Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Differentiëren
Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden
© Wisnet-HBO
update maart 2011
VoorkennisRepeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren.Draai eventueel het overzicht van standaardafgeleiden en rekenregels uit en neem het erbij als je de volgende oefeningen doet.Ga anders nog naar de les Wat is Differentiëren en de les Rekenregels en Standaardafgeleiden.
Neem pen en papier om de training te doenLET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma. GA steeds op een rode invoerregel staan en druk op Enter.TIP: Gebruik voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet (zie paragraaf Maplet Instructie)
Oefeningen met alle regels en standaardafgeleiden
Neem pen en papier om de oefeningen te doen.
Je kunt ook de onderstaande sommen in het Maplet invoeren (zie voor het Maplet bijMaplet Openen).Het is een instructie om met de rekenregels te leren werken . Je krijgt dan stap voor stap begeleiding welke rekenregels je moet gebruiken.
Werken met het Maplet "instructie om met de rekenregels teleren werken"
Ga in de onderstaande oefeningen steeds op de rode invoerregel staan en druk op Enter. Vervolgens open je eventueel de knop van het antwoord en door op de rode invoer te gaan staan en op Enter te drukken, krijg je het antwoord.
LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma.TIP: Gebruik dus voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet met
oefening 1 (machtsfuncties en kettingregel)Je kunt in de volgende sommen iets veranderen. Als je daarna op het antwoord klikt, dan is het antwoord aangepast aan de verandering die je zelf maakte. Dus verander iets en kijk wat het effect is.Bepaal de afgeleide van de volgende functies waarbij steeds x de variabele is.
1Differentiëer naar x.
antwoord
met het Maplet
2Differentiëer naar x.
antwoord
met het Maplet
3Differentiëer naar x.
aanwijzingStel .
antwoord
met het Maplet
4Differentiëer naar x.
antwoord
aanwijzingBij deze functie moet je de kettingregel gebruiken. Stel daarvoor .De afgeleide van u is u ' = 2.met het Maplet
5Differentiëer naar x.
antwoord
aanwijzingLet op dat a een constante is. De afgeleide van een constante is 0.met het Maplet
6Differentiëer naar x.
aanwijzing
Let op dat a constant is. Natuurlijk is dan ook een constante.
antwoord
met het Maplet
7Differentiëer naar x.
antwoord
aanwijzing
Let op dat en werk dan weer met de machtregel.Kijk ook eventueel nog bij de les met wortelvormen en de rekenregels voor machten (bij Breuken).met het Maplet
8Differentiëer naar x.
antwoord
met het Maplet
9Differentiëer naar x.
antwoord
met het Maplet
10Differentiëer naar x.
aanwijzing 1Stel .De afgeleide van u is u ' = 2.aanwijzing 2
de afgeleide van kun je met de machtregel bepalen.
=
antwoord1
met het Maplet
11Differentiëer naar x.
Aanwijzing:
Schrijf de functie als en werk dan met de machtregel.
antwoord
12Differentiëer naar x.
Aanwijzing:
Schrijf de functie als en werk dan met de machtregel.
antwoord
oefening 2 (quotiëntregel)
1 met wortelDifferentiëer naar x en herleid tot één breuk
antwoord
aanwijzingKijk nog eens naar de rekenregels bij de quotiëntregel.
UitwerkingMet de quotiëntregel:
f' =
Teller en noemer met vermenigvuldigen:
=
In de teller de haakjes wegwerken:
=
Herleiden:
Eventueel kan het minteken voor de breuk gehaald worden:
2 met wortelDifferentiëer naar x en herleid tot één breuk
antwoord
aanwijzingKijk nog eens naar de rekenregels bij de quotiëntregel.
UitwerkingMet de quotiëntregel:
f' =
Teller en noemer met vermenigvuldigen:
=
In de teller de haakjes wegwerken:
=
Herleiden:
Er kan boven en onder nog gedeeld worden door :
Eventueel kan er nog buiten haakjes gehaald worden.
3 met sinus en cosinusDifferentiëer naar x en herleid tot één breuk
antwoord
aanwijzingKijk nog eens naar de rekenregels bij de quotiëntregel.
