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8/12/2019 Differential Equation Theory_e
1/22
CK\E^
"ckojse`uckrpeysjns.jo" ;
Jot rdlunt jdo 7Ko fquktjdo jovdbvjom jolfpfolfot kol lfpfolfot vkrjkabfs kol tef lfrjvktjvfs dh tef lfpfolfot vkrj-
kabfs js nkbbfl k ljhhfrfotjkb fquktjdo. \efrf krf twd `jols dh ljhhfrfotjkb fquktjdo7
;.; Drljokry Ljhhfrfotjkb Fquktjdo 7 Jh tef lfpfolfot vkrjkabfs lfpfol do dof jolfpfolfot vkrj-kabf x, tefo tef ljhhfrfotjkb fquktjdo js skjl td af drljokry.
hdr fxkcpbflx
ly+
lx
lz3 y + z,
lx
ly+ xy 3 sjo x ,
lx
ly1
lx
yl>
>
+ y 3 fx ,
` 1
1
lx
yl3
1/>1
lx
ly;
, y 3 x
lx
ly+ `
1
lx
ly;
;.1 Ykrtjkb ljhhfrfotjkb fquktjdo 7 Jh tef lfpfolfot vkrjkabfs lfpfol do twd dr cdrf jolfpfo-lfot vkrjkabfs, tefo jt js `odwo ks pkrtjkb ljhhfrfotjkb fquktjdo
hdr fxkcpbf y1y
zy
x
z 1
3 kx, 9y
z
x
z1
1
1
1
Drlfr kol Lfmrff dh k Ljhhfrfot jk b Fqukt jdo71.; Drlfr 7 Drlfr js tef ejmefst ljhhfrfotjkb kppfkrjom jo k ljhhfrfotjkb fquktjdo.1 . 1 Lfmrff 7
Jt js lftfrcjofl ay tef ejmefst lfmrff dh tef ejmefst drlfr lfrjvktjvf prfsfot jo jt khtfr tef
ljhhfrfotjkb fquktjdo js nbfkrfl dh rkljnkbs kol hrkntjdos sd hkr ks tef lfrjvktjvfs krf ndonfrofl.
Odtf 7 Jo tef ljhhfrfotjkb fquktjdo, kbb tef lfrjvktjvfs sedubl af fxprfssfl jo tef pdbyodcjkb hdrc
h;
(x, y)
;o
c
c
lx
yl
+ h
1(x, y)
1o
;c
;c
lx
yl
+ ........ h (x, y)
`o
lx
ly
3 9
\ef kadvf ljhhfrfotjkb fquktjdo eks tef drlfr c kol lfmrff o ;.
Fxkcpbf # ;
Hjol tef drlfr & lfmrff dh hdbbdwjom ljhhfrfotjkb fquktjdos.
(j) 1
1
lx
yl3
8/12/2019 Differential Equation Theory_e
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CK\E^
"ckojse`uckrpeysjns.jo" 1
^dbutjdo.
(j)
lx
yl
f x 1
1
lx
yl+ y 3 9
fquktjdo nko odt af fxprfssfl ks k pdbyodcjkb jo ljhhfrfotjkb ndfhhjnjfots, sd lfmrff js
odt kppbjnkabf aut drlfr js >.
^fbh Yrkntjnf Yrdabfcs 7
(;) Hjol drlfr kol lfmrff dh tef hdbbdwjom ljhhfrfotjkb fquktjdos.
(j)lx
ly+ y 3
lx
ly
;(jj)
>
>
lx
yl
lx
ly
f 3 o
;
lx
yl6
6
(jjj)
11/;
y
lx
ly
3
1
1
lx
yl
Koswfr (;) (j) drlfr 3 ;, lfmrff 3 1 ( jj) drlfr 3 6, lfmrff 3 odt kppbj nkab f.
(jjj) drlfr 3 1, lfmrff 3 1
Hdrcktjdo dh L jh hf rfot jk b Fqukt jdo7Ljhhfrfotjkb fquktjdo ndrrfspdoljom td k hkcjby dh nurvf wjbb ekvf 7
(k) Drlfr fxkntby skcf ks oucafr dh fssfotjkb krajtrkry ndostkots jo tef fquktjdo dh nurvf.
(a) Od krajtrkry ndostkot prfsfot jo jt.
