!x,y#

maka dengan melihat pangkat dari a. Didapatkan hasil yang sama juga yaitu

@!x,y# memiliki derajat $. /aka dapat disimpulkan bahwa persamaan


7/7

di?eresnsial !x + y# dy & !*x -)y# dx merupakan persamaan di?erensial

homogen.

Sebenarnya terdapat trik yang dapat dilakukan untuk mengetahui dengan 4epat

derajat sebuah persamaan di?erensial. ika dalam persamaan berbentukperkalian seperti *xy, maka tinggal kita tambahkan pangkat antara x dan y yaitu

*. %ontoh lain jika berbentuk *x*y) maka derajatnya adalah < . 2etapi berbeda

jika dalam persamaannya berbentuk penjumlahan atau pengurangan, maka

dengan melihat pangkat dari kedua ariabel. %ontohnya x + y maka memiliki

derajat $. 4ontoh lain jika !x* + y*# maka derajatnya adalah * . "ntuk

penyelesaian persamaan di?erensial homogen saya akan tulis pada tulisan

berikutnya.

Documents

diferensial eksak