UitwerkingMet de quotiëntregel krijg je in één keer één breuk:
=
f' =
Verder alles zo laten staan, het kan niet verder vereenvoudigd worden.
oefening 3 (sinus en cosinus en kettingregel)Neem pen en papier om de oefeningen te doen. Je hebt de afgeleiden van de standaardfuncties nodig. Kijk in de tabel.Je kunt in de volgende sommen iets veranderen. Als je daarna op het antwoord klikt, dan is het antwoord aangepast aan de verandering die je zelf maakte. Dus verander iets en kijk wat het effect is.Ga in de onderstaande oefeningen steeds op de rode invoerregel staan en druk op Enter. Vervolgens open je eventueel de knop van het antwoord en door op de rode invoer tegaan staan en op Enter te drukken, krijg je het antwoord.
LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma.TIP: Gebruik voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet met
Bepaal de afgeleide van de volgende functies waarbij steeds x de variabele is.
1Differentiëer naar x.
aanwijzingGebruik de som/verschil-regelantwoord
2Differentiëer naar x.
aanwijzingGebruik de somregel en daarna de kettingregel (bij de sinus).antwoord
3Differentiëer naar x.
aanwijzingGebruik de kettingregel waarbij je kunt stellen .
De functie is dan .De afgeleide van u is u ' = .
antwoord
aanwijzingVergeet niet de kettingregel toe te passen!
4Differentiëer naar x.
aanwijzingVergeet niet de kettingregel toe te passen.Stel met a als constante.
antwoord
5Differentiëer naar x.
aanwijzingHierbij moet je de uitgebreide kettingregel toepassen.stel stel en stel
met en .
De afgeleide van f naar x kun je dan formuleren als:
Zie ook het voorbeeld bij de uitleg van de kettingregel.antwoord
6Differentiëer naar x.
antwoord
7Differentiëer naar x. (Zie ook som 5.)
antwoord
8
Differentiëer naar x. (Zie ook som 5.)
antwoord
9Differentiëer naar x. (Zie ook som 5.)
antwoord
10Differentiëer naar x. (Zie ook som 5.)
antwoord
11Differentiëer naar x.
aanwijzingZie het verschil met opgave 10!!antwoord
12Differentiëer naar a.
aanwijzingZie het verschil met som 11!! Er moet nu gedifferentiëerd worden naar a.!!antwoord
oefening 4 (met logaritme en exponentiële functie en
kettingregel)Je kunt in de volgende sommen iets veranderen. Als je daarna op het antwoord klikt, dan is het antwoord aangepast aan de verandering die je zelf maakte. Dus verander iets en kijk wat het effect is.Bepaal de afgeleide van de volgende functies waarbij steeds x de variabele is.LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma.TIP: Gebruik voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet met
1Differentiëer naar x.
antwoord
2Differentiëer naar x.
antwoord
3Differentiëer naar x.
aanwijzingGebruik de productregel.antwoord
4Differentiëer naar x.
aanwijzingGebruik de kettingregel voor beide termen!
antwoord
5Differentiëer naar x.
aanwijzingVergeet niet de kettingregel te gebruiken.antwoord
6Differentiëer naar x.
antwoord1
aanwijzingKijk nog eens naar de rekenregels van logaritmen (bij Standaardfuncties).Daar zul je zien dat .Als je dit differentiëert, zul je ontdekken dat wegvalt want dat is een constante.
7Differentiëer naar x.
antwoord
aanwijzingLet op dat een exponentiële functie is en dat een machtsfunctie is.
oefening 5 (met momentenlijn en dwarskrachtenlijn)
In de volgende opgaven is steeds x de variabele, is de dwarskrachtenlijn en is de momentenlijn.
(Zie ook Sterkteleerboek en een les over Momentenlijn en Dwarskrachtenlijn .)De volgende betrekkingen moeten gelden:
De letter q staat voor de belasting op de balk en verder gaat het steeds over een balk met lengte L waarbij de variabele x steeds van links naar rechts genomen wordt. De letter x is dus de variabele. Alle andere letters zijn systeemconstanten.
1Gegeven is de momentenlijn op het traject . Bepaal de dwarskrachtenlijn voor dit traject.
(Ga na dat op en het moment gelijk is aan 0.)
antwoord
eventueel herleiden
2Gegeven is de dwarskrachtenlijn
Bepaal de belasting .
antwoord
3Gegeven is de belasting die niet constant is! op het traject .Naarmate x toeneemt, neemt ook de belasting toe (lineair met x).