\ef ljhhfrfotjkb fquktjdo ndrrfspdoljom td k hkcjby dh nurvf nko af datkjofl ay usjom tef hdbbdwjomstfps7
(j) Jlfotjhy tef oucafr dh fssfotjkb krajtrkry ndostkots jo fquktjdo dh nurvf.
OD\F 7 Jh krajtrkry ndostkots kppfkr jo klljtjdo, suatrkntjdo, cubtjpbjnktjdo dr ljvjsjdo, tefo wf nko
nbua tefc td rflunf jotd dof ofw krajtrkry ndostkot.
(jj) Ljhhfrfotjktf tef fquktjdo dh nurvf tjbb tef rfqujrfl drlfr.
(jjj) Fbjcjoktf tef krajtrkry ndostkot hrdc tef fquktjdo dh nurvf kol klljtjdokb fquktjdos datkjofl jo
stfp (jj) kadvf.
Fxkcpbf # 1
Hdrc k ljhhfrfotjkb fquktjdo dh hkcjby dh strkjmet bjofs pkssjom terdume drjmjo.^dbutjdo
Hkcjby dh strkjmet bjofs pkssjom terdume drjmjo js y 3 cx wefrfc js k pkrkcftfr.
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CK\E^
"ckojse`uckrpeysjns.jo" >
Ljhhfrfotjktjom w.r.t. x
lx
ly3 c
Fbjcjoktjom c hrdc adte fquktjdos, wf datkjo
lx
ly3
x
ywejne js tef rfqujrfl ljhhfrfotjkb fquktjdo.
Fxkcpbf # >
Hdrc k ljhhfrfotjkb fquktjdo dh hkcjby dh njrnbfs tdunejom x-kxjs kt tef drjmjo
^dbutjdo
Fquktjdo dh hkcjby dh njrnbfs tdunejom x-kxjs kt tef drjmjo js
x1 + y1 +y 3 9 ..........(j) wefrfjs k pkrkcftfr
1x + 1ylx
ly+
lx
ly3 9 .........(jj)
Fbjcjoktjom hrdc (j) kol (jj)
lx
ly
3 11 yx
xy1
wejne js rfqujrfl ljhhfrfotjkb fquktjdo.
^fbh Yrkntjnf Yrdabfcs 7
(1) Datkjo k ljhhfrfotjkb fquktjdo dh tef hkcjby dh nurvfs y 3 k sjo (ax + n) wefrf k kol n afjom
krajtrkry ndostkot.
(>) ^edw tekt tef ljhhfrfotjkb fquktjdo dh tef systfc dh pkrkadbks y1 3
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CK\E^
"ckojse`uckrpeysjns.jo"
x>+ n (5) y 3 x + o |x (; + y)| + n
(:) fy x 3 x + n (;9) bdm ;1
yxtko
3 x + n (;;) sjo (y x) 3
n1
x1
f
6.1 Edcdmfofdus Ljh hfrfot jk b Fqukt jdos 7K ljhh frfotjkb fquktjdo dh tef hdrc
lx
ly3
)y,x(m
)y,x(hwefrf h kol m krf edcdmfofdus huontjdo dh
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"ckojse`uckrpeysjns.jo" 5
x kol y, kol dh tef skcf lfmrff, js nkbbfl edcdmfofdus ljhhfrfotjkb fqukjtdo kol nko af
sdbvfl fksjby ay puttjom y 3 vx.
Fxkcpbf # ;9
^dbvf 1x
y+
;
x
y 1
lx
ly
^dbutjdo.
Yuttjom y 3 vx
lx
ly3 v + x
lx
lv
1v + (v1 ;)
lx
lvxv 3 9
v + xlx
lv3
;v
v11
x lx
lv
3 ;v
)v;(v1
1
)v;(v
;v1
1
lv 3 xlx
v;
v;
v11 lv 3 o x + n
o (; + v1) o v 3 o x + n
o x.v
v; 13 n
o y
yx 11 3 n
x1 + y1 3 yn' wefrf n3 fn
Fxkcpbf # ;;
^dbvf 7 (x1 y1) lx + 1xyly 3 9 mjvfo tekt y 3 ; wefo x 3 ;
^dbutjdo.
