Upload
lydiep
View
226
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
DIFERENSIAL
TOTAL MK. Kalkulus Lanjut
MKMAT3315
©Aswad2016 1
Definisi 4.1
Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y.
Diferensial total dari z adalah:
𝑑𝑧 =𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦𝑑𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
©Aswad2016
2
By definisi 1, misalkan w = f(x, y, z) dengan dx =
∆x, dy = ∆y, dan ∆z = dz, maka diferensial total
dari u adalah
𝑑𝑤 =𝜕𝑤
𝜕𝑥𝑑𝑥 +
𝜕𝑤
𝜕𝑦𝑑𝑦 +
𝜕𝑤
𝜕𝑧𝑑𝑧
Berdasarkan Definisi 4.1, Misalkan dx = Δx dan
dy = Δy yang masing-masing menyatakan
perubahan kecil dari x dan y. Aproksimasi
yang baik bagi Δz adalah dz.
©Aswad2016
3
©Aswad2016
4
Contoh 1
Misalkan z = f(x, y) = x2 + 3xy – y2
a. Tentukan fungsi dz
b. Jika x berubah dari 2 ke 2,05 dan y
berubah dari 3 ke 2,96, tentukanlah dz
nya. Bandingkan dengan besar Δz yang
sesungguhnya.
©Aswad2016
5
Penyelesaian
E.o.E.1
©Aswad2016
6
Contoh 2
Tentukan diferensial total dari
a. z = 2x sin y – 3x2y2
b. w = x2 + y2 + z2
©Aswad2016
7
Penyelesaian
E.o.E.2
Definisi 4.2
Fungsi f yg dituliskan sebagai z = f(x, y) dapat
diturunkan (differentiable) di (x0, y0) apabila ∆z
dapat dituliskan ke dalam bentuk:
∆z = fx(x0, y0)∆x + fy(x0, y0)∆y + ε1∆x + ε2∆y
dengan ε1 → 0 dan ε2 → 0 untuk (x0, y0) → (0, 0).
Fungsi f terdiferensial di daerah R apabila f
terdiserensial di setiap titik di R.
©Aswad2016
8
©Aswad2016
9
Contoh 3
Tunjukkan bahwa fungsi
f(x, y) = x3 + 3y
Terdirensial di setiap titik (x, y).
©Aswad2016
10
Penyelesaian
Perhatikan bahwa ε1 = ∆x dan ε1 = 0.
Karena ε1 → 0 dan ε2 → 0 untuk (∆x, ∆x) → 0
maka jelas bahwa f terdirensial di setiap titik (x, y).
E.o.E.3
Perhatikan bahwa pada fungsi satu
variabel, f dikatakan terdiferensialkan
di satu titik apabila f memiliki turunan di
titik tersebut. Pada fungsi dua variabel,
eksistensi turunan parsial fx dan fy tidak
menjadi jaminan bahwa fungsi
tersebut terdiferensialkan di (x, y).
©Aswad2016
11
©Aswad2016
12
Contoh 4
Tunjukkan bahwa fx(0, 0) dan fy(0, 0)
keduanya ada tetapi fungsi f tidak
terdiferensialkan di (0, 0)
©Aswad2016
13
Penyelesaian
Dapat ditunjukkan bahwa nilai limit f untuk y = x dan y
= -x berbeda.
