518 Buchbesprechungen

funktionen; die Sprungstellen entsprechen den An- kunftsmomenten, die Sprunghohen den Bedienungs- zeiten. uber die Struktur von K(t) werden zuniichst keine weiteren Voraussetzungen gemacht. Der Zu- stand des Bedienungssystems wird durch die virtuelle Wartezeit W ( t ) beschrieben; das ist die Zeit, die ein in t eventuell ankommender Kunde bis zu seiner Bedienung warten miiBte.

Das 1. Kapitel enthiilt eine ausgezeichnete Darstel- lung von Bedienungssystemen des oben angegebenen Typs mit Hilfe von K ( t ) und W(t ) und eine Diskussion der Problemstellung und der erzielten Resultate. Im 2. Kapitel werden zwei Funktionen angegeben, die sich aus der Verteilung yon K( t ) berechnen lassen und in zwei Integralgleichungen zur Bestimmung der Verteilungsfunktion von W ( t ) eingehen. Diese Glei- chungen werden im 3. Kapitel mit Hilfe der LAPLACE- Transformation hergeleitet. Als Spezialfall wird das bekannte M/G/1-Bedienungsmodell behandelt. In den Kapiteln 4 und 5 wird eine vom Autor eingefiihrte ,,schwache Stationaritat" gefordert; diese bedeutet, daB unter der Bedingung W ( u ) = 0 die Zuwiichse von K ( t ) im Interval1 (u, t ) nur von der Differenz t - u abhiingen. Unter dieser Voraussetzung werden Aus- sagen iiber die Konvergenz von P(W(t ) = 0) und P( F(t) 5 w) fur t -+ + cu gemacht. Im 6. Kapitel wird noch eine ,,schwache" MARKov-Eigenschaft defi- niert, und es werden die LAPLACE-Transformierte von P( W(t) = 0) sowie die Verteilung der kleinsten Wur- zel von W ( z ) = 0 bestimmt.

Dresden H. GILLERT

M. Eichler, Einfuhrung in d ie Theorie der algebraischen Zahlen und Funkt ionen . 338 S. Base1 und Stuttgart 1963. Birkhiiuser Verlag. Preis geb. DM 64,05.

Das vorliegende Buch vermittelt auf relativ gerin- gem Raum ein auoerordentlich vielseitiges und leben- diges Bild von der Theorie der algebraischen Zahlen und Funktionen, sowohl was die Methoden als auch, was die Anwendungen anbetrifft. Die Darstellung ist - bedingt durch die Fiille des Stoffes - sehr knapp, und das Buch ist demzufolge fur den Neuling keine leichte Lekture. In erster Linie wird es den Kenner interessieren, der den Wert einer synthetischen Dar- stellung - auch auf Kosten einer bequemen Lesbar- keit - zu schatzen weiB und der sicherlich viele neue Entdeckungen machen wird.

Was den Inhalt anbetrifft, so ist zuniichst zu sagen, daB der Verf. das Hauptgewicht auf die algebraischen Funktionen legt. Die Theorie der algebraischen Zahl- karper, die im ersten Drittel (Kap. 1, 2) gemeinsam mit der der algebraischen Funktionskorper entwickelt wird, endet rnit den - im Anhang bewiesenen - Hauptsiitzen der Arithmetik (Endlichkeit der Klas- senzahl und Einheitensatz). Bemerkenswert ist, daB sich die Teilbarkeitslehre auf den urspriinglichen Divisorbegriff von KRONECKER stutzt, wahrend man an dieser Stelle iiblicherweise bewertungstheoretisch oder idealtheoretisch nach DEDEKIND vorzugehen pflegt.

Die Theorie der algebraischen Funktionskorper wird - nach ihrem mit der Theorie der Zahlkorper gemeinsamen Zugang - im 3. Kapitel neu begrundet und zwar zuerst am klassischen Model1 (Charakteri- stik 0) , sodann abstrakt. Der RIEMANN-ROCHSC~~ Satz, versehen rnit dem sich auf den MINKowsKIschen Linearformensatz stutzenden Beweis des Verf., steht auch hier an der Spitze der Theorie. Auf ihn baut sich die Differential- und Integralrechnung auf. Erwiihnenswert scheint eine ausfiihrliche Theorie der hoheren Differentiale. - Im 4. Kapitel wird die Theorie auf den klassischen Fall der algebraischen Funktionen iiber dem komplexen Zahlkorper ange- wendet und wesentlich vertieft. Sie stoljt vor bis zum abelschen Theorem und der JAcoBIschen Mannigfaltig-

keit, gelangt also bis an die Schwelle der abelschen Varietaten. Weiter findet sich hier eine eingehende Betrachtung der elliptischen Funktionen und der Modulfunktionen.