lx
ly3
xy1
yx 11
y 3 vx
lx
ly3 v +
lx
lv
v + xlx
lv3
v1
v; 1
1v;v1
lv 3 xlx
o (; + v1) 3 ox + n
kt x 3 ;, y 3 ; v 3 ;o 1 3 n
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CK\E^
"ckojse`uckrpeysjns.jo" :
o
x.
x
y;
1
1
3 o1
x1 + y1 3 1x
6.1.; Fqukt jdos Qflunjabf td tef Edcdmfofdus hdrcFquktjdos dh tef hdrc
NAyKxnaykx
lxly .........(;)
nko af cklf edcdmfofdus (jo ofw vkrjkabfs U kol Z) ay suastjtutjom x 3 U + e kol y 3 Z + `,
wefrf e kol ` krf ndostkots td datkjo,lU
lZ3
)NA`Ke(AZKU
)na`ke(aZkU
. .........(1)
\efsf ndostkots krf nedsfo sune tekt ke + a` + n 3 9, kol Ke + A` + N 3 9. \eus wf datkjo
tef hdbbdwjom ljhhfrfotjkb fquktjdolU
lZ3
AZKU
aZkU
.
\ef ljhhfrfotjkb fquktjdo nko odw af sdbvfl ay suastjtutjom Z 3 vU.
Fxkcpbf # ;1
^dbvf tef ljhhfrfotjkb fquktjdolx
ly3
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CK\E^
"ckojse`uckrpeysjns.jo" ;9
)v;(1>
);v(1
;lv 3 o U + n
1
;o (v + ;)
1
>o (; v) 3 o U + n
o >
)v;(
;v
3 oU1 + 1n
>)ZU(
)UZ(
1
1
U
U3 f1n
U + Z 3 n(U Z)> wefrf f1n 3 n;
x ; + y 1 3 n(x ; y + 1)>
x + y > 3 n (x y + ;)>
^pfnjkb nksf 7
Nksf - ; Jo fquktjdo (;) jhA
a
K
k , tefo tef suastjtutjdo kx + ay 3 v wjbb rflunf jt td tef hdrc jo
wejne vkrjkabfs krf sfpkrkabf.
Fxkcpbf # ;>
^dbvflx
ly3
6y8xx1
^dbutjdo.
Yuttjom u 3 1x + >y
lx
lu3 1 + > .
lx
ly
>
;
1
lx
lu3
6u1
;u
lx
lu3
6u1
;9uu>
;>u=
6u1lx 3 lx
=
1 lu.; =
: ;>u=
;. lu 3 x + n
=
1u
=
:.
=
;o (=u ;>) 3 x + n
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CK\E^
"ckojse`uckrpeysjns.jo" ;;
x + 8y =
:o (;) 3 n
Nksf - 1 Jo fquktjdo (;), jh a + K 3 9, tefo ay k sjcpbf nrdss cubtjpbjnktjdo fquktjdo (;) afndcfs
ko fxknt ljhhfrfotjkb fquktjdo.
Fxkcpbf # ;y1x
(;6)lx
ly3
>y1x1
;yx
(;8) lx
ly
3 6x1y>
6y1x>
Koswfrs (;1) 11 yx 3 xy
tkox
y ;
f
(;>) x sjox
y3 N
(; (;6) >(1y x) + bdm (>x + >y + x1 + y1 ;9x ;9y 3 N
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"ckojse`uckrpeysjns.jo" ;1
6.> F xknt Lj hh frfo tjkb Fquk tjdo 7\ef ljhhfrfotjkb fquktjdo C + O
lx
ly3 9 ...........(;)
]efrf C kol O krf huontjdos dh x kol y js skjl td af fxknt jh jt nko af lfrjvfl ay ljrfnt
ljhhfrfotjktjdo (wjtedut koy suasfqufot cubtjpbjnktjdo, fbjcjoktjdo ftn.) dh ko fquktjdo dh tef
hdrc h(x, y) 3 n
f.m. y1 ly + x lx +x
lx 3 9 js ko fxknt ljhhfrfotjkb fquktjdo.
OD\F 7(j) \ef ofnfsskry ndoljtjdo hdr (;) td af fxknt jsx
O
y
C
.