Untuk y = x, diperoleh
Untuk y = -x, diperoleh
Artinya, f tidak memilki turunan di (x, y)
©Aswad2016
14
Padahal turunan parsial terhadap x dan y ada yakni:
E.o.E.4
Latihan 1
©Aswad2016
15
©Aswad2016
16
Tentukan diferensial total dari bentuk
berikut:
©Aswad2016
17
(a). Hitunglah f(2, 1) dan f(2.1, 1.05)
kemudian hitunglah ∆z. (b). Tentukan pula
dz dan bandingkan hasilnya dengan ∆z
Aturan Rantai / Chain Rule
©Aswad2016
18
Chain Rule: 1 variabel independent
Misalkan w = f(x, y) dengan f
terdiferensialkan di x dan y. Apabila x = g(t)
dan y = h(t) dengan g dan h keduanya
terdiferensialkan di t, maka w
terdiferensialkan di t dan
𝑑𝑤
𝜕𝑡=𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝜕𝑡+𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝜕𝑡
©Aswad2016
19
©Aswad2016
20
Contoh 5
Misalkan w = x2y – y2 dengan x = sin t dan y
= et, tentukan dw/dt dengan t = 0
©Aswad2016
21
Untuk t = 0, maka jelas bahwa dw/dt = -2
Cara 1
©Aswad2016
22
Terlebih dahulu, ubah fungsi w kedalam t
menjadi
Selanjutnya, d didiferensialkan terhadap t
diperoleh
E.o.E.5
Cara 2
©Aswad2016
23
Misalkan w = f(x1, x2, ..., xn) maka dengan x1,
x2, ..., xn adalah fungsi dengan satu variabel
𝑑𝑤
𝜕𝑡=𝜕𝑤
𝜕𝑥1
𝑑𝑥1𝜕𝑡
+𝜕𝑤
𝜕𝑥2
𝑑𝑥2𝜕𝑡
+⋯+𝜕𝑤
𝜕𝑥𝑛
𝑑𝑥𝑛𝜕𝑡
Chain Rule: 2 variabel independent
Misalkan w = f(x, y) dengan f
terdiferensialkan di x dan y. Apabila x = g(s,
t) dan y = h(s, t) sedemikian sehingga ∂x/∂s,
∂x/∂t, ∂y/∂s, dan ∂y/∂t semuanya ada, maka
∂w/∂s dan ∂w/∂t ada yakni 𝑑𝑤
𝜕𝑠=𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑠+𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑠
dan 𝑑𝑤
𝜕𝑡=𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑡+𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑡
©Aswad2016
24
©Aswad2016
25
Contoh 6
Gunakan Chain Rule untuk menentukan
∂w/∂s dan ∂w/∂t dari
w = 2xy
dengan x = s2 + t2 dan y = s/t
©Aswad2016
26
E.o.E.6
©Aswad2016
27
Misalkan w = f(x1, x2, ..., xn) dengan x1, x2, ...,
xn adalah suatu fungsi dengan m variabel
yakni t1,, t2, ..., tm.
𝑑𝑤
𝜕𝑡1=𝜕𝑤
𝜕𝑥1
𝑑𝑥1𝜕𝑡1
+𝜕𝑤
𝜕𝑥2
𝑑𝑥2𝜕𝑡1
+⋯+𝜕𝑤
𝜕𝑥𝑛
𝑑𝑥𝑛𝜕𝑡1
𝑑𝑤
𝜕𝑡2=𝜕𝑤
𝜕𝑥1
𝑑𝑥1𝜕𝑡2
+𝜕𝑤
𝜕𝑥2
𝑑𝑥2𝜕𝑡2
+⋯+𝜕𝑤
𝜕𝑥𝑛
𝑑𝑥𝑛𝜕𝑡2
⋮ 𝑑𝑤
𝜕𝑡𝑚=𝜕𝑤
𝜕𝑥1
𝑑𝑥1𝜕𝑡𝑚
+𝜕𝑤
𝜕𝑥2
𝑑𝑥2𝜕𝑡𝑚
+⋯+𝜕𝑤
𝜕𝑥𝑛
𝑑𝑥𝑛𝜕𝑡𝑚
Latihan 2
©Aswad2016
28
©Aswad2016
29
Gunakan Chain Rule untuk menentukan
dw/dt dari setiap bentuk berikut:
©Aswad2016
30
Gunakan Chain Rule untuk menentukan
∂w/∂s dan ∂w/∂t dari setiap bentuk berikut:
©Aswad2016
31
9. Misalkan w = f(x, y), x = g(t), dan y = h(t),
dengan f, g, dan h differentiable. Gunakan
Chain Rule untuk menentukan dw/dt
dengan t = 2 apabila diketahui:
©Aswad2016
32
10. Misalkan w = f(x, y), x = g(s, t), dan y =
h(s, t), dengan f, g, dan h differentiable.
Gunakan Chain Rule untuk menentuakn
ws(1, 2) dan wt(1, 2) apabila diketahui:
Selesai
©Aswad2016
33