Im 5. Kapitel wird die Theorie der Korresponden- Zen algebraischer Funktionenkorper mit ihren tiefen neueren Resultaten entwickelt. Die Theorie endet mit der Ungleichung von CASTELNUOVO, deren Beweis sich an den RoQuETTEschen Beweis anlehnt, im wesent- lichen aber arithmetisch verlauft unter moglichst spar- samer Benutzung der Schnitt-Theorie der algebrai- schen Geometrie. Eine Anwendung findet sich in der Theorie der Modulfunktionen (Satz yon RIMANUJAN).

Dresden M. HASSE

Differ en t i alg e o me t r i e u n d T o p o 1 o g i e: Inter- nationales Kolloquium Zurich 1960. 159 s. Gentwe 1962. L'Enseignement MathBmatique. Preis brosch. Frs. 22, -.

Das Kolloquium fand auf Einladung der Inter- nationalen Mathematischen Union und der Schwei- zerischen Mathematischen Gesellschaft statt. Der Bericht enthiilt den vollstiindigen Wortlaut der 10 Hauptvortrage von R. BOTT, H. BUSEMANN, S. S. CHEON, B. ECEMANN, P. J. HILTON, F. HIRZEBRUCH und M. F. ATIYAH, A. LICHNEROWICZ, J. MILNOR, N. E. STEENROD, R. THOM. Von den ubrigen 53 Vor- triigen sind die Titel aufgefiihrt; sie selbst werden in den Comm. Math. Helv. veroffentlicht.

P. J. HILTON wiirdigte in einer Gedenkrede das Leben und das Werk des kurz zuvor verstorbenen HENRY WHITEHEAD.

In allen Vortriigen zeichnet sich eine Synthese von Fragen der Differentialgeometrie auf differentierbaren Mannigfaltigkeiten mit Methoden und Begriffsbildun- gen der algebraischen Topologie ab. Die berufensten Vertreter vermitteln dem Kenner einen Einblick in die neuesten Ergebnisse und Bestrebungen. Sie setzen allerdings bei dem Leser ein nicht geringes Ma13 von Kenntnis dieser Gebiete voraus.

Halle/Saale 0.-H. KELLER

I. Sala, On t h e Numer ica l Solution of Cer ta in Boundary Value Problems a n d Eigenvalue Problems of t h e Second a n d F o u r t h Order wi th t h e Aid of I n t e g r a l Equa t ions (Acta Polytechnica Scandinavica, Mathematics and Com- puting Machinery Series, No. 9). 24 S. Helsinki 1963. Preis brosch. Sw. Kr. lo,-.

Bereits NYSTROM empfahl zur genaherten Losung der Differentialgleichung d2y/ds2 = f(r , y) mit linearen Randbedingungen die Uberfiihrung in eine Integral- gleichung und deren Behandlung durch Mittelwert- methoden (Acta math. 76). Es ergibt sich ein im all- gemeinen nichtlineares Gleichungssystem fur diskrete Werte der gesuchten Funktion y(z). Durch zweimalige Anwendung dieses Gedankens behandelt der Verfasser in friiheren Arbeiten Gleichungen der Form

Da die verwendeten Mittelwertformeln bei Erhohung der Zahl der Stiitzstellen i. allg. nicht gegen die gesuchte Losung konvergieren, wird in der vorliegen- den Arbeit anstelle von Mittelwertformeln die Trapez- regel verwendet. Die Konvergenz ist beltiiglich der Distanz der Stutzstellen linear. Hinweise zur Losung des entstehenden nichtlinearen Gleichungssystemes werden vermil3t. Auch ist die Darstellung nicht immer einwandfrei. Falls f(z, y) in y linear ist, so ist dies auch das entstehende Gleichungssystem. Dieser Fall wird an 7 ausfiihrlichen Beispielen demonstriert. Eigenwertprobleme lassen sich entsprechend behan- deln.

Dresden J. UHLIG