(jj) Hdr hjoljom tef sdbutjdo dh fxknt ljhhfrfotjkb fquktjdo, hdbbdwjom rfsubts do fxknt ljhhfrfotjkbs
sedubl af rfcfcafrfl 7
(k) xly + y lx 3 l(xy) (a) 1x
ylxxly3 l
x
y(n) 1(x lx + y ly) 3 l (x1 + y1)
(l)xy
ylxxly3 l
x
ybo (f) 11 yx
ylxxly
3 l
x
ytko ; (h)
xy
ylxxly 3 l(bo xy)
(m) 11 yx
ylxxly3 l
xy
;
Fxkcpbf # ;6
^dbvf 7 y lx + x ly 3 11 yx
ylxxly
^dbutjdo.
ylx + xly 3 11 yx
ylxxly
l (xy) 3 l (tko; y/x)
Jotfmrktjom adte sjlfs
xy 3 tko; y/x + n
Fxkcpbf # ;8
^dbvf 7 (1x oy) lx + 9lyy>y
x 11
^dbutjdo.
\ef mjvfo fquktjdo nko af wrjttfo ks
oy (1x) lx + x1
y
ly+ >y1 ly 3 9
oy l (x1) + x1 l (oy) + l (y>) 3 9 l (x1 oy) + l (y>) 3 9Odw jotfmrktjom fkne tfrc, wf mft
x1oy + y> 3 n
^fbh Yrkntjnf Yrdabfcs 7
(;=) ^dbvf 7 xly + ylx + xy fy ly 3 9
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"ckojse`uckrpeysjns.jo" ;>
1
f 3 )x;(o
>
f 3 ; + x>
Mfofrkb sdbutjdo js
y(H) 3 nlx).JH([
y (; + x>) 3
>
1
x;
xsjo(; + x>) lx + n
y(; + x>) 3
1
x1nds;lx + n
y(; + x>) 31
;x
x + n
8.1.1 Afrodub bj s fqukt jdo 7Fquktjdos dh tef hdrc
lx
ly+ Yy 3 [.yo, o 9 kol o ;
wefrf Y kol [ krf huontjdos dh x, js nkbbfl Afrodubbjs fquktjdo kol nko af cklf bjofkr jo v ay
ljvjljom ay yo kol puttjom yo+; 3 v. Odw jts sdbutjdo nko af datkjofl ks jo (v).
f.m. 7 1 sjo xlxly y nds x 3 xy> fx .
Fxkcpbf # 1;
^dbvf 71
1
x
y
x
y
lx
ly (Afrodubbj's fquktjdo)
^dbutjdo.
Ljvjljom adte sjlfs ay y1
11 x
;
xy
;
lx
ly
y
; ..... (;)
Yuttjomy
;3 t
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"ckojse`uckrpeysjns.jo" ;8
lx
lt
lx
ly
y
;1
ljhhfrfotjkb fquktjdo (;) afndcfs,
1x
;
x
t
lx
lt
1x
;
x
t
lx
lt
wejne js bjofkr ljhhfrfotjkb fquktjdo jo lxlt
JH 3 lxx
;
f 3 fox 3 x
Mfofrkb sdbutjdo js -
t. x 3 x.x;
1 lx + n
tx 3 ox + n
y
x3 ox + n
^fbh Yrkntjnf Yrdabfcs 7
(;:) ^dbvf 7 x (x1 + ;)lx
ly3 y (; x1) + x1 ox
(19) ^dbvf 7 (x + 1y>)lx
ly3 y
(1;) ^dbvf 7 xlx
ly+ y 3 y1 bdm x
(11) ^dbvf tef ljhhfrfotjkb fquktjdo
xy1
lx
ly 1y> 3 1x> mjvfo y 3 ; kt x 3 ;
Koswfrs (;:)
x
;x1
y 3 x o x x + n (19) x 3 y (n + y1)
(1;) y (; + nx + bdm x) 3 ; (11) y> + 1x> 3 >x8
N bkj rkut s Fqukt jdo 7\ef ljhhfrfotjkb fquktjdo
y 3 cx + h(c), . .. .. .. ... .. .. (;), wefrf c 3lx
ly
js `odwo ks Nbkjrkuts Fquktjdo.