Bepaal de dwarskrachtenlijn als in het beginpunt er een dwarskracht is
van .
antwoordProbeer een functie te vinden waarvoor geldt dat de afeleide van de dwarskrachtenlijn de belasting is.
Dit is de voorwaarde. Er geldt namelij dat de toename van de dwarskracht gelijk is aan de negatieve waarde van de belasting op iedere plaats.Bovendien moet de randvoorwaarde (rv) gelden.
Gemakkelijk is te berekenen wat de dwarskrachtenlijn dus is geweest.
Ga door differentiëren na dat hieruit weer de belasting tevoorschijn komt (met een minteken). De afgeleide van een constante is immers gelijk aan 0.In de volgende regel vindt er nog een vereenvoudiging plaats, maar beslist noodzakelijk is dat niet.
4Bepaal de functie van de Dwarskrachtenlijn als gegeven is dat op twee verschillende stukken de Momentenlijn bekend is.De letter L staat voor de lengte van de balk en de letter P staat voor de puntlast in het midden van de balk.
aanwijzing
Op de twee trajecten (links van het midden voor en rechts van het
midden voor ) is een verschillend functievoorschrift voor .
Behandel deze twee dus apart! antwoord
oefening 6 (met standaardfuncties, kettingregel, productregel en quotiëntregel)LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma.TIP: Gebruik voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet met
1Differentiëer de volgende functie naar t.
aanwijzingGebruik de productregel en de kettingregel en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij.antwoord
2Differentiëer de volgende functie naar x.
aanwijzingGebruik de productregel en werk goed met de haakjes en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij. De afgeleide van een constante is gelijk aan 0.antwoord
Eventueel haakjes wegwerken (niet aan te raden):
3differentiëer de volgende functie naar t.
aanwijzingGebruik de quotiëntregel en werk goed met haakjes.
antwoord
4Differentiëer de volgende functie naar x.
aanwijzingDe quotiëntregel hoef je niet te gebruiken, want je kunt de functie ook schrijven
als en daarin is een constante.
antwoord
5Differentiëer de volgende functie naar x.
aanwijzing
Gebruik de machtregel. Schrijf eerst alle termen in de vorm .
antwoord
6Differentiëer de volgende functie naar t.
aanwijzingGebruik de machtregel en de kettingregel.
Schrijf de functie als .
antwoord
Eventueel kan het minteken voor de breuk nog ín de noemer van de breuk verwerkt worden.
7Differentiëer de volgende functie naar x.
aanwijzingGebruik de kettingregel en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij.antwoord
8differentiëer de volgende functie naar t.
aanwijzingGebruik de productregel en de kettingregel en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij.
Als je de functie (met de machtregels) schrijft als =
dan zie je het antwoord sneller.
antwoord
of met de rekenregels van machten korter geschreven:
9Differentiëer de volgende functie naar .
aanwijzing
Gebruik de kettingregel en de afgeleide van 1 is gelijk aa 0. Verder is
een constante.antwoord
10Differentiëer de volgende functie V naar r.
aanwijzingMisschien zie je het sneller als je de haakjes wegwerkt.
antwoord
eventueel één breuk van maken:
11Differentiëer de volgende functie y naar x.
aanwijzingGebruik de productregel.
antwoord
eventueel ontbinden:
12Differentiëer de volgende functie naar x.
aanwijzingGebruik de quotiëntregel en de kettingregel en de afgeleide van is gelijk aan 0.Werk goed met haakjes!antwoord
13Differentiëer de volgende functie naar x.
aanwijzingGebruik de productregel en de kettingregel en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij.antwoord
14Differentiëer de functie naar x
uitwerkingMet de quotiëntregel:
Teller en noemer met vermenigvuldigen
Teller verder uitwerken
Of het minteken voor de breuk:
met de computer
15Differentiëer de functie naar x
uitwerkingEerst teller en noemer delen door 2
Teller en noemer keer
Teller herleiden
Of het minteken voor de breuk halen:
met de computer
16Differentiëer de functie naar x
uitwerking
Teller en noemer met vermenigvuldigen
Teller herleiden
Of het minteken voor de breuk geschreven
met de computer