\d sdbvf (;9), ljhhfrfotjktf jt w.r.t. x, wejne mjvfs
lx
ly3 c + x
lx
lc+
lc
)c(hl
lx
lc
xlx
lc+
lc
)c(hl
lx
lc3 9
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"ckojse`uckrpeysjns.jo" ;=
fjtefrlx
lc3 9 c 3 n ...........(1)
dr x + h (c) 3 9 ............(>)
OD\F 7(j) Jh c js fbjcjoktfl aftwffo (;) kol (1), tef sdbutjdo datkjofl js k mfofrkb sdbutjdo dh (;)
(jj) Jh c js fbjcjoktfl aftwffo (;) kol (>), tefo sdbutjdo datkjofl ldfs odt ndotkjo koy krajtrkry
ndostkot kol js odt pkrtjnubkr sdbutjdo dh (;). \ejs sdbutjdo js nkbbfl sjomubkr sdbutjdo dh (;).
Fxkcpbf # 11
^dbvf 7 y 3 cx + c c> wefrf, c 3lx
ly
^dbutjdo.
y 3 cx + c c> ..... (j)
\ef mjvfo fquktjdo js jo nbkjrkut's hdrc.
Odw, ljhhfrfotjktjom wrt. x -
lx
lcc>
lx
lc
lx
lcxc
lx
ly 1
c 3 c + xlx
lcc>
lx
lc
lx
lc 1
lx
lc(x + ; >c1) 3 9
lx
lc3 9 c 3 n ..... (jj)
dr x + ; >c1 3 9 c1 3>
;x..... (jjj)
Fbjcjoktjom 'c' aftwffo (j) & (jj) js nkbbfl tef mfofrkb sdbutjdo dh tef mjvfo fquktjdo.
y 3 nx + n n> wefrf, 'n' js ko krajtrkry ndostkot.Kmkjo, fbjcjoktjom 'c' aftwffo (j) & (jjj) js nkbbfl sjomubkr sdbutjdo dh tef mjvfo fquktjdo.
y 3 c (x + ; c1)
y 3
>
;x;x
>
;x 1/;
y 3 >
1
>
;x 1/;
(x + ;)
y 3 1
1/>
>
;x
y1 31=
1=y1 3 < (x + ;)>
^fbh Yrkntjnf Yrdabfcs 7
(1>) ^dbvf tef ljhhfrfotjkb fquktjdo
Z 3 cx + 1/c wefrf, c 3lx
ly
(1
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"ckojse`uckrpeysjns.jo" ;5
Koswfrs (1>) Mfofrkb sdbutjdo 7 y 3 nx + 1/n wefrf n js ko krajtrkry ndostkot
^jomubkr sdbutjdo 7 y1 3 5x
(1
Hjol tef drtedmdokb trkgfntdry dh hkcjby dh strkjmet bjofs pkssjom terdume tef drjmjo.
^dbutjdo.
Hkcjby dh strkjmet bjofs pkssjom terdume tef drjmjo js -
y 3 cx ..... (j)
wefrf 'c' js ko krajtrkry ndostkot.
Ljhhfrfotjktjom wrt x
clx
ly
..... (jj)
Fbjcjoktf 'c' hrdc (j) & (jj)
y 3 xlx
ly
Qfpbknjomlx
lyay
ly
lx, wf mft
y 3ly
lx x
x lx + y ly 3 9Jotfmrktjom fkne tfrc,
1
y
1
x 11 3 n
x1 + y1 3 1nwejne js tef rfqujrfl drtedmdokb trkgfntdry.
Fxkcpbf # 1x + 1y + ;) ly 3 9 rfprfsfots k eypfradbk ekvjom tef bjofs x + y 3 9 kol
1x + y + ; 3 9 ks ksycptdtfs
^dbutjdo.
(y + ;) lx + (>x + 1y + ;) ly 3 9
(y lx + x ly) + lx + 1y ly + ly 3 9
Jotfmrktjom fkne tfrc,
1x1 + > xy + x + y1 + y + n 3 9
1x1 + >xy + y1 + x + y + n 3 9
wejne js tef fquktjdo dh eypfradbk wefo e1 ? ka & 9.Odw, ndcajofl fquktjdo dh jts ksycptdtfs js -
1x1 + >xy + y1 + x + y + 3 9wejne js pkjr dh strkjmet bjofs
3 9
1.; + 1 .1
>.
1
;.
1
; 1 .